2007年第18届希望杯初二第1试试题

历届希望杯初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是质数？- A. 2- B. 3- C. 4- D. 5答案：C2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8答案：A3. 一个数的平方根是4，这个数是多少？- A. 16- B. 8- C. 4- D. 2答案：A4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？- A. 25π- B. 50π- C. 100π- D. 200π答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个数的立方根是2，这个数是______。

答案：82. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是______或______。

答案：5，-53. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。

答案：44. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是______厘米。

答案：55. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______度。

答案：90三、解答题（每题10分，共30分）1. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长是10厘米，求这个长方形的面积。

答案：首先，我们知道长方形的宽是长的一半，即5厘米。

长方形的面积是长乘以宽，所以面积是10厘米乘以5厘米，等于50平方厘米。

2. 一个数列的前三项是2，4，8。

如果这个数列是一个等比数列，求第四项。

答案：等比数列的每一项都是前一项的固定倍数。

这里，每一项都是前一项的2倍。

所以，第四项是8乘以2，等于16。

3. 一个水池的容积是100立方米，如果每小时流入水池的水是5立方米，求需要多少小时才能填满水池。

答案：要填满100立方米的水池，每小时流入5立方米，需要的时间是100除以5，等于20小时。

结束语希望杯数学竞赛不仅考查学生的数学知识，更注重考查学生的逻辑思维和解决问题的能力。

通过这样的竞赛，学生能够更好地理解数学知识，提高自己的数学素养。

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第 2试2007年4月15日上午8：30至10：30一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1、 假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出2滴水，每滴水约0.05毫升，现有一个水龙头未拧紧，4小时后，才被发现拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（ ）（用科学记数法表示，结果保留两位有效数字） （A ）1440毫升。

（B ）31.410⨯毫升。

（C ）40.1410⨯毫升。

（D ）21410⨯毫升。

2、 如图1，直线L 与∠O 的两边分别交于点A 、B ，则图中以O 、A 、B 为端点的射线的条数总和是（ ）。

（A ）5． （B ）6. （C ）7. (D)8. 3、 整数a,b 满足：a b ≠O 且a+b ＝O ，有以下判断：○1a,b 之间没有正分数； ○2a,b 之间没有负分数； ○3a,b 之间至多有一个整数； ○4a,b 之间至少有一个整数 。

其中，正确判断的个数为（ ）（A ）1． （B ）2. (C)3. (D)4.4、 方程13153520052007x x x x +++=⨯的解是 x ＝（ ） （A ）2006,2007 （B ）2007,2006 (C)2007,1003 (D)100320075、 如图2，边长为1的正六边形纸片是轴对称图形，它的对称轴的条数是（ ）。

（A ）1. (B)3. (C)6. (D)9.图1LOB A图26、 在9个数：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3中，能使不等式－32x ＜－14成立的数的个数是（ ）（A ）2. (B)3. (C)4. (D)5.7、 韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图3（a ）放置，然后又如图3（b ）放置，则图3（b ）中四个底面正方形中的点数之和为（ ） （A ）11. (B)13. (C)14. (D)16.图38、 对于彼此互质的三个正整数,,a b c ，有以下判断：①,,a b c 均为奇数 ②,,a b c 中必有一个偶数 ③,,a b c 没有公因数 ④,,a b c 必有公因数 其中，不正确的判断的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49、 将棱长为1厘米的42个立方体积木拼在一起，构成一个实心的长方体。

