静定梁的弯矩

§7-2剪力与弯矩一、剪力和弯矩根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a 所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距A 支座距离为x 的m m -截面上的内力。

图7-8简支梁指定截面的剪力、弯矩计算根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为：①、首先根据静力平衡方程求支座反力Ay F 和By F ，为推导计算的一般过程，暂且用Ay F 和By F 代替。

②、用截面假想沿m m -处把梁切开为左、右两段，如图7-8b、7-8c 所示，取左段梁为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。

从图7-8b 中可看到，左段梁上有一向上的支座反力Ay F 、向下的已知力1P 作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在m m -截面上必定存在一个竖直方向的内力S F 与之平衡；同时，Ay F 、1P 对m m -截面形心O 点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在m m -截面上必须有一个力偶矩M 与之平衡，才能保持左段梁的平衡。

S F 和M 即为梁横截面上的内力，其中内力S F 使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩M 将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。

由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。

剪力S F 和弯矩M 的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。

由0=∑Y 得：10Ay S F P F --=，得1S Ay F F P =-由0o M =∑得：()01=+-+-M a x P x F Ay 得()a x P x F M Ay --=1如图7-8c 所示，如果取右段梁为脱离体，同样可求得m m -截面的剪力S F 和弯矩M 。

根据作用力与反作用力原理，右段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 与左段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 应大小相等，方向相反。

土木工程力学（本）综合练习题及解析一、 判断题将判断结果填入括弧，以√表示正确，以×表示错误。

1．基本附属型结构力的传递顺序是：从附属部分到基本部分。

（ ） 2．结构由于弱阻尼影响自振频率会变小。

（ ） 3．当AB 杆件刚度系数i S AB 3 时，杆件的B 端为固定支座。

（ ）4．温度变化时静定结构中的杆件截面发生变形。

（ ）5．图（a ）对称结构受对称荷载作用，利用对称性可简化为图（b ）来计算。

（ ）（a ） （b ） 6．结构的自振频率与干扰力无关。

（）7．位移法的基本结构不是唯一的。

（ ）8．由于支座位移超静定结构产生的内力与刚度的绝对值有关。

（） 9．实际桁架结构的杆件只有轴力产生。

（ ） 10．结构的自振频率与结构中某杆件的刚度有关。

()11．图示为刚架的虚设力状态，按此力状态及位移计算公式可求出A 处的竖向位移。

（ ）A12．图示结构的超静定次数是n=2。

（ ）13．结构的自振频率与结构所受的外荷载大小相关。

（ ）14．根据静力平衡条件对静定结构进行受力分析，结果是唯一正确的结果。

（ ）15．桁架中的零杆是多余的，应该去掉。

（ ）16．在力矩分配法中，当远端为固定支座时，其传递系数为1。

（ ） 17．在温度变化与支座位移因素作用下，静定结构有内力和位移产生。

（ ） 18．在结构动力计算中，振动体系的质点数目与振动自由度不一定相等。

（ ） 19．图示结构A 截面剪力影响线在B 处的竖标为0。

（ ）l20．在结点荷载作用下，桁架结构中的杆件内力不一定只有轴力。

（ ）二、 单项选择题在所列备选项中，选1项正确的或最好的作为答案，将选项号填入各题的括号中。

1．用位移法计算图示各结构，基本未知量是两个的结构为（ ） A BCD2．用力法计算超静定结构时，其基本未知量为（ ） A 杆端弯矩 B 结点角位移 C 结点线位移 D 多余未知力 3．图示结构杆件BA 的B 端转动刚度BA S 为（ ） A 2 B 3C 4D 6ABCm3m3i = 1i = 24．用力矩分配法计算结构得到一个收敛的结果，是因为（ ）A 分配系数小于1B 分配节点之间的传递系数小于1C 结点上有外力矩作用D A 和B 同时满足 5．反映结构动力特性的重要物理参数是（ ）A 质点的质量B 自振频率C 振幅D 干扰力的大小6．用力矩分配法计算超静定结构时，刚结点的不平衡力矩等于（ ）A 外力矩B 附加刚臂中的约束反力矩C 杆端固端弯矩D 杆端传递弯矩 7． 影响线的纵坐标是（ ）A 固定荷载的数值B 移动荷载的数值C 不同截面的某一量值D 指定截面的某一量值 8． 受弯杆件截面内力有（ ）A 弯矩B 剪力C 轴力D A 、B 、C9．不考虑杆件的轴向变形，竖向杆件的EI =常数。

