月考试卷(五)120分立体几何与排列组合

例析立体几何中的排列组合问题春晖中学过月圆在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。

立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。

立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。

1 点1．1 共面的点例1（1997年全国高考（文））四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）A．30种 B．33种 C．36种 D．39种解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。

点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。

所以与点A共面的四点组合共有个。

答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。

1．2 不共面的点例2（1997年全国高考（理））四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A．150种 B．147种 C．144种 D．141种解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。

答案：D。

点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对 B．24对 C．30对 D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。

2024年高一上第一次月考数学（答案在最后）一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知集合{2,3,4,5,7},{2,3},{3,5,7}U A B ===，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{2,3,5,7}B.{2,3,4}C.{2} D.{2,3,4,7}【答案】C 【解析】【分析】由集合的交集与补集运算求解即可.【详解】因为{}{}2,3,3,5,7A B ==，所以{3}A B ⋂=，图中阴影部分表示的集合A 中除去{3}A B ⋂=，故阴影部分表示的集合为{2}.故选：C.2.下列各式正确的个数是（）①{}00=；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}(){}0,10,1=A.2 B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可.【详解】对于①，元素与集合的关系用∈符号，应为{}00∈，故①错误；对于②，任何集合都是本身的子集，故②正确；对于③，空集是任何集合的子集，故③正确；对于④，集合{}0,1是数集，有2个元素，集合(){}0,1是点集，只有1个元素，故④错误；所以正确的个数有2个.故选：A.3.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.4.下列命题中正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则22a b >C.若0,0a b m >>>，则b m ba m a+<+D.若a b >且0ab >，则11a b<【答案】D 【解析】【分析】举反例说明AB 是错误的，利用作差法可证C 是错误的，利用不等式的性质可证D 是正确的.【详解】对A ：当0c =时，由a b >⇒22ac bc =，故A 错误；对B ：当1a =，1b =-，则满足a b >，但22a b >不成立，故B 错误；对C ：根据不等式的性质，若0,0a b m >>>，则 㤵㔠㤵㔠，也就是b m ba m a+>+，故C 错误；对D ：若a b >且0ab >，则a b ab ab >即11b a>，故D 正确.故选：D 5.已知条件1:1p x<，则使得条件p 成立的一个充分不必要条件是（）A.1x <-B.1x ≥ C.0x <或1x > D.0x ≠【答案】A【分析】解不等式得到1x >或0x <，使得条件p 成立的一个充分不必要条件应为1x >或0x <的真子集，从而得到答案.【详解】11x<，解得1x >或0x <，故使得条件p 成立的一个充分不必要条件应为1x >或0x <的真子集，其中1x <-满足要求，其他选项不满足.故选：A 6.已知集合(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣，若C 为单元素集合时，则（）A.12m =B.2m =C.0m =或12m = D.0m =或2m =【答案】C 【解析】【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；【详解】因为集合(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣，若C 为单元素集合，则方程组211y x x my ⎧=-⎨=+⎩只有唯一解，所以()211y my =+-，整理可得()22210m y m y +-=，当0m =时，方程变为00y y -=Þ=，此时1x =，符合题意；当0m ≠时，()221214002m m m D =--´=Þ=，所以0m =或12m =，故选：C.7.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱【解析】【分析】根据题意设买大竹子x ，每根单价为m ，可得()()576781mx x m =+--，由078x ≤≤，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子x ，每根单价为m ，购买小竹子78x -，每根单价为1m -，所以()()576781mx x m =+--，即78654m x +=，即()610913x m =-，因为078x ≤≤，所以()10910913013610913789613m m m m⎧≤⎪-≥⎧⎪⇒⎨⎨-≤⎩⎪≤⎪⎩961091313m ⇒≤≤，根据选项8m =，30x =，所以买大竹子30根，每根8元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.8.对于集合A ，B ，定义A \B ={|x x A ∈且}x B ∉，则对于集合A ={|65N x x n n =+∈，}，B ={|37N y y m m =+∈，}，|C x x A=∈B 且1000}x <，以下说法正确的是（）A.若在横线上填入”∩”，则C 的真子集有212﹣1个.B.若在横线上填入”∪”，则C 中元素个数大于250.C.若在横线上填入”\”，则C 的非空真子集有2153﹣2个.D.若在横线上填入”∪N ð”，则N ðC 中元素个数为13.【答案】B 【解析】【分析】根据各个选项确定相应的集合C ，然后由集合与子集定义得结论．【详解】653(21)2x n n =+=⨯++，373(2)1y m m =+=++，集合,A B 无公共元素，选项A 中，集合C 为空集，没有真子集，A 错；选项B 中，由651000n +<得51656n <，由371000m +<得331m <，因此C 中元素个数为166331497+=，B 正确；选项C 中，C 中元素个数为166，非空真子集个数为16622-，C 错；选项D 中，()()N NN NN N NC A B A B A B ===痧痧痧，而N B A ⊆ð，因此其中元素个数为331个，D 错．故选：B ．二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.已知集合A={1，2，2a }，B={1，2a +}，若B A ⊆，则a 的可能取值为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】BD 【解析】【分析】利用B A ⊆，可得22a +=或22a a +=，再验证即可．【详解】因为B A ⊆，又集合{1A =，2，2}a ，{1B =，2}a +，所以22a +=或22a a +=，解得0a =或2a =或1a =-，当1a =-时，不满足集合元素的互异性，所以0a =或2a =．故选：BD ．10.已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（）A.39x y <+<B.13x y -<-<C.218xy <<D.1621xy <<-【答案】ACD 【解析】【分析】由不等式的性质直接求解.【详解】因为16x <<，23y <<，则39x y <+<，218xy <<，故A 、C 正确；由题32y -<-<-，故24x y -<-<，B 错误；112y <-<，则11121y <<-，故1621xy <<-，D 正确；故选：ACD.11.已知a >0，b >0，且3a +b =2，则（）A.ab 的最大值为13B.113a b+的最大值是2C.2219a b+的最小值是18 D.12a b a b+++的最小值是2【答案】AC 【解析】【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B 要用乘1法，D 减少变量后用基本不等式.【详解】因为0,0a b >>，且32a b +=，所以2≤，所以13ab ≤，当且仅当31a b ==时，等号成立，则A 正确；由题意可得()111111313222323232⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b ，当且仅当3a b ==1时，等号成立，则B 错误；因为13ab ≤，所以2219618+≥≥a b ab ，当且仅当31a b ==时，等号成立，则C 正确；由32a b +=，得23b a =-，对于D ，由0230a b a >⎧⎨=->⎩，得023a <<，()()111123222222222322++=++-=+-=+--≥-++---a b a a a a a b a a a a，当且仅当()1222a a =--，当222a =±时，22223±>，矛盾，故等号取不到，故D 错误.故选：AC.三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.已知集合{}0,1,2A =，写出一个满足{}1,0,1,2,3A B ⋃=-的集合：B =_____________.【答案】{}1,3-(答案不唯一)【解析】【分析】写出满足{}{}1,31,0,1,2,3B -⊆⊆-的集合即可.【详解】解：根据题意，只要是满足{}{}1,31,0,1,2,3B -⊆⊆-的集合即可所以B ={}1,3-故答案为：{}1,3-13.已知命题[]2:1,2,20p x x x a ∃∈--≤是假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】1a <-【解析】【分析】写出命题的否定为真命题，得到()2min2a x x <-，求出221y x x =-≥-，得到实数a 的取值范围.【详解】由题意，命题¬ 쳌䁠쳌 䁠 䁠 是真命题，所以()2min2a x x<-，其中()222111y x x x =-=--≥-，当且仅当1x =时，等号成立.故答案为：1a <-.14.已知关于x 的不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为()4,1-，则29c a b++的取值范围为______.【答案】(],6∞--【解析】【分析】根据一元二次不等式解集的形式，判断,,a b c 的关系及a 的符号，再结合基本（均值）不等式求式子的最大值即可.【详解】解：关于x 的不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为()4,1-，所以0a <，且4-和1是关于x 的方程20ax bx c ++=的两实数根，由根与系数的关系知，144b ac a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3,4b a c a ==-，所以2291699434c a a a b a a a ++==+++，因为0a <，所以()9464a a ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭即296c a b+≤-+故答案为：(],6∞--.四､解答题（共5小题，满分77分）15.已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或 ．（1）当3a =时，求A B ⋂；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|11x x -≤≤或}45x ≤≤（2）()0,1【解析】【分析】（1）当3a =时，求得{}15A xx =-≤≤∣，结合集合的交集的运算，即可求解；（2）根据题意，转化为A R B ð，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：当3a =时，集合{}|22A x a x a =-≤≤+{}15xx =-≤≤∣，因为集合{|1B x x =≤或 ，所以{|11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤.【小问2详解】解：由集合{|1B x x =≤或 ，可得{}|14B x x =<<R ð，因为{}|22(0)A x a x a a =-≤≤+>，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”充分不必要条件，可得AR B ð，则21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得01a <<，即实数a 的取值范围是()0,1.16.已知函数2()2h x ax ax =++．（1）若对于任意R x ∈，不等式()1h x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a<0时，解关于x 的不等式()(1)4h x a x <-+．【答案】（1）[)0,12；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论0a =或0a ≠两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围；（2）首先不等式整理为(1)(2)0ax x -+<，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.【小问1详解】()1h x >-即为230ax ax ++>，所以不等式230ax ax ++>对于任意 R 恒成立，当0a =时，得30>，显然符合题意；当0a ≠时，得2Δ120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得012a <<．综上，实数a 的取值范围是[)0,12．【小问2详解】不等式()(1)4h x a x <-+即为2(21)20ax a x +--<，即(1)(2)0ax x -+<．又a<0，不等式可化为1(2)0x x a-+>，若12a<-，即102a -<<时，得1x a <或2x >-，即解集为1{|x x a <或2}x >-；若12a=-，即12a =-时，得2x ≠-，即解集为{|2}x x ≠-；若12a >-，即12a <-时，得<2x -或1x a>，即解集为{|2x x <-或1}x a >．综上可知，当102a -<<时，解集为1{|x x a <或2}x >-；当12a =-时，解集为{|2}x x ≠-；当12a <-时，解集为{|2x x <-或1}x a >．17.根据要求完成下列问题：（1）已知4x y +=，是否存在正实数x ，y 使得5x y ⋅=？若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由；（2）已知,,,R a b c d ∈，比较2222()()a b c d ++与2()ac bd +的大小并说明理由；（3）利用（2）的结论解决下面问题：已知m ，n 均为正数，且225m n +=，求2m n +的最大值．【答案】（1）不存在，理由见解析（2）22222()()()a b c d ac bd ≥+++，理由见解析（3）5【解析】【分析】（1）由基本不等式说明4x y ⋅≤即可；（2）用作差法比较大小即可；（3）由（2）的结论得22222(21)()(2)m n m n ++≥+，即可求解．【小问1详解】不存在，∵0x >，0y >，∴x y +≥4x y +=，∴4≥∴4x y ⋅≤，∴不存在x 、y 使得5x y ⋅=．【小问2详解】22222()()()a b c d ac bd ≥+++，证明如下：2222222222()()()2()0a b c d ac bd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥，当且仅当ad bc =时等号成立，∴22222()()()a b c d ac bd ≥+++．【小问3详解】由（1）得22222(21)()(2)m n m n ++≥+，∴2(2)5525m n +≤⨯=，∴25m n +≤，当且仅当2m n =，即2m =，1n =时等号成立，∴2m n +的最大值为5．18.某工厂生产某种产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21204000010y x x =-+.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润.【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元；（2）年产量为220吨时，最大利润为840万元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得.（2）求出年利润关于年产量x 的函数关系，再利用二次函数求出最大值.【小问1详解】依题意，生产每吨产品的平均成本为[]400020,150,25010y x x x x=+-∈，而400020202010x x +-≥-=，当且仅当400010x x =，即200x =时取等号，所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元.【小问2详解】设利润为()W x ，则221()24(204000)220)8401010x W x x x x =--+=--+，而150250x ≤≤，因此当220x =时，max ()840W x =，所以年产量为220吨时，最大利润为840万元.19.已知正整数集合{}()1212,,,2,N ,0n n S a a a n n a a a =≥∈<<<< ,对任意,i j a a S ∈，定义()11,i j i j d a a a a =-.若存在正整数k ，使得对任意(),i j i j a a S a a ∈≠，都有()21,i j d a a k≥,则称集合S 具有性质k F .记()d S 是集合中的(){},,i j i j d a a a a S ∈最大值.（1）判断集合{}1,2,3A =和集合{}4,6B =是否具有性质3F ，直接写出结论；（2）若集合S 具有性质4F ，求证：()116n d S -≥；（3）若集合S 具有性质k F ，求n 的最大值.【答案】（1）集合{}1,2,3A =具有性质3F ；集合{}4,6B =不具有性质3F ；（2）证明见解析（3）21k -【解析】【分析】（1）根据定义直接判断得到答案.（2）确定()111n d S a a =-，变换()11223111111111n n nd S a a a a a a a a -=-=-+-++- ，计算得到证明.（3）确定()2,n i d a a n i k -≥，得到21i n i a k ->，确定21n i i k ->，再根据均值不等式计算最值得到答案.【小问1详解】{}1,2,3A =，则()()12211111,,2912d a a d a a ==-=≥；()()32231111,,6932d a a d a a ==-=≥；()()13311121,,3913d a a d a a ==-=≥，故集合{}1,2,3A =具有性质3F ；{}4,6B =，故()()1221461111,,129d b b b b d ==-=<，故集合{}4,6B =不具有性质3F ；【小问2详解】{}()1212,,,2,N ,0n n S a a a n n a a a =≥∈<<<< ，故121110n a a a >>>> ，故()max 111,i j n d a a a a =-，即()111nd S a a =-，集合S 具有性质4F ，故()161,i j d a a ≥，()11223111111111111116161616n n n n d S a a a a a a a a --=-=-+-++-≥+++= .【小问3详解】集合S 具有性质k F ，则()21,i j d a a k ≥，11a ≥，i a i ≥，*N i ∈，()211211*********,i i n i i n n i i i n n d a a a a a a a a a a a a n i k+++-=-=-=-++-≥--+ ，故21i n i a k->，又i a i ≥，故11i a i ≤，即21n i i k ->，*N i ∈，()22224i n i n k i n i +-⎛⎫>-≥= ⎪⎝⎭，当n 为偶数时当且仅当i n i =-，即2n i =时等号成立，当n 为奇数时等号不成立，()2max 14n i n i -⎡⎤-=⎣⎦，故2214n k ->，即2241n k <+，故21n k ≤-，综上所述：21n k ≤-，故n 的最大值为21k -.【点睛】关键点睛：本题考查了集合综合应用，意在考查学生的计算能力，转换能力和综合应用能力，其中根据集合中元素的大小关系，确定121110n a a a >>>> ，再利用绝对值的性质计算是解题的关键.。