第十八届（2007年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题“希望杯”命题委员会（未署名的题，均为命题委员会命题）初中二年级一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后的圆括号内）1．有下面的四个叙述：①整式加整式还是整式；②整式减整式还是整式；③整式乘整式还是整式；④整式除整式还是整式．其中正确叙述的个数为（）．（A）4 （B）3 （C）2 （D）12．若x是有理数，分式1||2x-的值为正整数，则x的个数为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）无数个3．将分式2aa b+中的a扩大2倍，6扩大4倍，而分式的值不变，则（）（A）a=0 （B）b=0 （C）a=0，且b=0 （D）a=0或b=04．已知x与y+2成反比例，当x=1时，y=4，那么y=1时，x的值是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）45．若实数a，b，c满足a2+b2≠0，a3+a2c-ab c+b2c+b3=0，则a+b+c的值是（）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）26．若实数a，b，c满足1a+1b+1c=1a b c++，则a+b，b+c，c+a中等于零的（）（A）有且只有1个（B）至少有1个（C）最多有1个（D）不可能有2个7．设f=2x-3x-2，g=x-2，考察下面四个叙述：①f+g是整式；②f-g是整式；③f×g是整式；④当x≠2时，f÷g是整式．其中正确叙述的个数为（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）18．如果≠0成立，那么下列各式中正确的是（）（A）a+b≥0 （B）a+b>0 （C）a+b≤0 （D）a+b<09．甲、乙两人从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数关系的图象如图，根据图中提供的信息，•有下列叙述：①他们都行驶了18千米；②甲在途中停留了0.5小时；③乙比甲晚出发了0.5小时；④相遇后，甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中，符合图象的叙述有（）个．（A）2 （B）3 （C）4 （D）5(第9题) (第10题) (第15题)10．已知直线y=2x+a与y=2a-x的图象的交点在如图所示的阴影长方形区域内（•含长方形边界），则a的取值范围是（）（A）0≤a≤32（B）65≤a≤95（C）65≤a≤32（D）0≤a≤9511．甲车追超过前方的乙车，经过时间t后在A处追上，若甲、乙各提速a%，则（）（A）甲车追上乙车所用的时间增加了a%; （B）甲车追上乙车所用的时间减少了a% （C）甲车仍在A处追上乙车; （D）甲车驶过A处后才追上乙车12．某人用1000元钱购进一批货物，第二天售出，获利10%，•过几天后又以上次售出的价格的90%购进一批同样的货物，由于卖不出去，•两天后他将其按第二次购进价的九价再QQ ：- 3 -出售，这样他在两次交易中（ ）（A ）刚好盈亏平衡 （B ）盈利1元 （C ）盈利9元 （D ）亏损1．1元13．某足球赛，记分规律如下：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，A 队经过12场比赛后，积19分，若队员出赛一场的出场费为500元/人，胜一场奖金1000元/人，•平一场奖金500元/人，那么A 队队员在12场比赛后的最高收益可能是（ ）（A ）13500元/人 （B ）14000元/人 （C ）13000元/人 （D ）12500元/人14．小明和小刚用掷两枚骰子的方法来确定点P （x ，y ）在坐标系上的位置，他们规定：小明掷得的点数为x ，小刚掷得的点数为y ，•那么他们各掷一次所确定的点落在已知直线y=-2x+6上的概率为（ ）（注：骰子是骨制的一个白色小正方体，它的六个面上分别刻有1个，2个，3个，4个，5个，6个红色小圆点，将其随意掷放于一个平面上，骰子必有一面向上，•这个面上红色圆点的个数就叫做点数）．（A ）16 （B ）112 （C ）118 （D ）1915．如图，晴朗的夏天，太阳当空，•一只小鸟以不变的速度水平地飞过一个斜坡上空，则小鸟在斜坡上的影子移动的速度（ ）（A ）越来越大 （B ）越来越小（C ）不变 （D ）一定和小鸟的飞行速度一样大16．当5个整数从小到大排列时，中位数是4，如果这5个整数的惟一众数是6，则这5个整数的和最大是（ ）．（A ）20 （B ）21 （C ）22 （D ）2317．某市出租车的起步价为12元（行程在3公里以内），行程到达3公里之后，•每增加1公里需加付m 元（不足1公里亦按1公里计价），•张老师坐这种出租车从学校到离学校n 公里的教育局开会，沿途未遇红灯，下车时付车费28元，则m 与n 的关系是m=（ ） （注：[n]表示不大于n 的最大整数，如[3，2]=3，[4]=4．）（A ）16162828()()3()3[]3[]2[]3[]2B C D n n n n ------ 18．用200元钱买A 、B 、C 、D 四种商品共10件，若A 、B 、C 、D 的单价依次是13元，17元，22元，35元，则（ ）（A ）A 、B 、C 、D 各买了2，3，4，1件 （B ）A 、B 、C 、D 各买了4，2，2，2件（C ）以上两种情况都可能 （D ）以上三种情况都不可能19．如图，直线AE ∥BF ，点P 在AE 上方，点M 、N 分别在AE 、BF 上，若PC 平分∠MPN 交AE 、BF 于C 、D 两点，∠PCE=α，则∠1=∠2的大小为（ ）（A ）α （B ）2α （C ）3α （D ）4α(第19题) (第22题) (第25题)20．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形的个数为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）7 （D ）821．如果△ABC 的垂心G （三条高的交点）在△ABC 的内部，并且在BC 边的中线AD 上，那么△ABC 一定是（ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形（C ）等边三角形 （D ）等腰直角三角形22．如图5，△ABC 中，∠A=60°，AC=16，S △ABC AB=（ ）（A ）554（B ）55 （C ）45 （D ）23．有下面四个判断性语句：①平行四边形的四个内角之和为360°；②有两个内角相等的四边形是平行四边形；QQ ：- 5 -③平行四边形的四个内角中有两对是相等的；④四个内角中有两对相等的四边形是平行四边形．（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）124．对凸四边形ABCD ，给出下列4个条件：①AB ∥CD ； ②AD ∥BC ； ③AB=CD ； ④∠BAD=∠DCB ．现从以上4个条件中任选2个条件为一组，能推出四边形ABCD•为平行四边形的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）5625．如图，以Rt △ABC 的两直角边AB 、BC 为边，•在△ABC•外部作等边△ABE•和△BCF ，EA 、FC 的延长线交于M 点，则点B 一定是△EMF 的（（A ）垂心 （B ）重心 （C ）内心 （D ）外心26．Assume that in Fig ． 7 ABCD is a square ，and •point •E •is •on •theline BC ，CE=AC ．we connect A and E ，AE intersects CD at point •F ，•then •thedegree of ∠AFC is （ ）（A ）150° （B ）125° （C ）135° （D ）112.5°（英汉词典：Fig ．是figure （图、图形）的缩写；to cormect 连接；to intersect …at 相交于；degree 度、度数）(第26题) (第27题) (第28题) (第30题)27．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于（ ）（A ）80° （B ）70° （C ）65° （D ）60°28．如图，顺次连接凸四边形ABCD 的中点，得到四边形EFGH ．要使四边形EFGH•是正方形，应补充的条件是（ ）（A ）四边形ABCD 是等腰梯形 （B ）四边形ABCD 是平行四边形（C ）四边形ABCD 是菱形 （D ）AC=BD ，且AC ⊥BD29．将一把折扇逐渐打开，会发现打开部分的扇形面积随圆心角的变化而变化，•那么能正确描述这种变化的函数是（ ）（A ）正比例函数 （B ）反比例函数（C ）一次函数y=kx+b （b ≠0） （D ）以上都不是30．如图是一间卧室地面瓷砖的图案，在这间卧室地下藏有一宝物，•则藏在白色瓷砖和灰色瓷砖下的可能性是（ ）（A ）藏在白色瓷砖下的可能性大（B ）藏在灰色瓷砖下的可能性大（C ）藏在两种瓷砖下的可能性一样大（D ）藏在灰色瓷砖下与藏在白色瓷砖下的可能性之比是3：2二、填空题31．计算：20082+20072+20062-2008×2007-2007×2006-2006×2008=________．32．已知则x 2007=2，则（x 2006+x 2005+x 2004+…+x+1）（x-1）=__________．33．设a ，b ，c 是实数，则能使（a+b+c ）（1a +1b +1c ）=1成立的条件是______或_______．（•写出两个满足条件即可）34．Ifm and n are positive integers satisfying m 2+27mn+n 2=729 and m+•n>mn ，then the value of m+n is_________．（英汉词典：positive integer 正整数；to satisfy 满足；value 值、数值）35．计算：（+2=________．36．已知A=××，B=（2007×2008×2009）2007200820093++，则A•与B•的大小关系是A_____B ．（填“>”、“<”或“＝”）QQ ：- 7 -37．设B =，则A_______B ．（填“>”、“<”或“＝”） 38．39．If a and •b •are •constant ．•and •the •set •of •solutions •of •theinequality ax+b>0 is x<13，then the set of solutions of the inequalityba<0 is________． （英汉词典：constant 常数；set 集合；solution 解、解答；inequality 不等式）40．一次智力测试有25道题，答对一题得4分，不答扣2分，答错扣4分，小明要想在这次智力测试中的得分不低于60分，他至少要答对________道题．41．设正数a ，b ，c ，x ，y 满足：a ≠c ，22222222221,x xy y x xy y a b c c b a++=++=1，则代数式222111a b c++的值为________． 42．若以x 为未知数的方程42ax x -+=3无解，则a=_______． 43．已知m 与n 使m m m n m n ++-的值等于-14，则n m的值是_________． 44．当x=2时，多项式75312a b c d x x x x ++++的值是3，那么当x=-2时，多项式的值是_______． 45．若实数a ，b 满足1a -1b -1a b +=0，则2222b a a b-的值等于________． （拟题：夏建平 江苏省江阴市要塞中学）46．如果以x ，y 为元的二元一次方程12ax y x ay +=⎧⎨+=⎩有解，那么a 不等于________．52．如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y=4x（x>0）的图象上，•斜边OA，AA都在x轴上，则点A的坐标是________．(第52题) (第53题) (第55题) 53．In the following traffic marks，the number of marks whose•figuresaxially-symmetric is___________．（英汉词典：traffic交通；•mark•标志；•number•个数；•figure•图形；•axially-symmetric（轴对称）54．仅将两个全等的非等腰的直角三角形的一条边重合，拼接成新的图形，•拼成的图形可能是下列各种图形中的一种或几种：①矩形；②菱形；③直角梯形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．则正确结论的序号是_______．（把所有正确的图形的序号都填上）55．如图所示，平行四边形ABCD中，过BD的中点O的直线交AB、CD于M、N，•交DA、BC 延长线于E、F，则图中有全等三角形________对．56．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，•阴影部分面积与正方形ABCDQQ ：- 9 -的面积比是_______；周长的比是________．(第56题) (第58题) (第59题) (第60题)57．在平面直角坐标系内点A 、B 的坐标分别为（-3，-2），（3，a ），点B 在第一象限，•且A 、B 两点间的距离为10，那么a 等于______．58．在建筑工地上，工人用如图所示的装置能将重物运往高处：•绳子绕过定滑轮，一端系着重物，在地面的工人手拿绳子的另一端，沿着垂直于滑轮轴的方向，向前走一段距离，重物便上升到定滑轮外，被高处的工人卸下，已知重物上升的距离是5米，则地面上的工人向前行走的距离为________米．59．图中的两个滑块A 、B 由一个连杆连接，可以在竖直和水平的滑道内滑动，•开始时，滑块A 距0点15厘米，滑块B 距0点20厘米，A 、B 的距离为25厘米，那么滑块B 滑到C 点时，滑块A 共滑动了_________厘米．60．如图，△ABC 的边AB 长为2，AB 边上的中线CD 长为1，AC 、BC，则△ABC 的面积为_________．61．a 、b 、c 是三角形的三边，它们满足ac 2+b 2c-b 3=abc ，若三角形的一个内角是120°，那么a ：b ：c=_______．62．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，满足c a b a b c b c a c a b <<+-+-+-，则三边中最长的边是________．63．如图，0是△ABC 外部一点，AO 交BC 于A 点，BO ，CO 的延长线分别交AC ，AB•的延长线于点B ，C ，则111AO BO CO AA BB CC ++的值为_________．(第63题) (第64题) (第65题) (第66题)64．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，E为CD的中点，BE=132，梯形ABCD•的面积为30，则AB+BC+DA的值为________．65．如图，边长为2的正方形ABCD中，若∠PAQ=45°，则△PCQ的周长是_____．66．如图，A，B两个平行四边形草坪有公共部分（阴影处），A，B•草坪面积之和为160m2，A的面积为120m2，B的面积为74m，则重叠部分的面积是_______m2．67．若凸4n+2边形AA…A（A为正整数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A=∠A=∠A=90°，则n的值是________．？68．服装店进了某款式的时装，开始按比进价提高30%的价格销售，但是无人问津，•于是决定打折降价销售．•如果要使利润率不低于10%，••那么打折的幅度不能低于_________．（保留两位有效数字）69．红光中学去年有120人参加“希望杯”全国数学邀请赛，•今年的参赛人数增加了50%，考场数比去年多了3个，而且平均每个考场安排的考生增加了2人，今年安排的考场有_________个．70．直角三角形三边长均为整数，其中一条直角边长为35，•则它的周长的最大值是________，最小值是_______．（拟题：刘朝晖广东省中山市第一中学初中部）71．生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，•若现在所需要的时间为b小时，则_______<b<______．（用关于a的表达式表示）72．1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，QQ ：- 11 -……从中找出一般规律是________．73．一种商品的进价为90元，原售价定为m 元，售出一半之后，剩余的一半按8折出售，全部售出后共获利10%，则原售价定为m=________元．74．某学校八年级的数学竞赛小组进行了一次数学测验，如图所示是反映这次测验情况的频率分布直方图，那么该小组共有______人；70.5～90.5这一分数段的频率是______．(第74题) (第76题) (第77题) 75．用[a ，b]表示自然数a ，b 的最小公倍数，（a ，b ）表示□，b 的最大公约数，若[•a ，b]=1085-（a ，b ），那么当a>b 时，a-b 的最小值是________． 76．如图,△ABC 中，∠C=90°，EC=13AC ，CD=13BC ，BE=8，AD=EC+CD=6，则S △BCD =______． （拟题：刘朝晖 广东省中山市第一中学初中部）77．如图，E 是平行四边形ABCD 的边CD 上任一点，AE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结BE 、DF ，则S △BCE _______S △DEF ．（填“>”、“<”或“＝”） （拟题：李廷江 贵州省修文县第二中学）78．若4x 2+1+kx 是关于x 的完全平方式，则k 2-2k+2的值为________． （拟题：窦桐生 吉林省磐石市明城中学 ） 79．解方程：20052007200820042004200620072003x x x x x x x x +++++=+++++得x=_________．（拟题：钟金子 福建省安溪恒兴中学） 三、解答题80．某班有语文、数学两个课外兴趣小组，•其中参加语文组的人数是全班人数的23，既参加语文组又参加数学组的人数是参加数学组人数的23，另外有4•位同学既不参加语文组，也不参加数学组，如果这4位同学参加语文组，•那么参加数学组与参加语文组的人数恰好相等，问全班有多少同学？既参加语文组又参加数学组的人数是多少？81．某工厂计划生产A、B两种产品，为取得最大生产利润，事先做了市场调查，根据厂内实际情况和市场需要得到有关数据如下表：现在工厂可以筹集到的资金用于原料及消耗的是元/月，用于工资支出的是元/月，问如何确定两种产品的月产量，可以使工厂得到的总利润达到最大？并求这个最大利润值．82．如图，从直线COD上一点O引两条射线OE，OF，使∠GOF=∠FOE=∠EOD=60°，•在射线QQ：OF，OG，OE上各取一点A，B，C，使∠CAB=60°，若OA=m，求△ABC面积的最大值．83．从2006年元旦起，公民的月工资、薪金个人所得税的起征点由原来的800•元调整为1600元，如果公民的月工资、薪金超过1600元，则税款按下表累加计算：根据上表，请：（1）写出所纳款税y（元）与该月收入x（元）之间的函数关系式；（2）作出所纳款税y（元）与该月收入x（元）之间的函数图象；（3）若李先生月薪金4000元，他应交纳的个人所得税是多少元？84．用红色刻度线将一根木棍分成135等份，•再用黑色刻度线将这根木棍分成40等份，沿- 13 -两种刻度线将这一木棍锯成短木棍．问共有多少种不同长度的短木棍？85．100条线段的长度分别为1，2，3，…，99，100，从中取出一些线段，•要使取出的线段中的任意三条都能构成一个三角形，问最多能取出多少条线段？第十八届（2007年）“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题（1～85题）QQ：答案．解析一、选择题- 15 -。

