2020版 数学 高考冲刺总复习--平面向量与复数--第六章 第4节(人教B版)新高考

专题6.4 复 数【考试要求】1.通过方程的解，认识复数；2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 【知识梳理】 1.复数的有关概念内容 意义 备注复数的概念形如a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数复数相等a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d(a ，b ，c ，d∈R)共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d(a ，b ，c ，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ →对应的复数为z ＝a ＋b i ，则向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 22.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3.复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i≠0).【微点提醒】 1.i 的乘方具有周期性 i n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系z ·z －＝|z |2＝|z －|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 【教材衍化】2.(选修2－2P106A2改编)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1【答案】 B【解析】 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.3.(选修2－2P116A1改编)复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i【答案】 C【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i.【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i【答案】 D 【解析】3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 D 【解析】11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i 的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 【答案】 －1【解析】 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ， ∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 【考点聚焦】考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( )A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( )A.2－iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A.1B.0C.－12D.－1【答案】 (1)D (2)D (3)D【解析】 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 【规律方法】1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.2.解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i (2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B.(2)∵1－i ＝2＋a i1＋i ，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2，解得a ＝0.故选C. 考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i 对应的点关于实轴对称，则z ＝( )A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i【答案】 (1)D (2)D 【解析】 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D.【规律方法】1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )Z (a ，b )OZ →＝(a ，b ).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i【答案】 (1)D (2)D【解析】 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D. 考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D. 2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________.【答案】 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【解析】 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i2i＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.【规律方法】 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答.【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i5B.2＋i5C.1－2i5D.1＋2i5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z＝( )A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i【答案】 (1)D (2)D (3)C【解析】 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i 5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.【反思与感悟】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 【易错防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟) 一、选择题1.已知复数(1＋2i)i ＝a ＋b i ，a ∈R ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3【答案】 B【解析】 因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以a ＝－2，b ＝1，则a ＋b ＝－1，选B. 2.(2018·浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i【答案】 B【解析】 因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B. 3.设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C.1D.－1－2i【答案】 A【解析】 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i ，故选A. 4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2B.i 2(1－i) C.(1＋i)2D.i(1＋i)【答案】 C【解析】 i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数.故选C. 5.设z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2【答案】 B【解析】 因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 6.若a 为实数，且1＋2ia ＋i 为实数，则a ＝( )A.1B.12C.－13D.－2【答案】 B【解析】 因为1＋2i a ＋i ＝（1＋2i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝a ＋2＋（2a －1）i a 2＋1是一个实数，所以2a －1＝0，∴a ＝12.故选B.7.(2019·豫南九校质量考评)已知复数a ＋i2＋i＝x ＋y i(a ，x ，y ∈R ，i 是虚数单位)，则x ＋2y ＝( )A.1B.35C.－35D.－1【答案】 A【解析】 由题意得a ＋i ＝(x ＋y i)(2＋i)＝2x －y ＋(x ＋2y )i ，∴x ＋2y ＝1，故选A.8.(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z －对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】 A【解析】 由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z －＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A. 二、填空题9.(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.【答案】 4－i 【解析】6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝20－5i5＝4－i. 10.复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 【答案】 5【解析】 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5. 11.(2019·西安八校联考)若a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________.【答案】 －7 【解析】 ∵a ＋b i i＝（a ＋b i ）（－i ）－i2＝b －a i ，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，∴b ＝3，a ＝－4，则a －b ＝－7，故答案为－7.12.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________. 【答案】 －2＋i【解析】 因为A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i (i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2【答案】 A【解析】 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i 13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A.14.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【解析】 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B.15.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2【答案】 B【解析】 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i 2＝i ，1－i1＋i＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.16.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i ，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】 D【解析】 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5，11 ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D.。

考点6.3 平面向量的数量积1.向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的X 围是[0，π].2.平面向量的数量积3.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.概念方法微思考两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？ 提示 不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.1．（2020•某某）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值X 围是（ ） A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)- 【答案】A【解析】画出图形如图，||||cos ,AP AB AP AB AP AB =<>，它的几何意义是AB 的长度与AP 在AB 向量的投影的乘积，显然，P 在C 处时，取得最大值，1||cos ||||32AC CAB AB AB ∠=+=，可得||||cos ,236AP AB AP AB AP AB =<>=⨯=，最大值为6，在F 处取得最小值，1||||cos ,2222AP AB AP AB AP AB =<>=-⨯⨯=-，最小值为2-， P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，所以AP AB 的取值X 围是(2,6)-． 故选A ．2．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b - 【答案】D【解析】单位向量||||1a b ==，111cos602a b =⨯⨯︒=， 对于A ，215(2)2222a b b a b b +=+=+=，所以(2)a b +与b 不垂直； 对于B ，21(2)22122a b b a b b +=+=⨯+=，所以(2)a b +与b 不垂直；对于C ，213(2)2222a b b a b b -=-=-=-，所以(2)a b -与b 不垂直；对于D ，21(2)22102a b b a b b -=-=⨯-=，所以(2)a b -与b 垂直．故选D ．3．（2020•新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b =-，则cos a <，a b +>=（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【解析】向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b =-， 可得22||225127a b a a b b +=++=-=，cos a <，2()25619575735||||a a b a a b a b a a b ++-+>====⨯⨯+． 故选D ．4．（2019•新课标Ⅰ）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B【解析】()a b b -⊥，∴2()a b b a b b -=-2||||cos ,0a b a b b =<>-=，∴2||cos ,||||b a b a b <>=22||122||b b ==， ,[0,]a b π<>∈，∴,3a b π<>=．故选B ．5．（2019•新课标Ⅱ）已知(2,3)AB =，(3,)AC t =，||1BC =，则AB BC =（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．