天津市东丽区2021届新高考第二次质量检测数学试题含解析

2021年天津市五区县高考数学二模试卷〔文科〕一、选择题〔本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．i 是虚数单位，复数 =〔 〕A ．B ．C ．D ．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员〔简称驾驶员〕对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查． 假设四个社区驾驶员的总人数为 N ，其中甲社区有驾驶员96人．假设在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，那么这四个社区驾驶员的总人数N 为〔〕A ．101B ．808C ．1212D ． 20213．命题p ：? x∈R，sin2x≤1，那么〔〕A ．￢p ：?x 0∈R，sin2x 0≥1B ．￢p ：?x∈R，sin2x≥1C ．￢p ：?x 0∈R，sin2x 0＞1D ．￢p ：?x∈R，sin2x ＞14．a=log2，b=log 2，，那么a ，b ，c 的大小关系为〔〕A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜cF PF 为圆心，以 | F 1F2| 5．双曲线C 的左右焦点为F1，2，双曲线右支上任意一点，假设以 1为半径的圆与以P 为圆心，|PF 2|为半径的圆相切，那么C 的离心率为〔〕A ．B ．2C ．4D ．6．如图，圆O 的直径AB长度为10，CD 是点C 处的切线，AD⊥CD，假设BC=8，那么CD=〔〕A ．B ．C ．D ．7f x 〕 =sin2x+cos2x 的图象关于点〔 ab 〕成中心对称图形，假设 a．函数 〔+ ， ∈〔﹣ 0 〕那么ab= 〔 〕， +A ．πB ．C ．D ．08fx=gx=ax 3a00 ，假设函数 〕﹣ x1∈[，．函数〔〕〔 +〔＞〕，假设对?1x 2∈[0， ]，使得f 〔x 1〕=g 〔x 2〕成立，那么实数 a 的取值范围是〔〕]，总?第1页〔共19页〕A．〔﹣∞，6]B．[6，+∞〕C．〔﹣∞，﹣4]D．[﹣4，+∞〕二、填空题：本大题共/6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..2xa=0无实根的概率901a x的一元二次方程x﹣+．从区间[，]上随机取一个实数，那么关于为_______．10．一个几何体的三视图〔单位：m〕如下图，那么此几何体的外表积为_______m211．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的N的值是10，那么输出的S的值是_______．12．函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且f〔x〕在[0，+∞〕上单调递减，假设f〔m〕＞f〔1﹣m〕，那么实数m的取值范围是_______．13O是△ABC的外接圆的圆心，假设AC=3，?=2，那么AB=_______．．14f x〕=，假设函数y=f x〕﹣ax1a．函数〔〔+恰有两个零点，那么实数的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤15．甲、乙、丙三种食物的维生素及本钱入戏表实数：食物类型甲乙丙维生素C〔单位/kg〕300500300维生素D〔单位/kg〕700100300本钱〔元/kg〕543某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．第2页〔共19页〕〔1〕设所用食物甲、乙、丙的质量分别为 xkg ，ykg ，100﹣x ﹣ykg 〔x ≥0，y ≥0〕，试列出x ，y 满足的数学关系式，并画出相应的平面区域； 〔2〕用x ，y 表示这100kg 混合食物的本钱z ，求出z 的最小值．16ABC的三个内角A， B ， C所对的边分别为abcacsinAcsinC﹣．△，，，且〔﹣〕+bsinB=0．〔1〕求B 的值；2 〕求 sinAsinC 的最大值及此时 A ， C 的值．〔 +17．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，PA ⊥BC ，平面PACD 为直角梯形，∠PAC=90°，PD ∥AC ，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120° 1〕求证：PA ⊥AB ；2〕求直线BD 与平面PACD 所成角的正弦值； 3〕求二面角D ﹣BC ﹣A 的平面角的正切值．18．椭圆 C ： +=1〔a ＞b ＞0〕上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆C 的短轴为直径的圆 O 经过两个焦点， A ，B 是椭圆C 的长轴端点． 1〕求椭圆C 的标准方程和圆O 的方程；2〕设P 、Q 分别是椭圆C 和圆O 上位于y 轴两侧的动点，假设直线PQ 与x 平行，直线AP 、 BP 与y 轴的交点即为 M 、N ，试证明∠MQN 为直角．（ 19．函数 f 〔x 〕=ax 2﹣lnx 〔a ∈R 〕1〕当a=1时，求曲线y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕的切线方程； 2〕假设?x ∈〔0，1]，|f 〔x 〕|≥1恒成立，求a 的取值范围．20 a n }与{b }满足：①a b 1=b 0 ② k 2 ﹣+b ﹣ ≥0 ，那么a， ， 当 ≥ 时，假设 ．数列{ ＜ ＞﹣1，b k = ；假设a k ﹣1+b k ﹣1＜0，那么a k = ，b k =b k ﹣1．〔Ⅰ〕假设a=﹣1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；〔Ⅱ〕设 S a b 2﹣ab a S a b 表示〕；n =〔 b 1﹣1〕+〔 2〕++〔 n ﹣n 〕，求 n 〔用 ，第3页〔共19页〕〔Ⅲ〕假设存在n ∈N *，对任意正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k ﹣1＞b k ，求n 的最大值〔用a ，b表示〕．第4页〔共19页〕2021年天津市五区县高考数学二模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．i是虚数单位，复数=〔〕A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把分子利用虚数单位i的运算性质化简，然后分子分母同时乘以分母的共轭复数化简得答案．【解答】解：，应选：D．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员〔简称驾驶员〕对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．假设在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，那么这四个社区驾驶员的总人数N为〔〕A．101 B．808C．1212D．2021【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12∴每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808应选B．3．命题p：?x∈R，sin2x≤1，那么〔〕A．￢p：?x0∈R，sin2x0≥1B．￢p：?x∈R，sin2x≥1C．￢p：?x0∈R，sin2x0＞1D．￢p：?x∈R，sin2x＞1【考点】命题的否认．【分析】根据全称命题的否认是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，那么命题的否认为：：?x0∈R，sin2x0＞1，应选：C．第5页〔共19页〕4．a=log2，b=log 2，，那么a ，b ，c 的大小关系为〔 〕A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【考点】对数值大小的比拟．【分析】由条件利用对数函数和指数函数的单调性能比拟 a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵﹣1=＜a=log2＜log1=0，∴b=log 0.3=a 2＜，0＜＜0=1， b ＜a ＜c ． 应选：D ．5．双曲线 F PF为圆心，以|F 1F 2|C 的左右焦点为F 1， 2，双曲线右支上任意一点，假设以 1为半径的圆与以 P 为圆心，|PF 2|为半径的圆相切，那么C 的离心率为〔〕A ．B ．2C ．4D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据两圆相切的等价条件，结合双曲线的定义建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：设两圆相切时的切点为 A ， |F 1F 2|=c ，∴PA=c ，|PF 1|﹣|PF 2|=|PA|+|AF 1|﹣|PF 2|=|AF 1|=2a ，∵|AF 1|=c ， c=2a ，即离心率 e= =2， 应选：B ．第6页〔共19页〕6．如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，假设BC=8，那么CD=〔〕A．B．C．D．【考点】弦切角．【分析】利用弦切角定理可得∠DCA=∠CBA，分别求出其余弦值，即可解得CD的值．【解答】解：∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，cos∠CBA==，又AD⊥CD，cos∠DCA===，∵由可得：∠DCA=∠CBA，∴cos∠DCA=cos∠CBA，可得：=，进而解得：CD=．应选：D．7．函数f〔x〕= sin2x+cos2x+的图象关于点〔a，b〕成中心对称图形，假设a∈〔﹣，0〕那么a+b=〔〕A．πB．C．D．0【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用两角和的正弦化简，由相位落在x轴上求得x值，可得a，b的值，那么答案可求．【解答】解：∵f〔x〕=sin2x+cos2x+=．由，得x=．∵a∈〔﹣，0〕，取k=0，得x=．又f〔x〕的图象关于点〔a，b〕成中心对称图形，∴，那么a+b=0．应选：D．第7页〔共19页〕8．函数f〔x〕=，假设函数g〔x〕=ax﹣+3〔a＞0〕，假设对?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，]，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，那么实数a的取值范围是〔〕A ．〔﹣∞6]B6∞〕C∞4D4∞，．[，+．〔﹣，﹣]．[﹣，+〕【考点】全称命题．【分析】函数f〔x〕=，当时，f〔x〕∈.时，f〔x〕=，利用导数研究函数的单调性可得：f〔x〕∈．可得?x1∈[0，1]，f〔x1〕∈[01gx〕=ax3a0〕在[]上单调递增，由于对，]．由于函数〔﹣+〔＞，?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，]，使得〔fx1〕=g〔x2〕成立，可得[0，1]∈{g〔x〕|x∈}，即可得出．【解答】解：函数f〔x〕=，当时，f〔x〕∈．时，f〔x〕=，f′〔x〕==＞0，∴函数f〔x〕在上单调递增，∴ f〔x〕∈．?x1∈[0，1]，∴f〔x1〕∈[0，1]．gx〕=ax﹣3a0〕在[]上单调递增，由于函数〔+〔＞，假设对?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，]，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，∴[0，1]∈{g〔x〕|x∈}，∴，解得a≥6．应选：B．二、填空题：本大题共/6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..第8页〔共19页〕2xa=0 无实根的概率91ax 的一元二次方程x﹣+．从区间[ ，]上随机取一个实数，那么关于为 ．【考点】几何概型．【分析】根据关于 x 的一元二次方程x 2﹣x+a=0无实根，得到△=1﹣4a ＜0，解得：a ＞，从而求出符合条件的事件的概率．x 2xa=0【解答】解：假设关于 x的一元二次方程 无实根，﹣+那么△=1﹣4a ＜0，解得：a ＞，“0 1]上随机取一个实数 ax的一元二次方程x 2xa=0〞设事件从区间[， ，那么关于﹣+ 无实根为事件A ，那么P 〔A 〕== ，故答案为：．10．一个几何体的三视图〔单位：m 〕如下图，那么此几何体的外表积为12π+12m 2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是半个圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的侧面积公式、圆的面积公式和三角形的面积公式求出此几何体的外表积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆锥，且底面圆的半径 r=3m 、圆锥的高是4m ，那么母线l= =5〔m 〕，∴此几何体的外表积S===12π+12〔m2〕，故答案为： 12π12．+11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的N 的值是10，那么输出的 S 的值是．第9页〔共19页〕【考点】程序框图．【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得N=10，S=0，k=1执行循环体，S=，满足条件k≤10，执行循环体，k=2，S=+，满足条件k≤10，执行循环体，k=3，S=++，满足条件k≤10，执行循环体，k=11，S=++++，不满足条件k≤10，退出循环，输出S=+=1++〔﹣〕+〔﹣〕++〔﹣〕+〔﹣〕=．