高考数学 小题精练系列(第02期)专题14 圆锥曲线 文
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专题14圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法,代数法:比如求圆的切线,常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题,也可以联立直线与圆的方程根据0 来求解;比如涉及到椭圆的切线问题,也常常联立直线与椭圆的方程根据0 来求解;对于抛物线的切线问题,可以联立,有时也可以通过求导来求解.而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式:1.过圆C:222()()x a y b R上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .2.过椭圆22221x y a b 上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p 和直线l :00()y y p x x .(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1.(2021·安徽·六安一中高二期末(文))已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 222210x y a b a b ,则椭圆在其上一点 00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b ,试运用该性质解决以下问题;椭圆221:12x C y ,点B 为1C 在第一象限中的任意一点,过B 作1C 的切线l ,l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点,则OCD 面积的最小值为()A .1BCD .2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y ,由题意得,过点B 的切线l 的方程为:1112x xy y ,令0y ,可得12(,0)C x ,令0x ,可得11(0,)D y ,所以OCD 面积111112112S x y x y,又点B 在椭圆上,所以221112x y ,所以121111121111122x y S x y x y x x y y 当且仅当11112x yy x,即111,2x y 时等号成立,所以OCD故选:C【反思】过椭圆 222210x y a b a b上一点 00,A x y 作切线,切线方程为:00221x x y y a b ,该结论可以在小题中直接使用,但是在解答题中,需先证后用,所以在解答题中不建议直接使用该公式.2.(2020·江西吉安·高二期末(文))已知过圆锥曲线221x y m n上一点 00,P x y 的切线方程为001x x y y m n .过椭圆221124x y 上的点 3,1A 作椭圆的切线l ,则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()A .30x yB .-20x yC .2330x yD .3100x y 【答案】B 【详解】过椭圆221124x y 上的点 3, 1A 的切线l 的方程为 31124y x ,即40x y ,切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1,过A 点且与直线l 垂直的直线方程为 13y x ,即20x y .故选:B【反思】根据题中信息,直接代入公式,但是在代入切线方程为001x x y ym n注意不要带错,通过对比本题信息,12m ,4n ,03x ,01y ,将这些数字代入公式,可求出切线l ,再利用直线垂直的性质求解.3.(2022·江苏南通·一模)过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线交坐标轴于点A 、B ,则PA PB_________.【答案】2 【详解】圆C 的圆心为 0,0C ,10110CP k,因为22112 ,则点P 在圆C 上,所以,PC AB ,所以,直线AB 的斜率为1AB k ,故直线AB 的方程为 11y x ,即20x y ,直线20x y 交x 轴于点 2,0A ,交y 轴于点 0,2B ,所以, 1,1PA , 1,1PB ,因此,112PA PB.故答案为:2 .另解:过圆C :222()()x a y b R 上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .可知01x ,01y ;0a b ,22R ,代入计算得到过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线为:(10)(0)(10)(0)2x y ,整理得:20x y ,直线20x y 交x 轴于点 2,0A ,交y 轴于点 0,2B ,所以, 1,1PA , 1,1PB ,因此,112PA PB.故答案为:2 .【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法,特别提醒同学们,二级结论的公式代入数字时,最忌讳代入错误,所以需要特别仔细。
高考数学《圆锥曲线》解答题专题复习题1.已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>,与双曲线22142x y -=有相同的渐近线,且经过点M.(1)求双曲线C 的标准方程.(2)已知直线0x y m -+=与曲线C 交于不同的两点A ,B ,且线段AB 的中点在圆2220x y +=上,求实数m 的值.2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点,1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点,112A F =.(1)求椭圆C 的方程;(2)设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点(P 、Q 在x 轴的两侧),记直线1A P ,2A P ,2A Q ,1A Q 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,4k .(i )求12k k 的值;(ii )若()142353k k k k +=+,求2F PQ △面积的取值范围.3.已知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为点,A B ,其中2AB =,且双曲线过点()2,3C .(1)求双曲线Γ的方程;(2)设过点()1,1P 的直线分别交Γ的左、右支于,D E 两点,过点E 作垂直于x 轴的直线l ,交线段BC 于点F ,点G 满足EF FG =.证明:直线DG 过定点,并求出该定点.4.已知双曲线C 的渐近线方程是y =,点()2,3M在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的离心率e 的值;(2)若动直线l :1y kx =+与双曲线C 交于A ,B 两点,问直线MA ,MB 的斜率之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.5.已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点为()10F ,(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,1F 是椭圆的另一个焦点,若1ABF 内切圆的半径r =l 的方程.6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =C经过点2⎛ ⎝⎭.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点()2,0P 且斜率不为零的直线与椭圆C 交于,B D 两点,B 关于x 轴的对称点为A ,求证:直线AD 与x 轴交于定点Q .7.已知椭圆221:4T x y +=,1F 、2F 为椭圆的左右焦点,C 、D 为椭圆的左、右顶点,直线1:2l y x m =+与椭圆T 交于A 、B 两点.(1)若12m =-,求AB ;(2)设直线AD 和直线BC 的斜率分别为1k 、2k ,且直线l 与线段12F F 交于点M ,求12k k 的取值范围.8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>12D ⎫⎪⎭,点,A B 分别是椭圆C 的左、右顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()4,0E 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点(P 在,E Q 之间),直线,AP BQ 交于点M ,记,ABM PQM 的面积分别为12,S S ,求12S S的取值范围.第8题图第9题图9.如图,已知椭圆C 的焦点为()11,0F -,()21,0F,椭圆C 的上、下顶点分别为,A B ,右顶点为D ,直线l 过点D 且垂直于x 轴,点Q 在椭圆C 上(且在第一象限),直线AQ 与l 交于点N ,直线BQ 与x 轴交于点M .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)判定AOM (O 为坐标原点)与ADN △的面积之和是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.10.已知双曲线过点(A ,它的渐近线方程是20x y ±=.(1)求双曲线的标准方程;(2)若直线l 交C 于,P Q 两点,直线,AP AQ 的倾斜角互补,求直线l 的斜率.11.已知点(2,0)A -,(2,0)B ,平面内一动点M 满足直线AM 与BM 的斜率乘积为14-.(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)直线l 交轨迹C 于,P Q 两点,若直线AP 的斜率是直线BQ 的斜率的4倍,求坐标原点O 到直线l 的距离的取值范围.12.若双曲线E :2221(0)x y a a-=>y =kx -1与双曲线E 的右支交于A ,B 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若AB =,点C 是双曲线上一点,且()OC m OA OB =+,求k ,m 的值.13.已知1F ,2F 分别是椭圆G22+22=1>>0的左、右焦点,且焦距为MN 平行于x 轴,且114F M F N +=.(1)求椭圆E 的方程;(2)设A ,B 为椭圆E 的左右顶点,P 为直线:4l x =上的一动点(点P 不在x 轴上),连AP 交椭圆于C 点,连PB 并延长交椭圆于D 点,试问是否存在λ,使得ACD BCD S S λ= 成立,若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.14.平面上的动点(,)P x y 到定点(0,1)F 的距离等于点P 到直线1y =-的距离,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)直线:l y x m =+与曲线C 相交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M .是否存在这样的直线l ,使得MF AB ⊥,若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.15.已知双曲线()22:1,,24x C y M m -=,斜率为k 的直线l 过点M .(1)若0m =,且直线l 与双曲线C 只有一个交点,求k 的值;(2)已知点(2,0)T ,直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A ,B ,直线,TA TB 的斜率分别为12,k k ,若12k k +为定值,求实数m 的值.16.已知椭圆(2222:10)x y C a b a b+=>>的离心率为12,左焦点F 与原点O 的距离为1,正方形PQMN 的边PQ ,MN 与x 轴平行,边PN ,QM 与y 轴平行,2112,,,7777P M ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,过F 的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中垂线为l .已知直线AB 的斜率为k ,且0k >.(1)若直线l 过点P ,求k 的值;(2)若直线l 与正方形PQMN 的交点在边PN ,QM 上,l 在正方形PQMN 内的线段长度为s ,求sAB的取值范围.17.已知F 是椭圆C :2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点,点13,2M 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 与椭圆C 分别相交于A ,B 两点,且12OA OB k k +=-(O 为坐标原点),求直线l 的斜率的取值范围.参考答案1.(1)2212x y -=(2)2m =±2.(1)2211612x y +=(2)(i )34-;(ii )950,2⎛ ⎝⎭3.(1)2213y x -=(2)证明略,(1,0)B 4.(1)2(2)是,35.(1)2212x y +=(2)1x y =±+6.(1)2212x y +=(2)证明略7.(1(2)7⎡-+⎣8.(1)2214x y +=(2)()0,19.(1)2212x y +=(2210.(1)2214x y -=(2)11.(1)2214x y +=(0)y ≠(2)6(0,)512.(1)((2)51,24k m ==±13.(1)2214x y +=(2)存在,314.(1)24x y =;(2)不存在15.(1)12k =±或k =(2)2m =.16.(1)1k =(2)12,78⎛ ⎝⎦17.(1)2214x y +=(2)1[,0)(1,)4-+∞。