全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】第一届试题1. 某长方体的长、宽、高依次是2 cm、3 cm和4 cm，求它的体积。

解：体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。

代入已知数值，得V = 2 cm × 3 cm × 4 cm = 24 cm³。

答案：24 cm³2. 如图，已知△ABC中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm，AD⊥ BC，AD = 4 cm。

求△ABC的面积。

解：△ABC为直角三角形，面积公式为S = 1/2 ×底 ×高。

底为AC，高为AD，代入数值，得S = 1/2 × 6 cm × 4 cm = 12 cm²。

答案：12 cm²3. 若(3x + 5)(4 - x) = -7x + 9，求x的值。

解：将方程进行展开和合并同类项得：12x - 3x² + 20 - 5x = -7x + 9。

将所有项移到一边得：3x² - 12x + 11 = 0。

对方程进行因式分解得：(x - 1)(3x - 11) = 0。

由此可得x = 1 或 x = 11/3。

答案：x = 1 或 x = 11/3第二十二届试题1. 下图为某街区的地理平面图，a、b、c和d分别表示大街，A、B、C、D和E分别表示街区中的五个角落。

已知AE = CD，AB = 2 cm，BC = 10 cm，求AE的长度。

解：由题意可推出ABCD为平行四边形，而AE = CD。

根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相等长，所以AE= CD = 10 cm。

答案：10 cm2. 若一个正方形的周长是36 cm，求它的面积。

解：设正方形的边长为x cm，由题意可知4x = 36，解方程得到x = 9。

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

2019-2020 学年八年级数学第18 届“希望杯”第1 试试题一、（每小 4 分，共 40 分）以下每的四个中，有一个是正确的，将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1．下列运属于平移的是（）（ A）球比中球的运．（ B）推拉窗的活窗扇在滑道上的滑行．（ C）空中放的筝的运．（ D）球运投出的球的运．2．若x =1 足 2 m x2- m2x - m =0， m 的是（）（A）0．（ B）1．（C）0 或 1．（ D）任意数．3．如 1，将△ APB点 B 按逆方向旋90 后得到△ A P B ，若BP=2，那么 PP 的( )（A）2 2．（B）2．（ C）2 ．（D） 3．4．已知a是正整数，方程ax 4 y8）3x 2 y的解足 x >0，y<0， a 的是（6（A）4 ．（B）5 ．（C）6．（D） 4， 5，6 以外的其它正整数．5． k 依次取1，2， 3, ⋯等自然数，当取到某一个数之后，以下四个代数式：① k+2 ；② k2；③ 2 k ；④ 2 k 就排成一个不的大小序，个序是（）（ A）① <②<③ <④．（ B）② <① <③ <④．(C)① <③ <② <④．(D)③<② <①<④．6．已知 1 个四形的角互相垂直，且两条角的度分是8和 10,那么次接个四形的四中点所得的四形的面是（）（A）40 ．（B）20 2．（ C） 20．（D）10 2．7． Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of arhombus respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( )（A）1：1．（ B）2： 3 ．（C）1： 2 ．（D）1：2．( 英典： length度；diagonal角；square正方形；rhombus菱形；respectively比； area 面 )8．直角三角形有一条11，另外两的是自然数，那么它的周等于（）．（ A） 132．（B）121．（C）120．（D）111．2（A）9 或 18．（B）12或15．（C）9或15或18．（D）9或12或15或18．分地； ratio10．如 2， A、B、 C、D 是四面互相垂直放的子，面向内，在面D上放了写有字母“某人站在M可以看到面 D 上的字母G在面 A、 B、 C中的影像，下列判断中正确的是（（ A）面 A 与 B 中的影像一致．（B）面B与C中的影像一致．（ C）面 A 与 C 中的影像一致．（D）在面 B 中的影像是“ G”．G”的片，）二、 A 填空（每小 4 分，共40 分）11．如 3，在△BMN中，BM=6，点A、C、D分在MB、BN、MN上，且四形ABCD是平行四形，NDC=MDA，ABCD的周是．12．如果数a b，且10a b a 1，那么 a b的等于．10b a b113．已知x = a b M是M的立方根，y3 b 6 是 x 的相反数，且M=3 a -7，那么 x 的平方根是．14．如 4，柱体料瓶的高是 12 厘米，上、下底面的直径是 6 厘米．上底面开有一个小孔供插吸管用，小孔距离上底面心 2 厘米，那么吸管在料瓶中的度最多是厘米．15．小在商店了 a 件甲种商品，b件乙种商品，共用213 元，已知甲种商品每件7 元，乙种商品每件19 元，那么a b 的最大是．16．ABC是 2 3 的等三角形。