故答案为：．12．函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且f〔x〕在[0，+∞〕上单调递减，假设f〔m〕＞f〔1﹣m〕，那么实数m的取值范围是〔﹣∞，〕．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性可得|m|＜|1﹣m|，由此求得m的范围．【解答】解：∵函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，∴f〔x〕的图象关于y轴对称．∵f x〕在[，+∞〕上单调递减，∴f〔x〕在〔﹣∞0上单调递增，〔，]假设f〔m〕＞f〔1﹣m〕，那么|m|＜|1﹣m|，∴m＜，故答案为：．第10页〔共19页〕13．O是△ABC的外接圆的圆心，假设AC=3，? =2，那么AB=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把=代入? =2，再转化为与的等式求解．【解答】解：如图，? =，∵AC=3，∴，那么，∴AB=．故答案为：．14．函数f〔x〕=，假设函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，那么实数a的取值范围是a≤0或1≤a＜2．【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数f〔x〕=的图象，函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，即函数y=f〔x〕与y=ax﹣1恰有两个交点，利用图象，即可得出结论．【解答】解：函数f〔x〕=，图象如下图，函数y=f x〕﹣ax1y=f x〕与y=ax﹣1恰有两个交点，〔+恰有两个零点，即函数〔由图可得a≤0时，函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，1，1〕代入y=ax﹣1得a=2，∴1≤a＜2．函数y=f〔x〕与y=ax﹣1恰有两个交点，综上所述，a≤0或1≤a＜2．故答案为：a≤0或1≤a＜2．第11页〔共19页〕三、解答题：本大题共6小题，总分值80分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤15．甲、乙、丙三种食物的维生素及本钱入戏表实数：食物类型甲乙丙维生素C〔单位/kg〕300500300维生素D〔单位/kg〕700100300本钱〔元/kg〕543某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．〔1〕设所用食物甲、乙、丙的质量分别为xkg，ykg，100﹣x﹣ykg〔x≥0，y≥0〕，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；〔2〕用x，y表示这100kg混合食物的本钱z，求出z的最小值．【考点】简单线性规划．【分析】〔1〕根据条件建立不等式关系，即可作出对应的平面区域．2〕根据线性规划的应用进行平移求解即可．【解答】解：〔I〕因为x≥0，y≥0，那么，化简为，结合100﹣x﹣y≥0，可列出x，y满足的数学关系式为，在xOy平面中，画出相应的平面区域如下图；II〕这100kg混合食物的本钱z=5x+4y+3=2x+y+300，平面区域是一个三角形区域，顶点为A〔，25〕，B〔50，50〕，C〔75，25〕，目标函数z=2x+y+300在经过点A〔，25〕时，z取得最小值400元．第12页〔共19页〕16ABC的三个内角 A， B ， C 所对的边分别为 a bc acsinAcsinC﹣．△，，，且〔﹣〕 +bsinB=0．〔1 〕求B 的值； 2 〕求 sinA sinC 的最大值及此时 A ， C 的值．〔 +【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】〔1〕根据正弦定理化简的式子， 再由余弦定理求出cosB ，由内角的范围求出B ；〔2〕由〔I 〕和内角和定理求出C ，代入sinA+sinC 后利用两角和与差的正弦公式化简，利用正弦函数的性质求出式子sinA +sinC 的最大值，以及此时 A ，C 的值．1a c 〕 sinAcsinC ﹣ bsinB=0 ，【解答】解：〔〕由得，〔﹣+根据正弦定理得〔 ac ac 2 ﹣ b 2﹣〕+=0，化简得b 2=a 2+c 2﹣ac由余弦定理得 b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，所以cosB= ，由0＜B ＜π得B=〔II 〕由〔I 〕得：C=π﹣A ﹣B=，sinA sinC=sinAsin〕++〔==当时，所以当A= 时，且C= ，sinA+sinC 取得最大值．（ 17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥BC ，平面PACD 为直角梯形，∠PAC=90°，PD ∥AC ，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120° 1〕求证：PA ⊥AB ；2〕求直线BD 与平面PACD 所成角的正弦值； 3〕求二面角D ﹣BC ﹣A 的平面角的正切值．第13页〔共19页〕【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】〔Ⅰ〕由PA⊥BC，PA⊥AC，得到PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥AB．〔Ⅱ〕过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，那么∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角，由此能求出直线BD与平面PACD所成角的正弦值．〔Ⅲ〕过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，那么∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BC﹣A 的平面角的正切值．【解答】〔本小题总分值13分〕证明：〔Ⅰ〕因为PA⊥BC，∠PAC=90°，即PA⊥AC，因为AC，BC交于点C，所以PA⊥平面ABC，而AB?底面ABC，所以PA⊥AB．解：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，平面PACD⊥平面ABC，过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，那么∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角；取AC的中点E，连接BE，DE，那么DE∥PA；在△ABE中，AB=AE=1，∠BAE=120°，所以BE==，，所以因为DE∥PA，所以DE⊥平面ABC，BD==2，在直角三角形△BDM中，，即直线BD与平面PACD所成角的正弦值为．〔Ⅲ〕过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，那么∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，在△EBC中，，那么BC==，，，，即二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值为．第14页〔共19页〕18．椭圆 C ： + =1〔a ＞b ＞0〕上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆 O 经过两个焦点， A ，B 是椭圆C 的长轴端点．1〕求椭圆C 的标准方程和圆O 的方程；2〕设P 、Q 分别是椭圆C 和圆O 上位于y 轴两侧的动点，假设直线PQ 与x 平行，直线AP 、BP 与y 轴的交点即为 M 、N ，试证明∠MQN 为直角．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕运用椭圆的定义和a ，b ，c 的关系，解方程可得椭圆的方程和圆的方程；〔2〕设P 〔x 0，y 0〕，直线AP ：y=k 〔x+2〕〔k ≠0〕，求得M ，代入椭圆方程，求得 P 的坐标，求出直线BP 的方程，可得N 的坐标，设Q 〔x Q ，y 0〕，求得向量QM ，QN 的坐标，运用向量数量积计算即可得证．【解答】解：〔1〕由椭圆定义可得2a=4，又b=c 且b 2+c 2=a 2，解得a=2，b=c= ，即椭圆 C 的标准方程为 ，那么圆O 的方程为 x 2+y 2=2；2〕证明：设P 〔x 0，y 0〕，直线AP ：y=k 〔x+2〕〔k ≠0〕，令x=0可得M 〔0，2k 〕．将和 y=kx2k 0〔+〕〔 ≠〕联立可得（ 2k 2+1〕x 2+8k 2x +8k 2﹣4=0，第15页〔共19页〕那么 ，， ，故 ，直线BP 的斜率为 ，直线BP ： ，令x=0可得 ．设Q 〔x Q ，y 0〕，那么，由， ，可得 ，所以 ，即∠MQN 是定值90°．19．函数 f 〔x 〕=ax 2﹣lnx 〔a ∈R 〕1〕当a=1时，求曲线y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕的切线方程； 2〕假设?x ∈〔0，1]，|f 〔x 〕|≥1恒成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔1〕求出函数的导数，计算f ′〔1〕，f 〔1〕，求出切线方程即可；〔2〕求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性确定出 a 的具体范围即可． 【解答】解：〔1〕a=1时，f 〔x 〕=x 2﹣lnx ，f ′〔x 〕=2x ﹣ ， 因为f'〔1〕=1，f 〔1〕=1， 所以切点为〔1，1〕， 切线方程为 y=x ．〔2〕由得 f ′〔x 〕=2ax ﹣ ．① 假设 f ′x 〕≤ 0 在〔 0 1 2a〔 ，]上恒成立，那么 ≤恒成立，所以2a ≤ =1，即a ≤．即a ≤时，f 〔x 〕在〔0，1]单调递减，〔f 〔x 〕〕min =f 〔1〕=a ，与|f 〔x 〕|≥1恒成立矛盾．②当 a时，令 f ′x 〕 =2ax ﹣=0 ，得 x=01]，＞ 〔∈〔，第16页〔共19页〕所以当x∈〔0，〕时，f′〔x〕＜0，f〔x〕单调递减；当x∈〔1]时，f′x〕＞0f x〕单调递增．，〔，〔所以〔f〔x〕〕min=f〔〕=〔1+ln2a〕，由|f〔x〕|≥1得，〔1+ln2a〕≥1，所以a≥．综上，所求a的取值范围是[，+∞〕．20．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，假设a k﹣1+b k﹣1≥0，那么a k=a k﹣1，b k=；假设a k﹣1+b k﹣1＜0，那么a k=，b k=b k﹣1．〔Ⅰ〕假设a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；S a b2﹣a b a S a b表示〕；〔Ⅱ〕设n=〔b1﹣1〕+〔2〕++〔n﹣n〕，求n〔用，〔Ⅲ〕假设存在n∈N *，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b﹣＞b，求n的最大值〔用k1ka，b表示〕．【考点】数列的应用．【分析】〔Ⅰ〕由题意可直接写出答案；〔Ⅱ〕分情况计算b﹣a，得{b﹣a}是以b﹣a=b a为首项，为公比的等比数列，从k k k k11﹣而可得S n；〔Ⅲ〕由b k﹣1＞b k，数列{a n}与{b n}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a=a，解之即可．k，结合〔Ⅱ〕知【解答】解：〔Ⅰ〕a2=﹣1，b2=0，a3=，b3=0；〔Ⅱ〕∵=，=，∴无论是a k﹣1+b k﹣1≥0，还是a k﹣1+b k﹣1＜0，都有b k﹣a k=，即{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，所以S a ba b a=；n=〔b1﹣1〕+〔2﹣2〕++〔n﹣n〕〔Ⅲ〕∵b k﹣1＞b k，及数列{a n}与{b n}满足的关系，a k﹣1+b k﹣1≥0，∴a k=a k﹣1，即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，第17页〔共19页〕由〔Ⅱ〕知b﹣a=，∴b=a+，k k k所以a k﹣1+b k﹣1=，解得，所以n的最大值为不超过的最大整数．第18页〔共19页〕2021年9月8日第19页〔共19页〕。

