第五章 概率与概率分布§1 随机事件及其概率一、随机事件的几个基本概念确定现象：在一定条件下必然出现某种结果。
随机现象：在一定条件下，可能出现的结果不止一种，且不能事先断定会出现那种结果。
随机试验：对客观随机现象的观察，满足三个条件：（1） 相同条件下可重复；（2） 所有可能的结果已知，且不止一种结果； （3） 试验前，不能断定哪种结果出现。
基本事件：随机试验的每一种可能的结果。
样本空间：所有基本事件构成的集合，记为Ω.事件： Ω的子集。
由若干基本事件构成的集合，记为A,B,C,….不可能事件：Φ 必然事件： Ω注意不可能事件和概率为0的事件的区别，必然事件和概率为1的事件的区别。
事件可以运算，且运算律与集合相同。
对立事件：如果Ω⊆A ，则A A \Ω=称为A 的对立事件。
不相容事件：如果Φ=⋂B A ，则称A 与B 互为不相容事件。
二、事件的概率概率是对事件发生的可能性大小的一种测度，记为)(A P . 古典定义：事件的个数样本空间所包含的基本数所包含的基本事件的个事件A A P =)(该定义对随机试验有两个基本假定： （1） 样本空间有限；（2） 基本事件发生的可能性完全相同。
如抛掷均匀的骰子，均匀的硬币等。
统计定义（试验概率）在可进行重复试验的条件下，用试验中各种结果出现的频率来估计对应事件的概率。
如，产品合格率。
主观概率人们利用知识或经验对一个事件发生的可能性大小的判断。
如对第二天股市大盘走势的判断。
个股的涨跌等。
概率的数学定义：设E 是随机试验，Ω是它的样本空间。
对于E 的每一事件，赋予一个实数，记为)(A P 。
如果集合函数)(•P 满足下列条件：1） 对每一事件A ，有0)(≥A P ； 2） 1)(=ΩP ；3） 设 ,,21A A 两两互不相容，则有 ++=⋃)()()(2121A P A P A A P ， 则称)(A P 为事件A 的概率。
三、关于概率计算的几个例子例5.1 某钢铁公司所属三个厂的职工人数如下表：从该公司中随机抽取一人，问：（1）该职工为男性的概率？（2）该职工为炼钢厂职工的概率？例5.2 某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该月的第一天用电量超过指标的概率。
例5.3在例5.2中若第二个月采取了节措施，预计超过用电指标的概率将大大降低。
因此上一个月超过用电指标的概率就不适用了。
要预计下一个月第一天用电量超过指标的概率要请该厂管理用电的工程师根据采用节电措施后的情况进行预测。
该工程师根据该厂过去的用电情况和采用节电措施后可以节电的程度判断，用电超过指标的概率为10%，这就属于主观概率。
§2 概率的性质与运算规则一、概率的性质：见数学定义二、概率的运算规则：与集合运算律相同，略。
例5.4利用例5.1的资料，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂的概率。
BPAP+⋃=A(B())()P例5.5设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读，问成年人中有百分之几至少读一种报纸。
PPAAP-⋃=+BB)()()(AB)(P三、条件概率与相互独立事件条件概率：一个事件发生条件下另一事件发生的概率，记为P.(AB)|例5.6100件产品中，有80件正品，20件次品；而80件正品中有50件一等品，30件二等品。
现从这100件产品中任取1件，用A表示“取到一等品”，B表示“取到正品”，求P（A）及P（A|B）。
条件概率的数学定义：)()()|(A P AB P A B P =概率的乘法公式：)()|()()|()(B P B A P A P A B P AB P == 例5.7 设有1000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，2件都是次品的概率是多少？相互独立事件：设A,B 为两个随机事件，如果)()()(B P A P AB P =则称A,B 相互独立。
实际工作中，往往先根据专业知识确定两个事件是否有关系（独立），然后利用上式计算两个事件的交的概率。
如 A: 男同学B: 来自材料学院 则)()()(B P A P AB P =例5.8 某工人同时看管三台机床，每单位时间（如30分钟）机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8， 丙机床为0.85。
若机床是自动机床且独立工作（三台机床能同时进行工作），求：（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率；（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，而丙机床需要看管的概率。
四、全概率公式及贝叶斯公式1． 全概率公式设n 个事件n A A A ,,21互不相容，0)(>i A P ，,,,2,1n i =且n A A A B ⋃⋃⋃⊂ 21，则∑==ni i i A P A B P B P 1)()|()(例5.9 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床的次品率分别为：5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总产量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
