苏科版八年级上册数学 三角形解答题单元练习(Word版 含答案)

苏科版八年级上册数学 三角形解答题单元练习（Word版 含答案）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；

②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；

（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．

【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）∠ABO＝60°或45°

【解析】

【分析】

（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；

②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；

（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..

【详解】

（1）如图1，①∵MN⊥PQ，

∴∠AOB＝90°，

∵∠ABO＝60°，

∴∠BAO＝30°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠ABE＝12∠ABO＝30°，∠BAE＝12∠BAO＝15°，

∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．

②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：

同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣12∠ABO﹣12∠BAO

＝180°﹣12（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣12×90°＝135°．

（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，

∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝12（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，

又∵∠BOA＝90°，

∴∠GAO＞90°，

①∵∠E＝13∠EAF＝30°，

∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，

∴∠OAE＝15°，

∠OAE＝12∠BAO＝12（90﹣∠ABO）

∴∠ABO＝60°．

②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°

∴∠E+∠F=90°

∴∠E=22.5°

∴∠EFA=90-22.5°=67.5°

∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，

∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°

∴∠ABO=90°-45°=45°

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.

2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）∠ABC＋∠ADC＝ °；

（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并

证明；

（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝14∠CDN，∠CBE＝14∠CBM），试求∠E的度数．

【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450

【解析】

【分析】

（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；

（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；

（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．

【详解】

（1）解：∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；

故答案为180°；

（2）解：延长DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，

又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，

∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG⊥BF，

即DE⊥BF；

（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，

∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，

∴∠CDE+∠CBE=14×180°=45°，

延长DC交BE于H，

由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，

∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，

∴∠E=90°-45°=45°

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．

3．已知：线段AB，以AB为公共边，在AB两侧分别作ABC和ABD，并使CD．点E在射线CA上．

（1）如图l，若ACBD，求证：ADBC∥；

（2）如图2，若BDBC，请探究DAE与C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在（2）的条件下，若BACBAD，过点D作DFBC∥交射线于点F，当8DFEDAE时，求BAD的度数．

【答案】（1）见详解；（2）DAE+2C=90°，理由见详解；（3）99°．

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；

（2）设CE与BD交点为G，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE，由BDBC，得∠CGB+∠C=90°，结合CD，即可得到结论；

（3）设∠DAE=x，则∠DFE=8x，由DFBC∥，DAE+2C=90°，得关于x的方程，求出x的值，进而求出∠C，∠ADB的度数，结合∠BAD=∠BAC，即可求解．

【详解】

（1）∵ACBD，

∴∠C+∠CBD=180°，

∵CD，

∴∠D+∠CBD=180°，

∴ADBC∥；

（2）DAE+2C=90°，理由如下：

设CE与BD交点为G，

∵∠CGB是∆ADG的外角，

∴∠CGB=∠D+∠DAE，

∵BDBC，

∴∠CBD=90°，

∴在∆BCG中，∠CGB+∠C=90°，

∴∠D+∠DAE+∠C=90°，

又∵CD，

∴DAE+2C=90°；

（3）设∠DAE=x，则∠DFE=8x，

∴∠AFD=180°-8x，

∵DFBC∥，

∴∠C=∠AFD=180°-8x，

又∵DAE+2C=90°，

∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°，

∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB，

又∵∠BAD=∠BAC，

∴∠ABC=∠ABD=12∠CBD=45°，

∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．

4．如图①所示，在三角形纸片ABC中，70C，65B，将纸片的一角折叠，使点A落在ABC内的点A处.

（1）若140，2________.

（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想1，2，A之间的数量关系，直接写出结论.

②当点A落在四边形BCDE外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，

请说明理由，若不成立，A，1，2之间又存在什么关系？请说明．

（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的123456和是________.

【答案】(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，已知70C，65B，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；

（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，由两个平角∠AEB和∠ADC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；

②利用两次外角定理得出结论；

（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解．

【详解】

解：（1）∵70C，65B，

∴∠A′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，

∴∠A′ED+∠A′DE =180°-∠A′=135°，

∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE）=360°-310°=50°；

（2）①122A,理由如下

由折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，

∵∠AEB+∠ADC=360°，

∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，

∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；

②221A，理由如下：

∵2是ADF的一个外角

∴2AAFD.

∵AFD是AEF△的一个外角

∴1AFDA

又∵AA