天津市东丽区2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ） A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【解析】【分析】 根据集合A 中的元素，可得集合B ，然后根据交集的概念，可得P ，最后根据子集的概念，利用2n 计算，可得结果.【详解】由题可知：{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈ 当0n =时，1x =-当1n =时，0x =当2n =时，3x =当3n =时，8x =所以集合}{{}21,1,0,3,8B x x n n A ==-∈=- 则{}0,3P A B =⋂=所以P 的子集共有224=故选：B【点睛】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合P 中有n 元素时，集合P 子集的个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集为21n -，非空真子集为22n -，属基础题.2．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦.*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，， ∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝.662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，…….∴6n n b b +＝.故{}n b 是一个以周期为6的周期数列，则20196336335b b b ⨯+＝＝＝.故选：B.【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．3．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）A 5B ．3C ．12D ．1【答案】B【解析】【分析】PBA ∠为所求的二面角的平面角，由DAP CPB ~得出PA PB，求出P 在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出PBA ∠的最大值对应的余弦值【详解】 DA l ⊥，αβ⊥，l αβ⋂=，AD β⊂AD α∴⊥，同理BC α⊥DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒DAP CPB ∴~，12PA DA PB BC == 在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >， ()()2222233x y x y ∴++=-+()22516x y ++= P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆 平面PBC ⋂平面BC β=，PB BC ⊥，AB BC ⊥PBA ∴∠为二面角P BC D --的平面角，∴当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，cos PBA ∠取得最小值此时4843PM MB MP PB PB ==⊥=，，，433cos PB PBA MB ∠=== 故选B【点睛】 本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．4．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（）A ．4B ．6C ．23D ．43【答案】B【解析】【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =，且30BDC ∠=︒， ∴|||3 302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯⨯=⋅， 故选B ．【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．5．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】B【解析】 试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，； ⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.考点：程序框图.6．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解. 【详解】 由cos ()()22x xx x f x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x x x x f x -∴=+＞，排除选项D ， 故选：C.【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.7．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ）A ．2B ．53C ．43D ．32【答案】B【解析】【分析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出x ，y ，即可求出23x y +的值.【详解】如图所示过O 做三角形三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，过O 分别做AB ，AC 的平行线NO ，MO ，由题知222294cos 607212AB AC BC BC BC AB AC +-++︒==⇒=⋅⋅ 则外接圆半径212sin 603BC r ==⋅︒，因为⊥OD AB ，所以22212319OD AO AD =-=-=，又因为60DMO ∠=︒，所以2133DM AM =⇒=，43MO AN ==，由题可知AO xAB y AC AM AN =+=+， 所以16AMx AB ==，49ANy AC ==， 所以5233x y +=.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.8．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M 满足5x y +≥的概率为（） A ．935 B ．635 C ．537 D ．737【答案】D【解析】【分析】列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.【详解】因为,x y 是整数，所以所有满足条件的点(,)M x y 是位于圆2210x y +=（含边界）内的整数点，满足条件2210x y +≤的整数点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),±±±±(2,0),(3,0),(1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(1,3)±±±±±±±±±±±±±±共37个，满足x y +≥7个，则所求概率为737. 故选：D .【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.9．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b“是“α//β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可．【详解】解：a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交；反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，则“a ∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．故选：D.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．10．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.【答案】D【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差．故本题答案选D ．11．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤【答案】D【解析】【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()x x f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20a f x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案.【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()x x f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①， 当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20a f x x x x '=-+≥在[1,)+∞上恒成立，变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=， 若242a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②， 若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③联立①②③可得：25a ≤≤.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.12．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】 由()11z z i -=+得：()()()211111i i z i i i i ++===-+- 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三年级总复习质量检测（二）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）·如果事件A，B相互独立，那么·球的表面积公式S＝24Rπ球的体积公式V＝343Rπ其中R表示球的半径P （AB ）＝P （A ）g P （B ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{x ∈R|x ≥3}，则图中阴影部分所表示的集合为（A ）{1，2，3} （B ）{3，4，5} （C ）{1，2}（D ）{4，5}（2）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为80秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待30秒才出现绿灯的概率为（A ）38（B ）58（C ）14（D ）35（3）为得到函数 y ＝sin(2x ＋π6) 的图象，只需将函数 y ＝sin2x 的图象（A ）向左平移 π3个长度单位（B ）向左平移 π6个长度单位（C ）向左平移π12个长度单位 （D ）向右平移π12个长度单位（4）在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积为3，则AC 的长为（A ）3（B ）13 （C ）21（D ）57（5）执行如图所示的程序框图．如果输入n ＝3， 则输出的S 值为（A ）25（B ）45（C ）37（D ）67（6）已知条件 p ：|x ＋1|＞2，条件 q ：x ＞a ，且 ¬p 是 ¬q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是（A）a≥1 （B）a≤1（C）a≥－1 （D）a≤－3（7）已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－0.5，则（A）x＜y＜z （B）x＜z＜y（C）z＜y＜x （D）y＜z＜x（8）对任意的x＞0，总有()|lg|=--≤0，则a 的取值范围是f x a x x（A）(－∞，lge－lg(lge)] （B）(－∞，1]（C）[1，lge－lg(lge)] （D）[lge－lg(lge)，＋∞)数学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

天津市东丽区2021届新高考数学考前模拟卷（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论． 2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．83【答案】A 【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为1和2，所以底面面积为11212S =⨯⨯= 高为2h =的三棱锥，所以三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选A ．3．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由于点A ，B ，C 不共线，则()()0AB AC BC AB AC BC +⊥⇔+⋅=()()22AB AC AC AB AC AB ⇔+⋅-=-=22AC AB ⇔=⇔“AB AC =”；故“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题. 4．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.【详解】 令，构造，求导得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，若，即，则，则，且，故，若，即，由于，故，故不符合题意，舍去. 故选A.【点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.5．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 【详解】由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合， 所以||2OP OP BA '-==,故排除C,D 选项； 当02x π<<时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=，由图象可知选B.故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题. 6．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12±【答案】C 【解析】 【分析】 设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案.