B:次品 1A :甲车床 2A :乙车床 3A :丙车床2． 贝叶斯公式设n 个事件n A A A ,,21互不相容，0)(>i A P ，,,,2,1n i =且n A A A B ⋃⋃⋃⊂ 21，则∑==ni iii i i A P A B P A P A B P B A P 1)()|()()|()|(.贝叶斯公式的用途是：如果导致事件B 发生的所有可能原因有n A A A ,,21，则在事件B 发生后，可用该公式帮助人们确定引起事件B 发生的最可能原因。
例5.10 在例5.9中，如果取到的一件产品是次品，分别求这一次品是由甲、乙、丙生产的概率。
B:次品 1A :甲车床 2A :乙车床 3A :丙车床§3 离散型随机变量及其分布一、随机变量的概念前面我们已经知道什么是随机试验。
随机试验的例子随处可见，如从某厂生产的袋装白糖中任意抽取一袋，检测其重量；从一批同种产品中随机抽取一件，检测其是否合格；抛掷一枚硬币，观察是出现正面还是反面。
随机试验的结果可能是数值，也可能不是数值，如： 从一批产品中随机抽取一件，结果可能是：正品或次品； 抛掷一枚硬币，结果可能是：正面或反面；掷一枚骰子，可能出现的点数为：1，2，3，4，5，6；检测一袋标重为500克的白糖，实际重量可能介于490到510克之间。
随机变量就是用来统一表示各种随机试验结果的抽象数值变量，如：在抽检产品时，引入随机变量X ，使正品对应X=1,次品对应X=0; 掷硬币时，引入随机变量X, 使正面对应X=1, 反面对应X=0; 掷骰子时，引入随机变量Y, 其取值范围为1，2，3，4，5，6，使Y 的每一个取值对应于一种抛掷结果；检测白糖重量时，引入随机变量Z, 其取值范围为490—510，使每一检测结果都可由Z 的一个取值表示。
下面给出随机变量的定义。
设E 是随机试验，它的样本空间（即所有可能的试验结果）为S, 如果对每个e ∈S,即每一种试验结果，有一个实数X(e)与之对应，则称定义在S 上的这个单值实函数X=X(e)为一个随机变量。
随机变量可分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量的全部取值可一一列举（试验结果有有限种或可列种，如某服务台前等待服务的顾客数），连续型随机变量可连续取值（对应于在一个区间内取值的情况，如电子元件的寿命，测量误差等）。
二、离散型随机变量的概率分布 （一）离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X 所有可能的取值为),2,1( =k x k ,记,2,1,)(===k p x X P k k (※)则称（※）为X 概率分布。
实际上，概率分布就是给出随机变量取每个值的概率。
描述离散型随机变量的概率分布有： 公式法；描述法；列表法；图示法设随机变量X 的可能取值只有0和1，且取值为1的概率为p, 取值为0的概率为1-p, 则其概率分布为k，pp1,0XP k=-kk),1()-(1==或=1=)0()1,(，==pPXP-Xp或或0 1我们称X服从参数为p的0-1分布。
例5.11如规定打靶中域I得3分，中域II得2分，中域III得1分，中域外得0分。
今某射手进行100次射击，有30次中域I，55次中域II，10次中域III，5次中域外。
考察每次射击得分为例 5.12设已知一批产品的废品率为p=0.05，合格率为q=1-p=1-0.05=0.95.并指定废品用1代表，合格品用0代表，则考察任抽取一件为废品或合格品，即1或0这一离散型随机变量例5.13抛掷一颗股子，出现点数是个离散型随机变量，其概率分布为：（二）离散型随机变量的数学期望与方差对离散型随机变量X ，定义其数学期望（简称期望）为∑===μ)()(iix X P x X E ，即关于概率加权平均值。
注意到随机变量的函数也是随机变量，故有∑==)()())((i i x X P x f X f E ，这里，)(X f 是X 的函数。
数学期望具有如下性质： 1. C C E =)(,2. )()(X CE CX E =,3.)()()(Y E X E Y X E +=+,4. )()()(,Y E X E XY E Y X =则独立与如果.我们对性质3加以证明：)()()()(),(),(),(),(),()()(,,,Y E X E y Y P y x X P x y Y x X P y y Y x X P x y Y x X P y y Y x X P x y Y x X P y x Y X E jj j ii i ij i jj jj i ii ji j i j ji j i i ji j i j i +==+====+=====+=====+=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑对离散型随机变量X ，定义其方差(一般记为2σ)为)))((()(2X E X E X D -=.容易证明, 随机变量的方差亦可依如下公式计算:)()())(()()(2222X E X E X E X E X D -=-=.事实上，)()()()()(2)())()(2()))((()(2222222X E X E X E X E X E X E X E X XE X E X E X E X D -=+-=+-=-=一个随机变量的方差的算术平方根称为这个随机变量的标准差,记为σ.方差具有如下性质: 1. 0)(=C D , 2.)()(2X D C CX D =,3. 若X 与Y 相互独立, 则. )()()(Y D X D Y X D +=±方差或标准差可以衡量一个随机变量取值的分散程度，它们的值越大，变量的取值就越分散。
