2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(文)解析版

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列命题中，真命题是( )A ．x 0∈R ，0e 0x≤ B ．x ∈R ，2x＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=- D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 5．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．2111x >+(x ∈R ) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A ．14 B ．15 C ．16 D ．177．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )AB．．3 D ．59．若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2 10．函数f (x )在［a ，b ］上有定义，若对任意x 1，x 2∈［a ，b ］，有()()12121()22x x f f x f x +≤［＋］，则称f (x )在［a ，b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；②f (x 2)在［1］上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈［1,3］；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈［1,3］，有12341()44x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］．其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11． (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________． 13．已知△ABC的等比数列，则其最大角的余弦值为________．14．数列{a n }的通项公式πcos12n n a n =+，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________． 15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°． (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 18．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1．(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．19．如图，椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12e =．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21． (1)选修4－2：矩阵与变换设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵．(2)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，π32⎛⎫⎪⎪⎝⎭，圆C的参数方程为22c o s,2s i nxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．(3)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．①求m的值；②若a，b，c∈R＋，且11123ma b c++=，求证：a＋2b＋3c≥9．22．(文)已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1． A 由z i＝1－i，得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----．2． B ∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．3． D ∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，即a＞1，b＞1⇒ab＞1．4． D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，∴这个几何体不可以是圆柱．5． C ∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．6． C∵由图象知阴影部分的面积是3122121211)d()32326x x x x=⋅-=-=⎰，∴所求概率为11616=．7． C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数， ∴D (x )不是周期函数是错误的．8． A 由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，b =2y x =±20y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d == 9． B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m ．10． D ①如图1，图1在区间［1,3］上f (x )具有性质P ，但是是间断的，故①错．②可设f (x )＝|x －2|(如图2)，当x ∈［1,3］时易知其具有性质P ，但是f (x 2)＝|x2－2|＝222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩P (如图3)．故②错．图2图3③任取x 0∈［1,3］，则4－x 0∈［1,3］， 1＝f (2)＝004()2x x f +-≤12［f (x 0)＋f (4－x 0)］． 又∵f (x 0)＝1，f (4－x 0)≤1， ∴12［f (x 0)＋f (4－x 0)］≤1． ∴f (x 0)＝f (4－x 0)＝1．故③正确．④3412123422()()42x x x x x x x x f f ++++++= ≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］，故④正确．11．答案：2 解析：∵T r ＋1＝4C ra r x4－r，∴当4－r ＝3，即r ＝1时，T 2＝14C ·a ·x 3＝4ax 3＝8x 3．故a＝2．12．答案：－3解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，直接输出s ＝－3．13．答案：4-解析：设△ABC 的最小边长为a (m ＞0)，2a ，故最大角的余弦值是2222cos 4θ===-． 14．答案：3 018 解析：∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==，∴可用分组求和法：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝50311+1=503++个…；a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋…＋(－2 010＋1)＝－1－5－…－2 009＝503(12009)2--＝－503×1 005；a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝50311+1=503++个…；a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2 012＋1)＝503(52013)2⨯+＝503×1009；故S 2 012＝503－503×1 005＋503＋503×1 009 ＝503×(1－1 005＋1＋1 009)＝3 018．15．答案：，0)解析：由已知，得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩－，，＝－＋，＞，作出其图象如图，结合图象可知m 的取值范围为0＜m ＜14，当x ＞0时，有－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0， 于是x 1x 2＝m ．当x ＜0时，有2x 2－x －m ＝0，于是314x =．故123(14m x x x =．设h (m )＝m (1，∵h ′(m )＝(1＋［m()］＝10<，∴函数h (m )单调递减． 故x 1x 2x 3的取值范围为，0)． 16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ， 则231()5010P A +==． (2)依题意得，X 1X 2的分布列为(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×50＋3×10＝50＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34． 证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34． 方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34． 证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2ααα－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．18．解：(1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1，0)，D 1(0,1,1)，E (2a，1,0)，B 1(a,0,1)，故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝(2a -，1，－1)，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝(2a，1,0)．∵1AD ·1B E ＝2a-×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1．(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)， 使得DP ∥平面B 1AE ．此时DP ＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得00.2ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，2a-，－a )． 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有2a－az 0＝0，解得012z =．又DP 平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时12AP =．(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D ． ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ．又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD ＝(0,1,1)．设1AD 与n 所成的角为θ，则11·cos ||||a aAD AD θ--==n n ．∵二面角A －B1E －A 1的大小为30°， ∴|cos θ|＝cos303a =， 解得a ＝2，即AB 的长为2．19．解：方法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2． 又因为12e =，即12c a =，所以c ＝1． 所以b故椭圆E 的方程是22143x y +=． (2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP ＝(14k x m --，3m)，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )， 由0MP MQ ⋅=，得211141612430kx k k x x m m m-+-+++=，整理，得(4x 1－4)k m＋x 12－4x 1＋3＝0．(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1．故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．方法二：(1)同方法一．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m =此时P (0)，Q (4)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取12k =-，m ＝2，此时P (1，32)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(41k m --，3m)，MQ ＝(3,4k ＋m )， 从而1212330k kMP MQ m m⋅=--++=， 故恒有MP MQ ⊥，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．20．解：(1)由于f ′(x )＝e x＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0，所以a ＝0，即f (x )＝e x－e x ．此时f ′(x )＝e x－e ，由f ′(x )＝0得x ＝1．当x ∈(－∞，1)时，有f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，有f ′(x )＞0． 所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝e x－e x0＋2a(x－x0)．(1)若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0．故g(x)只有唯一零点x＝x0．由P的任意性，a≥0不合题意．(2)若a＜0，令h(x)＝e x－e x0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝e x＋2a．令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x′＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)＞0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．①若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0，知g(x)在R上单调递增．所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*．②若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)＞0．又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝e x＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＜e x1＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，其中b＝－［e＋f′(x0)］，c＝e x1－f(x0)＋x0f′(x0)．由于a＜0，则必存在x2＜x1，使得ax22＋bx2＋c＜0．所以g(x2)＜0．故g(x)在(x2，x1)内存在零点，即g(x)在R上至少有两个零点．③若x0＜x*，仿②并利用3e6xx>，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．综上所述，当a＜0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21． (1)选修4－2：矩阵与变换解：①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由1x ay b'⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x axy bx y⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得,.x axy bx y'=⎧⎨'=+⎩又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1．依题意得222,22,a bb⎧+=⎨=⎩解得1,1,ab=⎧⎨=⎩或1,1,ab=-⎧⎨=⎩因为a＞0，所以1,1. ab=⎧⎨=⎩②由①知，1 01 1⎛⎫= ⎪⎝⎭A，21 0 1 0 1 01 1 1 12 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A，所以|A2|＝1，(A2)－1＝1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．(2)选修4－4：坐标系与参数方程解：①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，3)，故直线OP 的平面直角坐标方程为3y x =．②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)，所以直线l 30y +-=．又圆C 的圆心坐标为(2，)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离32d r ==<，故直线l 与圆C 相交． (3)选修4－5：不等式选讲解：①因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m ＝1． ②由①知111123a b c++=，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(11123a b c++)≥29＝．。