【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()221g x x axh x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x -=，得1x =±， 所以1a =±. 故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题. 7．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义转化，列出方程求出p ，即可得到抛物线方程． 【详解】由抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得122p =，1p ∴=，所以抛物线的标准方程为：y 2＝2x ． 故选B ． 【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题． 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案.【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.9．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆybx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆy bx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】①根据线性相关性与r 的关系进行判断, ②根据相关指数2R 的值的性质进行判断, ③根据方差关系进行判断,④根据点00,x y 满足回归直线方程，但点00,x y 不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断. 【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1,故①正确; ②用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果,2R 越大,模型的拟合效果越好,故②错误; ③若统计数据123,,,,n x x x x 的方差为1,则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为224=,故③正确;④因为点00,x y 满足回归直线方程，但点00,x y 不一定就是这一组数据的中心点，即1210010x x x x +++=，1210010y y y y ++=不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当1210010x x x x +++=，1210010y y y y ++=时，点 00,x y 必满足线性回归方程 ˆˆˆybx a =+；因此“00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③. 故选：C. 【点睛】本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题. 10．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i +【答案】A 【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有512112z i i i i i=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.11．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种 B ．20种 C ．22种 D ．24种【答案】B 【解析】 【分析】分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】根据医院A 的情况分两类：第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有2232C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时，共有2232C A +122210C A =种不同分配方案；第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有33A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有33A +122210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.12．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种【答案】C 【解析】 【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；因此共有12416+=种组合. 故选C 【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年天津市东丽区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算（﹣4）+6的值是（）A．﹣10B．﹣2C．10D．22．tan45°的值等于（）A．B．C．D．13．地球绕太阳公转的速度约为110000km/h，则110000用科学记数法可表示为（）A．0.11×106B．1.1×105C．0.11×105D．1.1×1064．下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，是由4个小立方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．6．估算的值是在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间7．计算﹣的结果是（）A．3B．﹣3C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，那么点B1的坐标是（）A．（1，1）B．（，）C．（0，）D．（，）9．方程组的解是（）A．B．C．D．10．若点A（x1，﹣5），B（x2，﹣3），C（x3，3）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x3＜x1＜x2C．x1＜x3＜x2D．x2＜x1＜x3 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1cm B．2cm C．cm D．2cm12．关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①图象与y轴的交点为（0，﹣5）；②对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；③若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则﹣＜a≤﹣1或1≤a＜．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.13．计算a6÷a3的结果等于．14．计算（y+2）（y﹣2）的结果等于．15．不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．16．直线y＝﹣x向下平移3个单位得到的直线解析式为．17．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（Ⅰ）AB的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在△ABC的内部画出点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：1：3，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题：本大愿共7小愿，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动．活动结束后，学校对本校八年级学生4月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：（Ⅰ）补全条形统计图，扇形统计图中m＝．（Ⅱ）求本次抽取学生4月份“读书量”的平均数、众数和中位数．（Ⅲ）己知该校八年级有350名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数．21．已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E＝30°，求∠BDC 的度数．22．A，B两市相距150km，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，tanα＝1.627，tanβ＝1.373．己知风景区是以C为圆心，45km为半径的圆形区域．为了开发旅游，有关部门设计、修建连接A，B两市的高速公路，问高速公路AB是否穿过风景区，请说明理由．23．小明的父亲在批发市场按每千克1.5元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：售出西瓜x/kg010********手中持有的钱数y/元50120155190（Ⅱ）填空：①降价前他每千克西瓜出售的价格是元．②随后他按每千克下降1元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，他一共批发了千克的西瓜．（Ⅲ）当0≤x≤80时求y与x的函数关系式．24．己知点A（4m﹣6，0），B（0，m+3）分别为两坐标轴正半轴上一点，OA＝OB．（Ⅰ）求m的值及点A、点B的坐标：（Ⅱ）若点D为线段OA上一点（不与O，A重合）．①如图1，将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，点P是直线BD上一动点，求△PEA的周长的最小值；②如图2，点F为AB的中点，点C在y轴负半轴上，若AD+OC＝CD，则∠CFD的大小是否发生改变，若不变，请求出∠CFD度数；若变化，请说明理由．25．已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的对称轴为x＝1，且过点（1，），点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB：y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限内或x轴上，求△PAB面积的最小值；（3）对于抛物线y＝ax2+bx，是否存在实数m、n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是3m≤y≤3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算（﹣4）+6的值是（）A．﹣10B．﹣2C．10D．2解：（﹣4）+6＝2．故选：D．2．tan45°的值等于（）A．B．C．D．1解：tan45°＝1．故选：D．3．地球绕太阳公转的速度约为110000km/h，则110000用科学记数法可表示为（）A．0.11×106B．1.1×105C．0.11×105D．1.1×106解：将110000用科学记数法表示为：1.1×105．故选：B．4．下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．5．如图，是由4个小立方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．解：从上边看，是一行三个小正方形．故选：B．6．估算的值是在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间解：∵＜＜，∴的值是在2和3之间．故选：B．7．计算﹣的结果是（）A．3B．﹣3C．D．解：原式＝＝＝3．故选：A．8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，那么点B1的坐标是（）A．（1，1）B．（，）C．（0，）D．（，）解：∵将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴OC1＝OC＝BC＝B1C1＝1，∠C1＝∠C＝90°，∠COC1＝45°，∴∠C1B1O＝90°﹣∠COC1＝45°，∴B1C1＝OC1，∠COB1＝90°，∴B1在y轴的正半轴上，∴OB1＝＝，∴B1的坐标是（0，），故选：C．9．方程组的解是（）A．B．C．D．解：，把①代入②，得﹣x+4x﹣3＝6，解得：x＝3，把x＝3代入①，得y＝12﹣3＝9，所以方程组的解是，故选：A．10．若点A（x1，﹣5），B（x2，﹣3），C（x3，3）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x3＜x1＜x2C．x1＜x3＜x2D．x2＜x1＜x3解：∵点A（x1，﹣5），B（x2，﹣3），C（x3，3）都在反比例函数y＝的图象上，∴x1＝3，x2＝﹣5，x3＝5，∴x2＜x1＜x3，故选：D．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1cm B．2cm C．cm D．2cm解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，∴AC＝AB，则AB＝2AC＝2cm．又由旋转的性质知，AC′＝AC＝AB，B′C′⊥AB，∴B′C′是△ABB′的中垂线，∴AB′＝BB′．根据旋转的性质知AB＝AB′＝BB′＝2cm．故选：B．12．关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①图象与y轴的交点为（0，﹣5）；②对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；③若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则﹣＜a≤﹣1或1≤a＜．