新人教版高中数学培优讲义 教师版 椭圆 知识讲解+同步练习

第14讲椭圆【学习目标】1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，标准方程及简单几何性质3.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．4.了解椭圆的简单应用【基础知识】一、椭圆的概念平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数：(1)若a >c ，则集合P 为椭圆；(2)若a ＝c ，则集合P 为线段；(3)若a <c ，则集合P 为空集．二、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距|F 1F 2|＝2c 离心率e ＝ca ∈(0,1)a ，b ，ca 2＝b 2＋c 2的关系【解读】1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．2.注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c 的两倍.3.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．4.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(3)求出a,b,c.(4)写出椭圆的几何性质.5.利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系．②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．三、焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；②S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc.四、焦点弦(过焦点的弦)焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a .五、弦长公式AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦(斜率为k )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|六、求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式，求椭圆离心率或取值范围七、椭圆中的最值问题1.椭圆中距离的最值问题的解法①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )或利用均值不等式；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．2.椭圆中常见的最值问题(1)椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。

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椭圆的简单的几何性质（2）一、选择题1．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列,则椭圆x2m＋错误!＝1的离心率为（）A。

错误!B．错误!C．错误!D．错误!［答案] C［解析］由已知得错误!解得错误!∴e＝错误!＝错误!，故选C。

2．AB为过椭圆错误!＋错误!＝1中心的弦，F（c，0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是（)A．b2B．bcC．ab D．ac[答案] B3．若点P（a,1)在椭圆错误!＋错误!＝1的外部，则a的取值范围为（)A．（－错误!，错误!）B．(错误!，＋∞）∪（－∞，错误!)C．(错误!，＋∞）D．(－∞，－错误!)［答案] B［解析] 因为点P在椭圆错误!＋错误!＝1的外部，所以错误!＋错误!>1，解得a>错误!或a<错误!，故选B.4．点P为椭圆错误!＋错误!＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为（)A．(±错误!，1) B．（错误!，±1)C．（错误!,1）D．（±错误!，±1)［答案］D[解析］设P（x0,y0）,∵a2＝5，b2＝4，∴c＝1,∴S△PF1F2＝错误!|F1F2｜·｜y0|＝|y0｜＝1，∴y0＝±1，∵错误!＋错误!＝1，∴x0＝±错误!。

案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 对椭圆定义的理解平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹(或集合)叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距。

根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M 满足集合()a MF MF M P 221=+=，c F F 221=，0>a ，0>c ，且a 、c 都为常数。

当c a >即c a 22>时，集合P 为椭圆。

当c a =即c a 22=时，集合P 为线段21F F 。

当c a <即c a 22<时集合P 为空集。

对于后两种情况我们应该注意，它们可以帮助我们理解椭圆的定义，并在具体问题中做 出适当的判断。

知识点二 椭圆的标准方程根据椭圆的定义，结合求曲线方程的步骤，寻求它的方程，方程的繁简取决于坐标系的建立。

首先，可以结合椭圆的形状，感性地认识到椭圆具有对称性，并利用对称性来建立适当的坐标系。

其次，如何将椭圆定义中线段长度关系用坐标的形式表示出来，于是设椭圆上任意一点坐标为()y x M ,，M 点到两焦点间的距离之和为常数a 2,即()()a y c x y c x 22222=+-+++，然后化简方程。

其中带根式方程的化简较困难，原因可能是方法不当，也可能是运算较繁，在推导过程中，只要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解。

关于0>>c a 、022>-c a 、()0222>=-b b c a 以及为什么要设222b c a =-,这正是定义中括号内内容强调的所在，在学习过程中一定要深刻地认识和体会。

特别地，引入b的作用是为了使方程的形式简单，到下节研究椭圆的性质，就可以明确b 的几何意义。

至于焦点在y 轴上的情形，可仿上研究。

此外：①在椭圆的两种标准方程中，总是0>>b a ；②如果椭圆的焦点在x 轴上，则焦点坐标为()()0,,0,c c -；如果焦点在y轴上，则焦点坐标为()()c c -,0,,0；③a 、b 、c 有关系式222c b a +=；④两种形式的椭圆标准方程都可以写成122=+ny mx ()n m n m ≠>>,0,0，这为后面的学习奠定了基础。