2007 年第 18 届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2 试）一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，满分 40 分）1．（4 分）假定未拧紧的水龙头每秒钟溢出2 滴水， 每滴水约 0.05 毫升， 现有一个水龙头未拧紧， 4 小时后，才被发现拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（用科学记数法表示，结果保存两位有效数字） （ ）A ．1440 毫升B ． 1.4×10 3毫升4D ． 14× 10 2毫升C ． 0.14× 10 毫升2．（ 4 分）如图，直线 l 与∠ O 的两边分别交于点A 、B ，则图中以 O 、 A 、B 为端点的射线的条数总和是（ ）A ．5B ．6C ． 7D ． 83．（4 分）整数 a ，b 知足： ab ≠ 0 且 a+b ＝ 0，有以下判断： ① a ，b 之间没有正分数； ② a ，b 之间没有负分数； ③ a ， b 之间至多有一个整数；④ a ， b 之间起码有一个整数．此中，正确判断的个数为（ ） A ．1B ．2C ． 3D ． 44．（ 4 分）方程的解是 x ＝（）A ．B ．C ．D ．5．（ 4 分）如图，边长为 1 的正六边形纸片是轴对称图形，它的对称轴的条数是（）A ．1B ．3C ． 6D ． 96．（ 4 分）在 9 个数：﹣ 5，﹣ 4，﹣ 3，﹣ 2，﹣ 1， 0，1， 2，3 中，能使不等式﹣ 3x 2＜﹣ 14建立的数的个数是（ ）A ．2B ．3C ． 4D ． 57．（ 4 分）韩老师特制了 4 个相同的立方块，并将它们如图 A 搁置，而后又如图 B 搁置，则图 B 中四个底面正方形中的点数之和为（）A ．11B ．13 C． 14 D． 168．（ 4 分）对于相互互质的三个正整数a， b， c，有以下判断：① a， b， c 均为奇数；② a，b， c 中必有一个偶数；③ a， b，c 没有公因数；④ a， b，c 必有公因数．此中，不正确的判断的个数为（）A ．1B ．2 C． 3 D． 49．（ 4 分）将棱长为 1 厘米的 42 个立方体积木拼在一同，组成一个实心的长方体．假如长方体底面的周长为18 厘米，那么这个长方体的高是（）A ．2 厘米B ．3 厘米C． 6 厘米D． 7 厘米10．（ 4 分） If 0＜ c＜ b＜ a，then（）A ．B．C．D．二、填空题（共10 小题，每题 4 分，满分40 分）11．（4 分）如有理数 m， n， p 知足，则＝．12．（ 4 分）今日（ 2007 年 4 月 15 日，礼拜日）是第 18 届“希望杯”全国数学邀请赛举行第 2 试的日子，那么今日此后的第4．2007 +15 天是礼拜13．（4 分）孔子出生在公元前 551 年 9 月 28 日，则 2007 年 9 月 28 日是孔子寿辰周年．（注：不存在公元 0 年）14．（ 4 分） In Fig ， ABCD is a rectangle ．The area of the shaded rectangle is ．15．（ 4 分）下表是某中学初一（5）班 2007 年第一学期期末考试数学成绩统计表：这个班数学成绩的均匀分不低于分，不高于分．（精准到0.1）16．（ 4 分）已知，此中 x， y， z 代表非2 2 2．0 数字，那么 x +y +z ＝17．（ 4 分）某城市有一百万户居民，每户用水量定额为月均匀 5 吨，因为 6，7，8 月天热，每户每个月多用水 1 吨，为了不超出整年用水定额，则整年的其余月份每户的用水量应控制在每个月均匀吨以内．假如每户每日节俭用水 2 千克，则全市一年（按 365 天计）节俭的水量约占整年用水定额的%（保存三位有效数字）18．（ 4 分） a， b， c 都是质数，且知足a+b+c+abc＝ 99，则＝．19．（ 4 分）一项机械加工作业，用 4 台 A 型车床， 5 天能够达成；用 4 台 A 型车床和 2 台 B 型车床， 3 天能够达成；用 3 台 B 型车床和 9 台 C 型车床， 2 天能够达成．若 A 型、 B 型和 C 型车床各一台一同工作 6 天后，只余下一台 A 型车床持续工作，则再用天就能够达成这项作业．20．（ 4 分）设 0＜ a＜1，﹣ 2＜ b＜﹣ 1，则和四个式子中，值最大的是，值最小的是．三、解答题（共 3 小题，满分 40 分）21．（ 10 分）小明在平面上标出了2007 个点并画了一条直线 L，他发现：这 2007 个点中的每一点对于直线 L 的对称点，仍在这2007 个点中，请你说明：这2007 个点中起码有 1 个点在直线 L 上．22．（ 15 分）小明和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一同点沿相反方向同时出发，每隔 25 秒钟相遇一次．此刻，他们从同一同跑点沿相同方向同时出发，经过25 分钟哥哥追上了小明，而且比小明多跑了20 圈，求：（1）哥哥速度是小明速度的多少倍？（2）哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？23．（ 15 分）知足 1+3n≤ 2007，且使得1+5n 是完整平方数的正整数n 共有多少个？2007 年第 18 届“希望杯” 全国数学邀请赛试卷 （初一第2 试）参照答案与试题分析一、选择题（共 10 小题，每题4 分，满分 40 分）1．（4 分）假定未拧紧的水龙头每秒钟溢出2 滴水， 每滴水约 0.05 毫升， 现有一个水龙头未拧紧， 4 小时后，才被发现拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（用科学记数法表示，结果保存两位有效数字） （ ）A ．1440 毫升B ． 1.4×10 3毫升4毫升D ． 14× 10 2毫升C ． 0.14× 10 【剖析】 先列式表示 4 小时后水龙头滴水的毫升数，再把结果用科学记数法表示．有效数字是从左侧第一个不是0 的数字起，后边全部的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关，与 10 的多少次方没关．【解答】 解：∵水龙头每秒钟滴水的体积为：0.05× 2＝0.1（毫升），4 小时＝ 3600 秒× 4＝ 14400 秒，3∴水龙头 4 小时共滴水的体积为：0.1× 14400＝ 1440≈1.4× 10 （毫升）．应选： B ．【评论】 本题主要考察了有理数的乘法在实质生活中的应用，科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字确实定方法．2．（ 4 分）如图，直线 l 与∠ O 的两边分别交于点A 、B ，则图中以 O 、 A 、B 为端点的射线的条数总和是（）A ．5B ．6C ． 7D ． 8【剖析】依据射线的定义，分别数出以O 、A 、B 为端点的射线的条数， 再相加即可解得．【解答】 解：以 O 为端点的射线有 2 条， 以 A 为端点的射线有 3 条，以B 为端点的射线有 3 条，共有 2+3+3＝ 8 条．应选： D ．【评论】本题主要考察射线的定义，娴熟依据定义判断射线是解题的重点．3．（4 分）整数 a，b 知足： ab≠ 0 且 a+b＝ 0，有以下判断：① a，b 之间没有正分数；② a，b 之间没有负分数；③ a，b之间至多有一个整数；④ a，b之间起码有一个整数．此中，正确判断的个数为（）A ．1B ．2C． 3D． 4【剖析】先知道整数包含正整数、0、负整数，而后再依据ab≠ O 且 a+b＝O，判断出正确的个数即可．【解答】解：∵ ab≠ O 且 a+b＝ O，∴a 与 b 互为相反数．又∵ a， b 是整数，∴ a，b 之间起码有一个整数；a，b 之间没有正分数；a， b 之间没有负分数∴结论中只有一个正确．应选： A．【评论】认真掌握整数、分数的定义与特色，注意整数和正数的差别，注意0 是整数，但不是正数．4．（ 4 分）方程的解是x＝（）A ．B ．C．D．【剖析】这是一个比较复杂的方程，解答本题的重点是将方程变形为x[（1﹣）+（﹣） +（﹣）++（﹣）]＝1，而后提取公因式，移项，归并同类项，系数化为1，即可求解．【解答】解：，提取公因式，得x （ + + + + ）＝ 1，将方程变形，得第 5 页（共 17 页）x[ （ 1﹣ ） + （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）+ + （ ﹣） ] ＝ 1，提取公因式，得（1﹣ + ﹣+ ﹣ + + ﹣ ）＝ 1，移项，归并同类项，得（1﹣）＝ 1，系数化为 1，得x ＝ ．应选： C ．【评论】 本题主要考察学生对解一元一次方程的理解和掌握，本题有必定的拔高难度，是道难题．5．（ 4 分）如图，边长为 1 的正六边形纸片是轴对称图形，它的对称轴的条数是（ ）A ．1B ．3C ． 6D ． 9【剖析】 依据轴对称图形的定义及性质求解．