3【解析】(2,3)AB =，(3,)AC t =，∴(1,3)BC AC AB t =-=-，||1BC =，30t ∴-=即(1,0)BC =，则2AB BC = 故选C ．6．（2019•新课标Ⅱ）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||a b -=（ ）A ．2C ．．50 【答案】A 【解析】(2,3)a =，(3,2)b =，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，2||(1)a b ∴-=-故选A ．7．（2018•某某）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为（ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【解析】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴， 以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，1cos602AN AB ∴=︒=，sin 60BN AB =︒=13122DN ∴=+=， 32BM ∴=，tan30CM MB ∴=︒=，DC DM MC ∴=+(1,0)A ∴，3(2B ，C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =-，3(2BE =-，m ，03m，∴22233321((221616AE BE m m m =+=+-=+，当m =2116． 故选A ．8．（2018•某某）在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=︒，2BM MA =，2CN NA =，则BC OM 的值为（ ）A ．15-B ．9-C ．6-D ．0 【答案】C【解析】解法Ⅰ，由题意，2BM MA =，2CN NA =，∴2BM CNMA NA==，//BC MN ∴，且3BC MN =， 又22212cos12014212()72MN OM ON OM ON =+-︒=+-⨯⨯⨯-=，MN ∴=BC ∴=222cos2OM MN ON OMN OM MN +-∴∠===，∴||||cos()1(6BC OM BC OM OMN π=⨯-∠=⨯=-．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN 是平行四边形，由1OM =，2ON =，120MON ∠=︒，2BM MA =，2CN NA =， 知3333BC AC AB AN AM OM ON =-=-=-+，∴(33)BC OM OM ON OM =-+233OM ON OM =-+231321cos120=-⨯+⨯⨯⨯︒ 6=-．故选C ．9．（2018•新课标Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1a =，1a b =-，则(2)a a b -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．0 【答案】B【解析】向量a ，b 满足||1a =，1a b =-，则2(2)2213a a b a a b -=-=+=， 故选B ．10．（2018•某某）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是（ ）A 1B 1C ．2D ．2【答案】A【解析】由2430b e b -+=，得()(3)0b e b e --=，()(3)b e b e ∴-⊥-， 如图，不妨设(1,0)e =，则b 的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为3π，则a 的终点在不含端点O 的两条射线(0)y x =>上．不妨以y =为例，则||a b -的最小值是(2,0)0y -=的距离减1．11-=．故选A ．11．（2018•某某）已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ，6AP AB =，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）A ．36B ．60C ．72D ．108 【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示； 则(0,0)A ，(2,0)B ，设(,)P x y ，∴(,)AP x y =，(2,0)AB =； 由||5AP ，得2225x y +； 又6AP AB =， 26x ∴=，3x =；216y ∴； 44y ∴-∴动点P 在直线3x =上，且44y -，由相似三角形可知AQ 扫过的面积为48， 即||8PC =，则AP 扫过的三角形的面积为183122⨯⨯=，设点0(Q x ，0)y 2AQ AP =-，0(x ∴，0)2(y x =-，)(6y =-，2)y -， 06x ∴=-，02y y =-，∴动点Q 在直线6x =-上，且88y -，||16QD ∴=，AQ ∴扫过的三角形的面积为1166482⨯⨯=，∴因此和为60，故选B ．12．（2017•某某）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =，2I OB OC =，3I OC OD =，则（ ）A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I << 【答案】C 【解析】AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC ∴=90AOB COD ∴∠=∠>︒，由图象知OA OC <，OB OD <， 0OA OB OC OD ∴>>，0OB OC >，即312I I I <<， 故选C ．13．（2017•新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是（ ） A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯-=-， 故选B ．14．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则（ ） A ．a b ⊥B ．||||a b =C ．//a b D ．||||a b > 【答案】A【解析】非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，∴22()()a b a b +=-，222222a b ab a b ab ++=+-， 40ab =，解得0a b =，∴a b ⊥．故选A ．15．（2017•某某）如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，则131A A A P 的取值X 围为（ ）A ．[0,8+B ．[-+C ．[8--D ．[8--+ 【答案】B【解析】由题意，正八边形12345678A A A A A A A A 的每一个内角为135︒，且1218||||2A A A A ==，1317||||22A A A A ==1416||||2A A A A ==+15||4A A =+ 再由正弦函数的单调性及值域可得，当P 与8A 重合时，131A A A P 最小为2cos112.52(⨯︒=⨯=-结合选项可得131A A A P 的取值X 围为[-+． 故选B ．16．（2020•某某）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，32AD AB =-，则实数λ的值为__________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN 的最小值为__________．【答案】16，132【解析】以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， 60B ∠=︒，3AB =，3(2A ∴， 6BC =，(6,0)C ∴， AD BC λ=，//AD BC ∴，设0(D x ，∴03(2AD x =-，0)，3(2AB =-，，∴0333()0222AD AB x =--+=-，解得052x =，5(2D ∴， ∴(1,0)AD =，(6,0)BC =， ∴16AD BC =， 16λ∴=， ||1MN =，设(,0)M x ，则(1,0)N x +，其中05x ，∴5(2DM x =-，，3(2DN x =-，，∴2253272113()()4(2)22422DM DN x x x x x =--+=-+=-+，当2x =时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．17．（2020•某某）已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，(*)k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，⋯，)k ，则k 的最大值是__________． 【答案】6【解析】如图，设11OA a =，22OA a =，由12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}，分别以1A ，2A 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个． 故满足条件的k 的最大值为6． 故答案为：6．18．（2020•）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =__________；PB PD =__________．，1-【解析】由1()2AP AB AC =+，可得P 为BC 的中点，则||1CP =，||PD ∴==∴2()()1PB PD PB PC CD PC PC CD PC PC CD =+=-+=--=-，，1-．19．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为45︒，ka b -与a 垂直，则k =__________．【解析】向量a ，b 为单位向量，且a ，b 的夹角为45︒，∴||||cos4511a b a b =︒=⨯=， 又ka b -与a 垂直，2()||0ka b a k a a b ∴-=-=，即0k =，则k =．． 20．（2020•新课标Ⅰ）设a ，b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=__________．【解析】a ，b 为单位向量，且||1a b +=，2||1a b +=，可得2221a a b b ++=， 1211a b ++=，所以21a b =-，则22||23a b a a b b -=-+=．21．（2020•某某）已知平面单位向量1e ，2e 满足12|2|2e e -．设12a e e =+，123b e e =+，向量a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值是__________．【答案】2829【解析】设1e 、2e 的夹角为α，由1e ，2e 为单位向量，满足12|2|2e e -，所以2211224444cos 12e e e e α-+=-+， 解得3cos 4α； 又12a e e =+，123b e e =+，且a ，b 的夹角为θ， 所以2211223444cos a b e e e e α=++=+，2221122222cos a e e e e α=++=+，222112296106cos b e e e e α=++=+；则222228()(44cos )44cos 43cos (22cos )(106cos )53cos 353cos a b a bααθαααα++====-++++⨯， 所以3cos 4α=时，2cos θ取得最小值为842833329534-=+⨯．故答案为：2829． 22．（2020•某某）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB =__________． 【答案】194【解析】在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯，∴111124162AB AC =⨯⨯=，且D 是BC 的中点，∴1()2AD AB AB AC AB =+ 21()2AB AB AC =+ 111(4)22=⨯+ 194=． 故答案为：194． 23．（2020•某某）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1n n n n A A A A n +++==，2，3)，112||||1(1n n n n A A A A n n +++=+=，2，3)，则15||A A 的最小值为__________．【解析】设12||A A x =，则232||A A x =，344538||,||23x A A A A x==， 设1(0,0)A ，如图， 求15||A A 的最小值，则：2(,0)A x ，3422(,),(,)2x A x A x x -，52(,)23x A x--，∴2222152242||()()23493x x A A x x=-+-=+，当且仅当22449x x=，即x =15||A A ∴24．（2019•某某）在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB =5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB的延长线上，且AE BE =，则BD AE =__________． 【答案】1- 【解析】AE BE =，//AD BC ，30A ∠=︒，∴在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=︒，又AB =2AE ∴=，∴25BE AD =-，AE AB BE =+，∴25AE AB AD =-又BD BA AD AB AD =+=-+，∴2()()5BD AE AB AD AB AD =-+-227255AB AB AD AD =-+- 2272||||cos 55AB AB AD A AD =-+-721252555=-+⨯⨯⨯1=-故答案为：1-．25．（2019•新课标Ⅲ）已知a ，b 为单位向量，且0a b =，若25c a b =-，则cos a <，c >=__________． 【答案】23【解析】2(25)252a c a ab a a b =-=-=， 2222(25)44559c a b a a b b =-=-+=，||3c ∴=， cos a ∴<，2||||3a c c a c >==． 故答案为：23． 26．（2019•某某）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AO EC =，则ABAC的值是__________．【解析】设()2AO AD AB AC λλ==+，()AO AE EO AE EC AE AC AE μμ=+=+=+-1(1)3AE AC AB AC μμμμ-=-+=+ ∴1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11()24AO AD AB AC ==+， 13EC AC AE AB AC =-=-+，1166()()43AO EC AB AC AB AC =⨯+-+22312()233AB AB AC AC =-++ 221322AB AB AC AC =-++，221322AB AC AB AB AC AC =-++，∴221322AB AC =，∴223ABAC=，∴ABAC=27．（2018•某某）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF 的最小值为__________． 【答案】3-【解析】根据题意，设(0,)E a ，(0,)F b ；∴||||2EF a b =-=；2a b ∴=+，或2b a =+；且(1,),(2,)AE a BF b ==-；∴2AE BF ab =-+；当2a b =+时，22(2)22AE BF b b b b =-++=+-； 222b b +-的最小值为8434--=-； ∴AE BF 的最小值为3-，同理求出2b a =+时，AE BF 的最小值为3-．故答案为：3-．28．（2018•某某）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD =，则点A 的横坐标为__________． 【答案】3【解析】设(,2)A a a ，0a >， (5,0)B ，5(2a C +∴，)a ， 则圆C 的方程为(5)()(2)0x x a y y a --+-=． 