【精品】高中数学 1.1.2集合间的基本关系优秀学生寒假必做作业练习二 新人教A版必修1

1.1.2 集合间的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．解析：由x 2－4＝0，得x ＝±2，所以P ＝{－2，2}．因此PT .答案：D2．解析：集合{0，1，2}的非空子集为：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A3．解析：由x (x －1)＝0得x ＝0或x ＝1，则集合A 中有两个元素0和1，所以0∈A ，1∈A .答案：A4．解析：①集合M 表示由点(1，2)组成的单元素集，集合N 表示由点(2，1)组成的单元素集，故①错误；②由集合中元素的无序性可知M ，N 表示同一个集合，故②正确；③假设空集不是唯一的，则不妨设∅1、∅2为不相等的两个空集，易知∅1⊆∅2，且∅2⊆∅1，故可知∅1＝∅2，矛盾，则空集是唯一的，故③正确；④M ，N 都是由大于或等于1的实数组成的集合，故④正确．答案：D5．解析：A ＝{x |0≤x <4，且x ∈N}＝{0，1，2，3}，故其真子集有24－1＝15(个)．答案：C二、填空题6．解析：A 为非空集合时，方程x 2＝a 有实数根，所以a ≥0.答案：{a |a ≥0}7．解析：因为∅{x |x 2－x ＋a ＝0}． 所以{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅，即x 2－x ＋a ＝0有实根．所以Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≤148．解析：当a ＝0时，B ＝∅⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝－1a ，若B ⊆A ，则－1a ＝－1或－1a ＝1，解得a ＝1或a ＝－1.综上，a ＝0或a ＝1或－1.答案：{－1，0，1}三、解答题9．解：若B ＝∅，则p ＋1>2p －1，解得p <2；若B ≠∅，且B ⊆A ，则借助数轴可知，⎩⎨⎧p ＋1≤2p －1，p ＋1≥－2，2p －1≤5，解得2≤p ≤3.综上可得p ≤3.10．解：因为{x ∈N|－1<x <3}＝{0，1，2}，A{0，1，2}且A 中至少有一个元素为奇数，故这样的集合共有3个．当A 中含有1个元素时，A 可以为{1}；当A 中含有2个元素时，A 可以为{0，1}，{1，2}．B 级 能力提升1．解析：满足条件的集合是{－1}，{1}，{4}，{－1，1}，{－1，4}，{1，4}，{－1，1，4}，共7个．答案：C2．解析：因为A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，A ＝B ，所以⎩⎨⎧4＝ab ，a ＝2，解得a ＝2，b ＝2， 所以a ＋b ＝4.答案：43．解：集合A ＝{0，－4}，由于B ⊆A ，则：(1)当B ＝A 时，即0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入解得a ＝1.(2)当B A 时， ①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.②当B ＝{0}或B ＝{－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4.则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件．综上可知a＝0或a≤－1.。

1.1.2 集合间的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．集合A ＝{x |0≤x ＜3，x ∈N}的真子集的个数是( )A ．16B ．8C ．7D ．4解析：易知集合A ＝{0，1，2}，所以A 的真子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共有7个．答案：C2．已知集合A ⊆{0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：集合{0，1，2}的非空子集为：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A3．若{1，2}＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，则( )A ．b ＝－3，c ＝2B ．b ＝3，c ＝－2C ．b ＝－2，c ＝3D ．b ＝2，c ＝－3 解析：由题意知1，2为方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b ，1×2＝c ，解得b ＝－3，c ＝2. 答案：A4．以下说法中正确的个数是( )①M ＝{(1，2)}与N ＝{(2，1)}表示同一个集合；②M ＝{1，2}与N ＝{2，1}表示同一个集合；③空集是唯一的；④若M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}与N ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}，则集合M ＝N .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①集合M 表示由点(1，2)组成的单元素集，集合N 表示由点(2，1)组成的单元素集，故①错误；②由集合中元素的无序性可知M ，N 表示同一个集合，故②正确；③假设空集不是唯一的，则不妨设∅1、∅2为不相等的两个空集，易知∅1⊆∅2，且∅2⊆∅1，故可知∅1＝∅2，矛盾，则空集是唯一的，故③正确；④M ，N 都是由大于或等于1的实数组成的集合，故④正确．答案：D5．集合A ＝{x |0≤x <4，且x ∈N}的真子集的个数是( )A ．16B ．8C ．15D ．4解析：A ＝{x |0≤x <4，且x ∈N}＝{0，1，2，3}，故其真子集有24－1＝15(个)． 答案：C二、填空题6．已知集合A ＝{x |x 2＝a }，当A 为非空集合时a 的取值范围是________．解析：A 为非空集合时，方程x 2＝a 有实数根，所以a ≥0.答案：{a |a ≥0}7．已知集合A ＝{－2，3，6m －6}，若{6}⊆A ，则实数m ＝________．解析：因为{6}⊆A ，所以6∈A .所以6m －6＝6，m ＝2.答案：28．已知集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }，集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C ，则满足条件的集合A 的个数是________．解析：若集合A ＝∅，满足A ⊆B ，A ⊆C ；若集合A ≠∅，集合A 可能是{a }，{b }，{a ，b }．故集合A 共有4个．答案：4三、解答题9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，求实数p 的取值范围．