土木工程力学（本）综合练习一一、判断题1图示为刚架的虚设力状态，按此力状态及位移计算公式可求出A处的转角。

（×）A2．图示结构用位移法计算的基本未知量是3。

（×）3．超静定结构的力法基本结构是唯一的。

（×）4．汇交于某结点各杆端的力矩分配系数之比等于各杆端转动刚度之比。

（√）5．超静定结构的内力与材料的性质无关。

（×）6．力法典型方程的等号右端项不一定为0。

（√）7．对称结构在反对称荷载作用下，对称轴穿过的截面只有反对称的内力。

（√）8．在结构动力计算中，振动体系的振动自由度等于质点的数目。

（×）9．静定结构的内力和反力与杆件截面的几何尺寸有关。

（√）10．静定结构弯矩影响线是由直线段组成的。

√二、单项选择题1．简支梁某截面K弯矩影响纵坐标y K的物理意义是（ C ）。

M K影影影A 单位荷载的位置 B 截面K的位置C 截面K的弯矩D A、C同时满足C ）A 3B 4C 5D 63．超静定结构产生内力的原因（D ）A 荷载作用B 支座位移C 温度变化D 以上原因都可以4．结构位移计算时虚设力状态中的荷载可以是：（ D ）A 任意值（除0外）B 1C 正数D 负数5．结构位移计算公式利用什么推导的（C ）A 功的互等定理B 虚位移原理C 虚功原理D 反力互等定理6．用位移法计算超静定结构时，独立的结点角位移数等于（ D ）A 铰结点数B 刚结点数C 多余约束数D 不确定7．在图示结构中，使体系自振频率ω减小，可以（ C ）A 减小PF B 减小mC 减小EID 减小ll m t8．求图示结构AB两点的相对线位移，虚设力状态为图（ A ）ABM=1M=1A B C D1=F9．与杆件的传递弯矩有关的是（D ）A 分配弯矩B 传递系数C 分配系数D 结点位移10．用位移法解超静定结构其基本未知量的数目等于（A ）A 独立的结点位移数目B 刚结点数目C 线位移数目 D超静定次数三、作图题1.作图示静定梁的弯矩图。

1.用位移法计算图示各结构，基本未知量是两个的结构为（A ）。

2. 用力法计算超静定结构时，基本未知量是（D 多余未知力 ）。

3. 图示结构杆件BA 的B 端转动刚度BA S 为（ B 3 ）。

4. 用力矩分配法计算结构得到一个收敛的结果， 是因为（ D ）。

A. 分配系数小于1B. 分配结点之间传递系数小于1C. 结点上有外力矩作用D. A 和B 同时满足5. 反映结构动力特性的重要物理参数是（ B 自振频率）。

6. 用力矩分配法计算超静定结构时， 刚结点的不平衡力矩等于（ B 附加刚臂中的约束反力矩 ）。

7. 影响线的纵坐标是（ D 指定截面的某一量值）。

8. 受弯杆件截面内力有（ D 弯矩 剪力 轴力）。

9. 不考虑杆件的轴向变形， 竖向杆件的 E I = 常数。

下图所示体系的振动自由度为（ A 1 ）。

10. 力法典型方程是（ B 多余约束处的位移协调条件）。

三、（10分）21.作图示静定结构的弯矩图。

四、（16分）22.用力法计算图示结构并作弯矩图，EI=常数。

解：典型方程011111=∆+=∆P x δ五、（14分）23.用位移法计算图示刚架，列出典型方程，求出系数项及自由项。

解：典型方程01111=+∆P F k1.图示对称结构作用反对荷载，EI=常数，对称轴穿过的AB 杆件内力满足（D 0,0,0===N Q F F M ）2.机动法作静定梁弯矩影响线应用的原理是( C 刚体虚功原理 )。

3．结构不考虑阻尼时的自振频率为ω，考虑阻尼时的自振频率为D ω，则( C D ωω )4．图示结构中，除横梁外，各杆件EI=常数。

不考虑杆件的轴向变形，则体系振动的自由度数为(A 1)。

5．位移法典型方程是根据( D 附加约束的平衡条件 )列出的。

6．图示a 、b 两体系的自振频率a ω与b ω的关系为( B b a ωω )。

7．图示对称结构作用反对称荷载，杆件EI 为常量，利用对称性简化后的一半结构为（ A ）。

力学分析专题：斜梁弯矩分析1.斜梁受力的来龙去脉斜梁属于静定结构中理解难度相对较大的一种结构，其根本原因在于，对简支梁以及荷载分布理解不够深刻，很多人搞不清楚斜梁的荷载分布，在其具体的受力分析中，哪些是不变量，哪些是变化量，斜梁分析的核心问题，就是在变化中找不变！首先我们对斜梁有一个直观的认识：思考：（a）、（b）、（c）在实际工程中分别对应何种荷载类型？弯矩分析：在分析斜梁之前，首先分析一下简支梁：其分析步骤为：1、求支座反力；2、假定最大弯矩截面距支座的位置；3、列出弯矩对距离的函数，求导确定位置；4、代入数据，求出最大弯矩。

按正常的力学思维方式，所有的梁内力，都应该按照上述的步骤进行分析，但是，由于其身份的特殊性和重要性，我们很多人只记住了M=(ql^2)/8,而忽略了这个弯矩的来源，其造成的直接影响，就是，斜梁的三种弯矩一对比：瞬间懵逼的节奏！卖了这么多关子，我们开始进入正题这个是上面的（a）请看图中列出的算式，再和简支梁的进行对比，可以发现：对于l0的跨度，荷载q的分布，其弯矩计算方法，和跨度为l0，荷载为q的简支梁，列出的弯矩表达式是完全一样的！这就是“不变”。