联立2(5)()(2)0y x x x a y y a =⎧⎨--+-=⎩，解得(1,2)D ．∴223215(5,2)(,2)24022a a a AB CD a a a a a ----=---=+-=．解得：3a =或1a =-．又0a >，3a ∴=． 即A 的横坐标为3． 故答案为：3．29．（2017•某某）已知1e ，2e 12e -与12e e λ+的夹角为60︒，则实数λ的值是__________．【解析】【方法一】由题意，设1(1,0)e =，2(0,1)e =， 123(3e e -=1)-， 12(1,)e e λλ+=；又夹角为60︒，12123)()32cos60e e e e λλ∴-+==︒，λ=解得λ． 【方法二】1e ，2e 是互相垂直的单位向量， 12||||1e e ∴==，且120e e =；12e -与12e e λ+的夹角为60︒，121212123)()|3|||cos60e e e e e e e e λλ∴-+=-⨯+⨯︒，222222211221122112213(31)32322e e e e e e e e e e e e λλλλ+--=-+⨯++⨯，12λ=，λ=解得λ．． 30．（2017•某某）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ，则点P 的横坐标的取值X 围是__________．【答案】[-1]【解析】根据题意，设0(P x ，0)y ，则有22050x y +=， 0(12PA PB x =--，00)(y x --，22000000006)(12)(6)12620y x x y y x y x y -=+--=+++， 化为：00126300x y -+，即00250x y -+，表示直线250x y -+=以及直线上方的区域，联立22000050250x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解可得05x =-或01x =，结合图形分析可得：点P 的横坐标0x 的取值X围是[-，1]，故答案为：[-1]．31．（2017•某某）在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE =-，则λ的值为__________． 【答案】311【解析】如图所示，ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =， 2BD DC =，∴AD AB BD =+23AB BC =+2()3AB AC AB =+-1233AB AC =+， 又()AE AC AB R λλ=-∈，∴12()()33AD AE AB AC AC AB λ=+- 221212()3333AB AC AB AC λλ=--+ 221212()32cos603243333λλ=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=-， ∴1113λ=， 解得311λ=． 故答案为：311．32．（2017•新课标Ⅰ）已知向量a ，b 的夹角为60︒，||2a =，||1b =，则|2|a b +=__________．【答案】【解析】【解法一】向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a =，||1b =，∴222(2)44a b a a b b +=++222421cos6041=+⨯⨯⨯︒+⨯12=，|2|23a b ∴+=．【解法二】根据题意画出图形，如图所示； 结合图形2OC OA OB a b =+=+；在OAC ∆中，由余弦定理得2||2OC =即|2|23a b +=．故答案为：．1．（2020•二模拟）已知向量a ，b 满足(a t =，)t ，||1b =，且()a b b -⊥，则a ，b 的夹角的最小值为（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】C【解析】设a ，b 的夹角为[0θ∈，]π，()a b b -⊥，∴20a b b -=1cos 10θ⨯-=，1cos 2θ∴==，当且仅当t =时，等号成立， [0θ∈，]π，[3πθ∴∈，]π，即θ的最小值为3π．故选C ．2．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知向量,a b 满足||2,1a a b ==-，则(2)a a b -=（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6 【答案】D【解析】||2,1a a b ==-，∴2(2)24(2)6a a b a a b -=-=--=．故选D ．3．（2020•南岗区校级模拟）ABC ∆中，D 是BC 边的中点，||3AB =，||4AC =，则AD BC =（ ） A ．0B ．72-C ．72D ．252【答案】C 【解析】如图，D 是BC 的中点，||3,||4AB AC ==，∴221117()()()(169)2222AD BC AB AC AC AB AC AB =+-=-=⨯-=．故选C ．4．（2020•武昌区校级模拟）若平面向量a 与b 的夹角为60︒，||6,(2)(3)72a a b a b =+-=-，则向量b 的模为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．12 【答案】B【解析】(2)(3)72a b a b +-=-，∴22672a a b b --=-，即2366||cos606||72b b -⨯⨯︒-=-，解得||4b =或92-（舍负）．故选B ．5．（2020•某某三模）已知向量a 与向量b 平行，且||3a =，||4b =，则a b =（ ） A ．12B ．12-C ．5D ．12或12- 【答案】D【解析】由题意知，向量a 与向量b 的夹角0θ=︒或180︒，当0θ=︒时，34cos012a b =⨯⨯︒=； 当180θ=︒时，34cos18012a b =⨯⨯︒=-． 故选D ．6．（2020•西湖区校级模拟）设a ，b ，c 为平面向量，||||2a b a b ===，若(2)()0c a c b --=，则c b 的最大值是（ ） A．52．174D ．94【答案】B 【解析】||||2a b a b ===，cos a ∴<，12||||a b b a b >==，即a <，3b π>=．设(,)c xy =，(2,0)a =，则(1,3)b =，(2)()0c a c b --=，[2(x∴，)(2y -，0)][(x ，)(1y -0=，整理得223(1)(4x y -+=，∴向量c 的终点的轨迹是以为半径的圆． 设(z cb x ==，)(1y3)x =，当直线0x z +-=与圆相切时，z 取得最大值或最小值，此时有|1|22z=，解得52z =或52∴c b 的最大值为52+ 故选B ．7．（2020•某某三模）已知向量(1,0)i =，向量(1,1)f =，则|34|i f -的值为（ ） A ．17B ．5C ．25 【答案】C【解析】根据题意，向量(1,0)i =，向量(1,1)f =，则34(1,4)i f -=--， 故|34|116i f -=+=故选C ．8．（2020•东湖区校级模拟）ABC ∆中，AB AC =，2BD DC =，E 是AC 的中点，若4AD BE =-，则AB AC =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．8 【答案】D【解析】根据题意，作出如下所示的图形：2BD DC =，∴2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 是AC 的中点，∴12BE AE AB AC AB =-=-， ∴2212111121()()433263332AD BE AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC AB AC =+-=-+-=-=-， ∴8AB AC =．故选D ．9．（2020•红岗区校级模拟）若||||1a a b =-=，且a 与a b -的夹角为60︒，则||a b +=（ ）A ．7D ．3 【答案】B【解析】由题可知，11()||||cos601122a ab a a b -=-︒=⨯⨯=． 2()1a a b a a b a b -=-=-，∴12a b =．∴2221||()2122a b a b a a b b +=+=++=+⨯= 故选B ．10．（2020•德阳模拟）设向量(2,1)a =-，(,3)a b m +=-，(3,1)c =，若()a b c +⊥，设a 、b的夹角为θ，则cos θ=（ ）A ．35-B ．35C D ．【答案】D 【解析】(,3)a b m +=-，(3,1)c =，()a b c +⊥，330m ∴-=，可得1m =，可得(1,3)a b +=-，(2,1)a =-，∴(3,4)b =-，∴6410a b =--=-，可得||5a =，||5b =，∴设a 、b 的夹角为θ，则10cos ||||55a b a b θ-===⨯．故选D ．11．（2020•襄州区校级四模）已知向量(2,1)a =-，(6,)b x =，且//a b ，则|2|a b -=（ ）A B ．．4D ．5 【答案】A【解析】根据题意，向量(2,1)a =-，(6,)b x =， 若//a b ，则有2(1)6x =-⨯， 解可得3x =-，则(2,1)a =-，(6,3)b =-， 则2(2,1)a b -=-，则|2|41a b -=+ 故选A ．12．（2020•武侯区校级模拟）设向量(,1)a m =，(1,2)b =，且222||||||a b a b +=+，则m =（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2- 【答案】D【解析】由222||||||a b a b +=+得，22222a b a b a b ++=+，∴0a b =，∴20a b m =+=，得2m =-．故选D ．13．（2020•兴庆区校级模拟）平面向量a 与b 的夹角为60︒，(1,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（ ） A．．3D ．7 【答案】B 【解析】(1,0)a =，||1a ∴=，∴||||cos a b a b a =<，111122b >=⨯⨯=．2221|2|(2)44142a b a b a a b b ∴+=+=++=+⨯． 故选B ．14．（2020•贵港四模）在直角ABC ∆中，AB AC ⊥，||3AB =，||2AC =，2AE EB=，AF FC =，设BF 与CE 交于G ，则cos AG <，AE >=（ ） A B ．35D ．45【答案】B【解析】如图，以A 坐标原点、AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴， 建立坐标系，则由题意(3,0)B ，AB AC ⊥，||3AB =，||2AC =，2AE EB =，AF FC =， 则(0,2)C ，(2,0)E ∴，(0,1)F ，所以，直线CE 的方程为20x y +-=，直线BF 的方程为330x y +-=， 由20330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3(2G ，1)2．∴31(,)22AG =，(3,0)AB =，∴9cos,AG AB<>==故选B．15．（2020•某某模拟）已知向量,a b 满足||1,||3a b==，且a与b的夹角为6π，则|2|a b-=（）A．12B．1D．13【答案】C【解析】向量,a b 满足||1a =，||3b =，且a与b的夹角为6πθ=，所以22222(2)444141cos16a b a a b bπ-=-+=⨯-⨯+=，所以|2|1a b-=．故选C．16．（2020•6月份模拟）已知向量(,2)a m=，(3b =，1)，若向量a在向量b 方向上的投影为2-，则向量a与向量b的夹角是（）A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒【答案】C【解析】由向量数量积的定理可知，23||cos,22||a bma a bb+<>===-，故m=-，所以621cos,422||||a ba ba b-+<>===-⨯，而0a︒<，180b>︒，故夹角为120︒．故选C ．17．（2020•某某二模）已知向量a ，b 满足||1a =，()(3)a b a b -⊥-，则a 与b 的夹角的最大值为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 【答案】A 【解析】||1,()(3)a a b a b =-⊥-，∴222()(3)34340a b a b a b a b b a b --=+-=+-=，∴2||34b a b +=，∴23||||33||cos ,42||||4||b a b b b a b a b b ++<>===，且0,180a b ︒<>︒， ∴3cos ,2a b <>=时，,a b 的夹角最大为30︒． 故选A ．18．（2020•某某模拟）若非零向量,a b 满足，则向量与夹角的余弦值为（ ） A ．78-B ．58-C ．34-D ．38-【答案】A【解析】由(2)(2),()(3)a b a b a b a b +⊥-+⊥+， 所以(2)(2)0a b a b +-=， 且()(3)0a b a b ++=；即2240a b -=，所以||2||a b =； 且22430a a b b ++=，代入得2224||8||cos 3||0b b b θ++=， 解得7cos 8θ=-；所以向量a 与b 夹角的余弦值为78-．故选A ．19．（2020•某某二模）已知，，记，若，则与的夹角是（ ） A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】C【解析】3(,2c m =-，(1,3)a =，且a c ⊥，∴33022a c =-++=，解得0m =，(2,0)b =-，∴21cos ,222||||a b a b a b -<>===-⨯，0,a b π<>，∴a 与b 的夹角是23π． 故选C ．20．（2020•某某三模）已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】||2a =，||1b =，|2|2b a -=，∴22444242b a a b a b +-=+-=， ∴1a b =， ∴2cos ,2||||a b a b a b <>==． 故选A ．21．（2020•某某区校级一模）已知平面向量，，，则与的夹角等于（ ） A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】C【解析】11(2)((122b a b a =+-=-=-，且(3,0)a =，∴31cos ,232||||a b a b a b -<>===-⨯，且0,a b π<>，∴a 与b 的夹角等于23π． 故选C ．22．（2020•潍坊模拟）已知向量，，若，则与的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 【答案】B【解析】由a b ⊥，可得30a b λ=-+，故λ= 则3(1a b +=-，3)(3+，1)(2=，4)，设3a b +与a 的夹角为θ，则cosθ==， 因为0θπ，故4πθ=故选B ．23．（2020•道里区校级四模）已知向量，，若，则（ ）A ．6-B ．83-C ．83D ．6 【答案】A【解析】向量(3,2)m =，(4,)n x =，若m n ⊥，∴1220m n x =+=，则6x =-，故选A ．24．（2020•某某模拟）已知向量，若，则（ ）A ．194-B ．194C ．23-D ．23【答案】B【解析】2(22,5)a b m -=-，(2,3)b =-，且(2)a b b -⊥，∴(2)2(22)150a b b m -=--=，解得194m =．故选B ．25．（2020•某某模拟）已知向量，，向量在向量方向上的投影为．若，则实数的值为（ ）A ．14B ．14-C ．12D ．12-【答案】C【解析】向量1(2b =，向量a 在向量b 方向上的投影为2-，∴2||2a b b =-⨯=-，若()a b b λ+⊥，则2()210a b b a b b λλλ+=+=-+=，12λ∴=，故选C ．26．（2020•沙坪坝区校级模拟）向量，若，则（ ）A ．4-B ．32-C ．0D ．6【答案】A 【解析】向量(3,),(1,2)a m b ==，()(4a b ∴+=，2)m +，若()a b b +⊥，则()(4a b b +=，2)(1m +，2)4240m =++=，则4m =-，故选A ．27．