解：若B ＝∅，则p ＋1>2p －1，解得p <2；若B ≠∅，且B ⊆A ，则借助数轴可知， ⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1≤2p －1，p ＋1≥－2，2p －1≤5，解得2≤p ≤3.综上可得p ≤3.10．已知集合A {x ∈N|－1<x <3}，且A 中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A 共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合．解：因为{x ∈N|－1<x <3}＝{0，1，2}，A {0，1，2}且A 中至少有一个元素为奇数，故这样的集合共有3个．当A 中含有1个元素时，A 可以为{1}；当A 中含有2个元素时，A 可以为{0，1}，{1，2}．B 级 能力提升1．同时满足：①M ⊆{1，2，3，4，5}；②a ∈M 且6－a ∈M 的非空集合M 有( )A ．16个B ．15个C ．7个D ．6个解析：当a ＝1时，6－a ＝5；当a ＝2时，6－a ＝4；当a ＝3时，6－a ＝3；当a ＝4时，6－a ＝2；当a ＝5时，6－a ＝1，所以满足条件的非空集合M 可能是：{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．答案：C2．已知集合A {2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个． 解析：①若A 中有且只有1个奇数，则A ＝{2，3}或{2，7}或{3}或{7}；②若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅.综上共有6个符合题意的集合．答案：63．已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解析：当B ＝∅时，只需2a ＞a ＋3，即a ＞3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，a ＋3＜－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a ＞4， 解得a ＜－4或2＜a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a ＜－4或a ＞2.。

1.1.2 集合间的基本关系[A 级 基础巩固练]一、选择题1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则含有元素0的A 的子集的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．82．已知集合B ＝{－1,1,4}，满足条件∅M ⊆B 的集合M 的个数为( ) A ．3B ．6C ．7D ．83．①0∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．上面关系中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y x ＝1，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A BB ．A BC ．A ＝BD ．A ⊆B5．已知A ＝{1,3，m ＋2}，B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则m ＝( )A ．±1B ．－1或2C ．1D ．2二、填空题6．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是________．7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．8．设a ，b ∈R ，集合A ＝{1，a }，B ＝{x |x (x －a )(x －b )＝0}，若A ＝B ，则a ＝________， b ＝________.三、解答题9．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .10．已知集合A ＝{x |x <－1，或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．[B 组 素养提升练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，则a 2 017＋b 2 018的值为( ) A ．0B ．1C ．－1D ．±1 2．若集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，集合N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ND ．以上均不对3．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________．4．集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则a 的取值为________．5．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．【参考答案】[A 级 基础巩固练]一、选择题1．B [根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．]2．C [由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个，选C.]3．B [①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a ，b )}含一个元素(a ，b )，集合{(b ，a )}含一个元素(b ，a )，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.]4．B [∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y x ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴B A .] 5．D [由B ⊆A 知，m 2＝1或m 2＝m ＋2.当m 2＝1时，m ＝±1，此时不满足集合元素的互异性；当m 2＝m ＋2时，m ＝－1或m ＝2，当m ＝－1时，不满足集合元素的互异性，验证知m ＝2时成立．]二、填空题6．{a |a ≥2} [如图，因为A B ，所以a ≥2，即a 的取值范围是{a |a ≥2}．]7．{(1,2)}，{(－3,4)} [{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．]8．0 1 [A ＝{1，a }，解方程x (x －a )(x －b )＝0，得x ＝0或a 或b ，若A ＝B ，则a ＝0，b ＝1.]三、解答题9．[解] (1)因为B ＝{5}，元素5是集合A ＝{5,3}中的元素，集合A ＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3在集合B 中没有，所以BA .