例析立体几何中的排列组合问题过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。

立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。

立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。

1 点1．1 共面的点11997年全国高考（文））（例A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点，每个面上的个顶点，个点共面。

点条棱有34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333点与这条棱对棱的中点共面。

条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在A共面的四点组合共有个。

所以与点B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的算在内。

1．2 不共面的点21997年全国高考（理））（例104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141种．种．种．种．410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。

形，它的个顶点共面，有以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。

D答案：。

点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。

涪陵试验中学校比赛试题（共4页，第3页） 涪陵试验中学校比赛试题（共4页，第4页）1涪陵实验中学高2009级单元测试题满分150分. 考试时间120分钟.命题人：杜容 命题范围：立体几何，排列组合占70%，不等式，解析几何占30%注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题 共50分）一、 选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系是 （ ） A ． 异面 B ．平行 C ．平行或相交 D ．相交或异面 2. 设a,b 是非零实数，若a<b,则下列不等式成立的是 （ ）A. 22b a <B.b a ab 22<C.b a ab 2211<D.b aa b <3．若()()()()55221051112-++-+-+=+x a x a x a a x ，则510a a a +++ 的 值为 （ ）（A ）25 （B ）35 （C ）45 （D ）554．有如下命题：（1）垂直于同一直线的两条直线平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行；（3）与同一平面成等角的两条直线平行;(4) 垂直于同一平面的两条直线平行。

其中真命题的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）35 四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A 090 B 060 C 045 D 0306．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是 （ ） A 130 B 140 C 150 D 1607．已知椭圆的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为)0,5()0,5(和-，点P 在椭圆上，PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为1，则椭圆的方程为（ ）A ．14922=+y xB ．13822=+y xC ．1622=+y x D ．1622=+y x 8．如图，正方体1111D C B A ABCD -中，P 为平面11ABB A 内一动点，且点P 到A A 1和BC 的距离相等，则P 点的 轨迹是下图中的 （ ）A B C D9．山坡与水平面成30 度角，坡面上有一条与山底坡脚的水平线成30 度角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路后升高了100米，则此人行走的路程为 （ ）A ．400米B ．300米C ．200米D ．3200米 10. 用五种颜色给正方体1111D C B A ABCD -各面涂色，要求相邻两个面不同色，（颜色可不用完）现已将过顶点A 的3个面涂上了颜色，那么其余3个面的涂色方法共有 （ ） A ．12种 B ．13种 C ．14种 D ．15种二．填空题（本题共6小题，每题4分，满分24分，把答案填在答题卡相应位置上）11．若388C C x =，则=x ▁▁▁。

排列、组合应用题大致可以分为三类，即不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或组合题；排列、组合综合题。

【例1】某年级开设语文、政治、体育、外语、历史、物理、化学七门课。

（1）一天开设七科不同课程，每科一节，其中体育不排在第一节，也不排在第七节，问有多少种排法？【例2】从6名男生、4名女生中选派 5名值日生，各有多少种选派方法？（1）只有一名女生；（2）至少有一名女生；（3）至多有2名女生；（4）女生A和B必选入；（5）女A或男甲只一个选入【例3】把12个人分成 3个小组，各有多少不同的分法？（1）各组人数分别为2，4，6人；（2）平均分成3个小组；（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间；（4）平均分成3个小组，进入3个不同车间，每人担任不同的工作。

（3）解法一分两步：第一步平均分三组，第二步让三个小组分【例4】有9个工人，其中4人只能当钳工，3人只能当车工，另外2人既能当车工又能当钳工，现从这9人中，选派2名钳工和2名车工完成某项任务，共有多少种选派方法？解法一设既能当车工又能当钳工的二人为甲、乙。

