初中数学二次函数知识点汇总

二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

初中数学二次函数知识点总结归纳一、二次函数的定义及表示法：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a, b, c为常数，且a ≠ 0。

二、二次函数的图像：1.抛物线：二次函数的图像成为抛物线，该抛物线的开口方向由a的符号决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2.顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中(-b/2a)为抛物线的对称轴。

若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。

3.轴对称性：二次函数的图像关于x=-b/2a对称。

3. 平移：二次函数的图像可以通过平移进行变换。

对f(x) = ax^2 + bx + c，平移后的二次函数为f(x) = a(x - h)^2 + k。

若h>0，则向右平移h个单位；若h<0，则向左平移，h，个单位。

若k>0，则向上平移k个单位；若k<0，则向下平移，k，个单位。

4. 变伸缩：二次函数的图像也可以通过变伸缩进行变换。

对f(x) = ax^2 + bx + c，缩放后的二次函数为f(x) = a(cx)^2 + b(cx) + c。

若c>1，则在x轴方向上缩小，纵轴方向上拉长；若0<c<1，则在x轴方向上拉长，纵轴方向上缩小。

若b>0，则抛物线的顶点向左移动；若b<0，则抛物线的顶点向右移动。

二次函数的图像通过平移和变伸缩可以得到不同的形状，从而对应不同的函数。

三、二次函数的性质：1.零点：即二次函数的解，即f(x)=0的解。

根据二次函数的特点，f(x)=0有两个解、一个解或者无解。

2.零点坐标的关系：对于f(x) = ax^2 + bx + c：若b^2 - 4ac = 0，则有且只有一个零点，即二次函数与x轴交于一点；若b^2 - 4ac > 0，则有两个不相等的零点，即二次函数与x轴交于两点；若b^2 - 4ac < 0，则没有实数解，即二次函数与x轴不交。

二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。

，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

初中数学二次函数知识点整理1.定义：一般地，假如 y ax 2bx c(a,b,c 是常数，a0)，那么y 叫做x 的二次函数.二次函数yax 2的性质（1 ）抛物线yax 2的极点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2 ）函数y ax 2的图像与a 的符号关系.①当②当a 0时抛物线张口向上 极点为其最低点； a0时 抛物线张口向下极点为其最高点.（ 3）极点是坐标原点，对称轴是 y轴的抛物线的分析式形式为y（a 0）ax 2.3.二次函数y ax 2 bx c 的图像是对称轴平行于（包含重合）y 轴的抛物线.4. 二次函数yax 2 bxc 用配方法可化成：yaxh 2k 的形式，此中hb，k4acb 2 .2a4a5. 二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：①yax 2 ；②yax 2k ；③yaxh 2；④yaxh 2 k ；⑤yax 2bxc .6. 抛物线的三因素：张口方向、对称轴、极点.①a 的符号决定抛物线的张口方向：当 a0时，张口向上；当 a0时，张口向下；a 相等，抛物线的张口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作 xh .特别地，y 轴记作直线x0.7. 极点决定抛物线的地点.几个不一样的二次函数，假如二次项系数a 相同，那么抛物线的张口方向、张口大小完整相同，不过极点的地点不一样.b 24ac b28. 求抛物线的极点、对称轴的方法（1）公式法： yax2bxcax2a 4a，∴极点是（b 4ac b 2），对称轴是直线 xb .2a，4a2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的分析式化为y axh 2k 的形式，获得极点为(h ,k )，对称轴是直线x h .（3）运用抛物线的对称性：因为抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直均分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是极点.用配方法求得的极点，再用公式法或对称性进行考据，才能做到万无一失.9.抛物线y ax2bx c中，a,b,c的作用（1）a决定张口方向及张口大小，这与y ax2中的a完整相同.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的地点.因为抛物线y ax2bx c的对称轴是直线x b，故：①b0时，对称轴为y轴；②b0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左边；③2a ab0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右边.a（3）c的大小决定抛物线y ax2bx c与y轴交点的地点.当x0时，y c，∴抛物线y ax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍建立.如抛物线的对称轴在y轴右边，则b.a几种特别的二次函数的图像特色以下：函数分析式张口方向对称轴极点坐标y ax2x0（y轴）（0,0）y ax2k x0（y轴）(0,k) y ax h2当a0时x h(h,0)y ax h2k张口向上x h(h,k)yax2bxc 当a0时b b4acb2张口向下x2a(，)2a4a用待定系数法求二次函数的分析式（1）一般式：y ax2bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，平时选择一般式.（2）极点式：y ax h2k.已知图像的极点或对称轴，平时选择极点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x，平时采纳交点式：yaxx1xx2.212.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线yax 2bxc 得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线xh 与抛物线yax 2bxc 有且只有一个交点(h ,ah 2bhc ).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数yax 2 bx c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程ax 2bxc0的两个实数根.抛物线与x 轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的鉴别式判定：①有两个交点 0 抛物线与x 轴订交；②有一个交点（极点在 x 轴上）0抛物线与x 轴相切；③没有交点抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）相同可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2bx c k 的两个实数根.（5）一次函数y kx nk 0 的图像l 与二次函数 yax 2 bxca0的图像G 的交点，由方程ykx nl 与G 有两个交点;②方程组ax 2的解的数量来确立：①方程组有两组不一样的解时ybxc组只有一组解时l 与G 只有一个交点；③方程组无解时l 与G 没有交点.（6）抛物线与 x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2bx c与 x12轴两交点为Ax ，，Bx，，由于x 1、x 2是方程ax 2bx c0的两个根，故x 1x 2b,x 1x 2ca ab 24c b24ac ABx 1x 2x 1 x 22 x 1x 22 4x 1x 2aaaa一次函数与反比率函数考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就构成了平面直角坐标系。