2012年福建省普通高等学校招生全国统一考试语文试题解析一、古代诗文阅读(27分)(一)默写常见的名句名篇(6分)1、补写出下列名句名篇中的空缺部分。

(6分)(1) ，三岁食贫。

(《诗经·氓》)(2)群贤毕至，。

（王羲之《兰亭集序》)(3)风急天高猿啸哀，。

(杜甫《登高》)(4) ，孰能无惑？(韩愈《师说》)(5) ，郁郁青青。

(范仲淹《岳阳楼记》)(6)浩荡离愁白日斜，。

(龚自珍《己亥杂诗》)【命题立意】本题考查考生默写常见名句名篇的能力（能力层级为A）【解析】六句话都是教材中的句子，并且都是要求背诵的篇章，需要结合上下文准确填写。

从时间来看，涉及了先秦、东晋、唐、宋、清五个时期，诗、文各占一半。

今年考试说明中新增加的两篇古诗文《岳阳楼记》和《己亥杂诗》在考试中均有体现。

近几年来，每年都有适当增加考试篇目，考生必须特别注意。

值得一提的是，今年考查的句子并非全部都是名句名篇，这就告诉未来的考生不要偷工减料，仅背名句名篇，一定要扎扎实实背诵全文，这才是考试的初衷。

本题考查识记能力，需要一字不错，考生失误在于记忆不准或书写出现错漏。

【答案】(1)自我徂尔（2)少长咸集(3)渚清沙白鸟飞回(4)人非生而知之者(5)岸芷汀兰(6)吟鞭东指即天涯(二)文言文阅读(15分)阅读下面的文言文，完成2一5题。

游龙鸣山记【明】陶安游之胜者，适其时可乐也，得其地尤可乐也，而所游又皆佳士，则所以宣其和、舒其郁、畅其心而发其文者，盖乐焉而不失乎正也。

至元丙子二月甲午．厚斋严君治酒肴，招予游龙鸣山，即无想山也。

时春霁既久，风日暄丽，耆英少俊，序齿而行，鼓吹前导。

从蓝溪东南行五六里，两山峙如双蠲，相距百步，绵亘东趋。

中夹石田，田右小路，随两山势深宵曲折。

行三四里，隘不宜田，仅可为路。

又数里，山益奇峻，轻岚暖霭，微袭襟帽。

山外崇峰复嶂，杳无穷极。

少焉，峭壁对立，状若华表，松杉万章①，夹路北转。

涧多石底，云深树茂，繁卉被岩，鸟声清碎，似非人间世。

2323+==a a 【考点】同底数幂的乘法，相反数【解析】如图，12∥l l ，180∴∠，1235∠=∠，110∴∠， 90∠=P ，235∠=，903555∴∠-=，31105555∴∠=-=.【解析】|2+-m n 1121++-x 1)(21)+-x 【解析】共有69【解析】B ，C 分别是劣弧46，138∴∠，138269∴∠÷=.的三等分点，46，可求138，再利【解析】∠=∠A A ≌△ACD .故填【提示】要使△ABE 【解析】⊥EB AC ， 1.5=BE ，∴=AC 【提示】先根据题意得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD 的值，两2180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；轴对称图形的直线两旁的部分能够互相重合，246=x x ，【解析】20.6=甲S 【提示】由方差反映了一组数据的波动情况，方差越小，则数据的波动越小，成绩越稳定可以作出判断【考点】方差【解析】CD 是斜边）∥CN AB ，，∠⎧⎪=⎨⎪∠D A C M A M A M D ，又∥AD CN ，是平行四边形，∴）∠=AMD 【提示】（1）根据两直线平行，全等，根据全等三角形对应边相等可得）∠C 与∠又1∠=∠C AC ，AB 为O 的直径，90，又⊥CD AB ，AD ，2sin3=M，即O的直径为为O的直径，可得90，又由弦，即可求得O的直径补充统计图如图所示：，=AM EC 45，135∴∠AME ，90∠=AEF ，90∴∠FEC ，90∠+EAM ，∴∠和△EFC =∠=M E F E C △≌△AEM 45，∴∠，又∥AD BE ，又90∠=MAD ，∴∠DAE △MAE 和∠⎧⎪BME135，再利45，从而得到∠CEF ，再利用“角边角”证明211222375++⎫AB OC QP OF QP BF。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)语文试题新高考新题目2012-06-11 22582012年普通高等学校招生全国统一考试福建卷语文试题一、古代诗文阅读（27 分）（一）默写常见的名句名篇（6 分）.1 ．补写出下列名句名篇中的空缺部分。