以甲、乙为研究对象，分三类：排列、组合、二项式定理一、选择题:(本大题共6小题,每小题8分共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.由数字1,3,5,7,9可以组成允许有重复数字的三位数和无重复数字的三位数的个数分别是 [ ]A.15,10B.125,12C.125,60D.243,60[ ]A.1B.2C.3D.43.已知集合A=｛0,2,3,5,9｝,从A中任取两个不同元素,它们的和作为元素构成集合B,则集合B的所有子集的个数为[ ]A.511B.512C.1024D.1023[ ]5.把 1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个格子,每格填一个数字,每个格的标号与该格所填数字都不同,则不同的填法有[ ]A.6种B.9种C.11种D.23种系数比的2倍,则a的值为[ ]二、填空题:(本大题共4小题,每小题10分共40分)1.十进制中,含3个奇数数字,含两个偶数数字的不含重复数字的五位数有个.2.圆周24等分,以这些等分点为顶点的直角三角形的数目是 .项是 .4.9192除以100的余数是 .三、本题12分参考答案一、1.C 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A二、1.110402.2644.81三、证明:立体几何综合训练一、选择题1．正方体的一条对角线与正方体的棱可组成异面直线 [ ] A．2对 B．3对C．6对 D．12对2．已知直线a、b、c及平面α，具备以下哪一条件时，a∥b [ ] A．a∥α，b∥αB．a⊥c且b⊥cC．a、b与α所成角相等D．a⊥α、b⊥α3．各侧面都是等边三角形的正三棱锥，侧棱与底面所成的角为 [ ][ ]A．①与② B．③与④C．②与④ D．①与③5．梯形ABCD的底边AD在平面α内，另一底边BC到平面α的距离为5，且DA∶CB=7∶3，则梯形对角线的交点O到平面α的距离为 [ ]6．一个圆台的轴截面是半个正六边形，则圆台侧面展开后的中心角为 [ ] A．120° B．180°C．240° D．270°7．一个球过正方体A的各个顶点，正方体B的各条棱和这个球相切，正方体C的各个面和这个球相切，则正方体A、B、C的全面积之比为 [ ]A．2∶3∶6 B．1∶2∶38．三棱锥三侧面与底面所成二面角相等，那么顶点在底面的射影是底面三角形的[ ]A．重心 B．垂心C．内心 D．外心9．用任意平面截球，截得截面积不大于球面积的 [ ]10．三角形三边边长为a、b、c，分别以三边为轴旋转一周，所得旋转体体积之比为 [ ]二、填空题1．异面直线a、b成60°角，点A、B∈a，点C、D∈b，且AB=4，CD=2，E、F、G分别为AC、CB和BD中点，则E和G间距离为____．2．如果一条弧的长度与它所在圆的直径相等．那么这条弧所对的圆心角的弧度数是____．3．纬度为α的纬度圈上有A、B两点，这两点的纬度圈上的弧长为πRcosα(R为球的半径)，则这两点间的球面距离为____．积是____．三、解答题1．在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，且∠DAB=60°，AB=2CD，∠DCP=45°，设CD=a．(1)求四棱锥P-ABCD的体积．(2)求证：AD⊥PB．2．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B，并使D点在平面ABC内的射影落在AB上，求二面角D-AC-B的余弦值．3．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为15cm、高为20cm，求底边AB和对角线A1C间的距离．4．一个圆锥的外接球体积为972π，且内切球面积为圆锥的侧面积和底面积的等差中项．求这个圆锥的体积．立体几何综合训练参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．C 9．A 10．B二、填空题三、解答题1．(1)∵CD=a，∴AB=2a，PD=a．在△ABD中，BD2=5a2-2·2a2cos60°=3a2，AD2+BD2=a2+3a2=4a2=AB2，∴∠ADB=90°，而AD⊥DB．∵PD⊥面ABCD，∴BD是PB在面ABCD内射影，由三垂线定理知PB⊥AD．2．过D作DO⊥AB于点O，过D作DE⊥AC于点E，连结OE，则DO⊥面ABC，OE⊥AC．于是二面角D-AC-B的大小为3．连结A1D、B1C，∵AB∥CD，∴AB ∥面A 1DCB 1．∴ AB 与A 1C 的距离转化为AB 与面A 1C 的距离． ∵AB ⊥BC ，AB ⊥B 1B ， ∴AB ⊥面BB 1C ． 过B 作BH ⊥B 1C ，交于点H ， ∵ CD ∥AB ∴面A 1DCB 1⊥面BCB 1于是底边AB 和对角线A 1C 的距离为12cm ．4．如图2，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，母线为l ，内切球心O ，半径为x ，外接球心O 1，半径为y ，则8h 2r=(l+r)3∵h 2=l 2-r 2，∴8(l 2-r 2)·r=(l+r)3．∵ l+r≠0，∴8(l-r)·r=(l+r)2．立体几何单元测试一、选择题(本题满分60分，每小题4分)(1)空间四边形各边中点为顶点的四边形是菱形，则空间四边形的两条对角线 [ ]A．互相垂直且可能长相等B．长相等但不垂直C．长相等且可能互相垂直D．必垂直但长不相等(2)A为直二面角α-l-β的棱l上的一点，两条长度都为a的线段AB，AC分别在α，β内，且都与l成45°角，则BC的长为[ ]A．a(3)四面体ABCD的棱长均为1，M，N分别在一组相对的棱AB和CD上，则线段MN的最小值是 [ ](4)若P为正方体ABCD-A1B1C1D1中棱A1B1的中点，则截面PC1D与面AA1B1B所成二面角的正切值为 [ ](5)平面α内有一个半径为a的圆O，OP⊥α且OP=a，PA是α的一条斜线，PA=2a(A∈α)，B为圆O上的任一点，则PA在α内的射影与AB所成的角中最大角的正弦值为 [ ](6)已知三棱台A1B1C1—ABC中，VB—A1B1C1=4，VC1—ABC=16，则VA1B1C1—ABC等于 [ ]A．28B．29C．30D．无法确定(7)半球内有一内接正方体，则这个半球面的面积与正方体表面积的比为 [ ]D．以上答案均不对(8)△ABC中BC长一定，A点在平行于BC的直线l上移动，若△ABC以直线l为轴旋转一周得一旋转体，则无论A点在直线l上的位置如何，正确结论是 [ ]A．体积和表面积都为定值B．体积为定值，表面积不为定值C．体积不为定值，表面积为定值D．表面积和体积均不为定值(9)如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的平面角的大小关系是[ ]A．相等B．互补C．相等或互补D．无法确定(10)四面体一棱长为x，其余各棱长均为常数a，设四面体的体积函数为V(x)，则在定义域内V(x) [ ]A．是增函数但无最大值B．是增函数且有最大值C．不是增函数且无最大值D．不是增函数但有最大值(11)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则这个三棱锥的全面积是 [ ](12)已知三棱台ABC—A1B1C1中，S△A1B1C1=m2，S△ABC=n2(m＞n＞0)，BC到截面AB1C1的距离等于这个棱台的高，那么截面AB1C1的面积为 [ ]B．mnD．2mn(13)要挖一个半圆柱形鱼池，其池面为圆柱的轴截面，若池面周长为定值2a，则鱼池的最大容积为 [ ](14)圆锥全面积为π，则它的体积的最大值为 [ ](15)如果过圆锥顶点的面积最大的截面是轴截面，圆锥侧面展开图的圆心角为α，则α的取值范围是[ ]A．(0，2π)B．(0，π)二、填空题(本题满分20分，每小题4分)(16)已知P为Rt△ABC所在平面α外的一点，PA=PB=PC=13，两直角边AC，BC的长分别为8和6，则P到BC的距离为______．(17)已知E，F为△ABC中AB和AC的中点，△AEF和梯形EBCF各绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积分别记作V1和V2，则V1∶V2=______．(18)AD是边长为2a的正三角形的边BC的中线，若沿AD把△ABC折成直二面角，则B 到AC的距离为______．(19)圆台两底面半径分别为4和1，轴截面的两条对角线互相垂直，则圆台体积为______．Q的平面中，与球心的最大距离是______．三、解答题(21)(12分)如图25—1所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=a，AD=BC=2a，AC∩BD=E，∠A=60°，将其沿对角线BD折成直二面角．(Ⅰ)证明AB⊥平面BCD；(Ⅱ)证明平面ACD⊥平面ABD；(Ⅲ)求二面角A—CE—B的大小．(22)(12分)如图25—2所示，正三棱柱ABC—A'B'C'的底面边长和高都等于a，截面C'AB与截面CA'B'交于DE，求四面体BB'DE的体积．(23)(14分)如图25—3，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1A的中点，E为B1C1的中点．(Ⅰ)求证B1C1∥面DBC；(Ⅱ)若A1A=AB=2a，求二面角B—DC—A的大小(文科求该角的正切值)；(Ⅲ)求E到面DBC的距离．(24)(16分)如图25—4，在四棱台ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2a的正方形，A 1A⊥底面ABCD，且A1A=A1D1=a．(Ⅰ)求证C1C⊥面AB1D1；(Ⅱ)求面AB1D1和面ABCD所构成的二面角的大小(文科求出其正切函数值)；(Ⅲ)求多面体ABCD—B1C1D1的体积．(25)(16分)如图25—5，已知圆锥S—AB的轴截面是Rt△，D为母线SA的中点，C为底面圆内一点，若OC⊥AC，OH⊥SC于H．求证(Ⅰ)OH⊥SA；(Ⅱ)SA⊥面ODH；(Ⅲ)若母线长为2a，求三棱锥S—ODH体积的最大值．答案与提示一、(1)C(2)C(3)B(4)D (5)C(6)A (7)A(8)B(9)D(10)D(11)A(12)B(13)A(14)B(15)C提示：(3)M，N为AB和CD中点时，MN取得最小值．(5)PA在α内的射影与AB所成的角中，当AO⊥OB时，其角最大．此(9)只有当两个二面角的棱互相平行时，它们才可能相等或互补，否则可任意作一个平面α与二面的一个面垂直．又可任意作一个平面β与二面角另一个面垂直，则α，β相交所成的二面角的大小是任意的．(10)设四面体ABCD中，AD=x，则当面ABC与面DBC垂直时，其减．三、(21)(Ⅰ)在△ABD中，AB=a，AD=2a，∠A=60°，∴∠ABD=90°．同理∠CDB=90°∵面ABD⊥面BCD，且AB⊥BD，∴AB⊥面BCDACD，∴平面ACD⊥平面ABD设所求二面角为α，则(22)如图答25—1所示，取A′C′中点G，连EG，则EG∥面B′BCC′．将四面体BB′DE视为以△B′BD为底，E为顶点的三棱锥，则E到面B′BCC′的距离即为锥高，作GH⊥B′C′于H，(Ⅱ)取AC中点F，则BF⊥面ADC过B作BH⊥DC于H，则FH⊥DC∴∠BHF为B—DC—A的平面角EMD⊥面DBC(Ⅲ)取BC中点M，易证面A1过E作EN⊥DM于N，则EN⊥面DBC∴EN即为E到面BDC的距离，(24)(Ⅰ)过D1作D1E⊥AD于E，则D1E⊥面ABCD且A1AED1为边长是a的正方形，AE=ED=a∴AD1⊥D1D又∵AD⊥DC，∴AD1⊥DC∴AD1⊥面DCC1D1，∴AD1⊥C1C同理AB1⊥C1C，∴C1C⊥面AB1D1(Ⅱ)由A1A⊥面ABCD，可得面A1ACC1⊥面ABCD由C1C⊥面AB1D1知A1ACC1⊥面AB1D1可证明面ABCD和面AB1D1的交线必⊥面A1ACC1∴∠O1AC为面AB1D1和面ABCD所成二面角的平面角显然∠O1AC=∠A1O1A(Ⅲ)VABCD-B1C1D1+VABCD-A1B1C1D1-VA-A1B1D1(25)(Ⅰ)由SO⊥底面，OC⊥AC∴SC⊥AC∴AC⊥面SOC，∴AC⊥OH又OH⊥SC，∴OH⊥面SAC，∴OH⊥SA (Ⅱ)∵△SAB为Rt△，显然∠ASB=90°且SA=SB，∴△SAB为等腰直角三角形．∴△SOA也是等腰直角三角形．∴OD⊥SA，又∵SA⊥OH ∴SA⊥面ODH(Ⅲ)由(Ⅱ)SA⊥面ODH又∵OH⊥面SAC。