（2020•某某二模）已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则（）A ．12B ．35C ．12-D ．【答案】B 【解析】,a b 是两个非零向量，其夹角为θ，若()()a b a b +⊥-，则22()()0a b a b a b +-=-=，||||a b ∴=．||2||a b a b +=-，∴222224(2)a a b b a a b b ++=-+，2610a a b ∴=． 则22335cos 5||||a a b a a b θ===，故选B ．28．（2020•某某模拟）已知向量，，且，则（ ）A B ．54C D ．5 【答案】 C 【解析】向量(2,1)a =，(1,)b m =，且a b⊥，∴20a b m =+=，2m =-， 则2||1b m =+=故选C ． 29．（2020•某某区校级二模）已知向量，，，且在方向上的投影为，则（）A ．0B ．12-C ．1-D ．24-【答案】C【解析】a 在b 方向上的投影为12-，||cos a a ∴<，12b >=-，又||2b =，∴||||cos a b a b a =<，12()12b >=⨯-=-．故选C ． 30．（2020•三模拟）的顶角，，的对边长依次等于2，3，4，则（ ）A ．212B ．32-C ．112-D ．112【答案】C【解析】根据余弦定理，22242311cos 24216B +-==⨯⨯，∴1142cos()2AB BC B π=⨯⨯-=-．故选C ．31．（2020•桃城区校级模拟）已知在中，，，点满足，则（ ）A ．89-B ．89C ．23-D ．23【答案】A 【解析】2AB CA =-，22cos()2A π∴⨯⨯-=-，得1cos 2A =， (0,)A π∈，3A π∴=，ABC ∴∆为等边三角形．以AC 的中点O 为坐标原点，以OA ，OB 分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A ，B ，(1,0)C -，∴(1,CB =，(2,0)CA =．1132CP CB CA =+，∴1(13CP =1(22+，40)(3=，(1,0)C -，∴点P 的坐标为1(3，∴2(3PA PB =，1(3-，228939=--=-． 故选A ．32．（2020•某某模拟）已知，，则在方向上的投影为（ ）A B ．12C D ．52【答案】D 【解析】由数量积定义可知，a 在b 方向上的投影为215||cos ,2||a b a a b b ⨯+<>===． 故选D ．33．（2020•某某模拟）已知向量，，则在上的投影为（ ）A ．BC ． 【答案】A【解析】由数量积定义可知，a 在b 方向上的投影为3(1)||cos ,||a b a a b b ⨯-<>===．故选A．。

第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算 (1)6.1.1 向量的概念 ........................................................................................................... 1 6.1.2 向量的加法 ........................................................................................................... 5 6.1.3 向量的减法 ......................................................................................................... 10 6.1.4 数乘向量 ............................................................................................................. 13 6.1.5 向量的线性运算 ................................................................................................. 16 6.2 向量基本定理与向量的坐标 . (19)6.2.1 向量基本定理 ..................................................................................................... 19 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 ............................................................................. 22 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 ................................................................................. 24 6.3 平面向量线性运算的应用 .. (30)6.1 平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念知识点向量的定义与表示(1)定义：既有__大小__又有__方向__的量． (2)表示方法：①几何表示法：用以A 为始点，以B 为终点作__有向线段__AB→．②字母表示法：在印刷时，通常用__加粗__的__斜体小写__字母如a ，b ，c 、…表示向量，在书写时，可写成__带箭头__的小写字母如a →，b →，c →，…．(3)向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a ，AB →的模分别记作|a |，|AB→|． 思考：(1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？提示：(1)向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征，方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可．(2)要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点．知识点特殊向量(1)零向量：__始点__和__终点__相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：长度(或模)为__1__的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小__相等__且方向__相同__的向量称为相等向量．向量a 与b 相等，记作a ＝B ．(4)平行向量或共线向量：方向__相同__或__相反__的非零向量称为平行向量，也称为共线向量．向量a 平行于b ，记作a ∥B ．规定__零__向量平行于任何向量．思考：(1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ (2)若a ＝b ，则两向量在大小与方向上有何关系？ (3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？提示：(1)0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.0有方向，其方向是任意的．(2)若a ＝b ，意味着|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同．(3)向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向量共线．题型向量的有关概念典例剖析典例1 给出下列命题： (1)平行向量的方向一定相同； (2)向量的模一定是正数；(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量AB→与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确的序号是__(3)__．[分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．[解析] (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．故填(3)．规律方法：要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．题型相等向量与共线向量典例剖析典例2 如图，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABDE 是矩形．(1)找出与向量AB→相等的向量；(2)找出与向量AB→共线的向量．[分析] (1)找与向量AB →相等的向量，就是找与AB →长度相等且方向相同的向量．(2)找与AB→共线的向量，就是找与AB →方向相同或相反的向量． [解析] (1)由四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABDE 是矩形知，DC →，ED →与AB→的长度相等且方向相同，所以与向量AB →相等的向量为DC →，ED →． (2)由题图可知DC→，ED →，EC →与AB →方向相同，BA →，CD →，DE →，CE →与AB →方向相反，所以与向量AB→共线的向量有DC →，ED →，EC →，BA →，CD →，DE →，CE →．规律方法：1.寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向且共线的．2．寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量．3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反．题型向量的表示与应用典例剖析典例3 (1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A ，点C 为小正方形的顶点，且|AC→|＝5，画出所有的向量AC →；(2)如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN→＝MA →.求证：DN →＝MB →．[分析] (1)根据方向与大小确定终点即可．(2)利用向量相等证明四边形ABCD ，CNAM 为平行四边形，进而得到DN →＝MB →．[解析] (1)画出所有的向量AC→，如图：(2)因为AB→＝DC →，所以|AB→|＝|DC →|，且AB ∥CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形． 所以|DA→|＝|CB →|，且DA ∥CB ． 又因为DA →与CB →的方向相同，所以CB→＝DA →． 同理可证四边形CNAM 是平行四边形，所以CM →＝NA →．因为|CB→|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， 所以|MB→|＝|DN →|，DN ∥MB ， 即DN→与MB →的模相等且方向相同，所以DN →＝MB →． 易错警示典例剖析典例4 在□ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S }，且M ，N 不重合，则集合T 中元素的个数为__12__．[错解] S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，S 中任意两点连成的有向线段有：AB →，AC →，AD→，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB→，OC →，OD →，共有20个元素． [辨析] 求解时，若忽略对相等向量的考虑．[正解] 在上面20个向量中，由平行四边形的性质可知(如图)，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB→，OD →＝BO →， 又集合中元素具有互异性，所以集合T 中的元素共有12个．6.1.2 向量的加法知识点向量加法的定义及其运算法则(1)向量加法的定义定义：求两个向量和的运算． (2)向量求和的法则三角形法则已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB→＝a ，BC →＝b作出向量AC →，则向量__ AC →__称为a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB→＋BC →＝AC →．平行四边形法则已知两个__不共线__向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，以__AB→__，__ AD →__为邻边作□ABCD ，则对角线上的向量AC→＝__a ＋b __.|| __≤__||__≤__||b |．思考：(1)向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？(2)利用向量求和的三角形法则时，若向量a ，b 中有零向量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？(3)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗？ (4)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？提示：(1)求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．(2)对于零向量与任一向量a ，规定0＋a ＝a ＋0＝A ． 当两向量共线时，仍可以使用三角形法则求和．(3)不可以，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量．(4)求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量．知识点多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为__始点__，最后一个向量的终点为__终点__的向量，就是这些向量的和，如图所示．知识点向量加法的运算律交换律 结合律a ＋b ＝b ＋a(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )思考：(a ＋提示：成立，向量的加法运算满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．题型向量的加法法则典例剖析典例1 (1)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，点F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填上一个向量)：①AB→＋DF →＝__AC →__；②AD →＋FC →＝__AB →__．(2)下列说法正确的是__①③__． ①若|a |＝3, |b |＝2, 则|a ＋b |≥1,②若向量a ，b 共线，则|a ＋b |＝|a |＋|b |， ③若|a ＋b |＝|a |＋|b |，则向量a ，b 共线．(3)如图所示，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b ＋C ．[解析] (1)如题图，由已知得四边形DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①AB→＋DF →＝AB →＋BC →＝AC →； ②AD→＋FC →＝AD →＋DB →＝AB →． (2)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确．(3)a 、b 、c 不共线中隐含着a ，b ，c 均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作AB→＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，再作CD→＝c ，则AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，即AD →＝a ＋b ＋C ．解法二：(平行四边形法则)：∵a 、b 、c 不共线，如图(2)所示． 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA→、OB →为邻边作□OADB ， 则对角线OD→＝a ＋b ，再作OC →＝c ，以OC→、OD →为邻边作□OCED ． 