假如一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】 解：正六边形是轴对称图形，有6 条对称轴，分别是 3 条对角线和三组对边的垂直均分线．应选： C ．【评论】 本题主要考察了轴对称图形的定义及性质．轴对称图形拥有以下性质：（ 1）轴对称图形被对称轴分红的两部分是全等的；（ 2）对称轴是连结两个对称点的线段的垂直均分线．6．（ 4 分）在 9 个数：﹣ 5，﹣ 4，﹣ 3，﹣ 2，﹣ 1， 0，1， 2，3 中，能使不等式﹣ 3x 2＜﹣ 14建立的数的个数是（ ）A ．2B ．3C ． 4D ． 5【剖析】 本题只要依据解不等式的知识先计算出 x 2的范围，而后将各数代入即可得出答案．【解答】 解：由题意得： x 2＞，∴知足条件的数有﹣ 5．﹣ 4，﹣ 3， 3 共 4 个．应选： C ．【评论】 本题考察一元二次不等式的知识，解答本题的重点是依据不等式的形式表示出2x 的范围，而后辈入查验．7．（ 4 分）韩老师特制了 4 个相同的立方块，并将它们如图A 搁置，而后又如图B 搁置，则图 B 中四个底面正方形中的点数之和为（）A ．11B ．13C ． 14D ． 16【剖析】 从 a 中间 2 个图形看，和点4 相邻的有点 1，点 3，点 5，点 6，那么和点 4 相对的就是点 2，再由图形 1 和图形 4 可看出和点 5 相对的是点 1，即可求出点 6 的相对面是点 3．依此将点 5、点 6、两个点 3 的相对面相加即可．【解答】 解：依据四个图形的点数，可推测出来，点4 对面是点 2；点5 对面是点 1；点6 对面是点 3．则图 B 中四个底面正方形中的点数是1，3， 6， 6，1+3+6+6 ＝ 16，则图 B 中四个底面正方形中的点数之和为16．应选： D ．【评论】 本题主要考察学生的空间想象能力和推理能力，也可着手制作一个正方体，依据题意在各个面上标上点数，再确立对面上的点数，能够培育着手操作能力和空间想象能力，解题的重点是依据图形 1 和图形 4 的旋转得出点 5 相对的面是点 1．8．（ 4 分）对于相互互质的三个正整数 a ， b ， c ，有以下判断： ① a ， b ， c 均为奇数； ② a ，b ， c 中必有一个偶数； ③ a ， b ，c 没有公因数； ④ a ， b ，c 必有公因数．此中，不正确的判断的个数为（）A ．1B ．2C ． 3D ． 4【剖析】 分别依据质数与和数的性质对每题进行剖析即可．【解答】 解： ① 、当 a ＝ 2 时， 2 是偶数，故此小题不建立；③、因为 a， b， c 都能整除因数1，所以 a， b， c 有公因数1，故此小题不建立；④、由③可知 a， b，c 有公因数1，所以此小题建立．应选： C．【评论】本题考察的是质数与合数，解答本题的重点是熟知在全部质数中只有 2 是偶数这一重点知识点．9．（ 4 分）将棱长为 1 厘米的 42 个立方体积木拼在一同，组成一个实心的长方体．假如长方体底面的周长为18 厘米，那么这个长方体的高是（）A ．2 厘米B ．3 厘米C． 6 厘米D． 7 厘米【剖析】第一依据底面周长确立底面的长宽，从而依据长方体的体积公式，求得高．【解答】解：∵假如长方体底面的周长为18 厘米，且立方体积是有棱长为1 厘米的 42 个立方体积木拼在一同，∴长方体的长与宽的和是 9，长宽高均为整数，体积为42，故设长为 a，宽为 b，高为 c，则有且 a、b 均为整数，解得 a＝ 7、 b＝ 2、 c＝ 3；a＝ 2、 b＝7、 c＝ 3（不合题意，舍去）．应选： B．【评论】本题考察几何体的表面积．培育学生的察看能力和实质问题应用能力，注意a、b、 c 均为整数这一隐含条件．10．（ 4 分） If 0＜ c＜ b＜ a，then（）A ．B．C．D．【剖析】可代入特别值一一考证．【解答】解：∵ 0＜ c＜ b＜a，∴可设 a＝ 3，b＝ 2， c＝ 1．A、＝，，，∵ ＜＜ 2，∴，故本选项错误；B、＝2，＝，＝，∵，∴≤≤，故本选项错误；C、＝，＝2，＝，∵＜＜2，∴，故本选项错误；D 、＝，＝，＝ 2，∵，∴，故本选项正确．应选： D ．【评论】本题考察了有理数的大小比较．解答本题时，采纳了“特别值”代入法．二、填空题（共10 小题，每题 4 分，满分40 分）11．（4 分）如有理数m， n， p 知足，则＝．【剖析】有理数 m，n，p 知足，所以m、n、p≠ 0，依据绝对值的性质，本题可分三种状况：①当 m＞ 0， n＞0， p＜ 0 时②当 m＞0， n＜ 0，p＞ 0 时③当 m＜ 0， n＞ 0， p＞ 0 时，根据以上三种情况分类解答．【解答】解：有理数m， n， p 知足，所以m、n、p≠ 0；依据绝对值的性质：① 当m＞0，n＞0，p＜0时，原式＝1+1﹣1＝1，则＝；②当 m＞ 0， n＜ 0， p＞0 时，原式＝ 1﹣ 1+1＝ 1，则＝；③当 m＜ 0， n＞ 0， p＞0 时，原式＝﹣1+1+1＝ 1，则＝；故答案为【评论】 本题综合考察了绝对值的性质，能够依据已知条件正确地判断出 m 、 n 、p 的值是解答本题的重点．12．（ 4 分）今日（ 2007 年 4 月 15 日，礼拜日）是第18 届“希望杯”全国数学邀请赛举行第 2 试的日子，那么今日此后的第4三 ．2007 +15 天是礼拜【剖析】 第一算出 2002 能整除 7，2007 除以 7 的余数为5，转变等于 20074 就和 54＝ 625除以 7 的余数相同，再利用（ 625+15）÷ 7＝ 914除以 7 的余数，从 余 3，得出 2007 +15 而得出是礼拜几．【解答】 解：因为 2002 能被 7 整除，所以 2007 除以 7 的余数为 5．这样， 2007 4 就和 54＝ 625 除以 7 的余数相同，4的余数相同；所以 2007 +15 与 625+15 除以 7而后（ 625+15 ）÷ 7＝ 91 余 3，4所以， 2007 +15 除以 7 的余 3，4∴第2007 +15 天是礼拜三；故答案为：三．【评论】 本题主要考察了带余数的除法运算性质，正确的分解数据是解决问题的重点．13．（ 4 分）孔子出生在公元前 551 年 9 月 28 日，则 2007 年 9 月 28 日是孔子寿辰 2557 周年．（注：不存在公元 0 年）【剖析】 公元前有 550 周年，公元 2007 周年，即 550+2007 ＝ 2557，或 2007﹣（﹣ 551）﹣ 1．【解答】 解：依据题意得， 2007﹣（﹣ 551）﹣ 1，＝ 2007+551 ﹣ 1，＝ 2557（年）．故答案为： 2557．【评论】 本题考察了有理数的减法以及应用，是基础知识比较简单．14．（ 4 分） In Fig ， ABCD is a rectangle ．The area of the shaded rectangle is 18 ．第 10 页（共 17 页）【剖析】在直角三角形BCG 中，利用勾股定理的知识求出BG，再依据锐角三角函数值的定义求出∠GBE 的正弦和正切值，而后再直角三角形中求出EF 和 FG ，最后依据矩形面积公式求出头积．【解答】解：在直角三角形BCG 中，由勾股定理得，BG＝ 10，tan∠BGC ＝，又知∠ BGC ＝∠ GBE，∴ tan∠ GBE ＝，所以 EF ＝ sin∠ GBE?BE＝× 5＝3，BF＝ cot∠ GBE× 3＝ 4，FG＝ BG﹣ BF ＝ 6，故知暗影面积＝3× 6＝ 18，故答案为18．【评论】本题主要考察面积及等积变换的知识，解答本题的重点是利用好勾股定理和三角函数的知识求出边长EF 和 GF 的值．15．（ 4 分）下表是某中学初一（5）班 2007 年第一学期期末考试数学成绩统计表：这个班数学成绩的均匀分不低于67.9分，不高于80.9分．（精准到0.1）【剖析】分别计算每组中最低分的均匀数和最高分的均匀数即可确立本题的答案．【解答】解：最低分的均匀分不低于（40× 5+60× 19+71× 12+86×14）÷（5+19+12+14）＝67.92≈ 67.9；最低分的均匀分不低于（ 59× 5+70× 19+85× 12+100 × 14）÷（ 5+19+12+14 ）＝ 80.9；故答案为： 67.9， 80.9．16．（ 4 分）已知，此中 x， y， z 代表非 0 数字，那么2 2 2＝ 98 ．x +y +z【剖析】第一依据题意的方程：（ 70+x）（ 100y+10z+6）＝ 41388，将方程化简，依据 x，y， z 代表非 0 数，则 x，y，z 皆为大于等于 1 而小于等于 9 的正整数，挨次剖析 y 的取值， x 的取值， z 的取值，即可求得结果．【解答】解：依据题意得：（ 70+x）（ 100y+10z+6）＝ 41388，整理得： 3500y+50xy+350z+5xz+3z＝20694，∵ x， y，z 代表非 0 数，则x， y， z 皆为大于等于 1 而小于等于9 的正整数，∴3500y＜ 20694，∴y＝ 5，∵50x×5+350z+5xz+3 x＝3194，∵3194，个位是 4，∴x＝ 8，∴350z+5× 8× z＝ 1170，∴z＝ 3；2 2 2∴ x +y +z ＝ 98．