一元二次方程提升

九年级上辅导一一元二次方程提高题类型一、整体性思维在解题中的应用1、整体求值例、已知m 是一元二次方程x 2－2x －1=0的根,求2m 2－4m 的值。

2、整体代入例、已知x 2－5x －1=0，求x 2+－11的值.3、整体求积 例、在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°,AC+BC=,AB=.求S ⊿ABC.4、变0代入例、当x=时，求式子(4x 3-2012x -2009)2009的值。

类型二、一元二次方程中的规律探究例、已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：()x x x x x x n x n n 2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……、（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点。

x2165220091+类型三、方程中的绝对值例、解方程：220x x --=练习：解方程2330x x ---=。

类型四 配方法求二次三项式的最值例、求代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ）练习：1、多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值12．求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．3、若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .练习：1．如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是___．2．若与互为倒数，则实数为___．．3．方程的根是，则可分解为 .4．直角坐标系xOy 中，已知点P (m ，n )，m ，n 满足(m 2＋1＋n 2)(m 2＋3＋n 2)＝8，则OP 的长为（）5．如果一元二方程有一个根为0，则 ．6．已知，求的值．221)16x m x -++（m 12+x 12-x x 0222=--x x 31±=x 222--x x 043)222=-++-m x x m （m =)0(04322≠=-+y y xy x y x yx +-根与系数的关系1．已知α，β是方程x 2+2006x +1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）2．方程的一个根为另一个根的2倍，则 .3. 若方程043222=-+-a x x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为____，则a a a 81622-+--的值等于________。

一元二次方程拓展提升练习1、已知a 是方程2104x x +-=的根，求354321a a a a a -+--的值.2. 设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－1840x+1997=0的两个根，求(x 12－1841x 1+1998)（x 22－1841x 2+1998）的值3、设x 1、x 2是方程x 2－2x －1=0的两个根，求x 14+x 24的值.4. 设x 1、x 2是方程x 2－4x －2=0的两个根，求｜x 1|+|x 2|的值5. 设方程0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实根，求b a ,的值。

6. 已知一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的一个根是1，且a ，b 满足-3，•求关于y 的方程14y 2-c=0的根．7. 已知m 为非负实数，当m 取什么值时，关于x 的方程01mx x 2=-+与02m x x 2=-++仅有一个相同的实根？8.证明：如果有理系数方程x 2+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A 、B 均为有理数)，那么另一个根必是A －B 。

9．印刷一张矩形的张贴广告（如图），•它的印刷面积是32dm2，•上下空白各1dm ，两边空白各0.5dm ，设印刷部分从上到下的长是xdm ，四周空白处的面积为Sdm2． （1）求S 与x 的关系式； （2）当要求四周空白的面积为18dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？10. 如图，客轮沿折线A ─B ─C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，•货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船同时起航，并同时到达折线A ─B ─C 上的某点E 处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍． （1）选择：两船相遇之处E 点（ ）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上 C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上 （2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？D答案： 1.202.解：∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－1840x+1997=0的两个根∴x 12－1840x 1+1997=0，x 22－1840x 2+1997=0 ∵（x 12－1841x 1+1998）（x 22－1841x 2+1998）＝[(x 12－1840x 1+1997) －x 1＋1]〔（x 22－1840x 2+1997）－x 2＋1] ＝(0－x 1＋1) (0－x 2＋1) ＝(－x 1＋1) (－x 2＋1) ＝x 1x 2－（x 1+x 2）＋1由根与系数关系,得 代入上式，得(x 12－1841x 1+1998)（x 22－1841x 2+1998）=1583. 解：∵x 1、x 2是方程x 2－2x －1=0的两个根 ∴x 12－2x 1－1=0，x 22－2x 2－1=0 ∴x 12=2x 1+1 ,x 22=2x 2+1∴x 14=(2x 1+1)2=4 x 12+4x 1+1=4(2x 1+1) +4x 1+1＝12 x 1+5 同理x 24＝12 x 2+5∴x 14+x 24＝12 x 1+5＋12 x 2+5＝12( x 1+ x 2)+10 由根与系数关系,得 x 1+ x 2 ＝2 ∴x 14+x 24＝344. 解：由根与系数关系,得可知x 1、x 2一正一负，并且正根的绝对值大，不妨设x 1>0， x 2<0 ∴｜x 1|+|x 2|= x 1、－x 2，且x 1、－x 2>0 ∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2＝24∴x 1－x 2=2∴｜x 1|+|x 2|＝25. 解：∵方程有实根∴0)2()1()2443(4)]1(2[22222≥+---=+++-+=∆b a a b ab a a∴0)2()1(22≤++-b a a∴只有：0)1(2=-a 和0)2(2=+b a ∴1=a ，21-=b 。