(2)当a ＝0时，由题意B ＝∅，又A ＝{3,5}，故B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，又A ＝{3,5}，B ⊆A ，此时1a ＝3或5，则有a ＝13或a ＝15. 所以C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 10．[解] (1)当B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意．(2)当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4， 解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4，或a >2}．[B 组 素养提升练]1．C [∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，又a ≠0， ∴b a＝0，∴b ＝0.∴a 2＝1，∴a ＝±1. 又a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2 017＋b 2 018＝(－1)2 017＋02 018＝－1.] 2．C [M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }＝{x |x ＝2k ＋14，k ∈Z }． N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }＝{x |x ＝k ＋24，k ∈Z }． 又2k ＋1，k ∈Z 为奇数，k ＋2，k ∈Z 为整数，所以MN .] 3．0或±1 [由题意得P ＝{－1,1}，又因为Q ⊆P ，①若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ；②若Q ≠∅，则Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝1a ，由题意知，1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1. 综上可知，a 的取值是0或±1.]4．1或－18[由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a ＝1时，满足题意．当a ≠1时，由Δ＝9＋8(a －1)＝0可得a ＝－18.] 5．[解] 化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254(个)．(2)①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅⊆A ； ②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}， 因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2. 综上所述，知m 的取值范围是{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}.。

1.1.2 集合间的基本关系1．下列集合中是空集的是( )A ．{x |x 2＋3＝3}B ．{(x ，y )|y ＝－x 2，x ，y ∈R }C ．{x |－x 2≥0}D ．{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R }解析：∵方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ<0，∴方程无实根，故D 选项为空集．A 选项中只有一个元素0，B 选项中有无数个元素，即抛物线y ＝－x 2上的点，C 选项中只有一个元素0.答案：D2．已知集合A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是( )A ．A ⊆B ⊆CB ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C解析：集合A ，B ，C 之间的关系如图．答案：B3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 3，k ∈Z ，B ＝x |x ＝k 6，k ∈Z 则( ) A ．A BB ．B AC ．A ＝BD ．A 与B 关系不确定解析：对B 集合中，x ＝k 6，k ∈Z ，当k ＝2m 时，x ＝m 3，m ∈Z ；当k ＝2m －1时，x ＝m 3－16，m ∈Z ，故按子集的定义，必有A B . 答案：A4．写出集合{1,2,3}的所有真子集____________________．答案： ∅；{1}；{2}；{3}；{1,2}；{1,3}；{2,3}5.集合{1,2,3}的子集有：________个，真子集有________个，非空真子集有________个． 答案：(2)8 7 66．已知集合M ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，集合N ＝{(x ，y )|xy >0}，则集合M 与N 的关系是________．解析：∵xy >0，∴x，y同号，即x>0且y>0或x<0且y<0，从而集合N表示第一、三象限内的点，而集合M表示第三象限内的点，故M N.答案：M N7．用Venn图画出下列两个集合的关系：(1)A＝{0,1,2}，B＝{1,2,4}；(2)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3}．答案：8．已知集合A＝{1,2，x}，B＝{1,2，x2}且A＝B，求实数x的值．解析：因为A＝B，所以x＝x2，当x＝1时A＝{1,2,1}不符合元素互异性，舍去；当x＝0时A＝B＝{1,2,0}．故x＝0.9．写出满足{a，b }A⊆{a，b，c，d，e}的所有集合A.解析：满足{a，b }A⊆{a，b，c，d，e}的集合分别为：{a，b，c}；{a，b，d}；{a，b，e}；{a，b，c，d}；{a，b，c，e}；{a，b，d，e}；{a，b，c，d，e}．10．已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|2m－1＜x≤m＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围．解析：(1)当B＝∅时m＋1≤2m－1，解得m≥2，这时B⊆A.(2)当B≠∅时，由B⊆A得321,14, 211,mmm m-≤-⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩解得－1≤m＜2，综上得m≥－1.11．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a的值．解析：由题知，A＝{3,5}．若B＝∅，即方程ax－1＝0无解，则a＝0；若B≠∅，即关于x的方程ax－1＝0有解，则a≠0.这时有1=3a 或1=5a ， 即13a =或15a =. 综上所述，a ＝0或13a =或15a =. 12．设集合A ＝{－1，1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠∅，B ⊆A ，求a ，b 的值． 解：由B ⊆A 知，B 中的所有元素都属于集合A ，又B ≠∅，故集合B 有三种情形：B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1，1}．当B ＝{－1}时，B ＝{x |x 2＋2x ＋1＝0}，故a ＝－1，b ＝1；当B ＝{1}时，B ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}，故a ＝b ＝1；当B ＝{－1，1}时，B ＝{x |x 2－1＝0}，故a ＝0，b ＝－1.综上所述，a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.。