这个结果完全可信，因为我们是经过了严密的推导得出的结论，而且，因为这个结果可以和简支梁的计算结果相统一，其计算结果，也是可以和简支梁的计算结果一样，应该被记住的：投影长度为l0的斜梁，在沿投影分布荷载作用q下，最大弯矩为M=(ql0^2)/8。

这个原理以及分析方法，就是我们前面提到的，在变化中找不变，变化的是形式，不变的是具体的力学分析和基本荷载分布与弯矩的对应关系，只要将二者统一，就可以直接抓住问题的“七寸”，又快又准的将其拿下。

从上面的结果出发，我们分析（b）对于这个问题，因为已经知道斜梁沿投影分布时候弯矩的算法，这就可以作为我们的一个“不变量”，抓住了这个关键，问题也就迎刃而解，既然都是均布荷载，那么也应该在均布荷载的范畴内，再找到一个“不变量”统一在一起：均布值×分布长度=总重：q’l0=ql(l0为投影长度，l为实际长度)这样的结论，就可以得出：q’=ql/l0=q/(l0/l)=q/cosα(α为构件倾斜角度)此时，弯矩的最大值即为：M=(q’l0^2)/8=(ql^2)/[8(cosα)^2]此处多说一句，因为弯矩的矢量方向在平面外（具体不用深究，左右手法则一两句话说不清，对结构分析也不必掌握），这使得弯矩有个特点：对于平面内的一根梁，取截面的时候，只要形心位置确定，弯矩最大值就是一定的，与截面的朝向无关，在算剪力的时候，就与此有着明显的不同，需要认真体会其中的奥妙。

快速巧解材料力学静定梁的约束力及剪力弯矩图作者：张圣光来源：《价值工程》2014年第09期摘要：材料力学是高等院校工科必修的一门专业基础课。

在机械、土木、采矿等领域有着广泛的应用。

本文以数学、理论力学为基础，总结出求约束力的“四大原理”以及剪力弯矩图画法的“三看一算”口诀，并形成规律，避免了繁琐的平衡方程，在工程及教学应用上的运算速度都得到了提高。

Abstract： Materials mechanics is a required professional basic course for engineering colleges and universities， and it has been widely used to mechanical， civil， mining and other fields. Based on mathematics and theoretical mechanics， this paper summarizes "four principles" for solving the binding force as well as the "three seeing and one calculating" formula for drawing shear bending moment diagram， forming the law， avoiding the tedious balance equation， and the improving the operation speed in engineering and teaching application.关键词：约束力；弯矩；剪力Key words： binding force；bending moment；shear中图分类号：[O341] 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）09-0240-020 引言计算约束反力是画剪力弯矩图的基础，一旦求错就导致后面的解体都出错，笔者根据自己的解题经验总结出了“四大原理”，避免用理论力学解题时的繁琐，方便快捷。

材料力学试卷1一、绘制该梁的剪力、弯矩图。

（15分)二、梁的受力如图，截面为T 字型,材料的许用拉应力[σ+］=40MPa ，许用压应力［σ-]=100MPa 。

试按正应力强度条件校核梁的强度。

（20分）m8m2m230170302002m3m1mM三、求图示单元体的主应力及其方位，画出主单元体和应力圆。

（15分）30四、图示偏心受压柱,已知截面为矩形，荷载的作用位置在A点，试计算截面上的最大压应力并标出其在截面上的位置，画出截面核心的形状.（15分)五、结构用低碳钢A 3制成，A 端固定,B 、C 为球型铰支，求：允许荷载［P ］。

已知:E=205GPa ，σs =275MPa ，σcr =338—1。

12λ,，λp =90，λs =50，强度安全系数n=2,稳定安全系数n st =3，AB 梁为N 016工字钢,I z ＝1130cm 4，W z ＝141cm 3，BC 杆为圆形截面，直径d=60mm 。

（20分）六、结构如图所示.已知各杆的EI 相同，不考虑剪力和轴力的影响,试求:D 截面的线位移和角位移.（15分)材料力学2一、回答下列各题（共4题，每题4分，共16分）1、已知低碳钢拉伸试件，标距mm l 1000=，直径mm d 10=，拉断后标距的长度变为mm l 1251=，断口处的直径为mm d 0.61=，试计算其延伸率和断面收缩率。

2、试画出图示截面弯曲中心的位置。

3、梁弯曲剪应力的计算公式zzQS =τ，若要计算图示矩形截面A 点的剪应力，试计算z S 。

aa4/h4、试定性画出图示截面截面核心的形状（不用计算）。

二、绘制该梁的剪力、弯矩图.（15分) 三、图示木梁的右端由钢拉杆支承.已知梁的横截面为边长等于0.20m 的正方形，q=4OKN/m,弹性模量E 1＝10GPa ；钢拉杆的横截面面积A 2＝250mm 2，弹性模量E 2=210GPa .试求拉杆的伸F sM矩形 圆形 矩形截面中间 挖掉圆形圆形截面中间 挖掉正方形四、砖砌烟窗高m h 30=,底截面m m -的外径m d 31=，内径m d 22=,自重kN P 20001=,受m kN q /1=的风力作用。