立体几何中的排列组合问题解法举隅(优.选)

例析立体几何中的排列组合问题春晖中学过月圆在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。

立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。

立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。

1 点1．1 共面的点例1（1997年全国高考（文））四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）A．30种 B．33种 C．36种 D．39种解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。

点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。

所以与点A共面的四点组合共有个。

答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。

1．2 不共面的点例2（1997年全国高考（理））四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A．150种 B．147种 C．144种 D．141种解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。

答案：D。

点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对 B．24对 C．30对 D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。

例析立体几何中的排列组合问题过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。

立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。

立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。

1 点1．1 共面的点11997年全国高考（文））（例A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点，每个面上的个顶点，个点共面。

点条棱有34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333点与这条棱对棱的中点共面。

条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在A共面的四点组合共有个。

所以与点B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的算在内。

1．2 不共面的点21997年全国高考（理））（例104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141种．种．种．种．410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。

形，它的个顶点共面，有以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。

D答案：。

点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。

排列组合问题的解决方法排列组合问题是数学中的一个重要概念，也是许多实际问题中常见的一种情况。

在解决排列组合问题时，我们需要运用一定的方法和技巧，以得到准确的答案。

本文将介绍一些常见的解决排列组合问题的方法。

一、排列问题的解决方法排列是从若干个元素中选取一部分进行排序的问题。

在解决排列问题时，我们可以运用以下方法：1.全排列法：全排列法适用于待排元素个数较少的情况。

通过穷举待排元素的所有可能排列，我们可以得到准确的答案。

但当待排元素个数较多时，全排列法的计算量会变得非常大，不适用于实际问题。

2.递归法：递归法是解决排列问题的常用方法之一。

通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到排列问题的解。

递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。

3.数学公式法：对于一些特殊的排列问题，我们可以运用数学公式来求解。

比如，计算从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，可以使用排列组合公式P(n,m) = n! / (n-m)!来计算。

二、组合问题的解决方法组合是从若干个元素中选取一部分进行组合的问题。

在解决组合问题时，我们可以运用以下方法：1.枚举法：枚举法是解决组合问题的常用方法之一。

通过枚举待选元素的所有可能组合，我们可以得到准确的答案。

但同样地，当待选元素个数较多时，枚举法的计算量会非常大。

2.递归法：递归法同样适用于解决组合问题。

通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到组合问题的解。

递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。

3.数学公式法：对于一些特殊的组合问题，我们可以运用数学公式来求解。

比如，计算从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数，可以使用排列组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。

三、排列组合问题的综合应用在实际问题中，排列组合常常与其他数学概念和方法相结合，以解决更为复杂的问题。

排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。

排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。

以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。

2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。

3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。

4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。

根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。

5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。

根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。

6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。

通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。

7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。

通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。

8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。

解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。

通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。

同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。

排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。

例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。

2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。

例谈立体几何中的排列组合概率问题张世林谭升平在近几年的高考试题中，出现了以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题。

这类问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强，往往作为高考选择填空题的压轴题。

它不仅考查了相关的基础知识，而且还注重对数学思想方法及数学能力的考查。

一、共面问题：分类讨论例1. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个解析：平面α可以分为两类：一类是在平面α的两侧各有两个点；另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点。

如图1，设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面α满足题意，这样的平面有4个；又过E、F、H、M的平面α也满足题意，这样的平面有3个。

故适合题设的平面α共有7个，应选D。

图1例2. 在四棱锥P�ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有（）种。

A. 40B. 48C. 56D. 62解析：如图2，满足题设的取法可分为三类：（1）在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有（种）不同的取法；（2）在两个对角面上除点P外任取3点，共有（种）不同的取法；（3）过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有（种）不同的取法。

故不同的取法共有（种）。

点评：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类既不重复，也不遗漏。

在例2中，最容易漏掉的是第（3）类，最易重复的也是第（3）类。

二、异面问题：灵活转化例3. 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A. 18对B. 24对C. 30对D. 36对解析：大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成（个）三棱锥，则共有36对异面直线。

