(假期一日一练)年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题58 巧选数学模型解排列组合问题

专题19 利用函数模型解决实际问题【热点聚焦与扩展】在近几年的高考试卷中，以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．注重在知识的交汇点命题，与三角函数、解三角形、不等式、导数、解析几何、概率统计、数列等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.1、使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）.以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值（2）需用到的数学工具与知识点：①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示.②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值③均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值.④分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解（3）常见的数量关系：①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：平行四边形面积=底⨯高梯形面积=12⨯（上底+下底）⨯高三角形面积=12⨯底⨯高②商业问题：总价=单价⨯数量利润=营业额-成本=货物单价⨯数量-成本③利息问题：利息=本金⨯利率本息总和=本金+利息=本金⨯利率+本金（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数.涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数.2、使用线性规划模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题 （2）与函数模型的不同之处① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值） ② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值.（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关 （2）需要用到的数学工具与知识点：① 正弦定理：设ABC V 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，则有sin sin sin a b cA B C==② 余弦定理（以a 和对角A 为例），2222cos a b c bc A =+- ③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数()sin y A x ωϕ=+的值域 （3）解题技巧与注意事项：① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围【经典例题】例1．【2018届上海市松江、闵行区高三下学期（二模）】某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？【答案】(1)(2)第5天至第15天该公司日销售利润不低于元.【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论，分别求得销售量，然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为（2）结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.综上可得：（2）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，无解.故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．例2.【2018年江苏省高考冲刺预测卷一】秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用（元）与使用年数的关系为：（，且），已知第二年付费1800元，第五年付费6000元.}（Ⅰ）试求出该农机户用于维修保养的费用（元）与使用年数的函数关系；（Ⅱ）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）14.【解析】试题分析：根据第二年付费元，第五年付费元可得关于的方程组，解出即可得到则依题意，，，当且仅当，即时取等号.所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大.例3．【2018届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下第三次联考】某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份.的大小可得选择的结论．X 62 71 80P 0．1 0．2 0．7∴元．（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为Y 58 67 76 85P 0．1 0．2 0．16 0．54∴的数学期望为元．由以上的计算结果可以看出，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．∴所以小店应选择一天购进17份．例4．【2018届江苏省无锡市高三上期末】如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.，求出，分两区间讨论的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，，所以，又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，所以在上单调递减，当时，，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.例5.如图所示，甲船以每小时302n?mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距20n?mile ．当甲船航行 20min 到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120︒方向的2B 处，此时两船相距102mile n ，问乙船每小时航行多少n?mile ？【答案】302n?mile . 【解析】试题分析：连接12A B ，先得122A A B V 是等边三角形，求出12A B ，在121A B B V 中使用余弦定理求出12B B 的长，除以航行时间得出速度．试题解析：如图，连结12A B ,由题意知, 221220102nmile,302102nmile 60A B A A ===.所以1222A A A B =.又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒，答：乙船每小时航行 302nmile .例6.【2018届江苏省南通、徐州、扬州等六市高三二模】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面； 方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径； （2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？【答案】(1) ()()52π1r +=；(2) 210.【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为rdm ，根据矩形薄铁皮的面积为1002dm ，即可求得r 的值；试题解析：（1）设所得圆柱的半径为rdm ，则()2π24100r r r +⨯=，解得()()52π1r +=（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则2{ 1004x a a a x ≤≤-，，即2{ 20.xa a x≤≤，方法一：所得正四棱柱的体积3202104{ 400210.x x V a x x x<≤=≤>，，，记函数()302104{ 40010.x x p x x x<≤=>，，，则()p x 在(0210上单调递增，在)210⎡+∞⎣，上单调递减. ∴当10x =时， ()max 2010p x =∴当10x =， 10a = max V = 103．（2）当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．例7.【2018届江苏省南通市高三上第一次调研】如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离； （2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）165m （2）①最小值为)2640021m ②当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥，由()2222,{400,y x x y y =+=≥得165y =.所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+ 80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθθ+=+.所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()1600284≥ )640021=.当且仅当22t =sin 222θ=时“=”成立. 所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)2640021m .答：当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.例8.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月月考】现有一块大型的广告宣传版面，其形状是右图所示的直角梯形ABCD .某厂家因产品宣传的需要，拟投资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形DEFG （点F 在曲线段AC 上，点E 在线段AD 上）.已知12BC m =， 6AB AD m ==，其中曲线段AC 是以A 为顶点， AD 为对称轴的抛物线的一部分.（1）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段AC 与线段DC 的方程； （2）求该厂家广告区域DEFG 的最大面积.【答案】(1) ()21063y x x =-≤≤， ()606y x x =--≤≤；(2)最大值是2272m则()00A ，， ()6,0B ， ()6,12C -， ()0,6D -， 曲线段AC 的方程为： ()21063y x x =-≤≤； 线段DC 的方程为： ()606y x x =--≤≤；（2）设点21,3F a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则需2163a ->-，即032a <<令()0f a '=，得3a =， 2a =-.∴()f a 在(]0,3上是增函数，在3,32⎡⎤⎣⎦上是减函数.∴()()2732f a f ==. ∴厂家广告区域DEFG 的面积最大值是2272m . 点睛:本题利用已知函数模型解决实际问题，关键是合理建系设出点坐标即可表示出面积的表达式，利用导数研究单调性即可求出最值.例9. 时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格:x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26,x m <<为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． （1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数） 【答案】（1）10；（2）约为3.3.【解析】解：（1）将4,21x y ==代入关系式可得：()221446102m m =+-⇒= （2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为()2x -元，所以总的利润()()()2102462f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪-⎝⎭，其中26x <<，利用导数判定()f x 的单调性，进而可求得最大值点x()f x ∴在103x =取得最大值，即 3.3x ; 例10.如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数()()()(]sin 0,0,0,,4,0y A x A x ωϕωϕπ=+>>∈∈-的图像，图像的最高点为()1,2B -，边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ，游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧»DE（1）求曲线FGBC 的函数表达式（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G ，修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 的长度（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧»DE上，且POE θ∠=，求平行 四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值 【答案】（1）22sin 63y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（210（3）6πθ=时，OMPQ S 23 .【解析】解：（1）由()1,2B -可知2A =，()4,0F -Q∴ 对于()sin y A x ωϕ=+，()()41412T =---=⎡⎤⎣⎦26T ππω∴==（2）由已知可得1G y = 2212sin 1sin 63632G G x x ππππ⎛⎫⎛⎫∴+=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2=2636G x k ππππ∴++或25=2636G x k ππππ++ 解得：312G x k =-+或112G x k =+，由()4,0G x ∈-可得：()3,1G -10OG ∴=（3）由图可知，3,1OC CD ==2,6DO COD π∴=∠=12323232cos 2sin 2sin 2333OMPQS OM PP θθθθθ⎛⎫∴=⋅=-⋅=+- ⎪⎝⎭432320,3633ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2626πππθθ∴+=⇒=时，OMPQ S 23【精选精练】1．【2018年北京市门头沟一模】某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。

专题17 恒成立问题——数形结合法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.1、函数的不等关系与图象特征：（1）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x <⇔的图象始终在()g x 的下方 （2）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x >⇔的图象始终在()g x 的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征【经典例题】例1．【2018届浙江省金华十校4月模拟】若对任意的，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】9 【解析】若对任意的，恒成立，可得： 恒成立，令，，原问题等价于：，结合对勾函数的性质分类讨论：(1)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；(2)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；当时，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；综上可得：实数的最大值为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.例2.【2018届一轮训练】已知log12 (x＋y＋4)<log12(3x＋y－2)，若x－y≤λ恒成立，则λ的取值范围是______________．【答案】[10，＋∞)点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.例3．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】已知函数定义域为，，，令，图象如图，∵函数在上不单调，∴区间在零点1或3的两侧，或，解得或.即实数的取值范围是.点睛：利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想例4．【2018届二轮训练】对于0≤m≤4的任意m ，不等式x 2＋mx>4x ＋m －3恒成立，则x 的取值范围是________________．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】不等式可化为m(x －1)＋x 2－4x ＋3>0在0≤m≤4时恒成立． 令f(m)＝m(x －1)＋x 2－4x ＋3.结合二次函数的图象得()()00{ 40f f >>⇒22430{ 10x x x >>－＋－ ⇒13{11x x x x -或或即x<－1或x>3.故答案为：(－∞，－1)∪(3，＋∞)例5.已知不等式()21log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】12a <≤可得：1log 22a a ≤⇒≤，综上可得：12a <≤.【名师点睛】（1）通过常系数函数图象和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围.（2）学会观察图象时要抓住图象特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x =）. （3）处理好边界值是否能够取到的问题.例6.若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对于任意的0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________【答案】,14a π⎛⎫∈⎪⎝⎭【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的图象，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图象进一步可得只需4x π=时，log sin 2a x x ≥，即log sin 21444aa πππ>⋅=⇒>，所以,14a π⎛⎫∈⎪⎝⎭例7. 已知函数()21f x x mx =+-，若对任意的[],1x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是_____________【答案】2,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【名师点睛】本题也可以用最值法求解：若()0f x <，则()max 0f x <，而()f x 是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以()()010f m f m <⎧⎪⎨+<⎪⎩，再解出m 的范围即可.例8.已知函数()22,1{ log ,1x x f x x x <=≥若直线y m =与函数()f x 的图象只有一个交点,则实数m 的取值范围是________.m+1m【答案】0m =或[2,m ∈+∞） 【解析】作出函数f(x)的图象如图,例9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2221232f x x a x a a =-+-- ，若()(),1x R f x f x ∀∈-≤，则实数a 的取值范围是_____________【答案】6666⎡-⎢⎣⎦【解析】()f x 是奇函数且在0x >时是分段函数（以22,2a a 为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式()()1f x f x -≤较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法.从数形结合的角度来看，一方面()f x 的图象比较容易作出，另一方面()1f x -可看作是()f x 的图象向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图象.所以考虑利用图象寻找a 满足的条件.先将()f x 写为分段函数形式：()2222223,2,2,0x a x a f x a a x a x x a ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-<<⎩，作出正半轴图象后再根据奇函数特点，关于原点对称作出x 负半轴图象.()()1f x f x -≤恒成立，意味着()f x 的图象向右平移一个单位后，其图象恒在()f x 的下方.通过观察可得在平移一个单位至少要平移26a 个长度，所以可得：2666166a a ≤⇒-≤≤ 答案：66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 例10【2018届河南省高三4月考试】已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果. 试题解析：（1），∵在处取到极值， ∴，即，∴.经检验，时，在处取到极小值. （2），令，①当时，，在上单调递减.又∵，∴时，，不满足在上恒成立.时，，单调递增，∴.又∵，∴，故不满足题意.③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，，∴，在上单调递减.又∵，∴时，，故不满足题意.综上所述，.【精选精练】1．【2018届东莞市高三毕业班第二次综合考试】已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】C2.若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（）A. B.C. D.【答案】C则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；观察所给的函数图象可知，只有C 选项符合题意. 本题选择C 选项. 3．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】二次函数的对称轴为；∵该函数在上是增函数；∴，∴，∴实数的取值范围是，故选B.4. 若||2p ≤,不等式212x px p x ++>+恒成立,则x 的取值范围是______【答案】1132x +<-或1132x -+> 【解析】思路：本题中已知p 的范围求x 的范围，故构造函数时可看作关于p 的函数，恒成立不等式变形为 ()2210x p x x -+-+>,设()()()22122f x x p x x p =-+-+-≤≤,即关于p 的一次函数，由图象可得：无论直线方向如何，若要()0f x >，只需在端点处函数值均大于0即可，即()()2020f f >⎧⎪⎨->⎪⎩,解得：1132x +<-或1132x -+> 答案：113x +<113x -+> 【名师点睛】（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数.（2）线段的图象特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧.（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧.5.设a R ∈，若0x >时均有()21110a x x ax ⎡⎤----≥⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则a =_________【答案】32a =32a =答案：32a =6.【2018届二轮训练】当实数x ，y 满足240{10 1x y x y y +-≤--≤≥时，ax ＋y≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】要使平面区域在直线4y ax =-+的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可，即214a +≤，得302a <≤，综上32a ≤，所以实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.7．【2018届二轮训练】已知函数f 1(x)＝|x －1|，f 2(x)＝13x ＋1，g(x)＝()()122f x f x +＋()()122f x f x -，若a ，b∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a，b]时，()()1212g x g x x x --＞0恒成立，则b －a 的最大值为________．【答案】5 【解析】[]15a b ∈-，，， 且[]()()1212120g x g x x x a b a b x x -∈∴-，，，＜，＞ 恒成立， g x ∴（）在区间[]a b ，上单调第增，∵函数()()()()121212111322f x f x f x f x f x x f x x g x -+=-=+=+（），（），（），()][()[]121035{03f x x g x f x x ⎡⎤∈-⋃⎣⎦∴=∈，，，（），， 当[10x ∈-，） 时， 1g x x =-（），单调减；当[]10313x g x x ∈=+，时，（）， 单调增； 当[]35x ∈，时， 1g x x =-（），单调递增． 05a b b a ∴==-，．的最大值为505-=． 故答案为5.8．【2018届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】9．【2018届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】【解析】当，当， 故.故答案为：10．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值是__________． 【答案】3【解析】令()1(1)1f x x x x =+>-，则由题意可知()min f x a ≥， ∵1x >， ∴()()11111113111f x x x x x x x =+=-++≥-⋅=---， 当且仅当111x x -=-，即2x =时，等号成立， ∴()min 3f x =，从而3a ≤． 故实数a 的最大值是3． 故答案为：3. 另法：()1111f x x x =-++-的图象即函数()1f x x x=+的图象向右、向上均平移1单位得到，结合图象可得解.11．【2018届宁夏银川高三4月模拟】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出以下命题：①当时，；②函数有个零点；③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；④对恒成立，其中，正确命题的序号是__________．【答案】①④若方程有解，则，且对恒成立，故③错误，④正确.故答案为①④.12．函数的定义域为（为实数）.（1）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；（2）若在定义域上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用单调性的定义，根据函数在定义域上是减函数，可得不等式恒成立，从而可求的取值范围；（2）利用分离参数思想原题意等价于恒成立，∵，∴函数在上单调减，∴时，函数取得最小值，即.。