1.1.2集合间的基本关系基础达标1．已知集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m＝()．A．2 B．－1 C．2或－1 D．4解析∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或－1.答案 C2．已知M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是()．解析M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴M N.答案 C3．(2013·深圳高一检测)满足M{1,2,3}的集合M的个数是()．A ．8B ．7C ．6D ．5解析 ∵M {1,2,3}，∴M 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共7个． 答案 B4．已知集合A ＝{－1,3，m }，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析 ∵B ⊆A ，∴元素3,4必为A 中元素，∴m ＝4. 答案 4 5．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，∴Δ＝(－1)2－4a ≥0， ∴a ≤14. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≤14 6．若集合P ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，集合Q ＝{x |x ＜3且x ∈N *}，则集合P 、Q 的关系是________．解析 ∵P ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， Q ＝{x |x ＜3且x ∈N *}＝{1,2}． ∴P ＝Q . 答案 P ＝Q7．(2013·鹤壁高一检测)已知集合A ＝{x |x 2－5x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B ⊆A ，求实数m 组成的集合． 解 ∵A ＝{x |x 2－5x －6}＝{－1,6}， B ＝{x |mx ＋1＝0}，又B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{－1}或B ＝{6}． 当B ＝∅时，m ＝0； 当B ＝{－1}时，m ＝1； 当B ＝{6}时，m ＝－16. ∴实数m组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－16，0，1.能力提升8．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 3，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 6，k ∈Z ，则 ( )．A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A 与B 关系不确定解析 对B 集合中，x ＝k 6，k ∈Z ，当k ＝2m 时，x ＝m3，m ∈Z ；当k ＝2m －1时，x ＝m 3－16，m ∈Z ，故按子集的定义，必有A B .答案 A9．已知M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R}，N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________．解析 由y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2， ∴M ＝{y |y ≥－2}，又N ＝{x |－2≤x ≤4}，故N M .答案 NM10．已知集合A ＝{x |x ＋2＞0}，B ＝{x |ax －3＜0}，且B ⊆A ，求a 的取值范围． 解 ∵A ＝{x |x ＞－2}，B ＝{x |ax ＜3}． (1)当a ＝0时，B ＝R ，不满足B ⊆A . (2)当a ＞0时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜3a，不满足B ⊆A . (3)当a ＜0时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞3a ，要使B ⊆A .只需3a ≥－2，即a ≤－32. 综上可知a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≤－32.。

2020-2021学年高一数学北师大版（2019）必修一同步课时作业1.1.2集合的基本关系1.设集合{}1,0A =,集合{}2,3B =,集合{}|(),,M x x b a b a A b B ==+∈∈,则集合M 的真子集的个数为( )A.7个B.12个C.16个D.15个2.若M P ⊆,M Q ⊆,{0,1,2}P =,{0,2,4}Q =,则满足上述条件的集合M 的个数是( )A.1个B.2个C.4个D.8个3.集合{}1,0,1A =-的子集中,含有元素0的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个 4.已知集合,1A x ,,1,2,4B y ,且A 是B 的真子集.若实数y 在集合0,1,2,3,4中,则不同的集合,x y 共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个5.已知集合{},,A a b c =,下列可以作为集合A 的子集的是( )A.aB.{},a cC.{},a eD.{},,,a b c d6.已知集合{}|53,Z M x x x =-<<∈,则下列集合是集合M 的子集的为( )A.{}3,0,1P =-B.{}1,0,1,2Q =-C.{}|1,Z R y y y =-π<<-∈D.{}|3,Z S x x x =≤∈7.已知集合{}1,2,3A =,下列集合是集合A 的真子集的是( )A.{}1,2,3B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,4 8.已知集合{0,1}A =,{|}B x x A =⊆,则下列关于集合A 与B 的关系正确的是( ) A.A B ⊆ B.A B C.B A D.A B ∈9.