南昌大学概率论与数理统计第一学期

—南昌大学考试试卷答案—【适用时间：20 13 ～20 14 学年第一学期课程编号：课程名称： J5510N0008 试卷类型：[ A ]卷】试卷编号：概率论与数理统计（II）教 30 教师填写栏试卷说明： 1、本试卷共 6 页。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

开课学院：适用班级：理学院48 学时考试形式：考试时间：闭卷 120 分钟题号题分得分一 24 二 24 三 40 四12 五六七八九十总分累分人 100 签名考生姓名：考生学号：所属班级：考试日期： 1、请考生务必查看试卷中是否有缺页或破损。

如有立即举手报告以便更换。

2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁舞弊，违者取消学位授予资格；严禁带手机等有储存或传递信息功能的电子设备等入场（包括开卷考试），违者按舞弊处理；不得自备草稿纸。

本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如若违反则愿意接受学校按有关规定处分！考生签名：第 1 页共 4 页考生填写栏所属学院：所属专业：考生须知考生承诺得分一、填空题：（每空 4 分，共 24 分）评阅人 1. 0.375 2. 2/3 3. 18 4. k Cn（ n 6. 0.967 得分二、单项选择题：（每题 4 分，共 24 分） 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 得分三、计算题：（每题 10 分，共 40 分） 1. 解：设事件 A={取到的数能被 2 整除}，事件 B={取到的数能被 3 整除}，则有 P 评阅人评阅人所求概率为解：2 2 有 f(x,y=fX(xfY(y，故 X 与 Y 独立第 2 页共 4 页3. 解：设表示第 k 个学生来参加会议的家长数，则 X k (k的分布律为 Xk Pk 0 0.05 1 0.8 2 0.15 易知而，根据同分布中心极限定理随机变量近似服从标准正态分布， 400 0.19 因此解：似然函数令的极大似然第 3 页共 4 页得分四、证明题：（每题 6 分，共 12 分） 1、证明：因为，所以 P ( X 评阅人，因为 X 与 Y 相互独立所以即得证。

南昌大学 2010～2011学年第一学期期中考试试卷
考试科目：概率论与数理统计
姓名：学号：班级：
计算题（每题20分，共100分）
1、对一个三人学习小组考虑生日问题：
(1) 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率；
(2) 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率；
(3) 求三个人的生日不都在星期天的概率。

2、r个人互相传球，每传一次时，传球者等可能地传给其余1
r个人中之一，
试求第n次传球时，此球由最初发球者传出的概率
p（发球那一次算作第0次）。

n
3、两台机床加工同样的零件 ，第一台出现废品的概率为 0.05 ，第二台出现废品的概率为0.02 ，加工的零件混放在一起 ，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5 : 4，求
( 1 ) 任意地从这些零件中取出一个为合格品的概率 ；
( 2 ) 若已知取出的一个零件为合格品 ，那么，它是由哪台机床生产的可能性较大？
.)3()2
1,21()2()1(,01,1)(42的分布函数内的概率；落在区间；系数求：其他
的密度函数为连续型随机变量、X X A x x A x f X -⎪⎩⎪⎨⎧<-=)(e ,0,
00e )(5y f Y x x x f X Y X x X 的概率密度求随机变量，概率密度为、设随机变量=⎩⎨⎧<≥=-。

南昌大学2021 学年概率论与数理统计第一学期期末试卷一、单项选择题〔每题3分，总分值24分〕1、设随机变量X 的概率密度为1||,22()40,x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它 ,则 =≤<-}11{X P ( )。

(A) 0.75 , (B) 0.5 , (C) 0.25 , (D) 0 。

2、随机变量X 的分布函数为x b a x F arctan )(+=,+∞<<∞-x , 假设实数c 满足1{}6P X c >=，则c =〔 〕。

〔A3； 〔B〔C 〕1； 〔D 〕3π。

3、设随机变量),(~2σμN X ,则4(||)E X μ-=〔 〕。

(A) 43σ； (B) 44σ； (C) 45σ； (D) 46σ。

4、设B A ,为任意两事件,则以下关系成立的是( ).(A) A B B A =+-)(； (B) ()A B A B A +-= ;(C) A B B A =-+)(; (D) ()()A B A B B A A B -++-=+ 。

5、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球, 则第5次取球时得到的是红球的概率是〔 〕。

〔A 〕15； 〔B 〕14； 〔C 〕13；〔D 〕12。

6、设每次试验成功的概率为p )10(<<p ,则在5次重复试验中至少失败 一次的概率为〔 〕。

(A) 51p -, (B) 4(1)p p -, (C) 5(1)p -, (D) 145(1)C p p -。

7、设二维随机变量221(,)~(1,2;2,3;)2X Y N -,则=+-)12(Y X D ( )。

(A) 13, (B) 14 , (C) 19 , (D) 37 .8、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现目标被命中,则它是甲射中的概率为〔 〕。

