高三数学练习题(七夕专版)

2021年高三数学暑期周测4一、选择题1．曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A． B． C． D．2．如图所示，阴影部分的面积是（）A． B． C. D.3．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )．A. mB. mC. mD. m4．设函数，则的值为（）A．B．C． D．5．函数的图象是（）6．设函数，则函数的各极小值之和为（）A、 B、 C、 D、二、填空题7．定积分的值是8．设满足约束条件，则所在平面区域的面积为___________.9．A、B两地相距1千米，B、C两地相距3千米，甲从A地出发，经过B前往C地，乙同时从B地出发，前往C地．甲、乙的速度关于时间的关系式分别为和（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：①出发后1小时，甲还没追上乙②出发后1小时，甲乙相距最远③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C地④甲追上乙后，先到达C地其中正确的是．（请填上所有描述正确的序号）10．若的图象如图所示，定义，。

则下列对的性质描述正确的是。

（1）是上的增函数；（2）；（3）是上的减函数；（4）使得。

三、解答题（题型注释）11．设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（3）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.12．已知函数.（1）证明：；（2）证明： .13．已知．（1）曲线y=f（x）在x=0处的切线恰与直线垂直，求的值；（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；（3）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求证：．参考答案1．A【解析】设旋转体的体积为V ，则01=． 故旋转体的体积为：． 故选A ．2．C【解析】试题分析：直线与抛物线解得交点为和，所以图中阴影部分的面积为，又因为所以()()(())S x x x 321111532=3--=3--1--9-⨯-27-9=+9=-333333，故选C. 考点：定积分在几何中的应用.3．A【解析】试题分析：物体达到最高时速度为0，令，则，则所求高度应该为．考点：积分的意义．4．A【解析】略5．D【解析】求导得2222(3)2(3)(3)(1)()x x x x x xe x e x x x x f x e e e -----+'===-，所以是其极小值点，故选D.【考点定位】本题考查函数的导数及图象.6．D【解析】试题分析：'()()'(sin cos )(sin cos )'2sin x x x f x e x x e x x e x =-+-=，令，则，令，则，所以当时，取极小值，其极小值为222222(22)[sin(22)cos(22)](01)k k k f k e k k e e ππππππππππππ++++=+-+=⨯-=-所以函数的各极小值之和242010220102(1)1ee e S e e e ππππππ=----=---，故选D.考点：1.函数的极值求解；2.数列的求和.7．3【解析】略8．【解析】试题分析：画出对应的平面区域，如图所示.所在平面区域的面积为22202001|21122x x AOB e dx S e e e e ∆-=-⨯⨯=--=-⎰. 考点：不等式组表示的平面区域，定积分的应用.9．④【解析】试题分析：经过小时，甲乙走过的路程分别为， ，令，，所以甲先到达；令，设…考点：积分的运算.10．（1）（2）（4）【解析】略11．（1）f （x ）=x2+2x+1.（2）（3）t=1－【解析】（1）设f （x ）=ax2+bx+c ，则f ′（x ）=2ax+b ，又已知f ′（x ）=2x+2∴a=1，b=2. ∴f （x ）=x2+2x+c 又方程f （x ）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1. 故f （x ）=x2+2x+1. （2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x .（3）依题意，有，∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t ，2t3－6t2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t=1－.12．（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对函数求导，利用单调递增，单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值的位置；第二问，因为，所以转化为，结合第一问的结论，所以只需证明，通过对求导即可.， 1分当时，，当时，即在上为减函数，在上为增函数 4分∴，得证． 5分（2），， 6分∴时，，时，即在上为减函数，在上为增函数∴ 8分又由（1） 10分∴． 12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.13．（1）；（2）当，即时，，当，即时，，当，即时，；（3）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、切线方程以及不等式的证明等基础知识，考查分类讨论思想，综合分析和解决问题的能力.第一问，对求导，将代入得到切线的斜率，由已知切线与直线垂直得出方程，解出的值；第二问，先对求导，利用导数的正负判断出函数的单调区间，再讨论已知和单调区间的关系来决定最值的位置；第三问，利用第二问的结论，得出，因为，所以数形结合，得，解得，数形结合得出两组点的横坐标的关系，又利用，得出，，进行转换得到所求证的不等式.试题解析：（1）由，得：，则，所以，得.（2）令，得，即.由，得，由，得，∴在上为增函数，在为减函数.∴当，即时，.当，即时，.当，即时，.（3）由（2）知，，∵，∴，∴，得，∴，且.得，又，，∴.考点：1.利用导数求切线的斜率；2.两条直线垂直的充要条件；3.利用导数判断函数的单调性；4.利用导数求函数的最值.24221 5E9D 庝21988 55E4 嗤(k 26815 68BF 梿28686 700E 瀎l20649 50A9 傩31642 7B9A 箚e38424 9618 阘39764 9B54 魔3。

2023高三暑假数学天天练（17）2022.7.21——7.22第17节导数与函数的极值、最值1.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B解析由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.2.已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A.－4B.－2C.4D.2答案D解析由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.3.函数f(x)＝e xx2－3在[2，＋∞)上的最小值为()A.e3 6B.e2C.e34D.2e答案A解析依题意f′(x)＝e x（x2－3）2(x2－2x－3)＝e x（x2－3）2(x－3)(x＋1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f(3)＝e332－3＝e36.4.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x21＋x22等于()A.2 3B.43C.83D.163答案C解析由题中图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1·x2＝23，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2×23＝83.5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝－f(x)，函数f(x＋2)为偶函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x3＋92x2－6x＋a.若x∈(－2，0)时，f(x)的最大值为－12，则a＝()A.3B.2C.12D.－32答案A解析由函数f(x＋2)是偶函数，得f(x)关于直线x＝2对称，即f(x＋4)＝f(－x)，因为f(x＋4)＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，因为f(x)在(－2，0)上的最大值为－12，所以f(x)在(0，2)上的最小值是12，当x∈(0，2)时，f′(x)＝－3x2＋9x－6，令f′(x)＝0，得x＝1，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，故x＝1时，f(x)取极小值，即最小值，故f(x)min＝f(1)＝a－52＝12，故a＝3.6.(多选)已知函数f(x)＝x2＋x－1e x，则下列结论正确的是()A.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝5e2，则t的最小值为2答案ABC解析由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，∴x＝－1±52，故A正确；f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝－（x ＋1）（x －2）e x ，当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )＜0，当x ∈(－1，2)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，∴f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，故B 正确；又f (－1)＝－e ，f (2)＝5e2，且当x →－∞时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→0，∴f (x )的图象如图所示，由图知C 正确，D 不正确.7.若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件.答案3解析y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.故当x ＝3时，该商品的年利润最大.8.已知x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax )e x 的一个极值点，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为________.答案－32解析由f (x )＝(x 2＋ax )e x ，得f ′(x )＝(x 2＋ax ＋2x ＋a )e x ，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax )e x 的一个极值点，所以f ′(1)＝(3＋2a )e ＝0，解得a ＝－32.∴f ′(x )2＋12x x，所以f ′(0)＝－32.所以曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为－32.9.(2021·新高考Ⅰ卷)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________.答案1解析函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞).①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x.当12<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x ，显然f (x )，12上单调递减，所以f (x )min ＝2ln12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1.10.已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间0，π2上的最大值和最小值.解(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x h ′(x )<0，所以h (x )在区间0，π2上单调递减，所以对任意x ，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间0，π2上单调递减.因此f (x )在区间0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为π2.11.设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，a ，b ，c ∈R ，f ′(x )为f (x )的导函数.(1)若a ＝b ＝c ，f (4)＝8，求a 的值；(2)若a ≠b ，b ＝c ，且f (x )和f ′(x )的零点均在集合{－3，1，3}中，求f (x )的极小值.解(1)因为a ＝b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )＝(x －a )3.因为f (4)＝8，所以(4－a )3＝8，解得a ＝2.(2)因为b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )2＝x 3－(a ＋2b )x 2＋b (2a ＋b )x －ab 2，从而f ′(x )＝3(x －b 令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝2a ＋b3.令f (x )＝0，得x ＝a 或x ＝b .因为a ，b ，2a ＋b3都在集合{－3，1，3}中，且a ≠b ，所以2a ＋b3＝1，a ＝3，b ＝－3.此时，f (x )＝(x －3)(x ＋3)2，f ′(x )＝3(x ＋3)(x －1).令f ′(x )＝0，得x ＝－3或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )变化如下表：x (－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )极大值极小值所以f (x )的极小值为f (1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32.12.(多选)对于函数f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，下列说法正确的是()A.x ＝3是函数f (x )的一个极值点B.f (x )的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)C.f (x )在区间(1，2)上单调递减D.直线y＝16ln3－16与函数f(x)的图象有3个交点答案ACD解析由题意得f′(x)＝161＋x＋2x－10＝2x2－8x＋61＋x，x＞－1，令2x2－8x＋6＝0，得x＝1或x＝3，则f(x)在(－1，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，所以x＝3是函数f(x)的一个极值点，故A、C正确，B错误.f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln4－21，且y＝16ln3－16＝f(2)，根据f(x)在(1，3)上单调递减得f(1)＞f(2)＞f(3)，又x→－1时，f(x)→－∞，x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以直线y＝16ln3－16与函数f(x)的图象有3个交点，故D正确.13.已知函数f(x)＝x ln x＋m e x(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是________.答案－1 e，解析f(x)＝x ln x＋m e x(x＞0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋m e x(x＞0)，令f′(x)＝0，得－m＝ln x＋1 e x，设g(x)＝ln x＋1 e x，则g′(x)＝1x－ln x－1e x(x＞0)，令h(x)＝1x－ln x－1，则h′(x)＝－1x2－1x＜0(x＞0)，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，故g(x)max＝g(1)＝1 e，而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，若f(x)有两极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，只需0＜－m ＜1e ，故－1e ＜m ＜0.14.已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解(1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，所以当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ，所以f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x ＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )，令h (x )＝x －sin x ，则h ′(x )＝1－cos x ≥0，所以h (x )在R 上单调递增.因为h (0)＝0，所以，当x >0时，h (x )>0；当x <0时，h (x )<0.①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(a ，0)时，x －a >0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增.所以，当x ＝a 时，g (x )取到极大值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ，当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a .②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值.③当a >0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；当x＝a时g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－16a3－sin a.综上所述：当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－16a3－sin a，极小值是g(0)＝－a；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－16a3－sin a.。

