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2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）样卷（四）一、单选题1．设i 是虚数单位，则202011i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】根据复数的运算法则求解即可. 【详解】由于()()()21121112i i ii i i i ---===-++-，所以()()202020204505111i i i i ⨯-⎛⎫=-=-= ⎪+⎝⎭．故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，乘方运算，属于容易题.2．已知全集U =R ，集合(){}lg 11A x N x =∈-<，()(){}370B x x x =--≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}8,9,10B ．{}2,8,9,10C ．{}2,7,8,9,10D ．{}3,4,5,6,7【答案】B【解析】首先分别化简集合,A B ，再根据文氏图计算即可. 【详解】因为()110lg 1111110x x x x -<⎧-<⇔⇒<<⎨->⎩，所以(){}{}{}lg 111112,3,4,5,6,7,8,9,10A x N x x N x =∈-<=∈<<=，()(){}{}37037B x x x x x =--≥=≤≤，{7UB x x =>或}3x <.所以阴影部分表示的集合为{}2,8,9,10UA B ⋂=．故选：B 【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，同时考查了集合的运算和一元二次不等式的解法，属于简单题. 3．函数()()12sin 12xxx f x -=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】确定函数的奇偶性可排除B ，C ，再由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的函数值的正负可排除D ，从而得正确选项． 【详解】因为()()()122112sin sin sin 122112x x xx x xf x x x x f x ------=⋅-=-⋅=⋅=+++，所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B ，C ； 因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以可排除选项D ． 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式先把函数图象问题，解题可研究函数的性质，函数的值的大小，正负等等利用排除法得出正确选项． 4．若点()4,1P 在函数log ay x =的图象上，则πtan3a 的值为（ ）A ．0B ．3 C ．1D ．3【答案】D【解析】首先根据题意得到4a =，再利用三角函数的诱导公式计算即可. 【详解】因为点()4,1P 在函数log ay x =的图象上，所以1log 4a =，所以4a =， 所以4πtantan tan tan 33333a ππππ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，同时考查了对数的运算，属于简单题. 5．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14-B ．14C ．23-D ．23【答案】A 【解析】【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.6．中国古代数学名著《九章算术》卷“商功”篇章中有这样的问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？”（注：一丈等于十尺）.若此方锥的三视图如图所示（其中俯视图为正方形），则方锥的体积为（单位：立方尺）A ．7047B ．21141C ．7569D ．22707【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的底面边长为27尺，高为29尺，再由棱锥体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的底面边长为27尺，高为29尺， ∴该四棱锥的体积127272970473V =⨯⨯⨯=立方尺． 故选A ． 【点睛】本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7．若曲线()3ln 1y x =+在1x =处的切线斜率为a ，则6213x ax ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．4- B ．4C ．60D ．60-【答案】C【解析】先由1x a y =='|，确定a 的取值，然后利用二项展开式的通项公式即可求得本题答案. 【详解】由题，得31y x '=+，则32a =， 所以6226(123))3(3x x ax x--=，则其二项展开式的通项公式：6663166222(3)()(3)()33rrr r rr r r T C x C x x ---+=-=- ， 令630r -=，解得2r ，所以展开式中的常数项为24262(3)()603C -=.故选：C 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力. 8．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则1417a a +的值为（ ） A ．56 B ．52 C ．28 D ．26【答案】D【解析】根据题意设出等差数列的公差d ，然后利用前30项和列方程，解方程求得d 的值，由此求得1417a a +的值. 【详解】等差数列的首项15a =，设公差为d ，故3013029303902S a d ⨯=+=，解得1629d =，故1417122926a a a d +=+=.故选D. 【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查中国古代数学文化，属于基础题. 9．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A ，B 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 等于（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D 或【答案】C【解析】根据向量运算得到OA OB ⊥，再利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】因为OA OB OA OB +=-，故222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅=+-⋅，所以OA OB ⊥，所以由题意可得圆心到直线的距离d ==2a =±．故选：C. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10．已知()3cos ,2sin a x x =，()2cos ,cos b x x =-，函数()3f x a b =⋅-，下面四个结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线π6x =对称 C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移π6个单位得到的 D ．函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数 【答案】D【解析】由题意结合平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换可得()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；利用2T πω=即可判断A ；由π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可判断B ；由三角函数图象平移的规律可判断C ；由诱导公式可判断D ；即可得解. 【详解】由题意()232sin cos f x a b x x x =⋅-=-π2sin 22cos 26x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，对于A ，函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误； 对于B ，ππ2cos 266π06f ⎛⎫⨯+ ⎛⎫=⎝⎝⎭⎪⎭=⎪，故B 错误； 对于C ，由2cos2y x =的图象向左平移π6个单位得到函数π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象，故C 错误；对于D ，因为ππππ2cos 22cos 22sin 26662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换的应用，考查了三角函数图象的变换及三角函数图象与性质的应用，属于中档题.11．下图为国家统计局网站发布的《2018年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格月度涨跌幅度的折线图（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法正确的是（ ）①2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9% ②2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1% ③2018年2月CPI 环比上涨0.6%，同比上涨1.4% ④2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大1.9个百分点 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④．【答案】A【解析】对照表中数据逐项检验分析即可得出答案. 【详解】对于①. 根据图表中的数据可得：2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%，正确.对于②. 根据图表中的数据可得: 2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%，正确. 对于③. 根据图表中的数据可得: 2018年2月CPI 环比上涨1.2%，同比上涨2.9%，不正确.对于④. 根据图表中的数据可得: 2018年6月CPI 同比上涨1.9%，以与上一年度的6月对比，而不是跟前一个月对比，所以不正确. 故选：A 【点睛】本题考查折线图，准确识图读图理解题意是关键，是基础题.12．若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点.设函数()(1)x g x e e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数），定义在R 上的连续函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <.若存在01()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C ．⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】 ∵2()()f x f x x -+= ∴令21()()2F x f x x =-， ∴221()22)1(f f x x x x =---+, ∴()()F x F x =--，即()F x 为奇函数，∵()()F x f x x '='-，且当0x ≤时，()f x x '<， ∴()0F x '<对0x <恒成立，∵()F x 为奇函数，∴()F x 在R 上单调递减， ∵1()(1)2f x f x x +≥-+， ∴22111()(1)222f x x f x x x +-≥-+-， 即()(1)F x F x ≥-，11,2x x x ≤-≤012x ∴≤，∵0x 为函数()g x 的一个不动点，∴00()g x x =，即()0x h x e a =--=在1(,]2-∞有解．