下载文档原格式
傅里叶变换及小波分析傅里叶变换 (Fourier transform) 和小波分析 (wavelet analysis) 是信号处理中经常使用的两种数学工具。
它们都可以用于将一个时间域的信号转换为频域的表示，从而帮助分析信号的频谱特性和频域处理。
傅里叶变换是一种将一个信号或者函数表示为基本频率成分的叠加形式的方法。
它基于一个假设，即任何一个周期信号可以看作是一系列正弦和余弦函数的加权和。
傅里叶变换将一个定义在时间域中的信号分解为一系列复数频率分量，每个频率分量都表示了信号中特定频率的振幅和相位信息。
这种频域的表示使得我们可以分析信号的频谱特性，包括频率成分的强度和相互之间的关系。
小波分析则是一种将信号分解为一系列多尺度基函数的方法。
与傅里叶变换只考虑特定频率的正弦和余弦函数不同，小波分析使用的基函数包含了时间和频率的局部化特性。
在小波分析中，一组称为小波基函数的窄带信号被用来分析信号。
这些小波基函数具有在时间和频域上局部化的特性，这意味着它们能够捕捉信号中短时的频率变化。
因此，小波分析可以提供更丰富的频谱信息，包括信号的时间定位和频率局部化特性。
傅里叶变换和小波分析在信号处理中有着广泛的应用。
傅里叶变换广泛应用于频域滤波、频谱分析和谱估计等领域。
通过将信号从时间域转换到频域，我们可以分析信号的频率成分和频谱特性，从而实现滤波和频谱修复等处理。
小波分析则广泛应用于信号压缩、边缘检测和图像处理等领域。
小波分析具有时间和频率局部化的特性，因此在一些需要考虑信号中的短时频率变化的应用中具有优势。
除此之外，傅里叶变换和小波分析也可以相互补充。
在一些情况下，我们可以使用傅里叶变换来获取信号的大致频谱特性，然后使用小波分析来进行进一步的细节和局部化分析。
例如，在音频信号的处理中，可以使用傅里叶变换来了解音频信号的整体频谱，然后使用小波分析来定位和分析特定频率范围内的细节和局部化特征。
总之，傅里叶变换和小波分析是信号处理中常用的数学工具。
第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度；步骤3: 把小波向右移，距离为 ，得到的小波函数为 ，然后重复步骤1和2。
再把小波向右移，得到小波 ，重复步骤1和2。
按上述步骤一直进行下去，直到信号 结束；步骤4: 扩展小波 ，例如扩展一倍，得到的小波函数为 ；步骤5: 重复步骤1~4。
五、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT 算法的表达式。
（10分）答：Meyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成L2 (R )的规范正交基，才使小波得到真正的发展。
1988年S.Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性， 将此之前的所有正交小波基的 构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法，即Mallat 算法。
Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。
定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列Z ∈j j }{V ：（1）单调性：ΛΛ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Zj j Zj ==∈∈Y I ；（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。
满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析， 如果)(t g 生成一个多 分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。
关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。
从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予以考虑。
小波分析的应用现状及展望
朱希安;金声震;宁书年;王景宇
【期刊名称】《煤田地质与勘探》
【年(卷),期】2003(031)002
【摘要】小波分析具有多分辨分析的特点,在时频两域都具有表征信号局部特征的能力,是一种窗口大小固定不变,但其形状可以改变的时频局部化分析方法.本文从介绍小波分析的发展简史开始,简述小波分析的基本原理,分析和总结小波分析在地球物理勘探、信号和图像处理中的最新应用成果.讨论小波分析目前应用中存在的主要问题,并展望小波分析一些有前景的应用领域.