专题14圆锥曲线中的定值定点问题1.(2022·全国·高考真题(文))已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过 30,2,,12A B两点.(1)求E 的方程;(2)设过点 1,2P 的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT TH.证明:直线HN 过定点.2.(2021·全国·高考真题)已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b,右焦点为F,且离心率为3.(1)求椭圆C 的方程;(2)设M ,N 是椭圆C 上的两点,直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切.证明:M ,N ,F三点共线的充要条件是||MN 3.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知椭圆M :22221x y a b (a >b >0)的离心率为22,AB 为过椭圆右焦点的一条弦,且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程;(2)若直线l 与椭圆M 交于C ,D 两点,点 2,0P ,记直线PC 的斜率为1k ,直线PD 的斜率为2k ,当12111k k 时,是否存在直线l 恒过一定点?若存在,请求出这个定点;若不存在,请说明理由.4.(2022·上海松江·二模)2222:1(0)x y a b a b 的右顶点坐标为(2,0)A ,左、右焦点分别为1F 、2F ,且122F F ,直线l 交椭圆 于不同的两点M 和N .(1)求椭圆 的方程;(2)若直线l 的斜率为1,且以MN 为直径的圆经过点A ,求直线l 的方程;(3)若直线l 与椭圆 相切,求证:点1F 、2F 到直线l 的距离之积为定值.5.(2022·上海浦东新·二模)已知12F F 、分别为椭圆E :22143x y的左、右焦点,过1F 的直线l 交椭圆E 于,A B 两点.(1)当直线l 垂直于x 轴时,求弦长AB ;(2)当2OA OB时,求直线l 的方程;(3)记椭圆的右顶点为T ,直线AT 、BT 分别交直线6x 于C 、D 两点,求证:以CD 为直径的圆恒过定点,并求出定点坐标.6.(2022·上海长宁·二模)已知,A B 分别为椭圆222Γ:1(1)xy a a的上、下顶点,F 是椭圆 的右焦点,M 是椭圆 上异于,A B 的点.原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!2(1)若π3AFB,求椭圆 的标准方程(2)设直线:2l y 与y 轴交于点P ,与直线MA 交于点Q ,与直线MB 交于点R ,求证:PQ PR 的值仅与a 有关(3)如图,在四边形MADB 中,MA AD ,MB BD ,若四边形MADB 面积S 的最大值为52,求a 的值.7.(2022·福建省福州格致中学模拟预测)圆O :224x y 与x 轴的两个交点分别为 12,0A , 22,0A ,点M 为圆O 上一动点,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点R 满足12NR NM(1)求点R 的轨迹方程;(2)设点R 的轨迹为曲线C ,直线1x my 交C 于P ,Q 两点,直线1A P 与2A Q 交于点S ,试问:是否存在一个定点T ,当m 变化时,2A TS 为等腰三角形8.(2022·全国·模拟预测)已知椭圆 2222:10x y C a b a b的离心率为12,椭圆C 的左、右顶点分别为A ,B ,上顶点为D ,1AD BD.(1)求椭圆C 的方程;(2)斜率为12的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,是否存在定点P (直线l 不经过点P ),使得直线PM 与直线PN 的倾斜角互补,若存在这样的点P ,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.9.(2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测(文))已知椭圆 2222:10x y C a b a b的两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为4,且椭圆C 的离心率为32.(1)求椭圆C 的方程;(2)过左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的中垂线交x 轴于点D (不与1F 重合),是否存在实数 ,使1AB DF恒成立?若存在,求出 的值;若不存在,请说出理由.10.(2022·河南安阳·模拟预测(文))已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y 上一个动点N 到椭圆焦点(0,)Fc 的距离的最小值是23,且长轴的两个端点12,A A 与短轴的一个端点B 构成的12A A B △的面积为2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)如图,过点4(0,)M 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点.证明:直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线上.11.(2022·安徽省舒城中学三模(理))已知椭圆22:184x y ,过原点O 的直线交该椭圆 于A ,B 两点(点A 在x 轴上方),点 4,0E ,直线AE 与椭圆的另一交点为C ,直线BE 与椭圆的另一交点为D .(1)若AB 是 短轴,求点C 坐标;(2)是否存在定点T ,使得直线CD 恒过点T ?若存在,求出T 的坐标;若不存在,请说明理由.12.(2022·广东茂名·二模)已知圆O :x 2+y 2=4与x 轴交于点(2,0)A ,过圆上一动点M 作x 轴的垂线,垂足为H ,N 是MH 的中点,记N 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)过6(,0)5作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ,Q 两点,设直线AP ,AS 的斜率分别为k 1,k 2.证明:k 1=4k 2.13.(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(文))生活中,椭圆有很多光学性质,如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射,反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上,中心在坐标原点,从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ,这束光线的总长度为4率e 2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ,分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y 上的M 、N 两点,若AB原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!4连线过椭圆的上焦点2F ,试问,直线BM 与直线AN 能交于一定点吗?若能,求出此定点:若不能,请说明理由.14.(2022·全国·模拟预测)设椭圆 222:10416x y C b b的右焦点为F ,左顶点为A .M 是C 上异于A 的动点,过F 且与直线AM 平行的直线与C 交于P ,Q 两点(Q 在x 轴下方),且当M 为椭圆的下顶点时,2AM FQ.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设点S ,T 满足PS SQ ,FS ST,证明:平面上存在两个定点,使得T 到这两定点距离之和为定值.15.(2022·上海交大附中模拟预测)已知椭圆221214x y F F :,,是左、右焦点.设M 是直线 2l x t t :上的一个动点,连结1MF ,交椭圆 于 0N N y .直线l 与x 轴的交点为P ,且M 不与P重合.(1)若M的坐标为528,,求四边形2PMNF 的面积;(2)若PN 与椭圆 相切于N 且1214NF NF,求2tan PNF 的值;(3)作N 关于原点的对称点N ,是否存在直线2F N ,使得1F N 上的任一点到2F N,若存在,求出直线2F N 的方程和N 的坐标,若不存在,请说明理由.16.(2022·全国·模拟预测(理))已知椭圆C : 222210x y a b a b的右顶点为A ,上顶点为B ,直线AB的斜率为原点O 到直线AB 的距离为2217.(1)求C 的方程;(2)直线l 交C 于M ,N 两点,90MBN ,证明:l 恒过定点.17.(2022·全国·模拟预测(理))已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别为1F ,2F ,1A ,2A 分别为左、右顶点,1B ,2B 分别为上、下顶点.若四边形1122B F B F212F F ,212B B ,212A A 成等差数列.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆外一点P (P 不在坐标轴上)连接1PA ,2PA ,分别与椭圆C 交于M ,N 两点,直线MN 交x 轴于点Q .试问:P ,Q 两点横坐标之积是否为定值?若为定值,求出定值;若不是,说明理由.18.(2022·山西·太原五中二模(文))已知椭圆2221x y ,过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于A B 、和C D 、,记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .(1)设 1122,,,A x y C x y ,用A C 、的坐标表示点C 到直线1l 的距离,并证明12212S x y x y ;(2)请从①②两个问题中任选一个作答①设1l 与2l 的斜率之积12,求面积S 的值.②设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值,使得无论1l 与2l 如何变动,面积S 保持不变.19.(2022·福建·厦门一中模拟预测)已知A ,B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右顶点和上顶点,||AB ,直线AB 的斜率为12.(1)求椭圆的方程;(2)直线//l AB ,与x ,y 轴分别交于点M ,N ,与椭圆相交于点C ,D .证明:(i )OCM 的面积等于ODN △的面积;(ii )22||||CM MD 为定值.20.(2022·北京市第十二中学三模)已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b 过点(2,0)A .(1)求椭圆M 的方程;(2)已知直线(3)y k x 在x 轴上方交椭圆M 于B ,C (异于点A )两个不同的点,直线AB ,AC 分别与y 轴交于点P 、Q ,O 为坐标原点,求 k OP OQ 的值.原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!6。