目录高考数学一轮复习基础天天练(1)集合的基本运算高考数学一轮复习基础天天练(2)命题和逻辑联结词高考数学一轮复习基础天天练(3)充分条件和必要条件高考数学一轮复习基础天天练(4)函数及其表示方法高考数学一轮复习基础天天练(5)函数的解析式和定义域高考数学一轮复习基础天天练(6)函数的值域和最值高考数学一轮复习基础天天练(7)函数的单调性和奇偶性高考数学一轮复习基础天天练(8)函数的图象高考数学一轮复习基础天天练(9)二次函数高考数学一轮复习基础天天练(10)函数的应用高考数学一轮复习基础天天练(11)指数与对数高考数学一轮复习基天天练(12)幂函数、指数函数与对数函数高考数学一轮复习基天天练(13)函数与方程高考数学一轮复习基础天天练(14)导数的概念及运算高考数学一轮复习基础天天练(15)导数在研究函数中的简单应用高考数学一轮复习基础天天练(16)同角三角函数的关系及诱导公式高考数学一轮复习基础天天练(17)三角函数的图象高考数学一轮复习基础天天练(18)三角函数的性质(1)高考数学一轮复习基础天天练(19)三角函数的性质(2)高考数学一轮复习基础天天练(20)和差倍角的三角函数高考数学一轮复习基础天天练(21)正弦定理和余弦定理高考数学一轮复习基础天天练(22)三角函数及解三角形高考数学一轮复习基础天天练(23)一元二次不等式高考数学一轮复习基础天天练(24)简单的线性规划高考数学一轮复习基础天天练(25)基本不等式及其应用高考数学一轮复习基础天天练(26)直线的斜率和直线的方程高考数学一轮复习基础天天练(27)两条直线的位置关系高考数学一轮复习基础天天练(28)圆的方程高考数学一轮复习基础天天练(29)直线与圆、圆与圆的位置关系高考数学一轮复习基础天天练(30)直线与圆的综合运用高考数学一轮复习基础天天练(31)椭圆(1)高考数学一轮复习基础天天练(32)椭圆(2)高考数学一轮复习基础天天练(33)双曲线高考数学一轮复习基础天天练(34)抛物线高考数学一轮复习基础天天练(35)圆锥曲线高考数学一轮复习基础天天练(36)向量的概念与线性运算高考数学一轮复习基础天天练(37)平面向量的基本定理与坐标运算高考数学一轮复习基础天天练(38)平面向量的数量积高考数学一轮复习基础天天练(39)平面向量的应用高考数学一轮复习基础天天练(40)复数的概念、几何意义及运算高考数学一轮复习基础天天练(41)数列的概念高考数学一轮复习基础天天练(42)等差数列高考数学一轮复习基础天天练(43)等比数列高考数学一轮复习基础天天练(44)等差数列与等比数列高考数学一轮复习基础天天练(45)数列的通项与求和高考数学一轮复习基础天天练(46)数列综合题高考数学一轮复习基础天天练(47)平面的基本性质、空间两直线高考数学一轮复习基础天天练(48)直线与平面的位置关系高考数学一轮复习基础天天练(49)平面与平面的位置关系高考数学一轮复习基础天天练(50)柱、锥、台、球的表面积与体积高考数学一轮复习基础天天练(51)空间线面关系的判断、推证与计算高考数学一轮复习基础天天练(52)抽样方法与总体估计高考数学一轮复习基础天天练(53)算法的含义与流程图高考数学一轮复习基础天天练(54)基本算法语句高考数学一轮复习基础天天练(55)随机事件的概率、古典概型高考数学一轮复习基础天天练(56)几何概型高考数学一轮复习基础天天练(57)合情推理与演绎推理高考数学一轮复习基础天天练(58)直接证明与间接证明高考数学一轮复习基础天天练(59)热点知识练(1)高考数学一轮复习基础天天练(60)热点知识练(2)参考答案121滴水穿石·数学一轮基础夯滚天天练>>>高考数学一轮复习基础夯滚天天练(1)集合的基本运算班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为________．2.设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝________________________________________________________________________.3.已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩∁UB＝________．4.已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则∁U A∩∁UB＝________．5.设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则实数a的取值范围是________．6.已知集合A＝{－1，2，2a＋1}，B＝{－4，3}，且A∩B＝{3}，则a＝________．7.已知集合A＝{－3，x2，x＋1}，B＝{x－3，2x－1，x2＋1}，若A∩B＝{－3}，则A∪B＝________________．8.已知集合P＝{－1，2}与M＝{x|kx＋1＝0}满足P∪M＝P，则实数k的值所组成的集合是______________．9.已知集合A＝{x|y＝log2(x2－1)}，则A∩B＝______________．10.集合B＝{y∈R|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝________．11.定义集合运算：A*B＝{z|z＝x·y，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为________．12.A，B是非空集合，定义A×B＝．若A＝{x|y ＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x}，则A×B＝________．13.若x∈A，且11－x∈A，则称集合A为“和谐集”．已知集合M＝{－2，－1，－12，0，1，12，23，2，3}，则集合M的子集中，“和谐集”的个数为________．14.若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．二、解答题15.已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2＋3x＋m＝0}．(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；(2)若M∩N＝M，求集合N.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(2)命题和逻辑联结词班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.命题的否定是____________________________．2.已知命题“ x ∈R，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．3.设命题p：函数y＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称，则“p∧q”为________命题．(填“真”或“假”)4.给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x 2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为________．5.已知命题p ：x ≤0，x 2＋2x －3≥0，则命题p 的否定是__________________________．6.已知命题p：x 2－2x－3<0；命题q：1x－2<0.则x 的取值范围是________．7.已知命题p：“a＝1”是“x>0，x＋a x≥2”的充要条件；则下列命题正确的是________．(填序号)8.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________________________________________________________________________．9.下列四个命题：①若一个命题的逆命题为真，则这个命题的逆否命题一定为真；②“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价；③“若a 2＋b 2＝0，则a，b 全为0”的逆否命题是“若a，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”；④若一个命题的否命题为真，则这个命题的逆命题一定为真．其中不正确的是________．(填序号)10.则a 的取值范围是________．11.则实数a 的最小值为________．12.如果不等式(a－2)x 2＋2(a－2)x－4<0对于恒成立，那么a 的取值范围为________．13.若命题“,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．二、解答题14.给定两个命题，p：对任意实数x，ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数解．如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(3)充分条件和必要条件班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.设x∈R，则“x >12x 2＋x －1>0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)2.“ac 2>bc 2”是“a>b”成立的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)3.“x<－1”是“x 2－1>0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)4.已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a⊥b 的充要条件是________________．5.“M>N”是“log 2M>log 2N”成立的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)6.若a，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)7.方程x 2k＋1＋y 2k－5＝1表示双曲线的充要条件是____________．8.设p，q 是两个命题，若p 是q 的充分不必要条件，那么非p 是非q 的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)9.“a＝1”是“函数f(x)＝2x －a 2x ＋a在其定义域上为奇函数”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)10.“x<2”是“x 2－x－2<0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)11.不等式1x－1<1的解集记为p，关于x 的不等式x 2＋(a－1)x－a>0的解集记为q，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．12.已知直线l 1：x＋ay＋6＝0和l 2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l 1∥l 2的充要条件是______________．13.已知p：12≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p 是的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．14.下列四个命题：①“，x 2－x ＋1≤0”的否定；②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中,“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件；④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z)”．其中真命题的序号是________．二、解答题15.若f(x)是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}，Q ＝{x |f (x )<－1}．若“x ∈Q ”是“x ∈P ”的必要不充分条件，求实数t 的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(4)函数及其表示方法班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.有以下判断：其中判断正确的序号是________．①f(x)＝|x|x 与x≥0，x<0表示同一函数；②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x 2－2x＋1与g(t)＝t 2－2t＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则2.下列四组中的f(x)，g(x)表示同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝1，g(x)＝x 0；②f(x)＝x－1，g(x)＝x2x －1；③f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4;④f(x)＝x 3，g(x)＝3.若f(x)＝x 2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________．4.设函数＋1，x≤1，x>1，则f(f(3))＝________．5.已知a，b 为两个不相等的实数，集合M＝{a 2－4a，－1}，N＝{b 2－4b＋1，－2}，f：x→x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x，则a＋b＝________．6.函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a 为常数)交点的个数为________．7.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时f (x )＝log 2(2－x )，则f (0)＋f (2)的值为________．8.已知函数f(x)＝2，x≥0，2＋2x，x<0，则不等式f(f(x))≤3的解集为____________．9.已知函数f(x)的图象如图所示，则它的一个解析式是________________．10.已知2＋1，x≥0，x<0，若f(m)＝10，则m＝________．11.已知f(2x＋1)＝x 2－2x，则f(3)＝________．12.已知下列四组函数：①f(x)＝lg x 2，g(x)＝2lg x；②f(x)＝x－2，g(x)＝x 2－4x＋4；③f(x)＝1x－1，g(x)＝x＋1x 2－1；④f(x)＝x，g(x)＝log a a x (a>0且a≠1)．其中表示同一个函数的为________．(填序号)13.已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k ∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是________．二、解答题14.在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M，从点B开始，沿折线BCDA向点A 运动，设点M运动的距离为x，△ABM的面积为S.(1)求函数S＝f(x)的解析式、定义域和值域；(2)求f(f(3))的值．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(5)函数的解析式和定义域班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.函数y＝2x－x2的定义域是________________．2.函数y＝16－x－x2的定义域是________________．3.已知实数m≠0，函数x≤2，x>2，若f(2－m)＝f(2＋m)，则实数m的值为________________．4.若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有________种．5.已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________________________________________________________________________.6.已知二次函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)的表达式为f(x)＝____________．7.函数的定义域是________________．8.函数y＝x（x－1）＋x的定义域是________________．9.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝________．10.已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则函数y＝f(2x－1)的定义域为________．11.函数f(x)＝lg (2x －3x)的定义域是________．12.若函数y＝f(x)的定义域是[0，8]，则函数g(x)＝f（2x）ln x 的定义域是________________________________________________________________________．13.若函数f(x)＝x－4mx 2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m 的取值范围是________．14.已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图象过点(0，－3)，且f (x )>0的解集为(1，3)，则f (x )的解析式为f (x )＝________________．二、解答题15.如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(6)函数的值域和最值班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.函数y＝x－x＋1的值域为__________．2.函数y＝4－x 2的值域是________．3.函数y＝x 2＋3x＋14.函数y＝x－x 的值域为________．5.函数f(x)＝2x－12x ＋1的值域为________．6.已知函数y＝x 2则函数的最大值和最小值的积是________．7.函数x，x≤0，2＋1，x>0的值域为________．8.函数f(x)＝log 2(4－x 2)的值域为________．9.设函数x＋a，x>2，2，x≤2，若函数f(x)的值域为R，则实数a 的取值范围是__________________．10.函数x，x≥0，－x，x<0的值域是________________．11.已知函数y＝ax 2＋2x＋1的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．12.已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝－x，令φ(x)＝max [f(x)，g(x)](即f(x)和g(x)中的较大者)，则φ(x)的最小值为________．13.已知函数f(x)＝x＋px＋1(x>－1，p2＋2(x∈R)有相同值域，则p ＝________．14.下列几个命题：①函数f(x)＝(x)2与g(x)＝x 表示的是同一个函数；②若函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x＋1)的定义域为[2，3]；③若函数f(x)的值域是[1，2]，则函数f(x＋1)的值域为[2，3]；④若函数f(x)＝x 2＋mx＋1是偶函数，则函数f(x)的单调减区间为(－∞，0]；⑤函数f(x)＝lg (x 2＋1＋x)既不是奇函数，也不是偶函数．其中正确的命题有________个．二、解答题15.已知f(x)＝2＋log 3x，x∈[1，9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x 2)的值域．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(7)函数的单调性和奇偶性班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.在函数：①y＝cos x；②y＝sin x；③y＝ln x；④y＝x 2＋1中，既是偶函数又存在零点的是________．(填序号)2.已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________________．3.函数y＝1－x 1＋x的单调减区间为________________．4.已知函数f(x)＝2x 2－mx＋3，当x∈(－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________．5.已知函数f(x)是减函数，且f(x)>0，则在函数：①y＝1f（x）；②y＝2f(x)；③y＝[f(x)]2；中为增函数的是________．(填序号)6.设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则7.若f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则f(x2＋x＋1)和f______________．8.已知函数f(x)是奇函数，且x∈(0，＋∞)时的解析式是f(x)＝lg(x＋1)，则x∈(－∞，0)时，f(x)＝________________．9.已知函数x－k，x≤0，x>0是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．10.已知f(x)＝ax 2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．11.函数f(x)＝x 5＋sin x＋1(x∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )＝________．12.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________．13.已知y＝log a (2－ax)在区间[0，1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是________．14.若f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．二、解答题15.已知函数f(x)＝x 2＋a x(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若函数f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(8)函数的图象班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.函数y＝x 43的图象大致是________．(填序号)①②③④2.某班四个同学在同一坐标系中，作了两个函数的图象，其中能够作为函数y ＝ax2＋bx与y＝ax＋b(a≠0，b≠0)的图象的是________．(填序号)①②③④3.函数y＝a x－a(a>0，a≠1)的图象可能是________．(填序号)①②③④4.函数y＝1－|1－x|的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________．5.已知a>0且a≠1，函数y＝|a x－2|与y＝3a的图象有两个交点，则a的取值范围是____________．6.若函数y＝4x ＋a 2x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________．7.已知函数y＝log a (x＋b)的图象如图所示，则a b ＝________．8.函数y＝log 2|x＋1|的图象关于直线________对称．9.函数f(x)＝x|x＋a|＋b 是奇函数的充要条件是________．10.已知0<a<1，则函数f(x)＝a x－|log a x|的零点个数为________．11.设函数f(x)＝x －4，x>0，x<0.若f(a)>f(1)，则实数a 的取值范围是____________．12.将函数y＝2x的图象向左平移一个单位长度，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位长度得到图象C 2，则C 2的解析式为____________．13.已知函数f(x)＝32x －(k＋1)·3x＋2，当x∈R 时，函数f (x )恒为正值，则k 的取值范围是________________．二、解答题14.分别作出函数f(x)，g(x)的图象，并利用图象回答问题．(1)x≤1，2－4x＋3，x>1，g(x)＝log2x，求方程f(x)＝g(x)的解的个数；(2)f(x)＝x＋1，g(x)＝log2(－x)，求不等式f(x)>g(x)的解集．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(9)二次函数班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．2.已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b ＝________．3.若函数y＝x2－2x＋a在区间[0，3]上的最小值是4，则a＝________；若最大值是4，则a＝________．4.若函数y＝|x－a－3|＋b，x∈[a，b]的图象关于直线x＝3对称，则b＝________．5.已知函数f(x)＝3(x－2)2＋5，且|x1－2|>|x2－2|，则f(x1)________f(x2)．(填“>”“<”或“＝”)6.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．7.设x，y是关于m的方程m2－2am＋a＋6＝0的两个实根，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值是________．8.已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1，5]，则函数f(x)的值域是________．9.已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1，3]，则b－a的取值范围是________．10.若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是________．11.已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0，1]上有一个最大值－5，则a ＝________．12.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)，又f(x)＋6a＝0有两个相等的根，则f(x)＝________________．13.已知命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．若命题“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．二、解答题14.已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(10)函数的应用班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元每千米收费计价，若某乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4千米，则乘客应付的车费是________元．2.已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的长x之间的函数关系中，定义域为________．3.某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元，据经验，若每件少卖0.1元，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济利益每件单价应降低________元．4.某厂生产中所需的一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个价格是1.10元；如果自己生产，那么每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，那么决定此配件外购还是自产的转折点是________件．(即生产多少件以上自产合算)5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．6.购买手机的“全球通”卡，使用时须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则他购买________卡才合算．7.如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2m，边坡的倾角为45°，水深h m，则横截面中有水面积S(m2)与水深h(m)的函数关系式为____________．8.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差．如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查的结果显示：每付出100元的广告费，所得的销售额是1000元，那么该企业应该投入________元广告费，才能获得最大的广告效应．9.某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进________份，才能使每月所获的利润最大．10.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为__________________________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)二、解答题11.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网．这种供电设备的安装费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k20x＋100(x≥0，k为常数)．记F为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．(1)解释C(0)的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；(2)当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？12.随着机构改革工作的深入进行，各单位要裁员增效．有一家公司现有职员2a 人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的3 4，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？高考数学一轮复习基础夯滚天天练(11)指数与对数一、填空题1.2.计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________．3的值为________．4.计算：lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2＝________．5.设则a，b，c的大小关系是________．6.方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是________．7.设e x－1，x<2，（x2－1），x≥2，则f(f(2))＝________．8.lg14－lg＝________．9.方程4x－2x＋1－3＝0的解是________________．10.关于x的不等式的解集为________．11.已知3a ＝5b＝c，且1a ＋1b＝2，则c＝________．12.不等式log 2(2x－1)<log 2(－x＋5)的解集为________．13.给出下列结论，其中正确的是________．(填序号)①当a<0时，(a 2)32＝a 3；②n a n＝|a|(n>1，n∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0|x ≥2且x ④若2x ＝16，3y＝127，则x ＋y ＝7.14.已知函数f(x)＝2|x|－2，不等式x[f(x)＋f(－x)]>0的解集是________________________________________________________________________．二、解答题15.求值或化简：(1)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5lg 10·lg 0.1；(2)，求的值．16.已知函数f(x)＝log a(a x－1)，a>0，a≠1.求证：(1)函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(12)幂函数、指数函数与对数函数班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.如果幂函数f(x)＝x a的图象经过点(2，4)，那么函数f(x)的单调增区间为________．2.函数f(x)＝ln x＋1－x的定义域为________．3.若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________．4.要使函数f(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则实数t的取值范围为________．5.若函数f(x)＝a x－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．6.已知函数f(x)＝x 12，且f(2x－1)<f(3x)，则x的取值范围是________．7.若函数y＝(log0.5a)x在R上为增函数，则a的取值范围是________．8.设函数x，x≥1的最小值为2，则实数a的取值范围是________．9.函数f(x)＝的值域为________．10.若loga12a－1<1，则a的取值范围是________．11.在下列四个图象中，能够表示函数y＝a x与y＝－log a x(a>0，a≠1)在同一个平面直角坐标系的图象的可能是________．(填序号)①②③④12.若函数f(x)＝log a(2x2＋x)(a>0，f(x)>0，则函数f(x)的单调增区间是________．13.函数y＝a x－2＋1(a>0，a≠1)恒过定点________．14.若函数f(x)＝在[－1，1]上是单调增函数，则实数a的取值范围是________________．二、解答题15.已知函数f(x)＝log a(3－ax)．(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．16.已知函数(1)判断该函数的奇偶性；(2)求证：该函数在定义域上恒大于0.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(13)函数与方程班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.已知函数f(x)的图象是连续不断的，x，f(x)的对应关系如下表：x123456f(x)136.1315.552－3.9210.88－52.488－232.064则函数f(x)一定存在零点的区间有________．(填序号)①区间[1，2]；②区间[2，3]；③区间[3，4]；④区间[4，5]；⑤区间[5，6]．2.已知函数f(x)＝ax＋b的零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋ax的零点是________．3.已知函数f(x)＝2mx＋4，若存在x0∈[－2，1]，使f(x)＝0，则实数m的取值范围是________________．4.已知函数f(x)＝ln x＋x－2的零点所在的区间为(k，k＋1)(其中k为整数)，则k的值为________．5.已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0，1)上有零点，则实数a的取值范围是________．6.已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中y ＝g (x )是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在区间________范围内必有实数根．(填序号)①(0，1)；②(1，2)；③(2，3)；④(3，4)．7.若函数2－x－1，x≥2或x≤－1，－1<x<2，则函数g(x)＝f(x)－x 的零点为________．8.函数f(x)＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)上的零点的个数为________．9.若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a 2]满足方程log a x＋log a y＝3，这时a 的取值的集合为________．10.已知函数f(x)＝log 2x＋a 在区间(2，4)上有零点，则实数a 的取值范围是________．11.若函数y＝x＋5x－a在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．12.若关于x 的方程lg (mx)·lg (mx 2)＝4的所有解都大于1，则实数m 的取值范围是________．13.已知函数x≥2，2，x<2，若关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围为________．14.若函数＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________．二、解答题15.已知关于x 的二次函数f(x)＝x 2＋(2t－1)x＋1－2t.(1)求证：对于任意t∈R，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝016.已知函数f(x)＝log 4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(14)导数的概念及运算班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.已知函数f(x)＝1＋1x，则f(x)在区间[1，2]，12，1上的平均变化率分别为________．2.若f′(x)是函数f(x)＝13x 3＋2x＋1的导函数，则f′(1)＝________．3.函数f(x)＝x 2sin x 的导数为f′(x)＝________________．4.函数f(x)＝cos x5.已知曲线y＝4x－x 2上两点A(4，0)，B(3，3)，若曲线上一点P 处的切线恰好与弦AB 平行，则点P 的坐标为________．6.若直线y＝12x＋b 是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b 的值为________．7.函数y＝x e x在其极值点处的切线方程为________________．8.过点(0，2)且与曲线y＝－x 3相切的直线方程是________________．9.若直线y＝kx＋1与曲线y＝x 3＋ax＋b 相切于点(1，3)，则b 的值为________．10.设P 是曲线f(x)＝13x 3－x 2－3x－3上的一个动点，则过点P 的切线中斜率最小的切线的方程为________________．11.曲线y＝x－cos x12.若曲线C 1：y 1＝ax 3－6x 2＋12x 在x＝1处的切线与曲线C 2：y 2＝e x在x＝1处的切线垂直，则实数a 的值为________．二、解答题13.设函数f(x)＝ax－b x，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．14.设直线是曲线C：y＝ln x x 在点(1，0)处的切线．(1)求切线的方程；(2)求证：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线的下方．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(15)导数在研究函数中的简单应用班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1.函数f(x)＝3x－x3的单调减区间为________________．2.函数y＝e x·sin x在区间[0，π]上的单调增区间为________．3.函数y＝x＋sin x，x∈[0，π]的值域是________．4.函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值、最小值分别为________．5.已知函数f(x)＝e x－2x＋a有零点，则a的取值范围是____________．6.设a∈R，若函数f(x)＝e x＋ax(x∈R)有大于0的极值点，则a的取值范围是________．7.函数f(x)＝x cos x－sin x，x∈0，π2的最大值为________．8.若函数y＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．9.将长为52cm 的铁丝剪成两段，各围成长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么这两个矩形的面积之和的最小值为________cm 2.。