【总页数】5页(P51-55)
【作者】朱希安;金声震;宁书年;王景宇
【作者单位】中国矿业大学机电系,北京,100083;中国科学院国家天文台,北
京,100101;中国科学院国家天文台,北京,100101;中国矿业大学机电系,北
京,100083;中国科学院国家天文台,北京,100101
【正文语种】中文
【中图分类】P631.4+1
【相关文献】
1.电力系统暂态信号的小波分析方法及其应用(一)小波变换在电力系统暂态信号分析中的应用综述 [J], 何正友;钱清泉
2.电力系统暂态信号的小波分析方法及其应用(三)基于小波分析的EHV输电线路单
端量暂态保护 [J], 何正友;杨卿;钱清泉
3.电力系统暂态信号的小波分析方法及其应用(二)电力系统暂态信号的小波分析方法探讨 [J], 何正友;戴小文;钱清泉
4.应用小波分析研究湍流相干结构(Ⅰ)小波分析辨识相干结构的能量最大准则 [J], 刘海峰;吴韬;王辅臣;龚欣;于遵宏
5.小波分析若干应用模型及在测绘中的应用和展望＊ [J], 朱长青;杨启和
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
班级 学号 姓名 考试科目----------------------------------------------------------------------装-----------订-----------线----------------------------------------------------------------------------------------一、 名词解释（每题4分 共20分）1. 设备故障诊断技术（定义、内容）：2. Alford 流动模型（定义、机理）：3. 旋转失速（机理、特征）：4. 流体冲击故障：5. 亚异步振动（定义、机理）：二、 判断题（每题1分，共10分）1．状态监测任务是对设备可能要发生的故障进行预报和分析、判断。
( ) 2．渐发性故障可以向突发性故障过度。
( ) 3． 故障具有随机性和模糊性，但通常设备故障和征兆之间是符合一一对应的关系。
( )4．状态监测、分析诊断和故障预测是设备故障诊断的主要内容。
( ) 5． 数字信号为时间离散、幅值量化信号，模拟信号为时间和幅值均连续信号。
( ) 6． 能量信号平均功率为零；功率信号在（+∞，—∞）内能量不为有限值。
( ) 7． 对振动信号从时域变换到频域进行频谱分析需要通过傅立叶变换，幅值谱具有谐波性、连续性、收敛性。
( ) 8． 采样频率高，信号记录长度短，频率间隔大，分辨率低。
( ) 9． 相干函数将两侧点信号的互频与各自自谱联系，能了解输入信号对输出信号的影响程度。
( ) 10. 振动诊断的任务从某种意义上讲，就是读谱图，把频谱上的每个频谱分量与监测的机器的零部件对照联系，给每条频谱以物理解释。
( )三、选择题（共45分，每题1.5分）1.状态监测主要采用检测、测量、监测、分析和（）等方法A．测试；B．估计；C．判别；D．观察。
2.设备状态监测和故障诊断是在（）情况下进行。
振 动 与 冲 击第27卷第5期JOURNAL OF V I B RATI O N AND SHOCKVol .27No .52008 小波-形态-E MD 综合分析法及其应用基金项目:国家自然科学基金资助项目(No .50605065);重庆市自然科学基金资助项目(No .2007BB2142)收稿日期:2007-08-09 修改稿收到日期:2007-09-11第一作者柏 林男,博士,副教授,1972年生柏 林, 刘小峰, 秦树人(重庆大学机械学院测试中心,重庆 400044) 摘 要:在经验模态分解(E MD )的理论基础上,分析了随机白噪声及局部强干扰对E MD 分解质量的影响,结合小波消噪和形态滤波理论,提出了一种新型的小波-形态-E MD 算法模型。
该模型将小波形态变换作为E MD 前置滤波单元,可以减少不必要的分解层次,降低E MD 分解的边界积累效应,消除局部强干扰造成的模态裂解现象,有效提高E MD 的时效性和精确度。
利用仿真信号分析实例详述了这种综合分析方法的实施过程,并将该方法成功运用于齿轮故障的早期检测中。
实验结果证明该方法在机械故障诊断中切实可行,具有较好的应用价值。
关键词:经验模态分解;小波消噪;形态滤波;边界积累误差;模态混叠中图分类号:TG156 文献标识码:A 机械设备的复杂振动信号,不仅具有非平稳性而且呈非线性特点,对这些非平稳振动信号的分析已经成为信号分析和故障诊断领域的一个研究热点。
经验模态分解(E MD )是一种适合于非线性、非平稳信号的分析方法,其本质是对信号进行平稳化处理,把复杂的信号分解成有限个瞬时频率有意义的、幅度或频率受调制的高频和低频的本征模态分量(I M F )。