2015-2016学年某某省某某市郓城实验中学高三（上）第七次周测数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域是（）A．B．C．D．2．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位3．下列命题中正确的个数是（）①若￢P是q的必要而不充分条件，则P是￢q的充分而不必要条件；②命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得x02＜0”；③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题；④命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．96．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．7．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是（）A．B．2 C．0 D．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=xf′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（）A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1） C．f（﹣2）与f（2） D．f（2）与f（﹣2）10．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（）A．[1，4] B．[2，3] C．[3，4] D．[2，4]二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设单位向量满足，则=．12．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=．13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值X围是．14．已知各项不为0的等差数列{a n}满足，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=．15．给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是（填序号）．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n．若a1=6，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．19．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和S n满足（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值X围；（3）设g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．当a=时，若对于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），某某数b的取值X围．2015-2016学年某某省某某市郓城实验中学高三（上）第七次周测数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域是（）A．B．C．D．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的及诶小时可得可得，解方程组求得x的X围，即为所求．【解答】解：由函数，可得．解得﹣＜x＜2，故选B．【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．2．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先利用两角和的正弦公式将函数y=sin2x+cos2x变形为y=Asin（ωx+φ）型函数，再与函数y=sin2x的解析式进行对照即可得平移方向和平移量【解答】解：y=sin2x+cos2x=（sin2xcos+cos2xsin）=sin（2x+）=sin[2（x+）]∴只需将y=sin2x的图象向左平移个单位，即可得函数y=sin[2（x+）]，即y=sin2x+cos2x的图象故选B【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，三角变换公式的运用，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象性质，准确将目标函数变形是解决本题的关键3．下列命题中正确的个数是（）①若￢P是q的必要而不充分条件，则P是￢q的充分而不必要条件；②命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得x02＜0”；③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题；④命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】本题考到命题的等价性，含有一个量词的命题的否定，复合命题的真假判断和逆否命题的概念【解答】①正确：这两个命题是等价的命题，体现了原命题和逆否命题的等价②正确：这是含有一个量词的命题的否定，否定的规则是改变量词再否定结论③不正确：p和q只要有假命题p∧q就是假命题，不需要两个都是假命题④正确：逆否命题是同时否定条件和结论再把条件和结论互换正确命题的个数是3，选C【点评】①要理解命题的等价性②要会含有一个量词的命题的否定规则③要掌握复合命题的真值表④要分清否命题和逆否命题4．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．6．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得cosα﹣sinα=，再利用二倍角的余弦即可求得cos2α．【解答】解：∵sinα+cosα=，①∴两边平方得：1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵α为第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，cosα﹣sinα＞0．∴cosα﹣sinα=，②∴①×②可解得：cos2α=．故选：D．【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦与同角三角函数间的关系，属于中档题．7．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是（）A．B．2 C．0 D．1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F的坐标，进而可得向量和的坐标，可得数量积．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），E（，1），F（x，2）∴=（，0），=（x，2），∴=x=，解得x=1，∴F（1，2）∴=（，1），=（1﹣，2）∴=（1﹣）+1×2=故选：A【点评】本题考查平面向量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属基础题．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△AB C的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinCsinC∴sinC=1，C=．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．作为解三角形常用的定理，我们应熟练记忆和掌握正弦定理公式及其变形公式．9．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=xf′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（）A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1） C．f（﹣2）与f（2） D．f（2）与f（﹣2）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数最值的应用．【分析】当x＜0时，f′（x）的符号与xf′（x）的符号相反；当x＞0时，f′（x）的符号与xf′（x）的符号相同，由y=xf′（x）的图象得f′（x）的符号；判断出函数的单调性得函数的极值．【解答】解：由y=xf′（x）的图象知，x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，2）时，f′（x）≤0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴当x=﹣2时，f（x）有极大值f（﹣2）；当x=2时，f（x）有极小值f（2）故选项为C【点评】本题考查识图的能力；利用导数求函数的单调性和极值；．是高考常考内容，需重视．10．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（）A．[1，4] B．[2，3] C．[3，4] D．[2，4]【考点】函数的值域．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】根据“密切函数”的定义列出绝对值不等式|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1，求出解集即可得到它的“密切区间”．【解答】解：因为f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，则|f（x）﹣g（x）|≤1即|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1即|x2﹣5x+7|≤1，化简得﹣1≤x2﹣5x+7≤1，因为x2﹣5x+7的△＜0即与x轴没有交点，由开口向上得到x2﹣5x+7＞0＞﹣1恒成立；所以由x2﹣5x+7≤1解得2≤x≤3，所以它的“密切区间”是[2，3]故选B【点评】考查学生会根据题中新定义的概念列出不等式得到解集，要求学生会解绝对值不等式．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设单位向量满足，则=．【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】根据题意和数量积的运算法则先求出，再求出．【解答】解：∵， =1， =1∴==1﹣2+4=3，∴=，故答案为：．【点评】本题考查了利用向量数量积的运算求出向量模，属于基础题．12．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）= ﹣4 ．【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代入即可求出f′（0）的值．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），得：f′（x）=2x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），所以，f′（1）=﹣2．故f′（0）=2f′（1）=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此题是基础题．13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值X围是x≤8．【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2成立的x的取值X围．【解答】解：x＜1时，e x﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，≤2，∴x≤8，∴1≤x≤8，综上，使得f（x）≤2成立的x的取值X围是x≤8．故答案为：x≤8．【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题．14．已知各项不为0的等差数列{a n}满足，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8= 16 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】各项不为0的等差数列{a n}满足，可得2×2a7﹣=0，解得a7．利用等比数列的性质可得b6b8=．【解答】解：∵各项不为0的等差数列{a n}满足，∴2×2a7﹣=0，解得a7=4．数列{b n}是等比数列，且b7=a7=4．则b6b8==16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是①④（填序号）．【考点】余弦函数的奇偶性；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称性；正切函数的单调性．【专题】综合题．【分析】①利用诱导公式化简函数y=cos，即可判断是奇函数；②通过函数的最值，判断是否存在实数α，使得sinα+cosα=即可得到正误；③利用正切函数的性质频道若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ的正误；④把x=代入函数y=sin是否取得最值，即可判断它是否是一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．利用x=，函数是否为0即可判断正误；【解答】解：①函数y=cos=﹣sin是奇函数，正确；②存在实数α，使得sinα+cosα≤＜；所以不正确；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；显然不正确，如α=60°，β=390°时不等式不正确；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；把x=代入函数y=sin取得最小值，所以正确；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．x=，函数y≠0，所以不正确；故答案为：①④【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本知识的综合应用，函数的奇偶性、最值、单调性、对称性的应用，考查基本知识的灵活运应能力．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简已知等式得2cosBsinA+sin（B+C）=0，由三角函数的诱导公式可得 sinA=sin（B+C），代入前面的等式并整理得sinA（2cosB+1）=0．由此解出cosB=﹣，即可得出角B的大小．（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，将b及cosB的值代入，并利用基本不等式变形后得出ac的最大值，然后再利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，，∴根据正弦定理，得=﹣，去分母，得cosB（2sinA+sinC）=﹣sinBcosC，即2cosBsinA+（sinBcosC+cosBsinC）=0，可得2cosBsinA+sin（B+C）=0，∵△ABC中，sinA=sin（B+C），∴2cosBsinA+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0．又∵△ABC中，sinA＞0，∴2cosB+1=0，可得cosB=﹣．∵B∈（0，π），∴B=π．（2）∵b=3，cosB=cosπ=﹣，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤3，∴S△ABC=acsinB≤×3×=（当且仅当ac时取等号），则△ABC面积最大值为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（2x﹣）﹣1，由此求出最小值和周期．（Ⅱ）由f（C）=0可得sin（2C﹣）=1，再根据C的X围求出角C的值，根据两个向量共线的性质可得 sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得 b=2a．再由余弦定理得9=，求出a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==﹣﹣1=sin （2x﹣）﹣1，∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为π．…（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即 sin（2C﹣）=1，又∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=．…∵向量与共线，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理，得 b=2a，①…∵c=3，由余弦定理得9=，②…解方程组①②，得 a= b=2．…【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n．若a1=6，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据题意确定出等差数列{a n}的公差与首项，即可确定出通项公式；（2）由等差数列的前n项公式表示出数列{}，进而表示出数列{}的前n项和为T n，确定出T n X围即可．【解答】（1）解：∵等差数列{a n}的公差d≠0，a1=6，且a2，a7，a22成等比数列，∴（a1+6d）2=（a1+d）（a1+21d），即（6+6d）2=（6+d）（6+21d），解得：d=4或d=0（舍去），则a n=6+4（n﹣1）=4n+2（n为正整数）；（2）证明：∵S n=6n+×4=2n2+4n=2n（n+2），∴=，∴数列{}的前n项和T n=﹣（+），∵+＞0，∴T n＜，∵T n+1﹣T n=（﹣）＞0，即{T n}是递增数列，∴T n≥T1=，则≤T n＜．【点评】此题考查了数列的求和，数列递推式，以及等差、等比数列的性质，熟练掌握性质及法则是解本题的关键．19．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和S n满足（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式可得a n；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵（n∈N+）．∴当n=1时，4a1=，解得a1=1．当n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=2n﹣1．（2）=（2n﹣1）2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）2n﹣1，∴2T n=2+3×22+…+（2n﹣3）2n﹣1+（2n﹣1）2n，∴﹣T n=1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n=﹣1﹣（2n﹣1）2n=（3﹣2n）2n ﹣3，∴T n=（2n﹣3）2n+3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值X围；（3）设g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．当a=时，若对于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），某某数b的取值X围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】分类讨论；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；（2）令，由题意可得g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．求出g（x）的导数，对a讨论，①若，②若，判断单调性，求出极值点，即可得到所求X围；（3）由题意可得任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，只要g（x1）max≤h（x2）max，运用单调性分别求得g（x）和h（x）的最值，解不等式即可得到所求b的X围．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+lnx的导数为f′（x）=﹣x+，f（x）在x=1处的切线斜率为0，切点为（1，﹣），则f（x）在x=1处的切线方程为；（2）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立.①①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（0，1）上有g'（x）＞0，在（1，x2）上有g'（x）＜0，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；当x2≤x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；word要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，由此求得a的X围是[，]．综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．（3）当时，由（Ⅱ）中①知g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，所以对任意x1∈（0，2），都有，又已知存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），即存在x2∈[1，2]，使，即存在x2∈[1，2]，，即存在x2∈[1，2]，使．因为，所以，解得，所以实数b的取值X围是．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题及任意性和存在性问题，注意转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题．。

高三数学暑期综合练习题07
1． 已知()n n f ++++=...321，则()()[]=∞→22
lim n f n f n 2
2． “()00=f ”是“()x f 为奇函数”的非充分非必要条件．
3． 求过点()
3,1P 且与圆122=+y x 相切的直线方程． ()13331-=
-=x y or x
4． 已知P 是圆01422
2=++-+y x y x 上的动点，则P 到直线01=+-y x 的距离最小值是222-
5． 定义在R 上函数()x f 既是周期函数又是奇函数，若()x f 的最小正周期是π，且当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()x x f cos =，则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛35πf 21- 6． 请举出一个满足对任意R y x ∈,，()()()y f x f y x f =+都成立的函数()x
x f 2= 7． 方程()x
x 23log 2
1=+的根的情况是 （ D ） A ．有两个正根 B ．有两个负根 C ．有一个正根 D ．有一个负根
8． 已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3，则该正三棱锥的体积是3
23 9． 方程012=++x x 在复数X 围内的解是i 2
321±- 10． 已知集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈+-==R x x x a y y A ,12sin 2sin 2，若[]A ⊆-2,2，某某数a 的取值X 围．
33-≤≥a or a。

2024-2025学年苏教版高三数学下册暑假练习试卷一、单选题（每题3分）题目1（3分）：如果函数(f(x)=x3−3x+2)的导数在点(x=a)处等于零，那么(a)的值是多少？答案：1)，且(α)在第一象限，则(cos(α))的值是多少？题目2（3分）：若(sin(α)=35)答案：(45题目3（3分）：已知抛物线(y=ax2+bx+c)过点 (1, 2), (-1, 0), (2, 5)，求该抛物线的方程。

答案：(y=x2+x)题目4（3分）：如果(log2x+log2y=3)且(log2x−log2y=1)，则(x)和(y)的值分别是多少？答案：(x=4,y=2)题目5（3分）：在正四面体 ABCD 中，边长为 2，求点 D 到平面 ABC 的距离。