专题58 巧选数学模型解排列组合问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐.但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化.便可巧妙的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素. 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列.（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 （2）要从题目中判断是否需要各自排序3、错位排列：排列好的n 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n 个元素的一个错位排列.例如对于,,,a b c d ，则,,,d c a b 是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住4、依次插空：如果在n 个元素的排列中有m 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m 个元素排好位置，再将n m -个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1+）5、不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中6、相同元素分组：将n 个相同元素放入m 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有11m n C --种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n 个元素排成一列，共有()1n -个空，使用()1m -个“挡板”进入空档处，则可将这n 个元素划分为m 个区域，刚好对应那m 个盒子.7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.【经典例题】例1.【2019届湖北省黄冈中学5月三模】对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（ ）A. 48B. 72C. 64D. 96 【答案】A由分步计数乘法原理可得的因数共有，不含的共有，正偶数因数的个数有个，即的正偶数因数的个数是，故选A.例2.【2019届贵州省凯里市第一中学四模】集合，从集合中各取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B【解析】分析：分别从集合A ，B 取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案． 详解：故选：B例3.【2019届四川省 “联测促改”】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种.例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ）A. 48B. 60C. 96D. 120 【答案】C对于()2,2,4，组合出的可能的算筹为：()()()()()()2,2,4,6,6,4,2,2,8,6,6,8,2,6,4,2,6,8共6种，可以组成的三位数的个数为： 3!23!42⨯+⨯种， 同理()2,3,3可以组成的三位数的个数为： 3!23!42⨯+⨯种， 利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为3!123!8163!962⨯+⨯=⨯=. 本题选择C 选项. 例4.已知集合(){}22,|1,,A x y xy x y Z =+≤∈， (){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素个数为（ ）A. 77B. 49C. 45D. 30 【答案】C例5.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有( )A. 192种B. 128种C. 96种D. 12种 【答案】C【解析】试题分析：根据题意，先分析A 、B 两个方格，由于其大小有序，则可以在l 、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B 方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于C 、D 两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得答案．根据题意，对于A 、B 两个方格，可在l 、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B 方格，有246C =种情况，对于C 、D 两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则不同的填法共有16×6=96种， 故选C ．例6.【2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上期末】将数字1,2,3,4，填入右侧的表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种A. 432B. 576C. 720D. 864 【答案】B【解析】对符合题意的一种填法如图，行交换共有4424A =种，列交换共有4424A =种，所以根据分步计数原理得到不同的填表方式共有2424=576⨯种，故选B.例7. 设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A. 60B. 90C. 120D. 130 【答案】D例8.已知{}1,2,3,,40S =，A S ⊆且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有（ ）个A. 460B. 760C. 380D. 190 【答案】C【解析】思路：设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+，由此可得,a c 应该同奇同偶，而当,a c 同奇同偶时，则必存在中间项b ，所以问题转变为只需在140-中寻找同奇同偶数的情况.,a c 同为奇数的可能的情况为220C ，同为偶数的可能的情况为220C ，所以一共有2202380C ⋅=种.例9.【2019届云南省昆明市第二次统考】定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ∃∈，满足1t t a a +<，且*s N ∃∈，满足1S S a a +>.已知“有增有减”数列{}n a 共4项，若{}(),,1,2,3,4i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a 共有（ ）A. 64个B. 57个C. 56个D. 54个 【答案】D例10：方程10x y z w +++=的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？ 【答案】正整数解有84种，非负整数解有286种【解析】思路：本题可将10理解为10个1相加，而,,,x y z w相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少.从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：3984C=种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：()()()()10111114x y z w x y z w+++=⇒+++++++=，则1,1,1,1x y z w++++这四个盒子非空即可.所以使用挡板法得：313286C=种【精选精练】1.【2019届山东省潍坊市二模】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】分析：该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.详解：当“数”排在第一节时有排法，当“数”排在第二节时有种排法，当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法，所以满足条件的共有种排法，故选A.点睛：在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况，二是在“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节.2.【2019届北京师范大学附中二模】若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”．例如：32是“开心数”．因不产生进位现象；23不是“开心数”，因产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D3.【2019届广东省广州市第一次调研】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种 【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.4. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是集合A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，则S 的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ） A. 6 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C【解析】思路：首先要理解“k A ∈，则1k A -∉且1k A +∉”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：3620C =种5.一个含有10项的数列{}n a 满足：11010,5,1,(1,2,,9)k k a a a a k +==-==，则符合这样条件的数列{}n a 有（ ）个A. 30B. 35C. 36D. 40 【答案】36种6.【2019届浙江省金丽衢十二校第二次联考】用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（ ）A. 20B. 24C. 36D. 48【答案】A【解析】分析：先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果.详解：因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为因此一共有，选A.7．【2019届上海市松江、闵行区二模】13．设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.【答案】【解析】分类讨论：①，则这四个数为或，有组；②，则这四个数为或，有组；③，则这四个数为或或，有组；综上可得，所有有序数组的组数为.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．8．【2019届天津市十二重点中学联考（一）】用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）【答案】169．对于各数互不相等的整数数组（是不小于的正整数）,对于任意的,当时有,则称是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组中的逆序数为___________;若数组中的逆序数为,则数组中的逆序数为___________.【答案】 310．已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么__________．【答案】5【解析】所有子集的“乘积”之和即展开式中所有项的系数之和T-1，令，则故答案为511．【2019届浙江省嵊州市高三上期末】9某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任，每个班级安排1个班主任．由于某种原因，数学老师不担任A班的班主任，英语老师不担任B班的班主任，化学老师不担C班和D班的班主任，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．【答案】32【解析】若数学老师分到,B C两班，共有212222=8A A A种分法，若数学老师分到,B D两班，共有212222=8A A A种分法，若数学老师分到,B E两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,C D两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,C E两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,D E两班，共有2222=4A A种分法，共有8+8+4+4+4+4=32种安排方法，故答案为32 .12.圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个【答案】4845个。