专题14 解析几何解题技巧—巧施转化,柳暗花明一.【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义;2.掌握焦点三角形的应用和几何意义; 3.掌握圆锥曲线方程的求法; 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系; 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。
二.【知识点总结】1.椭圆定义:平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点12,F F 叫做焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 2.椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>,焦点12(,0),(,0)F c F c -,其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a +=>>,焦点12(0,),(0,)F c F c -,其中c =3.椭圆的几何性质以22221,(0)x y a b a b+=>>为例(1)范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤.(2)对称性:对称轴:x 轴,y 轴;对称中心:(0,0)O(3)顶点:长轴端点:12(,0),(,0)A a A a -,短轴端点:12(0,),(0,)B b B b -;长轴长12||2A A a =,短轴长12||2B B b =,焦距12||2F F c =.(4)离心率,01,ce e e a=<<越大,椭圆越扁,e 越小,椭圆越圆. (5) ,,a b c 的关系:222c a b =-. 4.双曲线的定义:平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点12,F F 叫做焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 5.双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>,焦点12(,0),(,0)F c F c -,其中c(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>,焦点12(0,),(0,)F c F c -,其中c6.双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围:,x a x a ≥≤-.(2)对称性:对称轴:x 轴,y 轴;对称中心:(0,0)O(3)顶点:实轴端点:12(,0),(,0)A a A a -,虚轴端点:12(0,),(0,)B b B b -;实轴长12||2A A a =,虚轴长12||2B B b =,焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=> (5) 渐近线方程b y x a=±. 7.抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫抛物线的准线. 8.抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->.对应的焦点分别为:(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =. 三.【题型归纳】(一)利用向量转化几何条件 (二)面积条件的转化 (三)弦长的转化 (四)角平分线的转化 四.【题型方法】(一)利用向量转化几何条件例1.如图,已知满足条件3z i i -=(其中i 为虚数单位)的复数z 在复平面xOy 上的对应点(),Z x y 的轨迹为圆C (圆心为C ),定直线m 的方程为360x y ++=,过()1,0A -斜率为k 的直线l 与直线m 相交于N 点,与圆C 相交于P Q 、两点,M 是弦PQ 中点. (1)若直线l 经过圆心C ,求证:l 与m 垂直;(2)当PQ =l 的方程;(3)设t AM AN =⋅u u u u r u u u r,试问t 是否为定值?若为定值,请求出t 的值,若t 不为定值,请说明理由.【答案】(1)证明见详解;(2)1x =-或4340x y -+=;(3)t 为定值且5t =- 【解析】(1)证明如下: 因为33z i i -=,所以()22:34C x y +-=,所以圆心()0,3C ,半径2R =;又因为()1,0A -,所以()30301l k -==--且13m k =-,所以1l m k k ⋅=-,所以l 与m 垂直;(2)当直线l 的斜率不存在时,:1l x =-,此时2221=2PQ d R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以()244112PQ =⨯-=,所以3PQ =当l 的斜率存在且为k 时,():1l y kx =+,2321k d R k -==+,所以22223PQ R d =-=43k =,此时:4340l x y -+=; 综上:直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=;(3)当直线l 的斜率不存在时,可知:()()51,3,1,,1,03M N A ⎛⎫---- ⎪⎝⎭,所以()50,3,0,3AM AN ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ,所以5t AM AN =⋅=-u u u u r u u u r,即5t =-;当直线l 的斜率存在且为k 时,设():1l y k x =+,()()1122,,,P x y Q x y ,联立()()22134y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩可得:()()2222126650k x kk x k k ++-+-+=,所以2122321M x x k k x k +-+==+,()22311M M k ky k x k +=+=+,即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭,所以222133,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭u u u u r ;又由()1360y k x x y ⎧=+⎨++=⎩可得:365,1313k k N k k ---⎛⎫⎪++⎝⎭,所以55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭u u u r ,故()()()()()()()()()222225351131555113113113k k k k k k t AM AN k k k k k k -+-++--=⋅=+==-++++++u u u u r u u u r, 综上可知:t 为定值,且5t =-.练习1.已知1F 、2F 分别是椭圆2214xy +=的两焦点,点P 是该椭圆上一动点,则12PF PF ∈⋅u u u v u u u v _________.【答案】[]2,1-【解析】由椭圆2214x y +=知,焦点1(F,2F ,设(,),22P x y x -≤≤,则()22122221(,),)3384134PF PF x y x x x x y y x ⋅=-⋅-=+-==+---u u u r u u u u r ,22x -≤≤Q ,204x ∴≤≤,故12[2,1]PF PF ⋅∈-u u u r u u u u r,故答案为:[]2,1-练习2.已知椭圆:()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为()1,0,F M 点的坐标为()0,b ,O 为坐标原点,OMF ∆是等腰直角三角形.(1)求椭圆Γ的方程;(2)经过点()0,2C 作直线AB 交椭圆Γ于,A B 两点,求AOB ∆面积的最大值;(3)是否存在直线l 交椭圆于,P Q 两点,使点F 为PQM ∆的垂心(垂心:三角形三边高线的交点)?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2212x y +=;(2(3)43y x =-.【解析】(1)由OMF ∆是等腰直角三角形,可得1,b a ===故椭圆方程为2212x y +=;(2)设过点()0,2C 的直线AB 的方程为2y kx =+,,A B 的横坐标分别为,A B x x , 将线AB 的方程为2y kx =+代入椭圆方程, 消元可得222(1+2)860,16240k x kx k ++=∆=->,∴232k >, 2286,1212A B A B k x x x x k k∴+=-=++,A B x x ∴-== 令2k t =,则3,2A B x x t >-=令32u t =-,则0,A B u x x >-==(当且仅当2u =时取等号)又AOB ∆面积122A B A B x x x x =⨯⨯-=-,∴△AOB 面积的最大值为2; (3)假设存在直线l 交椭圆于,P Q 两点,且使点F 为PQM ∆的垂心, 设()()1122,,,P x y Q x y ,因为(0,1),(1,0)M F ,所以1PQ k =.于是设直线l 的方程为y x m =+,代入椭圆方程, 消元可得2234220x mx m ++-=.由>0∆,得23m <,且21212422,33m m x x x x -+=-=, 由题意应有0MP FQ ⋅=u u u r u u u r,所以()()1221110x x y y -+-=,所以()212122(1)0x x x x m m m ++-+-=.整理得222242(1)033m mm m m -⨯--+-=.解得43m =-或1m =. 经检验,当1m =时,PQM ∆不存在,故舍去. ∴当43m =-时,所求直线l 存在,且直线l 的方程43y x =-练习3.已知点12F F 、为椭圆的两个焦点,其中左焦点()13,0F -的坐标为,椭圆的长轴长是短轴长的2倍,P 为椭圆上一点。