故答案为： 98．【评论】本题考察了数字的表示方法与性质．解本题的重点是理解各数字间的关系，注意解题时要仔细．17．（ 4 分）某城市有一百万户居民，每户用水量定额为月均匀 5 吨，因为 6，7，8 月天热，每户每个月多用水1 吨，为了不超出整年用水定额，则整年的其余月份每户的用水量应控制在每个月均匀 4 吨以内．假如每户每日节俭用水 2 千克，则全市一年（按 365 天计）节俭的水量约占整年用水定额的 1.22 %（保存三位有效数字）【剖析】设整年的其余月份每户的用水量应控制在每个月均匀x 吨，则6，7， 8 月均匀每天用水（ x+1）吨，依据每户用水量定额为月均匀 5 吨，列出不等式求出x 的最大值，然后算出每户一年节俭用水量，既而可求解．【解答】解：设整年的其余月份每户的用水量应控制在每个月均匀x 吨，则 6， 7，8 月平均每日用水（x+1）吨，由题意得， 9x+3（x+1 ）≤ 12× 5，解得： x≤ 4 ，即整年的其余月份每户的用水量应控制在每个月均匀4吨以内，若每户每日节俭用水 2 千克，则每户每年节俭2× 365＝730（千克）＝ 0.73 吨，≈ 1.22%．答：全市一年节俭的水量约占整年用水定额的 1.22%．故答案为： 4， 1.22%．【评论】本题考察了一元一次不等式的应用，解答本题的重点是读懂题意，设出未知数，找出适合的等量关系，列出不等式求解．18．（ 4 分） a，b， c 都是质数，且知足a+b+c+abc＝99，则＝．【剖析】先依据假定a， b，c 都是奇数，判断出与已知相矛盾，可得出a， b， c 中必有两个偶数是2，再求出另一个数的值，代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：若 a，b，c 都是奇数，那么 abc 也为奇数，则 a+b+c+abc 为偶数，与 a+b+c+abc ＝ 99 矛盾，∴a， b， c 中必有一个偶数，又∵ a， b， c 都是质数，∴a， b， c 中必有一个偶数是 2，令 a＝2，则 b+c+2bc＝ 97，同理，若b， c 都是奇数，则bc 为奇数，则b+c+2 bc 为偶数，与b+c+2bc＝ 97 矛盾，∴ b，c 中也必有一个偶数，则偶数必是2，令 b＝2，可得 c＝ 19，∴＝．故答案为：．【评论】本题考察的是质数与合数，熟知“在全部质数中只有 2 是偶数”是解答本题的重点．19．（ 4 分）一项机械加工作业，用 4 台 A 型车床， 5 天能够达成；用 4 台 A 型车床和2 台 B第 13 页（共 17 页）型和 C 型车床各一台一同工作6 天后，只余下一台 A 型车床持续工作，则再用 2 天就能够达成这项作业．【剖析】 由 A 型车床达成工作的台数和时间可获得其工作效率，从而获得B 、C 型车床的工作效率，依据A 型机床 6 天的工作量 +B 型机床 6 天的工作量 +C 型机床 6 天的工作量 +A 型机床 x 天的工作量＝ 1，把有关数值代入计算即可．【解答】 解：∵用 4 台 A 型车床， 5 天能够达成；∴ A 型机床的工作效率为 1÷ 5÷ 4＝，∵用 4 台 A 型车床和 2 台 B 型车床， 3 天能够达成；∴ B 型机床的工作效率为（ 1﹣× 4× 3）÷ 3÷ 2＝ ，∵用 3 台 B 型车床和 9 台 C 型车床， 2 天能够达成．∴ C 型机床的工作效率为（ 1﹣× 3×2）÷ 9÷2＝ ，设再用 x 天达成这项工作．+ + +＝ 1，解得 x ＝2，故答案为 2．【评论】考察一元一次方程的应用； 获得 3 种种类机床的工作效率是解决本题的打破点；获得 3 种种类机床总工作量1 的等量关系是解决本题的重点．20．（ 4 分）设 0＜ a ＜1，﹣ 2＜ b ＜﹣ 1，则和四个式子中，值最大的是，值最小的是．【剖析】 第一由 0＜ a ＜ 1，﹣ 2＜ b ＜﹣ 1，即可求得： a 2﹣ b 2＜ a+b ＜ 0＜ a ＜a ﹣ b ，则可求得和 四个式子的大小．【解答】 解：∵ 0＜ a ＜ 1，﹣ 2＜ b ＜﹣ 1，∴ a ﹣ b ＞ a ＞ 0，a+b ＜ 0，∴ a 2﹣ b 2＝（ a+b ）（ a ﹣ b ）＜ 0， a 2﹣ b 2＝（ a+b ）（ a ﹣ b ）＜ a+b ， ∴ a 2﹣ b 2＜ a+b ＜ 0＜ a ＜ a ﹣b ，∴＜＜＜ ，∴值最大的是，值最小的是．故答案为：，．【评论】本题考察了分式的求值与实数大小的比较．题目难度不大，注意认真剖析求解．三、解答题（共 3 小题，满分 40 分）21．（ 10 分）小明在平面上标出了2007 个点并画了一条直线 L，他发现：这 2007 个点中的每一点对于直线L 的对称点，仍在这 2007 个点中，请你说明：这2007 个点中起码有 1 个点在直线 L 上．【剖析】第一假定这 2007 个点都不在直线L 上，得出每个点 A i（ i＝ 1，2，， 2007 ）对于直线 L 的对称点 A′1仍在这 2007 个点中，不在直线 L 上点 A i（ i ＝ 1， 2， 2007）与 A i 对于直线 L 对称的点 A′i成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007 相矛盾．【解答】证明：假定这 2007 个点都不在直线L 上，因为此中每个点A（ i＝ 1，2，，2007 ）对于直线 L 的对称点 A′1 仍在这 2007 个点中，i所以 A′i不在直线L 上．也就是说，不在直线L 上点 A i（ i＝ 1，2， 2007）与 A i对于直线L 对称的点A′i成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007 相矛盾，所以，“这 2007 个点都不在直线L 上”的假定不可以建立，即这2007 个点中起码有 1 个点在直线 L 上．【评论】本题主要考察了反证法的应用，从命题的反面出发，假定出2007 个点都不在直线 L 上，依据平面上点的坐标性质得出矛盾，从而必定数题正确是解决问题的重点．22．（ 15 分）小明和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一同点沿相反方向同时出发，每隔 25 秒钟相遇一次．此刻，他们从同一同跑点沿相同方向同时出发，经过25 分钟哥哥追上了小明，而且比小明多跑了20 圈，求：（ 1）哥哥速度是小明速度的多少倍？（ 2）哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？【剖析】（ 1）由“他们从同一同点沿相反方向同时出发，每隔25 秒钟相遇一次”获得等量关系：哥哥所跑行程 +小明所跑行程＝环形跑道的周长；由“经过25 分钟哥哥追上小明，而且比小明多跑了20 圈”，知经过 分钟哥哥追上小明，而且比小明多跑了 1 圈，获得等量关系：哥哥所跑行程﹣小明所跑行程＝环形跑道的周长，据此列出方程组，求出问题的解．（ 2）由（ 1）中求出的哥哥的速度与小明的速度的比为2： 1，可知在时间相同时，他们所行的行程比也为2：1．假如设小明跑了 x 圈，那么哥哥跑了 2x 圈．依据哥哥比小明多跑了 20 圈列式解答即可．【解答】解：设哥哥的速度是 V 1 米 /秒，小明的速度是 V 2 米 /秒．环形跑道的周长为 s 米．（ 1）由题意，有，整理得， 4v 2＝ 2v 1， 所以， V 1＝ 2V 2．答：哥哥速度是小明速度的2 倍．（ 2）设小明跑了 x 圈，那么哥哥跑了 2x 圈．依据题意，得 2x ﹣ x ＝ 20， 解得， x ＝ 20．故经过了 25 分钟小明跑了20 圈．【评论】 本题考察分式方程、一元一次方程的应用．解题重点是要读懂题目的意思，根 据题目给出的条件，找出适合的等量关系，列出方程组，再求解．本题要注意追及问题 和相遇问题不一样的求解方法实时间相同，行程比等于速度比．23．（ 15 分）知足 1+3n ≤ 2007，且使得 1+5n 是完整平方数的正整数 n 共有多少个？【剖析】 第一求出 n 的取值范围，而后设1+5n ＝ m 2（m 是正整数），则，这是正整数，而后对 m ﹣ 1 和 m+1 进行议论确立n 的值．【解答】 解：由条件 1+3n ≤ 2007 得， n ≤ 668， n 是正整数．设 1+5n ＝ m 2（m 是正整数），则，这是正整数．故可设 m+1＝ 5k ，或 m ﹣ 1＝ 5k （ k 是正整数）① 当 m+1 ＝ 5k 时，2，由 5k ≤ 668，得， k ≤ 112所以，此时有11 个知足题意的正整数n 使 1+5n 是完整平方数；②当 m﹣ 1＝ 5k 时，，2 2 2又 5k ﹣ 2k＜ 5k +2k，且当 k＝ 11 时5k +2k＝ 627＜ 668，所以，此时有11 个知足题意的正整数n 使 1+5n 是完整平方数．所以，知足 1+3n≤ 2007 且使 1+5n 使完整平方数的正整数n 共有 22 个．【评论】本题主要考察完整平方数的知识点，解答本题的重点是对m﹣ 1 和 m+1 进行讨论确立 k 的取值范围，本题难度较大．。

