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傅里叶变换及小波分析傅里叶变换 (Fourier transform) 和小波分析 (wavelet analysis) 是信号处理中经常使用的两种数学工具。
它们都可以用于将一个时间域的信号转换为频域的表示，从而帮助分析信号的频谱特性和频域处理。
傅里叶变换是一种将一个信号或者函数表示为基本频率成分的叠加形式的方法。
它基于一个假设，即任何一个周期信号可以看作是一系列正弦和余弦函数的加权和。
傅里叶变换将一个定义在时间域中的信号分解为一系列复数频率分量，每个频率分量都表示了信号中特定频率的振幅和相位信息。
这种频域的表示使得我们可以分析信号的频谱特性，包括频率成分的强度和相互之间的关系。
小波分析则是一种将信号分解为一系列多尺度基函数的方法。
与傅里叶变换只考虑特定频率的正弦和余弦函数不同，小波分析使用的基函数包含了时间和频率的局部化特性。
在小波分析中，一组称为小波基函数的窄带信号被用来分析信号。
这些小波基函数具有在时间和频域上局部化的特性，这意味着它们能够捕捉信号中短时的频率变化。
因此，小波分析可以提供更丰富的频谱信息，包括信号的时间定位和频率局部化特性。
傅里叶变换和小波分析在信号处理中有着广泛的应用。
傅里叶变换广泛应用于频域滤波、频谱分析和谱估计等领域。
通过将信号从时间域转换到频域，我们可以分析信号的频率成分和频谱特性，从而实现滤波和频谱修复等处理。
小波分析则广泛应用于信号压缩、边缘检测和图像处理等领域。
小波分析具有时间和频率局部化的特性，因此在一些需要考虑信号中的短时频率变化的应用中具有优势。
除此之外，傅里叶变换和小波分析也可以相互补充。
在一些情况下，我们可以使用傅里叶变换来获取信号的大致频谱特性，然后使用小波分析来进行进一步的细节和局部化分析。
例如，在音频信号的处理中，可以使用傅里叶变换来了解音频信号的整体频谱，然后使用小波分析来定位和分析特定频率范围内的细节和局部化特征。
总之，傅里叶变换和小波分析是信号处理中常用的数学工具。
第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度；步骤3: 把小波向右移，距离为 ，得到的小波函数为 ，然后重复步骤1和2。
再把小波向右移，得到小波 ，重复步骤1和2。
按上述步骤一直进行下去，直到信号 结束；步骤4: 扩展小波 ，例如扩展一倍，得到的小波函数为 ；步骤5: 重复步骤1~4。
五、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT 算法的表达式。
（10分）答：Meyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成L2 (R )的规范正交基，才使小波得到真正的发展。
1988年S.Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性， 将此之前的所有正交小波基的 构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法，即Mallat 算法。
Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。
定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列Z ∈j j }{V ：（1）单调性：ΛΛ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Zj j Zj ==∈∈Y I ；（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。
满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析， 如果)(t g 生成一个多 分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。
关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。
从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予以考虑。
小波分析的应用现状及展望
朱希安;金声震;宁书年;王景宇
【期刊名称】《煤田地质与勘探》
【年(卷),期】2003(031)002
【摘要】小波分析具有多分辨分析的特点,在时频两域都具有表征信号局部特征的能力,是一种窗口大小固定不变,但其形状可以改变的时频局部化分析方法.本文从介绍小波分析的发展简史开始,简述小波分析的基本原理,分析和总结小波分析在地球物理勘探、信号和图像处理中的最新应用成果.讨论小波分析目前应用中存在的主要问题,并展望小波分析一些有前景的应用领域.
