高二下学期数学段考试卷

福建省莆田第一中学2022-2023学年高二下学期第二学段（期中）考试数学（A 卷）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．E FB ．E F 2．在a 和b 两数之间插入n 个数，使它们与A ．1b an -+C ．2b a n -+3．已知某运动员每次射击击中目标的概率为射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527029371409857034743736947761042811417469803716233261680456011366195977424A ．104B ．108C ．548．设1F ，2F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点若112F A F B =，1125F B F A =，则椭圆C 的离心率为（A ．22B ．64C ．53二、多选题9．某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（）A ．乙同学体温的极差为0.4℃B ．乙同学的体温比甲同学的体温稳定C ．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数相等D ．甲同学体温的第70百分位数为36.510．设等比数列{n a }的公比为q ，其前671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的有（A ．01q <<C ．n S 的最大值为7S 11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，数，用y 表示绿色骰子的点数，用（x ，y 事件B =“xy 为奇数”，事件C =“3x >”，则下列结论正确的有（A ．A 与B 互斥但不对立C ．A 与C 相互独立12．已知抛物线:E 24y x =的焦点为F ，准线交的A ，B 两点，且(1)CA CB λλ=>，下列结论正确的有（A ．直线l 的斜率()()1,00,1k ∈- C ．若BF 平分AFC ∠，则4AF =三、填空题13．从5张分别写有1，2，3，4，5的卡片中不放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为___________.14．袋子中有6个大小质地相同的球，其中3个红球，3个黄球，从中不放回随机取出3个球，则概率大于0且与事件“至多取出一个黄球”互斥不对立的事件可以是__________.五、填空题16．一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为154cm，方差为30；从初二年级随机抽取了40人，计算得这40人的平均身高为167cm，方差为20；从初三年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为170cm，方差为10．依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高的方差，则全校学生身高方差的估计值为_________．六、解答题(1)求直方图中x的值和第60百分位数；(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断明理由.19．已知函数f（x）=2ln x+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a>0时，讨论函数g（x）20．在平面直角坐标系xOy中，动点之比为2，记N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中平行于OA的直线分别交直线OB，21．甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为经抽签，第一场比赛甲轮空.(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率；(3)求甲最终获胜的概率.2x(1)求AM 的最小值；(2)记直线,,EM EN EP 的斜率分别为（其中{}{}123,,1,2,3i i i =），使得1,i k k 并加以证明；若不存在，说明理由.。

2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试（二）数学试题一、单选题1．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）A ．13种B ．22种C ．30种D ．60种【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.【详解】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，26560⨯⨯=故选：D ．2．若直线与直线平行，则实数（ ）．410mx y -+=230x y +-=m =A ．2B ．C ．D ．2-1212-【答案】B【分析】根据直线平行的关系计算求解即可.【详解】解：两直线的斜率分别是，，由两直线平行可知，解得．4m12-142m =-2m =-故选：B ．3．已知数列满足，，则（ ）．{}n a 13a =()111n na n a *+=-∈N 4a =A ．B ．C ．3D ．2312-32【答案】C【分析】根据递推关系直接求解即可.【详解】解：因为，，13a =()111n na n a *+=-∈N 所以，，，．211213a a =-=321112a a =-=-43113a a =-=故选：C4．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种33A 排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种22A 2323A A 12=排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）．ln x ay x +=()1,a :250l x y -+==a A ．B ．1C ．D ．21232【答案】C【分析】函数求导，计算，利用切线与直线垂直，求得a 值.()11k f =':250l x y -+=【详解】因为，21ln x ay x --'=所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l 的斜率，ln x a y x +=()1,a ()111k f a ='=-22k =由切线与直线l 垂直知，即，解得．121k k =-()211a -=-32a =故选：C ．6．记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与C 22221(0)x y a b a b +=>>A F A 30 l 椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）C B BF AF ⊥CA B C D 1【答案】A【分析】由条件列关于的方程，由此可求离心率.,,a b c 【详解】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，22221x y a b +=A F 所以，()(),0,,0A a F c -因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，B x BF AF ⊥x c =C 2b y a =2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为直线的倾斜角为，l 30所以，又，2b ac a +222b a c =-化简，所以解得)222a ac a c +-)211e e +=-e =故选：A.7．已知等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）{}n a n n S 0n a >68S =1838S =24S =A ．27B ．45C ．65D ．73【答案】C【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据n 6S 126S S -1812S S -2418S S -等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.1220S =【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，n 6S 126S S -1812S S -2418S S -所以有，即，()()212661812S S S S S -=-()()212128838S S -=⨯-整理可得，解得（舍）或.2121282400S S --=1212S =-1220S =又因为，()()()181212624182S S S S S S -=--所以有，解得.()()224(3820)20838S -=--2465S =故选：C.8．已知函数的定义域为R ，为的导函数，且，则不等式()f x ()f x '()f x ()()0xf x f x '+>的解集是（ ）()()()2222x f x x f x ++>A ．B ．()2,1-()(),21,-∞-⋃+∞C ．D ．()(),12,-∞-⋃+∞()1,2-【答案】D 【分析】构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.()()g x xf x =【详解】根据题意，构造函数，则，()()g x xf x =()()()0g x xf x f x ''=+>所以函数在R 上单调递增，又，即，()g x ()()()2222x f x x f x ++>()()22g x g x +>所以，即，解得.22x x +>220x x --<12x -<<故选：D.二、多选题9．下列运算错误的是（ ）A ．B ．'2(2)2log e x x='=C ．D ．(sin1)cos1'=31(log )ln 3x x '=【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 错误；(2)2ln 2x x'=对于B ，，B 正确；11221()2x x -'=='=对于C ，，C 错误；(sin1)0'=对于D ，，D 正确.31(log )ln 3x x '=故选：AC10．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（ ）A ．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种B ．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种C ．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种D ．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种【答案】AD【分析】A 选项只在女生5人中选取4人，直接列式求解；B 选项男、女生选取各2人，则分别选取即可列式求解；C 用间接法列式求解；D 分情况讨论.【详解】选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A 正确；45C 5=恰有2名女生的不同选法共有=100种，故B 错误；2255C C 至少有1名女生的不同选法共有种，故C 错误；44105C C 205-=选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D 正确.041322555555C C C C C C 155++=故选：AD.11．已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于C 22(0)y px p =>F ()4,A n C 5AF =AF C另一点，记坐标原点为，则（ ）B O A ．B ．C ．D ．2p =8n =1(,1)4B -3OA OB ⋅=- 【答案】AD【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.【详解】依题意，抛物线C 的准线为，2:2(0)y px p =>2px =-因为为C 上一点，且，则，()4,A n ||5AF =452pAF =+=解得，故A 正确；2p =可得抛物线C :，焦点为，24y x =()1,0F 因为A 为C 上一点，则4，所以 ，故B 错误；24n =⨯4n =±若，则线的方程为，()4,4A AF ()413y x =-代入，得，整理得，解得或，2:4C y x =()216149x x -=241740x x -+=14x =4x =因为B 与A 分别在x 轴的两侧，可得；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理：若，可得；()4,4A -1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述：或，故C 错误；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，则，则；()4,4A ()1,,144,4OB OA ⎛⎫=⎝=- ⎪⎭ 143OA OB ⋅=-=-同理：若，可得；()4,4A -3OA OB ⋅=-故D 正确；故选：AD.12．已知是数列的前项和，，，，则（ ）nS {}n a n ()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =A ．583S =B ．数列是等比数列{}1n n aa +-C ．1323n n a -=⋅-D ．3223nn S n =⋅--【答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A 正确；将递推关系式转化为{}n a 5，结合，由等比数列定义可得B 正确；利用累加法可求得C 错误；()112n n n n a a a a +--=-213a a -=采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D 正确.【详解】对于A ，，，，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =，，，3213210a a a ∴=-=4323222a a a =-=5433246a a a =-=，A 正确；51410224683S ∴=++++=对于B ，由得：，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ()112n n n n a a a a +--=-又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B 正确；213a a -=∴{}1n n a a+-32对于C ，由B 知：，1132n n n a a -+-=⋅当时，2n ≥()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=，()()1231112322213321132212n n n n n ------++⋅⋅⋅++=⨯=-+=⋅--又满足，，C 错误；11a =1322n n a -=⋅-()1322n n a n -*∴=⋅-∈N 对于D ，，D 正确.()011123222232322312nn n n S n n n --=++⋅⋅⋅+-=⨯-=⋅---故选：ABD.三、填空题13．已知等差数列的前n 项和为，若，则__________．{}n a n S 785a a +=14S =【答案】35【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前n 项和公式求解作答.【详解】因为是等差数列，，所以．{}n a 114785a a a a +=+=()1141414352a a S +==故答案为：3514．若圆与圆外切，则________．221:5C x y +=222:480C x y x y m +---=m =【答案】15-【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解．1212C C r r =+【详解】由题意可得：圆的圆心分别为，半径分别是12,C C 12(0,0),(2,4)C C，)1220r r m ==>-因为圆外切，所以，12,C C 1212C C r r =+．=1520m =->-故答案为：.15-15．在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有___________种.【答案】450【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；2223642333C C C A 90A ⋅=方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，共有（种）不同的方案.32136313C C C A 360=所以共有不同的安排方案.()90360450+=种故答案为：450.16．设函数 在区间[上有零点，则实数的取值范围是___________.()e 2xf x mx =-1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解.【详解】令 ，则，函数 在区间[，3]上有零点等价于()e 20x f x mx =-=e 2xm x =()e 2x f x mx =-12直线与曲线在上有交点， y m =()e 2xg x x =1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则 ，当时，单调递减，当 时，单()()'21e 2x x g x x -=1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()'0,g x g x ＜(]1,3x ∈()()'0,g x g x ＞调递增，， ，显然， ，()()mine 12g x g ==()1321e e ,326g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭132e e 6∴()3e e ,26g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即当时，函数在上有零点；m 3e e ,26⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为： .3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知的展开式中前三项的二项式系数和为.nx ⎛⎝37(1)求；n (2)求展开式中的常数项.【答案】(1)；8n =(2).1792【分析】（1）写出前三项二项式系数，根据和为，列方程求出的值；37n （2）利用通项，并令的指数为0，求出常数项．x 【详解】（1）因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，nx ⎛⎝0C n 1C n 2C n 所以，()012711C C 32C n n n n n n -=+++=+即，2720n n +-=解得或8n =()9n =-舍去（2）的展开式中通项为，8x ⎛ ⎝()()4883188C C 208N kk k k k kk T x x k k --+⎛==-≤≤∈ ⎝，由时，可得，即第7项为常数项，4803k -=6k =所以展开式中的常数项为.()66618C 21792T +=-=18．已知等差数列的前项和为，且.{}n a n 632n S a a =，7499S S a -=+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，求.1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T 【答案】(1)n a n=(2)21n n T n =+【分析】（1）根据等差数列公式，运用条件列方程求出；1,a d（2）运用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列{}的公差为，n a d 由，得 ，解得 ，637492,9a a S S a =-=+()()()111115227214689a d a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+-+=++⎪⎩11,1a d == ；∴n a n =（2），()()11111,2221n n n n a a n n S S n n ++⎛⎫===- ⎪+⎝⎭ ；11111112212233411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上，.2,1n n na n T n ==+19．已知函数的两个极值点满足.()()323129R f x ax x x a =++-∈12,x x 122x x =-(1)求的值；a (2)求在区间上的最值.()f x []3,3-【答案】(1)2a =-(2)最大值为36，最小值为-16【分析】（1）有2个极值点等价于导函数有2个零点，根据条件运用韦达定理求解；()f x ()'f x （2）根据导函数求出的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解.()f x 【详解】（1），令，则有2个零点，显然 ，()'23612f x ax x =++()'0f x =()'f x 12,x x 0a ≠由韦达定理得 ，又代入①得： ，121224x x a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②122x x =-1242,x x a a =-=再代入②得： ， ，符合题意，284,2a a a -==-2646120∆=+⨯⨯＞；()3223129f x x x x ∴=-++-（2） ，得下表：()()()'26612621f x x x x x =-++=--+x()3,1---1()1,2-2()2,3()'f x0＜00＞00＜()f x 单调递减极小值-16单调递增极大值11单调递减又，，()336f -=()30f =所以在区间上的最大值为36，最小值为-16；()f x []3,3-综上，，在区间上的最大值为36，最小值为-16.2a =-()f x []3,3-20．如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是1111ABCD A B C D -ABCD 11AA D D ⊥ABCD E 的中点，.AD 1122A A A D AD AB ====(1)求证：平面平面；1A EB ⊥ABCD (2)求直线与平面所成角的正弦值.1A D 1A BC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判1A E AD ⊥1A E ABCD 定定理证明平面平面； 1A EB ⊥ABCD （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式1A D 1A BC 求直线与平面夹角.1A D 1A BC【详解】（1）因为，点是的中点，所以，11A A A D =E AD 1A E AD ⊥又平面平面，平面平面，11AA D D ⊥ABCD 11AA D D ABCD AD =平面，1A E ⊂11AA D D 所以⊥平面ABCD ，又平面，1A E 1A E ⊂1A EB 所以平面平面；1A EB ⊥ABCD （2）取的中点，连结，BC F EF 因为四边形为矩形，且，ABCD 22AD AB ==所以四边形为正方形，，CDEF EF AD ⊥以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，E EF ED 1EA x yz 则，()()()(11,1,0,1,1,0,0,1,0,B C D A -所以，()((110,2,0,,0,1,BC BA A D ==-= 设平面的法向量，1A BC (),,m x y z = 则 有，即，100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令，则1z =0,y x ==所以平面的一个法向量，1A BC )m = 设直线与平面所成角为，1A D 1A BC θ则1sin cos ,m A θ= 直线与平面1A D 1A BC21．已知双曲线是上一点.()2222:10,0x y C a b a b -=>>()4P C (1)求的方程；C (2)已知直线与交于两点，为坐标原点，若，判断直线是():0l y kx m m =+>C ,E F O 4OE OF ⋅= l 否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)22124x y -=(2)直线恒过定点l(0,【分析】（1）根据离心率、双曲线关系和双曲线所过点可构造方程求得，进而得到双曲,,a b c 22,ab 线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，代入向量数量积的坐标运算中，整理可求得.m =【详解】（1）双曲线的离心率，，则， C ==c e a 22223c a b a ∴=+=222b a =又为上一点，，解得：，，()4P C 22101612a a ∴-=22a =24b ∴=双曲线的方程为：.∴C 22124x y -=（2）设，，()11,E x y ()22,F x y 由得：，22124y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()2222240k x kmx m ----=，则；()()2222220Δ44240k k m k m ⎧-≠⎪∴⎨=+-+>⎪⎩222224k m k ⎧≠⎨>-⎩，，12222km x x k ∴+=-212242m x x k +=--()()()()221212121212121OE OF x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ∴⋅=+=+++=++++ ，()()2222222142422k m k m m k k ++=-++=--整理可得：，又，，则212m =0m >m ∴=:l y kx =+直线恒过定点.∴l (0,22．已知函数，.()()ln f x x x a =-a ∈R (1)若函数在上单调递增，求a 的取值范围；()f x []1,4(2)若，求证：.0a >()()2ln f x x x a ≤--【答案】(1)；(,1]-∞(2)证明见解析.【分析】（1）对求导后，问题转化为在[1,4]上恒成立，进而求得的最小值即可()f x ()0f x '≥()f x '求解；（2）由可得只需证明，令，求导后求得0x >ln 2ln x a x a -≤--()2ln ln g x x a a x =+---；令，求导后求得，从而可得，()(1)1ln g x g a a ≥=--()1ln (0)h a a a a =-->()(1)0h a h ≥=()0g x ≥问题得证.【详解】（1），因为函数在[1,4]上单调递增，()ln 1=-+'f x x a ()f x 所以在[1,4]上恒成立，()0f x '≥又在[1,4]上单调递增，所以，()ln 1=-+'f x x a min ()1f x a '=-+所以，解得，所以的取值范围是.10a -+≥1a ≤a (,1]-∞（2）因为，所以要证，只需证，0,0a x >>()(2ln )f x x x a ≤--ln 2ln x a x a -≤--令，则.()2ln ln g x x a a x =+---11()1x g x x x -'=-=当时，，函数单调递减；01x <<()0g x '<()g x 当时， ，函数单调递增.1x >()0g x '>()g x 所以，()(1)1ln g x g a a ≥=--令，则，()1ln (0)h a a a a =-->11()1a h a a a -'=-=当时，单调递减，当时，单调递增.01a <<()0,()h a h a '<1a >()0,()h a h a '>所以时，取最小值, 则,1a =()h a ()(1)0h a h ≥=所以时，，因此.0a >()0h a ≥()0g x ≥所以.()(2ln )f x x x a ≤--。