∵()0x h x e '=-≤，∴()h x 在R 上单调递减．∴min 1()02h x h a ⎛⎫==≤ ⎪⎝⎭即可，∴a ≥． 故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过抛物线28x y =的焦点和双曲线22116x y -=的顶点，则该椭圆的离心率等于______．【答案】2【解析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的定点坐标，则可求出椭圆的,,a b c ，进而可得离心率. 【详解】抛物线28x y =的焦点坐标为()0,2，双曲线22116x y -=的顶点坐标为()4,0，()4,0-，由题意，可知椭圆的焦点在x 轴上，设为22221(0)x ya b a b+=>>，则4a =，2b =，故c =，所以其离心率2c e a ==.【点睛】本题考查圆锥曲线的性质及运算，是基础题.14．正三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，16AA =，若112C F FC =，12B E EB =，则异面直线1A F ，AE 所成角的正弦值为______．【答案】265【解析】首先将原三棱柱补形构造直四棱柱1111ABCD A B C D -，取12D M MD =，连接MF ，1A M ，由已知可得AE 平行于MF ，且AE MF =，从而得到1A FM ∠就是异面直线1A F 与AE 所成的角或其补角．再代入余弦定理公式计算即可得到答案.【详解】在原三棱柱基础上，补形构造直四棱柱1111ABCD A B C D -，如图，使得底面ABCD 为菱形，取12D M MD =，连接MF ，1A M ，由已知可得AE 平行于MF ，且AE MF =，所以1A FM ∠就是异面直线1A F 与AE 所成的角或其补角． 因为2214225A F MF ==+=2214442A M =+=所以由余弦定理得22211111cos 25A F MF A M A FM A F MF +-∠==⋅， 所以异面直线1A F 与AE 26． 26【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，平移找角为解题的关键，属于中档题.15．若函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为______．【答案】20,π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+存在唯一的零点等价于函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的图像只有一个交点．∵()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin πx a x ϕ=与函数()11x x g x e e --=-的图像的唯一交点为()1,0．对()g x 求导，可得()g x 的单调性及斜率范围，又()x ϕ是最小正周期为2．最大值为a 的正弦型函数，画出草图，比较()g x 与()x ϕ在x =1处斜率即可. 【详解】函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点等价于函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x e e --=-的图像只有一个交点．∵()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x e e --=-的图像的唯一交点为()1,0．又∵()11xx g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，∴()11x x g x ee --'=--在R 上恒小于零，即()11x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数．又∵()1112xxg x ee --'=--≤-，当且仅当111x xe e --=，即1x =时等号成立，且()()sin π0x a x a ϕ=>是最小正周期为2．最大值为a 的正弦型函数，∴可得函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的大致图像如图所示．∴要使函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的图像只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''≥．∵()πcos π1πa a ϕ'==-，()21g '=-， ∴π2a -≥-，解得2πa ≤．对∵0a >，∴实数a 的取值范围为20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故答案为：20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题由函数的零点入手，转化成求两个已知函数交点的问题，并利用导函数判断函数的单调性，结合题意，画出()g x 与()x ϕ的图像，并根据斜率的大小，进行求解，考查整理化简，计算求值，分析作图的能力，属难题.三、双空题16．某农户建造一个室内面积为150m 2的矩形蔬菜温室．如图，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留2m 宽的空地，中间区域为菜地.当温室的长为______m 时，菜地的面积最大，最大面积是______m 2．【答案】15 96【解析】设温室的左侧边长为()x m ，则温室的后侧边长为150()m x，所以菜地的面积()()150300231563250y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式，即可求得最大值. 【详解】设温室的左侧边长为()x m ，菜地的面积为2()y m ，则温室的后侧边长为150()m x， 所以()()150300231563250y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为3003003360x x x x+≥⋅=，当且仅当3003x x =，即10x =时取等号， 所以1566096y ≤-=，即y 的最大值为96，此时温室的长为()15015m x=． 所以当温室的长为15()m 时，菜地的面积最大，最大面积为296()m ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，考查学生的分析问题能力和转化求解能力.四、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，对任意的自然数2n ≥，n a 是34n S -与1322n S --的等差中项． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ．【答案】（1）()()111122n n n a n -⎧=⎪=⎨⎛⎫--≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）1411332n n S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.【解析】（1）已知条件用等式表示为当2n ≥时，()1323422n n n a S S -⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，用1n +替换n 得1132(34)22n n n a S S ++⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，两式相减可得{}n a 从第二项开始成等比数列，求出通项公式，1a 不适合此式，用分段函数形式表示数列的通项公式； （2）2n ≥时，分组求和12()n n S a a a =+++，然后验证1S 也适合上式，即得n S 表达式． 【详解】解：（1）由已知，当2n ≥时，()1323422n n n a S S -⎛⎫=-+-⎪⎝⎭①， 所以1132(34)22n n n a S S ++⎛⎫=-+-⎪⎝⎭②， 由②－①得1132232n n n n a a a a ++-=-，∴112n n a a +=-． ∴2a ，3a ，…，n a 成等比数列，其中22123323423(1)4222a S a a ⎛⎫=-+-=+-+- ⎪⎝⎭，∴212a =， ∴当2n ≥时，21111222n n n a --⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又11a =不符合此式，∴()()111122n n n a n -⎧=⎪=⎨⎛⎫--≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）当2n ≥时，()11212111221112n n n nS aa a a a a -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++=++⋅⋅⋅+=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (1)1114111132332n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=--⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 当1n =时，014111332S ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭也符合上述公式．∴1411332n n S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查由n S 与n a 的关系求数列通项公式，考查分组求和法．已知n S 与n a 的关系求数列通项公式一般都是利用1n n n a S S -=-，化已知等式为{}n a 的递推式，得出数列的性质，从而求得其通项公式．但此种方法要注意1a 1S =与此法不相同，故需验证1a ． 18．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ．（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为()90θθ≤︒，试求cos θ的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）71cos 2θ⎤∈⎥⎣⎦. 【解析】（1）在底面ABCD 中证明BC AC ⊥即可证得线面垂直；（2）分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，然后写出各点坐标，求出平面MAB 和平面FCB 的法向量，由法向量夹角与二面角的关系求得cos θ（为λ的函数），由函数知识可得最大值和最小值，即得取值范围．【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒， ∴2AB =．∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， ∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥．∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE ．（2）解：分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，令(03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，()3,0,0A ，()0,1,0B ，(),0,1M λ，∴()3,1,0AB =-，(),1,1BM λ=-．设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由110,0,n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30,0.x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取1x =，则()11,3,3n λ=． ∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量，∴()()122212cos 133134n n n n θλλ⋅===⋅++-⨯-+．∵03λ≤≤∴当0λ=时，cos θ7； 当3λ=cos θ有最大值12． ∴71cos 72θ⎤∈⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查证明线面垂直，考查二面角问题，求二面角时，可建立空间直角坐标系，得出两平面的法向量，由法向量夹角求得二面角．19．在一次数学考试中，从甲，乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，他们成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．（1）从两班10名同学中各抽取一人，在有人及格的情况下，求乙班同学不及格的概率； （2）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）27；（2）分布列见解析，75.【解析】（1）从茎叶图知甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，有人及格”记作A ，事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，求出()P A 和()P A B ⋂可由条件概率公式可得结论；（2）X 的取值为0，1，2，3，分别计算概率得概率分布列，再由公式计算期望． 【详解】解：（1）甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，有人及格”记作A ， 事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，则()()()2021003071100P A B P B A P A ⋂===-． （2）X 的取值为0，1，2，3，()12651210102015C C P X C C ==⋅=；()111216555412121010101019145C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=；()121116555412121010101016245C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=；()21541210104345C C P X C C ==⋅=．所以X 的分布列为所以()1932127455E X ++==．【点睛】本题考查条件概率，考查随机变量的概率分布列和数学期望．考查学生的数据处理能力，运算求解能力，本题属于中档题．20．过x 轴正半轴上的动点P 作曲线C ：21y x =+的切线，切点为A ，B ，线段AB 的中点为Q ，设曲线C 与y 轴的交点为D ． （1）求ADB ∠的大小及Q 的轨迹方程；（2）当动点Q 到直线y x =的距离最小时，求PAB △的面积．【答案】（1）90ADB ∠=︒；()2220y x x =+>；（2. 【解析】（1）设过点()(),00P p p >，斜率为k 的直线l 的方程为()y k x p =-，代入21y x =+得210x kx kp -++=，由相切得2440k kp --=，同时得到切点坐标为2(,1)24k k +，设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则可得1212,k k k k +，同时得出切点,A B 的坐标，利用1212,k k k k +计算DA DB ⋅可得90ADB ∠=︒．再由,A B 两点坐标得中点Q 坐标，消去参数可得Q 点轨迹方程；（2）由点到直线距离公式求得Q 到直线y x =的距离后可得其最小值及此时Q 点坐标，P 点坐标，从而得直线AB 方程，代入已知抛物线方程应用韦达定理可求得弦长AB ，再求出P 到直线AB 的距离后可得三角形面积． 【详解】解：（1）设过点()(),00P p p >，斜率为k 的直线l 的方程为()y k x p =-，代入21y x =+得210x kx kp -++=，当直线和抛物线相切时，有0∆=，即2440k kp --=，此时切点坐标为2,124k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则124k k p +=，124k k ⋅=-，相应点的坐标为211,124k k A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,124k k B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()0,1D ， 所以222211221212,,024242244k k k k k k k k DA DB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以90ADB ∠=︒． 中点Q 的横坐标为12222k k x p+==，纵坐标为()22122221212212112441122288k k k k k k k k y p ++++-+==+=+=+， 所以Q 的轨迹方程为()2220y x x =+>．（2）动点Q 到直线y x =的距离为d ==≥，当且仅当14x =时取等号，此时14p =，1(,0)4P ，∴由（1）得AB 中点Q 坐标是117(,)48，设1122(,),(,)A x y B x y ，则由21122211y x y x ⎧=+⎨=+⎩得121212()()y y x x x x -=-+，所以12121211242AB y y k x x x x -==+=⨯=-，所以直线AB 的方程为1711()824y x -=-，即122y x =+，代入曲线C 的方程得21102x x --=，则1212x x +=，121x x =-．AB ===， 点1,04P ⎛⎫⎪⎝⎭到直线AB=，所以PAB △的面积为12432=． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查切点弦中点轨迹，考查直线与抛物线相交中三角形面积问题．采取设而不求的思想结合韦达定理解决交点坐标问题．角的确定可通过向量的数量积公式求解．21．已知函数()222ln f x a x x =-（常数0a >）．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 在区间()21,e上零点的个数（e 为自然对数的底数）． 【答案】（1）10y +=；（2）答案见解析.【解析】（1）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果；（2）先求函数最小值，再根据最小值分类讨论，结合零点存在定理确定零点个数 【详解】（1）当1a =时，()22ln f x x x =-，∴()22f x x x'=-， ∴()10f '=． 又∵()11f =-，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为10y +=．（2）∵()222ln f x a x x =-，∴()()()22222222x a x a a a x f x x x x x--+-'=-==． ∵0x >，0a >，∴当0x a <<时，()0f x '>，当x a >时，()0f x '<， ∴()f x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数．∴()()()2max 2ln 10f x f a a a ==-=．讨论函数()f x 的零点情况如下：①当()22ln 10aa -<，即0a <=()f x 无零点，在()21,e 上也无零点．②当()22ln 10aa =-，即a =()f x 在()0,∞+内有唯一零点a ，而21a e <=， ∴()f x 在()21,e 内有一个零点．③当()22ln 10aa >-，即a >由于()110f =-<，()()22ln 10f a a a =->，()()()222424222ln 422f e a e e a e a e a e =-=-=-+，当220a e-<22e a <<时，2212e a e <<<<，()20f e <．由单调性可知，函数()f x 在()1,a 内有唯一零点1x ，在()2,a e 内有唯一零点2x ，则()f x 在()21,e 内有两个零点；当220a e-≥，即22e a ≥>()20f e ≥，而且221202f a e a e =⋅-=->，()110f =-<，由单调性可知()f x 在(内有唯一的一个零点，在)2e 内没有零点，所以()f x 在()21,e内只有一个零点．综上所述，当0a <<()f x 在区间()21,e 上无零点；当a =22e a ≥时，函数()f x 在区间()21,e 上有一个零点；22e a <<时，函数()f x 在区间()21,e 上有两个零点．【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中于档题目.22．在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 经过坐标原点O ，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求l 与1C 的极坐标方程；（2）设l 与1C 的交点为O 、A ，l 与2C 的交点为O 、B ，且AB =，求α值.【答案】（1）l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）34πα= 【解析】（1）倾斜角为α的直线l 经过坐标原点O ，可以直接写出()R θαρ=∈； 利用22sin cos 1φφ+=，把曲线1C 的参数方程化为普通方程，然后再利用 222sin ,cos ,y x x y ρθρθρ===+，把普通方程化成极坐标方程；（2）设()1,A ρα，()2,B ρα，则14cos ρα=，24sin ρα=，已知AB =以有12ρρ-=运用二角差的正弦公式，可以得到sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，根据倾斜角的范围，可以求出α值.【详解】解：（1）因为l 经过坐标原点，倾斜角为α，故l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 1C 的普通方程为()2224x y -+=，可得1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）设()1,A ρα，()2,B ρα，则14cos ρα=，24sin ρα=.所以124cos sin AB ρραα=-=- 4πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 由题设sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，因为0απ<<，所以34πα=. 【点睛】 本题考查了已知曲线的参数方程化成极坐标方程.重点考查了极坐标下求两点的距离. 23．已知()34f x x x =-+-．（1）如果关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，求参数a 的取值范围；（2）解不等式：()277f x x x ≥+-．【答案】（1）1a >；（2）(][),07,-∞⋃+∞.【解析】（1）作出函数()f x 的图象得其值域，从而得a 的范围；（2）作出函数()f x 和2()77g x x x =+-的图象，求出两图象交点坐标，后由图象可得不等式的解．【详解】解：（1）函数()34f x x x =-+-的图象如图①所示，所以()34f x x x =-+-的值域为[)1,+∞．所以关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集的充要条件为1a >．（2）画出两个函数的图象，如图②所示．由方程22777x x x -=+-，（4x >），解得7x =(2x =-舍去)．由方程27277x x x -=+-，（3x <），解得0x =(9x =舍去)．()277f x x x ≥+-的解集为(][),07,-∞⋃+∞．【点睛】本题考查绝对值不等式，解题方法作出函数图象，通过图象得出参数范围，得出不等式的解．。