中学数学竞赛中的初等数论问题——以希望杯初中数学竞赛试题为例丁柯丹;胡奕伟【摘要】以希望杯试题为依托,就初中数学竞赛中所涉及的初等数论问题,根据运用初等数论知识进行解题的方法与初中数学竞赛试题中的解题方法,总结出作为竞赛辅导老师应具备对于相关知识的本质内容的理解并能对不同方法进行甄别、优化,以此作为对初中生进行竞赛辅导的依据.【期刊名称】《丽水学院学报》【年(卷),期】2012(034)002【总页数】7页(P84-90)【关键词】整除理论;不定方程;同余理论;初中数学竞赛辅导【作者】丁柯丹;胡奕伟【作者单位】丽水学院理学院,浙江丽水323000;丽水学院理学院,浙江丽水323000【正文语种】中文【中图分类】G642初等数论在中学数学竞赛中占有重要地位。

通过对“第16～22届希望杯全国数学邀请赛（初一初二）”中的有关初等数论的试题进行研究性学习，总结归纳整除理论、不定方程以及同余理论3部分内容的逻辑联系，分析它们在试题中出现的形式以及出现的机率，根据初等数论知识进行解题的方法与初中数学竞赛试题中的解题方法，特别给出了根据初中生所具备的知识和思维水平是如何进行解题的。