(A)0.6, (B)116, (C)0.75 , (D)115 。

概率论与数理统计人大版本
一、概率论与数理统计的概述
概率论是研究随机现象的理论体系，它通过对随机现象的规律性进行研究，为我们预测和决策提供依据。

数理统计则是一种基于数据的研究方法，它通过对数据的分析和处理，提取出数据背后的信息，为实际问题的解决提供支持。

二、概率论与数理统计的基本概念
在概率论中，随机事件是指在一定条件下可能发生的事件，而样本空间则包含了所有可能的结果。

概率分布描述了随机变量取值的概率规律，而概率密度函数则用于描述连续型随机变量的概率分布。

三、常见概率分布及其应用
常见的概率分布有二项分布、泊松分布和正态分布等。

二项分布用于描述一系列伯努利试验的结果，泊松分布用于描述单位时间内随机事件的次数，正态分布则广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术领域。

四、数理统计的基本方法
数理统计的基本方法包括描述性统计、推断性统计等。

描述性统计用于概括和描述数据的集中趋势、离散程度等信息，而推断性统计则通过抽样数据对总体参数进行估计和检验。

五、参数估计与假设检验
参数估计是通过对样本数据的研究，估计总体参数的值。

常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计等，区间估计则通过构建置信区间来估计参数。

假
设检验则是通过检验统计量与临界值之间的关系，对总体参数进行推断。

六、应用领域与发展趋势
概率论与数理统计在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。

随着大数据时代的到来，概率论与数理统计的研究方法和技术也在不断发展，包括机器学习、数据挖掘等领域。

在我国，概率论与数理统计的研究和应用也取得了显著成果，为各个领域的创新发展提供了有力支持。

概率论09-10第一学期（36课时）一、填空题(每题4分, 共20分)1.设事件A , B 是互不相容的, P (A )=0.5, P (B )=0.3,则)(B A P =_____2.已知P (A )=P (B )=P (C )=2/5, P (AB )=0, P (AC )=P (BC )=1/6,则事件A , B , C 至少有一个发生的概率为_____3.已知随机变量X 的分布函数为F (x )=π121+arctan x ,则P {0≤X ≤3}=_____ 4.设随机变量ξ服从(-1/2, 1/2)上的均匀分布,则η=tan2ξ的数学期望为_____5.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且E [(X -1)(X -2)]=1, 则D (X )=_____二、选择题(每题3分, 共15分)1.设A , B , C 为三事件,则A , B , C 恰有一个发生的是_____(A)A ∪B ∪C (B)ABC (C)C B A C B A C B A (D) C B A C B A C B A2.P {X =k }=kc )32( (k =1,2,3,⋅⋅⋅)是某随机变量的分布律,则C =_____(A)2 (B)1/2 (C)1 (D)3/23.设随机变量X 服从正态分布N (μ, σ2),则随着σ 的增大,概率P {|X -μ|<σ}_____(A)单调增大 (B)单调减少 (C)保持不变 (D)增减不定 2.设随机变量ξ1,ξ2,...,ξ 10独立,且E (ξi )=a ,D (ξi )=b ,i =1,2,...,10,记η=∑=101101i i ξ,则_____ (A) E (η)=a , D (η)=b (B) E (η)=a , D (η)=0.1b (C) E (η)=0.1a , D (η)=b (D) E (η)=0.1a , D (η)=0.1b5.设随机变量X 1,X 2独立同分布,均服从正态分布X ~N (1,2),下列随机变量中方差最小的是_____ (A))(2121X X + (B)214341X X + (C) X 2 (D) 213132X X + 三、求下列概率密度1.设连续型随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧>-其他,00 ,x e x ,试求Y =X 2的概率密度. (12分) 2. 设随机变量X ,Y 独立同分布,且X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤>-0,00 ,x x e x ,试求Z =2Y X +的概率密度. (11分)四、计算题1.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧<<+其他 ,020 ,1x kx ,求(1)k 值; (2)P {1<X <2}. (10分) 2.设随机变量X 和Y 相互独立同分布, X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤其他 ,010 ,32x x ,求P {X +Y ≤1}. (10分)五、解答题及应用题1.设X 的概率密度为f (x ,θ)=⎩⎨⎧<≥--θθθx x e x ,0 ,)(,求X 的数学期望. (11分)2.随机地向半圆0≤y ≤24x -内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,求该点和原点的连线与y 轴的夹角小于π/3的概率. (11分)一、1.0.3 2.13/15 3.1/3 4.0 5.1 二、1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 三、1.当y ≤0时, F Y (y )=0当y >0时, F Y (y )=P {Y ≤y }=P {X 2≤y }=P {0<X ≤y }=dx e yx ⎰-0 ⇒f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0,00 ,2y y y e y2.F Z (z )=2(Y X P +≤z )=P {X +Y ≤2z }=dxdy y x f z y x ⎰⎰≤+2),(当z <0⇒F Z (z )=0当z ≥0⇒F Z (z )=dy e dx e dxdy e e x z y z x D y x ⎰⎰⎰⎰-----=⋅2020=dx e e zx x z ⎰-+--202)1( =1-e -2z -2ze -2z则 f Z (z )=⎩⎨⎧<≥-0,00 ,42z z ze z 四、1.(1)dx kx ⎰+20)1( =2k +2=1⇒k =21- (2)P {1<X <2}=dx x ⎰+-21)121( =41 2.P {X +Y ≤1}=dxdy y x f y x ⎰⎰≤+1),(=dy y x dx x ⎰⎰-1022109=1/20五、1. E (X )=dx xe x ⎰+∞--θθ)( =1+θ2.令Ω={(x ,y ): 0≤y ≤24x -}A ={点和原点的连线与y 轴的夹角小于π/3}∩ΩP (A )=ΩS S A =ππ234=32。