与小波分析方法相比,它是一种无需任何先验知识的自适应时频分析方法,其分解基依赖于信号本身,数据分解有真实的物理意义,且有较高的时频分辨率。
大部分文献对E MD 的应用多集中于对E MD 分解的后处理工作,即借助一般的时频分析工具对分解得到的I M F 分量进一步分析,给出原信号的时频分布特征。
3．2景观生态学的数学研究方法景观格局是生态学家研究最多的课题之一，早在50年代就进行了大量的描述性研究(Troll 1950)，但数量化研究是70年代才逐渐重视起来，近年来景观格局数量研究有了重大发展，出现了大量的数量化方法(Turner和Gardner 1991；Turner等1990)。
自20世纪80年代以来，空间统计学和地统计学(geostatistics)方法亦越来越广泛地应用在景观格局分析中。
例如，半方差分析或半变异矩图分析(semivariance analysis和semivariogram analysis)和克里金插值法(Kriging)，已经在景观生态学研究中得到普遍应用。
地统计学方法不依赖于样点独立以及正态分布的假设，因此在许多情形中它们更适合用来分析空间相关性以及建立预测统计模型。
而克里金插值法是一种基于变异矩分析基础上的局部内插值法，主要用于估计景观空间中未知样点的变量值。
波谱分析(spectralanalysis)是一种研究时间序列数据的周期性特征的方法。
近年来也已被推广到空间系列数据，以研究景观格局的周期性和尺度特征。
尺度方差(scale variance)是一种比波谱分析简单得多，但很有效的空间分析方法，在研究景观格局的尺度特征具有很大潜力。
其他格局和尺度分析方法还有小波分析(wavelet analysis)、趋势面分析(trend surface analysis)以及植物群落生态学中应用已久的聚块样方方差分析方法(blocked quadrat variance analysis)。
分维可以直观地理解为不规则几何形状的非整数维数。
而这些不规则形状可称为分形(fractal)。
不难想象，自然界所存在的物体大多数具有明显的分形特征。
近年来，分维方法被广泛地应用在景观格局分析中，以描述缀块或景观镶嵌体的结构复杂性。
分形结构的一个重要特征就是自相似性(self—similarity)，即整体结构可由结构单元的反复叠加而形成，通俗地讲，即“窥一斑可见全貌”。
GPS 论述题与公式推导题1、论述基本观测量，双频消电离层观测量，电离层残差观测量，宽巷观测量，窄巷观测量，相位平滑伪距观测量的观测方程，应用场合？基本观测量包括：码伪距观测量、载波相位观测量和积分多普勒观测量双频消电离层观测量： 当考虑电离层影响时，观测方程为：111111222222I N I N ρφ=--+ελλρφ=--+ελλ 式中：以距离为单位的电离层影响为：i 2i 22i 40.3TEC I 40.3()TEC f cλ=-=- 式中：TEC —信号传播路径上的电子总数 λ—载波波长 c —光速双频相位观测量的线性组合定义为：φL=αφ1+βφ2当β=12λλ-时，电离层的影响消失，进一步取12122λλλα-=，则222121f f f f --=β，由此可得， 消电离层观测量：2112L 12IF 222211212f f f N N f f f f ⎛⎫ρϕ=--+ε ⎪λ--⎝⎭当β=12λλ-时，基线未知量消失，因此，若取α=1，则β=12λλ-，由此可得， 电离层残差观测量的观测方程：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--⋅-=22112121223.40N f f N C TEC I λλλφ 当α=1、β=-1时，可得宽巷观测量21φφφ-=w ，其相应的：宽巷模糊度21N N N w -=，频率21f f f w -=，宽巷波长cm w 2.86=λ当α=1、β=1时，可得窄巷观测量21φφφ+=w ，其相应的：窄巷模糊度21N N N n+=，频率21f f f n +=，窄巷波长cm n 7.10=λ 相位平滑伪距利用码伪距和相位的加权平均得到，观测方程为：P(应用场合：消电离层观测量常用于长基线的解算，电离层残差观测量常用于周跳检测，宽巷和窄巷常用于模糊度分解，相位平滑算法在周跳出现时，可以消弱周跳的影响，但前提条件是周跳出现的位置（时刻）须被正确检测。
2、要达到109ppm 的基线精度，应考虑哪些因数？为什么？应考虑各类误差影响源。
一、名词解释1、（1）太阳常数：一个描述太阳辐射能流密度的物理量。
它指在日地平均距离处，单位时间内，垂直于太阳射线的单位面积上，所接收到的全部太阳辐射能，其数值为1。
36×10—3W/m2。