人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程实际应用》能力提升练习题基础题训练（一）：限时30分钟1．风筝又称“纸鸢”、“鸢儿”，放风筝是民间传统游戏之一，也是清明时节人们所喜爱的活动．小李打算抓住这一机遇，以每个20元的成本制作了30个风筝，再以每个40元的价格售出，很快就被一抢而空，于是小李计划加紧制作第二批风筝．（1）预计第二批风筝的成本是每个15元，仍以原价出售，若两批风筝的总利润不低于2850元，则第二批至少应该制作多少个风筝？（2）在实际制作过程中，小李按照（1）中风筝的最低数量进行制作，但制作风筝的成本比预期的15元多了a%（a＞10），于是小李决定将售价也提高a%，附近的商户受到小李的启发，也纷纷卖起了风筝，在市场冲击下，小李实际还剩下a%的风筝没卖出去，但仍然比第一次获利多1668元，求a的值．2．新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆．（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？3．我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，根据市场需求和生产经验甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲65﹣x15乙x x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？4．毎年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．5．重庆不仅是网红城市，更是拥有长安，力帆等大型车企的一座汽车城，为了更好的推广和销售汽车，每年都会在悦来会展中心举办大型车展．去年该车展期间大众旗下两品牌汽车迈腾和途观L共计销售240辆，迈腾销售均价为每辆20万元，途观L销售均价为每辆30万元，两种车型去年车展期间销售额共计5600万元．（1）这两种车型在去年车展期间各销售了多少辆？（2）在今年的该车展上，各大汽车经销商纷纷采取降价促销手段，而途观L坚持不降价，与去年相比，销售均价不变，销量比去年车展期间减少了a%，而迈腾销售均价比去年降低了a%，销量较去年增加了2a%，两种车型今年车展期间销售总额与去年相同，求a的值．基础题训练（二）：限时30分钟6．小王开了一家便利店．今年1月份开始盈利，2月份盈利5000元，4月份的盈利达到7200元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？8．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的道路（即图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．9．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？10．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．（1）已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？参考答案1．解：（1）设第二批制作x个风筝，（40﹣15）x+（40﹣20）×30≥2850，解得，x≥90，答：第二批至少应该制作90个风筝；（2）[40（1+a%）﹣15（1+a%）]×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90×a%﹣（40﹣20）×30＝1668，解得，a＝20或a＝5（舍去），答：a的值是20．2．解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，由题意，得3250（1+x）2＝6370．解得，x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%；（2）3250×40%×0.8＝1040（万元）．答：该市财政部门今年需要准备1040万元补贴资金．3．解：（1）设每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65﹣x）人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为（120﹣2x）元，每天可生产2（65﹣x）件甲产品．故答案为：2（65﹣x）；120﹣2x．（2）依题意，得：15×2（65﹣x）﹣（120﹣2x）•x＝650，整理，得：x2﹣75x+650＝0解得：x1＝10，x2＝65（不合题意，舍去），∴15×2（65﹣x）+（120﹣2x）•x＝2650．答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．4．解：（1）设班长代买A种品牌同学录x本，B种品牌同学录y本，依题意，得：，解得：．答：班长代买A种品牌同学录12本，B种品牌同学录15本．（2）依题意，得：（8﹣3）×90（1+a%）+10（1﹣a%）×175[1+（a+20）%]＝2550，整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（舍去）．答：a的值为20．5．解：（1）设去年车展期间迈腾销售了x辆，途观L销售了y辆，依题意，得：，解得：．答：去年车展期间迈腾销售了160辆，途观L销售了80辆．（2）依题意，得：20（1﹣a%）×160（1+2a%）+30×80（1﹣a%）＝5600，整理，得：8a﹣0.64a2＝0，解得：a1＝12.5，a2＝0（舍去）．答：a的值为12.5．6．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意舍去）答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640，答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到8640元．7．解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，∴16﹣5x＝±8，∴x1＝，x2＝；∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（2）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当0≤y ≤时，则PB ＝16﹣3y ， ∴PB •BC ＝12，即×（16﹣3y ）×6＝12，解得y ＝4； ②当＜x ≤时，BP ＝3y ﹣AB ＝3y ﹣16，QC ＝2y ，则BP •CQ ＝（3y ﹣16）×2y ＝12，解得y 1＝6，y 2＝﹣（舍去）； ③＜x ≤8时，QP ＝CQ ﹣PQ ＝22﹣y ，则QP •CB ＝（22﹣y ）×6＝12，解得y ＝18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．8．解：设道路的宽x 米，则（32﹣x ）（20﹣x ）＝540，解得：x ＝2，x ＝50（舍去），答：道路的宽是2米．9．解：（1）∵售价每降低1元，每天可多售出200斤，∴售价降低x 元时，每天销售量为：100+200x ．故答案为：200x +100．（2）由已知得：（4﹣2﹣x ）（200x +100）＝300，整理得：2x 2﹣3x +1＝0，解得：x1＝＝0.5，x2＝1，当x＝0.5时，200x+100＝200，∵200＜260，∴x＝0.5不合适．∴销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元．10．解：（1）设每次降价的百分率为x，200（1﹣x）2＝162解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），即每次降价的百分率是10%；（2）设店主将售价降价x元，（200﹣150﹣x）（20+2x）＝1750解得，x1＝15，x2＝25∴200﹣15＝185，200﹣25＝175，即应把售价定为185元或175元．。