龙华高级中学、格致中学2022—2023学年下学期5月段考试卷高二数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案.3. 非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布()2110,N σ，则下列结论中不正确的是（ ） （参考数据：若()2~,X N µσ，则()0.6827P X µσµσ−≤≤+≈，(22)0.9545P X µσµσ−≤≤+≈，(33)0.9973P X µσµσ−≤≤+≈.）A. 这次测试的平均成绩为110B.σ越小，测试成绩在()100,120内的概率越大C. 测试成绩小于100分和大于120分的概率相等D. 当20σ=时，测试成绩小于130分的概率为0.6827 2. 曲线()ln f x x x x =−在(),0a 处的切线方程为（ ） A. 0y =B. y x =C. e y x =−D. e y x =−+3. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，且116a ，24a ，3a 成等差数列，则q 的值是（ ） A. 5B. 4C. 3D. 24. 有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A.47B.23C.13D.165. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A. 0.95B. 0.8C. 0.76D. 0.756. 现要从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ）A. 56种B. 64种C. 72种D. 96种7. 若1x ，2x 是函数321()1(0,0)3f x x ax bx a b =+++>>的导函数的两个不同零点，且1x ，2x ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b +=（ ）A. 132B. 92C. 52D. 48. 已知当1x >时，关于x 的不等式1ln a x a x++>恒成立，则实数a 的值不可能是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9. 已知()1nx +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. 8n =B. ()1nx +的展开式中2x 项的系数为56 C. 奇数项的二项式系数和为128D. ()21nx y+−的展开式中2xy 项的系数为5610. 袋子中装有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球，现从中有放回地随机取球3次，每次取一个球，每次取到白球得0分，黑球得5分，设3次取球总得分为X ，则（ ） A. 3次中恰有2次取得白球的概率为36125B. 44(5)125P X >= C. ()6E X =D. ()1825D X =11. 已知数列{}n a 满足11a =，112,2,nn n n n a n a a n ++ − = + 为奇数为偶数，则下列说法正确的是（ ） A. 37a = B. 20222a a = C. 202320232a = D. 23213265n n S n ++=−−12. 设函数e (21)()x x f x x+=，则（ ） A. ()12e f ′=B. 函数()f x 的图象过点11,e −的切线方程为1ey =C. 函数()f x 既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值D. 方程()f x k =有两个不等实根，则实数k的取值范围为()10,e +∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知在备选的10道题中，甲能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2道题才算合格，则甲合格的概率为______.14. 将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为______. 15. 若前n 项和为n S 的等差数列{}n a 满足712812a a a +=−，则17S =______.16. 已知函数(1)e ,0()ln ,0x x x f x x x x+≤= > ，函数2()()(2)()2g x f x a f x a =−++，若函数()g x 恰有三个零点，则a 的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a Bc b =+，ABC △的面积为（1）求A ；（2）若2b c −=，求ABC △的周长.18. 已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =−∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）记n P 是数列1n S 的前n 项和，n Q 是数列112n a −的前n 项和.①求n P 和n Q ；②当2n ≥时，试比较n P 与n Q 的大小.19. 如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，2AB =，D 是棱AB 的中点.（1）证明：平面1A CD ⊥平面11ABB A ；（2）若[]11,2AA ∈，求平面1ACD 与平面11A CC 的夹角余弦值的取值范围. 20. 课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为12，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为12，从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为35，若前一次没投进，则这次投进的概率为25.（1）求甲3次投篮的得分超过3分的概率； （2）乙3次投篮的得分为X ，求X 的分布列和期望.21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F 、2F ，P 为C 的上顶点，且12PF F △的周长为4+. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.22. 已知函数2()ln 2(0)f x ax x x x a =−−>. （1）若4a =，求()f x ′的极值；（2）()()2g x f x x =+，若函数()g x 有两个零点1x ，2x ，且21e x x >，求证：()12ln ln 3a x x +⋅>.龙华高级中学、格致中学2022—2023学年下学期5月段考高二数学答案一、选择题1.【答案】D【详解】对于A 选项：正态分布()2,N µσ中，括号里面表示随机变量服从均值为µ，方差为2σ的正态分布，因为成绩服从正态分布()2110,N σ，所以A 是正确的.对于B 选项：正态分布中根据密度曲线特点，数据集中在均值附近，方差（或标准差）越小越稳定，曲线越“瘦高”，数据越集中，所以σ越小，测试成绩在()100,120内的概率越大，所以B 是正确的.对于C 选项：根据正态曲线对称特点，测试成绩小于100分和大于120分的概率相等，所以C 是正确的. 对于D 选项：当20σ=时，测试成绩小于130分的概率为0.84135，所以D 错误. 2.【答案】C【详解】由题意ln 0a a a −=，解得e a =.由()ln f x x x x =−，得()ln f x x ′=，则()e 1f ′=，又()e 0f =， ∴曲线()ln f x x x x =−在(),0a 处的切线方程为e y x =−.3.【答案】B【详解】等比数列{}n a 的公比为q ，116a ，24a ，3a 成等差数列，则132168a a a +=， 即21118160a q a q a −+=，整理得()240q −=，解得4q =，所以q 的值是4. 4.【答案】B【详解】设第一次取得次品为事件A ，第二次取得正品为事件B ， 则342()767P AB ×==×，363()767P A ×==×，所以()()272()733P AB P B A P A ==×=. 5.【答案】C【详解】设买到的灯泡是甲厂产品为事件A ，买到的灯泡是乙厂产品为事件B ， 则()0.8P A =，()0.2P B =，记事件C ：从该地市场上买到一个合格灯泡，则()0.75P C A =，()0.8P C B =，所以()()()()()()()0.80.750.20.80.76P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+=×+×=. 6.【答案】D【分析】根据A 是否入选进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意可知：根据A 是否入选进行分类：若A 入选：则先给A 从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有13C 3=种，再给剩下三个岗位安排人有34A 43224=××=种，共有32472×=种方法； 若A 不入选：则4个人4个岗位全排有44A 432124=×××=种方法， 所以共有722496+=种不同的安排方法. 7.【答案】A【详解】∵2()2f x x ax b ′=++，∴1220x x a +=−<，120x x b =>， 所以1x ，2x 为两个不等的负数，不妨设120x x <<，则必有1x ，2x ，2成等差数列，1x ，2，2x 成等比数列，故有2122x x =+，124x x =，解得14x =−，21x =−，可得52a =，4b =，132a b +=. 8.【答案】D【分析】化为ln 10x x ax a −++>恒成立，构造函数()ln 1(1)f x x x ax a x =−++>，求导后讨论a ，当1a ≤时，()()10f x f >=，符合题意；当1a >时，求出()f x 的最小值()11min ()e e 1a a f x f a −−==−++，化为1e 10a a −−++>，再构造函数1()e 1(1)a g a a a −=−++>，利用导数可得结果.【详解】当1x >时，关于x 的不等式1ln a x a x++>恒成立，即ln 10x x ax a −++>恒成立， 令()ln 1(1)f x x x ax a x =−++>，则()ln 1f x x a ′=+−，当10a −≥，即1a ≤时，由1x >，得ln 0x >，所以()0f x ′>，所以()f x 在()1,+∞上为增函数，所以()()10f x f >=，符合题意； 当10a −<，即1a >时，由()0f x ′<，得10e a x −<<，由()0f x ′>，得1e a x −>， 所以()f x 在()10,e a −上为减函数，在()1e ,a −+∞上为增函数，所以()11111min ()e e ln e e 1e 1a a a a a f x f a a a −−−−−==−⋅++=−++，所以只需1e 10a a −−++>即可， 设1()e 1(1)a g a a a −=−++>，则1()e 1a g a −′=−+， 当1a >时，1e 1a −>，所以()0g a ′<，所以()g a 在()1,+∞上为减函数，因为(2)e 30g =−+>，2(3)e 40g =−+<，所以存在()02,3a ∈，使得()00g a =， 当01a a <<时，()0g a >，当0a a >时，()0g a <，要使()1e ()0a f g a −=>，只需0a a <，结合选项可知，实数a 的值不可能是3.二、多项选择题9.【答案】AC【详解】因为(1)n x +的展开式通项为1C C k k k k r n n T x x +==， 所以(1)n x +的展开式的第1k +项的二项式系数为C kn， 所以26C C n n =，解得8n =，A 正确；2x 的系数为28C 28=，B 错误；奇数项的二项式系数和为1722128n −==，C 正确；根据二项式定理，()821x y+−表示8个()21x y +−相乘，所以()21x y +−中有1个选择x ，1个选择2y −，6个选择1， 所以()21nx y+−的展开式中2xy 项的系数为11787C C (1)56−=−，D 错误. 10.【答案】BC【详解】设3次取球取到白球的个数为ξ，每次取到白球的概率63105P ==， 由题意可得：3~3,5B ξ，且05(3)155X ξξξ=×+−=−，对于A ：2233254(2)C 55125P ξ ==××=，故A 错误； 对于B ：令1555X ξ=−>，解得2ξ<，故0ξ=或1ξ=，所以[](5)(0)(1)1(3)(4)P X P P P P ξξξξ>==+==−=+=35434411255125 =−+=，故B 正确；对于C ：因为39()355E ξ=×=，所以9()(155)155()15565E X E E ξξ−−−×，故C 正确；对于D ：因为3318()315525D ξ=××−=，所以18()(155)25()251825D X D D ξξ=−==×=，故D 错误.11.【答案】ABD【详解】2121a a =−=−，33227a a =+=，故选项A 正确； 对于*k ∈N ，有2122212k k k a a +++=−，212122k k k a a ++=+， 两式相加，得222k k a a +=，则202220202a a a === ，故选项B 正确；由222k k a a +=，知2022202021a a a ====− ，则2023202320232022212a a =+=−+，故选项C 错误； 由偶数项均为－1，可得n 为偶数时，1112n n a ++=−+，则()()()35212112345211(1)12(1)1212n n n S a a a a a a +++=++++++=+−+−++−+−+++−+()223352128122651(1)(2)22221123n n n n n n ++−−−=+−×++++=−++=− ， 则23213265n n S n ++=−−，故选项D 正确. 12.【答案】AD【详解】由题意可知22e (21)e (21)e ()(21)(1)x x x x x x x f x x x x x ′′ +−+ ′==−+， 对于A ，由2e ()(21)(1)xf x x x x′=−+，得12e (1)(211)(11)2e 1f ′=×−+=，故A 正确；对于B ，设切点为0001,e 2x x x +，()()()000020e 211x k f x x x x −+， 切线方程()()()00002001e e 2211x x y x x x x x x −+=−+−， 代入点11,e− ，得()()()0000020011e e 22111e x x x x x x x −+=−+−−，化简整理得()032200001e 210e x x x x x +−−+=，令()()0322000001e 21ex h x x x x x =+−−+，(1)0h −=，所以函数()f x 在11,e −的切线方程为1ey =，因为11024e h+<，1(1)e 0e h =+>，函数()0h x 图象连续不断，所以存在01,12x ∈ ，使得()00h x =，所以过点11,e − 的直线与函数()f x 在1,12之间存在切点，过点11,e − 的切线不止一条，故B 错误；对于C ，()f x 的定义域为()(),00,−∞+∞ ，令()0f x ′=，即2e (21)(1)0x x x x −+=，解得1x =−，或12x =， 当1(,1),2x ∈−∞−+∞时，()0f x ′>，当1(1,0)0,2x∈−时，()0f x ′<， 所以()f x 在(),1−∞−和1,2 +∞上单调递增，在()1,0−和10,2上单调递减. 当1x =−时，()f x 取得极大值为[]1e 2(1)11(1)(1)ef −×−+−==−， 当12x =时，()f x取得极小值为121e 2112122f ×+==因为1e<C 错误； 对于D ，由C 选项知，作出()f x 的图象如图所示，要使方程()f x k =有两个不等实根，只需要y k =与()f x 有两个交点，由图可知，10,)e k ∈+∞ ，所以实数k的取值范围为10,)e +∞.故D 正确.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题13.【答案】12【详解】从10道题中抽取3道题的取法有310C 120=种，至少抽到甲能答对的5道题中的两道题的取法有213555C C C 60+=，所以概率为6011202=. 14.【答案】280【详解】先从8个人中选出3人为一组，再从5人中选出3人为一组，剩余两人为一组.满足条件的分组方法种数为33285222C C C 5610280A 2×==.15.【答案】68【详解】解：由等差数列的性质知712910a a a a +=+， 因为前n 项和为n S 的等差数列{}n a 满足712812a a a +=−， 所以712910812a a a a a +=+=−，即891012a a a ++=， 所以94a =，所以()117917917172176822a a a S a +×====. 16.【答案】211,00,e e−【详解】①当0x ≤时，()(1)e xf x x =+，所以()e (1)e (2)e xxxf x x x ′=++=+， 当2x <−时，()0f x ′<，函数()f x 在(),2−∞−上单调递减， 当20x −<≤时，()0f x ′>，函数()f x 在(]2,0−上单调递增，且()01f =，()22e f −−=−，()10f −=，当1x <−时，()0f x <，当10x −<≤时，()0f x >， 当x →−∞时，与一次函数1y x =+相比，函数e xy −=呈爆炸性增长， 从而1()0exx f x −+=→，()0f x ′→， ②当0x >时，ln ()x f x x =，21ln ()xf x x −′=， 当0e x <<时，()0f x ′>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x <<+∞时，()0f x ′<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，且()1e ef =，()10f =， 当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <，当x →+∞时，与对数函数ln y x =相比，一次函数y x =呈爆炸性增长， 从而ln ()0x f x x=→，()0f x ′→，当0x >，且0x →时，ln ()xf x x =→+∞， 根据以上信息，可作出函数()f x 的大致图象如下：函数2()()(2)()2g x f x a f x a =−++的零点个数与方程2()(2)()20f x a f x a −++=的解的个数一致， 方程2()(2)()20f x a f x a −++=，可化为()()()()20f x f x a −−=，所以()f x a =或()2f x =， 由图象可得()2f x =没有解，方程2()(2)()20f x a f x a −++=的解的个数与方程()f x a =解的个数相等，而方程()f x a =的解的个数与函数()y f x =的图象与函数y a =的图象的交点个数相等， 由图可知：当211,00,e e a∈−时，函数()y f x =的图象与函数y a =的图象有3个交点. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】（1）23π；（2）6+【详解】（1）由正弦定理得，2sin cos 2sin sin A B C B =+，A B C π++=，∴2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B B A B A B =++，由sin 0B >可得1cos 2A =−，又0A π<<，∴23A π=.……5分（2）由题意可得1sin 2bc A =8bc =，又2b c −=，∴42b c = =，由余弦定理得22212cos 164242282a b c bc A+−+−×××−，∴a =∴ABC △的周长为6+……5分18.【详解】（1）当1n =时，211112a S a a −，所以11a =或10a =（舍去），当2n ≥时，有2211122n n n n n n a S a a S a −−−=−=−，两式相减得221112n n n n n n n a a a a a a a −−−−=−+=+， 整理得()()111n n n n n n a a a a a a −−−+−=+，因为{}n a 的各项都是正数，所以11n n a a −−=，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以11(1)n a n n =+⋅−=；……5分 （2）由（1）得(1)2n n n S +=，则12112(1)1n S n n n n ==− ++，所以12111111111212122311n n P S S S n n n=+++=−+−++−=− ++，由（1）得111122n a n −−=， 所以2111111121211222212nn n n Q − −=++++==− −，……10分因为(1)2(11)110(2)2n n n n n n n +=+=+++>+>≥ ， 所以1121n n <+，故111121n n−>−+，所以当2n ≥时，n n P Q <.……12分 19.【详解】（1）证明：在正三棱柱中，1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1AA CD ⊥.因为AC BC =，且D 是棱AB 的中点，所以CD AB ⊥. 因为AB ，1AA ⊂平面11ABB A ，且1AB AA A = ，所以CD ⊥平面11ABB A . 又因为CD ⊂平面1ACD ，所以平面1A CD ⊥平面11ABB A .……5分 （2）解：分别取AC ，11A C 的中点O ，E ，连接OE ，OB ，由正三棱柱性质得1AO A E =，1AO A E ∥，所以四边形1AOEA 为平行四边形，所以1AA OE ∥，因为1AA ⊥平面ABC ，所以OE ⊥平面ABC ， 因为AC ，OB ⊂平面ABC ，所以OE AC ⊥，OE OB ⊥，因为在等边三角形ABC 中，OB AC ⊥， 所以OB ，OC ，OE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，……7分 设()112AA t t =≤≤，则()0,1,0C，1,02D−，()10,1,A t −，()10,2,A Ct =−，3,02CD=−， 设平面1ACD 的法向量(),,n x y z =，则120302n A C y tz n CD x y ⋅=−=⋅=−=， 令2z =，y t =，x =，得),,2n t =，……9分平面11A CC 的一个法向量()1,0,0m =，设平面1ACD 与平面11A CC 夹角为α，则c os m n m n α==⋅=⋅11分 因为12t ≤≤，所以cos α∈.……12分20.【详解】（1）甲3次投篮投进的次数为ξ，则1~3,2B ξ，故甲3次投篮的得分超过3分的概率23231111(2)(3)C 12222P P P ξξ ==+==××−+= .……4分（2）记“乙第()1,2,3i i =次投篮投进”为事件i A ，1,2,3i =， 由题意可得：X 的可能取值为0，2，4，6，则有：()()()1231229(0)11125550P X P A P A P A ===−×−×−=，()()()()()()()()()123123123(2)P X P A P A P A P A P A P A P A P A P A ==++132123122811111125525525525=×−×−+−××−+−×−×= ， ()()()()()()()()()123123123(4)P X P A P A P A P A P A P A P A P A P A ==++133132123811125525525525 =××−+×−×+−××= ， ()()()1231339(6)25550P X P A P A P A ===××=， 所以X 的分布列为：21.【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由0∆>结合0OAOB ⋅>可求得k 的取值范围.【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c .因为12PF F △的周长为1212224PF PF F F a c ++=+=+因为椭圆C c a = 由①②解得2a =，c =则1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.……4分（2）若直线l x ⊥轴，此时，直线l 为y 轴，则A 、O 、B 三点共线，不合乎题意， 设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx +=⇒+++= =+ ，()()222(16)4411216430k k k ∆=−+×=−>，解得234k >， 由韦达定理可得1221641kx x k +=−+，1221241x x k =+，……8分则()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，A 、O 、B 不共线，则cos 0AOB ∠>，即()()212121212124OA OB x x y y k x x k x x ⋅=+=++++ ()2222221213216416404141k k k k k k +−++−=>++，解得204k <<，所以，2344k <<，解得2k −<<2k <<，所以实数k 的取值范围为2,2−.……12分22.【分析】（1）求出函数()f x 的导数()f x ′，再利用导数求出()f x ′的极值作答. （2）根据函数零点的意义，转化为线1y a=与函数()ln x x x ϕ=图象有两个交点，求出e a >，再借助零点建立两个方程消去a ，构造函数证明12ln 2x x >即可作答.【详解】（1）当4a =时，2()4ln 2f x x x x x =−−定义域为()0,+∞， 求导得()4(1ln )224ln 22f x x x x x ′=+−−=−+， 令()4ln 22h x x x =−+，求导得4()2h x x′=−， 当02x <<时，()0h x ′>，当2x >时，()0h x ′<， 即函数()h x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，当2x =时，()h x 取得极大值()24ln 22h =−，无极小值，所以()f x ′的极大值为4ln 22−，无极小值.……4分（2）依题意，2()ln g x ax x x =−，0x >，因为函数()g x 有两个零点1x ，2x ，且21e x x >， 而0a >，则21ln ()0ln 0xg x ax x x a x=⇔−=⇔=，因此函数()g x 的两个零点1x ，2x ，分别是直线1y a =与函数ln ()x x xϕ=图象的两个交点横坐标， 21ln ()xx xϕ−′=，当0e x <<时，()0x ϕ′>，当e x >时，()0x ϕ′<， 则函数ln ()x x xϕ=在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，max 1()e x ϕ=， 而()10ϕ=，1x >时，恒有()0x ϕ>，于是110ea <<，即e a >.……8分令21e x t x =>，显然有122111221221ln ln ln ln a x x x x a x x x a x x a x x x =+ = ⇔ =−=， 则有2212121222122111ln ln ln ln 11x x x x x x t x x t x x x x x t x +++=⋅=⋅=−−−，令2(1)4()ln ln 211t F t t t t t −=−=+−++，e t >，22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t −′=−=>++，即函数()F t 在()e,+∞上单调递增，4()(e)10e 1F t F >=−>+， 即有2(1)ln 1t t t −>+，从而121ln ln 21t x x t t +=>−，又ln 1a >，所以12ln ln 3a x x +>.……12分。

深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试（期中）数学试卷及参考答案本试卷22小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上。

2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

4.考试结束后，将答题卡交回。

第I卷（选择题）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

)第II卷（非选择题）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)四、解答题(本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明或演算步骤。

) 17．(10分)甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到A，B，C三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.(1)不同的安排方法共有多少种？(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.(3)求在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两位志愿者的概率.(1)根据散点图可知，可用函数模型b y a x=+拟合y (2)已知该产品的年销售额m （单位：千万元）与每件产品成本222001005002510y y m y =-+++-.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入（注：年利润=年销售额—年投入成本）参考公式：对于一组数据()11,u v 、()22,u v 、L 、(21．（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X 的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y 的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.22．（12分）已知函数()22ln f x x x x x =+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)已知()()2g x f x x x =--，若()()12g x g x =且12x x ≠，证明：1201x x <<参考答案：9．AC【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB ；利用隔板法计算判断C ；利用分类加法计数原理列式计算判断D 作答.【详解】对于A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，不同分法有222642C C C 种，A 正确；对于B ，把6本不同的书按1:2:3分成3组有123653C C C 种方法，再分给甲、乙、丙三人有33A 种方法，不同分法种数是12336533C C C A ，B 错误；对于C ，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，。