（6 分）( l ) ，三岁食贫。

（《诗经· 氓》)( 2 ）群贤毕至，。

（王羲之《兰亭集序》)( 3 ）风急天高猿啸哀，。

（杜甫《登高》)( 4 ) ，孰能无惑？（韩愈《师说》)( 5 ) ，郁郁青青。

（范仲淹《岳阳楼记》)( 6 ）浩荡离愁白日斜，。

（龚自珍《己亥杂诗》)（二）文言文阅读（15分）阅读下面的文言文，完成2 一5 题。

游龙鸣山记【明】陶安游之胜者，适其时可乐也，得其地尤可乐也，而所游又皆佳士，则所以宣其和、舒其郁、畅其心而发其文者，盖乐焉而不失乎正也。

.至元丙子二月甲午，厚斋严君治酒肴，招予游龙鸣山，即无想山也。

时春雾既久，风日暄丽，耆英少俊，序齿而行，鼓吹前导。

从蓝溪东南行五六里，两山峙如双阙，相距百步，绵亘东趋。

中夹石田，田右小路，随两山势深窅曲折。

行三四里，隘不宜田，仅可为路。

又数里，山益奇峻，轻岚暖霭，微袭襟帽。

山外崇峰复峰，杳无穷极。

少焉，峭壁对立，状若华表，松衫万章①，夹路北。

洞多石底，云深树茂，繁卉被岩，鸟声清碎，似非人间世。

僧舍雄丽，榜曰“禅寂”。

门外独松古秀，大连数抱。

修篁干霄，森列门内。

寺长老出迎客，延坐后堂，匾曰“白云深处”。

其西有“听松杆”，又西即韩熙载读书堂遗址，所植桧扰存。

其北有“甘露室”。

又北，上为“招云亭”，气象空旷，攒峰玉立，视向所历群山，低俯其顶矣。

遂蹑蹬至潮音岩，怪石异态百出。

同游者疲于跻攀，于是止焉。

予以未登绝顶为怏，与三二友决意直上。

地势斗峻，褰裳②援萝，履苍莽中。

上有天池沆瀁③，其水下飞潮音岩，引以给庖。

其西绝顶，巨石雄坦，可坐数十人。

渺焉四顾，心目豁然。

其东绝顶．视西又高，倦不欲登，还饮“白云深处”。

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(2＋i)2等于()A．3＋4i B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i2．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．12x=-B．x＝－1C．x＝5 D．x＝04．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱5．已知双曲线22215x ya-=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A．14B4C．32D．436．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于()A．－3 B．－10 C．0 D．－27．直线x＋－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()A．B．C D．18．函数f(x)＝sin(x－π4)的图象的一条对称轴是… ()A．π4x=B．π2x=C．π4x=-D．π2x=-9．设1,0,()0,0,1,0,xf x xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩1,()xg xx⎧=⎨⎩为有理数，，为有理数，则f(g(π))的值为()A．1 B．0 C．－1 D．π10．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件30,230,,x yx yx m+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m的最大值为()A．12B．1 C．32D．211．数列{a n}的通项公式πcos2nna n=，其前n项和为S n，则S2 012等于()A．1 006 B．2 012 C．503 D．012．(文)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0．现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0．其中正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC=，则AC＝__________．14．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是__________．15．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是__________．16．某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{a n}的前10项和S10＝55．(1)求a n和b n；(2)现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．18．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试(1)求回归直线方程 y bx a=+，其中b＝－20，a y b x=-；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 19．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．20．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．21．如图，等边三角形OAB的边长为E：x2＝2py(p＞0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．22．已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1．A(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i．2． D ∵M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，∴M ∩N ＝{2}． 3． D ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(2,1)＝2(x －1)＋2×1＝2x ＝0，即x ＝0．4． D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆， ∴这个几何体不可以是圆柱．5． C 由双曲线的右焦点为(3,0)知c ＝3，即c 2＝9，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴9＝a 2＋5，即a 2＝4，a ＝2．故所求离心率32c e a ==．6． A (1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，输出s ＝－3．7． B 圆心O 到直线AB的距离1d ==，所以||AB ===． 8． C 函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z ．当k ＝－1时x ＝－π＋3π4＝π4-．故选C ．9．B ∵g (π)＝0，∴f (g (π))＝f (0)＝0．10． B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x ＝3－x ，即x ＝1＝m ．11． A ∵函数πcos 2n y =的周期2π4π2T ==，∴可分四组求和：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝0，a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝－2－6－…－2 010＝503(22010)2⨯--＝－503×1 006，a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝0，a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝4＋8＋…＋2 012＝503(42012)2⨯+＝503×1 008．故S 2 012＝0－503×1 006＋0＋503×1 008＝503×(－1 006＋1 008)＝1 006．12． C 设g (x )＝x 3－6x 2＋9x ＝0，则x 1＝0，x 2＝x 3＝3，其图象如下图：要使f (x )=x 3－6x 2+9x －abc 有3个零点，需将g (x )的图象向下平移，如图所示：又f ′(x )=3x 2－12x +9=0时，x 1=1，x 2=3，即得f (1)是极大值，f (3)是极小值． 故由图象可知f (0)·f (1)＜0，f (0)·f (3)＞0．13．解析：如图： 由正弦定理得sin sin AC BC BA=，即sin 45sin 60AC =︒︒22=，故AC =14．答案：12 解析：∵282987=，即每7人抽取2人，又知女运动员人数为98－56＝42(人)，∴应抽取女运动员人数为42×27＝12(人)．15．答案：(0,8) 解析：∵x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，∴∆＝(－a )2－4·2a ＜0，即a 2－8a ＜0,0＜a ＜8．故a 的取值范围是(0,8)．16．答案：16解析：由题意知，各城市相互到达，且费用最少为1＋2＋2＋3＋3＋5＝16＝FG ＋GD ＋AE ＋EF ＋GC ＋BC ．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ．依题意得S 10＝10＋1092⨯d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1．(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率29P =．18．解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80，所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为 y ＝－20x ＋250． (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25，当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 19．解：(1)由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1知，AD ⊥平面CDD 1C 1，故点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1． 又∵111121122M C C S C C C D ∆=⋅=⨯⨯=，∴111133A M C C M C C V A D S -∆⋅＝＝．(2)将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)，当A 1，M ，C ′共线时，A 1M +MC 取得最小值． 由AD =CD =1，AA 1=2，得M 为DD 中点．连结C 1M ，在△C 1MC 中，1M C =，MC =，CC 1=2，∴CC 12=MC 12+MC 2，得∠CMC 1=90°，即CM ⊥MC 1． 又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1， ∴B 1C 1⊥CM ．又B 1C 1∩C 1M =C 1，∴CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M ． 同理可证，B 1M ⊥AM ，又AM ∩MC =M ，∴B 1M ⊥平面MAC ．20．(理17，文20)解：方法一：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34．方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－2sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α4sin2α－4sin2α－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．21．解：方法一：(1)依题意，||O B =BOy ＝30°． 设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin30°＝ y ＝|OB |·cos 30°＝12．因为点B(12)在x 2＝2py 上，所以(2＝2p ×12，解得p ＝2．故抛物线E 的方程为x 2＝4y ．(2)由(1)知214y x =，12y'x =．设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 02．由20011,241,y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得2004,21.x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩ 所以Q (20042x x -，－1)．设M (0，y 1)，令0M P M Q ⋅= 对满足20014y x =(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于M P ＝(x 0，y 0－y 1)，M Q ＝(20042x x -，－1－y 1)，由0M P M Q ⋅= ，得20042x x -－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 12＝0，即(y 12＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0．(*) 由于(*)式对满足20014y x =(x 0≠0)的y 0恒成立，所以121110,20,y y y -=⎧⎨+-=⎩解得y 1＝1．故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．方法二：(1)同方法一． (2)由(1)知214y x =，12y'x =．设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直线l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 02．由20011,241,y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得2004,21.x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩ 所以Q (20042x x -，－1)．取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P (1，14)，Q (32-，－1)，以PQ 为直径的圆为(x ＋14)2＋(y ＋38)2＝12564，交y 轴于M 3(0,1)或M 4(0，74-)．故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)． 以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为M P ＝(x 0，y 0－1)，M Q ＝(20042x x -，－2)，M P M Q ⋅ ＝2042x -－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0． 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M ． 22．解：(1)由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )， 对于任意x ∈(0，π2)，有sin x ＋x cos x ＞0．当a ＝0时，3()2f x =-，不合题意；当a ＜0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )＜0，从而f (x )在(0，π2)内单调递减，又f (x )在［0，π2］上的图象是连续不断的，故f (x )在［0，π2］上的最大值为3(0)2f =-，不合题意；当a ＞0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )＞0，从而f (x )在(0，π2)内单调递增，又f (x )在［0，π2］上的图象是连续不断的，故f (x )在［0，π2］上的最大值为π()2f ，即π3π3222a --=，解得a ＝1．综上所述，得f (x )＝x sin x －32．(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x 32-，从而有f (0)＝32-＜0，ππ3()022f -=>，又f(x)在［0，π2］上的图象是连续不断的，所以f(x)在(0，π2)内至少存在一个零点．又由(1)知f(x)在［0，π2］上单调递增，故f(x)在(0，π2)内有且仅有一个零点．当x∈［π2，π］时，令g(x)＝f′(x)＝sin x＋x cos x．由g(π2)＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在［π2，π］上的图象是连续不断的，故存在m∈(π2，π)，使得g(m)＝0．由g′(x)＝2cos x－x sin x，知x∈(π2，π)时，有g′(x)＜0，从而g(x)在(π2，π)内单调递减．当x∈(π2，m)时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在(π2，m)内单调递增，故当x∈［π2，m］时，ππ3()()022f x f-≥=>，故f(x)在［π2，m］上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在［m，π］上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．。