绝密★启用前|学科网试题命制中心2020年高考临考押题卷（四）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位，15zi i =+，则复数z 的虚部为( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．已知集合{}43A x x =-<-≤，()(){}250B x x x =-+<，则A B =I （ ） A ．()5,4-B ．()3,2-C ．()2,4D ．[)3,2-3．某部门将4名员工安排在三个不同的岗位，每名员工一个岗位，每个岗位至少安排一名员工，且甲乙两人不安排在同一岗位，则不同的安排方法共有（ ） A ．66种B ．36种C ．30种D ．24种4．若a r =2，b r =2，且（a b -v r ）a ⊥r ，则a r 与b v 的夹角是A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 5．将函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增 B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减 C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 6．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A ．116B ．164C ．2 D ．2 7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．10．在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,10]C ．(2,4]D ．(4,)+∞11．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 3的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．1412．“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．120,4⎧⎪⎡⎫⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭U B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．120,4⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=_____________.14．一个质量均匀的正四面体的表面上分别标有1，2，3，4，设函数22()2f x x bx c =---，若b ，c 是先后抛掷该正四面体两次得到的朝下面上的数字，则x ∀∈R ，()0f x <恒成立的概率为__________. 15．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点，Q 是线段PF 上的点，且2PQ QF =u u u r u u u r，则直线OQ 的斜率的最大值为______.16．母线长为233的圆锥内有一球O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入__________个．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 的前n 项和()*n S n N∈满足21nn Sa =-，数列{}nb 满足22log n n b a =+．(Ⅰ)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)令nn nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围； (Ⅲ)数列{}n a 中是否存在,,(m n k a a a m n k <<，且 *,,)m n k N ∈使m a ，n a ，k a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=︒，2AB AC PA ===.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）过AC 的平面交PD 于点M ，若平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分，求二面角M PC B --的余弦值.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，点(0,1)M 在椭圆E 上，过点(2,0)N 作斜率为22的直线恰好与椭圆E 有且仅有一个公共点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点P 为椭圆E 的长轴上的一个动点，过点P 作斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，是否存在常数k ，使2221||,,||2a PA PB +成等差数列？若存在，求出k 的值：若不存在，请说明理由.20．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x 元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？ 附参考数据：6.92 2.63≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.21．已知函数．Ⅰ若函数的最大值为3，求实数的值； Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围；Ⅲ若，是函数的两个零点，且，求证：．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为5)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．23．已知函数()|||2|f x x a x b =-++，,a b ∈R . （1）若1a =，1b =-，求不等式()5f x ≤的解集； （2）若0ab >，且()f x 的最小值为2，求21a b+的最小值.。
2020届全国天一大联考新高考押题模拟考试（四）理科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高二考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合{}|3,xA y y x R ==∈，{}|B x y x R ==∈，则A B =I （）A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】集合A 表示函数3,xy x R =∈的值域，集合B 表示函数y =法，求出集合A 、B ，再求A B I 即可.【详解】解：因为3,xy x R =∈，则0y >，即()0,A =+∞，又y =x ∈R ,由120x -≥，解得12x ≤，即1,2B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦，即A B =I 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题. 2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ） A. a b c << B. b a c << C. c b a << D. b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可.【详解】12ln ,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.4.给出下列两个命题：命题p ：“0a =，0b ≠”是“函数2y x ax b =++为偶函数”的必要不充分条件；命题q ：函数1ln 1xy x-=+是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧C. p q ∨D. p q ⌝∨【答案】C 【解析】 【分析】先判断出简单命题p 、q 的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假. 【详解】对于命题p ，若函数2y x ax b =++为偶函数，则其对称轴为02ax =-=，得0a =， 则“0a =，0b ≠”是“函数2y x ax b =++为偶函数”的充分不必要条件，命题p 为假命题； 对于命题q ，令101x x->+，即101x x -<+，得11x -<<，则函数1ln 1xy x -=+的定义域为()1,1-， 关于原点对称，且()()11111ln ln ln ln 1111x x x x x x x x ----++⎛⎫===- ⎪+-+--⎝⎭， 所以，函数1ln1xy x-=+为奇函数，命题q 为真命题， 因此，p q ∧、p q ⌝∧、p q ⌝∨均为假命题，p q ∨为真命题，故选C.【点睛】本题考查复合命题真假性的判断，解题的关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前5项之和为（ ） A. 11 B. 16C. 10D. 15【答案】C 【解析】【分析】根据21n n S a =-，再写出一个等式1121n n S a ++=-，两式相减并化简，由此证明{}n a 是等比数列并求解出{}n a 的通项公式，然后求解出{}n b 的通项公式，根据通项公式即可求解前5项之和.【详解】11121,1,21n n n n S a a S a ++=-∴==-Q ①，21n n S a =-②， 由①和②得12n n a a +=，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，1123452,1,0123410n n n a b n b b b b b -∴=∴=-∴++++=++++=.故选C.【点睛】已知n a 与n S 的关系式，可通过将n 替换为1n +得到新的关系式，再根据()12n n n a S S n -=-≥得到{}n a 的递推公式，从而求解出{}n a 的通项公式.6.已知向量a r ，b r 满足||a =r||1b =r ，且||b a -=r r a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=r r ，再由向量夹角公式，即可得出结果.【详解】因为向量a r ，b r 满足||a =r||1b =r ，且||b a -=r r 所以2||2-=r r b a ，即2222+-⋅=r r r r b a a b ，因此12a b ⋅=r r ，所以cos ,4⋅<>===r rr r r r a b a b a b .故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.7.