考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。

针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。

★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。

m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。

一元二次方程提高题一．选择题（共10小题）1．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=32．若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或33．若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣14．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或05．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣26．对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.57．方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣8．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定9．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．201810．三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定二．填空题（共5小题）11．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是．12．已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于．13．已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是．14．关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为．15．若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为．三．解答题（共11小题）16．解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．17．解一元二次方程：x2﹣3x=1．18．解方程：（2x+1）2=2x+1．19．4x2﹣3=12x（用公式法解）20．解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）21．已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．23．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．24．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数销售价格单价40元不超过30件超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元25．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？26．关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2017•泰安）一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2017•凉山州）若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a 的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入第二个方程来求a的值即可．注意：分式的分母不等于零．【解答】解：解方程x2+2x﹣3=0，得x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程的增根，∴当x=1时，代入方程，得，解得a=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．3．（2017•齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．【解答】解：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，解得x=；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，解得k≥﹣1，所以k的范围为k≥﹣1．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．（2017•呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或0【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．【解答】解：设方程的两根为x1，x2，根据题意得x1+x2=0，所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，所以a的值为0．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．5．（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以+===﹣2．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．6．（2017•江阴市自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.5【分析】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．【解答】解：原方程可化为x2﹣2|x|+2﹣m=0，解得|x|=1±，∵若1﹣＞0，则方程有四个实数根，∴方程必有一个根等于0，∵1+＞0，∴1﹣=0，解得m=2．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|x|的值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键．7．（2017•雨城区校级自主招生）方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣【分析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．【解答】解：①当2x﹣1≥0时，即x≥，原方程化为：x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x1=3，x2=﹣1，∵﹣1＜，∴x2=﹣1（舍去）∴x=3；②当2x﹣1＜0，即x＜时，原方程化为：x2+2x﹣5=0，（x+1）2=6，x+1=±，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣∵﹣1+＞，∴x1=﹣1+（舍去）∴x=﹣1﹣．则3+（﹣1﹣）=2﹣．故选：D．【点评】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．8．（2017•凉山州一模）已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0，m2+1=2，求出即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，∴m﹣1≠0且m2+1=2，即m≠1且m=±1，解得：m=﹣1．故选B．【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．9．（2017•潮阳区模拟）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2015的值．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴2m2+2m+2015=2（m2+m）+2015=2+2015=2017．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（2017•市中区三模）三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定【分析】求出已知方程的解确定出第三边，即可求出三角形周长．【解答】解：方程x2﹣6x+8=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，解得：x=2或x=4，当x=2时，三角形三边长为2，5，8，不能构成三角形，舍去；当x=4时，三角形三边长为4，5，8，周长为4+5+8=17，故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2017•菏泽）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x=0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，把x=0代入方程，得k2﹣k=0，解得，k1=1，k2=0当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．