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高中数学必修四 2.2《平面向量的线性运算》课件

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高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4

高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4

【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.

高考数学专题复习《平面向量的概念及线性运算》PPT课件

高考数学专题复习《平面向量的概念及线性运算》PPT课件

向量
模等于 1
的向量
a
向量为±|a|
名称
相等的
向量
定 义
备 注
大小 相等 、方向 相同
的向量
两个向 如果两个 非零 向量的方向 相同或相反 ,则
量平行 称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向
两向量只有相等或不相
等,不能比较大小
规定零向量与任一向量
平行(共线)
(共线)
量共线
相反
给定一个向量,把与这个向量方向 相反 、大 零向量的相反向量仍是
.
,而且λa的方向如下:
,
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= 0
.
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
(2)数乘向量的定义说明
如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
(3)数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,
一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
D.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的
中点为D,则下列结论正确的是(
A.G 是△ABC 的三条中线的交点
B. + + =0
C. =2
D. =
)
答案 ABC
解析 对于 A,△ABC 三条中线的交点就是重心,故 A 正确;对于 B,根据平行四
(4)数乘向量的运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律
一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有
(1)λ(μa)= (λμ)a ;(2)λa+μa= (λ+μ)a

高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算(第1课时)教学课件 新人教A版必修4

高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算(第1课时)教学课件 新人教A版必修4

1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边 形法则
(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平 行四边形法则只适用于两个不共线的向量求 和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致
的．
如
图
所
示
，
→ AC
＝
→ AB
＋
→ AD
(
平
行
四
边
形
法
则)．又∵B→C＝A→D，
∴A→C＝A→B＋B→C(三角形法则)．
方法二：(A→B＋D→B)＋(C→D＋B→C) ＝A→B＋(B→C＋C→D＋D→B) ＝A→B＋B→B＝A→B＋0＝A→B.
(2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F＋F→A) ＝A→C＋C→A＝0.
向量加法运算的几个注意点
(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算律， 注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排 列顺序，特别注意勿将0写成0.
如图，正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝( )
A．0
→ B.BE
→ C.AD
→ D.CF
解析：因为 ABCDEF 是正六边形，所以 BA∥DE，BA＝ DE.所以B→A＝D→E.所以B→A＋C→D＋E→F＝D→E＋C→D＋E→F＝C→D＋D→E ＋E→F＝C→F.
答案：D
错解
错因
则
图形
平
已知不共线的两个向量 a，b，在平面 前提
行
内任取一点 O
四
以同一点 O 为起点的两个已知向量 作法
法则
边 形
a，b 为邻边作▱OACB
结论 对角线__O→_C___就是 a 与 b 的和

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修

一级达标重点名校中学课件
2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
一级达标重点名校中学课件
A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
一级达标重点名校中学课件
(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
一级达标重点名校中学课件
4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
一级达标重点名校中学课件
一级达标重点名校中学课件
2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
一级达标重点名校中学课件
3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.

高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算

高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算
知识回顾
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由 于大陆和台湾没有直 航，因此要从台湾去 上海探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再 从香港到上海，这两 次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼 两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如， 作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接 用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向 量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)

高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT

高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

2014年人教A版必修四课件 2.2 平面向量的线性运算

2014年人教A版必修四课件 2.2 平面向量的线性运算

结论: 同起点两向量的和, 是以这两向量为邻边的 平行四边形的一条对角线, 起点是已知两向量的起点. 这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.
C D
AB AC AD.
A B
练习(课本第84页): 2. 如图, 已知 a、b, 用向量加法的平行四边形法 则作出 ab. (2) (1) b b a (作图如下, 作法略)
· · 问题1. 以上操作中的三个向量构成一个什么图形? 从三个向量的图形关系看, 你得到一个什么结论?
A C
AB BC AC . 向量加法的三角形法则: 求向量 a b , 是将向量 b 的起点与向量 a 的终点重合, 则 a 的起点到 b 的终点 的向量即为和向量 a b .
本章内容
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 平面向量的实际背景及基本概念 平面向量的线性运算 平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量的数量积 平面向量应用举例 第二章 小结
2.2.1 向量加法运算及其几何意义 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2.2.1 向量加法运算 及其几何意义
D C
2 5 ≈5.4. tan∠CAB 5 2.5, 2 得∠CAB≈68. 答: 船实际航行的速度约为 5.4 km/h, B A 68 方向约是东偏北 .
2
D 2
C
A
B
练习(补充). 如图是一个正六边形, 根据向量加法 的平行四边形法则求下列向量的和: A F (1) AB AF; (2) OB OD; (3) BO OC ; (4) BC DE . B 解: (1) AB AF AO . (2) OB OD OC . (3) BO OC OE OC OD. (4) BC DE OD OF OE .