人教A版选修2-1高二数学第2章 2.2椭圆教材同步培优、能力提升讲义及练习一、旧知回顾1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线,常数e叫做椭圆的离心率.2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程22221(0)x ya ba b+=>>22221(0)x ya bb a+=>>图形顶点(,0)a±,(0,)b±(0,)a±,(,0)b±对称轴x轴，y轴，长轴长为2a，短轴长为2b焦点1(,0)F c-、2(,0)F c1(0,)F c-、2(0,)F c焦距焦距为122(0),F F c c=>222c a b=-二、典型例题1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )．A．(±13，0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±69) 2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )．A.32B.34C.22D.233．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C的方程为( )．A.x23＋y2＝1 B．x2＋y23＝1 C.x23＋y22＝1 D.x22＋y23＝14．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．5．已知椭圆x2k＋8＋y29＝1的离心率为12，则k的值为________．6．求椭圆x24＋y2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．7. 若F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a±) 2()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在8. 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a+22y b =1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )(A)3 (B)6 (C)22 (D)239. P 点在椭圆1204522=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是10. 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．11.设是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线上一点，12PF F ∆是底角为的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34()D 4512F F 32a x =30o12.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 813.已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）4514.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。

对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。

若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。

这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。

同学们想一想 其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。

椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。

椭圆讲义与练习题型一：椭圆的第一定义与标准方程例1 、椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．变式练习：求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+by a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．例2、已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 变式练习：已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3526cos 21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 例3、已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．变式练习： 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ．∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．总结区：求椭圆方程的总结：题型二：第二定义的应用及焦半径，焦点弦和焦点三角形问题例4、 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．变式练习：已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．例5、设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．并由此证明椭圆上的点到焦点距离最远和最近的点都在顶点。

【即学即练1】（2023秋·四川南充高二四川省南充高级中学校考期末）设定点P 满足条件125PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段【答案】A【详解】因为 10,2F ， 20,2F ，所以4 ，所以5PF PF F F ，所以点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆.1(,0)F c ，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c 22023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知ABC 的周长为20，且顶点，则顶点A 的轨迹方程是（）故选：D【变式1】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）的左、右焦点为12(1,0),(1,0)F F ，且过点【答案】22143x y 【详解】由题知：1c ，①3①当且仅当P 、M 、1F 三点共线时，等号成立，在2PNF 中可得：22PF PN PF 当且仅当P 、N 、2F 三点共线时，等号成立，由① ②得：123PF PF PM 由椭圆方程2212516x y 可得：225a ，即由椭圆定义可得：12210PF PF a 22435MF MF ，则8AF AF ，..题型05【典例1】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆上一点， 2,1B ，则1AB AF A ．7B ．8【详解】设椭圆的半焦距为c ，则 22,0F ，3a ，如图，连接2AF ，则12AB AF AB a AF 221AF BF ，当且仅当2,,A F B 共线且1AF 的最大值为7.由M 为椭圆C 上任意一点，则MF 又N 为圆2:3222E x y ∴ 124MN MF MN MF 当且仅当M 、N 、E 、2F 共线时等号成立故答案为：1,2101【变式1】（2023·全国·高三专题练习）则PA PF 的最小值为【答案】62 /26【变式2】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）(1,22)A ，则||||PA PF 的最大值为【答案】423 /234【详解】设椭圆的左焦点为 1F【详解】由题意，当椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为：由题意知22x所以曲线C的方程为【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知定圆定圆1C外切和圆2C内切，求动圆圆心【典例2】（2023·长的最大值为（A ．4【答案】D【详解】解：设1F 则由椭圆的定义可得：AF BF AB 【典例3】（2023·全国·高二专题练习）设1F ,F 的直线交椭圆E 于,A B ，113AF BF ，若AB 【答案】5【详解】113AF BF ，AB 4 ，可得1AF 2ABF 的周长为16，则2AB AF 根据椭圆定义可得，121AF AF BF 16，4a ，218F AF A ，AFBF为平行四边形，则1△的周长为AF BF AB AFABF当A，B为椭圆上下顶点时等号成立故选：C【变式3】（2023·北京·101中学校考三模）已知【详解】2F 的内切圆半径为r ，112PF r，2212MPF S PF 122MF F MPF mS S △△1221122r m F F r PF r【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知若1212PF PF PF PF12，则12F PF △的面积为（A ．33B ．23【答案】A【详解】设椭圆221259x y 的长半轴为则5,3a b ，224c a b ，即1228F F c .设12,F P m F P n ，所以由椭圆的定义可得：因为121212PF PF PF PF，所以由数量积的公式可得：121cos 2,PF PF ，所以12,PF PF 在12F PF △中12π3F PF，所以由余弦定理可得：2264m n 由①②可得：12mn ，所以12F PF S 故选：A.【典例2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知12,F F 分别是椭圆22:194x y C 的左、右焦点，圆C 在第一象限内的一点，若12PF PF ，则12tan PF F ．【答案】12/0.5【详解】由椭圆方程得：3a ，2b ，225c a b ，12225F F c ；【典例4】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆则2||PF ，12F PF 的大小为【答案】2120【详解】∵29a ，22b ，∴22927c a b ，∴1227F F ，又1||4PF ，1||PF则PQF △的周长为PQ PF QF 故选：C.故选：C7．（2023秋·高二课时练习）的最大值为（）A．2B．【答案】D可知124525,55PF c PF c，又知所以2221212PF PF F F ，则1F 由题意，点P 恰好在C 上，根据椭圆定义则122,1,1,2P PF PF a 所以1260F PF ，故B 错；1PFQ △的周长为48a ，A 正确；设21,4F Q m FQ m ，四、解答题13．（2023·全国·高三对口高考）且12F PF ．(1)求PF PF 的最大值和最小值；14．（2023·全国·高二专题练习）椭圆椭圆于,P Q 两点，且PQ PF 【答案】2214x y 【详解】由椭圆的定义得12222a PF PF 1PF ，所以有21PF PF ，2221212PF PF F F ，2222224c ，解得2c∴1．（2023春·四川达州·高二统考期末）椭圆轨迹为圆：2222x y a b ，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆得过点P 能作椭圆2213y x 的两条相互垂直的切线，则12121||||sin(π21||||sin 2DABPF F AD BD S S PF PF 椭圆22:143x y C 中，|F所以2211222F PQ PF Q F PF所以12122MPQ F PF ，所以2F PQ MPQ ，则PM PF 所以1162OQ F M，又Q 为椭圆外的动点，设椭圆的标准方程为2222x y a b。