湖北省天门2023-2024学年度高二下学期三月月考数学试题（答案在最后）考试内容：选修一第一章——选修三第六章6.1考试时间：2024年3月31日出题人：审题人：一、单选题（共40分）1.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（）A.2B.4C. D.【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由题意得到2ππr l =求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，即侧面展开图的半径为l ，侧面展开图的弧长为πl .又圆锥的底面周长为2πr ，所以2ππr l =，即圆锥的母线长2l r =.所以圆锥的侧面积为2π2π16πrl r ==，解得r =故选：C.2.若直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则m 的值为（）A.2B.3- C.2或3- D.2-或3-【答案】C 【解析】【分析】依题意可得23(1)0m m ⨯-+=，求出m 的值，再检验即可.【详解】直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则23(1)0m m ⨯-+=，解得3m =-或2m =，当3m =-时，此时直线1l ：2240x y -+=与直线2l ：3320x y -+-=平行，当2m =时，此时直线1l ：2340x y ++=与直线2l ：2320x y +-=平行，故3m =-或 2.m =故选：C3.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.12B.10C.5D.32log 5【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.【详解】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，564718a a a a +=，所以564756218a a a a a a +==，即569a a =，则11029569a a a a a a ==== 记3132310log log log S a a a =++⋅⋅⋅+，则3103931log log log S a a a =+⋅+⋅⋅+，两式相加得()()()3110329310132log log log 10log 920S a a a a a a =++⋅⋅⋅+=⨯=，所以10S =，即3132310log log log 10a a a ++⋅⋅⋅+=.故选：B.4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．【详解】由2040x x ->⎧⎨->⎩得：24x <<，即()f x 的定义域为()2,4；()()()()23112424x f x x x x x -'=-=---- ，∴当()2,3x ∈时，()0f x ¢>；当()3,4x ∈时，()0f x '<；()f x \的单调递增区间为()2,3．故选：A ．5.已知函数()2xf x =，则函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为（）A.10x y --=B.10x y -+=C.ln 210x y ⋅--=D.ln 210x y ⋅-+=【答案】D【分析】求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数()2xf x =，求导得()2ln 2x fx '=，则(0)ln 2f '=，而(0)1f =，所以所求切线方程为1ln 2(0)y x -=⋅-，即ln 210x y ⋅-+=.故选：D6.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC 的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出点C 的轨迹，再借助三角代换及点到直线距离公式求出最小值.【详解】设点(,)C x y ，由()()1,0,2,3A B -及OC mOA nOB =+，得(,)(2,3)x y m n n =-+，即23x m ny n=-+⎧⎨=⎩，而40m n --=，消去,m n 得：3120x y -+=，设椭圆2217y x +=上的点(cos ),R P θθθ∈，则点P 到直线3120x y -+=的距离d =，其中锐角ϕ由tanϕ=确定，当sin()1θϕ+=时，min d =PC d ≥ ，所以PC 的故选：A【点睛】思路点睛：求出椭圆上的点与其相离的直线上点的距离最小值，可转化为求椭圆上的点到直线距离有最小值解决.7.5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（）A.120B.324C.720D.1280【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】第一天可以排5个人中的任意一个，有5种排法；第二天可以排另外4个人中任意一个，有4种排法；第三天同上，有4种排法；第四天同上，有4种排法；第五天同上，有4种排法．根据分步乘法计数原理得所有的排法总数为544441280⨯⨯⨯⨯=．故选:D ．8.函数32()(1)f x x a x x b =+--+为R 上的奇函数，过点1,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线，可作切线条数为（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数确定3()f x x x =-，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算01x =-，计算切线得到答案.【详解】()3232()(1)(1)f x x a x x b f x x a x x b -=-+-+=-=--++--，故1a =，0b =，3()f x x x =-，2()31x f x '=-，设切点为()00,Mxy ，则2000012()311y f x x x '-=+=-，且30000()f x x x y -==，整理得到()()20001410x x x +-+=，解得01x =-，(1)2f '-=，故切线方程为22y x =+，故选：A二、多选题（共18分）9.公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（）A.0d < B.70a > C.{}n S 中5S 最大D.49a a <【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得60a >，670a a +<，再逐项分析判断作答.【详解】由()111116111102a a S a +==>，得60a >，又()()112126712602a a S a a +==+<，得，670a a +<，所以60a >，70a <，数列{}n a 是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，等差数列{}n a ，公差0d <，A 选项正确；70a <，B 选项错误；前6项和最大，C 选项错误；由40a >，90a <，有4949670a a a a a a -=+=+<，则49a a <，D 选项正确.故选：AD.10.已知函数()()322R x x a a f x x =-++∈的图像为曲线C ，下列说法正确的有（）A.R a ∀∈，()f x 都有两个极值点B.R a ∀∈，()f x 都有零点C.R a ∀∈，曲线C 都有对称中心D.R a ∃∈，使得曲线C 有对称轴【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数极值的定义、零点的定义，结合函数的对称性的性质逐一判断即可.【详解】A ：()()()()3222341311x x x a f x x x x x f x '=-++⇒=-+=--，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当113x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，当13x <时，()()0,f x f x '>单调递增，因此13x =是函数的极大值点，1x =是函数的极小值点，因此本选项正确；B ：当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，而函数()f x 是连续不断的曲线，所以一定存在0R x ∈，使得()0f x =，因此本选项正确；C ：假设曲线C 的对称中心为(),b c ，则有()()()()()()32322222,f b x f b x c b x b x b x a b x b x b x a c ++-=⇒+-+++++---+-+=化简，得()232322b x c a b b b -=---+，因为x ∈R ，所以有322320320227b b c a b b b c a ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨---+=⎩⎪-=⎪⎩，因此给定a 一个实数，一定存在唯一的一个实数c 与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；D ：由上可知当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，故选：ABC11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A.直线1B C 与直线1AD 所成的角为90B.直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为33C.1B D ⊥平面1ACD D.点1B 到平面1ACD 的距离为32【答案】ABC 【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，求出1B C 和1AD uuu r的坐标，由110AD B C ⋅= 可判断A ；证明10AC B D ⋅= ，110AD B D ⋅=，再由线面垂直的判定定理可判断C ；计算11cos ,B D B C 的值可得线面角的正弦值，再求出夹角的余弦值可判断B ；利用向量求出点A 到平面11D B C 的距离可判断D.【详解】如图以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，对于A ：()11,0,1B C =-- ，()11,0,1AD =-，因为()()()111100110B C AD ⋅=-⨯-+⨯+-⨯= ，所以11AD B C ⊥ ，即11B C AD ⊥，直线1B C 与直线1AD 所成的角为90 ，故选项A 正确；对于C ：因为()1,1,0AC =- ，()11,0,1AD =- ，()11,1,1B D =---，所以11100AC B D ⋅=-+= ，111010AD B D ⋅=+-= ，所以1AC B D ⊥ ，11AD B D ⊥uuur uuu r ，因为1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面A 1，所以1B D ⊥平面1ACD ，故选项C 正确；对于B ：由选项C 知：1B D ⊥平面1ACD ，所以平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，因为()11,0,1B C =-- ，所以111111cos ,B D B C B D B C B D B C⋅=== 即直线1B C 与平面1ACD 所成，所以直线1B C 与平面1ACD33=，故选项B 正确；对于D ：因为()11,0,1B C =-- ，平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，所以点1B 到平面1ACD的距离为1113B D B C d B D⋅=== ，故选项D 不正确.故选：ABC.三、填空题（共15分）12.若抛物线22y px =-过点()1,2-，则该抛物线的焦点为________．【答案】()1,0-【解析】【分析】根据题意，代入求得2p =，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】解：将()1,2-代入抛物线方程22y px =-，可得2p =，即24y x =-，所以抛物线24y x =-的焦点为()1,0-．故答案为：()1,0-.13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则实数λ的值是_____．【答案】-2【解析】【分析】由已知推得1q ≠，继而结合等比数列的前n 项和的特点及已知即可求解.【详解】等比数列{}n a 中，由122n n S λ+=+可得122n n S λ=+，则11122a S λ==+，若公比1q =，则2211224,02S a λλλ=+==+∴=，则13323S a =≠，故1q ≠，则等比数列的前n 项和()1111111n nn a q a S qa q a a--=⋅--=-，（1q ≠），故令112λ=-，即2λ=-，故答案为：2-14.若e e e e ()cos 22x x x xf x x x ---+=+，则不等式(sin )(cos )0f x f x +>的解集是________．【答案】π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】【分析】根据奇偶性的定义和导数分析可知()f x 在[]1,1-内单调递增，且为奇函数，进而可得sin cos x x >-，利用辅助角公式结合正弦函数运算求解.【详解】取()f x 的定义域为[]1,1-，关于原点对称，且()()()e e e e e e e e ()cos cos sin 2222x x x x x x x xf x x x x x f x -----+-+-=-+-=--=-，所以()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，因为()e e e e e e e e ()cos sin sin cos e e cos 2222x x x x x x x xx x f x x x x x x ------+-+'=-++=+，若[]1,1x ∈-，则e 0,e cos 00,x x x ->>>，可得()()e e cos 0x xf x x -'=+>，可知()f x 在[]1,1-内单调递增，对于不等式(sin )(cos )0f x f x +>，则(sin )(cos )(cos )f x f x f x >-=-，且[][]sin 1,1,cos 1,1x x ∈--∈-，可得sin cos x x >-，整理得πsin cos 04x x x ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，令π2π2ππ,4k x k k <+<+∈Z ，解得π3π2π2π,44k x k k -<<+∈Z ，所以不等式(sin )(cos )0f x f x +>的解集是π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .故答案为：π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .四、解答题（共77分）15.已知函数()ln 1f x x ax =++.（1）当1a =-时，求()f x 的最大值.（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）0（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数求解函数最值即可.（2）含参讨论函数单调性即可.【小问1详解】当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，由0x >，所以()111x f x x x-=-='，当01x <<时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,∞+上单调递减；故()()max 1ln1110f x f ==-+=；【小问2详解】定义域为(0,)+∞，()1f x a x'=+，当0a ≥时，()10f x a x+'=>，()f x 在(0,)+∞上递增；当a<0时，令()10f x a x +'=>，解得10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()10f x a x +'=<，解得1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭.于是()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.16.如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12π,23BAD AA AB ∠===，,,E F G 分别是111,,BB CC DD 的中点．（1）求证：1A E GC ∥；（2）求平面1A EF 与平面ABCD 所成夹角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解，（2）根据法向量的夹角即可求解.【小问1详解】取BC 中点H ，连接AH因为底面ABCD 为菱形，2π3BAD ∠=，所以AH AD ⊥以A 为原点，1,,AH AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,2,3,1,1,0,2,1A E G -，()()3,1,0,3,1,1C F ))13,1,1,3,1,1A E GC =--=-- 1A E GC∴ ∥1A E GC∴∥【小问2详解】设平面1A EF 的法向量为(),,n x y z =又()0,2,0EF = 所以100n A E n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即3020y z y --==⎪⎩取1x =，则0,3y z ==(3n = ()10,0,2AA = 为平面ABCD 的法向量，设平面1A EF 与平面ABCD 的夹角为θ，则11233cos 222AA n AA nθ⋅===⨯ π6θ∴=∴平面1A EF 与平面ABCD 的夹角为π617.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1122n n S n +=-+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12·1n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a n =⨯（2）()2124n n T n +=+⨯-【解析】【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；（2）先求数列121n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式，然后利用错位相减求和即可求解．【小问1详解】当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，由()1122n n S n +=-+，得()1222n n S n -=-+，则()()1112222n n n n n n a S S n n n +-=-=---=⨯，因为11212a ==⨯，所以2n n a n =⨯；【小问2详解】由（1）可知，()112·221n n n a n n +++=+⨯+，则()234132425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()3452232425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()234123222222n n n T n ++-=⨯+++⋯+-+⨯()()12812122212n n n -+-=+-+⨯-()22122822n n n ++=+--+⨯()2412n n +=-+⨯，所以()2124n n T n +=+⨯-．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>过点(2,1)P，且离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求PAB 的面积的最大值．【答案】（1）22182x y +=（2）2【解析】【分析】（1）利用222c e a =，可得22234a b a -=，再将点P 坐标代入方程，解方程组求得,a b 从而可得椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1,2y x m =+，代入椭圆方程中整理得222240x mx m ++-=，借助根的判别式可得||2m <，结合根与系数的关系可得AB ==直线的距离公式可求出点P 到直线的距离d ，再利用三角形面积公式1||2PAB S d AB =⋅ 和基本不等式进行求解，即可解决问题.【小问1详解】因为22222234c a b e a a -===，所以224a b =，①因为椭圆C 过点(2,1)P ，所以22411a b +=，②由①②解得228,2a b ==，所以椭圆的方程为22182x y +=．【小问2详解】设直线l 的方程为()()11221,,,,2y x m A x y B x y =+，联立2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-=，所以212122,24x x m x x m +=-=-，又直线l 与椭圆相交，所以2248160m m =-+> ，解得||2m <，则AB ==P 到直线l的距离d ==，所以221142222PAB m m S d AB +-=⋅==≤= ，当且仅当22m =，即m =时，PAB 的面积取得最大值为2．19.已知函数()2e e x x f x a x =-+，其中0a >.（1）当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点的个数；（3）若对任意的0a >，关于x 的方程()f x m =仅有一个实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）20x y -=（2）见解析（3）3ln 2,2⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线方程；（2）求导，讨论判别式与0的关系得单调性即可求解极值点个数；（3）构造新函数()2ee x x g x a x m =-+-，判单调性，得到()()120,ln 2,ln 2,x x ∞∈∈+，结合()10g x <或()20g x >即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()22e e ,2e e 1x x x x f x x f x '=-+=-+，()02f '=，()00f =，所以函数()f x 在0x =处的切线方程为()020y x -=-，即20x y -=.【小问2详解】()22e e 1x x f x a '=-+，令()0,e x f x t ='=，得2210at t -+=，则18a ∆=-.当18a ≥时，0∆≤，此时()0f x '≥，故函数()f x 在(),∞∞-+上单调递增，没有极值点；当108a <<时，0∆>，令()0f x '=，则1e 4x a =，则1211ln ln 44x x a a-+==，则当()1,x x ∞∈-时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，则()f x 在()()12,,,x x ∞∞-+单调递增，在()12,x x 单调递减，此时函数()f x 有两个极值点.综上所述，当18a ≥时，函数()f x 没有极值点；当108a <<时，函数()f x 有两个极值点.【小问3详解】依题意，2e e x x a x m -+=，记()2e e x x g x a x m =-+-，()()g x f x '='.（i ）由（2）知当18a ≥时，()0g x '≥，则函数()g x 在(),∞∞-+上单调递增；可知当x →-∞时，()g x ∞→-，当x →+∞时，()g x ∞→+，故当18a ≥时，函数()g x 恰有一个零点，方程()f x m =仅有一个实数根，此时R m ∈.（ii ）当108a <<时，()g x 在()1,x ∞-上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x ∞+单调递增，()()112222122e e 12e e 10x x x x g x a g x a ''=-+==-+=，则121222e 1e 12e 2ex x x x a --==，所以()()1112111e 1ee 22x x x g x g x a x m x m ==-+-=-+--极大值，()()2222222e 1e e 22x x x g x g x a x m x m ==-+-=-+--极小值，因为当(),x g x ∞∞→-→-，当(),x g x ∞∞→+→+，故只需()10g x <或()20g x >，令()e 122x h x x =-+-，则()e 12xh x '=-+，故当(),ln 2x ∞∈-时，()0h x '>，当()ln 2,x ∞∈+时，()0h x '<，则()h x 在(),ln 2∞-单调递增，在()ln 2,∞+单调递减；又121ln ln ln4x x a -===又108a <<，故()0,1，则()()120,ln 2,ln 2,x x ∞∈∈+，所以()()12331,ln 2,,ln 222h x h x ∞⎛⎫⎛⎫∈--+∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3ln 22m ≥-+.综上所述，实数m 的取值范围为3ln 2,2∞⎡⎫-++⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查函数极值点及零点个数问题，解决问题关键是利用第二问单调性解决第三问零点问题，并利用构造函数法求函数值域。

江油中学2021级高二下期第一阶段考试数学（理）试题一、单选题（每小题5分，共60分）1．4i1i-的虚部为（）A ．2-B ．2C ．2iD ．2i-2．命题“0x ∀>，20x >”的否定是（）A ．0x ∃>，20x ≤B ．0x ∀≤，20x >C ．0x ∃≤，20x ≤D ．0x ∀≤，20x ≤3．若z 满足（1+i ）z =−4+2i ，则z =（）A ．10BC ．20D ．4．已知函数f （x ）=13x 3﹣f '（2）x 2+x ﹣3，则f '（2）＝（）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．55．下列导数运算正确的是（）A ．()sin cos x x'=-B ．()33xx'=C ．()21log ln 2x x '=⋅D ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭6．“a<0”是“关于x 的不等式210ax ax +-<对任意实数x 恒成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数()2ln f x x =-2x 的单调递增区间为（）A ．(1∞--，)B ．(1，+∞)C ．(-1，1)D ．(0，1)8．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为8cm ，高为20cm ，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积V （单位：ml ）关于时间t （单位：s ）的函数为()()32π2π0V t t t t =+≥，不考虑注液过程中溶液的流失，则当4st =时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（）A ．2cm /sB ．4cm /sC ．6cm /sD ．8cm /s9．已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如表：x ﹣10245f （x ）312.513f （x ）的导函数f '（x ）的图象如图所示．给出下列四个结论：①f （x ）在区间[﹣1，0]上单调递增；②f （x ）有2个极大值点；③f （x ）的值域为[1，3]；④如果x ∈[t ，5]时，f （x ）的最小值是1，那么t 的最大值为4．其中，所有正确结论的序号是（）A ．③B ．①④C ．②③D ．③④10．已知命题:p 函数()()40f x x x x=+≠的最小值为4；命题:q 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“A B >”是“a b >”的充要条件.则下列命题为真命题的是（）A ．()p q⌝∧B ．()p q ∨⌝C ．p q∧D ．()()p q ⌝∧⌝11．若动点P 在直线1y x =+上，动点Q 在曲线22x y =-上，则|PQ |的最小值为（）A ．14B ．4C ．2D ．1812．已知函数()e 23ln x f x t x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有两个极值点，则t 的取值范围为（）A ．()3e ,+∞B ．{}31,e 2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．(){}31,e e,e 2⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭ D ．()1,e e,2⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭ 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数()cos2f x x =，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为__________．14．若z C ∈且22i 1z +-=，则22i z --的最大值为_______．15．已知函数()()212ln R 2f x x ax x a =--∈.若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为__________．.16．已知函数()33f x x x =-，()e 22xx g x a =-+，对于任意[]12,0,2x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a的取值范围是________.三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．复数(1)(1)()z m m m i m R =-+-∈.（Ⅰ）实数m 为何值时，复数z 为纯虚数；（Ⅱ）若m =2，计算复数1z z i-+．18．设集合{}23280A x x x =+-<，集合{}21B x m x m =-<<+．(1)已知p ：3B ∈，若p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．已知函数f(x)=e x (x −2)(1)求()f x '，()0f '，()1f '-﹔(2)求曲线()y f x =在点(0,-2)处的切线方程;(3)求函数f(x)的极值.20．已知p ：方程x 2+y 2﹣4x +a 2＝0表示圆：q ：方程1322=+ax y （a ＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p Ⅴq 为真，p Λq 为假，求实数a 的取值范围．21．已知函数()323f x x mx nx =++在=1x -时有极值0.(1)求,m n 的值.(2)求g(x)=f(x)−x 3−3lnx 的单调区间.22．已知函数21()ln 2f x x ax x =-+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且()()123ln 24f x f x -≥-，求a 的取值范围.江油中学2021级高二下期3月数学（理）试题参考答案1．B 2．A 3．B 4.B5．C 6．D 7．D 8．B 9．D10．A11．B12．【答案】D 【详解】函数()e 23ln x f x t x xx x ⎛⎫=++- ⎪的定义域为()0,∞+，13．202y x +-=14．515．1a ≤-.16．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【详解】依题意得，对于任意[]12,0,2x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立可等价为对于任意[]12,0,2x x ∈，都有()()max 12f x g x ≤成立，()33=- f x x x ，()()231f x x '∴=-，[]0,2x ∈，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当12x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；又()()00,22f f == ，()()max 22f x f ∴==，∴对于任意[]0,2x ∈，都有()2g x ≥成立，即对于任意[]0,2x ∈，都有2x e a x ≤成立，等价为mine 2x a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，令()e xh x x =，[]0,2x ∈，()()2e 1x x h x x -'∴=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；()()min 1e h x h ∴==，2e a ∴≤，e 2a ∴≤，a ∴的取值范围是e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.17．【答案】（1）0m =（2）1122i -试题解析：（1）欲使z 为纯虚数，则须()10m m -=且10m -≠，所以得0m =18．【答案】(1)()2,5(2)[]5,3-【详解】（1）由题意得3B ∈，故231m m -<<+，解得：25m <<，故实数m 的取值范围是()2,5；19．【答案】(1))1()(-='x e x f x ，ef f 2)1(,1)0(-=-'-='，(2)02=++y x （3）极小值-e 20．【答案】（1）﹣2＜m ＜2．（2）（﹣2，0]∪[2，3）．21．【答案】(1),13m n ==；(2)函数g(x)=f(x)−x 3−3lnx 的单调减区间为(0,34)，单调增区间为(34,+∞).【详解】（1）由题可得2()36f x x mx n '=++，22．【答案】(1)答案见详解(2)32,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【详解】（1）因为函数21()ln 2f x x ax x =-+，则211()x ax f x x a x x -+'=-+=，0x >，令()21g x x ax =-+，则24a ∆=-，。