)答案：(√23二、多选题（每题4分）题目1: 下列哪些函数在其定义域内是单调递增的？(A)f(x) = x^3 - 3x(B)f(x) = e^x(C)f(x) = sin(x)(D)f(x) = ln(x)(E)f(x) = x^2答案: (B), (D)题目2: 下列哪几项是无穷等比数列{a_n} = 1/2^n 的性质？(A)数列收敛于0(B)数列发散(C)数列各项的和为2(D)数列各项的和为1(E)数列单调递减答案: (A), (C), (E)题目3: 对于函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，下列哪些陈述是正确的？(A)f(x)在x=1处未定义(B)lim{x->1} f(x)存在(C)lim{x->1} f(x) = 2(D)f(x)有一个可去间断点(E)f(x)在x=1处连续答案: (A), (B), (C), (D)题目4: 下列哪些函数在其定义域内有反函数？(A) f(x) = x^2(B) f(x) = |x|(C) f(x) = 2x + 3(D) f (x) = x^3(E) f(x) = cos(x), 限制在[-π/2, π/2]上答案: (C), (D), (E)题目5: 设直线l 通过点P(1, 2)且平行于向量v = [3, 4]，则下列哪些是直线l 的方程？(A) y = (4/3)x + (2/3)(B) y = (3/4)x + (5/4)(C) 3x - 4y + 5 = 0(D) 4x - 3y + 2 = 0(E) 3x + 4y - 11 = 0答案: (A), (D)每个题目的分值为4分，学生需要选出所有正确的选项才能得到该题的全部分数。

2024-2025学年湘教版高三数学上册暑假预习试卷一、单选题（每题3分）1.若函数(f(x)=x3−3x+1)的导数在某点处等于0，则该点是？A. x = 1B. x = -1C. x = 0D. x = 2正确答案：B. x = -12.在直角坐标系中，直线(y=2x+1)与抛物线(y=x2)的交点个数为？A. 0B. 1C. 2D. 无法确定正确答案：C. 2)，且(θ)是第一象限的角，则(cosθ=?)3.设(sinθ=35)A.(45)B.(−45C.(3)4)D.(−34)正确答案：A.(454.设等比数列的首项为2，公比为3，则其第5项是多少？A. 162B. 54C. 18D. 6正确答案：A. 1625.设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则(P(X>1)=?)（使用标准正态分布表）A. 0.8413B. 0.6826C. 0.1587D. 0.3174正确答案：C. 0.1587二、多选题（每题4分）1. 下列哪些函数在其定义域内是增函数？A.(f(x)=x3)B.(f(x)=−1x)（(x≠0)）C.(f(x)=e x)D.(f(x)=sinx)（在区间([−π2,π2])内）E.(f(x)=log2(x))答案: A, C, D (在给定的区间内), E解析:增函数意味着随着(x)的增加，(f(x))也增加。

选项A、C和E中的函数在整个定义域内都是增函数。

对于选项D，正弦函数在([−π2,π2])区间内是增函数。

2. 设有正方形ABCD，边长为a，点P是正方形内部任意一点，则下列哪些选项是正确的？A. 点P到四边的距离之和最小值为(a√2)B. 点P到四边的距离之和最大值为(2a)C. 若点P在对角线AC上，则点P到四边的距离之和为(a√2)D. 点P到AB和BC的距离之和等于点P到AD和DC的距离之和E. 点P到四边的距离之积最大值为(a416)答案: B, C, D, E解析:对于选项A，当P位于正方形中心时，到四边距离之和最小，但不是(a√2)，而是(2a)的一半；对于选项B和C，当P位于对角线上时，到四边距离之和为(2a)，这是最大值；选项D总是成立，因为正方形的对称性；选项E，通过AM-GM不等式可以验证。

高三数学限时训练71．已知tan (α＋β)＝25，tan (β－π4)＝14，则tan (α＋π4)＝( )．A ．16B ．1322C ．322D ．1318答案：C2．已知sin (30°＋α)＝35，60°＜α＜150°，则cos α的值是( ).A ．B ．C D 答案：D3.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+= ( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案：C3)22(log 1)2(2=++=-f ，又112log 2>，所以62)12(log 112log 22==-f ，故2(2)(log 12)f f -+=94.若e c b a 4ln ,5ln 2ln ,10ln =⋅==，则c b a ,,的大小关系是A. b a c <<B.c b a <<C. a b c <<D.c a b <<答案：D解：a c =>=210ln 24ln ，而22245ln 2ln 44)5ln 2(ln b a =>+=，且0,0>>b a ， 故c a b <<5.若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+=（ ） A.79- B.13- C.79 D.13答案：A6. 函数()2sin cos f x x x x =⋅的最小正周期为（ ） A. 4 B. 2C. 2πD. π【答案】D【解析】【分析】化简可得π()sin(2)3f x x =-，可求最小正周期.【详解】()22313sin cos 3cos sin 2(2cos 1)222f x x x x x x =⋅-+=--13πsin 2cos2sin(2)223x x x =-=-， 函数()f x 的最小正周期为2ππ2=. 故选：D.7.若340tan 140sin =- λ，则实数λ的值为A. 2-B. 2 C, 3 D.4 答案：D440cos 40sin 100sin 240cos 40sin 40cos 340sin 40sin 340tan ==+=+=λ8. 已知函数()()()44cos sin (0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的部分图象如图所示，则函数的解析式是（ ） A. )64sin()(π-=x x f B. )654sin()(π+=x x f B. )654cos()(π+=x x f D.)64cos()(π-=x x f答案：C 解)(sin )(cos )(44ϕωϕω+-+=x x x f )](sin )([cos )](sin )([cos 2222ϕωϕωϕωϕω+-+⋅+++=x x x x )(2cos ϕω+=x又5πππ21264T =-=，所以2222=∴=ωπωπ，，则)24cos()(ϕ+=x x f ， 点），（06π在递增曲线上得，6523232,0)264cos(πϕπϕπϕπ=⇒=+∴=+⨯所以)654cos()(π+=x x f ，答案C 9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数x x x f 0,1)(称为狄利克雷函数，则关于)(x f ，下列说法正确的是( )A.1))((,=∈∀x f f R xB.函数)(x f 是偶函数C.任意一个非零有理数T ，)()(x f T x f =+ 对任意R x ∈恒成立D.存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等腰直角三角形答案：ABC解：对于A ；当x 是有理数时，1)1())((,1)(===f x f f x f ；当x 是无理数时，1)0())((,0)(===f x f f x f ；故A 正确；对于B:当x 是有理数时，x -还是有理数，1)()(1)(,1)(==-∴=-=x f x f x f x f ，；当x 是无理数时，x -还是无理数，0)()(0)(,0)(==-∴=-=x f x f x f x f ，；故B 正确对于C ：由于任意R x ∈，当x 是有理数时，任意一个非零有理数T ，T x +仍为有理数，则1)()(==+x f T x f ；当x 是无理数时，任意一个非零有理数T ，T x +为无理数，则0)()(==+x f T x f ；故C 正确对于D ：ABC ∆为等腰直角三角形，若直角顶点C 在直线1=y 上，则A,B 两点分别为)1,(,1,21x x ）（，且21,x x 都是有理数，那么）（0,221x x C +且221x x +为无理数，与21,x x 都是有理数矛盾，若直角顶点C 在直线x 轴上，同样产生矛盾，故D 错误10．（多选）已知函数()2sin cos f x x x x =，则下列说法正确的是（ ）． A ．()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到D ．函数()f x 的对称轴方程为()5ππZ 12x k k =+∈ 【答案】ABC【分析】化简()f x 的解析式，根据三角函数的最小正周期、图象变换、对称轴等知识对选11．【2013年课标1，理15】设当x=θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ=______【答案】12.若函数()6,2,3log,2,ax xf xx x-+≤⎧=⎨+>⎩（0a>且1a≠）的值域是[)4,+∞，则实数a的取值范围是．13．（10分）已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋π4)(ω＞0)的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f (x )在区间[0，π2]上的单调性．17．（1）f (x )＝4cos ωx ·sin (ωx ＋π4)＝ωx ·cos ωx ＋2 ωx （1分）(sin 2ωx ＋cos 2ωx )2分）＝2sin (2ωx ＋π4)4分） 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2＝π，故ω＝1．（5分）（2）由（1）知f (x )＝2sin (2x ＋π4)0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4．（6分） 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； （7分） 当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π2时，f (x )单调递减．（8分） 综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间(π8，π2]上单调递减．（10分）14．（10分）已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos (x －π3) （1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间[－π4，π4]上的单调性． 19． （1）f (x )的定义域为{x ∣x ≠π2＋π，Z }．（1分）f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos (x －π3)4sin x cos (x －π3)＝4sin x (12cos x ＋sin x )2sin x cos x ＋2 x＝sin 2x 2x ＝2sin (2x －π3)．（4分）所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π． （5分） （2）令z ＝2x －π3,函数y ＝2sin z 的单调递增区间是[－π2＋2π，π2＋2π]，Z ． 由－π2＋2π≤2x －π3≤π2＋2π，（6分）得－π12＋π≤ x ≤5π12＋π，Z ． （7分）设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x ∣－π12＋π≤x ≤5π12＋π，Z }，易知A ∩B ＝[－π12，π4]（8分）所以，当x[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上单调递增，（9分）在区间[－π4，－π12]上单调递减．（10分）。

高三数学练习题1高三数学练习一班级姓名学号一、选择题（每小题 3 分，共 42 分）1．下列说法中，正确的是（）A．第二象限的角是钝角B．第三象限的角必大于第二象限的角C．－ 831°是第二象限角D．－ 95°20′， 984°40′， 264°40′是终边相同的角2．若cos0 ，且 sin20 ，则角的终边所在的象限是（）．A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A． 1 或 4B． 1C． 4D． 84．点A(sin2015 , cos2015 )位于（）A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若sin(3sin cos是第三象限的角，则22（）)，5sin cos22A．12B．1． 2D． 2C2x6．f(x)=cos （ A）f ( 2, 则下列等式成立的是（）2x) f ( x)（B）f (2x) f (x)（ C）f ( x) f (x)（ D）f ( x) f (x)7．函数y sin cos的图象的一个对称中心是（）．A．, 2 B ．5, 2C．,0 D ．,14442 8．函数y2sin x的一个单调增区间是（）．4A．, B ．4,3C ． 3 ,4D ． 5 ,442444 9．已知函数f x sin x ,下列结论中错误的是A．f x 的最大值为3B ．y f x 的图像关于,0中心对称21 / 4C．f x既偶函数 , 又是周期函数 D．y f x 的图像关于直线x对称210．函数y sin 2 ( x) cos2 (x)1是（）1212A．周期为2的偶函数B．周期为 2的奇函数C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数11．已知函数f x sin2x4x R，为了得到函数 g x cos2x 的图像，只需将y f x的图像（）A．向左平移8个单位B．向右平移个单位8C．向左平移4个单位D．向右平移个单位412．函数f ( x)cos 2x2sin x 的最小值与最大值的和等于（）A.-2B.0C.3D.1 2213．已知cos cos1, sin sin 1, 则cos()（）23A．1B．5C．59D．49 667272114．已知sin x cos y，则cos x sin y的取值范围是（）2A. [1,1] B.[ 3 , 1 ] C.[1,3]D.[ 1 ,1 ] 222222二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）15．sin15sin 75．3的 x 的集合为.16．满足sin x217．已知函数 f x sin x 3 cos x,,，且函数 f x是偶函数，22则的值为 ______．18．若0x，则函数 y cos(x2)sin( x) 的最大值是___________．2619．若sin()12)=______.，则cos(33320．求值：tan 200tan 400 3 tan 200 tan 400．答案第 2 页，总 4 页高三数学练习题1三、解答题（每小题8 分，共 40 分）21．已知函数f x3sin 2x， x R ．6（ 1）求f的值；12（ 2）若sin40,5，，求f521222．已知函数f x Asin( x)( x R, A 0,0,| | ) 的部分图象如图所示2（ 1）试确定函数f x 的解析式；（ 2）若f ()1，求 cos( 2) 的值．23323．已知函数 f ( x) 4cos x sin( x) 1．6（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期及递增区间；（Ⅱ）求 f ( x) 在区间,上的最大值和最小值．643 / 424．已知函数 f ( x) sin 2 x 2 3 sin x cos x 3cos 2 x m( m R) ．（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调递增区间及对称轴方程；（Ⅱ）当 x [0,] 时， f ( x) 的最大值为9，求实数m的值．3r3r25．（本小题满分 12 分）已知向量a(sin x,), b (cos x, 1).2（ 1）当a // b时，求2cos2x sin 2x的值；（ 2）求f x a b b 在,0上的值域2答案第 4 页，总 4 页。