初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义二次函数是一个数学函数，其一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a 不等于0。

在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量，a、b和c分别为二次项、一次项和常数项的系数。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或者朝下的抛物线。

2. 二次函数的图像特征二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

另外，二次函数的图像还有一个顶点，可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得。

3. 二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最重要的就是顶点坐标的计算方法。

具体来说，可以通过求出二次函数的导数，然后令导数等于0来求得函数的极值点。

另外，二次函数还有一个重要的特点，就是它的图像是对称的。

具体来说，二次函数的图像关于顶点对称。

4. 二次函数的解析式二次函数的解析式一般可以写成一般式f(x) = ax² + bx + c，也可以写成顶点式f(x) = a(x-h)² + k，其中(h, k)为顶点的坐标。

通过解析式，可以方便地求得二次函数的相关性质，比如顶点坐标、根的个数和方向等。

5. 二次函数与二次方程二次函数与二次方程有着密切的关系。

事实上，二次函数的图像就是二次方程y = ax² + bx + c的图像。

二次函数的图像是由二次方程y = ax² + bx + c的解析式所确定的。

而二次方程则可以通过求解二次函数的零点来求得。

6. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。

比如，物体的自由落体运动、抛物线的轨迹、天桥的设计等都可以通过二次函数来描述和求解。

另外，二次函数还可以用来描述一些生活中的变化规律，比如描绘人口增长、销售额变化等。

以上就是初中数学二次函数的知识点总结，希望可以帮助学生更好地掌握这一重要的数学概念。

初中数学二次函数知识点总结二次函数是初中阶段数学中重要的一个章节，掌握好二次函数的知识点对学习整个数学学科都非常重要。

下面是二次函数的完整版知识点总结。

一、二次函数的定义与图像特征1. 二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数。

2.二次函数的图像特征：a)抛物线开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。

b)对称轴：对称轴的方程为x=-b/(2a)。

c)最值点：a>0时，最小值点是对称轴上的点；a<0时，最大值点是对称轴上的点。

d) 零点：抛物线与x轴相交的点称为零点，解二次方程ax²+bx+c=0可以求出。

e)单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。

二、二次函数的基本公式1. 平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3.差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)三、一元二次方程1.一元二次方程的定义：只含一个未知数的二次方程称为一元二次方程。

2.一元二次方程的解法：a)完全平方公式法：对一元二次方程进行配方，化成完全平方的形式，从而求出解。

b)因式分解法：将一元二次方程化简为(a-b)(a+b)=0的形式，然后利用乘法原理。

c)直接求解法：对一元二次方程直接利用二次根公式求解。

四、二次函数的变形及其性质1.平移变形：把二次函数图像上的每一个点(x,y)移动到(x-h,y-k)的位置，得到二次函数y=a(x-h)²+k。

2.压缩与伸缩：y=a(x-h)²+k中，a的变化会导致图像纵向的压缩和伸缩。

a)a>1时，图像纵向压缩；b)0<a<1时，图像纵向伸缩；c)a<0时，图像纵向伸缩并翻转。

初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义：二次函数是指形如 $y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中$a≠0$。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的中心线，一定经过抛物线的顶点。

对称轴的方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。

4. 二次函数的顶点（最值点）：当 $a>0$ 时，抛物线的顶点是最小值点；当$a<0$ 时，抛物线的顶点是最大值点。

顶点的坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$。

5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐标。

可以通过求根公式来求得二次函数的零点。

求根公式为 $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

6. 二次函数的判别式：判别式是指 $b^2-4ac$ 的值，用于判断二次函数的零点个数及其性质。

当判别式 $b^2-4ac>0$ 时，函数有两个不相等的实数根；当判别式$b^2-4ac=0$ 时，函数有两个相等的实数根；当判别式 $b^2-4ac<0$ 时，函数没有实数根。

7. 二次函数的增减性：当 $a>0$ 时，二次函数是增函数；当 $a<0$ 时，二次函数是减函数。

10. 二次函数在平面直角坐标系中的表示：二次函数在平面直角坐标系中的图像，以抛物线的形式展现。

其中，参数 $a$ 决定了抛物线的开口方向和大小，参数 $b$ 决定了抛物线在 $x$ 轴上的位置，参数 $c$ 决定了抛物线在 $y$ 轴上的位置。

初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是抛物线，开口向上或向下，其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