自主梳理1．几种常见函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)；(2)反比例函数模型：y ＝kx＋b (k 、b 为常数，k ≠0)；(3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中是最为常见的；(4)指数函数模型：y ＝ka x ＋b (k 、a 、b 为常数，k ≠0，a >0且a ≠1)；(5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (m 、n 、a 为常数，m ≠0，a >0且a ≠1)；(6)幂函数模型：y ＝ax n ＋b (a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠0)；(7)分式函数模型：y ＝x ＋kx(k >0)；(8)分段函数模型．2．解应用题的方法和步骤 用框图表示如下：学生姓名 教师姓名班主任 日期时间段年级课时教学内容 函数模型及其应用教学目标 1.能够应用函数知识构造函数模型，解决简单的实际生活中的优化问题. 2.能利用函数与方程、不等式之间的关系，解决一些简单问题． 重点 函数模型中的最优问题 难点同上自我检测1． 某工厂八年来某种产品总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示，下列四种说法：①前三年中产量增长速度越来越快； ②前三年中产量增长的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是________．(填上正确的序号)2．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．4．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位：千瓦时) 高峰电价 (单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分0.598超过200的部分 0.668低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位：千瓦时) 低谷电价 (单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分0.318超过200的部分 0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(精确到1小时)探究点一 一次函数、二次函数模型例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？变式迁移1 (2010·江苏启东中学模拟)即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)．探究点二分段函数模型例2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．变式迁移2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．探究点三 指数函数模型例3 诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)．(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)变式迁移3 现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义． 2．考查函数模型的知识表现在以下几个方面： (1)利用函数模型的单调性比较数的大小；(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式； (3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．一、填空题1．拟定甲地到乙地通话m 分钟的电话费f (m )＝1.06×(0.5×[m ]＋1)(单位：元)，其中m >0，[m ]表示不大于m 的最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m ∈[0.5,3.1]时，函数f (m )的值域是_______________．2．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为________元．3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a t ，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2014年的垃圾量为__________t.5．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.00元8.4元①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．7．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水．则一定正确的论断序号是________．8．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文 已知加密为y ＝a x －2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．二、解答题9．设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系：m ＝92x －14，n ＝－14x 2＋5x ＋74，当m －n ≥0时，称不亏损企业；当m －n <0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？10．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)11．某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．(1)把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？。