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5，当x＝0时，y＝﹣5，∴图象与y轴的交点为（0，﹣5），故①正确；该函数的对称轴是直线x＝﹣＝2，故对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等，故②正确；当x＝3时，y＝9a﹣12a﹣5＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝16a﹣16a﹣5＝﹣5，∴当a＞0时，﹣3a﹣5≤y≤﹣5，∵若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，∴﹣5﹣4＜﹣3a﹣5≤﹣5﹣3，解得，1≤a＜；当a＜0时，﹣5≤y≤﹣3a﹣5，∵若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，∴﹣5+3≤﹣3a﹣5＜﹣5+4，解得，﹣＜a≤﹣1；由上可得，若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则﹣＜a≤﹣1或1≤a＜，故③正确；故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置.13．计算a6÷a3的结果等于a3．解：a6÷a3＝a3．故答案为：a3．14．计算（y+2）（y﹣2）的结果等于y2﹣4．解：（y+2）（y﹣2）＝y2﹣4．故答案为：y2﹣4．15．不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．解：不透明袋子中装有8个球，其中有5个红球、3个绿球，∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是；故答案为：；16．直线y＝﹣x向下平移3个单位得到的直线解析式为y＝﹣x﹣3．解：因将直线向下平移3个单位，故直线y整体减3即可，此时直线为y＝﹣x﹣3．故答案为：y＝﹣x﹣3．17．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为1．解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝，∴AP＝AD﹣PD＝，∴PE＝＝＝2，∵点G，H分别是EC，CP的中点，∴GH＝EP＝1；方法二：设DF，CE交于O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴∠COF＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF＝＝，∵点G，H分别是EC，PC的中点，∴CG＝FH＝，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠FCO＝∠CDO，∵∠DCF＝∠COF＝90°，∴△COF∽△DOC，∴＝，∴CF2＝OF•DF，∴OF＝＝＝，∴OH＝，OD＝，∵∠COF＝∠COD＝90°，∴△COF∽△DCF，∴，∴OC2＝OF•OD，∴OC＝＝，∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，∴HG＝＝＝1，故答案为：1．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（Ⅰ）AB的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在△ABC的内部画出点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：1：3，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）AC与网格相交得到D，E，取格点F，连接FB，并延长，与网格相交得M，N，G，连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P．解：（Ⅰ）AB＝，故答案为：；（Ⅱ）如图，AC与网格相交得到D，E，取格点F，连接FB，并延长，与网格相交得M，N，G，连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，则点P即为所求，由图可知，AE：CD：DE＝1：1：3，且AC∥FN，∴平行四边形ABME，CDNB，DEMG的高相等，∴S▱ABME：S▱CDNB：S▱DEMG＝1：1：3，∵，∴S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：1：3．故答案为：AC与网格相交得到D，E，取格点F，连接FB，并延长，与网格相交得M，N，G，连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P．三、解答题：本大愿共7小愿，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≤4；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤4．解：．（Ⅰ）解不等式①，得x≤4；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤4．故答案为：x≤4；x≥﹣1；﹣1≤x≤4．20．每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动．活动结束后，学校对本校八年级学生4月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：（Ⅰ）补全条形统计图，扇形统计图中m＝35．（Ⅱ）求本次抽取学生4月份“读书量”的平均数、众数和中位数．（Ⅲ）己知该校八年级有350名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数．解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为3÷5%＝60（人），m%＝×100%＝35%，即m＝35．故答案为：35；（Ⅱ）读4本的人数有：60×20%＝12（人），本次所抽取学生4月份“读书量”的平均数是：＝3（本）；根据统计图可知众数为3本；把这些数从小到大排列，中位数是第30、31个数的平均数，则中位数是＝3（本）；（Ⅲ）根据题意得：350×20%＝70（人），答：该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数有70人．21．已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E＝30°，求∠BDC 的度数．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠C＝180°，∵∠EAD+∠DAB＝180°，∴∠C＝∠EAD，∵∠EAD＝75°，∴∠C＝75°，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C＝75°，∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°；（Ⅱ）连接OB，OD，∵EB，ED与⊙O相切于点B，D，∴OB⊥EB，OD⊥ED，∴∠OBE＝90°，∠ODE＝90°，∵∠OBE+∠E+∠ODE+∠BOD＝360°，∠E＝30°，∴∠BOD＝150°，∴∠C＝∠BOD＝75°，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C＝75°，∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°．22．A，B两市相距150km，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，tanα＝1.627，tanβ＝1.373．己知风景区是以C为圆心，45km为半径的圆形区域．为了开发旅游，有关部门设计、修建连接A，B两市的高速公路，问高速公路AB是否穿过风景区，请说明理由．解：AB不穿过风景区．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于点D，根据题意得，∠ACD＝α，∠BCD＝β，在Rt△ACD中，tanα＝，即AD＝CD•tanα，在Rt△BCD中，tanβ＝，即BD＝CD•tanβ，∵AD+DB＝AB，∴CD•tanα+CD•tanβ＝AB，∴CD＝＝＝＝50（km）．∵CD＝50＞45，∴高速公路AB不穿过风景区．23．小明的父亲在批发市场按每千克1.5元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：售出西瓜x/kg010********手中持有的钱数y/元5085120155190330（Ⅱ）填空：①降价前他每千克西瓜出售的价格是 3.5元．②随后他按每千克下降1元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，他一共批发了128千克的西瓜．（Ⅲ）当0≤x≤80时求y与x的函数关系式．解：（Ⅰ）由图可得，自带的零钱为50元．x＝80时，手中持有的钱数是330元，降价前的价格：（330﹣50）÷80＝3.5（元），x＝10时，50+3.5×10＝85（元），故答案为：85，330；（Ⅱ）①（330﹣50）÷80＝280÷80＝3.5（元），答：降价前他每千克西瓜出售的价格是3.5元；②设他一共批发了x千克的西瓜，330+（3.5﹣1）×（x﹣80）＝450，解得：x＝128，答：他一共批发了128千克的西瓜，故答案为：①3.5；②128；（Ⅲ）设当0≤x≤80时y与x的函数关系式为y＝kx+b．，解得：，∴当0≤x≤80时y与x的函数关系式为y，3.5x+50．24．己知点A（4m﹣6，0），B（0，m+3）分别为两坐标轴正半轴上一点，OA＝OB．（Ⅰ）求m的值及点A、点B的坐标：（Ⅱ）若点D为线段OA上一点（不与O，A重合）．①如图1，将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，点P是直线BD 上一动点，求△PEA的周长的最小值；②如图2，点F为AB的中点，点C在y轴负半轴上，若AD+OC＝CD，则∠CFD的大小是否发生改变，若不变，请求出∠CFD度数；若变化，请说明理由．解：（1）∵OA＝OB，又∵点A（4m﹣6，0），B（0，m+3），∴4m﹣6＝m+3，∴m＝3，∴点A（6，0），点B（0，6），∴m＝3，A（6，0），B（0，6）；（2）①如图，连接OP，∵点A（6，0），点B（0，6），在Rt△AOB中，AO＝BO＝6，∴AB＝＝6，∵将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，∴BE＝BO＝6，OP＝PE，∵△PEA的周长＝PE+EA+PA＝OP+EA+AP，∴当点P与点D重合时，△PEA的周长最短，∴△PEA周长的最小值＝EA+OP+PA＝EA+OA＝AB＝6；（2）②∠CFD的大小不发生改变，理由如下：如图2，连接OF，在BO上截取OH＝AD，连接HF，∵OA＝OB，点F是AB的中点，∠AOB＝90°，∴OF⊥AB，OF＝AF＝BF，∠BAO＝∠BOF＝45°，又∵OH＝AD，∴△ADF≌△OHF（SAS），∴HF＝DF，∠AFD＝∠OFH，∵∠AFD+∠DFC+∠OFC＝90°，∴∠DFC+∠OFC+∠HFO＝90°，∴∠HFD＝90°，∵AD+OC＝CD，OH+OC＝HC，∴HC＝CD，又∵CF＝CF，HF＝FD，∴△CFD≌△CFH（SSS），∴∠DFC＝∠HFC＝45°．25．已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的对称轴为x＝1，且过点（1，），点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB：y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限内或x轴上，求△PAB面积的最小值；（3）对于抛物线y＝ax2+bx，是否存在实数m、n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是3m≤y≤3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．解：（1）函数的对称轴为x＝1＝﹣，即b＝﹣2a，故抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax，将（1，）代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；（2）过点P作PH∥y轴交BA于点H，设点P（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x+3），△PAB面积S＝S△PHA+S△PHB＝×PH×OA＝（﹣x+3+x2﹣x）×3＝x2﹣3x+，∵＞0，故S有最小值，当x＝2时，S的最小值为；（3）存在，理由：y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+≤，∴如果存在m、n，则必须3n≤，即n≤，当x≤1时，y随x的增大而增大，∴当x＝m时，y＝﹣m2+m＝3m，解得：m＝﹣4或0（舍去0）；当x＝n时，y＝﹣n2+n＝3n，解得：n＝﹣4或0（舍去﹣4）；故m＝﹣4，n＝0．。