2022-2023南京师范大学附属实验学校高一第二学期5月月考卷一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．cos72cos12sin 72sin12(°°+°°= )A ．12−B ．12C ．D 2．设复数z 满足(1)i z i +=，则(z = ) A ．1i −B ．1i +C ．1122i − D ．1122i + 3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3b =，2c =，1cos 3A =，则(a = )A ．5BC ．4D ．34．若(2,1)a =，(1,1)b − ，(2)//()a b a mb ++ ，则m 的值为( )A ．12B ．2C ．2−D ．12−5．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为( )A B C ．D ．6．在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成角的大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．在空间中，a 、b 、c 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．若a c ⊥，b c ⊥，则//a bB ．若a α⊂，b β⊂，则a b ⊥C ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bD ．若//αβ，a α⊂，则//a β8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为( )A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9．下列说法正确的是( ) A ．圆柱的所有母线长都相等B ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥D ．棱台的侧棱延长后必交于一点10的是( ) A ．7tan3π B ．32(sin coscossin)124124ππππ+ C ．1tan151tan15+°−°D ．cos15°° 11．下列命题正确的是( )A ．AB MB BC OM CO AB ++++=B ．已知向量(6,2)a =与(3,)b k − 的夹角是钝角，则k 的取值范围是9k <C ．向量1(2,3)e =− ，213(,)24e =− 能作为平面内所有向量的一组基底 D ．若//a b ，则a 在b 上的投影向量为a12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断正确的是( )A ．1MN CC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．//MN 平面ABCDD ．11//MN A B三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．平面向量a与b 的夹角为60°，(2,0)a = ，||1b = ，则|2|a b −= ．14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 是1BC 的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为 ．15．设平面//α平面β，A ，C ∈B ，D β∈，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，8AS =，6BS =，12CS =，则SD = ．16．已知cos()sin 6παα−+，则2cos()3πα+的值是 ．四．解答题（共6小题，共70分）17．m 为何实数时，复数2(2)3(1)2(1)z i m i m i =+−+−−是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos a c B b C −=． （1）求角B ；（2）若7b =，5a =，求sin C 的值．19．已知向量a，b 的夹角为120°，且||2a = ，||1b = ，（1）求a b在上的投影； （2）求|32|a b +．20．如图，在三棱柱111ABC A B C −中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ； （Ⅱ）求证：面1ADC ⊥面11BCC B ．21．如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=°，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明：PA BD ⊥；（Ⅱ）设2PD AD ==，求点D 到面PBC 的距离．22．如图，在四棱锥P ABCD −中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点．（1）证明：直线BC ⊥平面PAC ；（2）若直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为3，求三棱锥P ACE −的体积．2022-2023南京师范大学附属实验学校高一第二学期5月月考卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．cos72cos12sin 72sin12(°°+°°= )A ．12−B ．12C ．D 【解答】解：1cos72cos12sin 72sin12cos(7212)cos602°°+°°=°−°=°=． 故选：B ．2．设复数z 满足(1)i z i +=，则(z = )A ．1i −B ．1i +C ．1122i − D ．1122i + 【解答】解：由(1)i z i +=，得(1)111(1)(1)22i i i zi i i i −===+++−， ∴1122z i =−． 故选：C ．3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3b =，2c =，1cos 3A =，则(a = )A ．5BC ．4D ．3【解答】解：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3b =，2c =，1cos 3A =， 则22212cos 9423293a b c bc A =+−=+−×××=，解得3a =． 故选：D ．4．若(2,1)a =，(1,1)b − ，(2)//()a b a mb ++ ，则m 的值为( )A ．12B ．2C ．2−D ．12−【解答】解：(2,1)a =，(1,1)b − ， ∴2(3,3)a b +=，(2,1)a mb m m +=−+， (2)//()a b a mb ++，∴2133m m−+=， 解得12m =． 故选：A ．5．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为( )A B C ．D ．【解答】解： 三角形在其直观图中对应一个边长为2正三角形，∴直观图的面积是122sin 602×××°，由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系S S =直观图原图∴22 故选：B ．6．在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成角的大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解答】解：如下图所示，连接BD ，11B D ，1D C ， //EF DB ，11//DB D B ，11//EF D B ∴，则异面直线1B C 与EF 所成角为11D B C ∠， 1111D B B C D C == ，即△11B CD 为等边三角形， 1160D B C ∴∠=°．故选：C ．7．在空间中，a 、b 、c 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．若a c ⊥，b c ⊥，则//a bB ．若a α⊂，b β⊂，则a b ⊥C ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bD ．若//αβ，a α⊂，则//a β【解答】解：对于选项A ：若a c ⊥，b c ⊥，则a 和b 可能是异面直线，故错误． 对于选项B ：若a α⊂，b β⊂，则a 和b 不能判定有垂直和平行的关系，故错误． 对于选项C ：若//a α，//b β，//αβ，则a 和b 可能异面，故错误． 对于选项D ：若//αβ，a α⊂，则//a β，正确． 故选：D ．8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为( )A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π【解答】解：由正八面体的性质，每个面均为等边三角形， ∴在一个顶点外的四个角均为3π，故一个顶点的曲率等于22433πππ−×=， 故正八面体的总曲率等于2643ππ×=． 故选：B ．二．多选题（共4小题）9．下列说法正确的是( ) A ．圆柱的所有母线长都相等B ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥D ．棱台的侧棱延长后必交于一点【解答】解：对于A ，由圆柱的结构特征可知，圆柱的所有母线长都相等，故A 正确； 对于B ，由棱柱的结构特征可知，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B 正确； 对于C ，底面是正多边形，且侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故C 错误； 对于D ，由棱台的定义可知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D 正确． 故选：ABD ．10的是( ) A ．7tan3π B ．32(sin coscossin)124124ππππ+ C ．1tan151tan15+°−°D ．cos15°°【解答】解：A ．7tan tan 33ππ==，满足条件．3.2(sincoscossin)2sin()2sin 21241241243B πππππππ+=+==1tan15tan 45tan15.tan(4515)tan 601tan151tan 45tan15C +°°+°==°+°=°=−°−°°，满足条件，1.cos152(cos15)2sin152D °−°=°°=°≠，不满足条件．故选：ABC ．11．下列命题正确的是( )A ．AB MB BC OM CO AB ++++=B ．已知向量(6,2)a =与(3,)b k − 的夹角是钝角，则k 的取值范围是9k <C ．向量1(2,3)e =− ，213(,)24e =− 能作为平面内所有向量的一组基底 D ．若//a b ，则a 在b 上的投影向量为a【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，AB MB BC OM CO AB BC CO OM MB AB ++++=++++=，A 正确；对于B ，向量(6,2)a =与(3,)b k − 的夹角是钝角，则1820a b k ⋅=−+< 且66k ≠−，解可得9k <且1k ≠−，即k 的取值范围为9k <且1k ≠−，B 错误；对于C ，向量1213(2,3),(,)24e e =−=− ，满足124e e = ，两个向量共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，C 错误；对于D ，若//a b ，即a 与b 方向相同或相反，则a 在b 上的投影向量为a，D 正确． 故选：AD ．12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断正确的是( )A ．1MN CC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．//MN 平面ABCDD ．11//MN A B【解答】解：在正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点， 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D −中棱长为2，则(1M ，2，1)，(0N ，1，1)，(0C ，2，0)，1(0C ，2，2)， (1MN − ，1−，0)，1(0CC =，0，2)， 10MN CC ⋅=，1MN CC ∴⊥，故A 正确； (2A ，0，0)，(2AC −，2，0)， 0MN AC ⋅=，MN AC ∴⊥，1AC CC C = ，MN ∴⊥平面11ACC A ，故B 正确；平面ABCD 的法向量(0n =，0，1)，0MN n ⋅= ，又MN ⊂/平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ，故C 正确；1(2A ，0，2)，1(2B ，2，2)，∴11(0A B =，2，0)， MN ∴与11A B 不平行，故D 错误．故选：ABC ．三．填空题（共4小题）13．平面向量a与b 的夹角为60°，(2,0)a = ，||1b = ，则|2|a b − 【解答】解：由(2,0)a =，则||2a =，又||1b = ，向量a与b 的夹角为60°，则12112a b ⋅=××=，则|2|a b −= ，．14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 是1BC 的中点，则直线DE 与平面ABCD【解答】解：过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接DF ．EF BC ⊥ ，1CC BC ⊥1//EF CC ∴，而1CC ⊥平面ABCDEF ∴⊥平面ABCD ，EDF ∴∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角（4分）由题意，得1112EFCC ==．11,2CF CB DF ==∴8分）EF DF ⊥ ，∴tan EF EDF DF ∠=（10分）15．设平面//α平面β，A ，C α∈，B ，D β∈，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，8AS =，6BS =，12CS =，则SD = 9 ． 【解答】 AB ，CD 交于S 点∴三点确定一平面，所以设ASC 平面为n ，于是有n 交α于AC ，交β于DB ， α ，β平行//AC DB ∴ ASC DSB ∴∆∆∽ ∴AS CSSB SD=8AS = ，6BS =，12CS = ∴8126SD=9SD ∴=．故答案为：9．16．已知cos()sin 6παα−+，则2cos()3πα+的值是【解答】解：cos()sin 6πα−+ 11sin sin cos 22αααααα=++=)2)cos()33ππαα−+， 则24cos()35πα+=−， 故答案为：45−．四．解答题（共6小题）17．m 为何实数时，复数2(2)3(1)2(1)z i m i m i =+−+−−是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．【解答】解：复数222(2)3(1)2(1)(232)(32)z i m i m i m m m m i =+−+−−=−−+−+， （1）实数；可得2320m m −+=，解得1m =或2． （2）虚数；可得2320m m −+≠，解得1m ≠且2m ≠．（3）纯虚数可得：22320m m −−=并且2320m m −+≠，解得12m =−．18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos a c B b C −=． （1）求角B ；（2）若7b =，5a =，求sin C 的值．【解答】解：（1） 在ABC ∆中，由(2)cos cos a c B b C −=，以及正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos A B C B B C −=，2sin cos sin()sin A B B C A ∴=+=， sin 0A ≠ ，1cos 2B ∴=， (0,)B π∈ ， ∴可得3B π=． （2）1cos 2B =， ∴222122a c b ac +−=， 7b = ，5a =，8c ∴=，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b c B C =8sin C=，∴解得sin C =． 19．已知向量a，b 的夹角为120°，且||2a = ，||1b = ， （1）求a b在上的投影； （2）求|32|a b +．【解答】解：（1） 向量a，b 的夹角为120°，且||2a = ，∴a b 在上的投影为1||cos1202()12a ⋅°=−=−（2） 向量a，b 的夹角为120°，且||2a = ，||1b = ， ∴24a =，21b =1||||cos12021()12a b a b ⋅=⋅⋅°=⋅⋅−=−则222|32|941228a b a b a b +=++⋅⋅=∴|32|a b +20．如图，在三棱柱111ABC A B C −中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ； （Ⅱ）求证：面1ADC ⊥面11BCC B ．【解答】（Ⅰ）证明：连结1A C 交1AC 于点E ，则E 是1A C 的中点．…（2分） 连结DE ，D 是BC 的中点，1//DE A B ∴．…（4分） DE ⊂ 面1ADC ，1A B ⊂/面1ADC ， 1//A B ∴面1ADC ．…（6分）（Ⅱ）解：AB AC = ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥． 1C C ⊥ 面ABC ，1C C AD ∴⊥，AD ∴⊥面11BCC B ，…（8分）1C DC ∴∠就是二面角1C AD C −−的平面角，即160C DC ∠=°．…（9分） AD ⊥ 面11BCC B ，∴面1ADC ⊥面11BCC B ．21．如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=°，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明：PA BD ⊥；（Ⅱ）设2PD AD ==，求点D 到面PBC 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：因为60DAB ∠=°，2AB AD =，由余弦定理得BD =．…（1分）从而222BD AD AB +=，BD AD ∴⊥，…（3分）又由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，可得BD PD ⊥．…（4分） 所以BD ⊥平面PAD ．故PA BD ⊥．…（6分）（Ⅱ）解：作DE PB ⊥，垂足为E ． 已知PD ⊥底面ABCD ，则PD BC ⊥，由（Ⅰ）知BD AD ⊥，又//BC AD ，所以BC BD ⊥． 故BC ⊥平面PBD ，BC DE ⊥． 则DE ⊥平面PBC ．…（8分）由题设知，2PD =，则BD =4PB =，…（10分）根据DE PB PD BD ⋅=⋅，得DE =即点D 到面PBC …（12分）22．如图，在四棱锥P ABCD −中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点． （1）证明：直线BC ⊥平面PAC ；（2）若直线PB 与平面PAC P ACE −的体积．【解答】（1）证明：PC ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PC BC ∴⊥， 2AB ∴=，有1AD CD ==，AD DC ⊥且ABCD 是直角梯形，∴ACBC ==222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥， PC AC C = ，PC ⊂平面PBC ， BC ∴⊥平面PAC ．（2）解：由（1）知BC ⊥平面PAC ，BPC ∴∠即为直线PB 与平面PAC 所成角，∴sin BC BPC PB ∠=，∴PB =，则2PC =， ∴11111((12)2)22323P ACE p ACBV V −−==×××=。

河北省2022-2023学年高一上学期月考（12月）数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={x|x2−x−2>0}，则∁R A=( )A. {x|−1<x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|x<−1}∪{x|x>2}D. {x|x≤−1}∪{x|x≥2}2. 设a=3x2−x+1，b=2x2+x，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b3. 下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0,+∞)时，均有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0”的是( )B. f(x)=x2−4x+4A. f(x)=12(x)C. f(x)=2xD. f(x)=log124. 函数y=ln(2x−x2)的单调递增区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (−∞,1)D. (1,+∞)5. 对于某个与正整数n有关的命题P，若n=k(k∈N∗)时命题P成立可以推得n=k+1时命题P成立，则下列命题中必为真命题的是( )A. 若n=m+2(m∈N∗)时命题P不成立，则n=2m时命题P不成立B. 若n=2m(m∈N∗)时命题P不成立，则n=m+2时命题P不成立C. 若n =2m (m ∈N ∗)时命题P 不成立，则n =2m 时命题P 不成立D. 若n =2m(m ∈N ∗)时命题P 不成立，则n =2m 时命题P 不成立 6. 若方程2x +ln 1x−1=0的解为x 0，则x 0所在的大致区间是( ) A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)7. 计算(log 32+log 23)2−log 32log 23−log 23log 32的值为( ) A. log 26B. log 36C. 2D. 18. 已知f(x)是定义域为(−1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m −2)+f(2m −3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A. (1,53)B. (−∞,53)C. (1,3)D. (53,+∞)9. 已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A. f(x)=2xln|x|B. f(x)=2|x|ln|x|C. f(x)=1x 2−1D. f(x)=1|x|−1|x|10. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x =t(0≤t ≤a)经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y =f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。