则OE→＝a ＋b ＋C ． 规律方法：1.向量求和的注意点：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．题型向量加法的运算律典例剖析典例2 化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →＝__AD →__．(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝__0__．(3)□ABCD 中(如图)，对角线AC ，BD 交于点O ．则①AD→＋AB →＝__AC →__； ②CD→＋AC →＋DO →＝__AO →__； ③AB→＋AD →＋CD →＝__AD →__； ④AC→＋BA →＋DA →＝__0__． [解析] (1)CD→＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →．(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A →＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0．(3)①AD→＋AB →＝AC →，②CD→＋AC →＋DO →＝CO →＋AC →＝AO →， ③AB→＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →， ④AC→＋BA →＋DA →＝DC →＋BA →＝0． 规律方法：(1)解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．题型利用向量加法证明几何问题典例剖析典例3 在□ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F ，E ，使BE ＝DF (如图)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形．[解析] ∵AE→＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →．又∵AB→＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →， 即AE ，FC 平行且相等， ∴四边形AECF 是平行四边形．规律方法：用向量证明几何问题的一般步骤： (1)要把几何问题中的边转化成相应的向量． (2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．易错警示典例剖析典例4 如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H .则OP →＋OQ →＝( C )A ．OH →B ．OG →C ．FO →D ．EO→ [错解] A[辨析] 选错的原因是没有认真根据向量的三角形法则(或平行四边形法则)作出图形．[正解] 以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，如图所示，则OP →＋OQ →＝OM →，由OM→和FO →的模相等，方向相同，得OM →＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →．6.1.3 向量的减法知识点相反向量定义：如果两个向量大小__相等__，方向__相反__，那么称这两个向量是相反向量．性质：(1)对于相反向量有：a ＋(－a )＝__0__．(2)若a ，b 互为相反向量，则a ＝__－b __，a ＋b ＝0． (3)__零向量__的相反向量仍是零向量．思考：有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“大小相等”是多余的，对吗？提示：不对，相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解，不是仅方向相反，还必须大小相等．知识点向量的减法(1)定义：平面上任意两个向量a ，b ，如果向量x 满足__b ＋x __＝a, 则称x 为向量a ，b 的差，记作x ＝a －B ．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝__BA →__，如图所示．a －b 可以表示为从向量__b __的终点指向向量__a __的终点的向量． (3)向量减法的三角形法则：当向量a ，b 不共线时，向量a ，b ，a －b 正好能构成一个三角形，因此求两向量差的作图方法也常称为向量作差的三角形法则．(4)a －b ＝a ＋(－b )．思考：(1)由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？(2)由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何联系？提示：(1)求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被减向量．(2)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →，就可以把减法转化为加法．题型向量的减法典例剖析典例1 (1)在△ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( D )A ．FD →B ．FC → C ．FE→ D ．BE→ (2)如图，已知向量a ，b ，c ，求作a －b －C ．[解析] (1)由题意可知AF→－DB →＝DE →－DB →＝BE →．(2)如图，以A 为起点分别作向量AB→和AC →，使AB →＝a ，AC →＝B ．连接CB ，得向量CB →，再以点C 为起点作向量CD →，使CD →＝C ．连接DB ，得向量DB →.则向量DB →即为所求作的向量a －b －C ．规律方法：1.作两向量的差的步骤 移—平移向量使之共起点 ↓连—连接两向量的终点，方向指向被减向量. 2．求两个向量的减法的注意点(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后用加法a ＋(－b )即可．(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用． 题型向量的加减法运算典例剖析典例2 化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( D ) A ．AB→B ．AD →C ．BC→ D ．0[解析] (1)解法一：AC→－BD →＋CD →－AB →＝AC →－BD →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(BA →－BD →)＝AD →＋DA →＝0． 解法二：AC→－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋DB →＋CD →＋BA →＝(AC→＋CD →)＋(DB →＋BA →)＝AD →＋DA →＝0． 规律方法：向量减法运算的常用方法 常用方法⎩⎪⎨⎪⎧可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点引入点O ，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一题型向量加减运算几何意义的应用典例剖析典例3 (1)已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则|a ＋b |的值为__4__．(2)如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a, AC→＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．[解析] 如图，令OA→＝a ，OB →＝b ，则|BA →|＝|a －b |．以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|OC →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42.故|OA→|2＋|OB →|2＝|BA →|2，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以平行四边形OACB 是矩形．根据矩形的对角线相等有|OC →|＝|BA →|＝4，即|a ＋b |＝4．(2)因为四边形ACDE 是平行四边形， 所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a，故BD→＝BC →＋CD →＝b －a ＋C ． 规律方法：1.解决用已知向量表示未知向量问题的思路应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．2．利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤：(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量．(2)利用三角形法则和平行四边形法则、对向量的加、减法进行运算．(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题．易错警示典例剖析典例4写出下列各式成立时，向量a、b应满足的条件．(1)|a＋b|＝|a－b|；(2)|a＋b|＝|a|＋|b|；(3)|a＋b|＝|a|－|b|; (4)|a－b|＝|a|＋|b|．[错解](1)a、b垂直．(2)a、b方向相同．(3)a、b方向相反，且|a|＞|b|．(4)a、b方向相反．[辨析]忽略“a、b中至少一个为零向量”的条件，使答案不完整．[正解](1)a、b垂直或a、b中至少一个为零向量．(2)a、b方向相同或a、b中至少一个为零向量．(3)a、b方向相反且|a|＞|b|，或b＝0．(4)a、b方向相反，或a、b中至少一个为零向量．6.1.4数乘向量知识点向量的数乘运算定义：实数λ与向量a的积是一个__向量__，这种运算简称数乘向量，记作λA．规定：(1)当λ≠0 且a≠0时，|λa|＝|λ||a|，且①当λ＞0时，λa的方向与a的方向__相同__；②当λ＜0时，λa的方向与a的方向__相反__．(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝__0__．思考：(1)定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？(2)若把|λa|＝|λ||a|写成|λa|＝λ|a|可以吗？为什么？提示：(1)数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向．(2)不可以，当λ＜0时不成立．知识点向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则λ(μa )＝__(λμ)__a ； 特别地，我们有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )．思考：这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立．知识点向量共线的条件如果存在实数λ，使得b ＝λa ，则b ∥A ．思考：“若向量b ∥a ，则存在实数λ，使得b ＝λA ．”成立吗？ 提示：不成立，若a ＝0，b ≠0，则λ不存在． 题型数乘向量的定义典例剖析典例1 设a 是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有__②③__． ①|－λa |≥|a |； ②a 与λ2a 方向相同； ③|－2λa |＝2|λ|·|a |．[分析] 根据数乘向量的概念解决．[解析] 当0＜λ＜1 时，|－λa |＜|a |，①错误；②③正确．规律方法：数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小．题型数乘向量的运算典例剖析典例2 下列各式化简正确的是__②③__． ①－3×2a ＝－5a ； ②12a ×3×(－2)＝－3a ； ③－2×AB →＝2BA →；④0×b ＝0．[分析] 根据向量数乘的运算律解决．[解析] 因为－3×2a ＝－6a ，12a ×3×(－2)＝－3a ，－2×AB→＝－2AB →＝2BA →，0×b ＝0.所以，①④错误，②③正确．规律方法：λa 中的实数λ称为向量a 的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数．题型数乘向量的应用典例剖析角度1 判断向量共线典例3 已知a ＝2e, b ＝－4e, 判断a ，b 是否平行，求|a |∶|b |的值；若a ∥b ，说出它们是同向还是反向．[分析] 利用数乘向量的定义解决．[解析] 因为b ＝－4e ＝－2(2e )＝－2a ，所以a ∥b ，且2|a |＝|b |，即|a |∶|b |＝1∶2.向量a ，b 反向．母题探究：把本例条件改为“a ＝2e ，b ＝3e ，”其他条件不变，试判断a 与b 是否平行，求|a |∶|b |的值；若a ∥b ，说明它们是同向还是反向．[解析] 因为b ＝3e ＝32(2e )＝32a ，所以a ∥b ， 且32|a |＝|b |，即|a |∶|b |＝2∶3.向量a ，b 同向．角度2 判断三点共线典例4 已知AB →＝e ，BC →＝－3e ，判断A ，B ，C 三点是否共线，如果共线，说出点A 是线段BC 的几等分点．[分析] 利用数乘向量的定义解决．[解析] 因为BC→＝－3e ＝－3AB →，所以AB →∥BC →， 且有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线，又因为BC ＝3AB ，且向量AB →，BC →反向，如图，所以点A 是线段BC 的三等分点．规律方法：数乘向量的应用(1)如果存在实数λ，使得b ＝λa ，则b ∥A ．(2)如果存在实数λ，使得AB →＝λAC →，则AB →∥AC →，且AB 与AC 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线．易错警示典例剖析典例5 若点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝__35 __AB →，BC →＝__－25__AB→． [错解] 35 25 设AC ＝3k ，则CB ＝2k ，所以AB ＝5k ，故AC →＝35AB →，BC →＝25AB →．[辨析] 解决有关数乘向量的问题，注意向量的方向的对应性．[正解] 因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB ＝35，BC AB ＝25，所以AC→＝35AB →，BC →＝－25AB →．6.1.5 向量的线性运算知识点向量的加法与数乘向量的混合运算规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算__数乘向量__，再算__向量加法__．运算律：设对于实数λ，μ以及向量a ，b ，有(1)λa ＋μa ＝__(λ＋μ)a __.(2)λ(a ＋b )＝__λa ＋λb __．思考：(1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么？ (2)这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？ 提示：(1)向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量．(2)不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立．知识点向量的线性运算向量的加、减、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算． 题型向量的线性运算典例剖析典例1 (1)化简6a －[4a －b －5(2a －3b )]＋(a ＋7b )；(2)把满足3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b 的向量x 、y 用a 、b 表示出来． [分析] 求解的依据是运算律，采用与代数式的运算相似的方法． [解析] (1)原式＝6a －(4a －b －10a ＋15b )＋a ＋7b ＝(6－4＋10＋1)a ＋(1－15＋7)b ＝13a －7B ．(2)由已知得⎩⎨⎧3x －2y ＝a ，①－4x ＋3y ＝b .