已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A. ()()=44xxf x x -+ B. ()()244log x xf x x -=-C. ()2()44log ||x xf x x -=+D. ()12()44logx xf x x -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据图像得到函数()f x 为偶函数，而且1x =时，()0f x =，通过排除法排除掉A 、B 选项，然后通过判断()0,1x ∈时，()f x 的值，排除D 选项，从而得到答案.【详解】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项．【点睛】本题考查函数图像的性质，函数的奇偶性，零点和值域，属于简单题.8.若函数1sin 2ω=y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. [)4,0- B. [)2,0-C. [)[]4,04,6-⋃D. [4,6]【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，得到0ω<，函数()1sin 2ω=-y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为函数1sin 2ω=y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当0ω≥时，显然不可能，所以0ω<， 因此，函数()1sin 2ω=-y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以821220ππωππωω⎧⎛⎫-⋅-≥- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-⋅≤⎨⎪<⎪⎪⎩，解得：40ω-≤<. 故选：A【点睛】本题主要考查由正弦型函数的单调性求参数，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.9.已知M 是△ABC内的一点，且AB AC ⋅=u u u v u u u v30BAC ∠=︒，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为1，x ，y ，则4y xxy+的最小值是（ ） A. 2 B. 8C. 6D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由AB AC ⋅=u u u v u u u v30BAC ∠=︒，可知8bc =，进而求出1sin3022ABC S bc ∆=︒=，从而1x y +=，而41414y x xy x y x y ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭()45y x x y x y ⨯+=++，利用基本不等式求最小值即可．【详解】∵AB AC ⋅=u u u v u u u v30BAC ∠=︒，∴cos30bc ︒=，化为8bc =． ∴111sin3082222ABC S bc ∆=︒=⨯⨯=． ∴12x y ++=．则1x y +=，而41414y x xy x y x y ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭ ()455y x x y x y ⨯+=++≥+=5+4=9， 当且仅当4y xx y=，即2y x =时取等号， 故4y xxy+的最小值是9，故选D ． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了向量的数量积，三角形的面积公式，属于中档题．10.已知函数22()(ln )x e f x k x x x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( ) A. (,]e -∞ B. []0,eC. (),e -∞D. )0,e ⎡⎣【答案】A 【解析】 分析：由()f x 的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根.详解：Q 函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的定义域是()0,∞+，()()()24232221xx x e kx x e x xe f x k x xx x ---⎛⎫∴=--+= ⎪⎝⎭'， Q 2x =是函数()f x 的唯一一个极值点，∴2x =是导函数()'0f x =的唯一一个极值点，0x e kx ∴-=在()0,∞+无变号零点，令()xg x e kx =-，()'x g x e k =-，①0k ≤时，()'0g x >恒成立，()g x 在()0,∞+时单调递增；()g x 的最小值为()01g =，()0g x =无解；②0k >时，()'0g x =有解为：ln x k =，0ln x k <<，()'0g x <，∴()g x 在()0,ln k 单调递减， ln x k >时，()'0g x >，∴()g x 在()ln ,k +∞单调递增，∴()g x 的最小值为()ln ln g k k k k =-， ∴ln 0k k k ->∴k e <，由xy e =和y ex =图象，它们切于()1,e ，综上所述，k e ≤. 故选：A.点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论.11.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点A 和B 分别为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ︒∠=，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ）A.B. 1C.3D.3【答案】D 【解析】 【分析】先分别过点A 、B 作抛物线准线的垂线AQ 、BP ，垂直分别为Q 、P ，连接AF 、BF ，设=AF a 、=BF b ，根据抛物线的定义，得到==AQ AF a 、==BP BF b ，再由余弦定理，以及基本不等式，即可求出结果.【详解】如图，分别过点A 、B 作抛物线准线的垂线AQ 、BP ，垂直分别为Q 、P ，连接AF 、BF ，设=AF a 、=BF b ，由抛物线的定义可得：==AQ AF a 、==BP BF b ，在梯形ABPQ中，2=+=+MN BP AQ a b，由余弦定理可得：222222cos120=+-=++oAB AF BF AF BF a b ab2222()3()()()44++=+-≥+-=a b a ba b ab a b，所以()22232234++=≤=+++a b a bMNAB a b aba b.故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的应用，熟记抛物线的性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.12.已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，90ABC∠=︒，点B在AC上的射影为D，则三棱锥P ABD-体积的最大值为（）A. 334B. 3C. 38D. 338【答案】D【解析】【分析】先画出图形（见解析），求出三棱锥的高，由题意得出三棱锥P ABD-体积最大时ABDn面积最大，进而求出ABDn的面积表达式，利用函数知识求出面积最大值，从而求出三棱锥P ABD-体积最大值．【详解】如下图，由题意，2PA PB PC===，90ABC∠=︒，取AC的中点为G，则G为三角形ABC的外心，且为P在平面ABC上的射影，所以球心在PG的延长线上，设PG h =，则2OG h =-，所以2222OB OG PB PG -=-，即22424h h --=-，所以1h =. 故G CG 3A ==，过B 作BD AC ⊥于D ，设AD x =(023x <<)，则23CD x =-,设(03)BD m m =<≤，则~ABD BCD n n ，故23m xx -=， 所以()223m x x =-，则()23m x x =-，所以ABD n 的面积()3112322S xm x x ==-，令()()323f x x x =-，则()2'634f x x x =-（），因为20x >，所以当3032x <<时，()'0f x >，即()f x 此时单调递增；当33232x ≤<时，()'0f x ≤，此时()f x 单调递减．所以当332x =时，()f x 取到最大值为24316，即ABD n 的面积最大值为1243932168=． 当ABD n 的面积最大时，三棱锥P ABD -体积取得最大值为1933338⨯=. 故选D.【点睛】本题主要考查三棱锥的体积公式、三角形的面积公式、导数等知识，是一道综合性很强的题目．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数x ，y 满足2222x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z x y=+取值范围为________.【答案】[]0,6【解析】 【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数z x y =+为y x z =-+，得z 表示直线y x z =-+在y 轴截距，结合图像，即可求出结果.【详解】根据约束条件2222x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩作出可行域如下，由z x y =+得y x z =-+，所以z 表示直线y x z =-+在y 轴截距， 由图像可得，当直线y x z =-+过点A 时，在y 轴截距最小； 当y x z =-+过点B 时，在y 轴截距最大； 由222x y y +=⎧⎨=⎩得22x y =-⎧⎨=⎩，即(2,2)A -；由22x y y -=⎧⎨=⎩得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)B ；因此min 220=-+=z ，max 426=+=z ， 即z x y =+的取值范围为[]0,6； 故答案为：[]0,6【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，以及图像求解即可，属于常考题型.14.观察下列各式:2222221311511171,1,1222332344,+<++<+++<…根据上述规律,则第n 个不等式应该为_______ 【答案】222111211...23(1)1n n n +++++<++ 【解析】 【分析】根据规律，不等式的左边是1n +个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论.【详解】根据规律，不等式的左边是1n +个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以第n 个不等式应该是222111211...23(1)1n n n +++++<++， 故答案为222111211...23(1)1n n n +++++<++. 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中得出不等式的左边是1n +个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B --Q ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c Q 成等比数列，2b ac ∴=， 由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=-()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD o ∆=⋅()()1222a a a =-=- ()224a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立．