【总页数】5页(P51-55)
【作者】朱希安;金声震;宁书年;王景宇
【作者单位】中国矿业大学机电系,北京,100083;中国科学院国家天文台,北
京,100101;中国科学院国家天文台,北京,100101;中国矿业大学机电系,北
京,100083;中国科学院国家天文台,北京,100101
【正文语种】中文
【中图分类】P631.4+1
【相关文献】
1.电力系统暂态信号的小波分析方法及其应用(一)小波变换在电力系统暂态信号分析中的应用综述 [J], 何正友;钱清泉
2.电力系统暂态信号的小波分析方法及其应用(三)基于小波分析的EHV输电线路单
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4.应用小波分析研究湍流相干结构(Ⅰ)小波分析辨识相干结构的能量最大准则 [J], 刘海峰;吴韬;王辅臣;龚欣;于遵宏
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班级 学号 姓名 考试科目----------------------------------------------------------------------装-----------订-----------线----------------------------------------------------------------------------------------一、 名词解释（每题4分 共20分）1. 设备故障诊断技术（定义、内容）：2. Alford 流动模型（定义、机理）：3. 旋转失速（机理、特征）：4. 流体冲击故障：5. 亚异步振动（定义、机理）：二、 判断题（每题1分，共10分）1．状态监测任务是对设备可能要发生的故障进行预报和分析、判断。
( ) 2．渐发性故障可以向突发性故障过度。
( ) 3． 故障具有随机性和模糊性，但通常设备故障和征兆之间是符合一一对应的关系。
( )4．状态监测、分析诊断和故障预测是设备故障诊断的主要内容。
( ) 5． 数字信号为时间离散、幅值量化信号，模拟信号为时间和幅值均连续信号。
( ) 6． 能量信号平均功率为零；功率信号在（+∞，—∞）内能量不为有限值。
( ) 7． 对振动信号从时域变换到频域进行频谱分析需要通过傅立叶变换，幅值谱具有谐波性、连续性、收敛性。
( ) 8． 采样频率高，信号记录长度短，频率间隔大，分辨率低。
( ) 9． 相干函数将两侧点信号的互频与各自自谱联系，能了解输入信号对输出信号的影响程度。
( ) 10. 振动诊断的任务从某种意义上讲，就是读谱图，把频谱上的每个频谱分量与监测的机器的零部件对照联系，给每条频谱以物理解释。
( )三、选择题（共45分，每题1.5分）1.状态监测主要采用检测、测量、监测、分析和（）等方法A．测试；B．估计；C．判别；D．观察。
2.设备状态监测和故障诊断是在（）情况下进行。
第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
1991年，Alpert用多项式构造了第一个多小波。
Geronimo等利用分形插值函数构造了正交、对称、紧支撑、逼近阶位2的GHM多小波。
1992年，Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。
1992年3月，国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊，全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此小波分析开始进入了全面应用阶段。
1992年，Bamberger和Smith提出无冗余且能完全重构的方向滤波器（Directional Filter Banks，DFB，也即2D-DFB），DFB能有效地对二维信号进行方向分解。
具有不可分性，把DFB从二维扩展多维，至今没有完美的实现方法。
1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。
1992年，Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。
1992年，Coifman和Wickerhauser提出了小波包（Wavelet Packet，WP）分析。
1993年，Goodman等基于r阶多尺度函数及多分辨率分析建立了多小波（Multi-Wavelet）理论框架。
1994年，Geronimo等提出了多小波变换（Multi-Wavelet Transform，MWT），将单尺度小波变换推广到多尺度小波变换。
1995年，Sweldens等提出了一种新的小波构造算法——提升方案（Lifting Scheme）。
它标志着第二代小波的开始。
1997年，Meyer和Coifman提出了Brushlet变换，即一种自适应频带分割方法。
1998年，Candès和Donoho提出了连续脊波（Ridgelet）变换。
1998年，Donoho提出了正交Ridgelet变换的构造方法。
1999年，美国学者Donoho提出了楔波（Wedgelet）变换。
1999年，美国斯坦福大学的David L. Donoho教授提出了小线（Beamlets）变换。
1999年，Candès提出的单尺度Ridgelet变换实现了含曲线奇异的多变量函数的构造方法。
1999年，Candès和Donoho在Ridgelet变换的基础上提出了连续曲波（Curvelet）变换——第一代Curvelet变换中的Curvelet99。
2000年，法国学者Pennec和Mallat提出了第一代Bandelet变换。
2000年，Do和Vetterli提出了一种离散Ridgelet变换。