2.1椭圆第1课时椭圆及其标准方程1．归纳总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)例题1（椭圆定义理解）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，∴△ABF2的周长为4a.由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a<c时，集合P 为空集．在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系．因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助记忆．案例11．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)． 所以甲是乙的必要条件．反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 例题2（求椭圆的标准方程）(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．解：(1) ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋ ⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2) 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.案例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26. 解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26，2c ＝10， 所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144.所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.例题3（与椭圆有关的轨迹问题）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[尝试解答] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．案例3 如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1，0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝4.又|AC |＝2， ∴M 点的轨迹为椭圆．由椭圆的定义知，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1.例题4 （与焦点有关的三角形问题）如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思考点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF 1|，再代入三角形的面积公式求解． [尝试解答] 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ② ②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.即△PF 1F 2的面积是335.第2课时 椭圆的简单几何性质1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 37～P 40“探究”的内容，回答下列问题． 观察教材P 38－图2.1－7，思考以下问题：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中x ，y 的取值范围各是什么？提示：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的对称轴和对称中心各是什么？提示：对称轴为x 轴和y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与坐标轴的交点坐标是什么？提示：与x 轴的交点坐标为(±a ，0)，与y 轴的交点坐标为(0，±b )． (4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？ 提示：长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2.(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？ 提示：离心率e ＝ca；0<e <1.(6)如果保持椭圆的长半轴长a 不变，改变椭圆的短半轴长b 的值，你发现b 的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：b 越大，椭圆越圆；b 越小，椭圆越扁． (7)根据离心率的定义及椭圆中a ，b ，c 的关系可知， e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，所以e 越接近于1，则c 越接近于a ，从而b ＝a 2－c 2就越小；e 越接近于0，则c 越接近于0，从而b 越接近于a .那么e 的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 2．归纳总结，核心必记 椭圆的简单几何性质(1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． (2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c ．(3)如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2， ∴e ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2. ∴e ＝ 1－b 2a2. 续表例题1 （由椭圆的标准方程研究几何性质）求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[尝试解答] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.案例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)， 可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2， ∴1m 2>14m2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.例题2 （由椭圆的几何性质求方程）求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5，0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.[尝试解答] (1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1. (2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.案例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设标准方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴1b 2＋9b 2＝1，b 2＝10.∴方程为x 240＋y 210＝1.若椭圆的焦点在y 轴上． 设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴94b 2＋4b 2＝1，b 2＝254.∴方程为y 225＋4x 225＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x 225＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.例题3（求椭圆的离心率）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e . [尝试解答] 由A (－a ，0)，B (0，b )， 得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b ＝ba x ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得 d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0， 即8⎝⎛⎭⎫c a 2－14c a＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0.解得e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c ，可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c ，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．案例3 如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ， ∴PF 1BO ＝F 1O OA . ∴b 2a b ＝ca ，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.第3课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)1、直线与椭圆的位置关系（重要）[思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径的大小关系判断，d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离；d <r ⇔相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？ 名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系． [思考3] 已知直线l 和椭圆C 的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．例题1 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．[尝试解答] 将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1，消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.当Δ＝0时，得m ＝±52，直线与椭圆相切；当Δ>0时，得－52<m <52，直线与椭圆相交； 当Δ<0时，得m <－52或m >52，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法案例1 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆 x 25＋y 2m＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m＝1，消去y ，整理得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，所以Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)， 因为直线与椭圆总有公共点， 所以Δ≥0对任意k ∈R 都成立， 因为m >0，所以5k 2≥1－m 恒成立， 所以1－m ≤0， 即m ≥1.又因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以0<m <5， 综上，1≤m <5，2、直线与椭圆的相交弦问题[思考1] 若直线l 与圆C 相交于点A ，B ，如何求弦长|AB |?名师指津：(1)利用r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公[思考2] 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如何求|AB |的值？名师指津例题2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．[尝试解答] (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4， 解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1），由于P (4，2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.(1)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， 所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2 ＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1ky 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2 ＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y22b 2＝1，②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 案例2（1）直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 解析：选C 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)， ∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13.∴所求中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13. （2）．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 例题3（与椭圆有关的最值问题）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝63.(1)若2a 2c＝32，求椭圆方程；(2)直线l 过点C (－1，0)交椭圆于A 、B 两点，且满足：，试求△OAB 面积的最大值．[尝试解答](1)由题意知⎩⎨⎧c a ＝63，2a2c ＝32，解得a ＝3，c ＝ 2.所以a 2＝3，b 2＝1， 所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝3b 2，可设椭圆的方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),由题意知直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23b 2＋y 2b 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－3b 2＝0， 且Δ＝12(3b 2－1)k 2＋12b 2， 因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，且，所以点C 在椭圆内部，所以a >1， 所以3b 2>1，所以Δ>0.所以x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1.因为，所以(x 1＋1，y 1)＝3(－1－x 2，－y 2)，所以x 1＝－4－3x 2，所以x 2＋1＝－13k 2＋1，所以|x 1－x 2|＝43k 2＋1.又O 到直线l 的距离为d ＝|k |1＋k 2，所以S △ABO ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·d＝2|k |3k 2＋1＝23|k |＋1|k |≤33，所以当且仅当3|k |＝1|k |，即k ＝±33时，S △ABO 取得最大值33.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．案例3 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解：设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋（－2）2＝813， 切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74.。