即ACD ∆【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知在递增的等差数列{}1319,2,n a a a a a =中是和的等比中项 (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若()11n n b n a =+，n S 为数列{}n b 的前n项和，求nS ． 【答案】 (I)2n a n = (II)n S = ()21nn +【解析】 【分析】(I)根据已知求出{}2n d a =，再写出数列的通项公式. (II) 由题意可知()11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为d ,因为2319a a a =，所以()()222228d d +=+，解得()2d 0d ==或舍，所以2n a n =. (II)由题意可知：()11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以n S =()1111111...2223121n n n n ⎛⎫-+-++-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a c Cb B-=. （1）求角B 的大小；（22sin cos 222C A A-的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角可得2sin sin cos sin cos A C CB B-=，再由两角和的正弦可得2sin cos sin A B A =，即得1cos 2B =，得解；（22sin cos 222C A A -=1cos 26C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再结合203C π<<求解即可. 【详解】解：（1）由2cos cos a c C b B -=得到2sin sin cos sin cos A C CB B -=， 即()2sin cos sin A B BC =+，即2sin cos sin A B A =，又∵A 为三角形内角，∴sin 0A ≠，所以1cos 2B =，从而3B π=. （2）()2313cos sin cos cos 1sin 22222C A A C A -=+- 3123cos sin 2232C C ⎛⎫=--+⎪⎝⎭π 31313cos sin cos 426C C C π⎛⎫=-+=++⎪⎝⎭， ∵203C π<<，∴5666C <+<πππ， ∴33cos 262C ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭π，所以31333cos 42624C π⎛⎫<++<⎪⎝⎭. 所以23cos sin cos 222C A A-的取值范围为333,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理、正弦与余弦的二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考查了运算能力，属中档题.19.已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .（1）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60o ，求二面角B AD C --的余弦值. 【答案】（1）详见解析（23【解析】 【分析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO P ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ；（2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =u r，平面ADB的法向量()n =r，再利用向量夹角公式求解即可.【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接EF ，OF ， ∵在DAC ∆中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC 得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴OF AB P ，且2AB OF =. 又DE AB ∥，2AB DE =，∴OF DE P ，且OF DE =. ∴四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO P ， ∴EF ⊥平面ABC .（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠=o .∴tan 60DO EF BF ===o(D .可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =u r，设平面ADB 的法向量(),,n x y z =r ，()2,4,0AB =-uu u r，(AD =-uuu r ，则240x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =()n =r ，∴cos ,m n m n m n⋅<>==u r ru r r u r r ，∴二面角B AD C --【点睛】本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想象能力，属中档题.20.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）14；（Ⅱ）X的分布列见解析，数学期望是34【解析】【分析】（Ⅰ）若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，根据二项分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4号容器的小球个数X的可能取值为0，1，2，3，算出对应事件概率，利用离散型随机变量分布列数学期望的公式可求得结果.【详解】解：（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件A，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率43411 ()24 P A C⎛⎫==⎪⎝⎭.（Ⅱ）落入4号容器的小球个数X 的可能取值为0，1，2，3，∴303127(0)C 1464P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，2131127(1)C 14464P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 223119(2)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)C 464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：∴27279130123646464644EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查二项分布及其数学期望的计算，较基础.21.设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.【答案】（1）AM 的方程为2y x =-+2y x =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为1x =，代入椭圆方程求得点A 的坐标为1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛-⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 【详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =.由已知可得，点A的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛ ⎝⎭. 所以AM的方程为2y x =-+2y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=o .当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<直线MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.22.已知函数2()(0)1xe f x a x ax =≥-+，（1）试讨论函数()f x 单调区间；（2）若不等式(x)x f ≥对于任意的[0,1]x a ∈+恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）[0,2)【解析】【详解】解: （1）：22/222222(12)((2)1)(1)((1))()(1)(1)(1)x x x e x ax x a e x a x a e x x a f x x ax x ax x ax -+-+-+++--+===-+-+-+ 当0a =时，函数定义域为R ，在R 上单调递增 当(0,2)a ∈时，2240,10a x ax ∆=-∴-+Q 恒成立，函数定义域为R ，又11,()a f x +>∴在(,1)-∞单调递增，(1,1)a +单调递减，(1,)a ++∞单调递增当2a =时，函数定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，/(3)(),()(1)x e x f x f x x -=∴-在(,1)-∞单调递增，(1,3)单调递减，(3,)+∞单调递增当(2,)a ∈+∞时，240,a ∆=->Q 设210x ax -+=的两个根为12,,x x 且12x x <，由韦达定理易知两根均为正根，且1201x x <<<，所以函数的定义域为12(,)(,)x x -∞+∞U ，又对称轴12a x a =<+，且22(1)(1)1201a a a a x a +-++=+>∴<+，()f x ∴在11(,),(,1)x x -∞单调递增，22(1,),(,1)x x a +单调递减，(1,)a ++∞单调递增（2）：由（1）可知当2a >时，12[,][0,1]x x x a ∈⊆+时，有()0f x <即(x)x f ≥不成立， 当0a =时，单调递增，所以(x)x f ≥在[0,1]x a ∈+上成立 当(0,2)a ∈时，，下面证明：1(1)12a e f a a a ++=≥++即证(1)0(1(1,3))x e x x x a -+≥=+∈ 令单调递增，使得在0(1,)x 上单调递减，在上单调递增，此时所以不等式(1)0(1(1,3))x e x x x a -+≥=+∈所以1(1)12a e f a a a ++=≥++ 又当2a =时，由函数定义域可知，显然不符合题意综上所述，当[0,2)a ∈时，不等式(x)x f ≥对于任意的[0,1]x a ∈+恒成立。