高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点,且均不在平面上,动点在平面上,且,则点的轨迹为()A.圆或椭圆B.抛物线或双曲线C.椭圆或双曲线D.以上均有可能【答案】D【解析】以为高线,为顶点作顶角为的圆锥面,则点就在这个圆锥面上,用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹,它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线,因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点,是双曲线的左焦点,且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线,则该双曲线的离心率是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得:是的中点,利用中点坐标公式,得,在双曲线上,所以代入双曲线方程得:,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质;2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合,则该椭圆的离心率是.【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为:,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点;2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由条件得:,即,而,渐近线为,在上,所以,得,所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法;2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.(Ⅰ)求动点轨迹的方程;(Ⅱ)设,过点作直线,交椭圆异于的两点,直线的斜率分别为,证明:为定值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系,比较简单;第二问是直线与椭圆相交于两点,先设出两点坐标,本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积,整理斜率的表达式,但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在,此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析:(Ⅰ)由椭圆定义,可知点的轨迹是以为焦点,以为长轴长的椭圆.由,得.故曲线的方程为. 5分(Ⅱ)当直线的斜率存在时,设其方程为,由,得. 7分设,,,.从而.11分当直线的斜率不存在时,得,得.综上,恒有. 12分【考点】1.三角形面积公式;2.余弦定理;3.韦达定理;4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由条件得:,即,而,渐近线为,在上,所以,得,所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法;2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点,右准线为,离心率为.若直线与椭圆交于不同的两点、,以线段为直径作圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)若圆与轴相切,求圆被直线截得的线段长.【答案】(1);(2).【解析】(1)先根据题中的条件确定、的值,然后利用求出的值,从而确定椭圆的方程;(2)先确定点的坐标,求出圆的方程,然后利用点(圆心)到直线的距离求出弦心距,最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析:(1)设椭圆的方程为,由题意知,,解得,则,,故椭圆的标准方程为 5分(2)由题意可知,点为线段的中点,且位于轴正半轴,又圆与轴相切,故点的坐标为,不妨设点位于第一象限,因为,所以, 7分代入椭圆的方程,可得,因为,解得, 10分所以圆的圆心为,半径为,其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点,抛物线上点满足(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)点的坐标为(,),过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点,、两点的横坐标均不为,连结、并延长交抛物线于、两点,设直线的斜率为,问是否为定值,若是求出该定值,若不是说明理由.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)利用抛物线的定义得到,再得到方程;(Ⅱ)利用点的坐标表示直线的斜率,设直线的方程,通过联立方程,利用韦达定理计算的值.试题解析:(Ⅰ)由题根据抛物线定义,所以,所以为所求. 2分(Ⅱ)设则,同理 4分设AC所在直线方程为,联立得所以, 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得, 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程,直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点,极轴为轴非负半轴,建立平面直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度. (Ⅰ)求该椭圆的直角标方程;若椭圆上任一点坐标为,求的取值范围;(Ⅱ)若椭圆的两条弦交于点,且直线与的倾斜角互补,求证:.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程,再利用换元法求范围,利用参数方程代入,计算得到结果.试题解析:(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为, 2分设,所以的取值范围是 4分(Ⅱ)设直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数),(5分)代入得:即 7分同理 9分所以(10分)【考点】极坐标、参数方程,换元法应用.10.已知直线,,过的直线与分别交于,若是线段的中点,则等于()A.12B.C.D.【答案】B【解析】设、,所以、.所以.故选B.【考点】两点之间的距离点评:主要是考查了两点之间的距离的运用,属于基础题。
高考数学第02期小题精练系列专题15圆锥曲线理含解析1. 设双曲线的右焦点为,点到渐近线的距离等于,则该双曲线()222210,0x y a b a b-=>>F F 2a 的离心率等于( )A .B .C .D .【答案】C 【解析】考点:双曲线的标准方程及其几何性质.2. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,作垂直抛物线的准线于为坐标原点,则下列结论正确的是__________(填写序号).()220y px p =>F ,A B ,AC BD l ,,C D O ①;AC CD BD BA +=-②存在,使得成立;R λ∈AD AO λ= ③;0FC FD =④准线上任意点,都使得.l M 0AM BM > 【答案】①②③【解析】试题分析:对于①,由,可得是正确;对于②,设,可得,又,设直线的方程为,代入抛物线方程,可得,可得,即有,则,即有存在,使得成立,所以是正确的;对于③,,所以是正确的;对于④,由抛物线的定义可得,可得以为直径的圆的半径与梯形的中位线长相等,即有该圆与相切,设切点为,即有,则,所以是不正确的.A C C DB D B +=-1122(,),(,)A x y B x y 12(,),(,)22p p C y D y --1121112,2OA AD y y yp k k p x y x -===+AB 2p x m y=+2220y pmy p --=212y y p =-221121121()2y y y y y y px p -=-=+O A A Dk k =Rλ∈A D A O λ=21212(,)(,)0F C F D p y p yy y p =-⋅-=+=A B A C B D =+AB A C D B CD MA MB M⊥0A M B M = 考点:抛物线的综合应用问题.3. 已知椭圆:,点,,分别为椭圆的左顶点、上顶点、左焦点,若,则椭圆的离心率是( )C 22221(0)x y a b a b+=>>M N F C 90MFN NMF ∠=∠+︒CA .B .C . D12【答案】A 【解析】考点:椭圆的几何性质.。
2 2 1设F1F2是椭圆E:\ ab,一,…,… 3a ,一1(a b 0)的左、右焦点,P为直线x ——上一点,2F2PF1是底角为30o的等腰三角形,则E的离心率为(A)2 (B)3 (C) - (D)—等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上, C与抛物线y216x的准线交于A, B两点,AB 4 J3 ;则C的实轴长为((A) 2 (B) 2/2 (C) (D)23.已知双曲线a :与a 1(a0,b 0)的离心率为2.若抛物线 2C2:x 2py(p0)的焦点到双曲线C i的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为小 2 8.3 (A) x --y3 _ 2 16--.-3 _ 2 2(B) x ----- y (C) x 8y (D) x316y4椭圆的中心在原点, 焦距为4, 一条准线为x 4,则该椭圆的方程为2(A)—162L 112(B)2x122(C)—8 (D)2x125.12012高考全国文 210】已知F1、F2为双曲线C: x 2的左、右焦点,点P在C上,| PF i | 2| PF? |,则COS F1PF2(A) 1 46.12012高考浙江文曲线的两顶点。
若M3(B)一53(C)—44(D)一58],O如图,中心均为原点。
的双曲线与椭圆有公共焦点,M , N是双N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3B.2C. . 3D. 247.12012高考四川文9】已知抛物线关于X轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M (2, y°)。
若点M到该抛物线焦点的距离为3 ,则|OM |(2 28.12012考考四川又11】万程ay b x c 中的a,b, c {在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有(圆”的()2210.12012高考江西文8]椭圆三、1(a b 0)的左、右顶点分别是A, B,左、右a b焦点分别是F I , F 2。
若|AF I |,|F I F 2|,|F I B|成等比数列,则此椭圆的离心率为A. 1B T45 C. 1 D.、、5-22y-^ =1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的bA 、242B 、273C 、4A、28 条 B 、32 条 C 、36 条 D 、48 条9.12012高考上海文 16】对于常数m 、n“mn 0” 是 “方程2mxny 21的曲线是椭渐近线上,则C 的方程为A. 2 2 土、1 20 5 22B 土-X=15 202 2 — 80 202 2D ±-L=120 8012. 【2102 (Wj 考福建文 5】已知双曲线2-L=1 5的右焦点为( 3,0),则该双曲线的离心率等3.14 14 13.12012高考四川文 15】2x椭圆~ay 25 1(a 为定值,且aJ5)的的左焦点为F ,直线x m 与椭圆相交于点 A、B , FAB 的周长的最大值是12则该椭圆的离心率是14.12012高考辽宁文 15】已知双曲线x 2y 2=1,点F I ,F 2为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若P F 11P F 2,则I P F 1 I + I P F 2 I 的值为2,0,123} 且a,b, c 互不相同,A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件11.12012高考湖南文 6】已知双曲线C :bx 2 17.12012高考重庆文14】设P 为直线y —X 与双曲线 —3aa交点,F 1是左焦点,PF 1垂直于x 轴,则双曲线的离心率 e18.12012高考安徽文14】过抛物线y 24x 的焦点F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,若| AF | 3,贝U | BF |=2 2C 2 :— — 1有相同的渐近线,且 C 1的右焦点为F(J5,0),则a ;b4 1620.12012高考天津19】(本小题满分14分)已知椭圆+(a>b>0),点P (争事)在椭圆上。