立体几何与排列组合1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的六个面都是菱形，则D 1在面ACB 1上的射影是∆ACB 1的 （ ） A 重心 B 外心 C 内心 D 垂心2．长方体三条棱分别为a,b,c,若长方体所有的棱长度之和为24，一条对角线为5，体积为2，则cb a 111++等于 （ ） A411 B 114 C 211 D 112 3．已知，正四棱锥侧面是正三角形，设侧面与底面所成的二面角为1θ，相邻两侧面所成的二面角为2θ，则 （ ）A212θπθ-=B 2221θπθ-=C21θθ= D 221θθ=4．在北纬450圈上，有甲、已两地。

它们的经度分别为东经1400和西经1300，地球的半径是R ，则甲、已两地球面距离是 （ ） AR π21 B R π41 C R π23 D R π31 5．若三棱锥A －BCD 的侧面ABC 内一动点P 与底面BCD 的距离与到AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ）6．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA ， E ∈AB,F ∈CD 且AE ：EB =CF ：FD = λ （0＜ λ ＜1 ＝ 设EF 与AC 、BD 所成的角分别是 α 、 β ，则 α+β= （ ） A.大于90°B.小于90°C.等于90°D.与 λ 的值有关7.12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ） A ．2686C A B ．2283C AC ．2286C AD ．2285C A8.如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为 （ ）(A)96 (B) 84 (C) 60 (D)489、将5明志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 ( )A. 540B.300C.180D.15010.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案为（ ）A 100B 110C 120D 18011.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 （ ） （A ）24种 (B)36种 （C ）48种 （D ）72种 12. 若9290129(13)......x a a x a x a x -=++++，则129......a a a +++=13、若=+++++++++=-5432101223344555,)2(a a a a a a x a x a x a x a x a x 则_________；14．已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AA 1=AB=2，若棱AB 上存在点P ，使PC P D ⊥1，则棱AD 的长的取值范围是______15．已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 别是AC 、AD 上的动点，且).10(<<==λλADAF AC AE（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？16．在四面体ABCD 中，1,,,==⊥⊥⊥BC AB CD BC BD AB BC AB 且。

2019—2020学年度第一学期第三次月考试题高一数学（立体几何专题）本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若,,则B. 若,,,则C. 若,,,则D. 若,,则2.如图,是水平放置的的直观图,则的周长为( )A. B. C. D. 123.棱长为4的正方体的内切球的表面积为( )A. B. C. D.4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是（）A.B.C.D.5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）A. 2B.C.D.6.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A.B.C.D.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.8.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )．A.B.C.D.9.如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“2”所对的面是A. 1B. 7C. 快D. 乐10.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（）①若mα，nα，则m n；②若mα，mβ，则αβ；③若mα，m n，则n a；④若mα，mβ，则αβ．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个11.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A.B.C.D.12.一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6π+π，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为______．14.如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是______．15.已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．16.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF平面PAD；（Ⅱ）求证：EF平面PDC．18.如图，是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，．求证：平面平面；若，求几何体的体积V．19.如图，四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．求证：平面PCB；求点C到平面DEB的距离；求二面角的余弦值．20.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：（1）平面AMP平面BB1C1C；（2）A1N平面AMP．21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 4的菱形，PD=PB=4，∠BAD=60°，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC平面EBD；（Ⅱ）求证：平面EBD平面PAC；（Ⅲ）若PA=PC，求三棱锥C-ABE的体积．22.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，（1）求异面直线与的夹角；（2）求证：MN平面PAD；（3）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查两直线平行、两平面平行、线面垂直以及面面垂直的判定定理，属于基础题．根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，即可找出正确选项．【解答】解：A．错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面，B．错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面，C．错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交，D．正确，由mα，m n，得nα，又nβ，∴αβ．故选D.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查斜二侧画法,属于一般题,属于较易题.根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,∠AOB=90°,边长OB=4，OA=2O'A'=6，然后求三角形的周长即可．【解析】解：根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长OB=4，高OA=2O'A'=6，所以AB=2，∴直角三角形OAB的周长为10+2.故选A.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查正方体的内切球的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．棱长为4的正方体的内切球的半径r=2，由此能求出其表面积．【解答】解：棱长为4的正方体的内切球的半径r=2，表面积=4πr2=16π．故选C．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征与空间中直线与直线的位置关系及利用空间向量判定线线的垂直平行关系的知识点，考查了正方体的结构特征，空间线线位置关系及其判定方法，属于基础题．如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长=1．则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），∴=（-1，-1，1），=（-1，0，-1），∴=1+0-1=0，∴，因此不可能有BD1B1C，故选C．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，属于基础题．根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积S==6+4，故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了由三视图求体积的应用问题，是基础题目．根据已知中的三视图可分析出该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，结合图中数据，即可求出体积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，且正方体的棱长为2，正四棱锥的高为2；所以该组合体的体积为V=V正方体+V正四棱锥=23+×22×2=cm3．故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为：S几何体=π12+π×1×2+2×2=3π+4．故选D．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查异面直线AC与BD所成角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线AC与BD所成角是关键．分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF BD，EG AC，则∠FEG为异面直线AC与BD所成角．【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF,EG,FO,FG,GO,则EF BD，EG AC，OF AB，∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．因为AB平面BCD，BC、BD、OG在平面BCD内，则AB BC，AB BD，AB OG，则FO OG，设AB=2a，则EG=EF=a，FG==a，∴ 为等边三角形，即∠FEG=60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A．9.【答案】B【解析】【分析】根据已知中的正方体表面展开图，分析出三组相对的面，可得答案．本题考查的知识点是正方体的展开图，正方体的几何特征，难度不大，属于基础题．【解答】解：由已知中的正方体表面展开图可得：2和7对面，0和快对面，1和乐对面，故选：B10.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面与平面之间的位置关系，解答此类题，需要有较强的空间想像能力，能通过对题设条件的分析想像出所研究的线线、线面、面面之间的位置关系，作出正确判断，空间感知能力是立体几何的重要能力，可通过一些物体的实物图加深对空间几何体的认识由m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，①若mα，nα，则m n，可由线面平行时线与面内的线的位置情况进行讨论；②若mα，mβ，则αβ，可由两个平面平行于同一条直线，两面的可能的位置关系进行判断；③若mα，m n，则n a，可由线面的位置关系进行判断；④若mα，mβ，则αβ，可由垂直同一条直线的两个面的位置关系判断．【解答】解：①若mα，nα，则m n；此命题不正确，线面平行时，线与面内的线的位置关系有两种，平行或者异面；②若mα，mβ，则αβ；此命题不对，平行于同一直线的两个平面可能平行也可能相交；③若mα，m n，则n a；此命题不对，若mα，m n，则n与面α的关系可能是平行或n在面α内；④若mα，mβ，则αβ．此命题正确，垂直于同一条直线的两个平面一定平行综上知只有④正确故选B11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题目．根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥与半球体的组合体，结合图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆锥与半球体的组合体，且圆锥的高为2，底面圆的半径为1，球的半径也为1，圆锥的母线长为=3；所以，该几何体的表面积为S=S圆锥侧+S半球=π×1×3+2π×12=5π．故选B．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆柱、圆球、圆锥的三视图、体积与表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为圆锥、圆柱、半球．表面积为6π+π=+2πr×2r+2πr2，解得r．再利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为圆锥、圆柱、半球．表面积为6π+π=+2πr×2r+2πr2，解得r=1．∴该几何体的体积V=r2×r+πr2×2r+=3π．故选：D．13.【答案】96π【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题．根据侧面积计算圆锥的底面半径，根据勾股定理得出圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为rcm，则S侧=π×r×10=60π，解得r=6，∴圆锥的高h==8（cm），∴圆锥的体积V===96π（）．故答案为96π．14.【答案】【解析】【分析】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，再求解该角的余弦值．【解答】解：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∵A1C1AC，∴异面直线A1B与AC所成角为∠BA1C1，因为∠ACB=，AA 1=2，AC=BC=1，∴，，A1C1=1，∵，∴，∴ ，故答案为：.15.【答案】【解析】【分析】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=,在直角三角形POA中，PO===1,所以=••PO=×4×1=,故答案为．16.【答案】9π【解析】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．17.【答案】证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在CPA中，EF PA，且PA平面PAD，EF⊊平面PAD，∴EF平面PAD（Ⅱ）因为平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD AD，所以CD平面PAD，∴CD PA又PA=PD=AD，所以PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA PD而CD∩PD=D，∴PA平面PDC，又EF PA，所以EF平面PDC.【解析】（Ⅰ），要证EF平面PAD，只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接AC，EF为中位线，从而得证；（Ⅱ）要证明EF平面PDC，由第一问的结论，EF PA，只需证PA平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PA PD，只需再证明PA CD，而这需要再证明CD平面PAD，由于ABCD是正方形，面PAD底面ABCD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证．本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行．18.【答案】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC BC．因为AA1平面ABC，BC平面ABC，所以AA1BC，而AC∩AA1=A，所以BC平面AA1C．又BC平面BA1C，所以平面AA1C平面BA1C．（2）解：在Rt ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．【解析】（1）证明BC平面AA1C，即可证明平面AA1C平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1-ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明：∵PD平面ABCD，∴PD BC，又∵正方形ABCD中，CD BC，PD∩CD=D，∴BC平面PCD，又∵DE平面PCD，∴BC DE，∵PD=CD，E是PC的中点，DE PC，PC∩BC=C，∴DE平面PCB．（2）解：过点C作CM BE于点M，由（1）知平面DEB平面PCB，又平面DEB∩平面PCB=BE，∴CM平面DEB，∴线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，∵PD=AB=2，PD=AB=CD=2，∠PDC=90°，∴PC=2，EC=，BC=2，∴BE=，∴CM=．（3）解：以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），∴，，，，，，设平面BDE的法向量为，，，则，，∴ ，令z=1，得到y=-1，x=1，∴，，，又∵，，，，，，，，，且AC平面PDB，∴平面PDB的一个法向量为，，．设二面角E-BD-P的平面角为α，则cosα=|cos＜，＞|=||=．∴二面角E-BD-P的余弦值为．【解析】本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题．（1）由已知条件推导出PD BC，CD BC，由此得到BC平面PCD，从而能够证明DE平面PCB．（2）过点C作CM BE于点M，平面DEB平面PCB，从而得到线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，由此能求出结果．（3）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BD-P的余弦值．20.【答案】证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，M是BC的中点，∴AM BC，AM BB1，∵BC∩BB1=B，,∴AM平面BB1C1C，∵AM平面AMP，∴平面AMP平面BB1C1C．（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，∵M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点，∴NE BC1PM，A1E AM，∵PM∩AM=M，A1E∩NE=E，PM、AM平面APM，A1E、NE平面A1EN，∴平面A1NE平面APM，∵A1N平面A1NE，∴A1N平面AMP．【解析】（1）由已知条件推导出AM BC，AM BB1，从而AM平面BB1C1C，由此能证明平面AMP平面BB1C1C．（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，推导出平面A1NE平面APM，由此能证明A1N平面AMP．本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.【答案】解（Ⅰ）设AC∩BD=O，连接EO，∵E为PA中点，O为AC中点，∴EO PC．又∵EO平面EBD，PC⊄平面EBD，∴PC平面EBD．（Ⅱ）连接PO，∵PD=PB，O为BD中点，∴PO BD．又∵底面ABCD为菱形，∴AC BD．∵PO∩AC=O，PO,AC平面PAC，∴BD平面PAC．又∵BD平面EBD，∴平面EBD平面PAC．（Ⅲ）由题意知，O为AC中点，又PA=PC，故，由（Ⅱ)知PO BD，且，、平面ABC，∴平面ABC，而E是PA的中点，过E做面ABCD的垂线，垂足在AC上且与PO平行，等于PO的一半，V C-ABE=V E-ABC==．【解析】本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．（Ⅰ）设AC∩BD=O，连结EO，证明EO PC．即可证明PC平面EBD．（Ⅱ）连结PO，证明PO BD．AC BD．即可证明BD平面PAC，然后说明平面EBD 平面PAC．（Ⅲ）利用V C-ABE=V E-ABC，求解即可．22.【答案】解：(1)取PD中点T,连接AT,则AM TN,且AM=TN,∴四边形AMNT为平行四边形,∴MN AT,又BC AD,∴∠TAD即为异面直线MN与BC的夹角,∵,∴∠PAD=90°,即∠TAD=45°,故异面直线MN与BC的夹角为45°;(2)由(1)中的结论知MN AT，又∵AT在平面PAD内，MN不在平面PAD内，∴MN平面PAD；(3)Q是PB的中点时，平面MNQ平面PAD.∵M、N分别是AB、PC的中点，Q为PB的中点，∴MQ PA，且NQ AD，则MQ平面PAD，NQ平面PAD，且MQ∩NQ=Q，∴平面MNQ平面PAD，故当Q是PB的中点时，平面MNQ平面PAD.【解析】本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定，异面直线所成的角.(1)取PD中点T,连接AT,通过MN AT,知∠TAD即为异面直线MN与BC的夹角，即可求解;(2)由(1)知MN AT，根据直线与平面平行的判定定理可证得MN平面PAD；(3)Q是PB的中点时，平面MNQ平面PAD.利用线面平行的判定定理得到MQ平面PAD，NQ平面PAD，再利用面面平行的判定定理得到平面MNQ平面PAD.。