二、二次函数的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。

3. 最值：当a>0时，二次函数的最值为最小值，为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值为最大值，为c-b²/4a。

4. 零点：二次函数的零点为x轴与函数图像的交点，是方程ax²+bx+c=0的解。

三、二次函数的图像1. 开口向上的二次函数图像是上凹的抛物线，最值为最小值。

2、开口向下的二次函数图像是下凹的抛物线，最值为最大值。

四、二次函数的相关变形1. 二次函数的平移：y=ax²+bx+c中，整体向左平移h个单位，变为y=a(x+h)²+bx+c；整体向下平移k个单位，变为y=a(x)²+bx+(c-k)。

2. 二次函数的垂直缩放：y=ax²+bx+c中，整体向上缩放k倍，变为y=(ak)x²+bx+c。

3. 二次函数的水平缩放：y=ax²+bx+c中，整体水平缩放k倍，变为y=ax²+(bk)x+c。

五、求解二次函数的相关问题1. 求二次函数的零点：利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a可以求得二次函数的零点。

2. 求二次函数的最值：通过对称轴和顶点坐标的关系，可以求得二次函数的最值。

3. 求二次函数的图像与坐标轴的交点：将函数代入x=0和y=0可以求得函数与坐标轴的交点。

六、二次函数的应用1. 生活中的应用：抛物线运动、拱桥结构、水流下落等。

2. 数学解题中的应用：解方程、求最值、求零点等。

初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要内容，以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）。

2. 求解二次函数的根：当y=0时，求解二次方程ax^2+bx+c=0的解。

3.二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。

4.抛物线的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。

5.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴是直线x=-b/2a。

二、图像与相关性质1.拉平方法：将一般式的二次函数化为顶点形式的二次函数。

2.抛物线的开口方向：若二次函数的a>0，则抛物线开口向上；若二次函数的a<0，则抛物线开口向下。

3.抛物线的最值：若抛物线开口向上，则函数有最小值（最小值为f(-b/2a)）；若抛物线开口向下，则函数有最大值。

4.抛物线的轴对称性：抛物线关于对称轴对称。

5.零点存在性：若一元二次方程有实数根，则抛物线与x轴有交点；若一元二次方程无实数根，则抛物线与x轴无交点。

6.抛物线的轨迹：当抛物线的开口向上时，抛物线图像在x轴上方；当抛物线的开口向下时，抛物线图像在x轴下方。

三、解二次方程1. 提取公因式法：ax^2+bx+c=0，公因式为a，即a(x^2+(b/a)x+c/a)=0，再由零因积性质解得x的值。

2. 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)。

3. 完全平方式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，通过变形将方程化为完全平方式(x﹦d)^2=0，再解出x的值。

四、因式分解1. 根与系数关系：若x1和x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，则方程可以分解为a(x-x1)(x-x2)=0。

2. 判别式与因式分解：一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中b^2-4ac 被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不等实数根，即方程可因式分解为a(x-p)(x-q)=0，其中p和q是方程的两个根；当判别式等于0时，方程有两个相等实数根，即方程可因式分解为a(x-r)^2=0，其中r 是方程的根；当判别式小于0时，方程无实数根，即方程不可因式分解。

初中数学的二次函数知识点汇总二次函数是初中数学中非常重要的知识点之一，它与实际生活紧密相关，掌握了二次函数的知识，不仅可以解决实际问题，还可以为高中数学的学习打下坚实的基础。

本文将对初中数学中与二次函数相关的知识点进行汇总。

一、基本定义与性质1. 二次函数的定义：二次函数是指由形如y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数所表示的函数关系，其中a、b、c为实数，a称为二次函数的二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

二次函数的图像是一条抛物线。

例如：y = x^2 是一个二次函数。

2. 二次函数的图像特点：二次函数的图像在笛卡尔坐标系中是一个抛物线。

当二次函数的二次项系数a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

3. 顶点坐标：二次函数的图像的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)代表二次函数。

4. 对称轴与对称性：二次函数的图像的对称轴方程为x = -b/2a，对称轴也是图像的抛物线的轴线。

二次函数具有对称性，即对称轴将图像分成两部分，两部分关于对称轴对称。

5. 零点与解：二次函数的零点即为函数与x轴相交的点，也就是方程f(x) = 0的解。

求解二次方程可以使用配方法、因式分解法、求根公式等方法。

二、二次函数的图像与方程的关系1. 基本图像的平移：对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，改变a、b、c 的值会对图像产生相应的平移效果。

例如，当x轴正方向平移h个单位，y轴正方向平移k个单位，则y = a(x - h)^2 + k 表示二次函数的图像向右平移h个单位，向上平移k个单位。

2. 图像的缩放与翻折：改变a的值可以控制抛物线的开口情况，当a > 1时，开口变宽，当0 < a < 1时，开口变窄，当a < 0时，抛物线翻折。

3. 图像的对称性：对称轴将图像分成两部分，两部分关于对称轴对称，因此，可以通过掌握对称轴、顶点坐标与开口方向的关系来快速绘制二次函数的图像。