高三数学文科圆锥曲线大题训练1.已知椭圆22:416C x y +=. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系. 1.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率2c e a ==............4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ..............5分设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y ,则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+......................7分 因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即218k =,所以4k =±,....................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分2.已知椭圆的中心在坐标原点O,长轴长为离心率e =F 的直线l 交椭圆于P ,Q 两点. (1)求椭圆的方程;(2)当直线l 的斜率为1时,求POQ ∆的面积;(3)若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线l 的方程.2.解:(1)由已知,椭圆方程可设为()222210x y a b a b+=>>. --------1分∵长轴长为离心率2e =,∴1,b c a === 所求椭圆方程为2212x y +=. ----------- 4分 (2)因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ,且斜率为1,所以直线l 的方程为1y x =-.设()()1122,,,P x y Q x y ,由 2222,1,x y y x ⎧+=⎨=-⎩ 得 23210y y +-=,解得 1211,3y y =-=.∴ 1212112223POQ S OF y y y y ∆=⋅-=-=. --------------9分(3)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 的方程为1x =,此时POQ ∠小于90,,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形.当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为()1y k x =-.由 ()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=.∴22121222422,1212k k x x x x k k-+==++.11(1)y k x =-,22(1)y k x =-212212k y y k -∴=+因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQ ⇔⋅=uu u r uuu r .由221212222201212k k OP OQ x x y y k k--⋅=+=+=++uu u r uuu r 得22k =,k ∴=.∴所求直线的方程为1)y x =-. ----------------14分3.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A -,离心率为3(1)求椭圆C 的标准方程;(2)直线l 过点A ,过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ,Q 两点,如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切,求l 的方程. 3. 解:(1)依题意,椭圆的焦点在x 轴上,因为2a =,3c a =,所以 c =22243b ac =-=. 所以 椭圆的方程为223144x y +=. …………4分 (2)依题意,直线l 的斜率显然存在且不为0,设l 的斜率为k ,则可设直线l 的方程为(2)y k x =+, 则原点O 到直线l 的距离为d =.设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则 2234y kx x y =⎧⎨+=⎩ 消y 得22(31)4k x +=. 可得P ,(Q .因为 以PQ 为直径的圆与直线l 相切,所以1||2PQ d =,即||OP d =. 所以 222+=, 解得 1k =±.所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=. ………14分4.的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线2x =相交于,P Q 两点(点P在x 轴上方),且2PQ =.点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点,且APQ BPQ ∠=∠.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求四边形APBQ 面积的取值范围.4.解:(1)由已知得e =,则12b a =,设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>由题意可知点(2,1)P 在椭圆上, 所以224114b b+=.解得22b =. 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=. ………4分 (2)由题意可知,直线PA ,直线PB 的斜率都存在且不等于0. 因为APQ BPQ ∠=∠,所以PA PB k k =-.设直线PA 的斜率为k ,则直线:1(2)PA y k x -=-(0k ≠).由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意,方程(1)有两个不相等的实数根,即根的判别式0∆>成立. 即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>,解得12k ≠-. 因为2是方程(1)的一个解,所以2216164214A k k x k --⋅=+.所以2288214A k k x k--=+. 当方程(1)根的判别式0∆=时,12k =-,此时直线PA 与椭圆相切. 由题意,可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--.同理,易得22228()8()288214()14B k k k k x k k ----+-==+-+.由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点,APQ BPQ ∠=∠,且能存在四边形APBQ ,则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ,则 112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++21614k k =+ 由于12k >,故216161144k S k k k==++. 当12k >时,144k k +>,即110144k k<<+,即04S <<. (此处另解:设t k =,讨论函数1()4f t t t=+在1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t -'=-=,则当12t >时,()0f t '>,()f t 单调递增. 则当12t >时,()(4,)f t ∈+∞,即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分5.已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ,焦点在x 轴上,若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ,当A M A N =时,求m 的取值范围.5.解: (1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,………….2分则右焦点F的坐标为),3=,解得23a =,故所求椭圆的标准方程为2213x y +=. ………………………….5分6.已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点,直线0+=x 与椭圆1C 交于A ,B 两点,且点A 的坐标为(1),点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点,点Q 满足0AQ AP ⋅=,0BQ BP ⋅=,且A ,B ,Q 三点不共线. (1)求椭圆1C 的方程; (2)求点Q 的轨迹方程;(3)求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.6.(1)解法1: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>,∵ 椭圆1C 过点A (1),∴ 1224a AF AF =+=,得2a =.……2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>,∵ 椭圆1C 过点A (1), ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 (2)解法1:设点),(y x Q ,点),(11y x P ,由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-,∴(1)AQ x y =-,11(1)AP x y =-,(1)BQ x y =+,11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=, ……………………5分即 11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=,得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时,有2225x y +=,当2110y -=,则点(1)P -或P ,此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ,其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时,即点P (1),由②得3y =-,解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时,可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2:设点),(y x Q ,点),(11y x P ,由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-, ∵0AQ AP ⋅=,0BQ BP ⋅=, ∴AQ AP ⊥,BQ BP ⊥.1=-(1x ≠,① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分 ∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=,得221122x y =-,代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--,即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或1)P , 此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ,其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时,即点P (1),由②得3y =-,解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时,可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法1:点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+(当且仅当2x =∴S =≤==. ……12分当且仅当2x =时, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ, 此时,点Q的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法2:由于AB ==故当点Q 到直线AB 的距离最大时,△ABQ 的面积最大. (10)分 设与直线AB 平行的直线为0x m ++=, 由220,25,x m x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去x ,得225250y c ++-=, 由()223220250m m ∆=--=,解得2m =±. (11)分 若m =2y =-,x =;若m =2y =,x =. …12分故当点Q 的坐标为22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时,△ABQ 的面积最大,其值为122S AB ==. ………………………14分 7.如图,B A ,分别是椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点,F 为其右焦点,2是AF 与FB 的等差中项,3是AF 与FB 的等比中项.