12．（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于9．【分析】先表示出m2=3m﹣1代入代数式，通分，化简即可得出结论．【解答】解：∵m2﹣3m+1=0，∴m2=3m﹣1，∴m2+=3m﹣1+=3m﹣1+=====9，故答案为：9．【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出m2=3m﹣1．13．（2017•北仑区模拟）已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是2．【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2=2017m﹣1，再利用整体代入的方法得到原式=2017m﹣1﹣2018m++3，然后合并即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，∴m2﹣2017m+1=0，∴m2=2017m﹣1，∴原式=2017m﹣1﹣2018m++3=﹣1﹣m+m+3=2．故答案为2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．（2017•威海一模）关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为14．【分析】利用一元二次方程解的定义，把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得m=4，则方程化为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法解得x1=2，x2=6，然后利用三角形三边的关系确定三角形三边，再计算它的周长．【解答】解：把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得4﹣4m+3m=0，解得m=4，所以方程化为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，所以三角形三边为6、6、2，所以△ABC的周长为14．故答案为14．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（2017•曹县模拟）若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为3．【分析】设t=a+b，则原方程转化为关于t的方程t（t﹣6）+9=0，由此求得t的值即可．【解答】解：设t=a+b，则由原方程得到：t（t﹣6）+9=0，整理，得（t﹣3）2=0，解得t=3．即a+b=3．故答案是：3．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．三．解答题（共11小题）16．（2017•丽水）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，所以x1=0，x2=4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17．（2017•埇桥区模拟）解一元二次方程：x2﹣3x=1．【分析】配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣3x=1，x2﹣3x+（）2=1+（）2，（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18．（2017•广元模拟）解方程：（2x+1）2=2x+1．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．（2017•江汉区校级模拟）4x2﹣3=12x（用公式法解）【分析】利用公式法求解可得．【解答】解：原方程整理为：4x2﹣12x﹣3=0，∵a=4，b=﹣12，c=﹣3，∴△=144﹣4×4×（﹣3）=192＞0，则x==．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（2017•江汉区校级模拟）解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）【分析】方程两边都除以2，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：方程整理得：x2﹣2x=，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．21．（2017•萧山区模拟）已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．【分析】（1）利用题意列方程5x2+3=4x2+4x，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用求差法得到M﹣N=（x﹣1）（x﹣3），然后根据x的取值范围确定积的符合，从而得到M与N的关系关系．【解答】解：（1）根据题意得5x2+3=4x2+4x，整理得x2﹣4x+3=0，（x﹣1）（x﹣3）=0，x﹣1=0或x﹣3=0，所以x1=1，x2=3；（2）M﹣N=5x2+3﹣（x2+4x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），∵1＜x＜，∴x﹣1＞0，x﹣3＜0，∴M﹣N=（x﹣1）（x﹣3）＜0，∴M＜N．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．注意因式分解的应用．22．（2017•绥化）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．【解答】解：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，解得：m＞﹣．∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，解得：m=﹣4或m=2．∵a＞0，b＞0，∴a+b=﹣2m﹣1＞0，∴m=﹣4．若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4m+17＞0；（2）根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m的一元二次方程．23．（2017•鄂州）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；（2）由韦达定理知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，解得：k＞；（2）存在，∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，∴将|x1|﹣|x2|=两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：4k﹣11=5，解得：k=4．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．24．（2017•皇姑区一模）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数销售价格不超过30单价40元件超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．【解答】解：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，解得：x1=40，x2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每件商品的价格是解题关键．25．（2017•三门峡一模）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．26．（1999•重庆）关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．【分析】（1）换元，令=y，把中根号下的数看成整体，再求p的范围；（2）方程有两个相等的实数根，判别式=0，求出p，再求得两实根．【解答】解：（1）令=y，①则原方程变为y2+2y﹣（p2+2p）=0．（3分）∵△=4+4（p2+2p）=4（p2+2p+1）=4（p+1）2≥0，即y1=p，y2=﹣2﹣p．（6分）若原方程没有实数根，只须解这个不等式组，得﹣2＜p＜0．（9分）（2）∵p＞0，把y1=p代入①，得=p②而y2=﹣2﹣p＜0，舍去．（11分）将②式平方，整理得x2+2x﹣（p2﹣2p）=0．③（12分）令△=4+4（p2﹣2p）=4（p2﹣2p+1）=4（p﹣1）2=0，解得p=1．（15分）当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x2+2x+1=0，∴x1=x2=﹣1．（17分）经检验，当p=1时，x1=x2=﹣1是原方程的根．（18分）【点评】本题是换元法解无理方程，注意这个方程无解条件的讨论是解决本题的关键．。