2、(1）黑体：一个假设的理想郎伯源，既是完全的吸收体，又是完全的辐射体3、（1）维恩位移定律：描述了物体辐射的峰值波长与温度的定量关系,表示为λmax = A/T。
A为常数,取值为2898μm·K.4、（1）大气窗口:大气吸收较弱，透过率较高的波段。
5、（1）瑞利散射：当引起散射的离子直径远小于入射电磁波波长（d<〈λ）时产生的散射，是一种各向同性散射，且波长越短,散射越强。
6、（1)地表粗糙度：用以描述地面几何形态对入射电磁波反射特性影响的参数，是入射波长的函数。
7、（1）光学厚度：描述介质对入射电磁波吸收强弱的物理量。
定义辐射强度衰减到1/e时的光学厚度为1。
8、(1）漫反射：当入射能量在所有方向均匀反射，即入射能量以入射点为中心，在整个半球空间内向四周各向同性的反射能量的现象.又称为郎伯反射。
9、（1)双向反射率分布函数：来自i方向地表辐照度的微增量与其所引起的r方向上反射辐射亮度增量之间的比值。
它描述了地物方向性反射的这一特性.10、（2）地物反射波谱：用以表示地物反射、吸收、发射电磁波的特征的一种二维曲线。
11、(3）太阳同步轨道:卫星以某一特定周期以经线轨道运行，这个周期使得卫星到达每一地区上空时的太阳高度角都相同。
12、（3）高光谱：指成像光谱仪能获得整个可见光，近红外、短波红外、热红外波段的多而很窄的连续光谱波段，波段数多至几十甚至数百个，波段间隔在纳米级内。
13、(4）辐射温度：Radiant Temperature，又称表征温度，即T rad = ε1/4T kin，是物体自身由于热辐射现象而表现出的物体能量状态的一种“外部”表现形式.14、（4)亮度温度:Brightness Temperature，即T b = ε1/4T kin，指辐射出与观测物体相等的辐射能量的黑体温度，是衡量物体温度的一个指标，但不是物体的真实温度。
简述短时傅里叶变换与小波的区别。
短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）和小
波变换（Wavelet Transform）都是常用的信号分析方法，用于
对信号进行频域分析。
它们的区别主要体现在以下几个方面：
1. 分辨率：STFT是基于固定大小的窗口对信号进行分析，窗
口大小决定了频率和时间分辨率的权衡。
窗口越大，频率分辨率越好，但时间分辨率越差；窗口越小，时间分辨率越好，但频率分辨率越差。
小波变换是通过在不同尺度上进行分析，可以根据不同频率的分辨率需求，灵活地选择合适的小波基函数，从而实现更好的频率和时间分辨率权衡。
2. 局部性：STFT只能提供整个信号的固定时段内的频率信息，对于非平稳信号来说，无法区分信号的不同时间段的频率特征。
而小波变换则可以在不同尺度上对信号进行分析，能够捕捉信号的局部频率特征。
3. 时频平滑性：STFT得到的频谱是均匀分布在时频域上的，
具有平滑性。
小波变换则可以得到具有不同频率分辨率和时频分布特点的小波系数。
小波变换的小波基函数具有局部性，能更好地提取信号的时频特征。
总体而言，STFT适用于平稳信号的分析，能够提供整个信号
的频谱信息。
小波变换适用于非平稳信号的分析，能够提供信号的局部时频特征信息。
它们在信号处理领域有着不同的应用和优势。
01()2()(2)()2()(2)n Z n Zt g n t n t g n t n ϕϕψϕ∈∈⎨=-⎪⎪=-∑∑小波函数：()(2)nt h t n φφ=-∑ 5、Mallat 算法答： 1989年，Mallat 在小波变换多分辨率分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨率分析与重构的快速算法称为马拉特（Mallat ）算法。
Mallat分解算法：,1,2(1)j k n j n k n Zc h c ++∈=∑，,1,2(2)j k n j n k n Z d g c ++∈=∑ Mallat 重构算法：1,2,2,(3)j n n k j k n k j k n Z n Zc h c gd +--∈∈=+∑ 6、双尺度方程答：双尺度方程，本质就是将j V 的基函数表示成1j V +的基函数的线性和。
因为0101(),()t V V t W V ϕψ∈⊂∈⊂，所以()t ϕ和()t ψ都可以用1V 空间的一个基(2)n Z t n φ∈-线性表示： ()(2)()(2)n n t h t n t g t n φφϕφ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩∑∑，即为双尺度方程。
一、简述小波的定义及其主要性质。
（10分）答：小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。