设集合2{|1}P y y x ==+,2{|1}M x y x ==+,则集合M 与集合P 的关系是( )A.M P =B.P M ∈C.M PD.P M10.关于以下集合关系表示不正确的是( ) A. B. C.*N D.*N11.选用适当的符号填空：(1)若集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥,则4-__________B ,3-______A ,A ___________B ,B _________________A ；(2)若集合2|10Ax x ,则1__________A ,{}1- _______________A , ∅_________A ；(3){|}x x 是菱形 _____________{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_____________{|}x x 是等边三角形.12.满足{}{}0,2,40,2,4,6,8,10A 的集合A 的个数是________个 13.满足{}{},,,,,a M a b c d e f 的集合M 共有________个14.已知集合{}2,3A = , {}|60B x mx =-= , 若B A ⊆ , 则实数m 的值为 ______．15.设集合{}25140P x x x =--=,{}10Q x mx =+=. (1)若12m =,试判断集合P 与Q 的关系； (2)若Q P ⊆,求实数m 的所有可能取值构成的集合T .答案以及解析1.答案：D解析：由题意可知集合{}6,12,4,9M =,函数有4个元素,所以真子集个数为42115-=.2.答案：C解析：由集合{0,1,2}P =,集合{0,2,4}Q =,则集合P 和Q 中的公共元素组成集合{0,2}C =,又因为M P ⊆,M Q ⊆,所以M C ⊆,集合C 的子集的个数为224=,所以满足题意要求的集合M 共有4个.故选：C.3.答案：B解析：根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{}{}{}{}00,10,11,0,1--,,,，四个.4.答案：A解析：因为实数y 在集合0,1,2,3,4中,即y 可取0或3,A 是B 的真子集：当0y时可取0,2,4, 当3y 时可取2,3,4,又,x y 组成集合,x y ,即x y , 所以当0y时可取2,4, 当3y 时可取2,4.共4种.故选A.5.答案：B解析：根据集合的子集的定义,得集合{},,A a b c =的子集为{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,a b c a b a c b c a b c ∅,对应选项可知,可以作为集合A 的子集的是{},a c .6.答案：D解析：∵集合{}{}|Z 2,1,0,1M x x x =∈=--,∴{}3,0,1P =-不是集合M 的子集,故A 选项不符合题意;{}1,0,1,2Q =-不是集合M 的子集,故B 选项不符合题意;{}{}|1,Z 3,2R y y y =-π<<-∈=--不是集合M 的子集,故C 选项不符合题意;{}{}|N 0,1S x x x =∈=是集合M 的子集,故D 选项符合题意.7.答案：B解析：根据真子集的定义可知,{}2,3是集合A 的真子集.8.答案：D解析：因为x A ⊆,所以{,{0},{1},{0,1}}B =∅,集合{0,1}A =,是集合B 中的元素,所以A B ∈. 故选：D.9.答案：D解析：{}22{|}|,{|}111P y y x y y M x y x ==+≥==+==R ,P M ∴,故选D.10.答案：C解析：对于A 选项,集合中含有一个元素空集,故空集是这个集合的元素,故A 选项正确. 空集是任何集合的子集,故B,D 两个选项正确.对于C 选项,空集不是正整数集合的元素,C 选项错误.故选C.11.答案：(1),,,∉∉；(2),,∈；(3),解析：(1){}{|233}3,{|2}A x x x x x B x x =-<=>-=≥,故4,3B A -∉-∉.,AB B A . (2)2|101,1A x x ,故{}1,1,A A A ∈-∅.(3){|}{|}x x x x 是菱形是平行四边形；{}{|}|x x x x 是等腰三角形是等边三角形.故答案为：(1),,,∉∉；(2),,∈；(3),. 12.答案：6解析：集合{}6,8,10的非空真子集共有3226-= (个),故满足要求的集合A 共有6个13.答案：30解析：根据题意,集合M 的个数等于集合{},,,,b c d e f 的非空真子集的个数,共52230-=个14.答案：0，2或3解析：由{}60|B x mx =-=，且B A ⊆得，{}{}23B =∅，，； ①B =∅时，60mx -=无解，0m =；②{}2B =时，2603m m -==，；③{}3B =时，3602m m -==，；故答案为：0，2或3．15.答案：(1)由25140x x --=,解得2x =-或7x =,即{}2,7P =-. 若12m =,由1102x +=,得2x =-,此时{}2Q =-.所以Q P .(2)①若Q =∅,则方程10mx +=无解,此时0m =；②若Q ≠∅,则0m ≠,由10mx +=,可得1x m =-,所以12m -=-或17m -=, 即12m =或17m =-. 综上所述,110,,27T ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.。

1.1.2 集合间的基本关系1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是()A．5 B．6C．7 D．8【解析】由题意知A＝{0,1,2}，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.【答案】C2.如果M={x|x+1>0},则( )A.∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M【解析】M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.【答案】D3.已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个.【答案】C4．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若ØA，则A≠Ø.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．故选B.【答案】B5．集合{a，b}的子集有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】集合{a，b}的子集有Ø，{a}，{b}，{a，b}共4个，故选D.【答案】D6．下列各式中，正确的是()A．23∈{x|x≤3} B．23∉{x|x≤3}C．23⊆{x|x≤3} D．{23}{x|x≤3}【解析】23表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但23不在集合中，故23∉{x|x ≤3}，A、C不正确，又集合{23}{x|x≤3}，故D不正确．