2022-2023学年吉林省长春市高中高二下学期第二学程考试数学试题一、单选题1．如图所示的Venn 图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若A B A B ⊗，，则（ ）{}21,,4A x x n n n ==+∈≤N {}2,3,4,5,6,7B =A B ⊗=A ．B ．C ．D ．{}2,4,6,1{}2,4,6,9{}2,3,4,5,6,7{}1,2,4,6,9【答案】D 【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂A A B ⋃A B ⋂.A B ⊗【详解】由韦恩图可知，，()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂因为，，{}{}21,,41,3,5,7,9A x x n n n ==+∈≤=N {}2,3,4,5,6,7B =则，，因此，.{}1,2,3,4,5,6,7,9A B = {}3,5,7A B = {}1,2,4,6,9A B ⊗=故选：D.2．过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）()()ln f x x =-A ．B ．C ．D ．y x =-2e y x=-1e y x=-e y x=-【答案】C【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.【详解】因为，所以，()ln()f x x =-()1f x x '=设所求切线的切点为，则，00(,())x f x ()001f x x '=由题知，，解得，所以切线斜率为，()00000ln ()1x f x x x x -==0e x =-()1e e k f '=-=-故所求切线方程为.1e y x=-故选：C.3．已知变量y 与x 之间具有线性相关关系，根据变量x 与y 的相关数据，计算得则y 关于x 的线性回归方程为（ ）77772111128,1078,140,4508ii ii i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为ˆˆˆybx a =+1221ˆˆˆ,.ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑A ．B ．ˆ7126y x =-ˆ7126yx =+C ．D ．ˆ5121yx =+ˆ5121yx =-【答案】B【分析】根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解.ˆˆ,b a 【详解】由题中的数据可知，4,154x y ==所以.7172217450874154196714071628ˆ7i ii ii x y xyb xx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑所以.15474126ˆˆa y bx =-=-⨯=所以y 关于x 的线性回归方程为.ˆˆˆ7126ybx a x =+=+故选：B.4．据统计，某工厂所生产的一类新型微电子芯片的厚度X （单位：）服从正态分布，μm (),4N μ且. 如果芯片的厚度高于，那么就带要对该芯片进行复检. 若该工()()25311P X P X ≥+≥=32μm 厂此芯片日产量平均为10000片，那么每天需要进行复检的产品大约有（ ）（附：若X （单位：）服从正态分布，则，μm ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-<≤+=，.）()220.9545P X μσμσ-<≤+=()330.9973P X μσμσ-<≤+=A ．228件B ．455件C ．1587件D ．3173件【答案】A【分析】根据正态分布的对称性，即可求得的值和，从而求出10000片中每天需要进μ()32P X ≥行复检的产品.【详解】因为，所以，()()25311P X P X ≥+≥=()()()3112525P X P X P X ≥=-≥=<即与关于对称，则，25X =31X =X μ=2531282μ+==因为，所以，又因为，24σ=2σ=232μσ+=()()()1223222P X P X P X μσμσμσ--<<+≥=≥+=10.95452-=，所以件，10.95452-=0.02275=100000.02275227.5228⨯=≈所以每天需要进行复检的产品大约有件，228故选：A.5．已知是定义在R 上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则()f x ()f x ()'f x ()'cos f x x≥的解集为（ ）()sin f x x≥A ．B ．C ．D ．[)π,-+∞[)π,+∞π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)0,∞+【答案】D【分析】根据函数的单调性求解.【详解】令函数，则，()()sin g x f x x=-()()''cos g x f x x=-因为 所以. 是增函数，()'cos f x x ≥，()()0g x g x '≥，因为是奇函数，所以，，()f x ()00f =()()00sin 00g f =-=所以的解集为，即≥的解集为；()0g x ≥[)0,∞+()f x sin x [)0,∞+故选：D.6．，当时，都有，则实数的最大值为（ ）[]12,1,e x x ∀∈12x x <()1122lnx a x x x <-aA ．B ．CD ．121e 1e【答案】B 【分析】依题意对，当时恒成立，，1122ln ln x ax x ax -<-[]12,1,e x x ∀∈12x x <()ln h x x ax=-，则问题转化为在上单调递增，求出函数的导函数，则在上恒成立，[]1,e x ∈()h x []1,e ()0h x '≥[]1,e 参变分离可得的取值范围，即可得解.a 【详解】因为，当时，都有，[]12,1,e x x ∀∈12x x <()1122lnx a x x x <-即，即，1212ln ln x x ax ax -<-1122ln ln x ax x ax -<-令，，则恒成立，()ln h x x ax =-[]1,e x ∈()()12h x h x <即在上单调递增，()ln h x x ax=-[]1,e 又，所以在上恒成立，()1h x ax '=-()10a x h x =-≥'[]1,e 所以在上恒成立，因为在上单调递减，1a x ≤[]1,e ()1g x x =[]1,e 所以，所以，即实数的最大值为.()()min 1e e g x g ==1e a ≤a 1e 故选：B7．某市环保局举办“六·五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是．现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用表示获奖的人数，那13ξ么（ ）()()E D ξξ+=A ．B ．C ．D ．224225104225815112225【答案】A【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解.【详解】设印有“环保会徽”图案的卡片有张，则“绿色环保标志”图案的卡片有张，n 10n -由题意可知，所以从盒中抽取卡片两张获奖的概率为，2210C 16C 3n n ⇒==22104221010C C 2C C 15n -==由于服从二项分布，即，所以，ξ24,15B ξ⎛⎫~⎪⎝⎭()()221322444151515225E D ξξ+=⨯+⨯⨯=故选:A 8．已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒()22ln f x ax x x=-+12,x x ()()1212f x f x x x t+<++成立，则实数t 的范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[)1,-+∞[)5,-+∞[)22ln 2,-+∞[)1ln 2,-+∞【答案】B 【分析】恒成立，等价于恒成立.由()()1212f x f x x x t+<++()()()1212t f x f x x x >+-+有两个不同的极值点结合韦达定理可得，其中()f x ()()()1212f x f x x x +-+21ln 2a a =---，后构造函数，利用导数求出其最值即可得答案.102a <<()211ln 202h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭【详解】因为不等式恒成立，所以恒成立．()()1212f x f x x x t+<++()()()1212f x f x x x t+-+<.()()22210-+'=>ax x f x x x 因为函数有两个不同的极值点，()22ln f x ax x x=-+12,x x 所以方程有两个不相等的正实数根，于是有，解得．22210ax x -+=1212Δ48010102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩102a <<则()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦.21ln 2a a =---设，，故在上单调递增，()211ln 202h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭()220-'=>a h a a ()h a 102a <<故，所以．又注意到满足题意，因此实数t 的范围是． ()152⎛⎫<=- ⎪⎝⎭h a h 5t >-5t =-[)5,-+∞故选：B【点睛】关键点睛：本题涉及恒成立问题与由函数极值点求参数范围，难度较大.本题所涉字母较多，关键为找到间的关系，得到关于a 的表达式.12,,ax x ()()()1212f x f x x x +-+二、多选题9．下列各结论正确的是（）A ．“”是“”的充要条件0xy >0xy >B ．2C ．命题“”的否定是“”21,0x x x ∀>->21,0x x x ∃≤-≤D ．“一元二次函数的图象过点”是“”的充要条件2y ax bx c =++()1,00a b c ++=【答案】AD【详解】根据符号规律可判断A ；根据基本不等式成立条件以及利用单调性求最值可判断B ；根据全称命题否定形式可判断C ；结合二次函数图象与性质可判断D.【分析】解：⇔，故A 正确;0xy >0x y >，令，则，y 3t =≥1y t t =+且在区间上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，最小值为，故B 错误；)[3,∞+110333+=命题“”的否定是“”，故C 错误；21,0x x x ∀>->21,0x x x ∃>-≤一元二次函数的图象过点显然有，反之亦可，故D 正确.2y ax bx c =++()1,00a b c ++=故选：AD10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，3%15%25%．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列60%A =i B =i (1i =23)结论正确的有（ ）A ．B ．()0.03P A =31()1ii P B ==∑C ．D ．12()()P B A P B A =123()()(|)P B A P B A P B A +=【答案】BC【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．【详解】对于A ：因为，故A 错误；()0.050.150.030.250.030.600.033P A =⨯+⨯+⨯=对于B ：因为，故B 正确；13Σ()0.150.250.601i i P B ==++=对于C ：因为，111()(|)0.050.155(|)()0.03322P B P A B P B A P A ⋅⨯===，222()(|)0.030.255()()0.03322|P B P A B P B A P A ⋅⨯===所以，故C 正确；12()()P B A P B A =对于D ：由上可得，125()()11P B A P B A +=又因为，故D 错误，333()(|)0.030.606(|)()0.03311P B P A B P B A P A ⋅⨯===故选：BC ．11．乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法()01p p ≤≤()f p 中正确的是（ ）A ．三局就结束比赛的概率为B ．的常数项为3()331p p +-()f p C ．函数在上单调递减D ．()f p 10,2⎛⎫⎪⎝⎭13328f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A 选项；进而求出期望值X X ，即可判断BCD 选项.()f p 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为，X X 3,4,5所以，()()3331P X p p ==+-，()()()3131334C 1C 1P X p p p p ==-+-，()()22245C 1P X p p ==-因此三局就结束比赛的概率为，则A 正确；()331p p +-故()()()()()332313122334314C 1C 15C 1f p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦，432612333p p p p =-+++由知常数项为3，故B 正确；()03f =由，故D 正确；111133361232168428f ⎛⎫=⨯-⨯+⨯+=⎪⎝⎭由，()()()322243663321441f p p p p p p p =-++=---'，所以，01p ≤≤ 22441(21)20p p p --=--<令，则；令，则，∴()0f p '>102p ≤<()0f p '<112p <≤则函数在上单调递增，则C 不正确.()f p 10,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：ABD.12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）e ()xx f x =-()ln g x x x =-A ．在上是增函数(ln )f x (1,)+∞B ．，不等式恒成立，则正实数a 的最小值为1x ∀>()2()f ax f lnx ≥2eC ．若有两个零点，，则()g x t=1x 2x 122x x +<D ．若，且，则的最大值为()()12(2)f x g x t t ==>210x x >>21ln t x x -1e【答案】ABD 【分析】A 选项，由题，，判断在上的单调性即可；()()ln ln f x x x g x =-=()1,x ∈+∞()g x ()1,+∞B 选项，由单调性，；()f x ()()22max 2ln ln ln x f ax f x ax x a x ⎛⎫≥⇔≥⇒≥ ⎪⎝⎭C 选项，由有两个零点，，构造函数应用极值点偏移可解；()g x t=1x 1x D 选项，因，及在上单调递增，结合B 选项分析可判断选项.()()1232，f g <<()()f xg x ，()1,+∞【详解】对于A 选项，，.()()ln ln f x x x g x =-=()1,x ∈+∞又当时，，则在上是增函数，故A 正确；()1,x ∈+∞()1110x g x x x -'=-=>()ln f x ()1,+∞对于B 选项，时，，又为正实数，所以，又时，，1x >2ln 0x >a 0ax >0x >()e 10x f x '=->所以在单调递增，故，即.()f x ()1,+∞()()22ln ln f ax f x ax x ≥⇔≥max 2ln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，知，所以在上递增，在上递减，所以()2ln xx x ϕ=()222ln x x x ϕ-'=()x ϕ()1,e ()e,+∞，()()max 2e e x ϕϕ==得正实数的最小值为，故B 正确；a 2e 对于C 选项，有两个根，，等价于函数有两个零点，.()g x t=1x 2x ()g x t -1x 2x 注意到，则在上单调递减，在上单调递增，()111x g x t x x -'⎡⎤-=-=⎣⎦()g x t -()0,1()1,+∞因函数有零点，则.()()1101g x t g t t t ⎡⎤-=-=-<⇒>⎣⎦m i n 设，1201x x <<<令，，()()()2h x g x g x =--()0,1x ∈因为，()()()2h x g x g x '''=+-所以，()()()()()22111222x x x h x g x g x x x x x ----'''=+-=+=--当时，，单调递减；01x <<()0h x '<()h x 所以在上单调递减，所以，即当时，，()h x ()0,1()()10h x h >=01x <<()()2g x g x >-由题意，，，且在上单调递增，()()()2112g x g x g x =>-21x >121x ->()g x ()1,+∞所以，即．故C 错误；212x x >-122x x +>对于D 选项，由AB 选项分析可知，在上单调递增，()()f xg x ，()1,+∞又，，()()()122f x g x t t ==>()()11233ln 32e ，fg =-<=-<则.由，即，即有，2131x x >>>()()12f x g x =12ln 1222e ln e ln x x x x x x -=-=-()()12ln f x f x =又，在上单调递增，所以，即，所以121ln 1x x >>，()f x ()1,+∞12ln x x =12e x x =，1211ln ln ln e x t t tx x x t ==--其中.由B 选项分析可知，，其中时取等号，则，2t >2ln 2e x x ≤e x =1211ln ln ln 1e e x t t t x x x t ==≤--其中时取等号，所以，故D 正确.e x =21max ln 1et x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于复杂函数，常利用导数求单调区间.对于恒成立问题，常利用分离参数法将问题转化为求最值.对于双变量问题，常结合题目条件寻找变量间关系，将双变量转化为单变量.三、填空题13．花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________．【答案】/350.6【分析】使用条件概率进行计算即可.【详解】设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”，A =B =则积事件“两束花都是郁金香”，AB B ==事件中样本点的个数为，A ()222322C C C 5n A =++=积事件中样本点的个数为，AB ()23C 3n AB ==∴已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为.()()()35n AB P B A n A ==故答案为：.3514．若两个正实数x ，y恒成立，则实数m的取值1+=26m m >-范围是____________．【答案】28m -<<的最小值，进而求解即可.2616m m-<【详解】由于，所以,0,0x y >>88=≥+取等号，故，解得，64,4x y ⇒==2616m m -<28m -<<故答案为：28m -<<15．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_____.3()3f x x x =-2(,8)a a -a 【答案】[)2,1-【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解.3()3f x x x =-【详解】，令得，2()33f x x '=-()0f x '=1x =±时，时，，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞()0f x '>(1,1)x ∈-()0f x '<所以在和上单调递增，在上单调递减，()f x (,1)-∞-(1,)+∞(1,1)-若函数在上有最小值，则其最小值必为，3()3f x x x =-2(,8)a a -(1)f 则必有且，解得，21(,8)a a ∈-3()3(1)2f a a a f =-≥=-21a -≤<故答案为：.[)2,1-16．已知是函数在其定义域上的导函数，且，，若函数()f x '()f x ()()1e xf x f x +'-=()21e f =在区间内存在零点，则实数m 的取值范围是______．()()()()2ln 20e x mf x g x mx x m =-+->()0,∞+【答案】[)1,+∞【分析】先根据及得到，利用同构得到()()1e xf x f x +'-=()21e f =()1e xf x x +=有解，构造，得到，故()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦()e 1=--t g t t ()0min e 10g t =-=，参变分离得到在有解，令，求导得到其单调性，()1ln 0x mx -+=1e x m x -=()0,x ∈+∞()1e x h x x -=极值和最值情况，得到答案.【详解】，所以，()()1ex f x f x +'-=()()e e xf x f x '-=故，所以，为常数，()e e x f x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()e e x f x x c =+c 因为，又，故，()21e f =()e 1ef c =+0c =所以，()1e xf x x +=若在区间内存在零点，()()()()2ln 20e x mf x g x mx x m =-+->()0,∞+则在区间内存在零点，()12e ln 20e x x m mx x x +-+-=()0,∞+整理得，()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦设，则，()e 1=--t g t t ()e 1t g t '=-令得，当时，，单调递增，()0g t '=0=t 0t >()0g t '>()e 1=--t g t t 当时，，单调递减，0t <()0g t '<()e 1=--t g t t 所以在处取得极小值，也是最小值，，()e 1=--t g t t 0=t ()0min e 10g t =-=故时，成立，()1ln 0x mx -+=()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦即存在，使得有解，即有解，()0,x ∈+∞()1ln 0x mx -+=1e x m x -=令，则，()1e x h x x -=()()12e 1x x h x x --'=当时，，当时，，1x >()0h x '>01x <<()0h x '<故在上单调递减，在上单调递增，()1e x h x x -=()0,1()1,+∞故在处取得极小值，也是最小值，()1e x h x x -=1x =又，故，()11h =()1h x ≥所以，故实数m 的取值范围.m 1≥[)1,+∞故答案为：[)1,+∞【点睛】方法点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数()f x ()f x '的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若，则构造，()()0f x f x +'>()()e x g xf x =⋅若，则构造，()()0f x f x '->()()x f x g x =e 若，则构造，()()0f x xf x '+>()()g x xf x =若，则构造.()()0f x xf x '->()()f xg x x =四、解答题17．设等比数列的前项和为，公比，.{}n a n n S 1q >2316,84a S ==(1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和为.{}n n a +n n T 【答案】(1)；4nn a =(2).214423n n n n T ++-=+【分析】（1）利用基本量法，即可求解.（2）利用分组求和即可求解.【详解】（1）解：，解得，121111684a q a a q a q =⎧⎨++=⎩11644()144a a q q =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或舍；4n n a ∴=（2）1231424344nn T n =++++++++ 1231234444nn =+++++++++(1)4(14)214n n n +-=+-.214423n n n n T ++-∴=+18．民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．“编织巧手”非“编织巧手”总计年龄40岁≥19年龄＜40岁10总计40(1)请完成答题卡上的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“编织巧手”与“年22⨯0.010α=龄”是否有关；(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．参考公式：，其中．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.841 6.6357.879【答案】(1)填表见解析；认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010(2)815【分析】（1）根据题意补全列联表，计算，并与临界值对比分析；2χ（2）先根据分层抽样求各层的人数，结合古典概型分析运算.【详解】（1）年龄在40周岁以上（含40周岁）的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．列联表如下：“编织巧手”非“编织巧手”总计年龄40岁≥19524年龄<40岁61016总计251540零假设为：“编织巧手”与“年龄”无关联．0H 根据列联表中的数据，经计算得到，()220.010401910657.111 6.63524162515x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此0.010α=0H 推断犯错的概率不大于0.010．（2）由题意可得这6人中年龄在40周岁以上（含40周岁）的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4．从这6人中随机抽取2人的情况有种，2615C =其中符合条件的情况有种，1142C C 8=故所求概率．815P =19．已知函数()322f x x ax b=-+(1)当时，求的极值；3a =()f x (2)讨论的单调性；()f x(3)若，求在区间的最小值.0a >()f x []0,1【答案】(1)，()f x b=极大值()1f x b=-+极小值(2)当时的单调增区间为，，单调减区间为；0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时在R 上单调递增；0a =()f x 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)()3min 2,3,0327a b a f x a b a -+≥⎧⎪=⎨-+<<⎪⎩【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值；（2）求导函数，分，，讨论可得结果；()2(3)f x x x a '=-0a >0a =a<0（3）结合（2）的结论，分、两种情况讨论，分别求出函数的最小值.3a ≥0<<3a 【详解】（1）当时定义域为R ，3a =()3223f x x x b=-+且，()()26661f x x x x x '=-=-所以当或时，当时，0x <1x >()0f x ¢>01x <<()0f x '<所以在处取得极大值，在处取得极小值，()f x 0x =1x =即，；()()0f x f b ==极大值()()11f x f b==-+极小值（2）函数定义域为R ，则，()322f x x ax b=-+()()26223f x x ax x x a '=-=-令，解得或，()0f x '=0x =3ax =①当时，则当或时，，0a >0x <3ax >()0f x ¢>当时，，03ax <<()0f x '<所以的单调增区间为，，单调减区间为；()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当时，恒成立，所以在R 上单调递增；0a =()0f x '≥()f x③当时，当或时，，当时，，a<03a x <0x >()0f x ¢>03ax <<()0f x '<所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为；0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时在R 上单调递增；0a =()f x 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为，0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，即时在上单调递减，13a≥3a ≥()f x []0,1所以在上的最小值为，()f x []0,1()()min 12f x f a b ==-+若，即时，在单调递减，在单调递增，013a <<0<<3a ()f x 0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在的最小值为，()f x []0,1()3min327a a f x b⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭所以.()3min2,3,0327a b a f x a b a -+≥⎧⎪=⎨-+<<⎪⎩20．某学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”、“双人对战”和“挑战答题”.参赛者先参与“四人赛”活动，每局第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名得0分，每局比赛相互独立，三局后累计得分不低于6分的参赛者参加“双人对战”活动，否则被淘汰.“双人对战”只赛一局，获胜者可以选择参加“挑战答题”活动，也可以选择终止比赛，失败者则被淘汰.已知甲在参加“四人赛”活动中，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第三名、第四名的概率均为；1316甲在参加“双人对战”活动中，比赛获胜的概率为.23(1)求甲获得参加“挑战答题”活动资格的概率.(2)“挑战答题”活动规则如下：参赛者从10道题中随机选取5道回答，每道题答对得1分，答错得0分.若甲参与“挑战答题”，且“挑战答题”的10道题中只有3道题甲不能正确回答，记甲在“挑战答题”中累计得分为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.【答案】(1)2881(2)分布列见解析；72【分析】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，由题意确定的可能取值，求出每个值对应的概ξξ率，即可得答案.（2）确定随机变量X 的所有可能取值，求得每个值对应概率，可得分布列，即可求得数学期望.