2021年高考数学一轮复习 第二讲 椭圆讲练 理 新人教A 版一、椭圆的定义平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数．(1)若2a ＞|F 1F 2|，则集合P 为椭圆； (2)若2a ＝|F 1F 2|，则集合P 为线段；(3)若2a ＜|F 1F 2|，则集合P 为空集． 二、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形性 质范围－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b －b ≤y ≤b －a ≤y ≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) B 1(－b,0)，B 2(b,0)离心率e ＝ca∈(0,1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2点P (x 0，y 0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.基础自测1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】 依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 【答案】 D2．“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 要使方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，应满足5－m ＞0，m ＋3＞0且5－m ≠m＋3，解之得－3＜m ＜5且m ≠1，∴“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．【答案】 B3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21【解析】 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ， 由c a ＝45即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， 由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 【答案】 C4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为________．【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由于c a ＝55，故a 2＝5c 2，b 2＝4c 2，椭圆方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，P (－5,4)在椭圆上代入解得c 2＝9，于是所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.【答案】x 245＋y236＝1 考点一 椭圆的定义与标准方程例 [xx·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案：43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝ca ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.方法与技巧 1.1求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法.2确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a 、b 的值.运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a ，b ，c 的方程.2.涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正余弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF 1|＋|PF 2|与|PF 1|·|PF 2|整体代换.跟踪练习 (xx·大纲全国卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【解析】 由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】 C考点二 椭圆的几何性质例 (1)(xx·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67(2)已知椭圆：x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2→|＋|AF 2→|的最大值为8，则b 的值是( )A ．2 2 B. 2 C. 3 D. 6【思路点拨】 (1)利用余弦定理确定AF ，进而判定△ABF 的形状，利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率．(2)因△AF 2B 的周长等于两个长轴长，欲使|BF 2→|＋|AF 2→|的值最大，只需|AB |最小，利用椭圆的性质可求得b 的值．【尝试解答】 (1)在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6.由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝|AB |2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，有平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF |＝|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.(2)∵F 1、F 2为椭圆x 29＋y 2b2＝1的两个焦点，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6，|BF 1|＋|BF 2|＝6，△AF 2B 的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝12，当|AB |最小时，|BF 2→|＋|AF 2→|的值最大，又当AB ⊥x 轴时，|AB |最小，此时|AB |＝2b23，故12－2b23＝8，∴b ＝ 6.【答案】 (1)B (2)D方法与技巧 1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.2.e 与a ，b 间的关系e 2＝c 2a 2 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.跟踪练习 (xx·福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．【解析】 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c . 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.【答案】3－1考点三 直线与椭圆的位置关系例 [xx·江苏卷] 如图1­5所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．图1­5解： 设椭圆的焦距为2c, 则 F 1(－c, 0), F 2(c, 0)．(1)因为B (0, b ), 所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2， 故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0, b ), F 2(c, 0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为 x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b ，所以点 A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴， 由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2.因为直线 F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2，故e 2＝15，因此e ＝55. 方法与技巧 直线与椭圆相交问题解题策略,当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据.跟踪练习 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与曲线C 交于不同的A 、B 两点，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．【解】 (1)由题意得c a ＝22，c ＝2∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆c 的方程为：x 28＋y 24＝1.(2)设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1y ＝x ＋m，消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0∵Δ＝96－8m 2＞0，∴－23＜m ＜2 3∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 1＝x 0＋m ＝m 3∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，即m ＝±355.∵±355∈(－23，23)，∴所求m 的值为±355.25496 6398 掘9S33618 8352 荒 b29430 72F6 狶d29599 739F 玟` 30046 755E 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人教版选修21第二章椭圆椭圆的几何性质讲义案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突知识点 椭圆的几何性质 由椭圆方程()012222>>=+b a by a x 研究椭圆的性质。