天津市东丽区2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．33-D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x a=±-， 一条渐近线的倾斜角为56π，53tan 63aπ∴-==--，解得：3a =-. 故选：D . 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求.2．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．2C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD ，算出长度.几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD =故选：C. 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离224a d ca b ==+， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ．本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．17B ．32C ．53D ．10 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 5．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求ϕ的最小值. 【详解】根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣⎦，所以22,44k k Z ππϕπ-=+∈，所以,4k k Z πϕπ=+∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为4π． 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A B ．C D【答案】A 【解析】 【分析】直线l 的方程为bx y c a=-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可. 【详解】由题意可知直线l 的方程为bx y c =-,不妨设1a =.则x by c =-，且221b c =-将x by c =-代入双曲线方程2221y x b-=中，得到()4234120b y b cy b +--=设()()1122,,,A x y B x y则341212442,11b c b y y y y b b +=⋅=-- 由2AF FB =，可得122y y =-，故32442242121b cy b b y b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩则22481b c b =-，解得219=b 则21013c b =+=所以双曲线离心率103c e a ==故选：A 【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.7．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．8【答案】C 【解析】 【分析】初始值0n =，1S =第一次循环：1n =，11122S =⨯=； 第二次循环：2n =，121233S =⨯=；第三次循环：3n =，131344S =⨯=；第四次循环：4n =，141455S =⨯=；第五次循环：5n =，151566S =⨯=；第六次循环：6n =，161677S =⨯=；第七次循环：7n =，171788S =⨯=；第九次循环：8n =，181899S =⨯=；第十次循环：9n =，1910.191010S =⨯=≤； 所以输出190.910S =⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【答案】B 【解析】 【分析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数. 【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种.如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种. 故选：B 【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.9．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．718B ．79C ．718-D ．79-【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【详解】1sin 3α=，cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22211cos sin 12sin 22ααααααα⎫==-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭2117122318⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 10．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意可得：131255i i i -=--. 共轭复数为3155i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系11．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )A ．1B ．2C ．2D【答案】D 【解析】设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ． 【详解】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，可得222337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，设公比为q ，则()2237q a a 4q 8+==，则q =负的舍去)，故选D ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．12．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】结合已知可知，112T =可求T ，进而可求ω，代入()f x ，结合1()03f =，可求ϕ，即可判断．【详解】图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足12||1x x -=，∴112T =即2T =，ωπ∴=，()sin()f x x πϕ=+，且11()sin()033f πϕ=+=，∴13k πϕπ+=，k Z ∈，1||2ϕπ<，13ϕπ∴=-，1()sin()3f x x ππ=-，当16x =-时，1()16f -=-为函数的一个极小值点，而1(,0)66π-∈-．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市河东区2021届新高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ． 23i -+ D ． 23i --【答案】A 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由32i z i ⋅=+，得()()2323223i i i z i i i +-+===--，∴23z i =+．故选A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】 解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =±C．2y x =± D．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2， 又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）AB ．3CD ．2【答案】A 【解析】 【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b x y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c=-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=， 则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =， 故该双曲线的离心率10e =. 故选：A .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径5AC =，且2PB =.所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为2R =因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③． 【详解】①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③为假命题． 故选：C ． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题． 7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．132【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M 的值，当3x =，1943M =>，退出循环，输出结果. 【详解】程序运行过程如下：3x =，0M =；23x =，23M =；12x =-，16M =；3x =，196M =；23x =，236M =； 12x =-，103M =；3x =，1943M =>，退出循环，输出结果为193， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目. 8．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 9．下列不等式成立的是（ ） A ．11sincos 22> B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32< D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】 对于A ，1024π<<Q ，11sin cos 22∴<，A 错误； 对于B ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，1221log log 313=>Q ，1331log log 212=<，112311log log 32∴>，C 错误； 对于D ，13y x =Q 在R 上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.10．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 11．已知x 与y 之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为$ 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ） A ．1.5 B ．2.5C ．3.5D ．4.5【答案】D 【解析】 【分析】利用表格中的数据，可求解得到 2.5,x =代入回归方程，可得5y =，再结合表格数据，即得解. 【详解】利用表格中数据，可得 2.5,x = 又 2.10.25,5y x y =-∴=，3.24.87.520m ∴+++=．解得 4.5m = 故选：D 【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.12．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 【答案】D【分析】根据复数运算，即可容易求得结果. 【详解】3(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i ----====--++-.故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年天津市部分区高考数学二模一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合M ＝{﹣2，0，1}，N ＝{﹣1，0，1，2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，2} B ．{﹣2，0，1}C ．{﹣2，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知a ，b ∈R ，“a ＞b ”是“b a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3．函数y ＝x ﹣||x a（0＜a ＜1）的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．4．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥M ﹣ABCD 为阳马，侧棱MA ⊥底面ABCD ，且MA ＝1，BC ＝2，AB ＝3．若该四棱锥的顶在都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．14πB ．20πC ．25πD ．28π5．某工厂对一批新研发产品的长度（单位：mm ）进行测量，将所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，据此图估计这批产品长度的中位数是（ ）A ．23.25mmB ．22.50mmC ．21.75mmD ．21.25mm6．已知23log )23(22223===c ba ，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a7．