【答案】B7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.【答案】m>38.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.【答案】M=P9．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数是_______．【解析】若A＝Ø，则满足A⊆B，A⊆C；若A≠Ø，由A⊆B，A⊆C知A是由属于B 且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．【答案】410．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，求实数a的取值集合．【解析】将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足A⊆B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}．11．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y.【解析】从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A＝B，则x＝0或y＝0.(1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0.12．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．【解析】由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3.因此，M＝{2，－3}．若a ＝2，则N ＝{2}，此时N M ；若a ＝－3，则N ＝{2，－3}，此时N ＝M ；若a ≠2且a ≠－3，则N ＝{2，a }，此时N 不是M 的子集，故所求实数a 的值为2或－3.13．已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }，请探求集合M 、N 、P 之间的关系．【解析】 M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z } ＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }． N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z } ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝3n －26，n ∈Z P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z } ＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }． ∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z .∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1，从而N ＝P .而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1，∴M N ＝P .。

1.2 集合间的基本关系一、选择题1．设M ={菱形}，N ={平行四边形}，P ={四边形}，Q ={正方形}，则这些集合之间的关系为( )2．已知集合M 满足{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}，那么这样的集合M 的个数为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．83．已知集合{0,1,2}A =，{,2}B a =，若B A ⊆，则a =( )A ．0B ．0或1C ．2D ．0或1或24．已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．0 C ．0或2 D ．15．已知集合{0,},{|12}A a B x x ==-<<,且A B ⊆,则a 可以是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．26．已知集合A ={x|x 2−1=0}，则下列式子表示正确的有（ ）①{1}∈A ②−1⊆A ③ϕ⊆A ④{1,−1}⊆AA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．集合{x |1＜x ＜6，x ∈N *}的非空真子集的个数为_____8．集合A ={x|x 2+x −6=0}，B ={x|ax +1=0}，若B ⊆A ，则a =______．9．设集合A ={x,y}，B ={0,x 2}，若A ＝B ，则2x +y =______10．设集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______．三、解答题11．已知集合{}1A a a =-，， {}2B y =，， {|114}C x x =<-<.（1）若A B =，求y 的值；（2）若A C ⊆，求a 的取值范围.12.已知A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B⊆A，求a的取值范围．参考答案一、选择题1．【答案】B【解析】∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，∴正方形应是M 的一部分，M 是N 的一部分，∵矩形形、正方形、菱形都属于平行四边形，∴它们之间的关系是：故选B ．2．【答案】C【解析】根据题意，M 集合一定含有元素1,2，且为集合{1,2,3,4,5}的真子集，所以集合M 的个数为23－1＝7个,故选C.3．【答案】B【解析】由B A ⊆，可知{0,2}B =或{1,2}B =，所以0a =或1.故选B4．【答案】B【解析】由题意，集合2{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B.5．【答案】C【解析】解：因为A B ⊆，且集合{}0,,{|12}A a B x x ==-<<,所以12a -<<且0a ≠,根据选项情况，由此可以判定只能选择C.6．【答案】B【解析】∵A ={x|x 2−1=0}={−1,1}，则{1}∈A ，集合与集合之间不能与属于符号，所以①不正确；−1⊆A ，元素与集合之间不能用包含于符号，所以②不正确；∅⊆A ,符合子集的定义，所以③正确：{−1,1}⊆A 符合子集的定义，所以④正确，因此，正确的式子有2个，故选B.二、填空题7．【答案】14【解析】因为{x |1＜x ＜6，x ∈N *}={2,3,4,5}所以非空真子集为{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5} {2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，共14个，故填14.8．