数学试卷 第1页（共24页）数学试卷 第2页（共24页）数学试卷 第3页（共24页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 复数2(2i)+等于 （ ）A .34i +B .54i +C .32i +D .52i + 2. 已知集合12{,,4}3,M =,{2,2}N =-,下列结论成立的是（ ）A .N M ⊆B .MN M = C .M N N = D .{2}M N =3. 已知向量)2(1,a x =-,1()2,b =,则a b ⊥的充要条件是（ ）A .12x =-B .1x =-C .5x =D .0x =4. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 （ ）A .球B .三棱锥C .正方体D .圆柱5. 已知双曲线22215x ya -=的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于（ ）ABC .32D .436. 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s 值等于（ ）A .3-B .10-C .0D .2-7.直线20x -=与圆224x y +=相交于A ,B 两点,则弦AB 的长度等于 （ ）A. B. CD .18. 函数π()sin 4()f x x =-的图象的一条对称轴是（ ）A .π4x =B .π2x = C .π4x =- D .π2x =-9. 设1,0,()0,0,1,0,x f x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩＞＜1,()0,x g x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则((π))f g 的值为（ ）A .1B .0C .1-D .π10. 若直线2y x =上存在点(),x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则实数m 的最大值为（ ）A .1-B .1C .32D .211. 数列{}n a 的通项公式ππcos 2n n a =,其前n 项和为n S ,则2012S 等于（ ）A .1006B .2012C .503D .012. 若已知3269()f x x x x abc =-+-,a b c ＜＜,且()()(0)f a f b f c ===.现给出如下结论：①()(00)1f f ＞；②()(00)1f f ＜；③()(003)f f ＞；④()(003)f f ＜.其中正确结论的序号是（ ）A .①③B .①④C .②③D .②④第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 在ABC △中,已知60BAC ∠=,45ABC ∠=,BC =,则AC =________.14. 一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是________. 15. 已知关于x 的不等式220x ax a -＋＞在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_______. 16. 某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案.方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如：在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10.图1图2现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为_______.图3--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共24页）数学试卷 第5页（共24页）数学试卷 第6页（共24页）三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中,111a b ==,48b =,{}n a 的前10项和1055S =. （Ⅰ）求n a 和n b ；（Ⅱ）现分别从{}n a 和{}n b 的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.18.（本小题满分12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,（Ⅰ）求回归直线方程y bx a =+,其中20b =-,a y bx =-；（Ⅱ）预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从（I ）中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）19.（本小题满分12分）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,12AA =,M 为棱1DD 上的一点. （Ⅰ）求三棱锥1A MCC -的体积；（Ⅱ）当1A M MC +取得最小值时,求证：1B M ⊥平面MAC .20.（本小题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: (1)22sin 13cos 17sin13cos17+-； (2)22sin 15cos 15sin15cos15+-； (3)22sin 18cos 12sin18cos12+-； (4)22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--； (5)22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+--.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.21.（本小题满分12分）如图,等边三角形OAB 的边长为,且其三个顶点均在抛物线E ：20)2(x py p =＞上.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与抛物线E 相切于点P 与直线1y =-相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.22.（本小题满分14分）已知函数3()sin ()2f x ax x a =-∈R ,且在π[0,]2上的最大值为π32-. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数()f x 在(0,π)内的零点个数,并加以证明.数学试卷 第7页（共24页） 数学试卷 第8页（共24页）{1,2,3,4,M N ={2}M N =≠{2}MN =，故【提示】由{M ={1,2,3,4,M N ={2}MN =≠从而可判断。