②①×3＋②×2得x ＝3a ＋2b ，①×4＋②×3，得y ＝4a ＋3B ． ∴x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3B ．规律方法：熟练掌握和运用运算律(实数与向量的积满足的结合律与分配律)，即当λ、μ为实数时，有：①(λμ)a ＝λ(μa )；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λB ．题型用已知向量表示相关向量典例剖析典例2 (1)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__12__．(2)如图所示，已知□ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →．[解析] (1)由已知DE→＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12．(2)设BC →＝x ，则BK →＝12x ，AB →＝AK →＋KB →＝e 1－12x ，DL →＝12e 1－14x ，又AD →＝x ，由AD→＋DL →＝AL →，得x ＋12e 1－14x ＝e 2，解方程得x ＝43e 2－23e 1，即BC→＝43e 2－23e 1，由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ，得CD →＝－43e 1＋23e 2． 规律方法：用已知向量表示未知向量的技巧(1)由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律．(2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解． 题型向量平行、三点共线问题典例剖析典例3 如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB →＝a ，AC→＝B ．(1)用a ，b 分别表示向量AE→，BF →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．[解析] (1)∵AD→＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，∴AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， ∵AF→＝12AC →＝12b ， ∴BF→＝AF →－AB →＝－a ＋12B ． (2)由(1)知BF→＝－a ＋12b ，BE→＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )， ∴BE→＝23BF →． ∴BE→与BF →共线． 又BE ，BF 有公共点B ， ∴B ，E ，F 三点共线．规律方法：1.证向量平行，用b ＝λA ．2．证三点共线，除证明两向量平行外还需要两向量有公共点．易错警示典例剖析典例4 设a ，b 是两个不共线的向量，若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝__－4__．[错解] ±4[辨析] 本题容易出现得到k ＝±4的错误，出错的原因是忽视了条件方向相反对k 取值的限制．因此由两个向量共线求参数时要注意两向量的方向．[正解] 因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒⎩⎨⎧2＝λk ，k ＝8λ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)．6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理知识点共线向量定理如果__a ≠0__，且b ∥a ，则存在__唯一__的实数λ，使得b ＝λA ． 如果A ，B ，C 是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得AB→＝λAC →． 思考：(1)定理中的条件“a ≠0”能否省略，为什么？ (2)这里的“唯一”的含义是什么？提示：(1)不能．如果a ＝0，b ≠0，不存在实数λ，使得b ＝λA ．如果a ＝0，b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λA ．(2)如果还有b ＝μa ，则有λ＝μ． 知识点平面向量基本定理(1)定理：如果平面内的两个向量a ，b __不共线__，则对该平面内的__任意一个__向量c ，__存在唯一__的实数对(x ，y )，使得c ＝x a ＋y B ．(2)基底：平面内__不共线__的两个向量a ，b 组成的集合{a ，b }称为该平面上向量的__一组基底__．思考：(1)定理中的“不共线”能否去掉？ (2)平面内的每一个向量都能用a ，b 唯一表示吗？提示：(1)不能，两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底． (2)是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的．题型共线向量定理的应用典例剖析典例1 已知向量m ，n 不是共线向量，a ＝3m ＋2n ，b ＝6m －4n ，c ＝m＋x n ．(1)判断a ，b 是否平行； (2)若a ∥c ，求x 的值．[解析] (1)显然a 为非零向量，若a ∥b ，则存在实数λ，使得b ＝λa ，即6m －4n ＝λ(3m ＋2n )，∴⎩⎨⎧ 6＝3λ，－4＝2λ，∴⎩⎨⎧λ＝2，λ＝－2，∴λ不存在．∴a 与b 不平行． (2)∵a ∥c ，∴存在实数r ，使得c ＝r A ． ∴m ＋x n ＝r (3m ＋2n ) ∴⎩⎨⎧1＝3r ，x ＝2r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝13，x ＝23，x ＝23．规律方法：1.利用共线向量基本定理可解决两类向量问题：(1)判定向量平行(先假设平行，用基本定理列方程，根据λ1e 1＋μ1e 2＝λ2e 1＋μ2e 2，其中e 1，e 2不共线，列实数方程组，求解)；(2)已知向量求参数．2．判定向量平行还可用结论“当存在实数λ，使得b ＝λa 时，b ∥a ”． 3．证三点共线：用三点共线的两个充要条件． 题型平面向量基本定理的理解典例剖析典例2 (1)设e 1、e 2是不共线向量，则下面四组向量中，能作为基底的组数是( C )①e 1和e 1＋e 2 ②e 1－2e 2和e 2－2e 1 ③e 1－2e 2和4e 2－2e 1 ④e 1＋e 2和e 1－e 2 A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( A ) A ．若实数λ1、λ2，使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1、λ2是实数C ．对实数λ1、λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D ．对平面α中的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对 [分析] (1)根据基底的构成条件判断． (2)由平面向量基本定理的内容理解判断．[解析] (1)③中，∵4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，∴两向量共线，其他不共线，故选C ．(2)平面α内任一向量都可写成e 1与e 2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B 不正确；对任意实数λ1、λ2，向量λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a ，实数λ1、λ2是唯一的．规律方法：对平面向量基本定理的理解(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝x a ＋y b ，且x ＝y ＝0．(2)对于固定的不共线向量a ，b 而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．题型用基底表示向量典例剖析典例3 如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM→＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB ＝a ，AC→＝b ， 试用a ，b 将MN→，NP →，PM →表示出来．[解析] NP→＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN→＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝－13b －23(a －b )＝－23a＋13B ．PM→＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )． 规律方法：平面向量基本定理的作用及注意点(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．(2)解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．易错警示典例剖析典例4 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设A D →＝a ，A B →＝b ，若A B →＝2D C →，则A O →＝__23a ＋13b __(用a 和b 表示)．[错解] 2a ＋b 设A O →＝λAC →，则A O →＝λ(A D →＋D C →)＝λ(A D →＋12A B →)＝λAD →＋12λAB →．∵D 、O 、B 三点共线，∴λ－12λ＝1，∴λ＝2． ∴A O →＝2A D →＋A B →＝2a ＋B ．[辨析] 不能正确应用直线的向量参数方程致错．[正解] 23a ＋13a 设A O →＝λAC →，则A O →＝λ(A D →＋D C →)＝λ(A D →＋12A B →)＝λAD →＋12λAB →．因为D 、O 、B 三点共线，所以λ＋12λ＝1， 所以λ＝23，所以A O →＝23A D →＋13A B →＝23a ＋13B ．6.2.2 直线上向量的坐标及其运算知识点直线上向量的坐标给定一条直线l 及这条直线上一个单位向量e ，对于这条直线上的任意一个向量a ，一定存在__唯一__的实数x ，使得a ＝x e ，此时x 称为向量a 的__坐标__．在直线上指定原点O ，以e 的方向为正方向，如果把向量a 的始点平移到原点O ，那么a 的终点对应的数就是向量a 的坐标．思考：向量a 的坐标x 能刻画它的模与方向吗？ 提示：能．(1)|a |＝|x e |＝|x ||e |＝|x |．(2)当x ＞0时，a 的方向与e 的方向相同；当x ＝0时，a 是零向量；当x ＜0时，a 的方向与e 的方向相反．知识点直线上向量的运算与坐标的关系如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2．(1)a＝b的充要条件是__x1＝x2__．(2)a＋b的坐标为__x1＋x2__，a－b的坐标为__x1－x2__，λa的坐标为__λx1__．(3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝__|x2－x1|__，x＝__x1＋x22__．题型求直线上的向量坐标典例剖析典例1已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标：(1)a＝2e，b＝－3e；(2)a＝－13e，b＝4e．[解析](1)∵e的坐标为1，又a＝2e，b＝－3e，∴a的坐标为2，b的坐标为－3．(2)∵e的坐标为1，又a＝－13e，b＝4e，∴a的坐标为－13，b的坐标为4．规律方法：为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：(1)将向量用单位向量表示出来．(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标．题型直线上向量坐标的线性运算典例剖析典例2已知直线上向量a的坐标为－3，b的坐标为4，求下列向量的坐标：(1)a－b；(2)15b；(3)－2a＋3B．[解析](1)a－b的坐标为－3－4＝－7．(2)15b的坐标为15×4＝45．(3)－2a＋3b的坐标为(－2)×(－3)＋3×4＝18．规律方法：若a，b的坐标分别为x1，x2，则a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1，u a＋v b的坐标为ux1＋v x2，u a－v b的坐标为ux1－v x2．。

§6.3 平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义．2.掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．3.会用坐标表示平面向量的平行与垂直.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模长以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影 几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积3.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.概念方法微思考1．a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相同吗？提示 不相同．因为a 在b 方向上的投影为|a |cos θ，而b 在a 方向上的投影为|b |cos θ，其中θ为a 与b 的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？ 提示 不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )(6)若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二 教材改编2．[P105例4]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．[P106T3]已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos120°＝－2. 题组三 易错自纠4．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|. 又∠AOB ＝60°， 所以|a ＋2b |＝2 3.5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________． 答案322解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，由定义知，AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一 平面向量数量积的基本运算1．已知a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)，若(a ＋b )⊥b ，则x 等于( ) A ．8B ．10C ．11D ．12 答案 D解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)，∴a ＋b ＝(x －2,5)， 又(a ＋b )⊥b ，∴(x －2)×(－2)＋20＝0，∴x ＝12.2．(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )等于( ) A ．4B ．3C ．2D ．0 答案 B解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3．(2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16 解析 如图所示，AB →＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC →＝AM →－MB →， ∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →)＝AM →2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)利用数量积的几何意义求解． 题型二 平面向量的模例1 (1)(2018·浙江五校联考)如图，已知在平行四边形ABCD 中，E ，M 分别为DC 的两个三等分点，F ，N 分别为BC 的两个三等分点，且AE →·AF →＝25，AM →·AN →＝43，则|AC →|2＋|BD →|2等于( )A ．