2023高考数学数学模型复习题集附答案在2023高考数学考试中，数学模型是一个重要的考点。

通过解决实际问题，并建立数学模型，能够提高学生对数学知识的应用能力和解决实际问题的能力。

为了帮助同学们复习数学模型，我们为大家准备了一套题集，包括题目和答案。

请同学们认真思考和解答，加深对数学模型的理解和掌握。

题目一：某电子商务公司准备组织一次促销活动，销售一种商品。

根据历史数据统计，每天该商品的销售量与其标价存在一定的函数关系。

已知当商品标价为x时，该商品的销售量为f(x)=10000/x，其中x为商品的标价。

1. 如果该公司希望促销活动中卖出商品的总价值最大，应该如何设置商品的标价？答案一：为了使卖出商品的总价值最大，我们应该最大化f(x)*x，即最大化10000。

由于商品的标价x必须为正数，所以商品的标价应当尽可能地接近0，但不能等于0。

因此，该公司应该将商品的标价设置为0。

题目二：某城市的道路交通状况严重拥堵，市政府决定建设一个地下交通网络以改善交通状况。

该地下交通网络由n个车站和m条隧道组成，每个车站之间至多有一条隧道相连。

已知每条隧道的建设与维护费用为c，每个车站的客流量为p。

现在市政府希望在不超过预算B的情况下，最大化城市内的客流量。

2.如何确定建设地下交通网络的方案，使得客流量最大？答案二：为了最大化城市内的客流量，我们需要确定建设地下交通网络的方案。

由于每个车站之间至多有一条隧道相连，我们可以将问题简化为一个图论问题。

将每个车站看作图中的节点，每条隧道看作图中的边。

那么，建设地下交通网络的方案实际上就是在图中选择一些边，使得连接的节点尽可能多，且不超过预算B。

这个问题是一个最大流问题，可以使用网络流算法来解决。

首先，我们可以将每个车站的客流量作为节点的权重，然后根据这些权重构建一个有向图。

接下来，可以使用最大流算法，如Edmonds-Karp算法或Ford-Fulkerson算法，来找到从汇点s到源点t的最大流量。

§2.12函数模型的应用考试要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．知识梳理1．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值的变化而各有不同2．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)和y＝log a x(a>1)的增长速度．()(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．()教材改编题1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是()A．y＝5x B．y＝log5xC．y＝x5D．y＝5x2．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.99－0.010.98 2.00则对x，y最适合的函数模型是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－x225＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．题型一用函数图象刻画变化过程例1(1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是()A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．现有如下5个函数模型：①y ＝0.6x －0.12；②y ＝2x －2.02；③y ＝2x －5.4x ＋6；④y ＝log 2x ；⑤y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．跟踪训练1 如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点，则当P 沿A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数y ＝f (x )的图象大致是下图中的( )题型二 已知函数模型的实际问题例2 (1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6(2)(2022·莆田质检)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与时间t (单位：h)间的关系为P ＝P 0·e －kt ，其中P 0，k 是正的常数．如果2 h 后还剩下90%的污染物，5 h 后还剩下30%的污染物，那么8 h 后还剩下________%的污染物． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．跟踪训练2 (1)(多选)(2023·德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R 0，1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 个人中有V 个人接种过疫苗⎝⎛⎭⎫V N 称为接种率，那么1个感染者传染人数为R 0N (N －V )．已知某种传染病在某地的基本传染数R 0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能为( )A ．45%B ．55%C ．65%D ．75%(2)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －kt (t 为时间，单位：分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100 ℃，环境温度θ0＝20 ℃，常数k ＝0.2，大约经过_______分钟水温降为40 ℃(参考数据：ln 2≈0.7)( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 题型三 构造函数模型的实际问题例3 智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t 0与人的反应时间t 1，系统反应时间t 2，制动时间t 3，相应的距离分别为d 0，d 1，d 2，d 3，如图所示．当车速为v (米/秒)，且0<v ≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，且1≤k ≤2)．阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t 0 t 1＝0.8秒t 2＝0.2秒t 3 距离d 0＝10米d 1d 2d 3＝v 220k米(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车在k＝1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位：米/秒)?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．跟踪训练3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105) ()A．4 B．5 C．6 D．7(2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是________万元．。

2024届新高考数学复习：专项（函数模型及其应用）历年好题练习[基础巩固]一、选择题1．[2023ꞏ河北唐山一中期中]某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时间t (单位：时)满足p (t )＝p 0×2－t 30 ，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测得当t ∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p (60)＝( )A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln 2毫克/升D ．300ln 2毫克/升2．[2023ꞏ广东惠州调研]为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是(参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)( )A ．2030年B ．2029年C ．2028年D ．2027年3．2023年6月4日6时30分许，神舟十五号载人飞船返回舱在预定区域安全着陆，神舟十五号载人飞船是使用长征二号F 遥十五运载火箭发射成功的．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)的函数关系式为v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m .如果火箭的最大速度达到12 km/s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是( )A.M ＝e 6m B ．Mm ＝e 6－1C ．ln M ＋ln m ＝6D ．M m ＝e 6－14．中国的5G 技术处于领先地位，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝⎛⎭⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N 从1 000提升至4 000，则C 大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)( )A ．10%B ．20%C ．50%D ．100%5．[2023ꞏ重庆巴蜀中学月考]2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减小”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t (年)的衰变规律满足：N ＝N 0ꞏ2－t 5 730 (N 0表示碳14原来的质量)，经过测定，良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(参考数据：log 23≈1.6，log 25≈2.3)( )A ．3 440年B ．4 010年C ．4 580年D ．5 160年二、填空题6．某品牌手机销售商今年1，2，3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y (单位：万部)与月份x 之间的关系，现从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)或函数y ＝ab x ＋c (b ＞0，b ≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万部，则5月份的销售量为________万部．7．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件(0＜x ≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )(单位：万元)，且R (x )＝⎩⎨⎧108－13x 2（0＜x ≤10），－x ＋175x ＋57（10＜x ≤25）. 当年产量为________千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大．(注：年利润＝年销售收入－年总成本)8．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足x ＝3－2t ＋1的函数关系．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元．若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润为________万元．参考答案1．C 因为当t ∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝12p 0－p 030－0 ，所以p 0＝600ln 2.因为p (t )＝p 0×2－t 30 ，所以p (60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)． 2．B 设经过n 年后，投入资金为y 万元，则y ＝2 000ꞏ(1＋20%)n .由题意得2 000(1＋20%)n ＞10 000，即1.2n ＞5，则n lg 1.2＞lg 5，所以n ＞lg 5lg 1.2 ≈0.700.08＝8.75，所以n ＝9，即2029年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元．3．D 12 km/s ＝12 000 m/s ，所以12 000＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ，所以ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，则1＋M m ＝e 6，所以M m ＝e 6－1，故选D ．4．B 将信噪比S N 从 1 000提升至 4 000时，C 增加了W log 2（1＋4 000）－W log 2（1＋1 000）W log 2（1＋1 000）≈ log 24 000－log 21 000log 21 000＝23log 210 ＝23 lg 2≈23 ×0.301 0≈0.2＝20%，故C 大约增加了20%，选B.5．B 由题得0.6ꞏN 0＝N 0ꞏ2－t 5 730 ，即2－t 5 730 ＝35 ，两边同时取以2为底的对数，则有－t 5 730 ＝log 235 ＝log 23－log 25≈－0.7，故t ≈0.7×5 730＝4 011年，最符合题意的选项为B.6．1.375答案解析：由题意可知，当选用函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7，∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝1.3； 当选用函数g (x )＝ab x ＋c 时，由⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4，∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝1.35.∵g (4)比f (4)更接近于1.37，∴选用函数g (x )＝ab x ＋c 模拟效果较好，∴g (5)＝－0.8×0.55＋1.4＝1.375，即5月份的销售量为1.375万部．7．9答案解析：设该公司在这一产品的生产中所获年利润为f (x )，当0＜x ≤10时，f (x )＝xR (x )－(100＋27x )＝81x －x 33 －100；当10＜x ≤25时，f (x )＝xR (x )－(100＋27x )＝－x 2＋30x ＋75.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧81x －x 33－100（0＜x ≤10），－x 2＋30x ＋75（10＜x ≤25）.当0＜x ≤10时，由f ′(x )＝81－x 2＝－(x ＋9)(x －9)，得当x ∈(0，9)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(9，10)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．故f (x )max ＝f (9)＝81×9－13 ×93－100＝386.当10＜x ≤25时，f (x )＝－x 2＋30x ＋75＝－(x －15)2＋300≤300.综上，当x ＝9时，年利润取最大值，为386.所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大．8．37.5答案解析：由题意，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足x ＝3－2t ＋1， 即t ＝23－x－1(1＜x ＜3)， 所以月利润y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2 －3＝16x －13－x－52 ＝45.5－⎣⎡⎦⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216 ＝37.5， 当且仅当16(3－x )＝13－x，即x ＝114 时取等号， 即该公司最大月利润为37.5万元．。