一、填空题(每题4分, 共20分)1.设P (A )=0.5,P (B )=0.6,)|(A B P =0.8, 则A , B 至少发生一个的概率为__2.设X 服从泊松分布，若EX 2=6，则P (X =1)=_____3.已知随机变量X 的分布函数为F (x )=π121+arctan x ,则(1)P {-1≤X ≤1}=_____ (2)X 的概率密度函数f (x )=______4.设X 服从二项分布,其分布律为P (X =k )=k k k C -100100)8.0()2.0( (k =0,1,2,⋅⋅⋅,100)，则E (X )=_____，D (X )=______5.设随机变量X 的概率密度为ψ(x )=)1(12x +π，则2X 的概率密度为____ 二、计算题(每题10分, 共30分)1.设A 与B 独立，且P (A )=p ，P (B )=q ，求下列事件的概率：P (A ∪B )，P (A B )，P (B A )2.设某工厂有A , B , C 三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%, 35%, 40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%, 4%, 2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它是车间A 生产的概率3.设某药品的有效期X 以天计，其概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+其他 ,00 ,)100(200003x x ，求：(1) X 的分布函数；(2)至少有200天有效期的概率四、计算题（每题10分，共20分）1.某商店经销商品的利润率X 的密度函数为f (x )=⎩⎨⎧<<-其他 ,010 ),1(2x x ，求EX ，DX2.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计P (|X +Y |≥6)的值一、1. 0.9 2. 2e -2 3.21 )1(12x +π 4. 20 16 5. )4(22x +π 二、1. P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (A )P (B )=p +q -pqP (A B )=P (A )+P (B )-P (A )P (B )=p +1-q -p (1-q )=1-q +pqP (B A )=P (AB )=1-P (A )P (B )=1-pq2.令事件A , B , C 为A , B , C 车间生产的产品，事件D ={次品}P (D )=P (A )P (D |A )+P (B )P (D |B )+P (C )P (D |C )=0.25⨯0.05+0.35⨯0.04+0.4⨯0.02=0.0345P (A |D )=)()|()(D P A D P A P =0345.005.025.0⨯=0.362 3.(1) F (x )=⎰∞-x dt t f )(=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<⎰0 ,)100(200000 ,003x dt t x x =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<0 ,)100(1000010 ,02x x x (2)P (X >200)=1-P {X ≤200}=1-F (200)=1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2)100200(100001=91 三、1. X 可能的取值为1, 2, 3，Y 可能的取值为1, 2, 3，相应的，其概率为：P (X =1,Y =1)=0，P (X =1,Y =2)=3421⨯⨯=61，P (X =1,Y =3)=3411⨯⨯=121，P (X =2,Y =1)=3412⨯⨯=61，P (X =2,Y =2)=3412⨯⨯=61，P (X =2,Y =3)=3412⨯⨯=61，P (X =3,Y =1)=121，P (X =3,Y =2)=3421⨯⨯=61，P (X =3,Y =3)=0 P (X =Y )=P (X =1,Y =1)+P (X =2,Y =2)+P (X =3,Y =3)=61 2. f X (x )=⎩⎨⎧>-其他,00 ,x e xy =e x 的反函数h (y )=ln y ，h '(y )=y1，故所求的Y 的密度函数为：f Y (y )=f X (h (y ))⋅|h '(y )|=⎪⎩⎪⎨⎧>⋅-其他 ,00ln ,1ln y y e y =⎪⎩⎪⎨⎧>其他 ,01 ,12y y四、1.(1) E (X )=⎰-⋅10)1(2dx x x =31(2) E (X 2)=⎰-⋅102)1(2dx x x =61⇒D (X )=E (X 2)-[E (X )]2=23161⎪⎭⎫ ⎝⎛-=181 2. E (X +Y )=E (X )+E (Y )= -2+2=0D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2ρXY )()(Y D X D =1+4+2⨯(-0.5)41⋅=3故P (|X +Y |≥6)=P (|X +Y -0|≥6)=P (|X +Y -E (X +Y )|≥6)≤26)(Y X D +=121。