2001年，Cohen和Matei提出了边缘自适应多尺度变换（Edge-Adapted Multiscale Transform）。
2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet变换中的Curvelet02。
2002年，Candès等人提出了第二代Curvelet变换。
2002年，Do和Vetterli提出了Contourlet变换。
2003年，Wakin等提出了Wedgeprint的图像稀疏表示方法。
2005年，Peyre和Mallat提出了第二代Bandelet变换。
2005年，Velisavljevic等基于整数格点理论提出了一种可分离多方向多尺度图像表示方法——Directionlets。
2005年，Candès提出了两种基于第二代Curvelet变换理论的快速离散实现方法2007年，Yue Lu和M.N. Do提出了多维方向滤波器组（N-dimensional Directional Filter Banks，NDFB）的Surfacelet变换。
2007年，Yue Lu和M.N. Do提出了多维方向滤波器组设计方法——NDFB。
采用一种简单、高效的树状结构，能够对任意维的信号进行方向分解。
第二篇：小波分析应用发展现状1小波分析在信号与图像处理上的应用电子信息技术是六大高新技术中重要的领域，它的重要方面是信号与图像处理．信号与图像处理的目的：准确地分析与诊断，编码压缩与量化。
快速传递与储存。
精确的重构(或恢复)．信号与图像处理可以统一地看作是信号处理(图像可以看作是二维信号1．对于信号与图像来说，由于要传递和储存，就需要快速传输．在同等通信容量下，如果信号与图像数据可以压缩后再传输．可使数据量变小，如用普通的电话线传输图像信息．这样我们就要寻找高压缩比的方法，且压缩后的信号与图像有合适的噪音比，在压缩传输后还要恢复原信号，且保持原图像特征不变．基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩．小波变换向量量化压缩等．1．1小波分析在常规滤波方面的应用在信号分析中。
当对信号进行采样后，就得到了在一个大的有限频带中的一个信号，对这个信号进行小波分析，就是把采到的信号分成两个信号。
高频部分和低频部分，再对低频信号分解．这样就完成了滤波和检测的工作．常用的几种滤波有低通滤波、高通滤波、带通滤波等．低通滤波要求保持原信号中某个特定的低频范围的信号，正交小波的Mallat算法和正交小波包的分解对低通滤波是行之有效的．高通滤波要求保留信号中的高频量。
去换特定的低频量，仍用正交小波包的分解、正交小波包的分解在频域方面表现，保留信号分解中对应于高频量的数据。
用零代替低频量所对应的数据．这样就方便地实现了高通滤波．带通滤波要求保留信号的某个特定频带，据正交小波(包)分析方法在频域方面的表现，可实现非常细致的、清晰的带通滤波，若干频段的信息混叠后传输，小波(包)分析方法可把它们有效地分离出来．1．2小波分析在消噪方面的应用由于小波和小波包分解可以把一个信号分解为不同的频段信号。
实际采集的型号中常含有白噪音，只有作消噪处理。
才能有效地表现原信号中的有用信息．第一种是强制消噪处理方法．该方法把小波分解结构中的高频系数全部变为0值．即把各个尺度或几个尺度的高频部分全部滤掉，然后再对信号进行重构处理。
重构后的信号也比较平滑，但容易丢失原信号中有用的高频分量．第二种是门限消噪处理方法，该方法要根据经验或某种依据设定门限值。
对信号小波分解中的最高频系数用门限值处理。
即大于门限值的部分保留。
低于门限值的系数变为0值，随着分解层次的增加，门限值可按倍减小．1．3小波分析在平稳信号消噪中的应用平稳信号通常表现为低频信号，但实际上采集的信号中往往混有噪音，希望消噪并清晰地表现周期信号，因为这种周期信号是低频的，相关过程能较好地表现周期性，这种特点在小波分解分量中有一定的表现．时频受限信号中含有白噪音也是常见的，对于这类时频受限信号的消噪问题，可将接受信号作细致的小波包分解，将频限之外的信号全部去掉．达到初步消噪的目的．保留的频限内的接受信号中的噪声信号．可用门限滤波法或相关消噪法．1．4小波分析在语言信号基音提取和压缩存储中的应用语言信号的基音提取是语音分析处理中的一个关键问题．可根据不同基音表现去识别不同语音的特征，可利用基音作语言合成，也可以利用基音表现对原语言信号作压缩储存处理．语音信号的频带不超过20千赫兹，它可以看作是一个非平稳信号，用正交小波包分解容易找到语音信号的各种特征，根据这些特征来确定提取基音的办法．2在工程技术等方面的应用2．1在医学上的应用小波分析在医学中的应用包括在B超、CT、核磁共振及心电图等方面．例如CT，在二维医学图像中，由拍照得到的图像重构原始器官，完全依赖于目标函数的线积分，但是在很多场合下．人们只关心图像中的局部区域，局部值并不由超平面上局部相应的线积分唯一确定。
但是该区域外的线积分对此影响不大．利用小波的时频局部性以及Randon变换的一些性质，可以确定抽取哪些局部信息使获得图像可靠地重构．给出达到一定逼近精确度的误差界限．2．2电子地图与卫星导航定位对于电子地图来说。
关键的技术是对交通地图要有大压缩比的压缩存储以及方便快捷的局部显示方法，对地图用小波分解的方法进行多层次分解．2．3其他应用小波分析还可应用于计算机视觉、计算机图形、曲线设计、远程宇宙的研究与生物医学等方面．如小波用于曲面表示．可使用双正交三次B样条小波张量积型的积，对于曲线的小波表示，它呈现出许多优点，例如，它的约束模型从属于一个二次能量泛函，消除了曲线的一些不必要的扰动．使用曲面与体的构造还可使用球面上的小波技术．第三篇：2012年优秀论文《地震记录的小波变换在沉积旋回分析中的应用探讨》主要内容：对地震记录进行小波变换，利用变换结果，建立变换结果与地层沉积旋回间存在的对应关系。