专题58 巧选数学模型解排列组合问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐.但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化.便可巧妙的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素. 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列. （二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 （2）要从题目中判断是否需要各自排序3、错位排列：排列好的n 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n 个元素的一个错位排列.例如对于,,,a b c d ，则,,,d c a b 是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住4、依次插空：如果在n 个元素的排列中有m 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m 个元素排好位置，再将n m -个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1+）5、不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中6、相同元素分组：将n 个相同元素放入m 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有11m n C --种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n 个元素排成一列，共有()1n -个空，使用()1m -个“挡板”进入空档处，则可将这n 个元素划分为m 个区域，刚好对应那m 个盒子.7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.【经典例题】例1.【2019届湖北省黄冈中学5月三模】对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（ ） A. 48 B. 72 C. 64 D. 96 【答案】A由分步计数乘法原理可得的因数共有，不含的共有，正偶数因数的个数有个， 即的正偶数因数的个数是，故选A.例2.【2019届贵州省凯里市第一中学四模】集合，从集合中各取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B【解析】分析：分别从集合A ，B 取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案． 详解：例3.【2019届四川省 “联测促改”】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种.例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ）A. 48B. 60C. 96D. 120 【答案】C对于()2,2,4，组合出的可能的算筹为：()()()()()()2,2,4,6,6,4,2,2,8,6,6,8,2,6,4,2,6,8共6种，可以组成的三位数的个数为： 3!23!42⨯+⨯种， 同理()2,3,3可以组成的三位数的个数为： 3!23!42⨯+⨯种， 利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为3!123!8163!962⨯+⨯=⨯=. 本题选择C 选项. 例4.已知集合(){}22,|1,,A x y xy x y Z =+≤∈， (){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素个数为（ ）A. 77B. 49C. 45D. 30例5.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有()A. 192种B. 128种C. 96种D. 12种【答案】C【解析】试题分析：根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得答案．根据题意，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有2 46C=种情况，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则不同的填法共有16×6=96种，故选C．例6.【2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上期末】将数字1,2,3,4，填入右侧的表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（）种A. 432B. 576C. 720D. 864【答案】B【解析】对符合题意的一种填法如图，行交换共有4424A=种，列交换共有4424A=种，所以根据分步计数原理得到不同的填表方式共有2424=576⨯种，故选B.例7. 设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A. 60B. 90C. 120D. 130 【答案】D例8.已知{}1,2,3,,40S =L ，A S ⊆且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有（ ）个A. 460B. 760C. 380D. 190 【答案】C【解析】思路：设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+，由此可得,a c 应该同奇同偶，而当,a c 同奇同偶时，则必存在中间项b ，所以问题转变为只需在140-中寻找同奇同偶数的情况.,a c 同为奇数的可能的情况为220C ，同为偶数的可能的情况为220C ，所以一共有2202380C ⋅=种.例9.【2019届云南省昆明市第二次统考】定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ∃∈，满足1t t a a +<，且*s N ∃∈，满足1S S a a +>.已知“有增有减”数列{}n a 共4项，若{}(),,1,2,3,4i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a 共有（ ）A. 64个B. 57个C. 56个D. 54个 【答案】D例10：方程10x y z w +++=的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？ 【答案】正整数解有84种，非负整数解有286种【解析】思路：本题可将10理解为10个1相加，而,,,x y z w 相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少.从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：3984C =种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：()()()()10111114x y z w x y z w +++=⇒+++++++=，则1,1,1,1x y z w ++++这四个盒子非空即可.所以使用挡板法得：313286C =种【精选精练】1.【2019届山东省潍坊市二模】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种【答案】A【解析】分析：该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.详解：当“数”排在第一节时有排法，当“数”排在第二节时有种排法，当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法，所以满足条件的共有种排法，故选A.点睛：在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况，二是在“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节. 2.【2019届北京师范大学附中二模】若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”．例如：32是“开心数”．因不产生进位现象；23不是“开心数”，因产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D3.【2019届广东省广州市第一次调研】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种 【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.4. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是集合A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，则S 的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ）A. 6B. 15C. 20D. 25 【答案】C【解析】思路：首先要理解“k A ∈，则1k A -∉且1k A +∉”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：3620C =种5.一个含有10项的数列{}n a 满足：11010,5,1,(1,2,,9)k k a a a a k +==-==L ，则符合这样条件的数列{}n a 有（ ）个A. 30B. 35C. 36D. 40 【答案】36种6.【2019届浙江省金丽衢十二校第二次联考】用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A. 20B. 24C. 36D. 48【答案】A【解析】分析：先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果.详解：因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为因此一共有，选A.7．【2019届上海市松江、闵行区二模】13．设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.【答案】【解析】分类讨论：①，则这四个数为或，有组；②，则这四个数为或，有组；③，则这四个数为或或，有组；综上可得，所有有序数组的组数为.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．8．【2019届天津市十二重点中学联考（一）】用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）【答案】169．对于各数互不相等的整数数组（是不小于的正整数）,对于任意的,当时有,则称是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组中的逆序数为___________;若数组中的逆序数为,则数组中的逆序数为___________.【答案】 310．已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么__________．【答案】5【解析】所有子集的“乘积”之和即展开式中所有项的系数之和T-1，令，则故答案为511．【2019届浙江省嵊州市高三上期末】9某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任，每个班级安排1个班主任．由于某种原因，数学老师不担任A班的班主任，英语老师不担任B班的班主任，化学老师不担C班和D班的班主任，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．【答案】32【解析】若数学老师分到,B C两班，共有212222=8A A A种分法，若数学老师分到,B D两班，共有212222=8A A A种分法，若数学老师分到,B E两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,C D两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,C E两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,D E两班，共有2222=4A A种分法，共有8+8+4+4+4+4=32种安排方法，故答案为32 .12.圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个【答案】4845个。

高考数学一轮总复习课外拓展习题推荐高考数学是中国学生中最为重要的考试之一，也是决定学生升学和未来发展的关键因素。

为了取得优异的成绩，学生不仅需要掌握基础知识，还需要拓展思维，提高解题能力。

本文将推荐几道适合高考数学一轮总复习的课外拓展习题，旨在帮助学生更好地备战高考。

1. 题目一：函数的极值及最值问题已知函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5，求f(x)的极值及最值。

解析：首先得出f'(x) = 6x^2 - 18x + 12，将f'(x)置零，解得x = 1或x = 2。

将x = 1和x = 2分别代入f'(x)和f(x)中计算，得到f(1) = 10，f(2) = 7。

因此，函数f(x)在x = 1处取得极小值10，在x = 2处取得极大值7。

2. 题目二：复数的运算与表示已知复数z = 3 + 4i，计算z的共轭复数、复数的模和幅角。

解析：复数z的共轭复数为z* = 3 - 4i，复数的模为|z| = √(3^2 + 4^2) = 5，复数的幅角为θ = arctan(4/3)。

3. 题目三：概率问题某班级有30名男生和20名女生，从中随机抽取2名学生，求抽到两名男生的概率。

解析：首先计算男生和女生的抽取概率，男生的抽取概率为P1 =30/50 * 29/49，女生的抽取概率为P2 = 20/50 * 19/49。

因此，抽到两名男生的概率为P = P1 = (30/50) * (29/49) ≈ 0.357。

4. 题目四：几何问题已知直线L1: y = x + 1和L2: 2x + y = 4，求直线L1与L2的交点坐标。

解析：将L1和L2两个方程联立解得x = 1，将x = 1代入L1的方程得到y = 2。

因此，直线L1与L2的交点坐标为(1, 2)。

5. 题目五：函数的复合已知函数f(x) = 3x - 2和g(x) = 2x + 1，求复合函数f(g(x))的表达式。

函数模型的应用一、单项选择题1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x 1.99234 5.15 6.126y1.5174.04187.51218.01A ．y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如表所示．小数记录x 0.10.120.15…1 1.2 1.5 2.0五分记录y4.04.14.2…55.15.25.3现有如下函数模型：①y ＝5＋lg x ，②y ＝5＋110lg 1，x 表示小数记录数据，y 表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2，5-0.22≈0.7，10-0.1≈0.8)()A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．0.83．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f (x )＝1+B+(P >0，a >1，k <0)的形式．已知f (x )＝61+3B+(x ∈N )描述的是一种果树的高度f (x )(单位：m)随着栽种时间x (单位：年)变化的规律，若刚栽种(x ＝0)时该果树的高为1.5m ，经过2年，该果树的高为4.5m ，则该果树的高度不低于5.4m ，至少需要()A ．2年B ．3年C ．4年D ．5年4．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与各自的投入资金a1，a2(单位：万元)满足P＝80＋421，Q＝14a2＋120．设甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)，则总收入f(x)的最大值为()A．282万元B．228万元C．283万元D．229万元二、多项选择题5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中P n为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则()A．当k∈(－1，0)，则这期间人口数呈下降趋势B．当k∈(－1，0)，则这期间人口数呈摆动变化C．当k＝13，P n≥2P0时，n的最小值为3D．当k＝－13，P n≤12P0时，n的最小值为36．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p＝20×lg0，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2B．p2>10p3C．p3＝100p0D．p1≤100p2三、填空题7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如表所示．每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3若某户居民本月缴纳的水费为54元，则此户居民的用水量为________m3. 8．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”．9．某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190cm 及其以上的是高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式________．四、解答题10．某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位：克)的函数．研究过程中的部分数据如表所示．x(单位：克)02610…y－48819…已知当x≥7时，y K，其中m为常数．当0≤x<7时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①y＝ax2＋bx＋c；②y＝k·a x(a>0且a≠1)；③y＝k log a x(a>0且a≠1)，其中k，a，b，c均为常数．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；(2)求该新材料的含量x为多少克时，产品的性能达到最大参考答案1．B[由题表可知函数单调递增，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合．故选B.]2．B[由表格中的数据可知，函数单调递增，合适的函数模型为y＝5＋lg x，令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10-0.3＝0.5．]3．B[由题意可得f(0)＝61+3＝1.5且f(2)＝61+32r＝4.5，解得b＝1，k＝－1，故f(x)＝61+3−r1，函数f(x)＝61+3−r1在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝61+3−2＝5.4，故该果树的高度不低于5.4m，至少需要3年．故选B.]4．A[由题意可知甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，乙大棚的投入资金为200－x(单位：万元)，所以f(x)＝80＋42+14(200－x)＋120＝－14x＋42＋250，由≥40，200−≥40，可得40≤x≤160，令t＝，则t∈[210，410]，g(t)＝－14t2＋42t＋250＝－14(t－82)2＋282，所以当t＝82，即x＝128时总收入最大，最大收入为282万元．故选A.] 5．AC[当k∈(－1，0)时，P0>0，0<1＋k<1，由指数函数的性质可知，P n＝P0(1＋k)n(k>－1)是关于n的单调递减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；当k＝13时，P n＝P≥2P0≥2，所以n≥log432(n∈N)，log432∈(2，3)的最小值为3C正确；当k＝－13时，P n＝P≤12P0≤12，所以≥∈，log2312＝log322∈(1，2)，所以n的最小值为2，故D不正确．故选AC.] 6．ACD[因为L p＝20×lg0随着p的增大而增大，且1∈[60，90]，2∈[50，60]，所以1≥2，所以p1≥p2，故A正确；由L p＝20×lg0，得p＝p01020，因为3＝40，所以p 3＝p 0104020＝100p 0，故C 正确；假设p 2＞10p 3，则p 010220＞10p 010320，所以10220−320＞10，所以2－3＞20，不可能成立，故B 不正确；因为10021100010220010120＝10220−120+2≥1，所以p 1≤100p 2，故D 正确.综上，故选ACD .]7．15[设此户居民本月用水量为x m 3，缴纳的水费为y 元，则当x ∈[0，12]时，y ＝3x ≤36元，不符合题意；当x ∈(12，18]时，y ＝12×3＋(x －12)×6＝6x －36，令6x －36＝54，解得x ＝15，符合题意；当x ∈(18，＋∞)时，y ＝12×3＋6×6＋(x －18)×9＝9x －90>72，不符合题意．综上所述，此户居民本月用水量为15m 3．]8．10[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的＜11000，得n ≥10.所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．]9．k ，0<≤160，−160，160<<190≥190(只要写出的函数满足在区间160，190上单调递增，且过点(160，0)和(190，1)即可，答案不唯一)[由题意知，函数k (x )在(160，190)上单调递增，设k (x )＝ax ＋b (a >0)，x ∈(160，190)，由160+=0，190+=1，解得=130，=−163，所以k (x )＝1x －163＝130(x －160)，所以k ，0<≤160，−160，160<<190，≥190．]10．解：(1)由表格知当x ＝0时，y ＝－4，若选①y ＝ax 2＋bx ＋c ，则c ＝－4；若选②y ＝k ·a x (a >0且a ≠1)，则k ＝－4，此时y＝－4a x(a>0且a≠1)不满足x＝2时，y＝8，故不选；若选③y＝k log a x(a>0且a≠1)，x＝0时无意义，故不选．所以选①的函数模型来描述x，y之间的关系，由题意有当0≤x<7时，由y＝ax2＋bx＋c，且x＝0，y＝－4时，得c＝－4；当x＝2，y＝8时，得4a＋2b＝12；当x＝6，y＝8时，得36a＋6b＝12；联立4+2=12，36+6=12，解得a＝－1，b＝8，所以当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4.(2)由(1)知，当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4，又当x≥7时，y，将x＝10，y＝19代入上式，得19＝⇔3-2＝3m-10，解得m＝8，即当x≥7时，y.综上有y，≥7，2+8−4，0≤<7．当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，所以当x＝4时，取到最大值y max＝12.当x≥7时，y单调递减，所以当x＝7时，y max＝3，故当新材料的含量x＝4克时，产品的性能达到最。