8月小测一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合S={−3,0,1}，T={−1,2}，则∁U(S∪T)等于()．A. ⌀B. {−2,3}C. {−2,−1,2,3}D. {−3,−1,0,1,2}【答案】B【解析】【分析】根据并集、补集的定义计算可得．【详解】解：因为S={−3,0,1}，T={−1,2}，所以S∪T={−3,−1,0,1,2}，又U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(S∪T)={−2,3}．故选：B2.“1a <1b”是“log2a>log2b”的()．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数函数的性质分析判断即可．【详解】若a=−1,b=−2，则满足1a <1b，而不满足log2a>log2b，当log2a>log2b时，a>b>0，所以aab >bab>0，即1a<1b，所以“1a <1b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件，故选：B3.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，⋯，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为A. 6B. 8C. 12D. 18【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．考点：频率分布直方图4.函数f (x )=e x +1x 3(e x −1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【解析】先根据函数的奇偶性排除A 、C ，再由 x →+∞ 时， f (x ) 的趋向性判断选项即可【详解】由题， f (x ) 的定义域为 {x|x ≠0} ，因为 f (−x )=e −x +1−x 3(e −x −1)=e x +1x 3(e x −1)=f (x ) ，所以 f (x ) 是偶函数，图象关于 y 轴对称，故排除A 、C ； 又因为 f (x )=e x +1x 3(e x −1)=1x 3+2x 3(e x −1) ，则当 x →+∞ 时， x 3→+∞ ， e x −1→+∞ ，所以 f (x )→0 ， 故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查函数图象二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

某某省溧水高级中学2017届高三暑期考试 数学1． 集合},1|{2R x x y y M ∈-==，集合}3|{2x y x N -==，则N M C R )(＝_____2．命题“2,250x R x x ∀∈++>”的否定是. 3．复数12iz i-=的虚部是 4、 一组数据10，6，8，5，6的方差=2s ．5．某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是6、 长为4、宽为3的矩形ABCD 的外接圆为圆O ，在圆O 内任意取点M ，则点M 在矩形ABCD 内的概率为.7．已知复数ai z +=21，i z -=22，若||||21z z <，则实数a 的取值X 围__________.8、 右图是一个算法流程图，则输出的a 的值是9、 若函数)(x f 定义在R 上的奇函数，且在)0,(-∞上是增函数，又0)2(=f ，则不等式0)1(<+x xf 的解集为10．已知,x y 为正实数，且21x y +=，则21x y+的最小值是. 11．已知232112<+，353121122<++，474131211222<+++，……可以归纳出：_______.12、若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值X 围是_________．13．已知函数|3|)(2x x x f +=，x ∈R ，若方程0|1|)(=--x a x f 恰有4个互异实数根，则实数a 的取值X 围______________.14、设()f x '和()g x '分别是函数()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''⋅≤在区间I 上恒成立，则称函数()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反.若函数()3133f x x ax =-与函数()2g x x bx =+在开区间()(),0a b a >上单调性相反，则b a -的最大值等于 .（第8题）15、已知集合{}|(6)(25)0A x x x a =--->，集合{}2|(2)(2)0B x a x a x ⎡⎤=+-⋅-<⎣⎦．⑴若5a =，求集合AB ；⑵已知12a >．且“A x ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围．16. 某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：（1）求这5天的平均感染数；（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为,x y 用(,)x y 的形式列出所有的基本事件, 其中(,)(,)x y y x 和视为同一事件,并求3≤-y x 或||9x y -≥的概率．17.(1)解不等式：2123x x+>- （2）已知,,a b c 都大于零，求证：222a b c ab bc ac ++≥++18.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=（万元）.当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=xx x C （万元）.每件．．商品售价为500元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （Ⅰ）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件．．）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？19.已知函数()()32110,,32f x ax bx cx a b R c R =++>∈∈，()g x 是()f x 的导函数. (1)若函数()g x 的最小值是()10g -=，且1c =，()()()1,1,1,1,g x x h x g x x -≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩求()()22h h +-的值；(2)若1a =，0c =，且()1g x ≤在区间(]0,2上恒成立，试求b 的取值X 围.20.（本小题满分16分）已知函数()ln 3()f x a x ax a =--∈R ． （1）当0a ＞时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒，且函数21()()()2g x x nx mf x m n '=++∈R ，当且仅当在1x =处取得极值，其中()f x '为()f x 的导函数，求m 的取值X 围；（3）若函数()y f x =在区间1(3)3，内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a 的取值X 围．1.)1,3[--2．2,250x R x x ∃∈++≤ 3．—1 4、1655．6 6、4825π7．（－1，1） 8、 1279、 （0，1）∪（﹣3，﹣1） 10．9 11．*)(112)1(131211222N n n n n ∈++<++⋅⋅⋅+++12、 [12,＋∞) 13．),9()1,0(+∞ 14、1215、解：⑴当5a =时，{}(6)(15)0A x x x =-->={}|156x x orx ><………２分{}{}(27)(10)01027B x x x x x =--<=<<．……４分 ∴{}1527A B x x ⋂=<<．…６分⑵∵12x >，∴256a +>，∴{}625A x x x a =<>+或．………８分 又a a 222>+，∴{}222+<<=a x a x B ．……10分∵“A x ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，∴A B ⊆，∴21226a a ⎧>⎪⎨⎪+≤⎩，…………12分 解之得：122a <≤．……………14分 16.解：（1）这5天的平均感染数为2332242917255++++=； …………………4分（2）(,)x y 的取值情况有(23,32),(23,24),(23,29),(23,17),(32,24),(32,29),(32,17),(24,29),(24,17),(29,17)基本事件总数为10。

2024-2025学年苏教版高三数学下册暑假练习试卷一、单选题（每题3分）1.设函数(f(x)=x3−3x+1)，则(f(x))的极大值点为：A.(x=√3)B.(x=−√3)C.(x=1)D.(x=−1)答案：D2.在(△ABC)中，若(∠A=60∘)，且边(a=2√3)，边(b=4)，则(sinB)的值为：)A.(√32)B.(12C.(√2)2)D.(√34答案：A3.已知数列({a n})的前(n)项和为(S n)，其中(S n=n2)，则(a5)的值为：A. 9B. 10C. 11D. 12答案：B4.若随机变量(X)服从参数为(λ=2)的泊松分布，则(P(X=1))的值为：A.(e−2)B.(2e−2)C.(e−1)D.(2e−1)答案：B5.在平面直角坐标系中，直线(l)经过点((1,2))且与直线(y=3x+4)平行，则直线(l)的方程为：A.(y=3x−1)B.(y=3x+1)C.(y=3x−5)D.(y=3x+5)答案：A我们来验证一下这些答案是否正确。

让我纠正计算过程中的错误，并给出正确的解答验证。

对于题目3，我们需要计算数列的第5项，由于(S n=n2)，数列的前n项和公式已给定，第5项可以通过(S5−S4)来计算。

对于题目4，使用泊松分布的概率质量函数(P (X =k )=λk e −λk!)，其中(λ=2)和(k =1)。

二、多选题（每题4分）题目1函数(f (x )=log a (x −3)+2)（其中(a >0,a ≠1)）的图像经过点(4,3)，则下列叙述正确的有： A.(a =2)B. 当(x <3)时，(f (x ))没有定义C.(f (x ))的图像与y 轴无交点D. 当(a >1)时，(f (x ))随(x )增大而减小E. 函数的值域为((2,+∞)) 答案: A, B, C, E 题目2对于任意实数(k )，直线(y =kx −1)与圆(x 2+y 2=1)的位置关系正确的是： A. 直线与圆可能相切 B. 直线与圆可能相交于两点 C. 直线与圆一定相交 D. 直线与圆可能不相交E. 当(k =0)时，直线与圆相交于一点答案: A, B, D, E题目3若函数(f(x)=sin(x)+cos(x))，则下列说法正确的是：A.(f(x))的最大值为(√2)B.(f(x))的最小值为(−√2)C.(f(x))的周期为(2π)D.(f(x))的图像关于原点对称E.(f(x))在([0,π/2])区间上单调递增答案: A, B, C, E题目4设集合(A={x|x2−3x+2=0})，集合(B={x|x2−4x+3=0})，则下列选项中正确的是：A.(A∩B={1})B.(A∪B={1,2,3})C.(A)的元素个数比(B)少D.(A)和(B)互斥E.(A)和(B)都是有限集答案: A, B, E题目5若(z=3+4i)是复数，则下列陈述正确的是：A.(z)的模为5B.(z)的辐角主值在第二象限C.(z)的共轭复数为(3−4i)D.(z2=−7+24i)E.(z)的实部为3答案: A, C, D, E三、填空题（每题3分）1.若函数(f(x)=ax2+bx+c)在点(x=1)处取得极小值，则(a+b)的值为多少？答案：02.已知(sinα=3)，且(α)为第二象限角，则(cosα)的值为多少？5)答案：(−453.若直线(y=mx+n)与抛物线(y=x2−2x+1)相切，则(m+n)的值为多少？答案：04.已知等比数列({a n})的首项(a1=3)，公比(q=2)，则前n项和(S n)的表达式为？答案：(3(2n−1))5.若(log10x=2)，则(x)的值为多少？答案：100四、解答题（每题8分）题目一 (8分)已知函数f (x )=ln (x 2+1)−x ，求该函数在区间[0,2]上的最大值和最小值。