2021-2022学年人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步专题提升训练（附答案）一．选择题1．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．0B．4C．0或4D．0或﹣42．一元二次方程x2+6x﹣5＝0配方后可化为（）A．（x+3）2＝5B．（x+3）2＝14C．（x﹣3）2＝5D．（x﹣3）2＝14 3．一元二次方程3x2+5x+1＝0根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法判断4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞﹣3B．k＞﹣3且k≠1C．k≥﹣3且k≠1D．k＜﹣35．一个等腰三角形两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形周长是（）A．12B．9C．15D．12或156．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A．B．4C．25D．57．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣18．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+2＝0C．x2﹣2x＝0D．（x﹣3）2﹣2＝0二．填空题9．方程x2﹣4x＝0的实数解是．10．已知一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，则该方程的另一个根是．11．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为．12．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为．13．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程．14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为．15．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝．16．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x13x2﹣3x12x2＝．三．解答题17．解下列方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2﹣7x+1＝0（用公式法解）．18．解方程：（1）x2+6x+4＝0；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．20．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．21．已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．参考答案一．选择题1．解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，∴m≠0，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝4m2﹣16m＝0，∴m＝0或m＝4，∴m＝4，故选：B．2．解：∵x2+6x﹣5＝0，∴x2+6x＝5，∴x2+6x+9＝14，∴（x+3）2＝14．故选：B．3．解：∵一元二次方程3x2+5x+1＝0中，a＝3，b＝5，c＝1，∴△＝52﹣4×3×1＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根故选：B．4．解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝16+4（k﹣1）＝4k+12＞0，且k﹣1≠0，解得：k＞﹣3且k≠1．故选：B．5．解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．6．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，即AC＝4，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故选：A．7．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．8．解：A、Δ＝22﹣4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；B、Δ＝12﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D、整理整理为x2﹣6x+7＝0，Δ＝62﹣4×7＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．二．填空题9．解：方程x2﹣4x＝0，分解因式得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4．故答案为：x1＝0，x2＝4．10．解：设方程的另一根为x2，∵一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，∴x2＝．解得x2＝﹣4．故答案是：﹣4．11．解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+3m﹣1＝0，∴3m﹣1＝﹣m2，∵Δ＝13＞0，∴m+n＝﹣3，∴＝＝＝3，故答案为3．12．解：当6为底边时，则x1＝x2，∴Δ＝100﹣4m＝0，∴m＝25，∴方程为x2﹣10x+25＝0，∴x1＝x2＝5，∵5+5＞6，∴5，5，6能构成等腰三角形；当6为腰时，则设x1＝6，∴36﹣60+m＝0，∴m＝24，∴方程为x2﹣10x+24＝0，∴x1＝6，x2＝4，∵6+4＞6，∴4，6，6能构成等腰三角形；综上所述：m＝24或25，故答案为24或25．13．解：∵小明看错了一次项系数b，∴c＝x1•x2＝1×2＝2；∵小刚看错了常数项c，∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7，∴b＝﹣7．∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．故答案为：x2﹣7x+2＝0．14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，∴+＝＝＝，故答案为：．15．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，∴α+β＝2021，αβ＝2020，∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212＝2020﹣2021×2021+20212＝2020．故答案为：2020．16．解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，∴x12﹣3x1＝1，x1x2＝﹣1，∴x13x2﹣3x12x2＝x1x2•（x12﹣3x1）＝（﹣1）×1＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题17．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1；（2）x2﹣7x+1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．18．解：（1）∵x2+6x＝﹣4，∴x2+6x+9＝﹣4+9，即（x+3）2＝5，则x+3＝±，∴，；（2）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2．19．解：（1）∵△＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；（2）∵x＝，∵，∴x1+x2＝6，∵x1+x2＝4m，∴4m＝6，∴，∴，∴x1＝6，x2＝0．20．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范围是m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值为﹣2．21．解：（1）在方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0中，∵Δ＝（a﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4，∵a2+4≥4，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个根分别为α和β，由根与系数的关系得：，解得：a＜0．22．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）＝4＞0，∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，∴（k+1）2+（k+3）2＝102，解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，∴k的值为5．。