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点,直线l 过点A 且垂直于x 轴,若过F 作直线FQ 垂直于AP ,并交直线l 于点Q .证明:B P Q ,,三点共线.7.【解析】: (1)解:F (1,0),|AF|=a+c ,|BF|=a ﹣c .由2是|AF|与|FB|的等差中项,是|AF|与|FB|的等比中项. ∴,解得a=2,c=1,∴b 2=a 2﹣c 2=3. ∴椭圆C 的方程为=1.(2)证明:直线l 的方程为:x=﹣2,直线AP 的方程为:y=k (x+2)(k≠0),联立,化为(3+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0,∴,∴x P =,∴y P =k (x P +2)=,∵QF ⊥AP ,∴k PF =﹣. 直线QF 的方程为:y=﹣,把x=﹣2代入上述方程可得y Q =, ∴Q.∴k PQ ==,k BQ =.∴k PQ =k BQ ,∴B ,P ,Q 三点共线.8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为,且经过点()0,1.圆22221:C x y a b +=+.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ,且l 与圆1C 相交于,A B 两点,问AM BM +=0是否成立?请说明理由.8.解析:(1)解:∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1,∴ 21b =.∵222c a b c a ==+, ∴24a =. ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………4分 (2)解法1:由(1)知,圆1C 的方程为225x y +=,其圆心为原点O . ……………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ,∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ (*) 有且只有一组解.由(*)得()222148440k x kmx m +++-=. …………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+.①………7分()228414214M km kmx k k =-=-++,22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. ……………10分 由于0k ≠,结合①式知0m ≠,∴OMk k ⨯=2211414414m k k km k +⨯=-≠--+. …………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ………13分 ∴AM BM +=0不成立. ………14分解法2:由(1)知,圆1C 的方程为225x y +=,其圆心为原点O . ………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ,∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ (*) 有且只有一组解.由(*)得()222148440k x kmx m +++-=. ………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+.① ………7分()228414214M km kmx k k =-=-++, ………………8分 由于0k ≠,结合①式知0m ≠,设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.…………9分 ∴ 12221N x x kmx k+==-+. …………10分 若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. …………13分 ∴ AM BM +=0不成立. ………14分9.已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =. (1)求抛物线C 的方程;(2)设直线l 为抛物线C 的切线,且l ∥MN ,P 为l 上一点,求PM PN ⋅的最小值. 9.【解析】(1)由题可知(,0)2p F ,则该直线方程为:2py x =-,………1分 代入22(0)y px p =>得:22304p x px -+=,设1122(,),(,)M x y N x y ,则有123x x p +=…3分∵8MN =,∴128x x p ++=,即38p p +=,解得p =2∴抛物线的方程为:24y x =.………5分 (2)设l 方程为y x b =+,代入24y x =,得22(24)0x b x b +-+=,因为l 为抛物线C 的切线,∴0∆=,解得1b =,∴:l 1y x =+ ………7分 由(1)可知:126x x +=,121x x =设(,1)P m m +,则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=--+-+-+2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++126x x +=,121x x =,21212()1616y y x x ==,124y y =-, 2212124()y y x x -=-,∴12121244x x y y y y -+==-221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=-+--+++ ………10分222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-当且仅当2m =时,即点P 的坐标为(2,3)时,PM PN ⋅的最小值为14-.………12分 10.已知动圆C 过定点)(2,0M ,且在x 轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 方程;(2)点A 为直线l :20x y --=上任意一点,过A 作曲线C 的切线,切点分别为P 、 Q ,APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标. 10.解析:(1)设动圆圆心坐标为(,)C x y ,根据题意得=, (2分)化简得24x y =. (2分) (2)解法一:设直线PQ 的方程为y kx b =+,由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --=设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî,且21616k b D =+ (2分)以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=,其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上,12x x ¹Q ,解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî,即(2,)A k b - 则:220k b +-=,即22b k =- (2分) 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>12||||PQ x x \=-=(2,)A k b -到直线PQ的距离为d =(2分)3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时,APQ S D 最小,其最小值为4,此时点A 的坐标为(2,0). (4分) 解法二:设00(,)A x y 在直线20x y --=上,点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y = 上,则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=,其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =- (2分) 设两条切线的均过点00(,)A x y ,则010101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî,\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-,即直线PQ 的方程为:0012y x x y =- (2分)代入抛物线方程24x y =消去y 可得:200240x x x y -+=00(,)A x y 到直线PQ的距离为d = (2分)33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+所以当02x =时,APQ S D 最小,其最小值为4,此时点A 的坐标为(2,0). (4分)11.已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上,直线1:l 1y kx =+(R k ∈,且0k ≠)与抛物线E 相交于C B ,两点,直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ,T . (1)求a 的值;(2)若S T =1l 的方程;(3)试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.11.(1)解:∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上, ∴4a =. ……1分 第(2)、(3)问提供以下两种解法:解法1:(2)由(1)得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,依题意,2211224,4x y x y ==, 由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=,解得1,2422k x k ±==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--, 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-,得1822x x =-+,∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x xx x x x x x kk---===+++. ……………6分∵ST =,∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-,得22201616k k =+,解得2k =, 或2k =-, …………… 7分∴直线1l 的方程为21y x =+,或21y x =-+. ……………9分 (3)设线段ST 的中点坐标为()0,1x -,则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x kk++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==, ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =,得()214y +=,解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2:(2)由(1)得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-,点B 的坐标为()11,x y ,由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ,得2114840x k x k -+-=, 即()()12420x x k --+=,解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-,22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ………3分 同理,设直线AC 的方程为()212y k x -=-,则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上,∴()()()()()()22222211212121214414414242kk k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ………5分又()211144142k k k k -+=-1+,得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--, 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, …………7分∵ST =,∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+,得()225124k k k +=+,解得2k =±. ……8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+,或21y x =-+. …… 9分(3)设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点, 则0SP TP ⋅=, ………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, …11分整理得,()224410x x y k+-++=. …12分 令0x =,得()214y +=,解得1y =或3y =-. ……13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. …14分12.