2023-2024学年高二数学上学期第一次月考（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量p在空间的的一组基底{}a b c ，，下的坐标是132( )，，，则p 在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标是（ ） A ．(422)−，， B ．(2 1 2)，，C ．(2 1 2)−，， D ．132( )，，2．已知直线AB ，BC ， 1BB 不共面，若四边形11BB C C 的对角线互相平分，且1123AC xAB yBC zCC =++，则x y z ++的值为（ ）A ．1B ．56C ．23D ．1163．已知直线()():2110l m x m y m ++−+−=，若直线l 与连接()1,2A −、()2,1B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（ ）A ．ππ,44 −B ．3π,π4C ．π3π,44D ．π3π0,,π44 ∪4．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN等于（ ）A ．111222a b c −++B ．111222a b c ++C ．111222a b c +−D ．111222a b c −+5．已知点(),a b 在线段()3410026x y x +−−≤≤上，则222a b +−的取值范围是（ ）A ．[]2,18B ．[]2,38C ．[]0,38D ．0,2 −6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D −所有棱长都为1，底面ABCD 为正方形，1160A AB A AD ∠=∠=°．则对角线1AC 的长度为（ ）AB C ．2 D7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPAλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，Q ，直线1:230l kx y k −++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（ ）A ．B ．6−C ．9−D ．38．已知点P 为直线l ：20x y +−=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．3310x y ++=B ．3310x y +−=C ．2210x y ++=D ．2210x y +−=二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得52分，有选错的得0分.9．下列选项正确的是（ ）A ．若直线l 的一个方向向量是(e =−，则直线l 的倾斜角是2π3B ．“1a =−”是“直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直”的充要条件 C ．“4a =−”是“直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行”的充要条件 D ．直线sin 20x y α−+=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44∪10．如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，,O P 分别是,AC SC的中点，M 是棱SD 上的动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．OM AP ⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30°D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值11．已知动直线m ：0x y λλ−+=和n ：320x y λλ+−−=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是（ ）A ．B 点的坐标为()3,2− B ．m n ⊥C ．PA PB ⋅的最大值为10D ．P 的轨迹方程为222230x y x y +−−−=12．已知曲线C O 为坐标原点，直线l 过()0,4和()4,0两点，P 为直线l 上一动点，过点P 作曲线C 的两条切线,,,PA PB A B 为切点，则（ ）A ．点P 与曲线C 上点的最小距离为B ．线段PA 长度的最小值为C ．PA PB ⋅的最小值为3D ．存在点P ，使得PAB 的面积为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥；②若点P 在线段1AA 上运动，则过P ，B ，1D ③若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC −体积为定值； ④若点P 在线段1A B 上运动，则1AP PD +． 其中所有正确结论的序号有 ．14．如图，在平面直角坐标系中，以点()1,0F为圆心作半径为1的圆，点B ，C 为圆F 上的动点，且BC =点()2,1E 为一定点，倍长EB 至D ，则线段CD 的最大值为 ．15．已知,,A B D 三点在圆22:(2)36C x y ++=上，ABD △的重心为坐标原点O ，则ABD △周长的最大值为 .16．已知圆()()22:522P x y −+−=，直线:l y ax =，点(5,2M ，点(),A s t .给出下列4个结论： ①当0a =时，直线l 与圆P 相离； ②若直线l 是圆P 的一条对称轴，则25a =； ③若直线l 上存在点A ，圆P 上存在点N ，使得90MAN ∠=°，则a 的最大值为2021；④N 为圆P 上的一动点，若90MAN ∠=°，则t 其中所有正确结论的序号是 .四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AP 的长为2，且AP 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 在棱PC 上，12PM MC = ，设AB a=，AD b =，AP c = ．(1)试用a ，b ，c表示出向量BM ；(2)求BM 与AP所成的角的余弦值．18．（12分）如图，已知ABC 的顶点为()1,1A −，()1,3B −，()3,0C ，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的平分线．(1)求高AD 所在直线的方程；(2)求AE 所在直线的方程．（提示：在AB上取与AC 长度相等的向量1AB ，则11AE AB AC =+ 的方向就是AE的方向．）19．（12分）已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .(1)设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；(2)若直线BE 与平面ABC 所成的角为60 ，求二面角B AD C −−的余弦值．20．（12分）如图，已知圆22:10100C x y x y +++=，点()0,6A .(1)求圆心在直线y x =上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧 PQ恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程.21．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，12,,CC D E =分别是线段1,AC CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .(1)求证：1A C⊥平面BDE；(2)若点F为棱11B C的中点，求点F到平面BDE的距离；(3)若点F为线段11B C上的动点（不包括端点），求锐二面角F BD E−−的余弦值的取值范围.22．（12分）已知圆W经过(3,3),(2,A B C−三点．(1)求圆W的方程．(2)已知直线l与圆W交于M，N（异于A点）两点，若直线,AM AN的斜率之积为2，试问直线l是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．.2023-2024学年高二数学上学期第一次月考（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量p在空间的的一组基底{}a b c ，，下的坐标是132( )，，，则p 在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标是（ ） A ．(422)−，， B ．(2 1 2)，，C ．(2 1 2)−，， D ．132( )，，【答案】C【分析】设p的坐标为( )x y z ，，，得到32()()a b c x y a x y b zc ++=++−+ ，求得,,x y z 的值，即可求解. 【详解】因为p在基底{}a b c ，，下的坐标是132( )，，，所以32p a b c =++ ， 设p在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标为( )x y z ，，， 则()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+，因此32()()a b c x y a x y b zc ++=++−+，所以132x y x y z +=−==，，， 即212x y z ==−=，，， 即向量p在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标为(2 1 2)−，，． 故选：C ．2．已知直线AB ，BC ， 1BB 不共面，若四边形11BB C C 的对角线互相平分，且1123AC xAB yBC zCC =++，则x y z ++的值为（ ）A ．1B ．56C ．23D ．116【答案】D【分析】由题意{}1,,AB BC CC为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解.【详解】由题意，知AB，BC ，1BB 不共面，四边形11BB C C 为平行四边形，11CC BB = ，{}1,,AB BC CC ∴为空间的一组基底.1AC AB BC =++ 1CC ，又1123AC xAB yBC zCC =++，231x y z ∴，1x ∴=，12y =，13z =，116x y z ∴++=.故选：D.3．已知直线()():2110l m x m y m ++−+−=，若直线l 与连接()1,2A −、()2,1B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（ ）A ．ππ,44 −B ．3π,π4C ．π3π,44D ．π3π0,,π44 ∪【答案】D【分析】先求出直线l 所过定点P 的坐标，数形结合可求出直线l 的斜率的取值范围，即可得出直线l 的倾斜角的取值范围.【详解】直线l 的方程可化为()()1210m x y x y +++−−=，由10210x y x y ++= −−= ，可得01x y = =− ，所以，直线l 过定点()0,1P −，设直线l 的斜率为k ，直线l 的倾斜角为α，则0πα≤<， 因为直线PA 的斜率为()12101−−−=−−，直线PB 的斜率为11102−−=−， 因为直线l 经过点()0,1P −，且与线段AB 总有公共点，所以11k −≤≤，即ta 11n α−≤≤， 因为0πα≤<，所以π04α≤≤或3ππ4α≤<， 故直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44∪．故选：D ．4．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN等于（ ）A ．111222a b c −++B ．111222a b c ++C ．111222a b c +−D ．111222a b c −+【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =−=+−=−++， 故选：A.5．已知点(),a b 在线段()3410026x y x +−−≤≤上，则222a b +−的取值范围是（ ）A ．[]2,18B ．[]2,38C ．[]0,38D ．0,2 −【答案】B【分析】将问题化为求原点到线段上点距离的平方的范围，进而求目标式的距离. 【详解】由()3410026x y x +−−≤≤的图象如下，又(),a b 是上图线段上的一点，且22b +为原点到该线段上点距离的平方， 上述线段端点分别为(2,4),(6,2)−−，到原点距离的平方分别为20,40，由图知：原点到线段的距离2d =，则24d =， 综上，22[4,40]a b +∈，故222[2,38]a b +−∈.故选：B6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D −所有棱长都为1，底面ABCD 为正方形，1160A AB A AD ∠=∠=°．则对角线1AC 的长度为（ ）AB C ．2 D【答案】B【分析】利用基底法求解即可.【详解】由题知11AC AB AD AA =++，所以()2211AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AD AA AA AB=+++⋅+⋅+⋅ 2221112cos902cos 602cos 60AB AD AA AB AD AD AA AA AB =+++⋅+⋅+⋅1110115=+++++=，1AC . 故选：B.7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPAλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，Q ，直线1:230l kx y k −++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（ ）A ．B ．6−C ．9−D ．3【答案】A【分析】由直线方程可得12l l ⊥，则点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，得到P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠−，即()22453x y x y ++=≠−)3y ≠−，取5,02A ，则32PQ PA =，结合，可得()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥，进而求解. 【详解】由已知1:230l kx y k −++=过定点()2,3C −， 2:320l x ky k +++=过定点()2,3D −−，因为1l k k =，21l k k=−，所以121l l k k ⋅=−，即12l l ⊥， 所以点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，故圆心为()2,0−，半径为3，则P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠−，即()22453x y x y ++=≠−，易知O 、Q 在该圆内，又32PO =即)332PO y =≠−，取5,02A，则32PO PA =，又所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ+=+=+≥=所以32PO PQ +的最小值为故选：A.8．已知点P 为直线l ：20x y +−=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．3310x y ++=B ．3310x y +−=C ．2210x y ++=D ．