所谓“小”是指它 具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
与傅里叶 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运 算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了傅里叶变换的困难问题，成为继傅里叶变换以来在科学方法上的重大突破。
小波性能除了正交性以外还有光滑性、紧支性、衰减性、对称性以及消失矩和时频窗面积。
二、阐述Fourier 变换和小波变换的各自的特点，并比较它们之间的优缺点。
第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
1991年，Alpert用多项式构造了第一个多小波。
Geronimo等利用分形插值函数构造了正交、对称、紧支撑、逼近阶位2的GHM多小波。
1992年，Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。
1992年3月，国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊，全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此小波分析开始进入了全面应用阶段。
1992年，Bamberger和Smith提出无冗余且能完全重构的方向滤波器（Directional Filter Banks，DFB，也即2D-DFB），DFB能有效地对二维信号进行方向分解。
具有不可分性，把DFB从二维扩展多维，至今没有完美的实现方法。
1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。
1992年，Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。
1992年，Coifman和Wickerhauser提出了小波包（Wavelet Packet，WP）分析。
1993年，Goodman等基于r阶多尺度函数及多分辨率分析建立了多小波（Multi-Wavelet）理论框架。
1994年，Geronimo等提出了多小波变换（Multi-Wavelet Transform，MWT），将单尺度小波变换推广到多尺度小波变换。
1995年，Sweldens等提出了一种新的小波构造算法——提升方案（Lifting Scheme）。
它标志着第二代小波的开始。
1997年，Meyer和Coifman提出了Brushlet变换，即一种自适应频带分割方法。
1998年，Candès和Donoho提出了连续脊波（Ridgelet）变换。
1998年，Donoho提出了正交Ridgelet变换的构造方法。
1999年，美国学者Donoho提出了楔波（Wedgelet）变换。
1999年，美国斯坦福大学的David L. Donoho教授提出了小线（Beamlets）变换。
1999年，Candès提出的单尺度Ridgelet变换实现了含曲线奇异的多变量函数的构造方法。
1999年，Candès和Donoho在Ridgelet变换的基础上提出了连续曲波（Curvelet）变换——第一代Curvelet变换中的Curvelet99。
2000年，法国学者Pennec和Mallat提出了第一代Bandelet变换。
2000年，Do和Vetterli提出了一种离散Ridgelet变换。
2001年，Cohen和Matei提出了边缘自适应多尺度变换（Edge-Adapted Multiscale Transform）。
2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet变换中的Curvelet02。
2002年，Candès等人提出了第二代Curvelet变换。
2002年，Do和Vetterli提出了Contourlet变换。
2003年，Wakin等提出了Wedgeprint的图像稀疏表示方法。
2005年，Peyre和Mallat提出了第二代Bandelet变换。
2005年，Velisavljevic等基于整数格点理论提出了一种可分离多方向多尺度图像表示方法——Directionlets。
2005年，Candès提出了两种基于第二代Curvelet变换理论的快速离散实现方法2007年，Yue Lu和M.N. Do提出了多维方向滤波器组（N-dimensional Directional Filter Banks，NDFB）的Surfacelet变换。