数学小题训练(7)班级22. _________________________ 计算(1+i) (1 — 2i)=3.已知等差数列｛ a n ｝中，a 4 __________________________ 3, a 6 9，则该数列的前9项的和S 9=2m n4.若 log a 2 =m log a 3 =n ，则a5. 命题“ x € R, x 2 — 2x+l W 0”的否定形式为 ________________________ ;6. 设向量 a 与 b 的夹角为 ，a =(2 , 1), a +3 b=(5 , 4)，则 sin = _____________ ; 2 22x y 7. 抛物线y 2=4mx(m >0)的焦点到双曲线 仍—£=1的一条渐近线的距离为3,则此抛物线的方程8. 右图是2020年“隆力奇”杯第15届CCTV 青年歌手电视大奖 赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分 和一个最低分后，所剩数据的方差为 ____________ ;9. 某程序的伪代码如图所示，则程序运行后的输出结果为 __________:S- 0I:For I From 1 To 7 Step 2:s- S +I:End For :Print SI ___________________________________第9题图10. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到 127个正方形•若最后得到的正方形的边长为1，则初始正方形的边长为 _11. 已知函数 f(x)=log 2(x — a x+3a )，对于任意 x >2,当厶 x > 0 时，恒有 f(x+ △ x) > f(x),则实数a 的取值范围是 ___________ ; 12. 如图所示，将平面直角坐标系中的纵轴绕点0顺时针旋转300(坐标轴的长度单位不变)构成一个斜坐标系xOy ,平面上任一点 P 关于斜坐标系的坐标(x,y)用如下方式定义：过 P 作两 坐标轴的平行线分别交坐标轴 Ox 于点M Oy 于点N 贝U M 在Ox 轴上表示的数为 x , N 在Oy 轴 上表示的数为y .在斜坐标系中，若 A , B 两点的坐标分别为(1 , 2) , ( — 2, 3)，则线段AB 的 长为 ；1.设集合 A={(x,y) | xy=0} , B={(x,y) | 2x—3y+4=0}，贝U AA B= _____姓名第8题图9 cvm/s的速度向该容器注13. 如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以水，则水深10cm时水面上升的速度为cm/s ；14. 有下列命题：①函数y=4cos2x , x € [ —10 , 10 ]不是周期函数；②函数y=4cos2x的图象可由y=4sin2x的图象向右平移个单位得到；4③函数y=4cos(2x+ )的图象关于点(：,0)对称的一个必要不充分条件是匕冗+ ：6 2 6 (k € Z);6+sin 2x d④函数y= 的最小值为2 10—4.2 —si nx v其中正确命题的序号是___________ .(把你认为正确的所有命题的序号都填上);15 .三棱锥P ABC 中，PA 平面ABC AB BC，若PA AC辽，则该三棱锥外接球的体积是;x my n16 .直线l : x my n(n0)过点A(4,4,3), 若可行域.3x y0的外接圆直径为y 03.则实数n的值是3。

南京师大附中2010届高三数学暑期作业（6）姓名＿＿＿＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿＿＿＿一、填空题：1．已知曲线42x y =的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为．2．若A ==⋂==x B B A x B x 则，且,},1{},,4,1{2． 3．函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 ．4．已知等差数列{a n }前17项和S 17=51，则a 7＋a 11= ．5．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和为21，则a 3+ a 4+ a 5= ． 6．在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则角A= ．7．已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，对2)3()2()2( -=--=+∈f x f x f R x ，当有都时，)2007(f 的值为 ．8．已知),1[)(3+∞-=在ax x x f 上是单调增函数，则a 的最大值是 ． 9．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)2(π+=x f y 为偶函数，对于函数)(x f y =有下列几种描述 ①)(x f y =是周期函数②π=x 是它的一条对称轴③)0,(π-是它图象的一个对称中心④当2π=x 时，它一定取最大值其中描述正确的是 ．10．已知]2,2[)(62)(23-+-=，在为常数m m x x x f 上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值为 ．11．曲线221y x =+在(1,3)P -处的切线方程为 ． 12．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的一段图象过点()0,1，如图所示,函数()f x 的解析式___ .13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有 个小正方形．111π125π12-π12oyx14．规定一种运算：⎩⎨⎧>≤=⊗b a b ba ab a ,,，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数xx x f cos sin )(⊗=的值域为 .．二．解答题：15．在数列.*,14,2}{11N n a a a a n n n ∈+==+中，（1）证明数列}31{+n a 是等比数列；（2）求数列{n a }的前n 项和S n ．16．已知函数.cos sin 4sin 3cos 35)(22x x x x x f -+=（1）当R x ∈时，求)(x f 的最小值；（2）若2474ππ≤≤x ，求)(x f 的单调区间．17．已知函数)0(4)(2≠++=x xax x x f ． （1）若)(x f 为奇函数，求a 的值；（2）若)(x f 在),3[+∞上恒大于0，求a 的取值范围．18． 如图，四边形ABCD 是一个边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的扇形小山，其余部分都是平地，P 是弧TS 上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ． （1）若∠PAT ＝θ，试写出四边形RPQC 的面积S 关于θ 的函数表达式，并写出定义域； （2）试求停车场的面积最大值．19．已知b ＞－1，c ＞0，函数b x x f +=)(的图象与函数c bx x x g ++=2)(的图象相切. （1）设);()(c c b ϕϕ，求=（2）是否存在常数c ，使得函数),()()()(+∞-∞=在x g x f x H 内有极值点？若存在，求出c 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．已知函数)(x f y =，若存在000)(x x f x =，使得，则0x 称是函数)(x f y =的一个不动点，设.7232)(-+-=x x x f （1）求函数)(x f y =的不动点；（2）对（1）中的二个不动点a 、b （假设a ＞b ），求使bx ax k b x f a x f --⋅=--)()(恒成立的常数k 的值； （3）对由a 1=1，a n =)(1-n a f 定义的数列{a n }，求其通项公式a n .南京师大附中2010届高三数学暑假作业（6）一答案1．1 2．2，－2或0 3．2π4．6 5．84 6．A=120° 7．－2 8．3 9．①③ 10．－37 11．410x y ++=12．sin(2)6y x π=+13．28 14．]22,1[- 15．解：（1）141+=+n n a a ，*N n ∈， 令),(41m a m a n n +=++3m=1 ∴31=m ∴)31(4311+=++n n a a ∴{a n +31}是以37为首项，4为公比的等比数列 （2）143731-⋅=+n n a 314371-⋅=-n n a∴31437314373143711211-⋅++-⋅+-⋅=---n n S Λ973497341)41(137--⋅=---⋅⋅=n n n n 16．解：（1）x x x x x f cos sin 4sin 3cos 35)(22-+=)62cos(4332sin 22cos 32332sin 22)2cos 1(32)12(cos 35π++=-+=--++=x x x xx x 当R x ∈时，)(x f 的最小值为33－4（2）∵2474ππ≤≤x ∴12722ππ≤≤x∴][0]4332[436232ππππππ，，且⊂≤+≤x∴2474ππ≤≤x 时，)(x f 单调减区间为}2474|{ππ≤≤x x 17．解：（1）)(x f 的定义域关于原点对称若)(x f 为奇函数，则)(4)()()(2x f xx a x x f -=-+-+-=- ∴a =0 （2）241)(x x f -=' ∴在),3[+∞上0)(>'x f∴)(x f 在),3[+∞上单调递增∴)(x f 在),3[+∞上恒大于0只要)3(f 大于0即可 ∴3130133->⇒>+a a 若)(x f 在),3[+∞上恒大于0，a 的取值范围为313->a 18．解：（1）延长RP 交AB 于M ，设∠PAB=)900(︒<<︒θθ，则AM =90.sin 90100,cos 100,sin 90,cos θθθθ-=-==PR PQ MP ∴)sin 90100)(cos 90100(θθ--=⋅=PR PQ S PQCR =10000-θθθθsin cos 8100)sin (cos 9000++ )20(πθ≤≤（2）设θθsin cos +=t ∵︒≤≤︒900θ∴22sin cos ],2,1[2-=∈t t θθ2181009000100002-⨯+-=t t S PQCR.950)910(40502+-=t ∴当2=t 时，S PQCR 有最大值.2900014050-答：长方形停车场PQCR 面积的最磊值为2900014050-平方米。

第四中学2021届高三数学七月检测试题 文本套试卷分为试题卷和答题卷两局部。

全卷一共150分钟，考试时间是是为120分钟。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1．〔5分〕83=-x ，那么x 等于〔 〕A ．2B ．2-C ．2±D ．21 2．〔5分〕双曲线2239x y -=的实轴长是〔 〕A ．．．．3．〔5分〕“0>x 0>〞成立的( )A. 必要不充分条件B.充分不必要条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4．〔5分〕假设集合{}2x A y y ==，集合{B y y ==，那么A B =〔 〕A ．[)0,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．(),-∞+∞5．〔5分〕()f x 是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设4(log 7)a f =，12(log 3)b f =， 1.6(2)c f =，那么,,a b c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<6．〔5分〕对于函数,给出以下命题:(1)是增函数,无最值;(2)是减函数,无最值;(3)的递增区间为,递减区间为;(4)是最大值,是最小值.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．〔5分〕函数的值域是〔 〕A ．B ．C ．D ． 8．〔5分〕，假设点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，那么的最小值为〔 〕A ．B ．C ．D ．9. 〔5分〕函数()lg(sin )f x x a =+的定义域为R ，且存在零点，那么实数a 的取值范围是 〔 〕A.[]2,1B.(]2,1C.[]3,2D.(]3,210.〔5分〕对于函数()f x ，假设,,,(),(),()a b c R f a f b f c ∀∈都是某一三角形的三边长，那么称()f x 为“可构造的三角形函数〞，以下说法正确的选项是A.()1,()f x x R =∈不是“可构造的三角形函数〞B.“可构造的三角形函数〞一定是单调函数C.21()1f x x =+()x R ∈是“可构造的三角形函数〞 ()f x 的值域是[,]e e ，那么()f x 一定是“可构造的三角形函数〞11．〔5分〕函数假设存在实数，，，且，使，那么的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．〔5分〕如下图，A 1，A 2是椭圆C ：的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与A 1，A 2重合，点N 满足NA 1⊥MA 1，NA 2⊥MA 2，那么＝A ．2B ．3C ．4D ．二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