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上,短轴长为2,(1)求椭圆C 的方程;(2)B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 于点P ,设OP tOE =,求实数t 的值.12.【解】(I)设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=2222222b a c e c b a ,解得:1,2===c b a因此:椭圆C 的方程为1222=+y x (II)(1)当B A ,两点关于x 轴对称时,设直线AB 的方程为m x =,由题意可得:)2,0()0,2( -∈m将x m =代入椭圆方程1222=+y x ,得22||2m y -= 所以:4622||2=-=∆m m S AOB ,解得:232=m 或212=m ① 又)0,()0,2(21)(21mt m t OB OA t OE t OP ==+==因为P 为椭圆C 上一点,所以12)(2=mt ② 由①②得:42=t 或342=t ,又知0>t ,于是2=t 或332=t (2)当B A ,两点关于x 轴不对称时,设直线AB 的方程为h kx y +=,由⎪⎩⎪⎨⎧+==+h kx y y x 1222得:0124)21(222=-+++h khx x k 设),(),,(2211y x B y x A ,由判别式0>∆可得:2221h k >+此时:2212122212212122)(,2122,214k hh x x k y y k h x x k kh x x +=++=++-=+-=+, 所以222221221221211224)(1||k h k kx x x x kAB +-++=-++=因为点O 到直线AB 的距离21||kh d +=所以:222221||212112221||21kh k h k k d AB S AOB+⨯+-+⨯+⨯⨯==∆ 46||21212222=+-+=h k h k ③令221k n +=,代入③整理得:016163422=+-h n h n解得:24h n =或234h n =,即:22421h k =+或223421h k =+④又)21,212(),(21)(21222121k htk kht y y x x t t t ++-=++=+==因为P 为椭圆C 上一点,所以1])21()212(21[22222=+++-kh k kh t ,即121222=+t k h ⑤ 将④代入⑤得:42=t 或342=t ,又知0>t ,于是2=t 或332=t ,经检验,符合题意综上所述:2=t 或332=t13.已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上,直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。
高中数学圆锥曲线经典题型椭圆 一、选择题:1.已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为A.2B.3C. 2D. 32.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左、右焦点分别为F 1,F 2,渐近线分别为12,l l ,点P 在第一象限内且在1l 上,若2l ⊥PF 1,2l //PF 2,则双曲线的离心率是ﻩ( ) ﻩA.5 ﻩB.2ﻩC .3ﻩD.2 【答案】B【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -,右焦点2(,0)F c ,渐近线1:b l y x a =,2:bl y x a=-,因为点P 在第一象限内且在1l 上,所以设000(,),0P x y x >,因为2l ⊥PF 1,2l //PF 2,所以12PF PF ⊥,即1212OP F F c ==,即22200x y c +=,又00b y x a =,代入得22200()b x x c a+=,解得00,x a y b ==,即(,)P a b 。
所以1PF b k a c=+,2l 的斜率为b a -,因为2l ⊥PF1,所以()1b b a c a ⨯-=-+,即2222()b a a c a ac c a =+=+=-,所以2220c ac a --=,所以220e e --=,解得2e =,所以双曲线的离心率2e =,所以选B.3.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 ﻩA.2ﻩB.3ﻩC.2ﻩD .234.抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 A .78 ﻩB.1516 ﻩC.34ﻩ D.05.抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为 A . 3 B. 23 C . 2 D .33 【答案】D【解析】抛物线212y x =-的准线为3x =,双曲线22193x y -=的两渐近线为3y x =和3y x =-,令3x =,分别解得123,3y y ==-,所以三角形的低为3(3)23--=,高为3,所以三角形的面积为1233332⨯⨯=,选D. 6.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距离之和等于5,则这样的直线ﻩA .有且仅有一条ﻩB.有且仅有两条ﻩC.有无穷多条ﻩD.不存在7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切,则该双曲线离心率等于ﻩﻩﻩA .355ﻩB.62ﻩC.32ﻩD.558.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -(,若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF c F PF a ∠=∠,则该椭圆的离心率的取值范围为( )A.(0,)12- B .(122,) C .(0,22) D.(12-,1)9.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=,则椭圆的离心率为 ( )A.22 B.33 C.12D .13二、填空题:10.若圆C 以抛物线24y x =的焦点为圆心,截此抛物线的准线所得弦长为6,则该圆的标准方程是 ;11.设F 是抛物线C 1:24y x =的焦点,点A 是抛物线与双曲线C 2:22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的一个公共点,且AF x ⊥轴,则双曲线的离心率为 【答案】5【解析】抛物线的焦点为(1,0)F .双曲线的渐近线为b y x a =±,不妨取by x a=,因为AF x ⊥,所以1A x =,所以2A y =±,不妨取(1,2)A ,又因为点(1,2)A 也在b y x a =上,所以2ba=,即2b a =,所以22224b a c a ==-,即225c a =,所以25e =,即5e =,所以双曲线的离心率为5。
高中数学圆锥曲线试题(含答案解析)!高中生一定要过一遍
圆锥曲线,在高考中一直作为压轴大题的形式出现,其实圆锥曲线很简单,是在圆锥中发现的一种曲线,垂直于母线切一刀的切面即为圆锥曲线,其中锐角圆锥切面为椭圆,直角圆锥切面为抛物线,钝角圆锥切面为双曲线。
多多总结题型,圆锥曲线题型也就十多种。
一般解题时都会用到了弦长、弦的中点和向量垂直等知识,而问题的解决仍然是转化为弦的端点坐标来表示。
如果不知道斜率存在问题,上面已经告诉怎么设了,还有要知道如何由纵坐标的数量关系计算出横坐标的数量关系。
今天给同学们分享一份圆锥曲线的试题,同学们一定要仔细做一遍,在核对答案解析哦,另外呢,这份资料是word版的,所以大家可以下载!最重要的是:可以放在手机上,保存然后阅读,平时都可以拿手机随便翻翻来记忆。
当然,学姐建议能下载下来打印是最好的!。
2018届高考数学(理)小题精练专题15 圆锥曲线1.若双曲线1C 以椭圆222:11625x y C +=的焦点为顶点,以椭圆2C 长轴的端点为焦点,则双曲线1C 的方程为( )A . 221916x y -=B . 221916y x -=C . 2211625x y -=D . 2211625y x -=【答案】B2.已知F 为双曲线()22:40C x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A . 2B . 4C . 2mD . 4m 【答案】A【解析】双曲线22:144x y C m -=,双曲线焦点到一条渐近线的距离为虚轴长的一半.故选A . 3.P 是双曲线上的点,是其焦点,且,若12F PF ∆的面积是9,,则双曲线的离心率为( )A .74 B . C . D . 54【答案】D【解析】设12,PF m PF n ==,由题意得,120PF PF ⋅=,且12F PF ∆的面积是9,192mn ∴=,得1218,mn Rt PF F =∆中,根据勾股定理得, 2224m n c +=, ()22222436m n m n mn c ∴-=+-=-,结合双曲线定义,得()224m n a -=,224364c a ∴-=,化简整理得, 229c a -=,即29b =,可得3b =,结合7a b +=,得4a =, 5,c ∴==∴该双曲线的离心率为54c e a ==,故选D . 4.直线:l y kx =与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点,则斜率k 的取值范围是( )A . ()0,1B . (C . ()1,1-D . []1,1- 【答案】C5.若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )A . 6B . 3C . 2D . 8 【答案】B【解析】设P (x ,y ),F (-1,0)则=(x ,y )•(x+1,y )=x 2+x+y 2, 又点P 在椭圆上,所以x 2+x+y 2=x 2+x+(3﹣x 2)=x 2+x+3=(x+2)2+2,又﹣2≤x≤2,所以当x=2时,(x+2)2+2取得最大值为6,即的最大值为6,故选:A .点睛:本题利用代数方法处理数量积问题,借助点在椭圆上把两元问题转化为一元问题,配方后,利用二次函数的图象与性质即可得到的最大值.6.设,A B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则m 的取值范围是( )A . (][)0,19,⋃+∞B . ([)9,⋃+∞C . (][)0,14,⋃+∞D . ([)4,⋃+∞【答案】A【解析】当椭圆的焦点在x 轴上,即03m <<时,当M 位于短轴的端点时, AMB ∠取最大值,要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=, 120AMB ∠≥︒, 60AMO ∠≥︒,tan tan60AMO ∠=≥︒=,解得: 01m <≤;7.设椭圆C 的两个焦点是1F 、2F ,过1F 的直线与椭圆C 交于P 、Q ,若212PF F F =,且1156PF F Q =,则椭圆的离心率为( )A .B . 713C .D . 911【答案】D【解析】因为2122c PF F F == 则122PF a c =-,又因为1156PF F Q =则()153F Q a c =- 21533F Q a c =+ ()()2221222441cos 42222a c c c a c ePF F c a c c e∠-+---===- ()()22221222251523493355cos 203a c c a c e e QF F e e ac c ∠⎛⎫-+-+-+⎪⎝⎭==-- 1212cos cos 0PF F QF F ∠∠+= 即22231552e e e e e e -+-=-,解得911e = 故选D点睛:运用椭圆的定义结合题目条件可以求得各线段的表达式,在12ΔPF F 和12ΔQF F 中利用余弦定理,建立a c 、的数量关系,求解关于e 的方程即可,计算量较大。