设F （c ，0）为双曲线E ：12222=-by a x （a ＞0．b ＞0）的右焦点，圆x 2+y 2＝c 2与E 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若四边形OAFB 是边长为4的菱形，则E 的方程为（ ）A ．12622=-y xB ．16222=-y xC ．131222=-y xD ．112422=-y x8．下面四个命题，其中所有真命题的编号为（ ） ①函数y ＝sin 2x ﹣cos 2x 的最小正周期是2π； ②终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }； ③把函数)32sin(3π+=x y 的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度后，得到函数y ＝3sin2x 的图象； ④函数)2sin(π-=x y 在区间[0，π]上单调递减．A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④9．已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）＝⎩⎨⎧>+-≤<3430|log |3x x x x ，，，若函数y＝f （x ）﹣a （a ∈R ）恰有六个零点，且分别记为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则x 1•x 2•x 3•x 4•x 5•x 6的取值范围是（ ） A ．（﹣9，﹣4）B ．（﹣4，9）C ．（﹣16，﹣9）D ．（﹣16，﹣4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10．i 是虚数单位，则|121|ii--＝ ． 11．（x ﹣x1）6的展开式中的常数项是 （用数字作答）．12．已知过点P （0，1）的直线l 与直线4x ﹣3y ＝0垂直，l 与圆x 2+y 2+2x ﹣6y +6＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．13．某学校团委在2021年春节前夕举办教师“学习强国”知识答题赛，其中高一年级的甲、乙两名教师组队参加答题赛，比赛共分两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题．已知甲答对每个题的概率为32，乙答对每个题的概率为21．假定甲、乙两人答题正确与否互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为 ．14．已知a ＞0，b ＞0，且4a 2+9b 2﹣2ab ＝20，则ab 的最大值为 ． 15．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD ＝4，向量，DC 的 夹角为3π．若E ，F 分别是边AD 的三等分点和中点，M ，N 分别 是边BC 的三等分点和中点，则||＝ ，⋅＝ ．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝8，BD ＝5，∠DBC ＝3π，∠ADB ＝32π． （1）求边CD 的长； （2）设∠BAD ＝θ，求)6sin(πθ-的值．17．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，CA ＝CB ＝2，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝1，M 是A 1B 1的中点．（1）求证：A 1B ⊥C 1M ；（2）求直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值； （3）求二面角A ﹣A 1B ﹣C 的正弦值．18．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝1，a 4是a 2和a 8的等比中项，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足3b n ﹣2S n ＝2（n ∈N *）．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）对任意的正整数n ，设c n ＝⎩⎨⎧+为偶数，为奇数，n b n a nn 2，求数列{c n }的前2n +1项和．19．设椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2.已知C 的离心率为21，过焦点F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，当焦点F 1到直线l 的距离最大时，恰有|AF 2|＝23． （1）求C 的方程；（2）过点（a ，b ）且斜率为3的直线交C 于E ，F 两点，E 在第一象限，点P 在C 上．若线段EF 的中点为M ，线段EM 的中点为N ，求PN PM ⋅的取值范围．20．已知函数f （x ）＝（2x 2﹣3x ）e x ，g （x ）＝alnx ，其中a ≤e ． （1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求f （x ）的最小值；（3）记f '（x ）为f （x ）的导函数，设函数)(32)(')(x g x x f x h -+=的图象与x 轴有且仅有一个公共点，求a 的取值范围．2021年天津市部分区高考数学二模参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．A 9．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10．21011．15 12．23 13．3114．2 15．7；6三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤. 16．解：（1）在△BCD 中，BC ＝8，BD ＝5，∠ADB ＝32π ∴∠DBC=3π 由余弦定理，得，CD 2＝BD 2+BC 2﹣2BD ⋅BC cos ∠DBC 即493cos 85285222=⨯⨯⨯-+=πCD∴CD ＝7．（2）在△ABD 中，AB ＝7，BD ＝5，∠ADB=32π，∠BAD ＝θ， 由正弦定理，得θsin sin BDADB AB =∠ ∴1435732sin5sin sin =⨯=∠⋅=πθABADB BD ∴1411)1435(1sin 1cos 22=-=-=θθ∴712114112314356sincos 6cossin )6sin(=⨯-⨯=-=-πθπθπθ 17．（1）证明：依题意，以点C 为坐标原点，分别以1CC CB CA ，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C ﹣xyz则B （0，2，0），C （0，0，0），A 1（2，0，1）， M （1，1，1），C 1（0，0，1），B 1（0，2，1）． ∴A 1＝（-2，2，-1），C 1＝（1，1，0）， ∴⋅A 1C 1＝-2+2+0=0 ∴A 1⊥C 1，即A 1B ⊥C 1M ．（2）解：由（1），得==C B B A 113||，（0，-2，-1）， ∴311-=⋅B A ，5||1=B ， ∴55|533|||cos 111111=⨯-=>=<C B B A ， 即所求直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为55（3）解：依题意及（1），得=1CA （2，0，1）． 设平面A 1BC 的法向量为＝（x ，y ，z ）则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=-+-=⋅0202211z x CA z y x A 令x ＝1，得z ＝﹣2，y ＝0，∴＝（1，0，2-）， 由（1）及题意知，C 1M ⊥平面ABB 1A 1， ∴平面AA 1B 的法向量是，=M C 1（1，1，0）． ∴，5||=2||1=C 11=⋅C ，∴1010251||||cos 111=⨯=>=<M C n C ， 设二面角A ﹣A 1B ﹣C 的平面角为φ，由于0＜φ＜π，∴10103)1010(1sin 2=-==Φ ∴所求二面角A ﹣A 1B ﹣C 的正弦值为10103． 18．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝1，a 4是a 2和a 8的等比中项，所以8224a a a ⋅= 即（1+3d ）2＝（1+d ）（1+7d ），解得d ＝1或d ＝0． 又∵d ≠0，所以d ＝1． ∴a n ＝1+（n ﹣1）×1＝n ． ∵)(223*∈=-N n S b n n∴当n ≥2时，3b n ﹣1﹣2S n ﹣1＝2，∴3（b n ﹣b n ﹣1）﹣2（S n ﹣S n ﹣1）＝0，所以3（b n ﹣b n ﹣1）﹣2b n ＝0，即)2(31≥=-n b b n n．当n ＝1时，3b 1﹣2S 1＝2， 又∵S 1＝b 1，所以b 1＝2，∴数列{b n }是以2为首项、3为公比的等比数列． ∴11132--⨯=⋅=n n n q b b（2）∵⎩⎨⎧⨯+=-为偶数，为奇数，n n n c n n 1322 ∴数列{c n }的前2n +1项和为T 2n +1＝（3+5+7+⋯+2n +3）+2（31+33+35+⋯+32n ﹣1）＝4349491)91(62)323)(1(122++++=--++++n n n n n n ． 19．解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ，当焦点F 1到直线l 的距离取最大值时，l ⊥x 轴，此时23||22==a b AF ①又C 的离心率21=e ，∴222222)21(1=-==ab ac e ，②解①②，得a 2＝4，b 2＝3．所以椭圆C 的方程为13422=+y x（2）依题意及（1），得直线EF 的方程为)2(33-=-x y ，即33-=x y 由E ，F 为直线交椭圆C 的两个交点，且点E 在第一象限，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1343322y x x y ，得点)30()53358(-，，，F E又∵线段EF 的中点为M ，线段EM 的中点为N ， ∴点M 的坐标为)5354(-，，点N 的坐标为)5356(， 设点P 的坐标为（x 0，y 0），则﹣2≤x 0≤2且)5356()5354(0000y x PN y x PM --=---=，，，∴2521202020+-+=⋅x y x PN PM ③ ∵点P 在椭圆C 上，∴1342020=+y x∴)41(32020x y -=④将④代入③，得254)4(41259624125212)41(32002002020--=+-=+--+=⋅x x x x x x PN PM∵﹣2≤x 0≤2，∴当x 0＝2时，PM ⋅取得最小值2521 当x 0＝﹣2时，PM ⋅取得最大值25221∴所求PM ⋅的取值范围为]252212521[，20．解：（1）易知函数f （x ）的定义域为R ，且f '（x ）＝（2x +3）（x ﹣1）e x ， ∴f '（1）＝0， ∵因为f （1）＝﹣e∴曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ＝﹣e ． （2）由（1）得x e x x x f )1)(23(2)('-+=，令f '（x ）＝0，得23-=x ，x ＝1， ∴当)23(--∞∈，x 时，f '（x ）＞0，函数f （x ）单调递增， 当)123(，-∈x 时，f '（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 当x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＞0，函数f （x ）单调递增， ∴x ＝1是f （x ）的极小值点；又当x ＜0时，f （x ）＞0，当230<<x 时，f （x ）＜0，当23>x 时，f （x ）＞0， ∴f （x ）只能在)230(，)230(，内取得最小值，因为x ＝1是f （x ）在)230(，内的极小值点，也是最小值点，∴f （x ）min ＝f （1）＝﹣e ．（3）由（1）及题意，得h （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣alnx ，x ＞0， ∵h （1）＝0且曲线y ＝h （x ）与x 轴有且仅有一个公共点， ∴函数h （x ）有且仅有1个零点，且这个零点为1，且xae x x a xe x h x x-=-=2)('①当a ≤0时，h '（x ）＞0，函数h （x ）在（0，+∞）上单调递增，且h （1）＝0， ∴符合函数h （x ）有且仅有1个零点，且这个零点为1； ②当0＜a ＜e 时，令m （x ）＝x 2e x ﹣a ，（x ＞0）， m '（x ）＝2xe x +x 2e x ＝（x 2+2x ）e x ＞0， ∴在（0，+∞）上，函数m （x ）单调递增， ∵m （0）＝﹣a ＜0，m （1）＝e ﹣a ＞0，所以∃x 0∈（0，1），使得m （x 0）＝0，即a e x x =020， ∴在（0，x 0）上m （x ）＜0，即h '（x ）＜0，∴h （x ）单调递减；在（x 0，1）上m （x ）＞0， ∵0＜a ＜e ，所以在[1，+∞）上也有m （x ）＞0，∴在（x 0，+∞）上m （x ）＞0，即h '（x ）＞0，所以h （x ）单调递增，∴)11(ln ln )1()()(020202000min 000x x x e x x e x e x x h x h x x x -+-=--==令)10(11ln )(2<<-+=x x x x x t 则0)11)(12(1121)('23<-+-=+-=x x x xx x x t∴t （x ）在区间（0，1）上单调递减，所以t （x ）＞t （1）＝0， ∴011ln 020>-+x x x ，即h （x 0）＜0， ∵0＜a ＜e 且a 为常数，显然当x →0时，h （x ）→+∞，当x →+∞时，h （x ）→+∞， ∴函数h （x ）在区间（0，x 0）和（x 0，+∞）上各有一个零点； ③当a ＝e 时，h （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣elnx ，x ＞0，∴xee x x e xe x h x x-=-=2)('，令n （x ）＝x 2e x ﹣e ，（x ＞0），∴n '（x ）＝2xe x +x 2e x ＝（x 2+2x ）e x ＞0， ∴在（0，+∞）上，n （x ）单调递增，∵n （1）＝e ﹣e ＝0，故在（0，1）上n （x ）＜0，即h '（x ）＜0，所以在区间（0，1）上h （x ）单调递减， 在（1，+∞）上n （x ）＞0，即h '（x ）＞0，所以在区间（1，+∞）上h （x ）单调递增， ∴h （x ）min ＝h （1）＝0，符合题意， ∴所求a 的取值范围是{a |a ≤0}∪{e }．。