2012 年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）（2012?福建）复数（ 2+i ）2等于（）A ．3+4iB ．5+4iC ．3+2iD ．5+2i 【剖析】 直接依据复数的乘法的运算法例，以及 i 2 ﹣ 1 可求出所求．= 【解答】 解：（2+i ） 2=4+4i+i 2 =3+4i应选： A ．2．（5 分）（2012?福建）已知会合M={ 1，2，3，4} ，N={ ﹣2， 2} ，以下结论成立的是（）A ．N? MB ．M ∪N=MC ．M ∩N=ND ．M ∩N={ 2}【剖析】由 M={ 1， 2， 3，4} ，N={ ﹣ 2，2} ，则可知，﹣ 2∈ N ，可是﹣ 2?M ，则N?M ，M ∪N={ 1，2，3，4，﹣ 2} ≠M ，M ∩N={ 2} ≠N ，从而可判断．【解答】解： A 、由 M={ 1，2，3，4} ，N={ ﹣ 2，2} ，可知﹣ 2∈N ，可是﹣ 2?M ，则 N?M ，故 A 错误；B 、M ∪N={ 1，2，3，4，﹣2} ≠M ，故C 、M ∩N={ 2} ≠N ，故 C 错误；D 、M ∩N={ 2} ，故 D 正确．B 错误；应选： D ．3．（5 分）（2012?福建）已知向量件是（）=（x ﹣1，2），=（ 2， 1），则 ⊥ 的充要条A ．x=﹣B ．x=﹣1C ．x=5D ．x=0【剖析】 直接利用向量垂直的充要条件，经过坐标运算求出x 的值即可．【解答】 解：因为向量 =（x ﹣1，2）， =（2，1）， ⊥ ，因此 2（x ﹣1）+2=0，解得 x=0．应选： D ．4．（5 分）（2012?福建）一个几何体的三视图形状都同样，大小均相等，那么这个几何体不能够是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【剖析】利用简单几何体的构造特点以及三视图的定义，简单判断圆柱的三视图不行能形状同样，大小均等【解答】解： A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适合高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都同样；C、正方体的三视图能够是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其余两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都同样，大小均等，那么这个几何体不能够是圆柱．应选： D．5．（5 分）（2012?福建）已知双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【剖析】依据双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），可得a=2，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），∴ a2+5=9∴ a2=4∴ a=2∵ c=3∴应选： C．6．（5 分）（2012?福建）阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，输出s 值等于（）A．﹣ 3B．﹣ 10C．0D．﹣ 2【剖析】经过循环，计算 s，k 的值，当 k=4 时退出循环，输出结果即可．【解答】解： k=1，知足判断框，第1 次循环， s=1，k=2，第 2 次判断后循环， s=0，k=3，第3 次判断并循环s=﹣3，k=4，第3 次判断退出循环，输出 S=﹣ 3．应选： A．7．（5 分）（2012?福建）直线 x+﹣2=0与圆x2+y2=4订交于A，B两点，则弦AB 的长度等于（）A．2B．2C．D．1【剖析】由直线与圆订交的性质可知，，要求AB，只需先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0 的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0 的距离d=由直线与圆订交的性质可知，即∴应选： B．8．（ 5 分）（2012?福建）函数 f（ x）=sin（ x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【剖析】将内层函数x﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数 f（x）的对称轴方程，比较选项即可得结果【解答】解：由题意，令 x﹣ =kπ+ ， k∈z得 x=kπ+ ，k∈z 是函数 f（ x） =sin（x﹣）的图象对称轴方程令 k=﹣1，得 x=﹣应选： C．．（分）（福建）设（），＞，g（ x）=，为有理数，则f（g ，9 52012? f x =，为无理数，＜（π））的值为（）A．1B．0C．﹣ 1D．π【剖析】依据π是无理数可求出g（π）的值，而后依据分段函数 f （x）的分析式可求出 f（g（π））的值．【解答】解：∵ π是无理数∴g（π） =0则 f（ g（π））=f（ 0） =0应选： B．10（．5 分）（2012?福建）若直线 y=2x上存在点（ x，y）知足拘束条件，则实数 m 的最大值为（）A．﹣1B．1C．D．2【剖析】依据，确立交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）知足拘束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直 y=2x 上存在点（ x，y）足束条件，如所示．可得m≤1∴ 数 m 的最大 1故： B．．（分）（福建）数列n}的通公式a n=ncos ，其前 n 和 S n，11 52012?{ aS2012等于（）A．1006B．2012C．503D．0【剖析】由已知得 f（n）=cos是以 T==4 周期的周期函数，由此能求出S2012的．【解答】解：∵ a n=ncos，又∵ f（ n） =cos是以T==4 周期的周期函数，∴a1+a2+a3+a4 =（0 2+0+4）=2，a5+a6+a7+a8=（0 6+0+8）=2，⋯a2009+a2010+a2011+a2012=（ 0 2010+0+2012）=2，S2012=a1+a2+a3+a4+⋯+a2012=（0 2+0+4）+（0 6+0+8）+⋯+（0 2010+0+2012）=2×503=1006故： A．12．（ 5 分）（2012?福建）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且 f（ a） =f （b）=f（ c） =0．现给出以下结论：①f（0）f （1）＞ 0；② f（0）f （1）＜ 0；③ f（0）f （3）＞ 0；④f（0）f （3）＜ 0．此中正确结论的序是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【剖析】依据 f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且 f（ a）=f（ b）=f（c）=0，确立函数的极值点及a、b、c 的大小关系，由此可得结论．【解答】解：求导函数可得 f ′（x）=3x2﹣12x+9=3（ x﹣ 1）（x﹣3），∵a＜ b＜ c，且 f（ a） =f（b）=f（c）=0．∴a＜ 1＜b＜ 3＜ c，设 f（ x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（ a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，∵ f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，∴ a+b+c=6，ab+ac+bc=9，∴ b+c=6﹣a，∴ bc=9﹣a（6﹣a）＜，∴a2﹣4a＜ 0，∴0＜ a＜4，∴0＜ a＜1＜ b＜ 3＜c，∴f（0）＜ 0， f（1）＞ 0， f（3）＜ 0，∴f（0）f （1）＜ 0，f（0）f（ 3）＞0．应选： C．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应地点．13．（ 4 分）（ 2012?福建）在△ ABC中，已知∠ BAC=60°，∠ ABC=45°， BC=，则AC=．【剖析】联合已知两角一对边，要求 B 的对边，可利用正弦定理，进行求解【解答】解：∵∠ BAC=60°，∠ ABC=45°，∴ BC=由正弦定理可得，可得AC===故答案为：14．（ 4 分）（2012?福建）一支田径队有男女运动员98 人，此中男运动员有56人．按男女比率用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28 的样本，那么应抽取女运动员人数是12．【剖析】依据田径队的男女运动员数量和用分层抽样要抽取的数量，获取每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数量，获取结果．【解答】解：∵田径队有男女运动员98 人，此中男运动员有56 人，∴这支田径队有女运动员98﹣ 56=42 人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28 的样本，∴每个个体被抽到的概率是=∵田径队有女运动员42 人，∴女运动员要抽取42× =12 人，故答案为： 1215．（ 4 分）（2012?福建）已知对于x 的不等式 x2﹣ ax+2a＞0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（0，8）．【剖析】将对于 x 的不等式 x2﹣ ax+2a＞0 在 R 上恒成立，转变成△＜ 0，从而获取对于 a 的不等式，求得 a 的范围．【解答】解：因为不等式 x2﹣ax+2a＞ 0 在 R 上恒成立．故答案为：（ 0， 8）．16．（ 4 分）（2012?福建）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点 A， B， C 表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的花费，要求从任一城市都能抵达其余各城市，而且铺设道路的总花费最小．比如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总花费为 10．