2007年，Yue Lu和M.N. Do提出了多维方向滤波器组设计方法——NDFB。
采用一种简单、高效的树状结构，能够对任意维的信号进行方向分解。
第二篇：小波分析应用发展现状1小波分析在信号与图像处理上的应用电子信息技术是六大高新技术中重要的领域，它的重要方面是信号与图像处理．信号与图像处理的目的：准确地分析与诊断，编码压缩与量化。
快速传递与储存。
精确的重构(或恢复)．信号与图像处理可以统一地看作是信号处理(图像可以看作是二维信号1．对于信号与图像来说，由于要传递和储存，就需要快速传输．在同等通信容量下，如果信号与图像数据可以压缩后再传输．可使数据量变小，如用普通的电话线传输图像信息．这样我们就要寻找高压缩比的方法，且压缩后的信号与图像有合适的噪音比，在压缩传输后还要恢复原信号，且保持原图像特征不变．基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩．小波变换向量量化压缩等．1．1小波分析在常规滤波方面的应用在信号分析中。
当对信号进行采样后，就得到了在一个大的有限频带中的一个信号，对这个信号进行小波分析，就是把采到的信号分成两个信号。
高频部分和低频部分，再对低频信号分解．这样就完成了滤波和检测的工作．常用的几种滤波有低通滤波、高通滤波、带通滤波等．低通滤波要求保持原信号中某个特定的低频范围的信号，正交小波的Mallat算法和正交小波包的分解对低通滤波是行之有效的．高通滤波要求保留信号中的高频量。
去换特定的低频量，仍用正交小波包的分解、正交小波包的分解在频域方面表现，保留信号分解中对应于高频量的数据。
用零代替低频量所对应的数据．这样就方便地实现了高通滤波．带通滤波要求保留信号的某个特定频带，据正交小波(包)分析方法在频域方面的表现，可实现非常细致的、清晰的带通滤波，若干频段的信息混叠后传输，小波(包)分析方法可把它们有效地分离出来．1．2小波分析在消噪方面的应用由于小波和小波包分解可以把一个信号分解为不同的频段信号。
实际采集的型号中常含有白噪音，只有作消噪处理。
才能有效地表现原信号中的有用信息．第一种是强制消噪处理方法．该方法把小波分解结构中的高频系数全部变为0值．即把各个尺度或几个尺度的高频部分全部滤掉，然后再对信号进行重构处理。
重构后的信号也比较平滑，但容易丢失原信号中有用的高频分量．第二种是门限消噪处理方法，该方法要根据经验或某种依据设定门限值。
对信号小波分解中的最高频系数用门限值处理。
即大于门限值的部分保留。
低于门限值的系数变为0值，随着分解层次的增加，门限值可按倍减小．1．3小波分析在平稳信号消噪中的应用平稳信号通常表现为低频信号，但实际上采集的信号中往往混有噪音，希望消噪并清晰地表现周期信号，因为这种周期信号是低频的，相关过程能较好地表现周期性，这种特点在小波分解分量中有一定的表现．时频受限信号中含有白噪音也是常见的，对于这类时频受限信号的消噪问题，可将接受信号作细致的小波包分解，将频限之外的信号全部去掉．达到初步消噪的目的．保留的频限内的接受信号中的噪声信号．可用门限滤波法或相关消噪法．1．4小波分析在语言信号基音提取和压缩存储中的应用语言信号的基音提取是语音分析处理中的一个关键问题．可根据不同基音表现去识别不同语音的特征，可利用基音作语言合成，也可以利用基音表现对原语言信号作压缩储存处理．语音信号的频带不超过20千赫兹，它可以看作是一个非平稳信号，用正交小波包分解容易找到语音信号的各种特征，根据这些特征来确定提取基音的办法．2在工程技术等方面的应用2．1在医学上的应用小波分析在医学中的应用包括在B超、CT、核磁共振及心电图等方面．例如CT，在二维医学图像中，由拍照得到的图像重构原始器官，完全依赖于目标函数的线积分，但是在很多场合下．人们只关心图像中的局部区域，局部值并不由超平面上局部相应的线积分唯一确定。
但是该区域外的线积分对此影响不大．利用小波的时频局部性以及Randon变换的一些性质，可以确定抽取哪些局部信息使获得图像可靠地重构．给出达到一定逼近精确度的误差界限．2．2电子地图与卫星导航定位对于电子地图来说。
关键的技术是对交通地图要有大压缩比的压缩存储以及方便快捷的局部显示方法，对地图用小波分解的方法进行多层次分解．2．3其他应用小波分析还可应用于计算机视觉、计算机图形、曲线设计、远程宇宙的研究与生物医学等方面．如小波用于曲面表示．可使用双正交三次B样条小波张量积型的积，对于曲线的小波表示，它呈现出许多优点，例如，它的约束模型从属于一个二次能量泛函，消除了曲线的一些不必要的扰动．使用曲面与体的构造还可使用球面上的小波技术．第三篇：2012年优秀论文《地震记录的小波变换在沉积旋回分析中的应用探讨》主要内容：对地震记录进行小波变换，利用变换结果，建立变换结果与地层沉积旋回间存在的对应关系。