【详解】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，则甲在“四人赛”中累计得分不低于6分包含了ξ或或或.9ξ=8ξ=7ξ=6ξ=；311(9)327P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭；223111(8)C 339P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭；3211331111(7)C C 3636P ξ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32313311111111(6)A C 33636354P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯++⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以甲在“四人赛”中累计得分不低于6分的概率，1111111427965427P =+++=故甲能进入“挑战答题”活动的概率.1214228327381P P =⨯=⨯=（2）随机变量X 的所有可能取值为，2345,,,；；3237510C C 1(2)C 12P X ===2337510C C 5(3)C 12P X ===；.1437510C C 5(4)C 12P X ===57510C 1(5)C 12P X ===所以X 的分布列如下表所示：X2345P112512512112所以.15517()2345121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21．已知椭圆与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为上任意一点2222:1(0)x y E a b a b +=>>E 到其中一个焦点的距离的最小值为1.(1)求椭圆的方程；E (2)设直线交于两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四(:0l y kx m k =+≤≤E ,M N O OM ON 边形在椭圆上，求的取值范围.,OMPN P E OP【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程，结合可解；222a b c =+（2）设，利用韦达定理结合四边形为平行四边形可的点P 坐()()()112200,,,,,M x y N x y P x y OMPN 标，然后结合点P 在椭圆上可解.【详解】（1）由题可知12221a b a c ⎧⨯⨯⨯=⎪⎨⎪-=⎩，1ab a c ⎧=⎪⇒⎨-=⎪⎩所以，即，()22212a a c -=()212a a c +=所以，2(2a a 1)12-=所以，因为，()()222360a a a -++=0a >所以2，所以=a 1,c b ==所以椭圆的方程为：.E 22143x y +=（2）联立，消去，化简整理得：，22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2223484120k x kmx m +++-=需满足，()())222222Δ6443441248(340k m k mk m =-+-=+->设，由韦达定理可()()()112200,,,,,M x y N x y P x y 知：.122834km x x k +=-+则以为邻边作平行四边形，,OM ON OMPN 则，()()1122,,OP OM ON x y x y =+=+()0120121228,34km x x x y y y k x x k ∴=+=-=+=++26234mm k +=+由于点在椭圆上，所以，P C 2200143x y +=即()()2222222161213434k m m k k +=++化简得：，经检验满足22434m k =+(2Δ4834k =+-)20m >又OP =====由于，2034315k k ≤≤∴≤+≤所以，213543k ≤+1≤所以231934435k ≤-≤+OP ≤≤所以的取值范围为.OP 22．已知函数.()()ln 1f x x x x λ=--(1)当时，，求的取值范围；1x ≥()0f x ≥λ(2)函数有两个不同的极值点（其中），证明：()()()21g x f x x xλλ=-+-12,x x 12x x <；12ln 3ln 4x x +>(3)求证：.()*1111ln21232n n n n n +++⋯+<∈+++N 【答案】(1)(],1-∞(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由，利用导数研究函数单调性，转化为当，恒成立问题；()10f =1x ≥()0f x '≥（2）函数极值点，是的两个零点，要证，等价于证，()g x 12,x x ()g x '12ln 3ln 4x x +>12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+通过换元，构造函数，利用导数研究单调性可证.（3）由（1）可知，则有，类似于数列求和的裂项相消法可1ln x x x ->11x n =+()1ln 1ln 1n n n <+-+证.【详解】（1）函数，，且，()()ln 1f x x x x λ=--()ln 1f x x λ'=+-()10f =①当时，因为，故恒成立，此时单调递增，所以成立；1λ≤1x ≥()0f x '≥()f x ()0f x ≥②当时，令，得，1λ>()ln 10f x x λ+'=-=1ex λ-=当时，此时单调递减，故，不满足题意；)11,ex λ-⎡∈⎣()0f x '≤()f x ()()10f x f ≤=综上可知：.1λ≤即的取值范围为.λ(],1-∞（2）由，故，()()()221ln g x f x x x x x x xλλλλ=-+-=-+-()ln 121ln 2g x x x x xλλ-='=+--因为函数有两个不同的极值点（其中），故.12,x x 12x x <1122ln 2,ln 2x x x x λλ==要证：，只要证：.12ln 3ln 4x x +>()1212124ln 3ln 2623x x x x x x λλλ<+=+=+因为，于是只要证明即可.120x x <<12423x x λ>+因为，故，1122ln 2,ln 2x x x x λλ==1212ln ln 2x x x x λ-=-因此只要证，等价于证，121212ln ln 43x x x x x x ->-+()1212124ln 3x x x x x x -<+即证，令，等价于证明，12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+12(01)x t t x =<<()41ln 3t t t -<+令，()()()()()22224119116109ln (01),3(3)(3)(3)t t t t t t t t t t t t t t t t ϕϕ----+'=-<<=-==++++因为，所以，01t <<()0t ϕ'>故在上单调递增，所以，得证.()t ϕ()0,1()()10t ϕϕ<=（3）由（1）可知当时，，故，1x >()()ln 10f x x x x =-->1ln x x x ->令，所以，所以，11x n =+111ln 111n n n n n ⎛⎫+>= ⎪++⎝⎭()1ln 1ln 1n n n <+-+，ln2ln ln2n n =-=所以.1111ln21232n n n n +++⋯+<+++【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算012456C C C ++=（ ）A. 20B. 21C. 35D. 36【答案】B 【解析】【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得01245665C C C 152112×++=++=×. 故选：B2. 已知样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，则131x +，231x +，…，31n x +的平均数为（ ） A. 6 B. 7C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的性质即可得12,,,n x x x …的平均数为2，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，设12,,,n x x x …的平均数为x ， 即215+=x ，解得2x =，根据平均数性质知131x +，231x +，…，31n x +的平均数为317x +=. 故选：B3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4246242A. 13.5B. 10.5C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为00248019.2×=，24个班级的得分按照从小到大排序， 可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D4. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b ∥，b α⊂，则//a α B. 若//a α，b α⊂，则//a b C. //αγ，//βγ，则//αβ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，则A 错； 若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，则B 错；//αγ，//βγ，由平行的传递性可知，//αβ，则C 对；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交.，D 错， 故选：C.5. 已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定,,,M A B C 四点共面的是（ ）的.A. OM OA OB OC =++B. 3OM OA OB BC =−−C. 1123OM OA OB OC =++D. 32OM OA OB BC =−−【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若,,,M A B C 四点共面，则需满足存在实数,,x y z 使得OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 显然选项A ，C 不成立；对于选项B ，由3OM OA OB BC =−−可得()33OM OA OB OC OB OA OC =−−−=− ，不合题意，即B 错误；对于D ，化简32OM OA OB BC =−−可得()323OM OA OB OC OB OA OB OC =−−−=−− ，满足()()3111+−+−=，可得D 正确； 故选：D6. 已知随机事件A ，B ，3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则(|)P A B =（ ） A.15B.16 C.320D.110【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得()P AB ，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =， 则()()131(|)31010P B A P A P AB ×=×==， 则()()1110(|)152P AB P A BP B ===. 故选：A7. 已知9290129(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则682424682222a a a a +++的值为（ ）A. 255B. 256C. 511D. 512【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令0x =求出0=1a ，分别令12x =、12x =−，再两式相加可得8202825622a a a +++=，再减去0a 即可. 【详解】令0x =，得0=1a ， 令12x =，得93891202389251222222a a a a a a ++++++== ， 令12x =−，得38912023********a a a a a a −+−++−= ， 两式相加得82028251222a a a+++=， 得8202825622a a a +++= ， 则682424682552222a a a a +++=. 故选：A.8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%．已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次 ） A.331000B.1033C.1433D.311【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A 表示甲车间生产的产品， 记事件B 表示乙车间生产的产品， 记事件C 表示丙车间生产的产品， 记事件D 表示抽取到次品，则()()()0.2,0.35,0.45P A P B P C ===, ()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===，取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.20.050.350.040.450.020.033=×+×+×=，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()0.350.040.014140.0330.03333P B P D B P BD P B D P D P D ×=====.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列选项中叙述正确有（ ）A. 在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B. 在公式1xy=中，变量y 与x 之间不具有相关关系C. 相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度D. 某小区所有家庭年收入x （万元）与年支出y （万元）具有相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.8ybx =+．若20x =，16y =，则ˆ0.76b =． 【答案】ACD 【解析】【分析】AB 的正误，根据相关系数的性质可判断C 的正误，根据回归方程的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高， 故两者之间具有正相关关系，故A 正确.对于B ，变量y 与x 之间函数关系，不是相关关系，故B 错误. 对于C ，因为210.80.6r r =>=，故相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度，故C 正确.对于D ，因为回归直线过(),x y ，故ˆ16200.8b=×+，故ˆ0.76b =，故D 正确. 故选：ACD.10. 已知点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段AB 的长为36的是B. 点(1,2,1)P −在平面α内C. 线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)−D. 直线CD 与平面α【答案】BCD 【解析】【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB 的长，判断A ；由AB ⊥平面α，垂足为点D ，PD AB ⊥，即可判断B ；由中点坐标公式可得点D 的坐标，判断C ；设直线CD 与平面α所成的角为β，sin cos ,AB CD AB CD AB CDβ⋅==，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ， 所以6AB =,故A 错误；设D 点的坐标为(),,x y z ，因为D 为线段AB 的中点，所以2235310,4,1222x y z −++−+======−， 则D 的坐标为(0,4,1)−，故C 正确；因为点(1,2,1)P −，则()1,2,0PD =− ，又()4,2,4AB =，则()()1,2,04,2,40PD AB ⋅=−⋅=，所以PD AB ⊥，即PD AB ⊥， 又AB ⊥平面α，垂足为点D ，即D ∈平面α，所以PD ⊂平面α，故B 正确；由(1,4,0)C ，(0,4,1)D −，得()1,0,1CD =−−，设直线CD 与平面α所成的角为β，则sin cos ,ABβ= ，故D 正确.故选：BCD.11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X 、()E Y ，方差为()D X 、()D Y ，则下列结论正确的是（ ）A. ()()5E X E Y +=B. ()()E X E Y <C. ()()D X D Y <D. ()()D X D Y =【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，利用期望值和方差性质可得A ，D 正确，C 错误；易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得() 2.4E X =，()()5 2.6E Y E X =−=，可得B 正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y ， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，对于A ，由期望值性质可得()()()55E X E Y E Y =−=−，即()()5E X E Y +=，所以A 正确； 对于B ，易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255C C 105C C 100P X P Y ====×=， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()1111223232222555C C C C C 12314C C C 10025P X P Y ====+×==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C C C C C C C C 422123C C C C C C 10050P X P Y ====×+×+×==； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555C C C C C C 36932C C C C 10025P X P Y ====×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255C C 941C C 100P X P Y ====×=，随机变量X 的分布列为所以期望值()132******** 2.4100255025100E X =×+×+×+×+×=， 可得()()5 2.6E Y E X =−=，即()()E X E Y <，可得B 正确； 对于C ，D ，由方差性质可得()()()()()251D Y D X D X D X =−=−=，即可得()()D X D Y =，所以C 错误，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5X Y +=，利用期望值和方差性质可判断出AD 选项，再求出随机变量X 的分布列可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(80)0.3P X <=，则(95110)P X ≤<=______． 【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()295,N σ，(80)0.3P X <=， 所以(95110)(8095)0.5(80)0.2P X P X P X ≤<=<<=−<=, 故答案为：0.213. 如图，用四种不同颜色给图中的,,,,A B C D E 五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种．【答案】72 【解析】【分析】由图形可知点E 比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E 开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照,,,,A B C D E 的顺序分5步进行涂色，第一步，点E 的涂色有14C 种，第二步，点A 的颜色与E 不同，其涂色有13C 种， 第三步，点B 的颜色与,A E 都不同，其涂色有12C 种，第四步，对点C 涂色，当,A C 同色时，点C 有1种选择；当,A C 不同色时，点C 有1种选择； 第五步，对点D 涂色，当,A C 同色时，点D 有2种选择；当,A C 不同色时，点D 有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C 121172×+×=种. 故答案为：7214. 如图，已知三棱锥−P ABC 的底面是边长为2的等边三角形，60APB ∠=°，D 为AB 中点，PA CD ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球表面积为______．【答案】20π3##20π3【解析】【分析】设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接OE ， ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，可证四边形OGDE 为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，故CD AB ⊥， 而PA CD ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB . 设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接,OE BE ， 设ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ， 则OE ⊥平面PAB ，OG CD ⊥故//OE CD ，故,,,O G D E 共面，而DE ⊂平面PAB ， 故CD DE ⊥，故四边形OGDE 为矩形.又12sinABBEAPB=×∠13OE DG CD===，故外接球半径为OB=，故外接球的表面积为1520π4π93×=，故答案为：20π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.在()*23,Nnx n n≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问1详解】易知第2，3，4项的二项式系数依次为123C,C,Cn n n，可得132C+C2Cn n n=，即()()()121262n n n n nn−−−+=×，整理得()()270n n−−=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为72x，假设第1k+项为常数项，其中Nk∈，即可得()1777277C 22C kk k kkk k x x −−−−=为常数项，所以1702k k −−=， 解得14N 3k =∉，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； 【小问2详解】由（1）可知，二项展开式的通项()1777277C22C kk k kk k k x x−−−−=可得， 其中的有理项需满足17Z 2k k −−∈，即37Z 2k −∈，且7k ≤；当30,77Z 2k k =−=∈，此时有理项为707772C 128x x =； 当32,74Z 2k k =−=∈，此时有理项为524472C 672x x =； 当34,71Z 2k k =−=∈，此时有理项为3472C 280x x =； 当36,72Z 2k k =−=−∈，此时有理项为16272142C x x−=； 综上可知，展开式中所有的有理项为7128x ，4672x ，280x ，214x . 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A ，B 两个班级招募新社员． （1）求到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；（2）设到A ，B 两班招募新社员的男生人数分别为a ，b ，记X a b =−，求X 的分布列和方差． 【答案】（1）35（2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C 3C 5P ==； （2）由题意，X 的可能取值为2,0,2−，算出对应概率()2P X =−，()0P X =，()2P X =，即可列出X 的分布列，再求出()E X ，进而由公式求出方差．【小问1详解】到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为122436C C 3C 5P ==. 【小问2详解】由题意，X 的可能取值为2,0,2−，则()032436C C 12C 5P X =−==，()122436C C 30C 5P X ===，()212436C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为则()1312020555E X =−×+×+×=， 所以()()()()22213182000205555D X =−−×+−×+−×=. 17. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）当1AA AB的值为多少时，1AB ⊥平面1ACD ?请给出证明． 【答案】（1）证明见答案. （2 【解析】【分析】（1）连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，能证出1//BC DO ，则能证出1BC ∥平面1ACD.（2）先把1AB ⊥平面1ACD 当做条件，得出11AB A D ⊥，得出1AA AB的值，过程要正面分析. 【小问1详解】连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ， 因为O 是1AC 的中点，D 为AB 的中点， 所以DO 是1ABC 的中位线，即1//BC DO ,1BC ⊄平面1ACD ，DO ⊂平面1ACD ， 所以1BC ∥平面1ACD . 【小问2详解】1AA AB =时，1AB ⊥平面1ACD ，证明如下：因为1AA AB =，11tan A AB ∴∠，111tan AA DA B AD ∠= 1111A AB DA B ∴∠=∠，1112DA B AA D π∠+∠= ，1112A AB AA D π∴∠+∠=，即11AB A D ⊥.因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱，ABC ∴ 为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1,CD AB CD AA ∴⊥⊥，1AB AA A ∩=，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CD 平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB CD ⊥，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1ACD ， 1AB ∴⊥平面1ACD .1AA AB∴18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计7525100（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++（其中n a b c d =+++）．参考数据：()20P x χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列见解析；94. 【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2χ值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4X B∼，根据二项分布公式即可求解． 【小问1详解】 由列联表可知：2217100(5052520)100.587255 2.072730630χ××−×<××==≈， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4X B∼， 则0,1,2,3X =，可得：()303110C 464P X ===，()2133191C 4464P X  ===   ， ()22331272C 4464P X ===，()3333273C 464P X === ， 故X 的分布列如图：可得()39344EX =×=. 19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥； （2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积； （3）若A 到平面BCFE cos θ的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）78（3）3cos 5θ=−的【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BMN ，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE 的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos θ的值. 【小问1详解】取AC 的中点为M ，连接,NM BM ；如下图所示：易知平面//ABC 平面DEF ，且平面ABC ∩平面DACF AC =，平面DEF ∩平面DACF DF =； 所以//AC DF ，又因为1AD FC ==， 可得四边形DACF 为等腰梯形，且,M N 分别为,AC DF 的中点，所以MN AC ⊥， 因为2AB BC AC ===，所以BM AC ⊥， 易知BM MN M = ，且,BM MN ⊂平面BMN ， 所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥； 【小问2详解】由二面角定义可得，二面角D AC B −−的平面角即为BMN ∠， 当π2θ=时，即π2BMN ∠=，因此可得MN ⊥平面ABC ，可知MN 即为三棱台的高，由1,2ADDF FC AC ====可得MN =；易知三棱台的上、下底面面积分别为DEFABC S S =因此三棱台ABC DEF −的体积为1738V =【小问3详解】由（1）知，BM AC ⊥，MN AC ⊥，二面角D AC B −−的平面角即为()0,πBMN θ∠=∈； 以M 为坐标原点，分别以,MA MB 所在直线为,x y 轴，过点M 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()1,0,0,1,0,0,,,0,0,0A C B N M θθ −，易知11,0,022NF MC==−，可得12F θθ − ；则()1,cos 2CBCF θθ =设平面BCFE 的一个法向量为(),,n x y z =，所以01cos sin 02n CB x n CF x y z θθ ⋅==⋅=++=， 令1y =，则1cos sin x z θθ−=，可得1cos sin n θθ−=； 显然()2,0,0AC =− ，由A 到平面BCFE，可得AC n n ⋅==，可得21cos 4sin θθ− =；整理得25cos 2cos 30θθ−−=，解得3cos 5θ=−或cos 1θ=； 又()0,πθ∈，可得3cos 5θ=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；。