高中数学必修四人教A版 课件《2-2平面向量的线性运算-1》

高中数学必修四人教A版 课件《2-2平面向量的线性运算-1》

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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “√”,错误的 打“×”. (1)如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反 ,那么 a+b 的方向必 与 a, b 之一的方向相同. (2)在△ABC 中,必有 ������������ + ������������ + ������������=0. ( ( ) ) ) )
第二章
平面向量
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-1-
2.2
平面向量的线性运算
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-2-
2.2.1
向量加法运算及其几何意义
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-3-
学 习 目 标 1.理解 向量加法的概 念及向量加法的几 何意义. 2.熟练掌握 向量加法 的平行四边形法则 和三角形法则,会作 已知两向量的和向 量. 3.掌握 向量加法的交 换律和结合律,会用 它们进行计算.
)
解析:������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ .
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-7-
做一做2 如图,已知a,b,用向量加法的平行四边形法则作出a+b.
作法:如图,作������������=a,������������=b,则 a+b=������������.
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-8-
4.规定:对于零向量与任一向量a,我们规定:a+0=0+a=a. 5.结论:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 6.向量加法的运算律

(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-1

(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-1

(2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同 且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也 就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相 等向量，而相等向量一定是共线向量． (3)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向 量是平行向量．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
思考探究 1.向量就是有向线段，这种说法对吗？ 提示 不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用
有向线段表示向量．
2．“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？ 提示 不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以
a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c， 则a∥c，在向量的平行中不再适用．解题时我们也要充分考虑 0的特殊性.
→ → →
3．向量的有关概念 零向量 长度等于零的向量，记作0，零向 量的方向不确定
相等的向量 同向且等长的有向线段表示的向量 向量共线 (平行) 基线互相平行或重合的向量，记作 a∥b.共线向量的方向相同或相反 规定：零向量与任意向量平行
任给一定点O和向量a，过点O作有向线段 位置向量 → OA ＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所 → 唯一确定，这时向量 OA ，叫做点A相对于点 O的位置向量
答案
B
规律技巧
要准确地对命题进行判断，必须对有关概念有
准确清晰的理解和把握．
变式训练2
下列说法中不正确的是(
)
A．零向量与任意向量共线 B．零向量只能与零向量相等 → → C．若AB＝DC，则ABCD是平行四边形 → → D．平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC
解析
→ → AB＝DC，有可能A、B、C、D四点共线，故C错．
第二章 平面向量

高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件

高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件

a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
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对于向量a（a≠0）和b，若存在实数 λ，使b=λa，则向量a与b的方向有 什么关系？
若向量a（a≠0）与b共线，则一定存 在实数λ，使b=λa成立吗？
综上可得向量共线定理：向量a（a≠0） 与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ， 使b=λa. 若a＝0，上述定理成立吗？
若存在实数λ，使 AB BC，则A、B、 C三点的位置关系如何？
探究四:向量的数乘运算性质
你认为－2×（5a），2a＋2b， (3 2)a可分别转化为什么运算？
-2× (5a)= -10a ；
2a ＋ 2b = 2(a+b)；
(3＋ 2 )a =3a＋ 2 a.
一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa)， (λ＋μ) a，λ(a＋b)分别等于什么？
λ(μa)=(λμ) a ； (λ＋μ) a =λa ＋μa； λ(a＋ b)=λa＋λb.
1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量， 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义，向量除以非零实数就 是数乘向量.
2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据.
作业： P90练习：3，4，5，6.
2
设a为非零向量，那么 a和 a3还是向2 量吗？它们分别与向量a有什么关系？
a
2
2a
3a
一般地，我们规定：实数λ与向量a的积 是一个向量，这种运算叫做向量的数乘. 记作λa，该向量的长度与方向与向量a 有什么关系？
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时,λa与a方向相同； λ<0时,λa与a方向相反； λ=0时,λa =0.
两个向量的差还是一个向量吗？
向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b 的差向量，求两个向量的差的运算叫做
向量的减法，对于向量a，b，c，若a+c ＝b，则c等于什么？
a+c＝ b c = b －a
探究三：向量的数乘运算及其几何意义 已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋ a和（－a）＋（－a）＋ （－a）？
（2）3（a＋b）－2（a－b）－a； （3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.
例2 如图，已知任意两个非零向量a，
b，试作 =aO＋A b， =aO＋B 2b， OC =a＋3b.你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
3b
B
b a
2b
A
b
Oa
AC 2AB A、B、C 共线
小结作业
AB BC A、B、C 共线
如图，若P为AB的中点，则
OP与 OA、OB 的关系如何？
O
OP
1 2
(OA
OB)
A PB
向量的加、减、数乘运算统称为向量的 线性运算，对于任意向量a、b，以及任 意实数λ、x、y，λ(xa±yb）可转化为 什么运算？
λ(xa±yb）=λxa±λyb.
理论迁移
例1 计算 （1）（－3）×4a；
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按 原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量 表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
A
BC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
CA
a
－a －a －a
P NMO
OP （－a）＋（－a）＋（－a）
2
向量a＋a＋a和（－a）＋ （－a）＋（－a）分别如何简化其表示 形式？ a＋a＋a记为3a， （－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.
向量3a和－3a与向量a的大小和方向有 什么关系？
a aa a OA B C
－a －a －a
P NMO
2.2 平面向量的线性运算
1.向量、平行向量、相等向量的含义分 别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和 方向是如何反映的？什么叫零向量和单 位向量？
3.两个实数可以相加，从而给数赋予了 新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面 上，那是没有多大意义的.我们希望两个 向量也能相加，拓展向量的数学意义， 提升向量的理论价值，这就需要建立相 关的原理和法则.
B
探究二：向量减法的含义
思考1：两个相反向量的和向量是什么？ 向量a的相反向量可以怎样表示？
－a 思考2：－a的相反向量是什么？零向量 的相反向量是什么？
－（－a）=a
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
在实数的运算中，减去一个数等于加上
这个数的相：a－b＝a＋（－b）.