南昌大学概率论07-08第一学期期末考试试卷概率论07-08第一学期一、填空题（每空3分，共15分）1.如果每次试验成功的概率均为p (02.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X +2Y 的方差为______3.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为_________4.设随机变量X ~B (10, 0.4)，则X 2的数学期望为_________5.设随机变量X 的概率密度为f (x )=)1(12x +π，则2X 的概率密度为_________二、求下列概率（20分）1.箱中有m 件正品，n 件次品，现把产品随机地一件件取出来，求第2次取出的一件产品是正品的概率.（10分）2.在区间(0, 1)中随机地取两个数，试求取得的两数之积小于1/4的概率.（10分）三、计算题（25分）1．已知随机变量X 的概率密度为f (x )=<<+其它 ,010 ,x b ax ，且85}21{=>X P .(1)求a ，b ；(2)计算}2141{≤<="" p="">2.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为?(x ,y )=?>>+-其它 ,000 ,2)2(,y x e y x .求随机变量Z =X +2Y 的分布函数.（10分）四、解答题（30分）1.设随机变量(X ,Y )的联合密度函数为f (x ,y )=>>+-其它,000 ,)43(,y x Ae y x ，求(1)系数A ；(2)X的数学期望.（15分）2.设随机变量X 与Y 相互独立同分布，X 的概率密度为f (x )=??≤≤其它,010 ,32x x ，求}21{≤+Y XP .（15分）五、应用题（10分）一学生金工实习时，用同一台机器连续独立地制造2个同样的零件，第i 个零件时合格品的概率p i =1+i i (i =1,2)，以X 表示2个零件中合格品数，求X 得数学期望.一、1. 1/3 2. 44 3. 3/8 4. 18.4 5.)4(22x +π二、1.)!()!1(n m n m m +-+=m m +2. Ω={(x ,y ): 0<x <1, 0<y <1}, A ={(x ,y ): xy <1/4}∩Ω p =</p> AS S Ω=+1414141dx x=)4ln 1(41+三、1.dx x f ?+∞∞-)(=dx b ax ?+1)(=b a +2=1 }21{>X P =dx b ax ?+121)(=283b a +=85 解得a =1, b =1/2}21{<<="" p="" x="">2141)21(=3272.当z ≤0时, F Z (z )=0当z >0时, F Z (z )=P {Z ≤z }=P {X +2Y ≤z }= dxdyy x zy x ??≤+2),(?=dy edx x z y x z-+-20)2(02=1-e -z-ze -z四、1.dxdy y x f ?+∞∞-+∞∞-),(=1?dy Aedx y x ?+∞+-+∞)43(0=1?A =12 E (X )=dy ex dx y x ?+∞+-+∞)43(012= dx xex+∞-033=1/32.(X ,Y )的联合密度函数为f (x ,y )=≤≤≤≤其它,010,10 ,922y x y x}21{≤+Y X P =dxdy y x f y x ??≤+21),(=dy y x dx x-210222109=12801五、令X i =??个零件部合格第个零件合格第i i ,0 ,1,则X 1~B (1, 1/2), X 2~B (1, 2/3)X = X 1+ X 2 E (X 1)=1/2 E (X 2)=2/3 E (X )= E (X 1)+ E (X 2)=1/2+2/3=7/6 或X =0,1,2 P (X =0)=(1-p 1)(1-p 2)=1/6 P (X =1)=p 1(1-p 2)+(1-p 1)p 2=1/2 P (X =2)=p 1p 2=1/3 E (X )=0?1/6+1?1/2+2?1/3=7/6。