运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４ ７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。

答案一律写在答题卡上。

注意事项：１ 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

２ 答题时使用０ ５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

３ 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

４ 保持卡面清洁，不折叠，不破损。

一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（ ）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，Ａ Ｕ，Ｂ Ｕ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ ＡＤ．６ 瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８ ９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的 ２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附： ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”： ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘ ｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａ ｂ）－ｃ与（ａ－ｃ） （ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２） （ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ ｘ） （－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学　张阳朋运城中学　吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四 、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分 故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=， 当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增， 此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分 当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值， 此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分 故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分 所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分 令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型 合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分 根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分 由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分 依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分 （3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=， 即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分 所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分 所以()11052E ξ=⨯=． ………8分 （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分 由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分 （3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。

梅州市高中期末考试试卷（2024.7）高二数学注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,1}2.已知命题，，则为A.， B.，C.， D.，3.若，，则“”是“”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充分必要4.小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试.已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为A.B.C.D.5.展开式中的常数项为A.6B.18C.-6D.-186.A. B.4 C.D.27.若制作一个容积为32（cm 3）的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为________（cm ）{2,1,0,1,2}A =--2}1{|B x x =>()= R A B ð:p x R ∀∈3sin cos 2x x +<⌝p x R ∀∈3sin cos 2x x +>x R ∀∈3sin cos 2x x +≥0x R ∃∈003sin cos 2x x +<0x R ∃∈003sin cos 2x x +≥x y R ∈>x y 22>x y 1323102717272327893212⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 1sin10=︒1412A.2B.C.D.48.已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等.甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自于甲袋的概率为A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如右图所示，则下列说法中正确的是A. B.C. D.10.某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如下图所示，则附：.a 0.0500.0100.0013.8416.63510.828A.可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多B.用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65C.根据小概率值a =0.01的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关1413381221(,)N λσ22(,)N μσλμ<12σσ>00()()λμ≥>≥P x P x 00()()λμ≥<≥P x P x 22()()()()()χ-=++++n ad bc a b c d a c b d χa2χD.根据小概率值a =0.01的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关11.已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有A.的最大值为37B.的最小值为64C.在处导数等于0D.当x 和y 取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值________.10-1P0.50.3q13.写出在x =0处的切线方程为的一个二次函数________.14.摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解.在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线转动时，圆边界上一定点所形成的轨迹.已知一个半径为2的圆，沿着x 轴转动，角速度为1（rad/s ），如下图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间t （s ）的函数表达式x t =________；其纵坐标关于旋转时间t 的函数表达式y t =________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数，的图像关于直线对称，且相邻两个零点的距离为.（1）求ω和φ的值；（2）若，，求的值.（3）若，使得关于x 的不等式成立，求实数m 的取值范围.16.（15分）某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x （单位：元）与月销量y （单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：2χ22(,)(26sin )(cos )=+-+-f x y x y x y 00=⎧⎨=⎩x x y y (,)f x y ()(0,)=g y f y ()(,0)=h x f x 0()(,)=F x f x y 0=x x ξE()ξ=ξ21=+y x ()=g x ()2sin()f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-≤≤ ⎪⎝⎭3π=x 2π(0,)απ∈223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭0,2π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦x ()≤f x m单价x /元180190200210220月销量y /个5752423227（1）根据以往经验，y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元.（结果精确到1元）参考公式：.参考数据：.17.（15分）已知函数.（1）当a =1时，求函数的极值；（2）函数在区间上为单调函数，求a 的取值范围.18.（17分）如下图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有R 1，R 2两个易堵点，R 1处出现堵车的概率为，且当R 1出现堵车时，R 2出现堵车的概率为；当R 1不堵车时，R 2出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是.（1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；（3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟.若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？19.（17分）设集合，且P 中至少有两个元素，若集合Q 满足以下三个条件：①，且Q 中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合Q 为集合P 的“耦合集”.（1）若集合P 1={2,4,6}，求集合P 1的“耦合集”Q 1；（2）集合，且，若集合P 2存在“耦合集”Q 2.（i ）求证：对于任意，有；1221ˆˆˆ,==-⋅==--∑∑ni ii nii x ynx y ba y bx xnx 55211201000,41200====∑∑i i ii i x x y 2ln ,0()=-->x x a x x a f ()f x ()f x [1,2]122314123,,S S S 13*N ⊆P *N ⊆Q ,∈m n P ≠m n +∈m n Q ,∈u v Q >v u -∈v u P *21234,,,,N ,1,2,3,4{}=∈=i P a a a a a i 1234<<<a a a a 14≤<≤i j 2-∈j i a a P（ii）求集合P2的“耦合集”Q2的元素个数.。

宁夏银川市第二中学2023-2024学年高二下学期月考一数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（）A．9种B．12种C．24种D．72种2．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个3．已知随机变量X的分布列如下表，则()D X=（）7．如图，小华从图中A 处出发，先到达B 处，再前往C 处，则小华从A 处到C 处可以选择的最短路径有（ ）A ．25条B ．48条C ．150条D ．512条8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a ，b ，m (m＞0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m =.若1221818181818C 2C 2...C 2a =×+×++×，()mod10ab =，则b 的值可以是（ ）A ．2018B ．2020C ．2022D ．202416．如图所示，在杨辉三角，3，3，6，4，(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取两次，已知第二次取得白球，求第一次取得黑球的概率.20．某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成．(1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率；(2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为x，求x的分布列和数学期望．21．受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；(2)若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.22．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：方案一：只选择A选项；方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．【详解】从A 处到B 处的最短路径有46C 15=条，从B 处到C 处的最短路径有25C 10=条，则小华从A 处到C 处可以选择的最短路径有1510150´=条．故选：C.8．A【分析】首先利用二项式定理化简a ，再确定a 被10除的余数，结合选项，即可求解.【详解】因为()()18901891812C 31911011a =+-=-=-=--09188199999C 10C 10...C 10C 1=×-×++×--()0817899910C 10C 10...C 2=×-×++-所以a 被10除得的余数为8，而2018被10除得的余数是8.故选：A ．9．ACD【分析】利用分类计数原理、分步计数原理即可.【详解】从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，不同的选科方案有36C 20=种，则A 正确；若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有12212424C C C C 12416+=+=种，则B 错误；若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有35C 10=种，则C 正确；若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有122412C C =种，则D 正确.故选：ACD.10．ACD【分析】将0x =，2x =，1x =±代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++判断是22x，则()322326253C()C280y x x y-×=，系数为80.故答案为：8015．420【分析】根据题意，用,,,,A B C D E表示5个区域，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．【详解】如图，用,,,,A B C D E表示5个区域，分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B ，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有3227+´=种选择，则不同的涂色方案有5437420´´´=种.故答案为：420.。

高二下学期期末考试数学试卷（一）注意事项：1．本试卷共22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知各项为正数的等比数列{a n}中，a2＝1，a4a6＝64，则公比q＝（）A．4 B．3 C．2 D．2.从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（）A．4种B．12种C．24种D．64种3.直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．14.若函数f（x）＝alnx﹣x2+5x在（1，3）内无极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）5.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3，4，5}，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记X＝b﹣a，则随机变量X的期望为（）A．B．C．3 D．46.在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则＝（）A．﹣B．C．﹣D．7.已知x与y之间的几组数据如表：x 1 2 3 4y 1 m n 4如表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为y＝b1x+a1，y＝b2x+a2，y＝b3x+a3，对应的相关系数分别为r1，r2，r3，下列结论中错误的是（）参考公式：线性回归方程y＝中，其中，．相关系数r＝．A．三条回归直线有共同交点B．相关系数中，r2最大C．b1＞b2D．a1＞a28.已知数列{a n}：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的22﹣1项是，，再接下来的23﹣1项是，，，，，，，依此类推．）的前n项和为S n，下列判断：①是{a n}的第2036项；②存在常数M，使得S n＜M恒成立；③S2036＝1018；④满足不等式S n＞1019的正整数n的最小值是2100．其中正确的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都市2016-2017学年高二数学下学期半期考试试题 理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．欧拉公式x i x e ixsin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示i e32π的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．O 为空间任意一点，若OC OB OA OP 818143++=，则P C B A ,,,四点 ( ) A ．一定不共面 B ．一定共面 C ．不一定共面 D ．无法判断3.用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程03=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程03=++b ax x 没有实根 B ．方程03=++b ax x 至多有一个实根 C ．方程03=++b ax x 至多有两个实根 D ．方程03=++b ax x 恰好有两个实根 4.定积分⎰+1)2(dx e x x 的值为（ ）A ．2+eB ．1+e C.e D ．1-e5．若函数x ax x x f 1)(3++=在),21(+∞是增函教，则a 的取值范围是( ) A ．),21(+∞- B ．),21[+∞- C. ),413(+∞ D ．),413[+∞6．已知函数x x x f ln )(-=，则)(x f 的图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．7．设不重合的两条直线m 、n 和三个平面α、β、γ给出下面四个命题： （1）βαβα∥∥∥n n m n m ,,⇒= （2）ααββα∥m m m ⇒⊄⊥⊥,, （3）βαβα∥∥m m m ⇒⊂=, （4）γβγαβα∥⇒⊥⊥, 其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．4 8.设)0,(,,-∞∈c b a ，则ac c b b a 1,1,1+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2- C ．至少有一个不大于2- D ．至少有一个不小于2- 9．已知函数22)2()(e x x x f -=，则( )A ．)2(f 是)(x f 的极大值也是最大值B ．)2(f 是)(x f 的极大值但不是最大值C ．)2(f 是)(x f 的极小值也是最小值D ．)(x f 没有最大值也没有最小值10.如图，二面角βα--l 的大小是45，线段l B AB ∈⊂,α，AB 与l 所成的角为30， 则AB 与平面β所成的角的正弦值是( )A ．21 B ．46 C.23 D ．4211．已知函数x x x f 3)(3-=，若过点),2(t M 可作曲线)(x f y =的三条切线，则实数t 的取值范围是( )A ．)2,6(--B ．)2,4(-- C. )2,6(- D ．)2,0(12.函数)(x f 的导函数为)(x f '，对R x ∈∀，都有)()(2x f x f >'成立，若2)4(ln =f ，则不等式2)(xe xf >的解是( )A ．),4(ln +∞B ．)4ln ,0( C. )4ln ,(-∞ D ．)4ln ,1(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设R a ∈，若复数))(1(i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则=a ． 14.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点F E ,分别是AD BC ,的中点，则AF AE ⋅的值为 ．15.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B ·曼德尔布罗特(Benoit B ．Mandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是 ．16.若定义在),0(+∞上的函数)(x f 对任意两个不等的实数21,x x 都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数)(x f 为“z 函数”.给出下列四个定义在),0(+∞的函数：①12+-=x y ；②s i n x x y +=；③)12(-=x e y x ；④212)ln (2x x x x y -+-=，其中“z 函数”对应的序号为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知复数z 满足i z i z +-=-+11．试判断复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么图形，并求出轨迹方程．18.如图所示，在三棱柱C B A ABC '''-中，⊥'A A 底面ABC,A A BC AB '==, 90=∠ABC ,O 是侧面A B AB ''的中心，点D 、E 、F 分别是棱C A ''、AB 、B B '的中点.(1)证明∥OD 平面C AB '；(2)求直线EF 和平面C AB '所成的角． 19.观察下列等式11= 第一个式子9432=++ 第二个式子 2576543=++++ 第三个式子 4910987654=++++++ 第四个式子照此规律下去 (1)写出第5个等式；(2)试写出第n 个等式，并用数学归纳法验证是否成立.20.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，90=∠ADC ，平面⊥PAD 底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2==PD PA ，121==AD BC ，3=CD .(1)求证：平面⊥MQB 平面PAD ；(2)若二面角C BQ M --大小的为60，求QM 的长． 21.设函数x a x x f ln 21)(2-=,),0()1()(2R a x x a x x g ∈>+-=. (1)求函数)(x f 的单调区间；(2)当0≥a 时，讨论函数)(x f 与)(x g 的图象的交点个数. 22.已知）R m mx x x f ∈++=(1)(2,x e x g =)(.(1)当]2,0[∈x 时，)()()(x g x f x F -=为增函数，求实数m 的取值范围； (2)设函数4541)(,)()()(+-==x x H x g x f x G ，若不等式)()(x H x G ≤对]5,0[∈x 恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若]0,1[-∈m ，设函数4541)(,)()()(+-==x x H x g x f x G ，求证：对任意]1,1[,21m x x -∈，)()(21x H x G ≤恒成立.高2018届数学试卷（理科）答案一、选择题1-4:BBACD 6-10: ABCAD 11、12：CA 二、填空题13. 1- 14. 241a 15. 21 16.②③④ 三、解答题17.解：由i z i z +-=-+11可知复数z 是复平面内到两定点距离相等的点， 其轨迹是这两点连线的垂直平分线.这两点坐标分别是)1,1(-和)1,1(-，在直线x y -=上且关于原点对称， 所以它的垂直平分线方程是x y =，即复数z 的轨迹方程是x y =.法二：设),(R y x yi x z ∈+=，得2222)1()1()1()1(++-=-++y x y x化简整理得x y =，这是一条直线.18.(1)证明：依题意可知侧面A B AB ''为正方形，连结B A '则O 为B A '中点，在C B A ''∆中， O 、D 分别是边B A '、C A ''的中点，所以C B OD '∥C B A OD C B OD C B A OD C B A C B '⇒⎪⎭⎪⎬⎫''⊄'⊂'面∥∥面面. (2)连结C B '易得C B C B '⊥'先证明⊥'C B 面C AB 'C B A C B C B C B C B AB B C BC C B B C BC AB B B A A B A A A ABC A A BC AB ABC '⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥''⊥⇒⎭⎬⎫''⊂'''⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫''⊥'⇒⊥'⊥⇒=∠面面面∥底面由 90过F 作C B FH '∥交C B '于H ，连结EH ，则FEH ∠即为直线EF 和平面C AB '所成的角.在FEH Rt ∆中，EF FH 21=，所以直线EF 和平面C AB '所成的角为 30. 19.【解析】(1)第5个等式2913765=+⋅⋅⋅+++；(2)猜测第n 个等式为2)12()23()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n n ，再用数学归纳法加以证明.试题解析：(1)第5个等式8113765=+⋅⋅⋅+++.(2)猜测第n 个等式为2)12()23()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n n . 证明：(1)当1=n 时显然成立； (2)假设),1(*∈≥=N k k k n 时也成立，即有2)12()23()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++k k k k k ，那么当1+=k n 时左边)13()3()13()23()2()1(+++-+-+⋅⋅⋅++++=k k k k k k133)12()23()2()1(+++-+-+⋅⋅⋅+++++=k k k k k k k133)12()12(2+++-+-=k k k k222]1)1(2[)12(8144-+=+=++-=k k k k k .而右边2]1)1(2[-+=k , 这就是说1+=k n 时等式也成立． 根据(1)(2)知，等式对任何*∈N n 都成立． 20.解：(1)∵AD ∥BC ，AD BC 21=，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ． ∵90=∠ADC ，即AD QB ⊥.又∵平面⊥PAD 底面ABCD 且平面 PAD 平面AD ABCD =，∴⊥BQ 平面PAD .∵⊂BQ 平面MQB ，∴平面⊥MQB 平面PAD . (2)∵PD PA =，Q 为AD 的中点，∴AD PQ ⊥.∵平面⊥PAD 底面ABCD ，且平面 PAD 平面AD ABCD =，∴⊥PQ 平面ABCD . 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，则)0,3,1(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,1(),0,0,0(-C B P A Q ,由)3,3,1(--==λλ，且10≤≤λ，得)33,3,(λλλ--M ， 所以)33,3,(λλλ--=QM ，又)0,3,0(=QB ， ∴平面MBQ 法向量为)1,0,3(λλ-=，由题意知平面BQC 的法向量为)1,0,0(=． ∵二面角C BQ M --大小的为60，∴21,2160cos =∴==λ ，∴27=QM . 21.解：(1)函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xax x f -='2)(．当0≤a 时，0)(>'x f ，所以)(x f 的增区间是),0(+∞，无减区间；当0>a 时，xa x a x x f ))(()(-+='.当a x <<0时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减；当a x >时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增．综上，当0≤a 时，函数)(x f 的增区间是),0(+∞，无减区间； 当0>a 时，)(x f 的增区间是),(+∞a ，减区间是),0(a . (2)令0,ln )1(21)()()(2>-++-=-=x x a x a x x g x f x F ，问题等价于求函数)(x F 的零点个数．①当0=a 时，0,21)(2>+-=x x x x F ,)(x F 有唯一零点； 当0≠a 时，xa x x x F ))(1()(---='.②当1=a 时，0)(≤'x F ，当且仅当1=x 时取等号，所以)(x F 为减函数．注意到04ln )4(,023)1(<-=>=F F ,所以)(x F 在)4,1(内有唯一零点； ③当1>a 时，当10<<x ，或a x >时，0)(<'x F ；a x <<1时，0)(>'x F ． 所以)(x F 在)1,0(和),(+∞a 上单调递减，在),1(a 上单调递增．注意到0)22ln()22(,0)ln 22(2)(,021)1(<+-=+>-+=>+=a a a F a a aa F a F , 所以)(x F 在)22,1(+a 内有唯一零点；④当10<<a 时，a x <<0，或1>x 时，0)(<'x F ；1<<x a 时，0)(>'x F ． 所以)(x F 在),0(a 和),1(+∞上单调递减，在)1,(a 上单调递增．注意到0)22ln()22(,0)ln 22(2)(,021)1(<+-=+>-+=>+=a a a F a a aa F a F ， 所以)(x F 在)22,1(+a 内有唯一零点．综上，)(x F 有唯一零点，即函数)(x f 与)(x g 的图象有且仅有一个交点. 22.解：（1）∵xe mx x x F -++=1)(2，∴xe m x x F -+='2)(.∵]2,0[∈x 时)(x F 为增函数，∴02)(≥-+='xe m x x F 对]2,0[∈x 恒成立，即x e m x 2-≥.令x e x h x2)(-=,]2,0[∈x ,则2)(-='xe x h ，令0)(='x h 解得2ln =x . ∴)(x h 在]2ln ,0[单减； ]2,2(ln 单增，∵14)(,1)0(2>-==e 2h h ，4)2()(2max -==e h x h ，∴42-≥e m .(2))()(x H x G ≤，即)4541(12+-≤++x e mx x x，令)4541()(+-=x e x x ϕ，)141()(+-='x e x x ϕ，令0)(='x ϕ得4=x ，∴)(x ϕ在)4,(-∞单增；),4(+∞单减，又∵0)(=x ϕ有唯一零点5=x ，所以可作出函数)(x ϕ的示意图，要满足)(1)(2x mx x x m ϕ≤++=对]5,0[∈x 恒成立只需⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0)5(02m m 对称轴解得526-≤m .法二：∵)()(x H x G ≤对]5,0[∈x 恒成立，令1=x 得2-≤e m ，令)1()4541()(2++-+-=mx x x e x xϕ，则m x x e x x --+-='2)141()(ϕ， 令)()(x x n ϕ'=，则243)(--⋅='x e x n x ， 令)()(x n x r '=，则42)(x e x r x -⋅='，则)(x r 在)2,0[单增，]5,2(单减；024)2(2<-=e r ，故0)(<x r 对]5,0[∈x 恒成立. ∴)(x n 在]5,0[∈x 单减，∵01)0(>-=m n ，无论)(x n 在]5,0[∈x 有无零点，)(x ϕ在]5,0[∈x 上的最小值只可能为)0(ϕ或)5(ϕ，要0)1()4541()(2≥++-+-=mx x x e x xϕ恒成立，∴0)0(≥ϕ且0)5(≥ϕ ， ∴526-≤m . (3)对任意]1,1[,21m x x -∈，)()(21x H x G ≤恒成立，只需)()(min max x H x G <.∵)0,1(],1,1[,)1)(1()(-∈-∈+---='m m x em x x x G x， ∴)(x G 在]1,1[m -上单调递增，m e mm G x G --=-=1max 2)1()(．∵)(x H 在]1,1[m -上单调递减，4145)1(41)1()(min mm m H x H +=+--=-=，即证4121me m m +<--对)0,1(-∈m 恒成立，令)2,1(1∈=-t m 即证0)1(4)5(>+--t t e t对)2,1(∈t 恒成立，11 令)1(4)5()(+--=t t e x r t ，则0424)4()(>->--='t t e t e x r ，即)1(4)5()(+--=t t e x r t 在)2,1(上单调递增，∴084)11(4)15()1()(>-=+--=>e e r x r 即0)1(4)5(>+--t t e t 对)2,1(∈t 恒成立 所以对任意]1,1[,21m x x -∈，)()(21x H x G ≤恒成立.。