通过分析得出，作为竞赛辅导老师应具备对于相关知识的本质内容的理解，并能对不同方法进行甄别、优化，才能对初中生进行初等数论内容的更加富有针对性的竞赛辅导。

表1和表2分别列出了从第16～22届初一和初二的试题中有关初等数论的题号及所占分值，可见初等数论内容在选择题、填空题、解答题中均有出现。

表3是在表1、表2的基础上，统计整除理论、不定方程和同余理论3部分内容的试题题数和所占总分值，以及它们各自在所有初等数论试题中所占的比例。

由表3可知，在近7届希望杯初一初二数学竞赛试题中，整除理论和不定方程较同余理论占有更重要的地位。

整除理论从带余数除法定理开始，结合质数，引出算术基本定理，以及奇偶分析法。

1.1 讨论有关星期几的问题例1[1]138 今天（2007年4月15日，星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子，那么今天以后的第20074+15天是星期几_____。

第十八届”希望杯“全国数学邀请赛 初一 第一试2007年3月18日 上午8：30至10：00一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文1． 在2007（-1），3-1， -18（-1），18这四个有理数中，负数共有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2．小明在作业本上画了4个角，它们的度数如图1所示，这些角中钝角有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 3．If the n-th prime number is 47, then n is( )（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15(英汉词典：the n-th prime number 第n 个质数)4．有理数a,b,c 在数轴上对应的点的位置如图2所示，给出下面四个命题：（A ）abc <0 （B ）a b b c a c -+-=-（C ）(a-b)(b-c)(c-a)>0 （D ）1a bc 〈-其中正确的命题有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 5．如图3，“人文奥运”这4个艺术字中，轴对称图形有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 6．已知p ，q ，r ，s 是互不相同的正整数，且满足p rq s=，则（ ） （A ）p r s q = （B ）p s r q = （C ） p p r q q s +=+ （D ）r r p s s q-≠-7．韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图4（a ）放置，然后又如图4（b ）放置，则图4（b ）中四个底面正方形中的点数之和为（ ）（A ）11 （B ）13 （C ）14 （D ）168．如图5，若AB//CD ，则∠B 、∠C 、∠E 三者之间的关系是（ ）（A ）∠B+∠C+∠E=180º （B ）∠B+∠E-∠C=180º （C ）∠B+∠C-∠E=180º （D ）∠C+∠E-∠B=180º9．以x 为未知数的方程2007x+2007a+2008b=0（a,b 为有理数，且b>0）有正整数解，则ab 是（ ）（A ）负数 （B ）非负数 （C ）正数 （D ）零 10．对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义新运算：a b c d=ad-bc ，已知241x x-=18，则x=（ ）（A ）-1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．小明已进行了20场比赛，其中赢的场数占95%，若以后小明一场都不输，则赢的场数恰好占96%，小明还需要进行 场比赛。

第十五届希望杯初二第1试试题一、选择题:（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1、小伟自制了一个孔成像演示仪，如图1所示，在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。

小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是( )（A）（B）（C）（D）2、代数式的化简结果是( )（A）（B）（C）（D）3、已知是实数，且，那么( )（A）31（B）21（C）13（D）13或21或314、已知（＞）是两个任意质数，那么下列四个分数( )①；②；③；④中总是最简分数的有( )（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、Given are real numbers, and , then the valueof is ( )（A）4（B）6（C）3（D）4or66、某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印制一套需增加成本20元。

如果每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精确到千位）( )（A）2千套（B）3千套（C）4千套（D）5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，满足3∠A＞5∠B，3∠C≤∠B，则这个三角形是( )（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等边三角形8、如图2，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是( )（A）15（B）12（C）11（D）109、如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，则( )（A）（B）（C）（D）10、表示不大于的最大整数，如[3.15]=3，[－2.7]=－3，[4]=4，则( )( )（A）1001（B）2003（C）2004（D）1002二、A组填空题（每小题4分，共40分。