2210x y +−=【答案】A【分析】先利用圆切线的性质推得,,,A P B C 四点共圆，AB CP ⊥，从而将PC AB ⋅转化为2PA ，进而确定PC l ⊥时PC AB ⋅取得最小值，再求得以PC 为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】因为圆C ：2220x x y ++=可化为()2211x y ++=， 所以圆心()1,0C −，半径为1r =，因为PA ，PB 是圆C 的两条切线，则,PA AC PB BC ⊥⊥，由圆的知识可知，,,,A P B C 四点共圆，且AB CP ⊥，PA PB =，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==×××= ，又所以当PC 最小，即PC l ⊥时，PC AB ⋅取得最小值，此时PC 的方程为1y x =+，联立120y x x y =+ +−=，解得13,22x y ==，即13,22P， 故以PC 为直径的圆的方程为13(1)022x x y y−++−=，即，221031222x x y y +−+=−， 又圆22:20C x x y ，两圆的方程相减即为直线AB 的方程：3310x y ++=. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将PC AB ⋅转化为2PA ，从而确定PC AB ⋅最小时P 的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列选项正确的是（ ）A ．若直线l 的一个方向向量是(e =−，则直线l 的倾斜角是2π3B ．“1a =−”是“直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直”的充要条件 C ．“4a =−”是“直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行”的充要条件 D ．直线sin 20x y α−+=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44∪【答案】ACD【分析】A 项，通过求直线l 的斜率，即可得出直线l 的倾斜角；B 项，讨论1a =−时直线210a x y −+=与直线20x ay −−=是否垂直，以及直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直时a 的值，即可得出结论；C 项，讨论4a =−时直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=是否平行，以及直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行时a 的值，即可得出结论；D 项，通过求出直线的斜率，即可求出倾斜角θ的取值范围.【详解】对于A 项，在直线l 中，一个方向向量是(e =− ，则直线l 的斜率为k ==∴直线l 的倾斜角是2π3，A 正确； 对于B 项，当1a =−时，直线210a x y −+=与直线20x ay −−=变为：10x y −+=与20x y +−= 显然垂直，充分性成立.当直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直时，()210a a −⋅−= 解得：1a =−或0a =，必要性不成立，故B 错误；对于C 项，当4a =−时，直线210ax +−=与直线820x ay a ++−=化为：4210x y −+−=与8460x y −+= 即122y x =+与322y x =+，两直线平行，充分性满足要求. 若直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行 ()28122a a a a ⋅=×−≠−，解得：4a =−，必要性成立，故C 正确； 对于D 项，在直线sin 20x y α−+=中，该直线的斜率为[]sin 1,1k α=∈− 故倾斜角θ范围为π3π0,,π44∪.故D 正确.故选：ACD.10．如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，,O P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．OM AP ⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30°D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意可知,,AB AD AS 两两相互垂直，以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设2ABAD AS ===， ()()()()0,0,2,2,2,0,1,1,1,1,1,0S C P O ，设()0,,2M t t −，()1,1,2OM t t =−−− ，所以1120OM AP t t ⊥=−+−+−=，所以OM AP ⊥，A 选项正确.点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为22t t −+=为定值，D 选项正确. ()2,0,0B ，()()2,0,2,0,2,0SB BC =−=，设平面SBC 的法向量为(),,n x y z =，则22020n SB x z n BC y ⋅=−= ⋅== ，故可设()1,0,1n = ，要使//OM 平面SBC ，OM ⊄平面SBC ， 则()()1,1,21,0,11210OM n t t t t ⋅=−−−⋅=−+−=−=， 解得1t =，所以存在点M ，使//OM 平面SBC ，B 选项正确.若直线OM 与直线AB 所成角为30°，则cos30， 23970,8143730tt −+=∆=−××=−<，无解，所以C 选项错误. 故选：ABD11．已知动直线m ：0x y λλ−+=和n ：320x y λλ+−−=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是（ ）A ．B 点的坐标为()3,2− B ．m n ⊥C ．PA PB ⋅的最大值为10D ．P 的轨迹方程为222230x y x y +−−−=【答案】BC【分析】根据直线方程求出定点,A B 的坐标，判断A ，证明直线,m n 垂直，判断B ，再结合222PA PB AB +=判断C ，D.【详解】直线m 的方程0x y λλ−+=可化为()1y x λ=+， 所以直线m 过定点()1,0−，直线n 的方程320x y λλ+−−=可化为()320x y λ−+−=， 所以直线n 过定点()3,2，所以点A 的坐标为()1,0−，点B 的坐标为()3,2，所以A 错误，由已知()110λλ×+−×=， 所以直线m 与直线n 垂直，即m n ⊥，B 正确， 因为PA PB ⊥，所以222PA PB AB +=， 故()()2222312020PA PB +=++−=，所以22102PA PBPA PB +⋅≤=C 正确；因为PA PB ⊥，故222PA PB AB +=， 设点P 的坐标为(),x y ，则()()()222213220x y x y +++−+−=， 化简可得222230x y x y +−−−=， 又点()12−，不是直线,m n 的交点，点()12−，在圆上， 故点P 的轨迹为圆222230x y x y +−−−=除去点()12−，，D 错误； 故选：BC.12．已知曲线C O 为坐标原点，直线l 过()0,4和()4,0两点，P 为直线l 上一动点，过点P 作曲线C 的两条切线,,,PA PB A B 为切点，则（ ）A ．点P 与曲线C 上点的最小距离为B ．线段PA 长度的最小值为C ．PA PB ⋅的最小值为3D ．存在点P ，使得PAB 的面积为3 【答案】CD【分析】设点(),C x y 求得222x y +=，由圆的性质，取得点P 与曲线C可判定A 不正确；由PA =求得PA 可判定B 错误；设OP t =，在直角三角形POA中，求得cos APO ∠=2286PA PB t t ⋅=+− ，结合函数的单调性，可判定C 正确.结合C 选项求出PAB 面积的最小值可判断D.【详解】对于A (),C x y ，则222x y +=，可得曲线C 的轨迹为圆.方程为直线l ： 40x y +−=，圆心O 到直线l =则点P 与曲线C 上点的最小距离为，故A 错误；对于B ，由图可知，在直角三角形POA 中，PA PB ==，要使得线段PA 的长度最小，则OP 取最小值，由选项A 可知，PA B 错误；对于C ，设,OP t t =≥PA PB =在直角三角形POA 中，cos PA APO OP ∠=2APB APO ∠=∠，所以2222224cos 2cos 121t t APB APO t t−−∠=∠−=⋅−=，所以2cos cos PA PB PA PB APB PA APB ⋅=∠=∠ ()24222222468826t t t t t t t t−−+=−⋅==+−令()2286g t t t =+−，又t ≥28t ≥，又函数8y x x =+在区间[)8,+∞上单调递增，所以()(min 88638g t g ==+−=，即PA PB ⋅ 的最小值为3，故C 正确；对于D ，由切线长定理知，直线OP 垂直平分线段AB ，得2222PA OA AB OP ×=×==≥当且仅当OP 与直线l 垂直时取等号，即弦AB .此时OP =，设AB 的中点为M ，则cos OA OM OA AOM OA OP =⋅∠=⋅==所以PM OP OM =−所以PAB 的面积的最小值为123<，S PAB >PAB 的面积所以存在点P ，使得PAB 的面积为3，故D 正确. 故选：CD.【点睛】关于切线长最小值问题，本题中是把切弦长问题根据勾股定理转化为圆心到直线的距离最短问题进行解决.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥；②若点P 在线段1AA 上运动，则过P ，B ，1D ③若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC −体积为定值； ④若点P 在线段1A B 上运动，则1AP PD +． 其中所有正确结论的序号有 ． 【答案】①③④【分析】由1CB ⊥平面11AC D 判断①；由向量法判断②；由等体积法判断③；将1AA B 与四边形11A D CB 沿1A B 展开在同一平面上，由余弦定理得出1AP PD +的最小值.【详解】对于①：如下图，连接1A D ，所以11B C A D ，又11A D AD ⊥，所以11B C AD ⊥， 因为11C D ⊥平面11BCC B ，所以111C D CB ⊥，由线面垂直的判定可知，1CB ⊥平面11AC D ，因为1C P ⊂平面11AC D ，所以11C P CB ⊥，故①正确；对于②：在1C C 上取一点1P ，使得[]11,0,1APC P a a ==∈，连接1111,,,D P PB PD PB ， 易知11PB D P ∥，且11PB D P =，即11,,,P B D P 四点共面，即过P ，B ，1D 三点的截面为截面11PBD P . 以点D 为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：()()()()111,1,0,0,0,1,1,0,,0,1,1B D P a P a −，1D (1,1,1),(0,1,)B BP a =−−=−|BP =11BP BD a ⋅=+，所以截面11PBD P 的面积为1112||sin BPD S S BP BD PBD ==∠=△=，当12a =时，P ，B ，1D ②错误； 对于③：如下图，由已知得11B C A D ，所以直线1A D 上所有点到平面1B CD的距离相等，又11D BPC P BDC V V −−=，而1BDC S 是一个定值，所以三棱锥1D BPC −体积为定值，故③正确；对于④：如下图，将1AA B 与四边形11A D CB 沿1A B 展开在同一平面上，由图可知，线段 1AD 的长度即为1AP PD +的最小值，在11AA D 中，1AD =④正确；故答案为：①③④【点睛】方法点睛：本题考查空间中的动点问题，解决此类问题时，常需证明线线，线面，面面间的平行和垂直关系，从而得出点运动中，存在的不变的位置关系，存在着面积或体积的定值.14．如图，在平面直角坐标系中，以点()1,0F为圆心作半径为1的圆，点B ，C 为圆F 上的动点，且BC =点()2,1E 为一定点，倍长EB 至D ，则线段CD 的最大值为 ．【分析】设()cos 1,sin B θθ+，结合题目条件可表示D ，C 点坐标，后由两点间距离公式结合辅助角公式可得答案.【详解】设()cos 1,sin B θθ+[)()0,2πθ∈，因()2,1E ，倍长EB 至D ，则D ，E 中点为B ，则()2cos ,2sin 1D θθ−.又BC F 半径为1，则o 90BFC ∠=，得ππcos 1,sin 22C θθ +++，即()1sin ,cos C θθ−.，其中1tan 3ϕ=，则当3π2θϕ+===.+15．已知,,A B D 三点在圆22:(2)36C x y ++=上，ABD △的重心为坐标原点O ，则ABD △周长的最大值为 .【答案】12+【分析】根据已知条件发现2OC =，且O 点到圆与x 轴的正半轴交点的距离为4，正好是1:2的关系，而三角形的重心是中线的三等分点，所以不妨认为圆与x 轴的正半轴交点是三角形的一个顶点，从而可知另两个顶点正好是圆的直径的两个端点，从而可以得到三角形三边的关系，进而借助基本不等式求出结果.【详解】由圆22:(2)36C x y ++=得圆心(2,0)C −，半径圆6r =， 如图，不妨设点A 在x 轴的正半轴上，由于ABD △的重心为坐标原点O ，且42AO CO ==, 所以BD 为圆C 的直径，所以2212,144BD AB AD =+=，≤，当且仅当6AB AD ==时取等号，所以ABD △周长的最大值为12+故答案为：12+16．已知圆()()22:522P x y −+−=，直线:l y ax =，点(5,2M ，点(),A s t .给出下列4个结论： ①当0a =时，直线l 与圆P 相离； ②若直线l 是圆P 的一条对称轴，则25a =； ③若直线l 上存在点A ，圆P 上存在点N ，使得90MAN ∠=°，则a 的最大值为2021；④N 为圆P 上的一动点，若90MAN ∠=°，则t 其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②④【解析】对于①：0a =，:0l y =，圆心()5,2l 与圆P 相离；对于②：若直线l 圆P 的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理，90MQP ∠=°，设QMP α∠=.得到22PA ≥≥，但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④：N 为圆P 上的一个动点.若90MAN ∠=°，设()00,,Q x y QMP α∠=，利用参数方程解决即可.【详解】对于①：当0a =时，直线:0l y =，圆心()5,2l 与圆P 相离，故表述①正确； 对于②：若直线l 圆P 的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故202505a −=−，故表述②正确； 本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：设MN 的中点为Q ，以MN 为直径作圆Q ，连接,,,PQ QA PA PM ．则 90 MAN A Q QA QM ∠=°⇔⇔=在圆上对于③：由垂径定理，90MQP ∠=°，设QMP α∠=.一方面，若90MAN ∠=°，则2PA PQ QA PQ QM αα≤+=+=+≤.当且仅当45α=°，且,,P Q A 三点共线时，等号成立，此时直线PA 的斜率为1−. 另一方面，当2021a =时，直线:210l x y −=.故点P 到直线l 的距离2d .