2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若是虚数单位，则乘积的值是A.15-B.3C.3-D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是 函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函17(,),2ia bi ab R i i+=+∈-ab数3()f x x =的极值点.以上推理中A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i ii i ++++++= 其中正确命题的序号是( )A.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x ax f ππsin )(-=，且2)1()1(lim=-+→hf h f h ，则a 的值为A.2-B.2C.π2D.π2- 6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2- C ．至少有一个不大于2- D ．至少有一个不小于2- 7．在一次实验中，测得的四组值分别为，，，，则与的线性 回归方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．(,)x y ()1,2()2,3()3,4()4,5y x 1y x =+2y x =+21y x =+1y x =-8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．49．若1322i ω=-+,则等于421ωω++=( ) A ．1 B ．13i -+ C ．33i + D ． 0 10. 若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．非上述情况11.设，且，若，则必有（ ）A ．B ．C ．D ． 12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<xf x e 的解集为A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞eD.4(,)+∞e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是 ．AC =14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，,,a b c R +∈1a b c ++=111(1)(1)(1)M a b c=---8M ≥118M ≤<18M ≤<108M ≤<,AD =,则∠CAD 的弧度数为 .15.参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____. 16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径222a b r +=．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分l0分)如图，,,,A B C D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若11,32EC ED EB EA ==，求DCAB的值； （Ⅱ）若2EF FA FB =⋅，证明：//EF CD ．18.(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A 等（优秀），在[60，80）的学生可取得B 等（良好），在[40，60）的学生可取得C 等（合格），在不到40分的学生只能取得D 等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现23按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ） 请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计男生 a=12 b= 女生 c= d=34 合计n=100附：．P （k 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.01k 0 2.0722.7063.841 6.63519．(本小题满分l2分)设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|f x x m +->对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．20．(本小题满分l2分)设函数2()f x ax bx c =++且(1)2af =-，322.a c b >> （1）试用反证法证明：0a > （2）证明：33.4b a -<<-21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C ．（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ，切点为T ，求||||TM TN ⋅的取值范围．22．(本小题满分l2分)已知函数1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围．2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若是虚数单位，则乘积的值是 CA.15-B.3C.3-D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是 函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函 数3()f x x =的极值点.以上推理中 A A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i ii i ++++++= 其中正确命题的序号是( )CA.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）D17(,),2ia bi ab R i i+=+∈-abA ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x ax f ππsin )(-=，且2)1()1(lim=-+→hf h f h ，则a 的值为 BA.2-B.2C.π2D.π2- 6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ）c A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-7．在一次实验中，测得的四组值分别为，，，，则与的线性回归方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解析：A 线性回归直线一定过样本中心点，故选A ．8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．若1322i ω=-+,则等于421ωω++=( )D A ．1 B ．13i -+ C ．33i + D ． 0 10. 若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为（ ）B (,)x y ()1,2()2,3()3,4()4,5y x 1y x =+2y x =+21y x =+1y x =-()2.5,3.5A ．16B ．8C ．4D ．非上述情况11.设，且，若，则必有（ ）AA ．B ．C ．D ．12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<xf x e 的解集为 BA.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞e D.4(,)+∞e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是 ．2 AC =14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，,AD =,则∠CAD 的弧度数为 . 15.15.参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____.)2(116422≥=-x y x 16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径222a b r +=．运用,,a b c R +∈1a b c ++=111(1)(1)(1)M a b c=---8M ≥118M ≤<18M ≤<108M ≤<23512π类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R= ． 2222a b c ++三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分l0分)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上． （Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF 2=FA•FB，证明：EF∥CD．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．18(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A等（优秀），在[60，80）的学生可取得B等（良好），在[40，60）的学生可取得C等（合格），在不到40分的学生只能取得D等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ）请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=女生c= d=34合计n=100附：．P（k2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.01k0 2.072 2.706 3.841 6.635解：（Ⅰ）抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x人，根据题意得x=100×[1﹣10×（0.006+0.012×2+0.018+0.024+0.026）]=2．…（2分）据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数为（人）．…（4分）（Ⅱ）根据已知条件得2×2列联表如下：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=48 60女生c=6 d=34 40合计18 82 n=100 …（10分）∵，所以，没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．…（12分）19．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．20．(本小题满分l2分)设函数f（x）=ax2+bx+c且f（1）=﹣，3a＞2c＞2b．（1）试用反证法证明：a＞0（2）证明：﹣3＜．【解答】证明：（1）假设a≤0，∵3a＞2c＞2b，∴3a≤0，2c＜0＜，2b＜0，将上述不等式相加得3a+2c+2b＜0，∵f（1）=﹣，∴3a+2c+2b=0，这与3a+2c+2b＜0矛盾，∴假设不成立，∴a＞0；（2）∵f（1）=a+b+c=﹣，∴c=﹣a﹣b∴3a＞2c=﹣3a﹣2b，∴3a＞﹣b，∵2c＞2b，∴﹣3a＞4b；∵a＞0，∴﹣3＜＜﹣．21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．【解答】解：（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，化为x2+y2=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．则曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos（θ﹣α）﹣sinα]+1﹣2sinθ=0，∴t1t2=1﹣2sinθ，∴|TM|•|TN|=|t1t2|=|1﹣2sinθ|∈[0，1]，∴|TM|•|TN|的取值范围是[0，1]．22．(本小题满分l2分)已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）因为，（2分）当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，（3分）又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得，即（9分）（2）当a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）②若，即1＞时，则有xf'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．（14分）…。

常州市教育学会学业水平监测高二数学 2023年6月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 为复数，z 为z 的共轭复数，且||15i z z =−+，则z 的虚部是A ．5iB ．5i −C ．5D ．-52．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中能得出a ⊥b 的是A ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β3．投掷3枚质地均匀的正方体骰子，观察正面向上的点数，则对于这3个点数，下列说法正确的是A ．有且只有1个奇数的概率为18B ．事件“都是奇数”和事件“都是偶数”是对立事件C ．在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率为47D ．事件“至少有1个是奇数”和事件“至少有1个是偶数”是互斥事件4．已知平面上的三点A ，B ，C 满足||2||AB BC = =，，向量AB 与BC 的夹角为45°，且()BC AB AB λ−⊥，则实数λ= A ．0B ．1C ．-2D ．25．一个不透明的盒子里装有10个大小形状都相同的小球，其中3个黑色、7个白色，现在3个人依次从中随机地各取一个小球，前一个人取出一个小球记录颜色后放回盒子，后一个人接着取球，则这3个人中恰有一人取到黑球的概率为A ．310B ．21733103A A A ⋅ C ．3210C 0.70.3⨯⨯ D ．123C 0.70.3⨯⨯6．已知圆锥的高为1，体积为π，则过圆锥顶点作圆锥截面的面积最大值为AB ．2C．D ．3π7．对一个十位数1234567890，现将其中3个数位上的数字进行调换，使得这3个数字都不在原来的数位上，其他数位上的数字不变，则可以得到不同的十位数（首位不为0）的个数为 A ．120B ．232C ．240D ．3608．正四棱锥S ABCD −，各侧棱长为2，各顶点都在同一个球面上，则过球心与底面平行的平面截得的台体体积是 ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知复数123z z z ，，，则下列说法正确的有 A ．123231z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅B ．11222()(0)z zz z z =≠ C ．若1212||||z z z z −=+，则120z z ⋅= D ．若1223z z z z ⋅>⋅，则13||||z z >10．下列说法正确的有A ．在ABC ∆中，0BC CA ⋅<，则ABC ∆为锐角三角形B ．已知O 为ABC ∆的内心，且o o 3060A B = =，，则320OA OB OC ++=C ．已知非零向量 ，a b 满足：242⋅= =+ ，a b a c a b ，则||||⋅b c b c 的最小值为12D ．已知(12)(11)= = ，，，a b ，且a 与λ+a b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是5()3−∞−，11．某课外兴趣小组在探究学习活动中，测得()x y ，的10组数据如下表所示：由最小二乘法计算得到线性回归方程为11ˆˆy a b x =+，相关系数为；经过观察散点图，分析残差，把数据(16889) ，去掉后，再用剩下的9组数据计算得到线性回归方程为22ˆˆˆy a b x =+，相关系数为．则 A ．12ˆˆaa < B ．12ˆˆb b < C ．2212r r <D ．12ˆˆ00b b > >， 12．已知在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D −中，点O 为正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，下列说法正确的有 A ．BD PO ⊥B ．当直线AP 与平面11BCC B 所成角的正切值为45时，3PC =C ．当1PC =时，点1C 到平面1APD 的距离是32D ．当2PC =时，以O 为球心，OP 为半径的球面与侧面11ABB A 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．101(2)2x +的展开式中二项式系数最大的项的系数是 ．（用数字作答）14．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)(01)A B ，，，以A 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转30°，得到线段AC ，则向量AB 在向量AC 上的投影向量的坐标是 ． 15．已知平面四边形ABCD ，o 90ADC ∠=，34AB BC CD AD === =，，则AC BD ⋅= ．16．已知在矩形ABCD 中，2AB BC = =，P 为AB 的中点，将ADP ∆沿DP 翻折，得到四棱锥1A BCDP −，则二面角1A DC B −−的余弦值最小是 ．12r四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设z 是虚数，在平面直角坐标系xOy 中，1z z z，，对应的向量分别为OA OB OC ，，．（1）证明：O B C ，，三点共线； （2）若31z =，求向量OA OC +的坐标．18．（12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D −中，11AA CC ，平面11AAC C ⊥菱形ABCD ．证明：（1）11B B D D ，，，四点共面； （2）1BD DD ⊥．19．（12分）在平面直角坐标系中三点A ，B ，C 满足(12)(23)AB AC = =− ，，，，D E ，分别是线段BC AC ，上的点，满足22BD CD CE AE = =，，AD 与BE 的交点为G ． （1）求BGD ∠的余弦值； （2）求向量AG 的坐标．A 1B 1C 1D 1DCBA20．（12分）某种季节性疾病可分为轻症、重症两种类型，为了解该疾病症状轻重与年龄的关系，在某地随机抽取了患该疾病的3s 位病人进行调查，其中年龄不超过50岁的患者人数为s ，轻症占56；年龄超过50岁的患者人数为2s ，轻症占13． （1）完成下面的22⨯列联表．若要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则抽取的年龄不超过50岁的患者至少有多少人？附：2()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++(其中n a b c d =+++)，2 6.6350.01()P χ=>． （2）某药品研发公司安排甲、乙两个研发团队分别研发预防此疾病的疫苗，两个团队各至多安排2个周期进行疫苗接种试验，每人每次疫苗接种花费t （0t >）元．甲团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为p （01p <<），根据以往试验统计，甲团队平均花费为236tp t −+．乙团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为q （01q <<），每个周期必须完成3次疫苗接种，若第一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个疫苗接种周期．假设两个研发团队每次疫苗接种后产生抗体与否均相互独立．若p q <，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应如何选择团队进行药品研发？21．（12分）记1011()(1)n n n n n n f x x a x a x a x a −−=+=++++，*n ∈N ．（1）化简：1(1)ni i i a =+∑；（2）证明：12()2()()()n n n k n f x f x kf x nf x +++2+++++（*n ∈N ）的展开式中含项的系数为221(1)C n n n +++．22．（12分）如图，在多面体EF ABCD −中，底面ABCD 是菱形，且CE ⊥底面ABCD ，AFCE ，1AC CD CE AF ====，点M 在线段EF 上．（1）若M 为EF 的中点，求直线AM 和平面BDE 的距离； （2）试确定M 点位置，使二面角D AM B −−的余弦值为3567−．F EDCBA常州市教育学会学业水平监测高二数学（参考答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．D 2．A 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9．AB10．BD11．BCD12．ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．25214．3()2，15．7216四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设i 0z a b b =+ ≠，，则i z a b =−，a b ∈R ，， 所以()OB a b = −，． ……………………2分 2211i i a b z a b a b −==++，所以222211()OC a b OB a b a b= −=++，． 所以OB OC ．……………………4分 又因为O 为公共点，所以O B C ，，三点共线． ……………………5分 （2）因为31z =，则2(1)(1)0z z z −++=，又因为z 是虚数，所以210z z ++=． ……………………8分2111z z z z++==−，所以(10)OA OC +=− ，． ……………………10分 18．证明：（1）由11AA CC ，1AA ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1AA 平面11BCC B ．……………………2分 又因为1AA ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⋂平面111BCC B BB =， 所以11AA BB ． ……………………4分 同理：11AA DD ，所以11BB DD ，所以11B B D D ，，，四点共面． ……………………6分 （2）菱形ABCD 中AC BD ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面ABCD ， 且平面11AAC C平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ．……………………10分因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥， 由（1）有11AA DD ，所以1BD DD ⊥． ……………………12分19．解：（1）因为22BD CD BD CD = =，，所以128(1)333AD AB AC =+=− ，． ……………………2分 又125(,1)333BE BC BA =+=−−． ……………………4分5833cos BGD −+∠==．……………………6分 （2）由A G D ，，三点共线，1233AG AD AB AC λλλ==+， 又1(1)(1)3AG AB AE AB AC μμμμ=+−=+−． ……………………8分由平面向量基本定理，得1321(1)33λμλμ⎧= ⎪⎨⎪=−⎩，．……………………10分 所以17μ=，所以1238()7777AG AB AC =+=− ，． ……………………12分 20. （1） 列联表如下：……………………2分要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则225423()26363 6.635333222s s s s s s s s s s χ⨯−⨯==>⨯⨯⨯． ……………………4分 解得9.9525s >，由题意知，s 的最小整数值为12．所以抽取的年龄不超过50岁的患者至少有12人． ……………………6分（2）甲研发团队试验总花费为X 元，根据以往试验统计得2()36E X tp t =−+， 设乙研发团队试验总花费为Y 元，则Y 的可能取值为3t ，6t ，所以223323(3)(1)23P Y t C q q q q q ==−+=−+，32(6)123P Y t q q ==+−，所以323232()3(23)6(123)696E Y t q q t q q tq tq t =−+++−=−+． ……………………10分 因为01p q <<<，所以3222()()696(36)6(1)0E Y E X tq tq t tp t tq q −=−+−−+<−<， 所以乙团队试验的平均花费较少，所以该公司应选择乙团队进行研发． ……………………12分21．（1）11(1)(1)nnii n i i i a i C ==+=+∑∑． ……………………2分1211(1)23(1)nin nn n n n n i i CC C nC n C −=+=+++++∑，012111(1)23(1)n i n nn n n n n n i i C C C C nC n C −=++=++++++∑． ……………………4分右侧倒序相加得，012112(1(1))(2)()(2)2ni n nn nn n n n n i i C n C C C C C n −=++=++++++=+∑，所以11(1)(2)21nn i i i a n −=+=+−∑． ……………………6分（2）(1)2(2)()()f x n f x n kf x n k f x n ++ +++ +++ 2，，，，的展开式中含n x 项的系数为123223n n nnn n n n C C C nC +++++++，因为1()!()!()!(1)(1)!!!(1)!(1)!(1)!nn n k n k n k n k n k kC kn n C n k n k n k ++++++===+=+−+−． …………………9分 所以含n x 项的系数为：1111123212322111223223(1)()(1)()n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C n C C C C +++++++++++++++++++++=+++++ =+++++ 211332221(1)()(1).n n n n n n n n n C C C n C +++++++ =++++ =+……………………12分22．（1）连接BD 交AC 于O ，取EF 中点G ，因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥，O 为AC 中点． 因为AFCE ，AF CE =，所以四边形ACEF 为平行四边形． 因为O G ，分别为AC EF ，中点， 所以OG CE ．因为CE ⊥平面ABCD ，AC BD ⊂，平面ABCD ， 所以CE AC CE BD ⊥ ⊥，， 所以OG AC OG BD ⊥ ⊥，． ……………………3分 以O 为原点，建立如图空间直角坐标系O xyz −， 则3311(00)(001)(00)(00)(01)2222A MB D E − − ，，，，，，，，，，，，，，，所以31(300)(1)22BD BE = = − ，，，，，，设平面BDE 的法向量0000()n x y z = ，，， 0000n BD n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以00003031022x x y z ⎧=⎪⎨−+=⎪⎩，，所以01(021)(01)2n AM = = − ，，，，，． ……………5分 0102102n AM =−+=，设A 到平面BDE 距离为d ，00||351(0)225||AB n AB d n = ==，，，，所以直线AM 和平面BDE 的距离为55． ………7分（2）设11(01)[]22M m m ∈− ，，，，，31(0)(011)22AD AM m = − = − ，，，，，，31(0)22AB =− − ，，， 设平面ADM ，平面ABM 的法向量分别为11112222()()n x y z n x y z = = ，，，，，， 12120000AD n AB n AM n AM n ⎧⎧= = ⎪⎪⎨⎨= = ⎪⎪⎩⎩，，，，取1233(133)(133)22n m n m = −+ = − −，，，，，．………9分 因为二面角D AM B −−的余弦值为3567−，所以2121221213()2352|cos |||167||||3()42m n n n n n n m −+< >===−+，． 解得1344m = ，（舍），即14FM FE =． ……………………12分OABCDEFxyz G。