中学2021届高三数学下学期七调试题 理〔含解析〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分.以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1.集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，那么A B =〔〕A. {}01x x ≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 【详解】∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 应选C ．【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，注意条件x Z ∈，属于易错题．2.复数1122ii ++的虚部为〔 〕 A. 110 B. 110-C.310D. 310-【答案】A 【解析】【分析】化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122ii ++的虚部为110.应选：A.【点睛】此题主要考察了复数的运算法那么，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法那么，准确化简是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，属于根底题.3.有一散点图如下图，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，以下说法正确的选项是〔 〕A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱 【答案】A 【解析】 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，应选A.【点睛】该题考察的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．假设POQ ∆为直角三角形，那么PQ =〔 〕 A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.那么易知30POF ∠=︒，4OF =，∴23OP =在POQ 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，23OP =∴36PQ OP ==. 应选C【点睛】此题主要考察双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.5.一个袋中放有大小、形状均一样的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，那么〔 〕 A. 12E E ξξ<，12D D ξξ< B. 12E E ξξ=，12D D ξξ> C. 12E E ξξ=，12D D ξξ< D. 12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.应选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.6.某算法的程序框图如下图，那么该算法的功能是〔 〕A. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和B. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和C. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和D. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和【答案】A【解析】【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】由中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2021，步长为2，故循环一共执行了1009次由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，应选A．【点睛】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或者有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.如图1，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，Q 分别是线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上的动点，当三棱锥Q-BMN 的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为A. 2B. 1C.32 D.52【答案】C 【解析】 【分析】判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．【详解】由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如下图：可得其面积为：1113222111122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，应选C ． 【点睛】此题主要考察三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.8.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，假设B 点的纵坐标为513-，且满足3AOBS =，那么1sin3cos sin 2222ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值是( )A. 513-B. 1213-C.1213D.513【答案】C 【解析】 【分析】 由AOBS，可得()3sin αβ-=，结合β的范围可得3παβ-=，化简1sin3cos sin cos 2222αααβ⎫-+=⎪⎭，利用点B 的坐标即可得解. 【详解】由()13sin 24AOBSOA OB αβ=-=，得()3sin 2αβ-=. 根据题意可知125B(,1313-)，所以512sin ,cos 1313ββ=-=， 可知06πβ-<<，203παβ<-<.所以3παβ-=.131112sin3cos sin sin sin sin cos 222222636213cos ααααππππααβββ-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=+=++=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 应选C.【点睛】此题主要考察了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式，属于中档题. 9.函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=>，假设集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，那么实数ω的取值范围是〔 〕A. 35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 35,22⎛⎤⎥⎝⎦C. 725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】化简f 〔x 〕的解析式，作出f 〔x 〕的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f 〔x 〕在〔0，+∞〕上的交点坐标，那么π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】f 〔x 〕=2sin 〔ωx﹣3π〕， 作出f 〔x 〕的函数图象如下图：令2sin 〔ωx﹣3π〕=﹣1得ωx﹣3π=﹣6π+2kπ，或者ωx﹣3π=76π+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或者x=32πω+2k πω，k∈Z，设直线y=﹣1与y=f 〔x 〕在〔0，+∞〕上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 那么x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f 〔x 〕=﹣1在〔0，π〕上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ，即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 应选B ．【点睛】此题考察了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题． 10.抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，那么ABC ∆的重心坐标为〔 〕A. 14,19⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,09⎛⎫⎪⎝⎭C. 14,027⎛⎫⎪⎝⎭D.14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 那么1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，那么12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，应选C. 【点睛】此题主要考察理解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的才能有一定的要求，属于中档题.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点〔点M 与A 、1C 不重合〕，那么以下结论正确的个数为〔 〕①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得//DM 平面1BC D ；③假设1A DM 的面积为S ，那么23233S ⎛∈ ⎝；④假设1S 、2S 分别是1A DM 在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，那么存在点M ，使得12S S .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】平面1A DM 与平面11A B CD 为同一平面,证明1B C ⊥平面11A B CD 即可判断①；由证明平面1//A BD 平面11B D C 判断②；连接1AD 交1A D 于点O ,当1OM AC ⊥时可得1AD OM ⊥,利用相似可得111OM OAC D AC =,进而求得1A DM 的最小面积,即可判断③；分别判断点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 、2S 的范围,进而判断④.【详解】连接1B C ,1BC ,设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ,由11B C BC ⊥,1DC BC ⊥可得1B C ⊥平面11A B CD ,即1B C ⊥平面1A DM ,所以存在点M ,使得平面1A DM ⊥平面1BC D ,所以①正确； 连接BD ,11B D ,由11//BD B D ,11//A D B C ,利用平面与平面平行的断定,可证得平面1//A BD 平面11B D C ,设平面1A BD 与1AC 交于M ,可得//DM 平面11B D C ,所以②正确； 连接1AD 交1A D 于点O ,过O 点作1OM AC ⊥,在正方体1111ABCD A B C D -中,1AD ⊥平面11ABC D ,所以1AD OM ⊥,所以OM 为异面直线1A D 与1AC 的公垂线,根据11AOM AC D ∽,所以111OM OAC D AC =,即1113OA C D OM AC ⋅===,所以1A DM的最小面积为11112233A DMSA D OM =⨯⨯=⨯=, 所以假设1A DM 的面积为S ,那么S ∈⎣,所以③不正确； 在点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 从1减少趋向于0,即1(0,1)S ∈,2S 从0增大到趋向于2,即2(0,2)S ∈,在此过程中,必存在某个点M 使得12S S ,所以④是正确的,综上可得①②④是正确的, 应选:C【点睛】此题考察面面垂直的判断,考察线面垂直的判断,考察空间中线面关系的判断,考察空间想象才能.12.函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，那么〔 〕 A. a b = B. a b <C. a b >D. ,a b 的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系.【详解】由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==，易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得01x ex =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==， 设'()0g x =，可得1x =或者者2x e x -=，由2x y e -=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x ex -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e---==+-=+--=-，故1a b ==-，应选：A.【点睛】此题主要考察利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 二、填空题〔一共4题，每一小题5分〕13.二项式2nx ⎛- ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，那么3x 的系数为__________. 【答案】240 【解析】 【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得n 的值，可得通项公式，在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得3x 的系数.【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为1(2)rrn rr nT C x -+⎛= ⎝，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5， 可得：12:2:5n n C C =，解得：6n =.所以1(2)rr n r r n T C x -+⎛= ⎝366262(1)r r r r C x --=-，令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为262262(1)240C --=，应选C.【点睛】该题考察的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项式系数，二项展开式的通项公式，展开式中特定项的系数，属于简单题目.14.数学教师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(]0-∞，上函数单调递减；乙：在[)0+∞，上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称；丁：()0f 不是函数的最小值．教师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据四位同学的答复，不妨假设其中的任何三个同学答复正确，然后推出另一位同学的答复是否正确来分析，表达了反证法的思想. 【详解】假如甲、乙两个同学答复正确，因为在[)0+∞，上函数单调递增， 所以丙说：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称是错误的，此时()0f 是函数的最小值，所以丁的答复也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾，所以应该是甲、乙两个同学有一个答复错误， 此时丙正确，那么乙就是错误的. 故答案为乙.【点睛】此题利用函数的性质考察逻辑推理才能和反证法思想，考察数形结合思想的运用. 15.ABC ∆的一内角3A π=，10AB =，6AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC +=，那么3m n +的值是__________.【答案】45【解析】 【分析】由OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心，根据向量数量积可得AO AB AO AC ⋅⋅、的值，代入AO mAB nAC =+可的m 、n 的方程组，即可求得m 、n 的值，进而求得3m n +的值．【详解】因为OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心 所以1cos 502AO AB AB AO BAO AB AB ⋅=∠=⨯= 1cos 182AO AC AC AO CAO AC AC ⋅=∠=⨯=而AO mAB nAC =+，且1cos1063032AB AC AB AC π⋅==⨯⨯= 即()()5018AO AB mAB nAC AB AO AC mAB nAC AC ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩化简得1003050303618m n m n +=⎧⎨+=⎩解得71519m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以714331595m n +=+⨯= 【点睛】此题考察了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题．16.ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，假设2A B =，那么2c bb a+的取值范围为__________． 【答案】()2,4【解析】 由正弦定理可知．()sin 2sin 2sin 2sin sin cos 2sin cos sin sin sin sin sin sin A B c b C B B A B BA b aB A B A B A++=+=+=++，又2A B=，那么22sin cos sin 2cos 2sin cos 2cos sin sin sin A B B B B BBB B B===，2sin 2sin 1sin sin 2cos B B A B B ==，从而2214cos 1cos c b B b a B+=-+，又2A B =，知3πA B B +=<，所以π03B <<，那么1cos 12B <<，换元可令cos t B =，那么2211min max 2212141|2,41|4t t c b c b t t a a t a a t ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-=+<+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故此题应填()2,4．三、解答题：〔本大题一一共5小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〕17.数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=〔p 为常数〕.〔1〕假设1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值；〔2〕是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由. 【答案】〔Ⅰ〕p=1；〔Ⅱ〕存在实数2p =，使得{a n }为等比数列 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由求得a 2，a 4，再由-a 1，21a 2，a 4成等差数列列式求p 的值； 〔Ⅱ〕假设存在p ，使得{a n }为等比数列，可得2213a a a ，求解p 值，验证得答案．【详解】〔Ⅰ〕由a 1=2，112pn n n a a ++=，得p 122a 2+=，p2a 2=，那么p 2p 132a 2+=，p 13a 2+=，p 13p 142a 2++=，2p 4a 2=．由1a -，21a 2，a 4成等差数列，得a 2=a 4-a 1， 即2222p p =-，解得：p=1；〔Ⅱ〕假设存在p ，使得{a n }为等比数列，那么2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，那么2p=p+2，即p=2． 此时121122pn n n n a a +++==， 23122n n n a a +++=，∴2n 2n24a a +==， 而3122a a =，又12a =，所以24a =，而21a 2a 42==，且242=， ∴存在实数2p =，使得{a n }为以2为首项，以2为公比的等比数列． 【点睛】此题考察数列递推式，考察等差数列与等比数列的性质，是中档题． 18.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =.〔1〕求证：//BF 平面ADE ； 〔2〕G 为线段CF 上的点，当14CG CF =时，求二面角B EG D --的余弦值. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕14. 【解析】 【分析】〔1〕根据四边形ABCD 是矩形，得到//BC AD ，根据线面平行的断定定理得到//BC 平面ADE ，进而得到//CF 平面ADE ，利用面面平行的断定定理证得平面//BCF 平面ADF ，利用面面平行的性质得到//BF 平面ADE ，证得结果；〔2〕根据题意，证得平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，那么AO ⊥平面CDEF ，建立空间直角坐标系O xyz -，写出相应点的坐标，利用空间向量求得二面角的余弦值.【详解】〔1〕证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以//BC AD ， 又因为BC ⊄平面ADE ，所以//BC 平面ADE ，因为//DE CF ，CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ， 又因为BCCF C =，所以平面//BCF 平面ADF ，而BF ⊂平面BCF ，所以//BF 平面ADE .〔2〕解：因为CD AD ⊥，CD DE ⊥，所以60ADE ∠=︒， 因为CD ⊥平面ADE ，故平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，那么AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如下图的空间直角坐标系O xyz -，由2AD =，3DE =，60ADE ∠=︒，得1DO =，2EO =， 那么(0,0,3)A ，(3,1,0)C -，(0,1,0)D -，(0,2,0)E ，所以3)OB OA AB OA DC =+=+=，由1(3,,0)2G ，所以(3,2,3)BE =--，10,,32BG ⎛= ⎝，设平面BEG 的一个法向量为(,,)m x y z =，那么32301302m BE x y z m BG y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取3x =，6y =，3z =3)m =，又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以31cos ,||||49363m n m n m n ⋅<>===⋅++，即二面角B EG D --的余弦值为14.【点睛】该题考察的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的断定，面面平行的断定和面面平行的性质，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题目.19.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量120BF BF ⋅=.〔1〕假设(2,0)A ，求椭圆的HY 方程；〔2〕设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？假设存在，求出其斜率；假设不存在，说明理由.【答案】〔1〕22142x y +=；〔2〕存在满足条件的直线，斜率12k =-±. 【解析】 【分析】〔1〕由题易知a 2=，因为120BF BF =，所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由此可求b ，即可得到椭圆的HY 方程;〔2〕由〔1〕可得22b c =．222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y那么()()1001,,,F P x c y F B c c =+=由题意得120BF BF =,即000x c y ++=，又因为P在椭圆上，所以22002212x y c c+=,联立可得41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，那么1122,33x c y c =-=，利用两点间的间隔 公式可得圆的半径r ．设直线的方程为：()k y x c =-．利用直线与圆相切的性质即可得出． 【详解】〔1〕易知a 2=，因为120BF BF =所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由222a b c -=可知b =故椭圆的HY 方程为：22142x y +=〔2〕由得22b c =,222a c =设椭圆的HY 方程为222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y因为()()1,0,0,F c B c -,所以()()1001,,,F P x c y F B c c =+= 由题意得120BF BF =,所以000x c y ++=又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c+=,由以上两式可得200340x cx +=因为P 不是椭圆的顶点，所以0041,33x c y c =-=，故41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，那么1122,33x c y c =-= 圆的半径r 3c ==假设存在过2F 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为()k y x c =-r =,3c =即2202010k k +-=，解得12k =-±故存在满足条件的直线．【点睛】此题中考察了椭圆与圆的HY 方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的间隔 公式、中点坐标公式等根底知识与根本技能方法，考察了推理才能和计算才能，属于难题．20.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进展，每人必须在1分钟内完成，否那么派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，那么该团队进入下一关，否那么淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间是的频率分布直方图.〔1〕假设甲解开密码锁所需时间是的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；〔2〕假设以解开密码锁所需时间是位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间是位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为，各人是否解开密码锁互相HY. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小. ②试猜测：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望到达最小，不需要说明理由.【答案】〔1〕0.024a =；0.026b =；甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9；乙在1分钟内解开密码锁的频率是0.7〔2〕①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙 【解析】 【分析】〔1〕根据甲解开密码锁所需时间是的中位数求得b ，根据频率求得a ，由此求得甲在11分钟内解开密码锁的频率. 〔2〕①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法. ②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法.【详解】〔1〕甲解开密码锁所需时间是的中位数为47，∴0.0150.014550.0345b ⨯+⨯+⨯+⨯()0.0447450.5+⨯-=，解得0.026b =； ∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =； ∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；〔2〕由〔1〕知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =且各人是否解开密码锁互相HY ；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X 那么()121P X p ==，()()23112P X p p =-=，()()()231131p p P X =--=，()()()()21332223111E X p p p p p +-+--=232332p p p p =--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， 〔下面是理由，给教师和学生参考〕设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；那么()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1221121311E X p p p p p +-+--=121232p p p p =--+，∴()()121213E p p p p p X =-++-，假设交换前两个人的派出顺序，那么变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 假设保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序， ∵交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序那么期望值变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙， 这样能使所需派出的人员数目的均值〔教学期望〕到达最小.【点睛】本小题主要考察随机变量分布列和数学期望的求法，考察频率分布直方图频率、中位数有关计算，考察分析、考虑与解决问题的才能，属于中档题. 21.函数()()ln,02x bf x ax a b x =-+>，对任意0x >，都有()40f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ()1讨论()f x 的单调性；()2当()f x 存在三个不同的零点时，务实数a 的取值范围.【答案】(1) 当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x在11,22a a ⎛+⎪⎝⎭上单调递增.；(2) 104a << 【解析】 【分析】〔1〕根据()40f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得4b a =，得到()4ln 2x a f x ax x =-+，求导后，分别在0∆≤和>0∆两种情况下讨论导函数符号，得到单调性；〔2〕根据〔1〕中所求单调性，否认14a ≥的情况；在104a <<时，首先求得2x =为一个零点；再利用零点存在性定理求解出221,x a ⎛⎫⎪⎝⎭中存在一个零点0x ；根据()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可确定另一个零点04x ，从而可知104a <<满足题意. 【详解】〔1〕由()424ln ln 024x b a xb f x f ax x x x x ⎛⎫+=-++-+=⎪⎝⎭，得4b a = 那么()4ln 2x a f x ax x =-+，()222144(0)a ax x af x a x x x x-+-'=--=> 假设21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()f x 在()0,∞+单调递减 假设21160a ∆=->，即104a <<时，()24h x ax x a =-+-有两个零点零点为：10x =>，20x =>又()24h x ax x a =-+-开口向下当10x x <<时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减 当12x x x <<时，()0h x >，()0f x '>，()f x 单调递增 当2x x >时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减 综上所述，当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在11,22a a ⎛+ ⎪⎝⎭上单调递增〔2〕由〔1〕知当14a ≥时，()f x 单调递减，不可能有三个不同的零点；当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增()22ln 2202f a a =-+=，又124x x =，有122x x <<()f x 在()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >= ()4ln 2x af x ax x=-+23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a -+=-++=令()41221h a a a =-+，()3482h a a ='-单调递增由()34820h a a -'==，求得014a => 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭ ()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故210f a ⎛⎫<⎪⎝⎭，()20f x >，221x a > 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫⎪⎝⎭有一个根，设为：0x 又()0040f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点04x ，2，0x【点睛】此题考察讨论含参数函数的单调性问题、利用导数研究函数零点的问题.解决零点个数问题的关键是可以选取适宜的区间，利用零点存在性定理证得在区间内存在零点，从而使得零点个数满足题目要求；难点在于零点所在区间的选择上，属于难题.22.在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t=⎧⎨=⎩〔t 为参数，0a >〕.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭〔1〕设P 是曲线C上的一个动点，当a =P 到直线l 的间隔 的最大值；〔2〕假设曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕〔2〕(0,. 【解析】 【分析】〔1〕将直线l 极坐标方程转化成直角坐标，设出P 点坐标，利用点到直线的间隔 公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P 到直线l 的间隔 的最大值； 〔2〕由题意可知：t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>恒成立，利用辅助角公式，只需4<，即可求得a 的取值范围.【详解】〔1〕由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos sin )2ρθρθ-=-,化成直角坐标方程得)2x y -=-, ∴直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设,2sin )P t t ， 那么P 到直线l 的间隔d ==)6t π=++， 当26t k ππ+=，即26t k ππ=-，k Z ∈时，max d =故点P 到直线l 的间隔的最大值为.〔2〕因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>)40t ϕ++>〔其中2tan aϕ=〕恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a 取值范围(0,.【点睛】该题考察的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，利用参数方程求曲线上的点到直线间隔 的最值，恒成立问题的转化，属于简单题目.23.a ，b ，c 均为正实数，求证： 〔1〕()2()4a b ab cabc ++≥；〔2〕假设3a b c ++=≤【答案】证明过程详见解析 【解析】 【分析】⑴将求证的不等式进展化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立 1231222a a +++≤=，同理可得另外两个也是成立，结合条件即可求证结果【详解】证明：(1)要证()()24a b ab cabc ++≥，可证222240a b ac ab bc abc +++-≥，需证()()2222b 220ac ac a c b bc +-++-≥， 即证()()220b a c a c b -+-≥，当且仅当a b c ==时，取等号，由，上式显然成立， 故不等式()()24a b ab cabc ++≥成立．(2)因为,,a b c 均为正实数， 1231222a a +++≤=，当且仅当12a +=时，取等号， 1231222b b +++≤=当且仅当12b +=时 ，取等号，123222c c +++≤=当且仅当12c +=时，取等号，62a b c d+++≤=+≤1a b c ===时，取等号．【点睛】此题考察了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用根本不等式、对要证明的不等式进展化简等方法来求证，关键是要灵敏运用根本不等式等方法求证结果．。