绝密 ★ 启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（四）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =I （ ） A ．{}0 B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则31322f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ） A ．33B ．3C ．3-D ．33-5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2ωϕπ>><A 在一个周期内的图象如图所示，则4π⎛⎫= ⎪⎝⎭f （ ）A ．22-B ．22C ．2D ．2-7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值（ ） A ．4B ．6C ．32+1D ．109．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（ ） A ．()(),10,3-∞-U B ．()()1,03,-+∞U C ．()(),11,3-∞-UD ．()()1,01,3-U10．已知,x y ∈R ，在平面直角坐标系xOy 中，点,)x y （为平面区域2040⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥y x y x 内任一点，则坐标原点与点,)x y （连线倾斜角小于3π的概率为（ ）A ．116B ．316C ．3316D ．333211．某几何体的直观图如图所示，AB 是O e 的直径，BC 垂直O e 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O e 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ uuu r的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．10,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．71,6⎛⎫⎪⎝⎭C ．710,62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．101,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
1 普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(四)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】()1i 2i z -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，213i z =+，13i 22z =+，13i 22z =-，z 的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D ．2．设集合{}2=36M x x <，{}2,4,6,8N =，则M N =（ ）A ．{}24，B ．{}46，C ．{}26，D ．{}246，，【答案】A【解析】()6,6M =-，故{}2,4MN =．3．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）2A ．12B ．13C ．41-πD ．42-π【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S π-π-===-ππ，故选C ． 4．将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．42种 B ．48种 C ．54种 D ．60种【答案】A【解析】最左端排甲时，有44A 24=种排法；最左端排乙时，有333A 18= 种排法，所以共有241842+=种排法，选A ．5．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）A ．323π B ．643π C ．32π D【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，3故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同． 由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形， 可得底面三角形外接圆的半径为2r =， 由棱柱高为4，可得22OO =，故外接球半径为R ==故外接球的体积为(3433V =π⨯=π．选D ． 6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知ABC △的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，则ABC △的欧拉线方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y -+= C ．230x y --= D ．230x y -+=【答案】D【解析】线段AB 的中点为M （1，2），AB =﹣2， ∴线段AB 的垂直平分线为：y ﹣2=12（﹣1），即﹣2y +3=0． ∵AC =BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上， 因此△ABC 的欧拉线的方程为：﹣2y +3=0．故选：D ． 7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．4097B ．9217C ．9729D ．204814【答案】B【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：0129122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯，则123102122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯，以上两式作差可得：10191012012222210210212S --=++++-⨯=-⨯-，则：109219217S =⨯+=．本题选择B 选项．8．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0A >，0ω>，2ϕπ<）的部分图象如图所示，若()32f α=，则sin 26απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．34-B ．18-C ．18D ．13【答案】B【解析】由函数图象可知：2A =，函数的最小正周期：724263T ππ⎛⎫=⨯-=π ⎪⎝⎭， 则21T ωπ==，当23x π=时，()212,2326x k k k ωϕϕϕπππ+=⨯+=π+∴=π-∈Z ，令0k =可得6ϕπ=-，函数的解析式：()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由()32f α=可得：332sin ,sin 6264ααππ⎛⎫⎛⎫-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则：2π91sin 2sin 2cos 212sin 1263236168ααααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．本题选择B 选项． 9．已知实数ln22a =，ln33b =，ln55c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b a c <<【答案】B5 【解析】∵ln3ln22ln33ln2ln9ln803266b a ---=-==>，∴b a >； 又ln2ln55ln22ln5ln32ln250251010a c ---=-==>，∴a c >， ∴b a c >>，即c a b <<．选B ．10．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1111,B C C D 的中点，点P 是底面1111A B C D 内一点，且AP ∥平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是（ ）A．2B ．1 CD．【答案】D【解析】由题意可得，点P 位于过点A 且与平面EFDB 平行的平面上， 如图所示，取1111,A D A B 的中点,G H ，连结,,,GH AH AG GE ，由正方形的性质可知：EF GH ∥，由ABEG 为平行四边形可知AG BE ∥， 由面面平行的判定定理可得：平面AGH ∥平面BEFD ， 据此可得，点P 位于直线GH 上，如图所示，由1AA ⊥平面1111A B C D 可得11AA A P ⊥， 则111tan AA APA A P∠=，当1tan APA ∠有最大值时，1A P 取得最小值， 即点P 是GH 的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时1tan APA ∠的值是．本题选择D 选项．611．已知双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12F F 、，过点2F 的直线交双曲线右支于A B、两点，若1ABF △是等腰三角形，120A ∠=︒．则1ABF △的周长为（ ） A．)21B．43+ C．43+ D．83+ 【答案】C【解析】双曲线的焦点在x 轴上，则1,22a a ==；设2AF m =，由双曲线的定义可知：1222AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：22BF =，又1212,4BF BF BF -=∴=，1ABF △由正弦定理有：11sin120sin30BF AF =︒︒，则11BF =，即：)42m +，解得：23m =-， 则△ABF 1的周长为：()42242433m ++=+⨯=+． 本题选择C 选项．12．已知函数()23e x f x -=，()1ln 42xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．1ln22+B ．ln2C ．12ln22+D ．2ln2【答案】A【解析】设()()f m g n t ==，()23e x f x -=，()1ln 42x g x =+，()231e ln 042m xt t -∴=+=>，1423ln e2t n m t -∴-==，，ln 32t m +∴=，142e t n -=，()14ln 32e 02t t n m t -+-=->， 令()()14ln 32e02t t h t t -+=->，则()()1412e 02t h t t t --'=>，()1'4212e 02t h t t-⎡⎤∴=+>⎣'⎦， ()h t ∴'在()0+∞，上为增函数，且104h ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，当14t >时，()0h t '>，当104t <<时，()0h t '<，7 ()h t ∴在104⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，∴当14t =时，()h t 取得最小值， 此时11441ln 31142eln 2422h -+⎛⎫=⨯-=+ ⎪⎝⎭，即n m -的最小值为1ln 22+，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量()12,a k =，()1,14b k =-，若a b ⊥，则实数k =__________． 【答案】6-【解析】由题意，()121140k k -+=，则6k =-．14． ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，)cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________． 【答案】75︒【解析】由)cos cos a C c A b -=)sin cos sin cos sin A C C A B -=，即()2A C -=，()1sin 2A C -=，1306A C -=π=︒，又180120A CB ︒-=︒+=，2150A ∴=︒，75A =︒，故答案为75︒．15．已知直线:l (0)x my n n =+>过点()A，若可行域0 0x my nx y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥的外接圆直径为20，则n =_____．