2022-2023学年湖南省株洲市第二中学高二下学期入学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-≤，{}2|60B x x x =∈--≤N ，则A B ⋂=（ ）A ．[]1,3-B ．{2,1,0,1,2,3}--C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3}【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合,A B ，根据交集运算求解. 【详解】解：因为{}{}[]122121,3A x x x x =-≤=-≤-≤=-， 260x x --≤解得23x -≤≤，且x N ∈，所以0,1,2,3x =，所以{}0,1,2,3B =，所以A B ⋂={0,1,2,3}. 故选：C.2．已知复数z 满足()1i sin icos z αα+=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．12B C D ．1【答案】B【分析】利用复数的除法运算求得z ，再求模. 【详解】因为()1i sin icos z αα+=+，所以()()()()sin icos 1i sin icos sin cos sin cos i 1i 1i 1i 22z αααααααα+-++-+===+++-，解得z ==故选：B3．“m>2”是“方程22121x y m m -=--表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】方程22121x y m m -=--表示双曲线等价于()()210m m --<，求解判断即可【详解】方程22121x y m m -=--表示双曲线等价于()()210m m --<，即1m <或m>2，故“m>2”是“方程22121x y m m -=--表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A4．已知222:O x y r += ，直线223l x y r +=：，若l 与⊙O 相离，则（ ） A ．点(2,3)P 在l 上 B ．点(2,3)P 在O 上 C ．点(2,3)P 在O 内 D ．点(2,3)P 在O 外【答案】C【分析】根据l 与O 相离,2r >，即可推出||r OP >，即可得答案.【详解】由已知l 与O 相离,可知圆心到直线的距离大于半径，不妨设r 为222:O x y r +=22r =>，故r >，由于(2,3)P ，则OP =||r OP >, 则点(2,3)P 在O 内， 故选：C ．5．已知三角形中三边长为a ，b ，c ，若lg a ，lg b ，lg c 成等差数列，则直线ax by a +=与直线bx cy b+=的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．重合【答案】D【分析】根据等差中项的性质及对数的运算可得2ac b =，再根据两直线的位置关系判断即可. 【详解】解：因为lg a ，lg b ，lg c 成等差数列，所以lg lg 2lg a c b +=，即2ac b =， 对于直线ax by a +=与直线bx cy b +=，满足a b a b c b==， 所以直线ax by a +=与直线bx cy b +=重合. 故选：D6．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（ ）轮传染？(初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用指数运算性质求解即可.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染, 则每轮新增感染人数为0nR ， 经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=-即11 3.8=10001 3.8n +--，解得 4.94n ≈， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染， 故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．7．用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角α为（ ） A ．2π3BCD【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，求出222r h R +=，表示出体积表达式223111333V r h R h h πππ==-（0h R <<），利用导数求出函数的最大值，得到结果．【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=因此，223111333V r h R h h πππ==-（0h R <<）2213V R h ππ'∴=-令0V '=得h R =当0h <<时，0V '>h R <<时，0V '<h R ∴=时，V 取得极大值，并且这个极大值是最大值．把h =代入222r h R +=，得r =由2R r απ=，得α即圆心角α弧度时，漏斗容积最大 故选：D.8．1sin0.1a =+，0.1e b =，1716c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）. A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．c b a >>【答案】B【分析】分别构造函数证明e 1,(0)x x x >+>与sin ,(0)x x x >>，利用这两个不等式可判断b a >；构造函数()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，可证得5sin 8x x >，即可判断a c >，从而得出答案.【详解】令()e 1),(0)(x f x x x +-=>，则e ()10x f x '=->，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0f x f >=，则e 1,(0)x x x >+>． 令()sin ,(0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g x g >=，则sin ,(0)x x x >>． 所以0.1e 10.11sin 0.1>+>+，即b a >；令()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()5cos 8h x x '=-，因为π06x <<cos 1x <<，则5cos 8x >>，故()0h x '>， 所以()h x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()00h x h >=，即5sin 8x x >，易知π0.10,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以51sin 0.10.1816>⨯=，则1171sin 0.111616+>+=，即a c >；综上：b a c >>. 故选：B.二、多选题9．如图是函数()y f x =的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）A ．()f x 在()2,1--上是增函数B ．()f x 在()2,4上是减函数C ．当=1x -时，()f x 取得极小值D ．当1x =时，()f x 取得极大值 【答案】BC【分析】根据导数与原函数关系解决.【详解】从导函数图像可以看出函数()f x 在()()2,1,2,4--上为单调减函数；()f x 在()()1,2,4,5-上为增函数，故A 错B 对，C 对D 错.故选：BC10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边为1，侧棱长为a ，M 是1CC 的中点，则（ ）A ．任意0a >，1A M BD ⊥B ．存在0a >，直线11AC 与直线BM 相交 C ．平面1A BM 与底面1111D C B A 5D ．当2a =时，三棱锥11B A BM -外接球表面积为3π 【答案】AC【分析】对于A ，由题意可得BD ⊥平面11ACC A ，从而可得1BD A M ⊥，即可判断； 对于B ，根据异面直线的定义可得；对于C ，根据题意找出交线，然后求出交线长即可；对于D ，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积. 【详解】解：对于A ，BD AC ⊥，1BD AA ⊥，1AA AC A =，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，BD ∴⊥平面11ACC A ，1A M ⊂平面11ACC A ，1BD A M ⊥，故正确；对于B ，因为B ∈平面11A BC ，M ∉平面11A BC ， 所以BM ⊄平面11A BC ，BM ∴与11A C 异面，故不相交，故错误；对于C ，延长BM ，11B C 交于N 点，连接1A N 交11D C 于P ，M 为1CC 中点，1()NC M BCM ASA ≅，所以1NC CB =, 所以1112,1NB A B ==, 所以15NA 平面1A BM平面11111A B C D A N =，平面1A BM 与底面1111D C B A 交线为1A P ， 其中P 为11C D 中点，所以15A P =对于D ，2a =，11A B B △是直角三角形，外接圆是以1A B 为直径的圆，圆心设为P '，半径152=A B 取1BB 中点Q ，则MQ ⊥平面11ABB A ，12P Q '=， 所以2222541(1)4P O R P O R⎧+=⎪⎪⎨''⎪-+=⎪⎩，所以254R =， 24π5π3πR =≠，故错误.故选：AC ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n a a n ++=则（ ） A ．618S =B ．,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数C ．数列{}n a 为等差数列D ．n 为奇数时，()212nn S n -=+【答案】ABD【分析】利用并项求和法可判断AD 选项；利用等差数列的定义可判断BC 选项. 【详解】对于A 选项，()()()()6123456213518S a a a a a a =+++++=⨯++=，A 对； 对于B 选项，因为122a a +=，则2121a a =-=，对任意的N n *∈，由12n n a a n ++=可得()2121n n a a n +++=+， 上述两个等式作差可得22n n a a +-=，所以，数列{}n a 中的奇数项成以1为首项，公差为2的等差数列， 数列{}n a 中的偶数项成以1为首项，公差为2的等差数列，当n 为奇数时，设()21N n k k *=-∈，则()2112121n k a a a k k n -==+-=-=，当n 为偶数时，设()2N n k k *=∈，则()221211n a a k k n =+-=-=-，综上所述，,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，B 对；对于C 选项，32211a a a a -=≠-，故数列{}n a 不是等差数列，C 错；对于D 选项，当n 为奇数时，设()21N n k k *=-∈，则12n k +=， 则()()()2212342122n k k k k k S S a a a a a a a a -=-=++++++-()()()()221212132121212212k k k k k k k +-=+++---=--=-+⎡⎤⎣⎦()()2221112112222n n n n n -+⎛⎫=⨯-++=+=+ ⎪⎝⎭，D 对. 故选：ABD.12．设O 为坐标原点， F 为抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点，过焦点F 且倾斜角为θ的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点（点M 在第二象限），当30θ=时，||2MF =，则下列说法正确的是（ ） A ．3p =B ．△MON 的面积的最小值为92C ．存在直线l ，使得90OMF ONF ∠∠>＋D ．分别过点M ，N 且与抛物线相切的两条直线互相垂直 【答案】ABD【分析】根据抛物线定义结合三角函数可求3p =，通过设直线l 的方程为32y kx =+，与抛物线联立则得到韦达定理式，而面积表达式121322MONSx x =⨯-，韦达定理式代入上式即可求出面积最值，求出0OM ON ⋅<则可判断C ，利用导数的几何意义即可得到两切线斜率之积为12119x x =-，则可判断D.【详解】作出如图所示图形：对A ，由抛物线定义及题意得222sin 302M M p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即2212M M p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3p =，故A 正确；对B ，3p =，则30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 的斜率不存在时，显然不合题意，设()()1122,,,M x y N x y设直线l 的方程为32y kx =+，联立抛物线22x py =得2690x kx --=，则12126,9x x k x x +==-，12139222MONSx x =⨯-=， 当且仅当0k =时等号成立，故B 正确；对C ，121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()221212393927191624244k x x k x x k k k =++++=-++⋅+=-，故MON ∠为钝角，则不存在直线l ，使得90OMF ONF ︒∠+∠>，故C 错误； 对D ，26x y =，即216y x =，故13y x '=， 故在点M 处的切线斜率为113x ，在点N 处的切线斜率为213x ,故斜率之积为12119x x =-，故相切的两条直线互相垂直，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知()1,5,2a =-，(),2,2b m m =+，若a b ⊥，则m 的值为______. 【答案】6【分析】根据向量垂直于向量数量积之间的关系解方程即可. 【详解】解：∵a b ⊥，∴0a b ⋅=，即()()1,5,2,2,20m m -⋅+=， ∴10240m m +--=，解得6m =.故答案为：6.14．记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4.【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．15．若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________【答案】22154x y += 【详解】∵点(1，12)在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，12)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是25x ＋24y ＝1．16．如图所示，平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，CB CD ⊥，20BA BC DA DC ⋅+⋅=，若点A ，C 分别为椭圆E ：22218x y b+=（0b >）的上､下顶点，点B 在椭圆E上，点D 不在椭圆E 上，则椭圆E 的焦距为___________.【答案】4【分析】先由AB AD ⊥，CB CD ⊥判断出A ，B ，C ，D 四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将()0,b 代入椭圆及圆的方程，可求出2b ，即可求得焦距. 【详解】由题意得()0,A b ，()0,C b -，设()11,B x y ，()22,D x y .连接BD ，由AB AD ⊥，CB CD ⊥，可知A ，B ，C ，D 在以BD 为直径的圆M 上，且πABC ADC ∠+∠=， 又原点O 为圆M 的弦AC 的中点，所以圆心在AC 的垂直平分线上，即在x 轴上，则120y y +=，又20BA BC DA DC ⋅+⋅=， 所以cos 2cos 0BA BC ABC DA DC ADC ∠+∠=， 因为πABC ADC ∠+∠=，所以cos cos 0ABC ADC ∠+∠=， 所以()2cos 0BA BC DA DC ADC -∠⋅=， 当cos 0ADC ∠≠时，则2BA BC DA DC -=0，若cos 0ADC ∠=，则四边形ABCD 为矩形，则点D 也在椭圆E 上，与点D 不在椭圆E 上矛盾， 所以2ABCADCSS=，所以122x x =-，故圆M 的圆心坐标为1,04x ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以圆M 的方程为22221119416x x y x y ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，将()0,b 代入可得2221112b x y =+，又2211218x y b +=，所以24b =，故椭圆E 的焦距为2284b -=. 故答案为：4.【点睛】关键点点睛：“AB AD ⊥，CB CD ⊥，20BA BC DA DC ⋅+⋅=”的化简､转化，由此得到A ，B ，C ，D 在以BD 为直径的圆M 上以及该圆的方程.四、解答题17．已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n n a a a +=+. (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)若121112023na a a +++<，求满足条件的最大整数n . 【答案】(1)证明见解析 (2)2022【分析】（1）先取倒数，然后通过构造法可证；（2）由（1）求数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项，然后可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，最后分组求和可得.【详解】（1）由题设可得111111222n n n na a a a ++==+⨯， 所以1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 又1111,2a -= 所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12首项，12为公比的等比数列（2）由（1）可得111()2n n a -=，即1112n n a =+，所以212111111112222nn n n n a a a ⎛⎫+++=++++=+- ⎪⎝⎭显然右边112nn +-是递增数列， 易知，当2022n =时，202212022120232+-<，2023n =时，202312023120232+->不满足题意，所以满足条件的最大整数是2022.18．已知曲线3y ax b =+（a ，b 为常数）在2x =处的切线方程为440x y --=. （1）求a ，b 的值；（2）求曲线过点()2,4P 的切线方程.【答案】（1）13a =，43b =；（2）44y x =-或2y x =+.【分析】（1）求出导函数，由22324x y a ==⨯='，解出a ，再由()2,4在切线上可求b .（2）设切点()00,x y ，求出在切点处的导数值，根据切点()00,x y 既在切线上，也在曲线上，代入曲线方程与切线方程，联立求切点，代入切线方程即可求解.【详解】（1）23y ax '=，依题意可得22324x y a ==⨯='，∴13a =，当2x =，代入直线方程得4y =，将点()2,4代入曲线方程，求得43b =； （2）设切点()00,x y ，则020x x k y x =='=，切线方程为()2042y x x -=-，切点()00,x y 既在切线上，也在曲线上， 从而有()200042y x x -=-，①3001433y x =+，② 联立①②消去0y ，整理可得3200340x x -+=，()()()()()23222000000000240222210x x x x x x x x x --+=⇒--+-=-+=，解得0024x y =⎧⎨=⎩或0011x y =-⎧⎨=⎩，切点为()2,4或()1,1-，从而切线方程为44y x =-或2y x =+.19．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos cos b C c B c -=. (1)证明：2B C =.(2)若ABC 为锐角三角形，且1c =，求a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)()1,2【分析】(1)由已知可得出cos cos b C c B c -=，利用正弦定理化简得出()sin sin B C C -=，求出B C -的取值范围，讨论B C -与C 的关系，可证得结论成立；(2)由ABC 为锐角三角形求出C 的取值范围，利用正弦定理化简得出a 关于C 的函数关系式，结合余弦函数的基本性质可求得a 的取值范围.【详解】（1）因为cos cos b C c B c -=，由正弦定理可得： sin cos sin cos sin B C C B C -=，则()sin sin B C C -=.因为0πB <<，0πC <<，所以，ππB C -<-<， 因为()sin sin 0B C C -=>，则0πB C <-<. 所以，B C C -=或πB C C -+=（舍去），即2B C =.（2）由ABC 为锐角三角形，可得π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<，所以，ππ232C <<，则10cos 22C <<， 由正弦定理可得sin sin a c A C=， 则()sin sin sin cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin sin sin sin B C A B C B C C C C Ca C C C C+++====()222sin cos cos 2sin 2cos cos 22cos 211,2sin C C C C C C C C+==+=+∈.故a 的取值范围是()1,2.20．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，4AC BC ==，D 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且DE AB ⊥.将ADE 沿着DE 折起，形成四棱锥-P BCDE ，其中点A 对应的点为点P ，如图2.(1)在图2中，在线段PB 上是否存在一点F ，使得CF ∥平面PDE ？若存在，请求出PFPB的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；(2)在图2中，平面PBE 与平面PCD 所成的锐二面角的大小为3π，求四棱锥-P BCDE 的体积. 【答案】(1)当13PF PB =时，CF ∥平面PDE ，理由见解析 (2)289【分析】（1）利用线线平行即可证得平行.（2）利用向量法求得四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）当13PF PB =时，CF ∥平面PDE .理由如下：过点C 作CH ED ⊥，垂足为H ，在PE 上取一点M ，使得13PM PE =，连接HM ，FM ，因为13PM PE =，13PF PB =，所以FM ∥EB ，且FM =13EB因为D 是AC 的中点，且DE AB ⊥，所以CH ∥EB ，且CH =13EB 所以CH ∥FM 且CH =FM ，CFMH 是平行四边形，即CF ∥HM ，又因为CF ⊄平面PDE ，HM ⊂平面PDE ，所以CF ∥平面PDE ； （2）易知DE PE ⊥，DE BE ⊥，且2PE DE ==，作EN ⊥平面EBCD ，以向量,,DE EB EN 为x ，y ，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，设PEB θ∠=，则()2,0,0D ，()22,2,0C -，()22P θθ， 则()2,2,0DC =-，()2,22DP θθ=，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =， 则220,2220,m DC x y m DP x y z θθ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=⋅⋅=⎪⎩取sin x θ=，则sin y θ=，cos 1z θ=--， 所以()sin ,sin ,cos 1m θθθ=--，易知平面PBE 的法向量()1,0,0n =，设平面PBE 与平面PCD 所成锐二面角为α， 由题意可知，()2221cos 2sin sin cos 1m n m nαθθθ⋅===⋅++--，整理得23cos 2cos 10θθ+-=，解得1cos 3θ=或cos 1θ=-（舍去）.所以sin θ=所以四棱锥-P BCDE的高43h θ==， 又四边形BCDE的面积22114722S =⨯-⨯=，所以四棱锥-P BCDE 的体积14287339V =⨯⨯=. 21．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为y =，(1)求双曲线C 的方程；(2)设A ，B 是双曲线C 右支上不同的两点，线段AB 的垂直平分线l 交AB 于M ，点M 的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆P ，使得l 被圆P 截得的弦长为定值，若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2213y x -=； (2)存在，定圆P ：22(8)1x y -+=【分析】（1）设双曲线的右焦点()2,0F c ，利用焦点到渐近线的距离求出c ，再根据渐近线方程及222c a b =+，求出b ，a ，即可得解；（2）先利用“点差法”写出直线AB 的方程，再写出AB 的中垂线l 的方程，求出l 所过的定点即为圆P 的圆心，然后写出圆的方程即可.【详解】（1）设双曲线的右焦点()2,0F c ，则点()2,0F c0y +=即d ==2c =，又渐近线方程为y =，即b a =222c a b =+，解得b =1a =，所以双曲线方程为2213y x -=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ， 由AB 中点的横坐标为2可得120120222x x x y y y +⎧==⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，因为A ，B 是双曲线C 上不同的两点，所以221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①② ，①-②得()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=，当AB k 存在时，12121212003()3462ABy y x x k x x y y y y -+⨯====-+， 因为AB 的中垂线为直线l ，所以00(2)6y y y x -=--，即0:(8)6yl y x =--， 所以l 过定点(8,0)T ，当AB k 不存在时，A ，B 关于x 轴对称，AB 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过(8,0)T ， 所以存在定圆P ：22(8)1x y -+=，使得l 被圆P 截得的弦长为定值2.【点睛】方法点睛：点差法是解决弦的中点问题的常用方法，设而不求法是解决直线与椭圆相交时交点坐标相关问题的常用方法 22．已知函数()e -=x kf x x．(1)若()f x 在()0,∞+上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()()ln g x f x k x =-存在极小值，且极小值等于()2ln k -，求证：ln 2e k k +>．【答案】(1)1k ≥； (2)证明见解析.【分析】（1）由条件可得()()2e e 0x x x kf x x --'=≥在()0,∞+上恒成立，然后可得()e 1xk x ≥-，然后利用导数求出()()=e 1xx x ϕ-的最大值即可；（2）求出()g x '，分1k ≤、1k e <<、e =k 、e k >四种情况讨论()g x 的单调性，然后可得ln ln e e ett t t t t ==，令()()ln 1x h x x x =>、()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<，然后利用()h x 、()G x 的单调性可证明.【详解】（1）因为()e -=x kf x x在()0,∞+上单调递增，所以()()2e e 0x x x kf x x--'=≥在()0,∞+上恒成立，且()f x '不恒等于0，由()()2e e 0x x x kf x x --'=≥可得()e 1xk x ≥-，令()()=e 1x x x ϕ-，则()()=e 1e =e 0x x xx x x ϕ'---<，所以()()=e 1xx x ϕ-在()0,∞+上单调递减，所以()01k ϕ≥=；（2）因为()()ln g x f x k x =-，其定义域为()0,∞+，所以()()()()2e 1x k x k g xf x x x--''=-=， ①当1k ≤时，e 0x k -≥，所以当()0,1x ∈时()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的极小值为()1e 0g k =->，而()2ln 0k -≤，不合题意，②当1k e <<时，由()0g x '=可得ln x k =或1x =， 当()0,ln x k ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()ln ,1x k ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的极小值为()1e 0g k =->，而()20ln k -<，不合题意，③当e =k 时，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+上单调递增，不合题意， ④当e k >时，由()0g x '=可得ln x k =或1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()1,ln x k ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()ln ,x k ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()g x 的极小值为()()()2ln ln ln ln g k k k k =-=-，令()ln 1,t k =∈+∞，则2e ln t t t =，所以ln ln e e ett t t t t ==， 令()()ln 1x h x x x=>，则()()e t h t h =，()21ln xh x x -'=， 所以()h x 在()1,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以1e e t t <<<， 令()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<，则()()2e ln ln 2e 2e x xG x x x x x-'=-+--+- ()()2222e 2e ln 2e ln e e ln e 202e 2e x x x x x x x x x x x--⎡⎤=--++=---+++>-+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦--所以()G x 在()1,e 上单调递增，所以()()e 0G x G <=， 所以当()1,e x ∈时有()ln 2e ln 2e x x x x-<-，因为1e e tt <<<，所以()ln 2e ln e ln e 2e t t t t t t-=<-， 又因为()h x 在()e,+∞上单调递减，所以e 2e t t >-， 所以e 2e t t +>，即ln 2e k k +>.。