甘谷第一中学2021届高三数学第七次检测试题 文创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日第I 卷〔选择题〕一．单项选择题。

此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的 1．i 是虚数单位，41iz i=- 那么||z = A 2 B 22 C 4 D 422. 假设集合201x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}12B x x =-<<，那么A B =A [)22-，B (-1，2)C (-1，1)D (]11-，3．向量，1b =，(2)2a a b -=，那么a 在b 方向上的投影为:A 2B 1C 2-D 1-4．函数1ln(1)y x x =-+的图象大致为:A B C D5.函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，假设点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，那么11m n+的最小值为:; A 322- B 5 C 322+ D 32+6.如下图的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，那么此点取自等边三角形内的概率是 :ABCD {}n a ，,11=a 又11+=n n n a a b ，那么{}n b 的前n 项和n T 为:A 12+n nB 1212+-n nC 121-+n n D 12-n8．圆222 (0)x y r r +=>与抛物线22y x =交于,A B 两点，与抛物线的准线交于,C D 两点，假设四边形ABCD 是矩形，那么r 等于 :A2B 2 CD 9．如下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体外接球的体积为:A ．323π B ．643π CD ．32π 10．函数()f x 的定义域为R ，且()(3)f x f x =-，当20x -≤<时，2()(1)f x x =+；当01x ≤<时，()21f x x =-+，那么(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++=A 671B 673C 1343D 134512222=-by a x 的左右焦点分别为12F F ，，左右顶点为,,21A A 虚轴的一个端点为B ，以线段21F A 为直径的圆交线段B A 1的延长线于点P ，假设22//PF BA ,那么双曲线渐近线为:A x y 2±=B x y 2±=C x y 3±=D x y ±=12．设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)(x f '，且有2)()(2x x f x x f >'+，那么不等式0)2(4)2018()2018(2>--++f x f x 的解集为:A )0,2020(-B )2020,(--∞C )0,2016(-D )2016,(--∞第II 卷〔非选择题〕二、填空题。

一、等比数列选择题1．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180B ．160C ．210D ．2502．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16- 3．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ）A ．6B ．16C ．32D ．644．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（ ） A ．1625B ．49C ．12D ．15．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110246．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n7．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．88．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45B ．54C ．99D ．819．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8B ．8±C ．8-D ．110．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏12．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >13．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1614．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±15．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（ ）. A ．7B ．8C ．9D ．1016．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ） A ．25B ．254C ．5D ．2517．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．1或2 C ．-2或2 D ．-2或1或2 18．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ）A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定19．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092B ．2047C ．2046D ．102320．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40B ．81C ．121D ．242二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．题目文件丢失！24．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a <<B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <26．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +< 27．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥28．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍29．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．数列{}n a 是等比数列 B ．数列{}1n n a a +是等比数列C ．数列{}2lg na是等比数列D ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列30．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．8601a a << C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T31．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路32．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）A ．nB ．nqC ．()121n n n q nq nq q q ++---D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---33．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <34．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 1035．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，99100101a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于198【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C 2．C 【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】因为254,32a a ==，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2424416a a q ==⨯=，故选：C. 3．C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ． 4．D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号，所以当1n =或2n =时，()*na n N n∈取得最小值1， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 5．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 6．D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1，所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 7．A 【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 8．C 【分析】利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=.故选C 9．A 【分析】分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2750a a q =>，由等比中项的性质可得275964a a a ==，因此，78a =.故选：A. 10．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项.解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 11．C 【分析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-， 解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 12．B由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】设等比数列的公比为q ， 则()()()2321234111+++1+1+0a a a a a q q qa q q +++==≥，可得1q ≥-，当1q =-时，12340a a a a +++=，()21230a a a ++≠，1q ∴>-，()21234123a a a a a a a +++=++，即()223211+++1++q q q a q q =，()231221+++11++q q q a q q ∴=>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小. 13．D 【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.【详解】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D. 14．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩，15．C 【分析】根据()*122n n a S n N ++=∈可求出na的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合不等式可求n 的最大值. 【详解】1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C 16．B 【分析】由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】由等比数列的性质，可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以685a a +=，所以268113682524a a a a a a +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭， 当且仅当6852a a ==时取等号． 故选：B . 17．C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 当1q =时，4121422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()()41424222111115111a q S q q q S qa q q---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 18．A根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2x q =，即可求得x 的值. 【详解】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>， ∴4x =， 故选：A 19．A 【分析】根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12,2nn a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212-=-.故选：A. 20．C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113a q S q--===--， 故选：C.二、多选题 21．无 22．无 23．无24．ABC利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b < 又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 25．ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n nn a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 26．BCD 【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】A ，当101a q >⎧⎨>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；D ，若10a >，11nn a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 27．ACD 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；因为131(31)132nn n S -==--，所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-， 因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数， 所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确； 因为551(31)=1212S =-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 28．BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果.【详解】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 29．ABD 【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1n na q a +=， 对于A ，对于数列{}n a ，则有1||n na q a ，{}n a 为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}1n n a a +，有211n n n na a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}2lg n a 不是等比数列，C 错误；对于D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有11111n n n n a a a q a --==，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 30．ABD 【分析】先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题. 31．ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确； 对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++=⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 32．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =,即()()()211137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,故1n a =或n a n =,所以n b q =或nn b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,①当n b q =时,n S nq =；②当nn b n q =⋅时,23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）, 2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,（1）-（2）得：()()2311111n n n n n q q q S q q q q n q n q q++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅,所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,故选：BD 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 33．BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 34．AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 35．ABD 【分析】由已知9910010a a ->，得0q >，再由99100101a a -<-得到1q <说明A 正确；再由等比数列的性质结合1001a <说明B 正确；由10099100·T T a =，而10001a <<，求得10099T T <，说明C 错误；分别求得1981T >，1991T <说明D 正确.【详解】对于A ，9910010a a ->，21971·1a q ∴>，()2981··1a q q ∴>.11a >，0q ∴>.又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <. 01q ∴<<，故A 正确；对于B ，299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，991010?1a a ∴<<，即99101·10a a -<，故B 正确； 对于C ，由于10099100·T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故C 错误； 对于D ，()()()()19812198119821979910099100·····991T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=⨯>， ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故D 正确.∴不正确的是C .故选：ABD . 【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