现给出该地域可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总花费为16．【剖析】确立铺设道路的总花费最小时的线路为：A→E→F→G→D，从 G 分叉，G→ C→B，即可求得铺设道路的最小总花费．【解答】解：由题意，铺设道路的总花费最小时的线路为：A→E→F→G→D，从G 分叉， G→ C→B总花费为 2+3+1+2+3+5=16故答案为： 16三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（ 12 分）（2012?福建）在等差数列 { a n} 和等比数列 { b n} 中， a1=b1=1，b4=8，{ a n} 的前 10 项和 S10=55．（Ⅰ）求 a n和 b n；（Ⅱ）现分别从 { a n} 和{ b n} 的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本领件，并求这两项的值相等的概率．【剖析】（Ⅰ）先依据条件求出公差和公比，即可求出通项；（Ⅱ）先依据第一问的结果把基本领件都写出来，再找到知足要求的即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．由题得： S10=10+d=55； b4=q3=8；解得： d=1， q=2．因此： a n=n，b n=2n﹣1．．（Ⅱ）分别从从 { a n} 和 { b n} 的前 3 项中各随机抽取一项，获取的基本领件有9 个：（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）．两项的值相等的有（ 1，1），（2，2）．∴这两项的值相等的概率：．18．（ 12 分）（2012?福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理订价，将该产品按预先制定的价钱进行试销，获取以下数据：单价 x（元）88.28.48.68.89销量（件）908483807568 y（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，此中 b=﹣20，a= ﹣b ；（Ⅱ）估计在此后的销售中，销量与单价仍旧听从（I）中的关系，且该产品的成本是 4 元 / 件，为使工厂获取最大收益，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）【剖析】（I）计算均匀数，利用b=﹣20，a= ﹣b ，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获取的收益为 L 元，利用收益 =销售收入﹣成本，成立函数，利用配方法可求工厂获取的收益最大．【解答】解：（I），=∵ b=﹣20，a= ﹣b ，∴a=80+20× 8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；（II）设工厂获取的收益为 L 元，则 L=x（﹣ 20x+250）﹣ 4（﹣ 20x+250） =﹣20∴该产品的单价应定为元，工厂获取的收益最大．19．（12 分）（ 2012?福建）如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M 为棱 DD1上的一点．（1）求三棱锥 A﹣MCC1的体积；（2）当 A1M+MC 获得最小值时，求证： B1M ⊥平面 MAC．【剖析】（1）由题意可知， A 到平面CDD1C1的距离等于AD=1，易求=1，从而可求；（ 2）将侧面 CDD1C1绕 DD1逆时针转 90°睁开，与侧面ADD1A1共面，当 A1，M，C′共线时， A1M+MC 获得最小值．易证 CM⊥平面 B1C1M ，从而 CM⊥ B1M ，同理可证， B1M ⊥AM，问题获取解决．【解答】解：（1）由长方体 ABCD﹣ A知， AD⊥平面 CDD ，1B1C1D11C1∴点 A 到平面 CDD1 1的距离等于 AD=1，C又= CC1×CD= ×2×1=1，∴= AD?= ．90°睁开，与侧面ADD A 共面，11DD 逆时针转（ 2）将侧面CDDC 绕111当 A1，M ，C′共线时， A1M+MC 获得最小值．由 AD=CD=1，AA1=2，得 M 为 DD1的中点．连结 C1M ，在△ C1MC 中， C1 M=，MC= ，C1C=2，∴=+MC2，得∠ CMC°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面 CDD ，1=901C1∴B1C1⊥CM，又 B1C1∩ C1M=C1，∴CM⊥平面 B1C1M，∴CM⊥ B1M ，同理可证， B1M⊥AM，又 AM∩MC=M，∴B1M ⊥平面 MAC20．（ 12 分）（2012?福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1） sin2 13°+cos217°﹣sin13 cos17° °（2） sin2 15°+cos215°﹣sin15 cos15° °（3） sin2 18°+cos212°﹣sin18 cos12° °（4） sin2（﹣ 18°）+cos248°﹣sin（﹣ 18°）cos48 °（5） sin2（﹣ 25°）+cos255°﹣sin（﹣ 25°）cos55 °（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）依据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．【剖析】（Ⅰ）选择（ 2），由 sin215°+cos215°﹣sin15 cos15° °=1﹣ sin30 =°，可得这个常数的值．（Ⅱ）推行，获取三角恒等式sin2α+cos2（ 30°﹣α）﹣ sin αcos（ 30°﹣α） = ．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左侧，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣ sin α（ cos30°cos+sin30α °sin ）α， 即 1 ﹣+α sin2 αcos2 +﹣ sin2 α﹣，化简可得结果．【解答】 解：选择（ 2），计算以下：sin 215°+cos 215°﹣sin15 cos15° °=1﹣ sin30 =°，故 这个常数为 ．（Ⅱ）依据（Ⅰ）的计算结果， 将该同学的发现推行， 获取三角恒等式 sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣ sin αcos （30°﹣α）= ．22 2α证明：（方法一）sin α（30°﹣ α）﹣sin αcos （30°﹣α）=sin+cos+﹣ s in α（cos30°cos+sin30α °sin ）α22222 2．=sin α+ cos α+ sin α+ sin α cos ﹣α sin α cos ﹣α sin α=sin α+ cos α= 2 2αcos （30°﹣α）=+﹣（方法二）sin α（30°﹣α）﹣sin+cossin α（ cos30 ° cos+sin30α ° sin ）α﹣ + （cos60°cos2+sin60α °sin2）α﹣sin2 α﹣2α=1sin﹣+αsin2 α﹣sin2 α﹣﹣﹣ + =．=1cos2 + =121．（ 12 分）（2012?福建）如图，等边三角形 OAB 的边长为，且其三个极点均在抛物线 E ：x 2=2py （ p ＞ 0）上．（ 1）求抛物线 E 的方程；（ 2）设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ，与直线 y=﹣1 相较于点 Q ．证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点．【剖析】（1）依题意， | OB| =8 ，∠ BOy=30°，从而可得 B （4， 12），利用 B在 x 2=2py （ p ＞ 0）上，可求抛物线 E 的方程；（ 2）由（1）知， ， ，设 P （x 0，y 0），可得 l ：，与 y=﹣1联立，求得，取x0=2，x0=1，猜想知足条件的点M 存在，再进行证明即可．【解答】解：（1）依题意， | OB| =8 ，∠ BOy=30°，设B（x， y），则 x=| OB| sin30 °=4 ， y=| OB| cos30°=12∵B（ 4 ，12）在 x2=2py（p＞0）上，∴∴p=2，∴抛物线 E 的方程为 x2=4y；（ 2）由（ 1）知，，设 P（x0，y0），则 x0≠0．l：即由得，∴，取 x0=2，此时 P（2，1），Q（0，﹣ 1），以 PQ 为直径的圆为（ x﹣ 1）2+y2=2，交y 轴于点 M 1（0，1）或 M 2（ 0，﹣ 1）取 x0=1，此时 P（1，），Q（﹣，﹣ 1），以 PQ 为直径的圆为（ x+ ）2+（y+ ）2=2，交 y 轴于点 M3（ 0， 1）或 M 4（0，﹣）故若知足条件的点M 存在，只好是 M（0，1），证明以下∵，，，∴=2y0﹣2﹣2y0 +2=0故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点 M （0，1）．22．（ 14 分）（2012?福建）已知函数 f（x）=axsinx﹣（a∈R），且在，上的最大值为，（1）求函数 f（ x）的分析式；（2）判断函数 f （x）在（ 0，π）内的零点个数，并加以证明．【剖析】（ I）由题意，可借助导数研究函数，在，上的单一性，确立出最值，令最值等于，即可获取对于 a 的方程，因为a的符对函数的最值有影响，故能够对 a 的取值范围进行议论，分类求解；（II）借助导数研究函数 f （x）在（ 0，π）内单一性，由零点判断定理即可得出零点的个数．【解答】解：（ I）由已知得 f （′ x）=a（sinx+xcosx），对于随意的 x∈（ 0，），有sinx+xcosx＞0，当 a=0 时， f （x）=﹣，不合题意；当 a＜0 时， x∈（ 0，），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，）单一递减，又函数在，上图象是连续不停的，故函数在，上上的最大值为 f （0）=﹣，不合题意；当 a＞0 时， x∈（ 0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单一递加，又函数在，上图象是连续不停的，故函数在，上上的最大值为 f （）==，解得a=1，综上所述，得（ II）函数 f（x）在（ 0，π）内有且仅有两个零点．