【答案】【解析】由题意知可行域为图中△OAB 及其内部，解得(),0,B n AB =，又tan 3AOB ∠=，则∠AOB =30°，由正弦定理得2sin 20sin3010AB R AOB =∠=⨯︒=，解得n =816． “求方程34155x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的解”有如下解题思路：设()3455x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在R上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，不等式()()63222x x x x -+>+-的解集是__________． 【答案】()(),12,-∞-⋃+∞【解析】不等式6﹣（+2）＞（+2）3﹣2变形为，6+2＞（+2）3+（+2）；令u =2，v =+2，则6+2＞（+2）3+（+2）⇔u 3+u ＞v 3+v ； 考查函数f （）=3+，知f （）在R 上为增函数， ∴f （u ）＞f （v ），∴u ＞v ；不等式6+2＞（+2）3+（+2）可化为2＞+2，解得＜﹣1或＞2； ∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+，且2a ，5a ，10a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若151n n n b a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）25n a n =+；（2）214541449n n nT n +=+．【解析】（1）当2n ≥时，121n n n a S S n p -=-=-+，9 当1n =时，111a S p ==+，也满足21n a n p =-+，故21n a n p =-+， ∵2510,,a a a 成等比数列，∴()()()23199p p p ++=+， ∴6p =．∴25n a n =+． （2）由（1）可得()()155511111252722527n n n b a a n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪⋅++++⎝⎭，∴2511111151454279911252714491449n n n nT n n n n n n +⎛⎫=+-+-+⋯+-=+= ⎪++++⎝⎭． 18．某单位鼓励员工参加健身运动，推广了一款手机软件，记录每人每天走路消耗的卡路里；软件的测评人员从员工中随机地选取了40人（男女各20人），记录他们某一天消耗的卡路里，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路消耗卡路里超过180千卡被评测为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题中数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有99%以上把握认为“评定类型”与“性别”有关？（2）若测评人员以这40位员工每日走路所消耗的卡路里的频率分布估计其所有员工每日走路消耗卡路里的频率分布，现在测评人员从所有员工中任选2人，其中每日走路消耗卡路里不超过120千卡的有X 人，超过210千卡的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望． 附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．10参考数据：【答案】（1）有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关；（2）8．【解析】（1）由题意完成2×2列联表如下：则()224015155510>6.63520202020K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，故有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关．（2）任选一人，由题知：每日走路消耗卡路里不超过120千卡的概率为18，超过210千卡的概率为14， 所以ξ的分布列为：则数学期望为：()0126464648E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．如图，已知AB BC ⊥，BE CD ∥，90DCB ∠=︒，平面B C D E ⊥平面ABC ，2AB BC BE ===，4CD =，F 为AD 中点．（1）证明：EF ⊥平面ACD ；（2）求直线CE 与平面ABD 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）证明：设AC 中点为G ，连,FG BG ，∵F 为AD 中点，∴1,2FG DC FG DC =∥， 又由题意BE CD ∥，12BE CD = ∴EB FG ∥，且EB FG =， ∴四边形BEFG 为平等四边形，∴，EF BG ∥∵90DCB ∠=︒ ∴DC BC ⊥，又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE平面ABC BC =，DC ⊂平面BCDE ， ∴DC ⊥平面ABC ．又BG ⊂平面ABC ，∴DC BG ⊥，∴DC EF ⊥，又AB BC =，∴AC BG ⊥，∴AC EF ⊥，∵AC DC C =，AC ⊂平面ACD ，DC ⊂平面ACD ，∴EF ⊥平面ACD ．（2）以点B 为原点，以BA 方向为x 轴，以BC 方向为y 轴，以BE 方向为z 轴，建立如图所示坐标系()0,0,0B ，()0,0,2E ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,2,4D ，设平面ABD 的法向量(),,n x y z =，则0 0n BA n BD ⋅=⋅⎧⎨⎩=，∴20 240x y z =+=⎧⎨⎩取1z =，()021n =-，，，()0,2,2CE =-，∴cos ,CE nCE nCE n ⋅〈〉== =，设直线CE 与平面ABD 所成角为θ，则sin θ=，∴cos θ=，即直线CE 与平面ABD ．20．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点1,⎛ ⎝⎭，焦距为 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线():l y m m =+∈R 与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交y 轴交于点M，若tan AMB ∠=-m 的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1m =或1m =-． 【解析】（1）由题意得2c =c =又点1,⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以：22223141 3a b b a +==-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 整理得：42419120a a -+=，解得：24a =或234a =（舍），∴21b =， ∴椭圆的标准方程为：2214x y +=． （2）设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 中点坐标()()330,,0,C x y M y ，由22 1,4y m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩整理得：229440x m ++-=，∴()()2224944144160m m ∆=-⨯⨯-=->，∴29m <，又12x x +=212449m x x -⋅=，∴1232x x x +==∴339m y m =+=， ∴线段AB 的中点C坐标为9m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭又12AB x =-=∴AC =又09MC m y k -==，∴03m y =-， ∴点M 坐标为0,3m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴MC==， ∵CM 垂直平分AB ，∴2AMB AMC ∠=∠，又22tan tan 1tan AMC AMB AMC∠∠==--∠ 解得tanAMC ∠=或tan 2AMC ∠=-（舍）， ∴在Rt AMC ∆中，AC AMC MC ∠==2m =，=，∴2298m m -=， ∴1m =或1m =-．21．已知函数()()223e x f x x ax a =+--．（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值．（2）设0a <，当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（1）5a =-；（2）[)e 2,0--．【解析】（1）由()()223e x f x x ax a =+--可得：()()()()222e 23e 23e x x x f x x a x ax a x a x a ⎡⎤=+++--=++--⎣⎦'，∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴()20f '=，∴()25e 0a +=，计算得出5a =-．代入()()()()()31e 21e x x f x x a x x x =++=--'-，当12x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>，∴2x =是()f x 的极值点．∴5a =-．（2）当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =上方，等价于[]1,2x ∈，()2e f x ≤恒成立，即[]1,2x ∈，()2max e f x ≤恒成立，由（1）知，()()()31e x f x x a x =++-'，令()0f x '=，得13x a =--，21x =，①当5a -≤时，32a --≥，∴()f x 在[]1,2x ∈单调减，()()()2max 12e e f x f a ==--≤，e 2a --≥与5a -≤矛盾，舍去．②当54a -<<-时，132a <--<，()f x 在()1,3x a ∈--上单调递减，在()3,2x a ∈--上单调递增，∴()max f x 在()1f 或()2f 处取到，()()12e f a =--，()22e f =，∴只要()()212e e f a =--≤，计算得出e 24a --<-≤．③当40a -<≤时，31a --≤，()f x 在[]1,2x ∈上单调增，()()2max 2e f x f ==，符合题意，∴实数a 的取值范围是[)e 2,0--．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为12 (x t y =-⎪=⎧⎪⎨⎪⎪⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交点分别为,A B ，点()1,0P ，求11PA PB+的值． 【答案】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=；（2． 【解析】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=； （2）将12 x y ⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C的方程，得23=0t +-，12t t ∴-==，1212113t t PA PB t t -∴+==． 23．已知函数()2121f x x x =-++．（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若正实数,a b满足11a b +=，求证：2212m a b+≥． 【答案】（1）2；（2）见解析． 【解析】（1）()()212121212x x x x -++--+=≥当且仅当1122x -≤≤时，等式成立． （2）2221211112a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥则22122a b +≥， 当且仅当2b a =时取，等号成立．。