必刷小题-函数与方程一、单项选择题1．(2023·信阳模拟)函数f (x )＝2x ＋ln x －4的零点所在的区间为()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案B解析f (x )＝2x ＋ln x －4，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (x )的唯一零点在区间(1,2)上．2．(2023·北京模拟)函数f (x )2＋2x －3，x ≤0，x －2，x >0的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3答案C解析当x ≤0时，令f (x )＝x 2＋2x －3＝0，则(x －1)(x ＋3)＝0，解得x ＝1(舍去)或x ＝－3；当x >0时，令e x －2＝0，解得x ＝ln 2，所以f (x )的零点个数为2.3．(2023·大庆模拟)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案C解析由题意可知，函数f (x )＝2x －2x－a 在(1,2)上单调递增，因为f (x )的一个零点在区间(1,2)内，所以f (1)f (2)<0，1－21－2－22－，解得0<a <3.4．(2023·无锡模拟)函数f (x )＝2x ln x 24x ＋1的部分图象大致为()答案A解析f(x)＝2x ln x24x＋1变形为f(x)＝ln x22x＋2－x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝ln(－x)22－x＋2x＝ln x22x＋2－x＝f(x)，故f(x)为偶函数，关于y轴对称．当0<x<1时，f(x)<0，当x≥1时，f(x)≥0，故B，C错误；又当x→＋∞时，f(x)→0，故D错误，A正确．5．若函数y1＝a·x2，y2＝c·2x，y3＝b·x3，则由表中数据确定f(x)，g(x)，h(x)依次对应()x f(x)g(x)h(x)120.20.255025 3.210200200102.4A.y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2答案D解析因为f(5)f(1)＝25＝512，f(10)f(5)＝4105，所以f(x)＝y1；因为g(5)g(1)＝125＝513，g(10)g(5)＝8＝1053，所以g(x)＝y3；因为h(5)h(1)＝16＝2521，h(10)h(5)＝32＝21025，所以h(x)＝y2.6．(2023·渭南模拟)函数f(x)＝sin x＋π2|lg x|的零点个数为()A．2B．3C．4D．5答案C解析f(x)的零点个数，即为y＝sin x＋π2cos x与y＝|lg x|图象的交点个数，在同一平面直角坐标系下，两个函数图象如图所示，由图可知，两函数共有4个交点，故f (x )有4个零点．7．(2024·凉山模拟)成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，于2022年12月26日正式开通运营．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I (单位：W/m 2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L (单位：dB)与声强I 的函数关系式为L ＝若提速前列车的声强级是100dB ，提速后列车的声强级是50dB ，则提速前列车的声强是提速后列车声强的()A ．106倍B ．105倍C ．104倍D ．103倍答案B解析设提速前列车的声强为I 1，提速后列车的声强为I 2，由题意知，100＝50＝得10，5，则10－5＝5，即5，解得I1I 2＝105.8．若函数f (x )2(－x )，x <0，x ＋21－x －a ，x ≥0的所有零点之和为0，则实数a 的取值范围为()A ．(22，3]B ．[22，3]C ．(22，＋∞)D ．[22，＋∞)答案A解析当x <0时，易得f (x )的零点为x 0＝－1；当x ≥0时，f (x )＝2x ＋21－x －a ，∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝f (1－x )，∴f (x )的图象在[0,1]上关于直线x ＝12对称．又f ′(x )＝(22x －2)ln 22x，当x >12时，f ′(x )>0，故f (x )当0<x <12时，f ′(x )<0，故f (x )且f (0)＝1＋2－a ，f 22－a .∵f (x )的所有零点之和为0，故f (x )在[0，＋∞)上有2个不同的零点，0)≥0，，解得22<a ≤3.故实数a 的取值范围为(22，3]．二、多项选择题9．设f (x )＝2x ＋3x －7，某学生用二分法求方程f (x )＝0的近似解(精确度为0.1)，列出了它的对应值如表：x 01 1.25 1.375 1.4375 1.52f (x )－6－2－0.87－0.280.020.333若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为()A ．1.31B ．1.38C ．1.43D ．1.44答案BC解析∵y ＝2x 与y ＝3x －7都是R 上的增函数，∴f (x )＝2x ＋3x －7是R 上的增函数，∴f (x )在R 上至多有一个零点，由表格中的数据可知，f (1.375)＝－0.28<0，f (1.4375)＝0.02>0，∴f (x )在R 上有唯一零点，零点所在的区间为(1.375,1.4375)，即方程f (x )＝0有且仅有一个解，且在区间(1.375,1.4375)内，∵1.4375－1.375＝0.0625<0.1，∴[1.375,1.4375]内的任意一个数都可以作为方程的近似解，∵1.31∉[1.375,1.4375]，1.38∈[1.375,1.4375]，1.43∈[1.375，1.4375]，1.44∉[1.375,1.4375]，∴符合要求的方程的近似解可以是1.38和1.43.10．(2023·济宁模拟)下列函数中，是奇函数且存在零点的是()A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝x 3＋xC ．y ＝D ．y ＝答案BD解析对于A ，设f (x )＝x ＋1x，x ≠0，则f (－x )＝－x ＋1－x＝－f (x )，得y ＝x ＋1x 为奇函数，令x ＋1x ＝0，方程无解，即函数不存在零点，故A 不符合；对于B ，设f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，则f (－x )＝(－x )3－x ＝－x 3－x ＝－f (x )，得y ＝x 3＋x 为奇函数，令x 3＋x ＝0，得x ＝0，即函数存在零点，故B 符合；对于C ，设f (x )＝cos x ，是R 上的偶函数，故C 不符合；对于D ，设f (x )＝sin x ，是R 上的奇函数，且存在零点，故D 符合．11．(2024·湛江模拟)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y (单位：ppm)与排气时间t (单位：分)之间满足函数关系y ＝f (t )，其中f ′(t )f (t )＝R (R 为常数)．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm ，人就可以安全进入车库，则下列说法正确的是()A ．R ＝14e-B ．R ＝－ln 24C ．排气12分钟后，人可以安全进入车库D ．排气32分钟后，人可以安全进入车库答案BD 解析因为f ′(t )f (t )＝R ，所以可设f (t )＝a ·e Rt (a ≠0)．·e4R＝64，·e8R＝32，解得R＝－ln24，a＝128，故B正确，A错误；所以f(t)＝ln24128e-，当f(t)≤0.5，即ln24128e t-≤0.5时，得ln24e t-≤1256，所以－ln24t≤ln1256，即t≥－4ln2－8ln2＝32，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C错误．12．(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)x－1＋21－x－2，x≥0，2＋2x＋12，x<0，若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则()A．x1＋x2＝－2B．0<x3<1<x4<2C．x3x4≥1D．x1＋x2＋x3＋x4＝0答案ABD解析如图所示，作出f(x)x－1＋21－x－2，x≥0，2＋2x＋12，x<0和y＝t的图象．当x＝0时，f(0)＝12＋2－2＝12.因为存在x1，x2，x3，x4使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，所以0<t<12.由图象可知x1，x2关于x＝－1对称，所以x1＋x22＝－1，所以x1＋x2＝－2，故A正确；当x≥0时，令f(x)＝12，即2x－1＋21－x－2＝12，解得x＝0或x＝2.所以由图象可知0<x3<1<x4<2，故B正确；因为当x≥0时，f(x)＝2x－1＋21－x－2，所以f(1＋x)＝2x＋2－x－2，f(1－x)＝2－x＋2x－2，所以当0≤x≤2时，有f(1＋x)＝f(1－x)，即f(x)的图象关于x＝1对称，所以x3，x4关于x＝1对称，所以x3＋x42＝1，所以x3＋x4＝2，即x4＝2－x3，所以x3x4＝(2－x3)x3＝－(x3－1)2＋1(0<x3<1)．因为x3<1，所以x3x4<1，故C错误；因为x3＋x4＝2.又x1＋x2＝－2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝0，故D正确．三、填空题13．已知函数f(x)的表达式为f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2＝________.答案3 2解析因为f(1)＝1－4log21＝1>0，f(3)＝3－4log23<3－4log22＝－1<0，根据二分法可得，x1＝2，且f(2)＝2－4log22＝－2<0，所以零点所在的区间为[1,2]，所以x2＝3 2 .14．(2023·潍坊模拟)写出一个同时满足下列三个性质的函数f(x)＝________.①f(x)是奇函数；②f(x)在(2，＋∞)上单调递增；③f(x)有且仅有3个零点．答案x(x＋1)(x－1)(答案不唯一)解析由f(x)是奇函数，不妨取f(0)＝0，且函数图象关于原点对称，又f(x)有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，若保证f(x)在(2，＋∞)上单调递增，显然f(x)＝x(x＋1)(x－1)满足题意．15．为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”．新的计划有以下几点要求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩为10万元或10万元以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元．设业绩为x(10≤x≤300)万元时奖金为f(x)千元，下面给出三个函数模型：①f(x)＝k·x＋b；②f(x)＝k·log2x＋b；③f(x)＝k·x2＋b.其中k>0，b∈R.请选择合适的函数模型，计算当业绩为100万元时，奖金为________千元．答案33解析根据题意，当k>0，b∈R时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高而提高”，而只有模型“f(x)＝k·x2＋b”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”，故选择模型③：f(x)＝k·x2＋b.k＋b＝0，k＋b＝1，＝1300，＝－13，所以f(x)＝1300x2－13，当x＝100时，f(x)＝1300×1002－13＝33.16．(2024·长春模拟)已知f(x)2＋5x＋4|，x≤0，x－2|，x>0，若y＝f(x)－a|x|恰有3个零点，则a的取值范围是______．答案a＝0或a≥2解析由f(x)－a|x|＝0得f(x)＝a|x|，作出函数y＝f(x)，y＝a|x|的图象，如图所示．当a＝0时，满足条件，当a≥2时，y＝a|x|与y＝f(x)有3个交点，故a的取值范围是a＝0或a≥2.。