专题15 圆锥曲线1. 设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,点F 到渐近线的距离等于2a ,则该双曲线的离心率等于( )A.3 【答案】C 【解析】考点:双曲线的标准方程及其几何性质.2. 过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点,作,AC BD 垂直抛物线的准线l 于,,C D O 为坐标原点,则下列结论正确的是__________(填写序号).①AC CD BD BA +=-;②存在R λ∈,使得AD AO λ=成立; ③0FC FD =;④准线l 上任意点M ,都使得0AM BM >. 【答案】①②③ 【解析】试题分析:对于①,由AC CD BD BA +=-,可得是正确;对于②,设1122(,),(,)A x y B x y ,可得12(,),(,)22p p C y D y --,又1121112,2OA AD y y y p k k p x y x -===+,设直线AB 的方程为2p x my =+,代入抛物线方程,可得2220y pmy p --=,可得212y y p =-,即有221121121()2y y y y y y px p -=-=+,则OA AD k k =,即有存在R λ∈,使得AD AO λ=成立,所以是正确的;对于③,21212(,)(,)0FC FD p y p y y y p =-⋅-=+=,所以是正确的;对于④,由抛物线的定义可得AB AC BD =+,可得以AB 为直径的圆的半径与梯形ACDB 的中位线长相等,即有该圆与CD 相切,设切点为M ,即有AM BM ⊥,则0AM BM =,所以是不正确的.考点:抛物线的综合应用问题.3. 已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>,点M ,N ,F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点,若90MFN NMF ∠=∠+︒,则椭圆C 的离心率是( )A B C .12D 【答案】A 【解析】考点:椭圆的几何性质.4. P 为双曲线19422=-y x 右支上一点,21,F F 分别为双曲线的左、右焦点,且021=⋅PF PF ,直线2PF 交y 轴于点A ,则P AF 1∆的内切圆半径为( )A .2B .3 C. 23 D .213 【答案】A 【解析】考点:双曲线的几何性质.5. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为1F ,2F .这两条曲线在第一象限的交点为P ,12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若1||10PF =,记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ,则12e e 的取值范围是( )A.1(,)9+∞ B.1(,)5+∞ C.1(,)3+∞ D.(0,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析:设椭圆和双曲线的半焦距为12,,c PF m PF n ==,()m n >,由于12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形,若1||10PF =,即有10,2m n c ==,由椭圆的定义可得12m n a +=,由双曲线定义可得22m n a -=,即由125,5,(5)a c a c c =+=-<,再由三角形的两边之和大于第三边,可得2210c c +>,可得52c >,既有552c <<,由离心率公式可得2122122125251c c c e e a a c c=⋅==--,由于22514c <<,则由2112531c >-,则12e e 的取值范围是1(,)3+∞,故选C. 考点:圆锥曲线的几何性质.6. 设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点()0,2,则C 的方程为( )A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x =D .22y x =或216y x = 【答案】C 【解析】考点:直线与抛物线的位置关系.7. 已知圆03422=+-+x y x 与双曲线12222=-by a x 的渐近线相切,则双曲线的离心率为( )A .3B .32 C. 22 D .332 【答案】D 【解析】试题分析:圆03422=+-+x y x 化为标准方程()2221x y -+=,问题转化为圆心()2,0到直线by x a=的距离等于1,根据点到直线距离公式有21b⋅=,解得21()3b a =,所以双曲线的离心率为e ==D. 考点:1、直线与圆;2、双曲线的几何性质.8. 过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 与其交于,A B 两点,若4AF =,则BF =( )A .2B .43C .23D .1 【答案】B 【解析】 试题分析:由于112AF BF p +=,所以11241,423BF BF +===. 考点:抛物线.9. 已知P 是双曲线1322=-y x 上任意一点,过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分 别为B A ,,则⋅的值是( )A .83-B .163C .83- D .不能确定 【答案】A 【解析】考点:1、平面向量的数量积公式;2、双曲线的方程及几何性质.10. 已知抛物线y x 42=的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,过P 作l PA ⊥于点A ,当30=∠AFO (O 为坐标原点)时,=||PF .【答案】34 【解析】。
专题14 圆锥曲线
1.椭圆22236x y +=的焦距是( )
A . 2
B . 2
C . . 2 【答案】A 【解析】椭圆的标准方程为22
132
x y +=,222321c a b =-=-=,则焦距2c=2,故选A . 2.圆22
430x y x +-+=的圆心到双曲线2
213x y -=的渐近线的距离为( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
【答案】A
3.若P 点在2y x =上,点Q 在()2
231x y +-=上,则PQ 的最小值是( )
A .1
B .
12- C . 2 D .1- 【答案】B
【解析】设()200,P x x ,圆心()0,3C ,则PC =≥,所以PQ 的最
小值是112
PC -=-,故选B . 4.若AB 是过椭圆22
11625
x y +=中心的弦, 1F 为椭圆的焦点,则1F AB ∆面积的最大值是( )
A . 6
B . 12
C . 24
D . 48
【答案】B
【解析】因为1F AB ∆可以看做1OF A ∆与1OF B ∆的面积之和,所以112F AB A B s c x x ∆=
⋅-,故当直线AB 垂直y 轴时, max ||28A B x x b -==,所以1138122
F AB s ∆≥⨯⨯=,故选B . 5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与圆()2226x y -+=相交于A ,B 两点,且|AB|=4,则此双曲线的离心率为( )
A . 2
B .
C .
D .
【答案】
D 6.点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的点, 12,F F 是其焦点,双曲线的离心率是54
,且12•0PF PF =,若12F
PF ∆的面积是18,则a b +的值等于( ) A . 7 B . 9 C .
D .
【答案】C
【解析】不妨设点P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支上的点, 12,PF m PF n ==,则2221182
2{ 454
mn m n a m n c
c a =-=+==,
解得a c b ==∴==则a b +
的值等于故选C .
7.设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的实轴轴长为2
,焦距为
为
A . 12
y x =± B . y x = C . y = D . 2y x =± 【答案】C
【解析】由题知,22,2a c ==则2222,b b c a a
=-==
y =,故选C .
8.已知两点均在焦点为的抛物线上,若,线段的中点到直线
的距离为1,则的值为( )
A . 1
B . 1或3
C . 2
D . 2或6
【答案】B
【解析】 因为线段的中点到直线的距离为1,所以 ,选B . 点睛:1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理. 2.若
为抛物线上一点,由定义易得;若过焦点的弦 AB 的端点坐
标为,则弦长为可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.
9.已知分别是双曲线的左、右焦点,过点作垂直于轴的直线交双曲线于两点,若为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】A 【解析】由题意得
,选 A .
点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于
的方程或不等式,再根据的关系消掉得到的关系式,而建立关于的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
10.已知双曲线221:1(0)3y x C m m m -=>+与双曲线22
2:1416
x y C -=有相同的渐近线,则两条双曲线的四个焦点为顶点构成的四边形面积为( )
A . 10
B . 20
C . . 40
【答案】B
11.已知12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,点2F 关于渐近线的对称点P 恰好落在以1F 为圆心、1OF 为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】C
点睛:这是圆锥曲线中的常见题型,求离心率的值,求离心率的范围问题;无论是求值或者求范围,都是找a,b,c的方程或不等式;一般的方法有:通过定义列方程,由焦半径的范围列不等式,根据图形特点找等量关系,例如中位线,等腰三角形,直角三角形的勾股定理的单.
12.椭圆
22
1
54
x y
+=的左焦点为,直线与椭圆相交于点M N
、,当的周长
最大时,FMN
∆的面积是()
A. B. C. D.【答案】B
【解析】设右焦点为'F ,连接',','',MF NF MF NF MN +≥∴当直线x m =过右焦点
时, FMN ∆的周长最大,由椭圆的定义可得: FMN ∆的周长的最大值4a =,
1c ==,把1x =代入椭圆标准方程得: 211
54y +=,解得y =±∴此时FMN ∆
的面积122
2S =⨯⨯=,故选B . 【方法点晴】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质、三角形面积公式及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题就是利用椭圆的几何性质得到当直线x m =过右焦点时, FMN ∆的周长最大,进而求解的.。