证明以下：由（ I）知，，从而有 f （0）=﹣＜0，f （）=＞ 0，又函数在，上图象是连续不停的，因此函数f（x）在（ 0，）内起码存在一个零点，又由（ I）知 f（x）在（ 0，）单一递加，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．当 x∈[ ，π] 时，令 g（ x）=f ′（x）=sinx+xcosx，由 g（）=1＞0，g（π）=﹣π＜0，且 g（ x）在 [，π]上的图象是连续不停的，故存在m∈（，π），使得g（m）=0．由 g′（x）=2cosx﹣xsinx，知 x∈（，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[，π] 上单一递减．当 x∈（，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（，m）内单一递加故当 x∈（，m）时，f（x）＞f（）=＞0，从而（x）在（，m）内无零点；当 x∈（ m，π）时，有 g（x）＜ g（m）=0，即 f ′（ x）＜ 0，从而 f（ x）在（，m）内单一递减．又 f（m ）＞0，f（π）＜ 0 且 f（ x）在 [ m，π] 上的图象是连续不停的，从而 f （ x）在[ m，π] 内有且仅有一个零点．综上所述，函数f（ x）在（ 0，π）内有且仅有两个零点．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1、若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 考点：复数的运算· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可·解答：iiz -=1 111)())(1(--=--=---=i i i i i i ·2、等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点：等差数列的定义· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=·解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a · 3、下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点：逻辑· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定· 解答：A 中，,R x ∈∀0>xe·B 中，22,4,2x x x x===∃，22,x x x<∃·C 中，⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a·D 中，1,1>>b a 可以得到1>ab ，当1>ab 时，不一定可以得到1,1>>b a · 4、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 考点：空间几何体的三视图· 难度：易·分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可· 解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆· 5、下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+ 考点：不等式及基本不等式· 难度：中·分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质· 解答：A 中，)410(4122x x x x x =+=≥+时，当· B 中，])1,0((sin 2sin 1sin ∈≥+x x x ；))0,1[(sin 2sin 1sin -∈-≤+x xx · C 中，)(0)1|(|1||222R x x x x ∈≥-=+-·D 中，)](1,0(112R x x ∈∈+· 6、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．41B ．51C ．61D ．71考点：积分的计算和几何概型·难度：中·分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型· 解答：111)(=⨯=ΩS ，⎰-=10)()(dx x x A S 61|)2132(10223=-=x x · 所以61)()()(=Ω=A S S A P ·7、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数考点：分段函数的解析式及其图像的作法· 难度：中·分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定· 解答：A 中，)(x D 由定义直接可得，)(x D 的值域为}1,0{·B 中，)(x D 定义域为R ，)(,0,1)(x D x x x D =⎩⎨⎧=-为无理数为有理数，所以)(x D 为偶函数·C 中，)(,0,1)1(xD x x x D =⎩⎨⎧=+为无理数为有理数，所以可以找到1为)(x D 的一个周期· D 中，......1)2(,0)2(,1)1(===D D D ，所以不是单调函数·8、双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．5考点：双曲线的定义· 难度：中·分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义· 解答：抛物线x y 122=的焦点为)0,3(· 双曲线中，5492=-=b · 双曲线渐近线方程为x y 25±=· 所以焦点到渐近线的距离5)25(12532=+=d ·9、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 考点：线性规划· 难度：中·分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像·所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则mm 23≥-，即1≤m ·10、函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P ·设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的； ②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ； ④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ，有)]()()()([41)2(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++·其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立· 解答：A 中，反例：如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的，但)(x f 不是连续不断的·B 中，反例：x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ，22)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P ·C 中，在]3,1[上，)]4()([21)2)4(()2(x f x f x x f f -+≤-+=， 1)(1)2()()4(1)2()()(2)4()(max max =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f ， 所以，对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x ·D 中，=+++)2(4321x x x x f )2)()((4321x x x x f +++)]()()()([41))]()((21))()((21[21)]2()2([21432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤· 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分·把答案填在答题卡的相应位置·11、4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________·【2】 考点：二项式定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可· 解答：4)(x a +中含3x 的一项为r rr r x aC T -+=441，令3=r ，则83434=-a C ，即2=a ·12、阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s 值等于_____________________·【3-】考点：算法初步· 难度：易·分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可· 解答： 1,1==s k ；2,1112==-⨯=k s ； 3,0212==-⨯=k s ； 4,3302=-=-⨯=k s ；结束·13、已知ABC ∆_________·【42-】 考点：等比数列和余弦定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用· 解答：设ABC ∆三边为m c m b m a 2,2,===， 则可得C ∠所对的边最大，且22cos 222=-+=abc b a C · 14、数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________·【3018】 考点：数列和三角函数的周期性· 难度：中·分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和· 解答： 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ， 