45B ．60C ．90D ．180答案 C解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，依题意得AE →＝AD →＋DE →＝13a ＋b ，AF →＝AB →＋BF →＝a ＋13b ，AM →＝AD →＋DM →＝23a ＋b ，AN →＝AB →＋BN →＝a ＋23b ，∵AE →·AF →＝25，AM →·AN →＝43，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝25，⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＝43，即⎩⎪⎨⎪⎧13(a 2＋b 2)＋109a ·b ＝25，23(a 2＋b 2)＋139a ·b ＝43，∴a 2＋b 2＝45，∴|AC →|2＋|BD →|2＝|a ＋b |2＋|b －a |2＝(a ＋b )2＋(b －a )2＝2(a 2＋b 2)＝90.故选C.(2)(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 答案 4 2 5解析 设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]． 思维升华计算平面向量模的方法利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a |2＝a 2＝a ·a ；(2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.跟踪训练1 (1)(2014·浙江)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1，则( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定 答案 B解析 |b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2. 因为|b ＋t a |min ＝1，所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1. 所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ. 即θ确定，|b |唯一确定．(2)(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)已知向量a ，b 满足|a －b |＝|a ＋3b |＝2，则|a |的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 方法一 设a －b ＝m ，a ＋3b ＝n ，则a ＝14(3m ＋n )，b ＝14(n －m )，因为|m |＝|n |＝2，所以16a 2＝(3m ＋n )2＝9m 2＋n 2＋6m ·n ＝9×4＋4＋6×2×2×cos θ＝40＋24cos θ，其中θ为向量m ，n 的夹角，cos θ∈[－1,1]，40＋24cos θ∈[16,64]，即a 2∈[1,4]，所以|a |的取值范围是[1,2]．方法二 由|a －b |＝2得a 2＋b 2－2a ·b ＝4，由|a ＋3b |＝2得a 2＋9b 2＋6a ·b ＝4，所以a 2＋3b 2＝4，b 2＋a ·b ＝0，设向量a ，b 的夹角为θ，所以|b |＝－|a |cos θ，－cos θ∈[0,1]，所以|b |≤|a |，a 2＋3b 2≤4a 2，即4a 2≥4，所以|a |≥1，又a 2≤4，所以1≤|a |≤2，故|a |的取值范围是[1,2]．题型三 平面向量的夹角例2 (1)(2018·浙江高考适应性考试)若向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝1，且(a ＋8b )⊥a ，则向量a ，b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 C解析 由(a ＋8b )⊥a ，得|a |2＋8a ·b ＝0，因为|a |＝4，所以a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，所以向量a ，b 的夹角为2π3，故选C.(2)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 思维升华求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：cos θ＝a·b|a||b |，θ的取值范围为[0，π]．(2)坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练2(1)(2011·浙江)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6解析 由题意知S ＝|α||β|sin θ＝12≤sin θ，∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.(2)(2018·浙江金华名校统考)已知向量a ，b 是夹角为π3的单位向量，当实数λ≤－1时，向量a与向量a ＋λb 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，2π3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π答案 B解析 根据向量a ，b 是夹角为π3的单位向量，画出图形，如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝π3，当λ＝－1时，a ＋λb ＝OA →＋OC →＝OD →， 此时a 与a ＋λb 的夹角为∠AOD ＝π3；当λ<－1时，a ＋λb ＝OE →＋OA →＝OF →，此时a 与a ＋λb 的夹角为∠AOF ，且∠AOD <∠AOF <∠AOE ，即π3<∠AOF <2π3.综上，向量a 与向量a ＋λb 的夹角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，2π3.1．已知a ，b 为非零向量，则“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 根据向量数量积的定义式可知，若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或零角，若a 与b 的夹角为锐角，则一定有a ·b >0，所以“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B. 2．(2018·台州调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,3)，则向量2a －b 与a 的夹角为( ) A ．135°B．60°C．45°D．30° 答案 C解析 由题意可得2a －b ＝2(2,1)－(1,3)＝(3，－1)， 则|2a －b |＝32＋(－1)2＝10， |a |＝22＋12＝5，且(2a －b )·a ＝(3，－1)·(2,1)＝6－1＝5， 设所求向量的夹角为θ，由题意可得 cos θ＝(2a －b )·a |2a －b ||a |＝510×5＝22，则向量2a －b 与a 的夹角为45°.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A ．22B.17C.15D ．2 5 答案 A解析 根据题意，|a －b |＝3＋2＝5， 则(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝5－2a ·b ＝5， 可得a ·b ＝0，结合|a |＝1，|b |＝2， 可得(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝4＋4＝8， 则||2a －b ＝22，故选A.4．(2018·宁波质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89B.109C.259D.269 答案 B解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43， 所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.5．已知两个单位向量a 和b 的夹角为60°，则向量a －b 在向量a 方向上的投影为( )A ．－1B ．1C ．－12D.12答案 D解析 由题意可得|a |＝|b |＝1， 且a ·b ＝|a |×|b |×cos60°＝12，a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－12＝12，则向量a －b 在向量a 方向上的投影为 (a －b )·a |a |＝121＝12.故选D. 6．(2018·温州“十五校联合体”联考)已知向量a ，b 的夹角为θ，|a ＋b |＝6，|a －b |＝23，则θ的取值范围是( ) A ．0≤θ≤π3B.π3≤θ＜π2C.π6≤θ＜π2D ．0＜θ＜2π3答案 A解析 由|a ＋b |＝6， 得|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝36，① 由|a －b |＝23，得|a |2－2a ·b ＋|b |2＝12，②由①②得|a |2＋|b |2＝24，且a ·b ＝6， 从而有cos θ＝a ·b |a ||b |≥2a ·b |a |2＋|b |2＝12， 又0≤θ≤π，故0≤θ≤π3.7．若平面向量a ，b 满足()a ＋b ·b ＝7，|a |＝3，|b |＝2，则向量a 与b 的夹角为________． 答案π6解析 ∵(a ＋b )·b ＝a ·b ＋b 2＝7， ∴a ·b ＝7－b 2＝3. 设向量a 与b 的夹角为α，则cos α＝a ·b |a ||b |＝323＝32. 又0≤α≤π，∴α＝π6， 即向量a 与b 的夹角为π6. 8．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析 a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0， 解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.9．(2018·浙江名校协作体试题)已知在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝7，AC ＝2，且O 是△ABC 的外心，则AO →·AC →＝________，AO →·BC →＝________. 答案 2 －52解析 因为O 是△ABC 的外心，所以向量AO →在向量AC →上的投影AO →·AC →|AC →|＝1，向量AO →在向量AB →上的投影为AO →·AB →|AB →|＝32，所以AO →·AC →＝2，AO →·AB →＝92，所以AO →·BC →＝AO →·AC →－AO →·AB →＝2－92＝－52. 10．(2018·温州市高考适应性测试)若向量a ，b 满足(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3，且|b |≥2，则a 在b 方向上的投影的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 解析 由(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3，得(a ＋b )2－b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2－|b |2＝9＋2a ·b ＝3，解得a ·b ＝－3，又因为|b |≥2，则向量a 在向量b 方向上的投影为a ·b |b |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0. 11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3， 所以∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，求PA →·(PB →＋PC →)的最小值．解 方法一 设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →)＝2(PE →2－EA →2)．而AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， 当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时PA →·(PB →＋PC →)取最小值，最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32. 方法二 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y ·⎝⎛⎭⎪⎫y －32 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎪⎫y －342－34. 因此，当x ＝－14，y ＝34时， PA →·(PB →＋PC →)取最小值，为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32. 13．(2018·浙江名校联盟联考)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP →＝1a AC →＋a －1aAD →，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为( ) A ．－2B ．－289C ．－258D ．－72答案 C解析 由AP →＝1a AC →＋a －1aAD →知点P 在直线CD 上，以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,2)，B (23，0)，C (0,0)，D (3，1)，∴直线CD 的方程为y ＝33x ， 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x ，则PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，2－33x ， PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫23－x ，－33x ，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－33x ， ∴PB →＋PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫23－2x ，－233x ， ∴PA →·(PB →＋PC →)＝－x (23－2x )＋23x 2－433x ＝83x 2－1033x ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5382－258， ∴当x ＝538时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值－258. 14．(2018·杭州质检)记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min .若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝c ·(a ＋2b －2c )＝2.则( )A ．|a －c |max ＝3＋72 B ．|a ＋c |max ＝3＋72 C ．|a －c |min ＝3＋72 D ．|a ＋c |min ＝3＋72. 答案 A解析 由题意，建立平面直角坐标系(图略)，不妨取a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，则a ＋2b ＝(4,23)．设c ＝(x ，y )，由c ·(a ＋2b －2c )＝2得(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝34， 即c 对应的点在以⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为圆心，32为半径的圆上， 则|a －c |max ＝(2－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＋32＝3＋72.