下载文档原格式
利用导数研究函数的极值与最值导数是研究函数变化率的工具，通过导数可以研究函数的极值和最值。
在这篇文章中，我们将讨论如何利用导数来研究函数的极值和最值。
一、极值的定义和判断条件极值是指函数取得的最大值或最小值。
在数学上，函数f(x)在点x=c处取得极值的充分条件是f'(c)=0，并且f'(x)的符号在x=c的两侧改变。
具体来说，f'(x)大于0时，函数递增；f'(x)小于0时，函数递减。
而当f'(x)从正变为负或从负变为正时，就是函数取得极值的地方。
二、几何图形与导数的关系通过导数的大小和符号，我们可以推断函数的几何行为。
例如，当f'(x)>0时，函数f(x)是递增的，图像是向上的曲线；而当f'(x)<0时，函数f(x)是递减的，图像是向下的曲线。
当f'(x)=0时，函数可能达到极值点。
三、利用导数判断函数的极值1.求导数：首先求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的极值点x=c。
3.判断符号：将极值点x=c代入f'(x)，判断f'(x)的符号在c的两侧。
如果f'(x)从正变为负，或从负变为正，那么极值点x=c是函数的极值点。
4.检验：将极值点代入函数f(x)中，算出函数值f(c)，判断是否是极值。
四、利用导数求函数的最值1.求导数：求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的最值点x=c。
3.极值判断：判断c是否是函数的极值点，确定是否是最值点。
4.边界判断：检查函数在定义域的边界上的函数值，判断是否可能是最值。
5.比较：对于所有可能的最值点，比较它们的函数值，得到最大值和最小值。
五、利用导数求出临界点临界点是指导数不存在的点或者导数为零的点。
通过求导数，我们可以找到函数的临界点。
临界点可能是函数的极值点或最值点。
利用导数研究函数的极值和最值问题１．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（１）确定函数的定义域．（２）求)(x f '．（３）①若求极值，则先求方程 0)(='x f 的全部实根，再检验)(x f '在方程根的左右两侧值的符号，求出极值．（当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内）②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 0)(='x f 的根的大小或存在情况，从而求解．２．求连续函数)(x f y =在[]b a , 上的最大值与最小值的步骤：（１）求函数 )(x f y =在()b a ,内的极值；（２）将函数 )(x f y =的各极值与端点处的函数值 )(a f ， )(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例1.(2018北京,18,13分)设函数()[]x e a x a ax x f 3414)(2+++-=. (1)若曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行,求a ;(2)若)(x f 在2=x 处取得极小值,求a 的取值范围.解析 (1)因为()[]x e a x a ax x f 3414)(2+++-=, 所以()[]x e x a ax x f 212)(2++-='，()e a f -='1)1(. 由题设知f '(1)=0,即()01=-e a ,解得1=a .此时03)1(≠=e f .所以a 的值为1.(2)由(1)得()[]()()x x e x ax e x a ax x f 21212)(2--=++-='. 若21>a ,则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,1a x 时0)(<'x f ; 当()+∞∈,2x 时,0)(>'x f .所以)(x f 在2=x 处取得极小值. 若21<a ,则()2,0∈x 时,02<-x ,01211<-≤-x ax ,所以0)(>'x f , 所以2不是)(x f 的极小值点.综上可知,a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21。
利用导数研究函数的极值最值导数是研究函数的极值、最值的重要工具之一、通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点，进而确定函数的极值和最值。
极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
极大值是函数在其中一点上取得的最大值，极小值是函数在其中一点上取得的最小值。
首先，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的临界点。
临界点是函数导数等于0的点，也包括导数不存在的点。
然后，通过进一步的分析，可以确定临界点中的极值点。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
首先，我们需要计算函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找出导数f'(x)等于0的点，这些点就是函数f(x)的临界点。
接下来，我们进一步分析导数f'(x)的符号。
在临界点两侧，如果导数f'(x)由正变负，则表明在该点上函数f(x)取得极大值；如果导数f'(x)由负变正，则表明在该点上函数f(x)取得极小值。
当然，也可能存在导数f'(x)不存在的点，这些点也是函数的临界点。
最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
最大值是函数在定义域内所有点上取得的最大值，最小值是函数在定义域内所有点上取得的最小值。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的临界点。
然后，通过分析函数在临界点、定义域的边界点和导数不存在的点上的取值，可以确定函数的最值。
当函数在闭区间[a,b]上连续时，最大值和最小值一定在定义域的边界点上或者在临界点上取得。
因此，在求解函数最值时，我们需要计算函数在闭区间的端点上的取值，并将其和临界点上的取值相比较。
需要注意的是，导数仅能帮助我们找到函数的临界点，但临界点未必都是极值点。
为了判断极值点是否为极大值或极小值，我们还需要进行二阶导数测试。
如果二阶导数大于0，则表示该点为极小值；如果二阶导数小于0，则表示该点为极大值；如果二阶导数等于0，则需要进行其他方法的分析。
总之，利用导数研究函数的极值、最值是一种有效的方法。
高考数学之利用导数研究函数的极值和最值一．知识点睛1.可导函数的极值：①如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，我们就把a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.②如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，我们就把b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.注意：①.可导函数y=f（x）在点x0取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在点x0左侧和右侧，f′(x)异号②.导数为0的点不一定是极值点，比如y=x3即导数为0的点是该点为极值点的必要条件，而不是充分条件。
③.若极值点处的导数存在，则一定为02.求可导函数极值的步骤：①.确定函数的定义域②求导f′(x)③求方程f′(x)=0的根④把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查f′(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。