2021年高三普通高考教学质量检测（二）数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：xx.4.181．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}{}24,Z,13M x x x N x x=-≤≤∈=-<<，则A．B．C．D．2．已知复数的实部为，且，则复数的虚部是A．B．C．D．3．已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于A．1 B．3 C．5 D．64.为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是A．30 B．60 C．70 D．80 5．函数，,则A．为偶函数，且在上单调递减；B．为偶函数，且在上单调递增；C．为奇函数，且在上单调递增；90110周长(cm) 100120第4题图D ．为奇函数，且在上单调递减. 6．下列命题中假．命题．．是 A ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； B ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；C ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．7．直线与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有A ． 个B . 个C .个D .无数个8．将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法： ①的值域为； ②是周期函数； ③； ④.其中正确的说法个数为:A.0B.C.D.二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．命题“R ，0”的否定是 . 10. 已知向量满足, , 向量与的夹角为 .11．若二项式展开式中的系数等于的系数的倍，则等于 . 12．已知圆经过点和,且圆心在直线上,则圆的方程为 . 13．将集合{|且}中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第行第列 的数记为（）,则= .(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)O xPA 第8题图35691012第13题图14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线与 的交点分别为，则线段的垂直平分线的 极坐标方程为 ．15．（几何证明选讲）如图，圆的直径，直线与圆O相切于点， 于，若，设， 则______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限， 已知.（1）若,求的值； （2）若点横坐标为,求.17．（本题满分12分）市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路、、上下班时间往返出现拥堵的概率都是,道路、上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到.（1）求李生小孩按时到校的概率； （2）李生是否有七成把握能够按时上班？ （3）设表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数，求的均值.18．（本题满分14分）如图甲，设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上． （1）证明：平面；DC第15题图乙甲丙第17题图（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．19．（本题满分14分）在平面直角坐标系内，动圆过定点,且与定直线相切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上，且直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长取得最小值时的椭圆方程.20．（本题满分14分）某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为：,只有当污染河道水中碱的浓度不低于时,才能对污染产生有效的抑制作用.（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？（2）第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后．．．．．．水中碱浓度为,求的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加．．）21．（本题满分14分）设函数，记的导函数，的导函数，图甲图乙第18题图的导函数，…，的导函数，. （1）求； （2）用n 表示；（3）设，是否存在使最大？证明你的结论.xx 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测数 学（理科） 评分参考一、填空题 CDBCABBC二、填空题9．R ，0 10． 11． 12． 13． 14．（或） 15．三、解答题16．⑴解法1、由题可知：，， ……1分 ， ……2分，得 ……3分 ∴， ……4分 解法2、 由题可知：， ……1分 ， ……2分 ∵，∴ ……3分 ， 得 ……4分 解法3、 设，（列关于x 、y 的方程组2分，解方程组求得x 、y 的值1分，求正切1分） ⑵解法1、 由⑴， 记， ∴，（每式1分） ……6分 ∵ ，得（列式计算各1分） ……8分43sin sin()55AOB βα∠=-=+=（列式计算各1分） ……10分∴11sin 12210AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯（列式计算各1分） ……12分解法2、由题意得：的直线方程为 ……6分 则 即（列式计算各1分） ……8分 则点到直线的距离为（列式计算各1分） ……10分 又，∴（每式1分）…12分 解法3、即 （每式1分） …6分 即：， ， ……7分，，4313cos 10OA OB AOB OA OB-⨯+⨯⋅∠===……9分 （模长、角的余弦各1分）∴ ……10分则113sin 122102AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯=（列式计算各1分） ……12分 解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B 点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）17．⑴因为道路D 、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是（列式计算各1分） ……2分所以李生小孩能够按时到校的概率是； ……3分⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是， ……4分 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是， …5分 甲到乙遇到拥堵的概率是， ……6分甲到乙没有遇到拥堵的概率是，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是，所以李生没有八成把握能够按时上班（计算结论各1分）……8分⑶依题意可以取. ……9分 =,=,=,…11分 分布列是：22185170+1+2=30030030030060E ξ=⨯⨯⨯=. ……12分18．⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有， ……1分因为平面，平面，所以平面（条件2分）……4分 ⑵解法1、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则， ……5分 所以平面，则， ……6分 所以平面与平面所成二面角的平面角， ……8分 图甲中有，又，则三点共线， ……9分 设的中点为，则，易证，所以，，；……11分（三角形全等1分） 又由，得， ……12分 于是，， ……13分图甲图乙在中，，即所求二面角的余弦值为．……14分解法2、 如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则， ……5分所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线， ……6分设的中点为，则，易证，所以，则； 又由，得，……7分于是，，在中，1A G ===……8分作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则（坐标系、坐标、向量各1分） ……11分显然，是平面的一个法向量， ……12分设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，则， ……13分设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，1212cos 3||||23(1)GA n GA n θ===+-，所以，平面与平面所成二面角的余弦值为． ……14分19．⑴由题可知，圆心到定点的距离与到定直线的距离相等 ……2分由抛物线定义知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线 ……4分 （确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分）所以动圆圆心的轨迹的方程为.……5分 ⑵解法1、设，则中点为， 因为两点关于直线对称，所以，即，解之得（中点1分，方程组2分，化简1分） ……8分将其代入抛物线方程，得：，所以. ……9分 联立 ，消去，得： ……11分 由，得， ……12分注意到，即，所以，即， ……13分因此，椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为. ……14分 解法2、设 ，因为两点关于直线对称，则， ……6分 即，解之得 ……7分图丙即,根据对称性,不妨设点在第四象限，且直线与抛物线交于.则,于是直线方程为（斜率1分，方程1分）……9分联立，消去，得：……11分由，得，……12分注意到，即，所以，即，……13分因此，椭圆长轴长的最小值为. 此时椭圆的方程为. ……14分20．⑴由题意知或……2分解得或，即……3分能够维持有效的抑制作用的时间：小时. ……4分⑵由⑴知，时第二次投入1单位固体碱，显然的定义域为……5分当时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故=+=; ……6分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故当时， =; ……7分当时， ; ……8分所以1164633186()67361571036xxxxg x xxxx⎧--≤≤⎪-⎪⎪=--<≤⎨-⎪⎪-<≤⎪⎩……9分当时， ==;当且仅当时取“=”,即（函数值与自变量值各1分）……11分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留，当时，，所以为增函数;当时，为减函数;故 =，……12分又10117(=03266---=>,所以当时，水中碱浓度的最大值为. ……13分答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放小时后, 水中碱浓度的达到最大值为. ……14分21．⑴易得,, ……1分……2分,所以……3分⑵不失一般性，设函数的导函数为，其中，常数，.对求导得：2111111()[(2)()]xn n n n n nf x a x a b x b c eλλλλ------'=⋅++⋅++⋅⋅……4分故由得：①，②，……5分③由①得：，……6分代入②得：，即，其中故得：. ……7分代入③得：，即，其中.故得：， ……8分 因此.将代入得：，其中. ……9分 （2）由（1）知，当时，21221211(0)2(21)()02k k k k S S f k k --+-==+⋅-<，，故当最大时，为奇数. ……10分 当时， ……11分 又，221222111(0)(0)(21)(22)()2(21)()22k k k k f f k k k k -++∴+=++-++-，，因此数列是递减数列 ……12分 又，， ……13分故当或时，取最大值. ……14分21139 5293 劓]30962 78F2 磲 26497 6781 极32132 7D84 綄'34811 87FB 蟻31855 7C6F 籯23202 5AA2 媢26328 66D8 曘33556 8314 茔2 39361 99C1 駁。