此时2PA d ≥=. 当且仅当A 为点P 在直线l 上的射影时等号成立，此时直线PA 的斜率为2120−. 对比发现，22PA ≥≥，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误.对于④：N 为圆P 上的一个动点.若90MAN ∠=°，设()00,,Q x y QMP α∠=，则00t y QA y α≤+=.注意到202sin 2y PQ αα=+，故2212cos 2t ααα ≤−≤当且仅当60α=°且点A 在点Q 正上方时，等号成立.故表述④正确. 故答案为：①②④.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意图是解决问题的关键.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AP 的长为2，且AP 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 在棱PC 上，12PM MC = ，设AB a=，AD b =，AP c = ．(1)试用a ，b ，c表示出向量BM ；(2)求BM 与AP所成的角的余弦值．【答案】(1)212333BM a b c =−++【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用a ，b ，c 表示向量BM的式子； （2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可．【详解】（1）因为12PM MC = ，则23BM BC CM BC CP =+=+，因为ABCD 是边长为1的正方形，则()CP AP AC AP AB AD AP AB AD =−=−+=−−，且BC AD = ，可得()22123333BM AD AP AB AD AB AD AP =+−−=−++， 又因为AB a =，AD b = ，AP c = ，所以212333BM a b c =−++. （2）由题意可知：1a b == ，2c = ，c 与a 、b 的夹角均为60°，a 与b的夹角为90°，则22222212414484333999999BM a b c a b c a b a c b c =−++=++−⋅−⋅+⋅4148417412cos 6012cos 60999999++×−××°+××°，又因为2212212333333BM AP a b c c a c b c c ⋅=−++⋅=−⋅+⋅+212712cos 6012cos 6043333=−××°+××°+×=，设BM 与AP 所成的角为θ，所以cos θ 18．（12分）如图，已知ABC 的顶点为()1,1A −，()1,3B −，()3,0C ，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的平分线．(1)求高AD 所在直线的方程；(2)求AE 所在直线的方程．（提示：在AB上取与AC 长度相等的向量1AB ，则11AE AB AC =+ 的方向就是AE的方向．）【答案】(1)4370x y −−=； (2)340x y −−=.【分析】（1）求出直线BC 的斜率，由垂直关系求出直线AD 的斜率，并求出其方程作答.（2）求出与AB同向且长度等于||AC 的向量1AB ，再求出11AE AB AC =+ 即得直线AE 的方向向量，再求出直线方程作答.【详解】（1）依题意，直线BC 的斜率303134BC k −==−−−，于是BC 边上高AD 所在直线的斜率43AD k =， 所以直线AD 方程为41(1)3y x +=−，即4370x y −−=. （2）依题意，(2,1),(2,4)AC AB − ，在向量AB方向上取1AB ，使1||||AB AC = ，而|||AC AB =1||1(1,2)2||AC AB AB AB AB −，令11(1,3)AE AB AC =+= ， 显然1AE 平分BAC ∠，于是BAC ∠的平分线AE 所在直线的方向向量为(1,3)，即直线AE 的斜率为3， 所以直线AE 的方程为13(1)y x +=−，即340x y −−=. 19．（12分）已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC.(1)设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；(2)若直线BE 与平面ABC 所成的角为60 ，求二面角B AD C −−的余弦值． 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ； （2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =，平面ADB 的法向量()n = ，再利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接EF ，OF ，∵在DAC △中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =. 又//DE AB ，2AB DE =，∴//OF DE ，且OF DE =. ∴四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，∴EF ⊥平面ABC .（2）∵DO ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂ABC 平面，所以,DO AC DO BC ⊥⊥， 又因为AC BC ⊥，所以,,DO AC BC 三者两两互相垂直，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C −，()1,4,0B −.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面60EBF ∠=.∴tan 60DO EF BF ===∴(0,0,D .可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =，设平面ADB 的法向量(),,n x y z = ，()2,4,0AB =−，(1,0,AD =−，则2400x y x −+=−+=，取1z =，则x =y =∴()n = ，∴cos ,m n mn m n⋅==，∴二面角B AD C −−20．（12分）如图，已知圆22:10100C x y x y +++=，点()0,6A .(1)求圆心在直线y x =上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧 PQ恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程. 【答案】(1)()()223318x y −+−=(2)0x =或48553300x y −+=【分析】（1）通过求圆N 的圆心和半径来求得圆N 的方程.（2）首先判断出CP CQ ⊥，求得C 到直线m 的距离，对直线m 的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】（1）由22:10100C x y x y +++=， 化为标准方程：()()225550x y +++=. 所以圆C 的圆心坐标为()5,5C −−， 又圆N 的圆心在直线y x =上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(),a a ，解得3a =，所以圆N 的圆心坐标为()3,3，半径r =故圆N 的方程为()()223318x y −+−=.（2）因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP CQ ⊥.所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴， 所以此时直线m 的方程为0x =.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为6y kx =+， 即60kx y −+=.5，解得4855k =. 所以此时直线m 的方程为486055x y −+=， 即48553300x y −+=，故所求直线m 的方程为0x =或48553300x y −+=.【点睛】求圆的方程，有很多方法，一是求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；一是根据圆所过的三个点，设出圆的一般方程，然后列方程组来求解；一是利用相关点代入法进行求解.求解直线和圆的位置关系有关题目时，要注意直线的斜率是否存在.21．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，12,,CC D E =分别是线段1,AC CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；(3)若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角F BD E −−的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(3)12【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证11,BD A C DE A C ⊥⊥，从而得证；法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面BDE 的一个法向量，证明其与1A C 平行，从而得证； （2）利用空间向量法求点到面的距离；（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.【详解】（1）法一：连结1AC ，因为ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，BD AC ∴⊥， 又1C D ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，1C D BD ∴⊥11,,AC C D D AC C D ∩=⊂ 平面11AAC CBD ∴⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面111,AAC C BD AC ∴⊥， 由题设知四边形11AAC C 为菱形，11AC AC ∴⊥， ,D E 分别为1,AC CC 中点，11,DE AC AC DE ∴∴⊥∥， 又BD DE D ∩=，,,BD DE D BD DE =⊂ 平面1,BDE AC ∴⊥平面BDE . 法二：由1C D ⊥平面ABC ，AC BD ⊂，平面ABC ，11AC C D BD C D ∴⊥⊥，，又ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，则以D 为坐标原点，1,,DB DA DC所在直线为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则())()((11110,0,0,,0,1,0,,0,,,0,,2D B C C E B A −−)1,0,,2DB DE ∴==−(10,3,A C =−11·0,?0DB AC DE AC ==∴11,BD A C DE A C ⊥⊥ 又BD DE D ∩=，,,BD DE D BD DE =⊂ 平面1,BDE AC ∴⊥平面BDE . 法三：（同法二建系）设平面BDE 的一个法向量为(),,m x y z =00DB m DE m ⋅= ⋅=，即0102y z = −= 不妨取1z =，则y =()m =所以平面BDE的一个法向量为()m =(10,3,A C =−，1AC ∴ ，1//AC m ∴ ，∴1A C ⊥平面BDE （2）由（1）坐标法得12F ，平面BDE的一个法向量为()m =（或(1m CA ==）12DF = ∴点到F 到平面BDE 的距离=m DFm⋅=（3）)(111,C B CA =设()111,,,(01)F x y z C F C B λλ=<<，则(),,,,0x y z λ，,,,,,x y z FDF λλλ∴===∴∴=；由（1）知：1A C ⊥平面,BDE ∴平面BDE的一个法向量(1m CA ==（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；设平面FBD 的法向量(),,n a b c =，则00DB n DF n a b λ ⋅=⋅=+，令b =()0,,a c n λλ==−∴=− ；cos ,m n m n m n ⋅∴==⋅令()32,3t λ−=∈，则3t λ=−cos ,m n ∴=211112611,,1,1,cos ,3232m n t t t∈∴−+∈∴∈ ， 即锐二面角F BD E −−的余弦值的取值范围为12 .22．（12分）已知圆W经过(3,3),(2,A B C −三点． (1)求圆W 的方程．(2)已知直线l 与圆W 交于M ，N （异于A 点）两点，若直线,AM AN 的斜率之积为2，试问直线l 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】(1)2260x y x +−=(2)直线l 经过定点，该定点的坐标为(3,9)−【分析】（1）设出圆W 的一般方程，代入,,A B C 的坐标，由此求得正确答案.（2）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由直线,AM AN 的斜率之积列方程，化简求得定点坐标.【详解】（1）设圆W 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3318021202120D E F D F D F +++= +++=−++=，解得600D E F =−= = 则圆W 的方程为2260x y x +−=． （2）若直线l 的斜率不存在，则设直线l 的方程为()()00000,,,,xx M x y N x y −，则000033233AM AN y y k k x x −−−⋅=⋅=−−，整理得()2200239x y −+=． 又()220039x y −+=，解得03x =，所以直线l 的方程为3x =，此时l 经过点(3,3)A ，不符合题意． 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为()()1122,,,,ytx b M x y N x y =+， 联立方程组2260y tx b x y x =+ +−= ，整理得()2221(26)0t x tb x b ++−+=， 则2212122262424360,,11tb b b tb x x x x t t −∆=−−+>+==++． ()()()()1212121233333333AMAN tx b tx b y y k k x x x x +−+−−−⋅=⋅=−−−−()()2212121212(3)6939t x x tb t x x b b x x x x +−++−+=−++22229618692969t b tb t b t b tb ++−−+=++−， 则2296186270t b tb t b ++++−=，整理得2(3)6(3)27(39)(33)0t b t b t b t b +++−=+++−=， 解得39b t =−−或33b t =−+． 当33b t =−+时，直线2l 的方程为33y tx t =−+， 此时直线l 经过点(3,3)A ，不符合题意，故舍去．所以39b t =−−， 故直线l 的方程为39y tx t =−−，即(3)9y t x =−−，经过定点(3,9)−． 综上所述，直线l 经过定点，且该定点的坐标为(3,9)−．【点睛】求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；另一种思路是设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，然后根据已知条件求得,,DE F ，从而求得圆的一般方程.。