【答案】−12或13或0 【解析】解：集合A ={x|x 2+x −6=0}={−3,2}∵B ⊆A ，∴(1)B =⌀时，a =0(2)当B ={−3}时，a =13 (3))当B ={2}时，a =−12故答案为：−12或13或0． 9．【答案】2【解析】因为A ={x,y },B ={0,x 2}，若A =B ，则{x =0y =x 2 或{x =x 2y =0，解得{x =0y =0 或{x =1y =0 ， 当x =0时，B ={0,0}不成立，当x =1,y =0时，A ={1,0},B ={0,1}，满足条件，所以2x +y =2，故选C.10．【答案】{a |a ≥2}【解析】∵集合A ={x|1<x <2}，B ={x|x <a}，且A ⊆B ，∴a ≥2，故选答案为{a |a ≥2 }.三、解答题11．【答案】(1) 1或3；(2) 35a <<.【解析】（1）若2a =，则{}12A =，，∴1y =.若12a -=，则3a =， {}23A =，，∴3y =.综上， y 的值为1或3.（2）∵{|25}C x x =<<，∴25{ 215a a <<<-<，∴35a <<.12. 【答案】a ＝1或a ≤－1.【解析】集合A ＝{0，－4}，由于B ⊆A ，则：(1)当B ＝A 时，即0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入解得a ＝1.(2)当B≠A时：①当B＝∅时，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1；②当B＝{0}或B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件．综上可知a＝1或a≤－1.。

1.1.2 集合间的基本关系1．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()A．S P M B．S＝P MC．S P＝M D．P＝M S解析：选C.集合M、P表示被3除余1的整数集，集合S表示被6除余1的整数集．2．下列关系：①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③∅{0,1,2}；④{0,1,2}⊆{0,1,2}；⑤{0,1,2}＝{2,0,1}．其中错误的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选A .只有②不正确．故选A.3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B 的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选D .4.集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{y|y＝x2}，则下列关系正确的是()A．P Q B．P＝QC．P⊆Q D．Q P解析：选D.因为P＝{x|y＝x2}＝R，Q＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，所以Q P.5．若集合A＝{x|0≤x<3，x∈Z}，则集合A的子集个数为()A．5 B．6C．7 D．8解析：选D.A＝{x|0≤x<3，x∈Z}＝{0，1，2}．因为含有n个元素的集合的所有子集个数为2n，所以A的子集个数为23＝8.6.设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若M⊆N，则k的取值范围是()A．k≤2 B．k≥－1C．k>－1 D．k≥2解析：选D.N＝{x|x≤k}，又M⊆N，所以k≥2.7.若集合A＝{－1，0}，集合B＝{0，1，x＋2}，集合A，B的关系如图所示，则实数x 的值为________．解析：由图知A B，∴－1＝x＋2，解得x＝－3.答案：－38．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1，2}，C ＝{x |x <8，x ∈N }，用适当符号填空： A ________B ，A ________C ，{2}________C ，2________C .解析：A ＝{1，2}，B ＝{1，2}，C ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，∴A ＝B ，A C ，{2}C ，2∈C . 答案：＝∈ 9．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，∴a ≤14. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤14 10．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |1－2m ≤x ≤m ＋1}．若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是______．答案：m ≥411．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集．解：∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．∴A 的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．12．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若A B ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.13．已知集合A ＝{x |0<x －a ≤5}，B ＝{x |－a 2<x ≤6}． (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3)A 与B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由．解：由题意知A ＝{x |a <x ≤a ＋5}．(1)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－a 2a ＋5≤6⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0a ≤1⇔0≤a ≤1. 即所求a 的取值范围是{a |0≤a ≤1}．(2)若B ⊆A ，则－a 2≥6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－a 2，a ＋5≥6，解得a ≤－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ≥1，故a ≤－12. 即B ⊆A 时，a 的取值范围是{a |a ≤－12}．(3)若A ＝B ，即{x |a <x ≤a ＋5}＝{x |－a 2<x ≤6}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－a 2，a ＋5＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＝1. 这不可能同时成立．∴A ≠B .。