(利用方程研究，说明结论与由图 形观察一致）（1）范围 从标准方程得出1,12222≤≤by a x ，即有b y b a x a ≤≤-≤≤-,，可知椭圆落在by a x ±=±=,组成的矩形中。

（2）对称性把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称。

y 换成y -方程不变，图象关于x轴对称。

把y x ,同时换成y x ,-方程也不变，图象关于原点对称。

如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具的 ,对称性、顶点。

因而只需少量描点就可以较正确地作图了。

（3）离心率长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同，这种扁平性质是由椭圆焦距与长轴长之比来决定的。

由于21⎪⎭⎫⎝⎛-=⇒=a b e a c e ，b a >，所以离心率的范围是10<<e 。

当0,0→→c e ,椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例；当a c e →→,1,椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例，如右图所示。

典型例题分析题型1 椭圆中几何性质的考查 【例1】 已知椭圆的方程为81922=+y x的长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，离心率为 。

解析 先化成标准方程,再确定有关性质。

将81922=+y x化为标准方程1932222=+y x 。

∴椭圆长轴在y 轴上,其中26,3,9===c b a ， ∴长轴长182=a ,短轴长62=b ,焦点坐标为()26,01-F ，()26,02F ，顶点坐标为()0,31-A 、()0,32A 、()9,01-B 、()9,02B 。