故选D。

点评：利用熟知的立体图形来灵活转化，是处理异面直线配对问题的常用方法。

排列组合问题的几种巧解方法排列组合应用问题是历年高考必考题目，因其内容比较抽象、题型繁多、灵活多变、解题方法独特，与学生原有解题经验甚不相同，而成为高中数学教学的一个难点。

但只要我们认真审题，明确题目属于排列还是组合问题，或是排组混合问题，抓住问题本质特征，把握基本思想，灵活应用基本原理，注意讲究一些基本策略和方法技巧，善于分类讨论，适当转化，就能开拓思路，化难为易，使问题迎刃而解。

求解排列组合问题除了掌握两个基本原理(加法原理和乘法原理)外，没有现成的方法可套，只能根据具体问题灵活采用各种技巧。

本文就此通过一些实例介绍一下解决此类问题的一些常见的技巧。

一、对等法。

在有些问题中，某种限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一，在求解中只要求出全体，就可以得到所求。

例如：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。

并且也避免了问题的复杂性。

解：不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。

二、插入法。

对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素后的空档之中即可。

例如：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。

所涉及问题是排列问题。

解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。

根据乘法原理，共有的不同坐法为种。

例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。

评注：一般地: n 站成一排,其中某m 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有N MM N M M A A --种排法。

练习：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：2565A A 种 . 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若N 个人站成一排，其中M 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。

练习： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,节目单中，那么不同插法的种数为（）A．42 B．30 C．20 D．12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有种；2.相临：共有种。

故不同插法的种数为：2A +22A16A=42 ，故选A。

6例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）解：由题意，选用3种颜色时，C43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色方法有C43A33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有C21A44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72六、混合问题--先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排A. B.3种 C.种 D.解：本试题属于均分组问题。

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

几何有关的排列组合题的解法在几何学中，排列组合是一种常见的解决问题的方法。

通过对图形的排列和组合，我们可以探索出许多有趣和实用的结论。

本文将介绍几何有关的排列组合题的解法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

一、组合问题组合问题是指从一组元素中选取若干个元素，并按照一定规则组合在一起的问题。

在几何学中，常见的组合问题包括圆排列、线排列等。

下面以圆排列为例进行说明。

1. 圆排列问题圆排列是指将若干个不同的圆按一定规则排列在平面上的问题。

一般来说，圆排列可以分为两类：相离圆排列和相切圆排列。

相离圆排列问题是指将若干个不相交的圆排列在平面上的问题。

在解决相离圆排列问题时，我们可以利用排列组合的方法进行求解。

假设有n个圆，我们可以选择其中的m个圆进行排列。

圆的排列数量可以通过组合数公式求得，即C(n,m)。

相切圆排列问题是指将若干个相切的圆排列在平面上的问题。

在解决相切圆排列问题时，我们可以利用等比数列的性质进行求解。

假设有n个圆相切，我们将最大的圆设为第一个圆，其半径为r，那么第i个圆的半径为r/i。

通过求解前n项的和，即可得到圆的总面积。

二、排列问题排列问题是指将一组元素按一定顺序排列的问题。

在几何学中，常见的排列问题包括点线面的排列等。

下面以点线面的排列为例进行说明。

1. 点线排列问题在点线排列问题中，我们需要计算在给定的几何形状中，将若干个点或线按一定规则排列的情况。

这种情况下，排列的顺序非常重要。

例如，给定一个正方形的四个顶点，我们需要计算在这四个顶点中选择若干个点排列成线段的情况。

我们可以根据线段的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。

2. 点面排列问题在点面排列问题中，我们需要计算给定的若干个点和若干个面排列成几何形状的情况。

这种情况下，排列的顺序也非常重要。

例如，给定一个平面上的四个点和一个矩形，我们需要计算在这四个点中选择若干个点作为矩形的顶点的情况。

我们可以根据矩形的边的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。