版高考数学一轮总复习数学建模技巧详解高考数学一轮总复习数学建模技巧详解数学建模是高考数学中的一个重要内容，也是学生们较为薄弱的部分。

本文将细致详解一些数学建模的技巧，以帮助同学们更好地应对高考。

一、问题分析和建模思路在开始解决一个数学建模问题之前，首先需要对问题进行透彻的分析，明确问题的要求和限制条件。

然后，根据问题的特点选择合适的数学模型，并确定模型的主要变量、参数和约束条件。

同时，合理假设和简化问题，以便更好地建立模型和求解。

二、合理运用数学原理和方法高考数学建模涉及到多种数学知识，包括函数、微积分、概率论、线性代数等。

在解决问题时，要善于运用这些数学原理和方法，例如巧用极限、导数和积分等概念，在模型的建立和求解过程中起到关键性作用。

另外，多利用图表、公式以及数学工具软件进行计算和验证，确保解题的准确性和可靠性。

三、灵活应用模型和算法对于不同类型的数学建模问题，需要选择合适的数学模型和求解算法。

常用的数学模型包括线性规划模型、非线性规划模型、随机模型等，对于一个具体问题，需要根据问题的特点和要求进行选择。

另外，对于复杂的问题，可以采用分步骤、逐步逼近的方法来求解，以提高解决问题的效率。

四、充分利用实际数据和背景知识数学建模是建立在实际问题基础上的，因此在解决问题时要充分利用已经收集到的数据和相关的背景知识。

通过对数据的分析和处理，可以更好地建立数学模型和求解问题。

同时，对于问题中涉及到的相关领域的知识，应该有一定的了解和掌握，以便更好地理解问题并进行模型的建立。

五、合理组织解题过程和结果展示在解决数学建模问题的过程中，要合理组织解题的思路和步骤，保持逻辑清晰和连贯。

解题过程中的每一步骤都需要有明确的目的和意义，不能盲目操作。

解题的结果展示可以通过文字、图表等方式进行，要有条理和清晰，使读者能够明确地了解到解题的过程和结果。

总结：通过合理运用数学原理和方法、灵活应用模型和算法、充分利用实际数据和背景知识、问题的分析与建模思路以及合理组织解题过程和结果展示，可以更好地解决高考数学建模问题。

数学建模——函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=1t2米,那么,此人()2A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)含量减少137.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图像大致是()10.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年11.如图,直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC,以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动,则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为,y的最大值为.12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg I给出,其中I为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m 2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1 L 汽油的行驶路程可大于5 km,所以选项A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B 错误;甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1小时的路程为80 km,消耗8 L 汽油,所以选项C 错误;当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D 正确.2.C 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3 000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3 000(0<x<240,x ∈N *).令f (x )≥0,得x ≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C .3.B 由题意,设利润为y 元,租金定为(3 000+50x )元(0≤x ≤70,x ∈N ),则y=(3 000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2 900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤5058+x+70-x 22=204 800,当且仅当58+x=70-x ,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B .4.D 已知s=12t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d 取得最小值7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为7米,故选D .5.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t 万元,分流x 人后,每年创造的产值为(100-x )[1+(1.2x )%]t ,则{0<x <100,x ∈N *,(100-x )[1+(1.2x )%]t ≥100t , 解得0<x ≤503.因为x ∈N *,所以x 的最大值为16,故选B . 6.8 设至少过滤n 次才能达到市场要求,则2%1-13n ≤0.1%,即23n ≤120, 所以n lg 23≤-1-lg 2,解得n ≥7.39,所以n=8.7.16 当t=0时,y=a ,当t=8时,y=a e -8b =12a ,所以e -8b =12,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=a e -bt =18a ,e -bt =18=(e -8b )3=e -24b ,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.解 (1)根据所给的曲线,可设y={kt ,0≤t ≤1,(12) t -a ,t >1.当t=1时,由y=4,得k=4,由121-a =4,得a=3.则y={4t ,0≤t ≤1,(12) t -3,t >1.(2)由y ≥0.25,得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12) t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).9.B 设AD 的长为x m,则CD 的长为(16-x ) m,则矩形ABCD 的面积为x (16-x ) m 2.因为要将点P 围在矩形ABCD 内,所以a ≤x ≤12.当0<a ≤8时,当且仅当x=8时,u=64;当8<a<12时,u=a (16-a ).画出函数图像可得其形状与B 选项接近,故选B .10.C 若2019年是第1年,则第n 年全年投入的科研经费为1 300×1.12n 万元,由1 300×1.12n >2 000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,所以n ×0.05>0.19,得n>3.8,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C .11.y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,2-12(2t -4)2,2<t ≤32 如题图,当0≤t<1时,重叠部分面积y=12×2t ×2t=2t 2;当1≤t ≤2时,重叠部分为直角三角形ABC ,重叠部分面积y=12×2×2=2(cm 2); 当2<t ≤3时,重叠部分为梯形,重叠部分面积y=S △ABC -12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t 2+8t-6. 综上,y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,-2t 2+8t -6,2<t ≤3,故可得y 的最大值为2.12.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ,由f (0)=4,f (2)=6,可得p=4,(2-q )2=1,又q>1,所以q=3,所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5),所以f'(x )=3x 2-12x+9, 令f'(x )<0,得1<x<3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月,10月两个月内价格下跌. 13.解 (1)当声强为10-6 W/m 2时,由公式Y=10lgI 10-12,得Y=10lg 10-610-12=10lg 106=60(分贝).(2)当Y=0时,由公式Y=10lg I 10-12,得10lgI 10-12=0.所以I10-12=1,即I=10-12 W/m 2,则最低声强为10-12 W/m 2.(3)当声强为5×10-7 W/m 2时,声强级为Y=10lg 5×10-710-12=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),因为50+10lg 5>50,故这两位同学会影响其他同学休息.。