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ， 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a · 即30186420122012=⨯=S · 15、对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_____·【)0,1631(-】 考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数·解答：由题可得，⎩⎨⎧>--≤-=0),1(0),12()(x x x x x x x f可得0,21),41,0(132<=+∈x x x m ， 且↑↑→||,,41132x x x m 所以41=m 时，=max 321||x x x 1631-， 所以∈m )0,1631(-·三、解答题：本大题共6小题，共84分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤·16、（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿my =车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由· 考点：统计概率及随机变量·难度：易· 分析： 解答：（I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为2315010P +== （II ）随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为（III ）1139123 2.86255010EX =⨯+⨯+⨯=(万元) 2191.82.9 2.791010EX =⨯+⨯=(万元) 12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车·17、（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数· （1）02217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）02215cos 15sin 15cos 15sin -+；（3）02212cos 18sin 12cos 18sin -+； （4）00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-·（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论· 考点：三角恒等变换· 难度：中· 分析： 解答：（I ）选择（2）：22013sin 15cos 15sin15cos151sin 3024+-=-= （II ）三角恒等式为：22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=22002222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )22333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=（lby lfx ）18、（本小题满分13分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点· （Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由·（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长·考点：立体几何· 难度：中· 分析： 解答：（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA 得：1111111111,,AD A D AD A B A DA B A A D ⊥⊥=⇔⊥面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ∆中，111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == （Ⅲ）设11A DAD O =，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中，30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中，1,CD x AD ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=1222x =⇔=得：2AB =19、（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ·过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8· （Ⅰ）求椭圆E 的方程·（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ·试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由·考点：三角恒等变换·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）设c 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += （Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M20、（本小题满分14分）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ·考点：导数·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()0x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞（Ⅱ）设00(,())P x f x ； 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()xx g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '=（1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性，0a ≥不符合条件（lby lfx ）（2）当0a <时，令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符·③当0x x '<时，同理可证，与条件不符从上得：当0a <时，存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P21、本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分·如果多做，则按所做的前两题计分·作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中·（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A 0(0)1a ⎫>⎪⎭对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x ·（Ⅰ）求实数b a ,的值· （Ⅱ）求2A 的逆矩阵·解：（Ⅰ）设曲线12222=++y xy x 上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应变换下的像是(,)P x y ''' 则220()()11x a x ax x ax ax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧==⇔⇒++=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得：222222()212,221,1a b x bxy y a b b a b +++=⇒+==⇔==（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21101()21A A -⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想、（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系·已知直线l上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）·（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系·【解析】（Ⅰ）由题意知(2,0),M N ，因为P 是线段MN中点，则P因此OP 直角坐标方程为：.y x =（Ⅱ）因为直线l 上两点(2,0),(0,3M N∴l 30y -=，圆心(2,，半径2r =、32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交、 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想·（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-·（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若R c b a ∈,,，且m cb a =++31211，求证：932≥++c b a · 【解析】（1）∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ，∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒= （2）由（1）知1111,,,23a b c R a b c++=∈,由柯西不等式得（lby lfx ） 11123(23)()23a b c a b c a b c +++++++29≥= 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想。