故选A. 15．已知OP →，OQ →是非零不共线的向量，设OM →＝1m ＋1OP →＋m m ＋1OQ →，定义点集A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫F ⎪⎪⎪⎪ FP →·FM →||FP →＝FQ →·FM →||FQ →，当F 1，F 2∈A 时，若对于任意的m ≥3，当F 1，F 2不在直线PQ 上时，不等式||F 1F 2→≤k ||PQ →恒成立，则实数k 的最小值为________． 答案 34解析 由OM →＝1m ＋1OP →＋m m ＋1OQ →(m ≥3)， 可得P ，Q ，M 三点共线，且(m ＋1)OM →＝OP →＋mOQ →， 即mOM →＋OM →＝OP →＋mOQ →，即mQM →＝MP →，所以PM QM＝m ， 由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫F ⎪⎪⎪⎪ FP →·FM →||FP →＝FQ →·FM →||FQ →， 可得||FM →cos∠PFM ＝||FM →cos∠QFM ，即∠PFM ＝∠QFM ，则FM 为∠PFQ 的角平分线，由角平分线的性质定理可得PF QF ＝PM QM＝m ， 以P 为坐标原点，PQ 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则P ()0，0，Q ()1＋m ，0，F (x ，y )， 于是x 2＋y 2()x －1－m 2＋y 2＝m ， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 21－m 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m －12，故点F (x ，y )是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m －1，0为圆心，m m －1为半径的圆．要使得不等式||F 1F 2→||≤k PQ →对m ≥3恒成立，只需2m m －1≤k ()m ＋1，即k ≥2m m 2－1＝2m －1m对m ≥3恒成立，∴k ≥23－13＝34. 16．(2019·嘉兴质检)已知|c |＝2，向量b 满足2|b －c |＝b ·c .当b ，c 的夹角最大时，求|b |的值．解 设OB →＝b ，OC →＝c ，则∠BOC 即向量b ，c 的夹角，b －c ＝CB →.由2|b －c |＝b ·c ，可知2|BC →|＝2|OB →|·cos∠BOC ，从而cos∠BOC ＝|BC →||OB →|≥0. 若|BC →|＝0，则∠BOC ＝0，不符合题意；若|BC →|>0，则∠BOC 为锐角，设OB ＝m ，BC ＝n ，则cos∠BOC ＝n m，在△OBC 中， 由余弦定理可知cos∠BOC ＝OC 2＋OB 2－BC 22OC ·OB ＝4＋m 2－n 24m， 所以4＋m 2－n 24m ＝n m， 即m 2＝n 2＋4n －4， 从而cos 2∠BOC ＝n 2m 2＝n 2n 2＋4n －4 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12＋2，所以当n ＝2时，cos 2∠BOC 取得最小值12，∠BOC 取得最大值，为π4，此时|b |＝m ＝n 2＋4n －4＝2 2.。

平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。

复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。

高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。

平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的大小(叫做向量的模)，有向线段的箭头所指的方向表示向量的方向.(2)两个特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(3)平行向量(或共线向量)①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．②规定0与任一向量平行．③长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．2．向量的线性运算(1)向量的加法①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．②法则：向量的加法有三角形法则和平行四边形法则．③几何意义：如下图所示：④运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).(2)向量的减法①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.②法则：向量的减法符合三角形法则．③几何意义如下图所示．(3)向量的数乘运算①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下：(ⅰ)|λa|＝|λ||a|；(ⅱ)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.②运算律a，b为任意向量，λ，μ为实数．λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.3．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一实数λ，使 b ＝λa .1．在平行四边形中，如图：(1)若a ，b 为不共线的两个向量，则a ＋b ，a －b 为以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量． (2)AO →＝12(a ＋b )． (3)|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．2．在△ABC 中：(1)PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)(向量式) ⇔G 是△ABC 的重心．(2)G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0.(3)λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线(即∠BAC 的平分线所在直线)过△ABC 的内心．3．共线的有关结论：①A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．②OA →＝xOB →＋yOC →(x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1.4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连结而成的向量和为零向量．热身练习1．下列命题中：①温度有零上和零下温度，所以温度是向量； ②重力有大小和方向，所以重力是向量； ③若|a|>|b|，则a>b ； ④若|a|＝|b|，则a ＝b. 其中真命题的个数是(A) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①温度的零上和零下只表示数量，但不表示方向，事实上温度没有方向，它只是一个数量，①假； ②重力既有大小又有方向，重力是向量，②真；③向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，③假； ④大小相等和方向相同的两个向量才相等，④假． 由以上分析知，真命题的个数是1. 2．下列命题中：①零向量的长度为0； ②零向量的方向任意； ③单位向量都相等；④与非零向量a 共线的单位向量为±a|a|.其中真命题的个数是(C) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①②④都是真命题，对于单位向量只规定了大小，没有规定方向，所以③是假命题． 3．下列命题中：①平行向量方向一定相同； ②共线向量一定相等；③向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数是(A) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①假，平行向量方向不一定相同． ②假，共线向量即平行向量，不一定相等．③假，AB →与CD →是共线向量，AB 与CD 所在的直线不一定共线，故A ，B ，C ，D 四点不一定共线． ④假，当b ＝0时，a 与c 可以是任意向量．4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝(A) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →(方法一：向量的加法)CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.(方法二：向量的减法)CD →＝BD →－BC →＝12BA →－BC →.5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝ 12 .因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.向量的线性运算(经典真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则 A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →因为D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →， 所以B ，C ，D 三点共线，且D 在BC 的延长线上，如图：(方法一)在△ABD 中利用向量的加法： AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD → ＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法二)在△ACD 中利用向量的加法： AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法三)在△ABD 中利用向量的减法： AD →＝BD →－BA →＝43BC →－BA →＝43(AC →－AB →)＋AB →＝－13AB →＋43AC →.A(1)本题综合考查了向量的共线、向量的加法、减法、数乘等基础知识，难度不是很大．(2)未知向量由已知向量来表示，要注意寻找未知向量与已知向量的联系，一般要用到平行四边形法则、三角形法则、平行(共线)向量的性质．1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝(A) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →作出示意图如图所示，(方法一：在△EBD 中运用向量的加法) EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. (方法二：在△ABE 中运用向量的减法) EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →.共线定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线，又它们有公共点， 所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为k a ＋b 和a ＋k b 共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，所以(k －λ)a ＝(λk －1)b ， 又a ，b 是不共线的两个非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0，所以k ＝±1.(1)证明三点共线问题，可转化为证明两向量平行，再说明两个向量有公共点． A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．(2)证两向量共线，其基本方法是利用两向量共线定理进行证明，即找到实数λ，使得b ＝λa (a 为非零向量)，则a 与b 共线．(3)三点共线等价关系：A ，B ，P 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0) ⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，t ∈R ) ⇔OP →＝x ·OA →＋y ·OB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．2．(2018·吉林期中)在△ABC 中，N 是AC 上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为 13.因为B ，P ，N 三点在同一直线上， 所以AP →＝λAB →＋μAN →，λ＋μ＝1. 又AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋29×3AN →＝mAB →＋23AN →，所以m ＋23＝1, 所以m ＝13.向量的线性运算的综合问题平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M ，N 分别为DC ，BC 的中点， 则有DM →＝12a ，BN →＝12b ，在△ABN 和△ADM 中可得：⎩⎨⎧a ＋12b ＝d ，b ＋12a ＝c ，解得⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，所以AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．本题求解体现了思维的灵活性，考查了方程的思想方法．3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝(B)A ．2B ．3C ．4D ．5因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以M 是△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．所以AM →＝23AD →，又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，比较得m ＝3.1．在解决有关向量的概念及性质的判断问题时，要全面地考虑问题，要注意：①零向量、单位向量的特殊性；②向量平行与直线平行的区别和联系．零向量0是长度为0的向量，其方向不确定，它与任一向量平行，要注意零向量0与数0不同，0只是一个实数．2．向量共线的充要条件是由实数与向量的积推导出来的．向量共线也称为向量平行，它与直线平行有区别：直线平行不包括共线(重合)的情况，而向量平行则包括共线(重合)的情况，故用向量法证明AB 与CD 平行，可先证明AB →∥CD →，再证明AB 与CD 不共线．3．向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．。

第四章平面向量与复数
【知识图解】
Ⅰ.平面向量知识结构表
Ⅱ.复数的知识结构表
【方法点拨】
由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。

所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。

从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。

复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。

1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在
处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.
2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平
面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.
3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问
题解决.
4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方
法.。