第二篇函数及其性质专题2.09函数与数学模型【考试要求】1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.【知识梳理】1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0)12相关模型【微点提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大.( ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >0)的增长速度.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×910＝99元.∴每件赔1元，(1)错.(2)中，当x ＝2时，2x ＝x 2＝4.不正确.(3)中，如a ＝x 0＝12，n ＝14，不等式成立，(3)错.【教材衍化】2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A.y ＝2x B.y ＝x 2－1 C.y ＝2x －2D.y ＝log 2x【答案】 D3【解析】 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意.3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2020年 B.2021年 C.2022年D.2023年【答案】 B【解析】 设经过n 年资金开始超过200万元， 即130(1＋12%)n >200.两边取对数，得n ·lg1.12>lg 2－lg 1.3， ∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 【真题体验】4.(2019·上海静安区月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元).一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A.36万件 B.18万件 C.22万件D.9万件【答案】 B【解析】 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18万件时，L (x )有最大值.5.(2019·天津和平区质检)已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A.f (x )>g (x )>h (x ) B.g (x )>f (x )>h (x ) C.g (x )>h (x )>f (x )D.f (x )>h (x )>g (x )【答案】 B【解析】 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次4g (x )>f (x )>h (x ).6.(2019·枣庄调研)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元.销售额x 为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元. 【答案】 1 024【解析】 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴y ＝2log 4x －2，令2log 4x －2＝8，得x ＝45＝1 024. 【考点聚焦】考点一 利用函数的图象刻画实际问题【例1】 (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】 A【解析】 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误.【规律方法】 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案. 2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.【训练1】 高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是( )5【答案】 B【解析】 v ＝f (h )是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B. 考点二 已知函数模型求解实际问题【例2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 【答案】见解析【解析】(1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10.令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 【规律方法】 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.6【训练2】 (2019·日照月考)已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q (x )(单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0<x ≤20，90－35x ，20<x ≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？【答案】见解析【解析】设该服装厂所获效益为f (x )元，则f (x )＝100xq (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0<x ≤20，100x （90－35x ），20<x ≤180.当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f (x )在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000.当20<x ≤180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ， 则f ′(x )＝9 000－4505·x ， 令f ′(x )＝0，∴x ＝80.当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当80≤x ≤180时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减， 所以当x ＝80时，f (x )有极大值，也是最大值240 000. 由于120 000<240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. 考点三 构造函数模型求解实际问题多维探究角度1 二次函数、分段函数模型【例3－1】 (2019·锦州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. (1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 【答案】见解析【解析】(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2，当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ， 显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，7由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52.故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意， 由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20.当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 角度2 构建指数(对数)型函数模型【例3－2】 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 【答案】见解析【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.故每年砍伐面积的百分比为1－⎝⎛⎭⎫12110. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，8则a (1－x )m ＝22a ，把x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110代入，即⎝⎛⎭⎫12m10＝⎝⎛⎭⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年.【规律方法】 1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.【训练3】 (1)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A.13 m 3B.14 m 3C.18 m 3D.26 m 3(2)(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093【答案】 (1)A (2)D 【解析】 (1)设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx （0＜x ≤10），10m ＋（x －10）·2m （x ＞10），则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13. (2)M ≈3361，N ≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.∴MN≈1093. 【反思与感悟】 解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下：【易错防范】1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.2.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图)象表示为图中的(【答案】 B【解析】由题意得关系式为h＝20－5t(0≤t≤4).图象应为B项.2.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有91010员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A.15 B.16 C.17 D.18【答案】 B【解析】 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，（100－x ）（1＋1.2x %）t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.3.某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A.10.5万元 B.11万元 C.43万元D.43.025万元【答案】 C【解析】 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元.4.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg II 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( ) A.76倍 B.1076倍C.10倍D.ln 76倍【答案】 C【解析】 由η＝10lg I I 0得I ＝I 010η10，所以I 1＝I 0107，I 2＝I 0106，所以I 1I 2＝10，所以70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍.5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )1111A.8B.9C.10D.11【答案】 C【解析】 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量 为⎝⎛⎭⎫12n ，由⎝⎛⎭⎫12n<11 000，得n ≥10. 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”. 二、填空题6.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________. 【答案】 30【解析】 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥23 600x×4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a 表示). 【答案】 14a 2【解析】 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋14a 2.所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值.8.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一. 【答案】 16【解析】 当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ，所以e －8b ＝12. 容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24. 所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一. 三、解答题9.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足1212关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【答案】见解析【解析】(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得极大值，也是最大值， 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 【答案】见解析【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 330101313＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( )A.5B.8C.9D.10【答案】 A【解析】 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝⎛⎭⎫12t5， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝⎛⎭⎫12k5＝14a ，即⎝⎛⎭⎫12k5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况【答案】 B【解析】 设该股民购这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损. 13.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的1414底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 【答案】 24【解析】 由已知条件，得192＝e b ， 又48＝e 22k ＋b ＝e b ·(e 11k )2，∴e 11k ＝⎝⎛⎭⎫4819212＝⎝⎛⎭⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋b ＝192 e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭⎫123＝24. 14.某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，员工每年净增a 人(a ∈N *). (1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ 【答案】见解析【解析】设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元. 则y ＝2 000＋60x 800＋ax(a ∈N *，1≤x ≤10，x ∈N *).(1)当a ＝10时，假设该企业的人均年终奖会超过3万元，则2 000＋60x 800＋10x >3，解得x >403>10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元. (2)任取x 1，x 2∈N *，且1≤x 1<x 2≤10， 则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝（60×800－2 000a ）（x 2－x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）>0，所以60×800－2 000a >0，解得a <24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人.。

课时过关检测(六十九)常见的几类数学模型【原卷版】1．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为()A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝142．十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是()A ．388B ．344C ．120D ．9443．某市一年12个月的月平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则该市8月份的平均气温为()A ．25．5℃B ．22．5℃C ．20．5℃D ．13℃4．为了研究流感病毒相关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N 0，平均每个病人可传染给K 个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L 天，在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位：天)的关系式为N (t )＝N 0(1＋K )t ，若N 0＝2，K ＝2．4，则利用此模型预测第5天的病例数大约为()(参考数据：log 1．4454≈18，log 2．4454≈7，log 3．4454≈5)A ．260B ．580C ．910D ．12005．荧光定量PCR 法是通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测的一种检测方法，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量X n 与扩增次数n 满足lg X n ＝n lg(1＋p )＋lg X 0，其中p 为扩增效率，X 0为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为(参考数据：100．2≈1．585，10－0．2≈0．631)()A ．0．369B ．0．415C ．0．585D ．0．6316．从某个角度观察篮球(如图①)，可以得到一个对称的平面图形(如图②所示)篮球的外轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，且AB ＝BC ＝CD ，则该双曲线的离心率为()A ．2B ．62C ．355D ．4777．(多选)两位大学毕业生甲、乙同时开始工作．甲第1个月工资为4000元，以后每月增加100元．乙第一个月工资为4500元，以后每月增加50元，则()A ．第5个月甲的月工资低于乙的月工资B ．甲与乙在第11个月时月工资相等C ．甲、乙前11个月的工资总收入相等D ．甲比乙前11个月的工资总收入要低8．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．9．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s ．(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？10．森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用．为了实现到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s 万立方米(10＜s ＜30)的森林．设a n 为自2021年开始，第n 年末的森林蓄积量(单位：万立方米)．(1)请写出一个递推公式，表示a n ＋1，a n 两者间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成a n ＋1－k ＝r (a n －k )的形式，其中r ，k 为常数；(3)为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量s 最大为多少万立方米？(精确到1万立方米)≈5．96≈7．45≈9．31．课时过关检测(六十九)常见的几类数学模型【解析版】1．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为()A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14解析：A如图过点B 作BC ⊥AE 于点C ，易知△ADE ∽△ABC ，由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，整理得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180(8≤y <24)．∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15．2．十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是()A ．388B ．344C ．120D ．944解析：A现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，样本点总数n ＝A 312＝1320，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的样本点个数m ＝1×2×9＋1×3×9＝45，∴这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是P ＝m n ＝451320＝388．故选A ．3．某市一年12个月的月平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则该市8月份的平均气温为()A ．25．5℃B ．22．5℃C ．20．5℃D ．13℃解析：A 由题意可得6)＝a ＋A cos π6(6－6)＝28，12)＝a ＋A cos π6(12－6)＝18，即＋A ＝28，－A ＝18，解得＝23，＝5，所以f (x )＝23＋5cos π6(x －6)，所以该市8月份的平均气温为f (8)＝23＋5cos π6(8－6)＝23＋5cos π3＝25．5℃，故选A ．4．为了研究流感病毒相关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N 0，平均每个病人可传染给K 个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L 天，在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位：天)的关系式为N (t )＝N 0(1＋K )t ，若N 0＝2，K ＝2．4，则利用此模型预测第5天的病例数大约为()(参考数据：log 1．4454≈18，log 2．4454≈7，log 3．4454≈5)A ．260B ．580C ．910D ．1200解析：C N (5)＝2(1＋2．4)5＝2×3．45，因为log 3．4454≈5，所以3．45≈454，所以N (5)＝2×3．45≈2×454≈908≈910．故选C ．5．荧光定量PCR 法是通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测的一种检测方法，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量X n 与扩增次数n 满足lg X n ＝n lg(1＋p )＋lg X 0，其中p 为扩增效率，X 0为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为(参考数据：100．2≈1．585，10－0．2≈0．631)()A ．0．369B ．0．415C ．0．585D ．0．631解析：C 由题意知，lg(100X 0)＝10lg(1＋p )＋lg X 0，即2＋lg X 0＝10lg(1＋p )＋lg X 0，所以1＋p ＝100．2≈1．585，解得p ≈0．585．故选C ．6．从某个角度观察篮球(如图①)，可以得到一个对称的平面图形(如图②所示)篮球的外轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，且AB ＝BC ＝CD ，则该双曲线的离心率为()A ．2B ．62C ．355D ．477解析：D设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则OC ＝a ，因为AB ＝BC ＝CD ，所以CD ＝2OC ，所以OD ＝3OC ＝3a ，因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八，32a 在双曲线上，代入y 2a 2－x 2b 2＝1可得92－9a 22b 2＝1，解得b 2a 2＝97，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋97＝477．故选D ．7．(多选)两位大学毕业生甲、乙同时开始工作．甲第1个月工资为4000元，以后每月增加100元．乙第一个月工资为4500元，以后每月增加50元，则()A ．第5个月甲的月工资低于乙的月工资B ．甲与乙在第11个月时月工资相等C ．甲、乙前11个月的工资总收入相等D ．甲比乙前11个月的工资总收入要低解析：ABD 设甲各月工资构成等差数列{a n }，乙各月工资构成等差数列{b n }，易知a n ＝100n ＋3900，b n ＝50n ＋4450．因为a 5＝4400＜b 5＝4700，所以选项A 正确；因为a 11＝b 11＝5000，所以选项B 正确；因为甲前11个月工资总收入为11×(4000＋5000)2＝49500元，乙前11个月工资总收入为11×(4500＋5000)2＝52250元，所以选项C 不正确，选项D 正确．8．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3600x ＋4x ≥23600x ×4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240．答案：309．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s ．(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1．＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10．所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q ≥270．所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．10．森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用．为了实现到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s 万立方米(10＜s ＜30)的森林．设a n 为自2021年开始，第n 年末的森林蓄积量(单位：万立方米)．(1)请写出一个递推公式，表示a n ＋1，a n 两者间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成a n ＋1－k ＝r (a n －k )的形式，其中r ，k 为常数；(3)为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量s 最大为多少万立方米？(精确到1万立方米)≈5．96≈7．45≈9．31．解：(1)由题意，得a 1＝120×(1＋25%)－s ＝150－s ，a n ＋1＝a n (1＋25%)－s ＝54a n －s ．①(2)将a n ＋1－k ＝r (a n －k )化为a n ＋1＝ra n ＋k －rk ，②＝54，－rk ＝－s ，＝54，＝4s .所以递推公式为a n ＋1－4s ＝54(a n －4s )．(3)因为a 1－4s ＝150－5s ，且s ∈(10,30)，所以a 1－4s ≠0，由(2)知a n ＋1－4s ＝54(a n －4s )，且a n －4s ≠0，所以a n ＋1－4s a n －4s ＝54，即数列{a n －4s }是以150－5s 为首项，54为公比的等比数列，其通项公式为a n －4s ＝(150－5s －1，所以a n ＝4s ＋(150－5s －1．2030年底的森林蓄积量为数列{a n }的第10项，a 10＝4s ＋(150－5s ．由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，所以a 10≥4×120，即4s ＋(150－5s ≥480，即4s ＋(150－5s )×7．45＝4s ＋1117．5－37．25s ≥480．解得s ≤19．17．所以每年的砍伐量最大为19万立方米．。