二．方法点拨：1.已知具体函数求极值2.已知含参函数的极值点和极值，确定参数：①极值点处导数为0②由极值点，极值组成的坐标在曲线上，由这两点建立有关参数的方程，求出参数值以后还须检验，看参数是否符合函数取得极值的条件。
3.已知含参函数极值点个数，确定参数范围:函数f（x）的极值点导函数f′(x) 的异号零点f′(x)=0的根函数y=k与函数y=g（x）图像交点的横坐标注意：导函数f′(x)的零点并不是函数f（x）的极值点，导函数f′(x)的异号零点才对应函数f（x）的极值点。
因此方程f′(x)=0的根及函数y=k与函数y=g（x）图像交点的横坐标，必须对应f′(x) 的异号零点。
方法总结：解决函数的零点，极值点，及方程根的关系问题时，优先考虑分离参数法，若分离参数不容易实现或者分离后依然不好解决问题，再考虑以下解题思路：（1）研究函数图像与X轴的位置关系⑵研究非水平的动直线（定点直线系或者斜率不为0的平行直线系）与固定函数曲线的位置关系⑶研究动态曲线与曲线的位置关系。
2022年高考数学总复习：利用导数研究函数的极值、最值例： 设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax . (1)若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值． [解析] (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a＝－(x －12)2＋14＋2a . 当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a ；令29＋2a >0，得a >－19. 所以，当a >－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a 2. 所以f (x )在(－∞，x 1)、(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)． 所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2， 从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103. 例： 已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． [解析] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈(0，π2)时，h ′(x )<0， 所以h (x )在区间[0，π2]上单调递减．所以对任意x ∈(0，π2]有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0. 所以函数f (x )在区间[0，π2]上单调递减． 因此f (x )在区间[0，π2]上的最大值为f (0)＝1，最小值为f (π2)＝－π2. 『规律总结』利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若探究极值点个数，则探求方程f ′(x )＝0在所给范围内实根的个数．(3)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(4)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较，从而得到函数的最值．G 跟踪训练en zong xun lian已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋ax ＋23(a ∈R )． (1)若a ＝3，试求函数f (x )的图象在x ＝2处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若函数f (x )在区间[0,2]上的最大值为2，试求实数a 的值．[解析] (1)因为a ＝3，所以f (x )＝－13x 3＋2x 2＋3x ＋23， 所以f ′(x )＝－x 2＋4x ＋3，所以f ′(2)＝－22＋2×4＋3＝7.因为f (2)＝－83＋8＋6＋23＝12， 所以切线方程为y －12＝7(x －2)，即y ＝7x －2.该直线与坐标轴的交点坐标分别为(0，－2)，(27，0)， 所以该直线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×2×27＝27. (2)f ′(x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋a ＋4.若a ＋4≤0，a ≤－4，则f ′(x )≤0在[0,2]上恒成立，所以函数f (x )在[0,2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)＝23<2， 此时a 不存在．若a ≥0，则f ′(x )≥0在[0,2]上恒成立，所以函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以f (x )max ＝f (2)＝－83＋8＋2a ＋23＝2a ＋6＝2， 解得a ＝－2，因为a ≥0，所以此时a 不存在．若－4<a <0，则函数f (x )在[0,2]上先单调递减后单调递增， 所以f (x )max ＝max{f (0)，f (2)}．当2a ＋6≥23，即－83≤a <0时，f (x )max ＝f (2)＝2a ＋6＝2， 解得a ＝－2∈[－83，0)，所以a ＝－2. 当2a ＋6<23，即－4<a <－83时，f (x )max ＝f (0)＝23<2， 此时a 不存在．综上，a ＝－2.。
利用导数求解函数的极值与最值函数的极值与最值是高中数学中的重要概念之一。
在数学中，我们通过求函数的导数来研究函数的极值与最值。
本文将详细讨论如何利用导数求解函数的极值与最值的方法。
一、函数的极值当函数在某一点处的导数等于零或者不存在时，该点可能为函数的极值点。
具体而言，我们可根据导数的符号变化来判断函数的极值。
1. 当导数的符号从正变负时，函数在该点处取得极大值；2. 当导数的符号从负变正时，函数在该点处取得极小值；3. 当导数的符号不变，或者导数不存在时，函数在该点处可能为极值点，需通过其他方法进行判断。
二、求解函数的极值的步骤下面我们将通过一个具体的例子来介绍如何求解函数的极值。
例：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值。
步骤一：求导数首先，对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
步骤二：解方程f'(x) = 0，得到导数等于零的解对f'(x) = 0进行因式分解，得到(3x - 3)(x - 3) = 0。
解得x = 1或x = 3。
步骤三：求解极值将求得的解代入原函数f(x)，计算函数值。
当x = 1时，f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4；当x = 3时，f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0。
根据我们上文对导数符号变化的判断方法，我们可得出以下结论：当x = 1时，函数取得极小值；当x = 3时，函数取得极大值。
三、函数的最值函数的最值可以通过求解函数的极值来得到。
通常情况下，我们还需要考虑函数在定义域的端点处的取值。
例：求函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
步骤一：求导数对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 4x - 4。
步骤二：求解极值将导数f'(x) = 0，解得x = 1。
步骤三：求解函数在区间端点处的取值将x = 0和x = 2代入原函数f(x)，计算函数值。