2021年鲁教版八年级数学下册《第8章一元二次方程》期末知识点分类提升训练（附答案）一．一元二次方程的定义1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2+2x＝0B．C．x+3＝0D．x3+2x2＝12．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣3x＝4B．x2﹣＝3C．x3﹣3＝7D．x2+2x﹣6＝0 3．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+2＝2B．x2﹣2y＝1C．x2＝0D．二．一元二次方程的一般形式4．一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的一次项系数是（）A．﹣4B．﹣3C．2D．35．在一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（）A．1，4B．1，﹣4C．1，﹣1D．x2，4x6．把一元二次方程x（x+3）＝4化成一般形式：．7．将一元二次方程2x2＝x﹣1化成一般形式是．三．一元二次方程的解8．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是（）A．0B．1C．﹣2D．1或﹣29．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个实根，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．210．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2022﹣2a+2b 的值等于（）A．2018B．2020C．2022D．2024四．解一元二次方程：直接开平方法11．给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y'＝nx n﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是（）A．x1＝，x2＝﹣B．x1＝6，x2＝﹣6C．x1＝3，x2＝﹣3D．x1＝3，x2＝﹣3A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝x2＝1 13．若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥0五．解一元二次方程：配方法14．用配方法解一元二次方程x2+6x﹣5＝0时，配方后得到的方程为（）A．（x+3）2＝9B．（x+3）2＝14C．（x+6）2＝41D．（x﹣5）2＝6 15．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（）A．（x+3）2＝9B．（x+3）2＝13C．（x+3）2＝5D．（x+3）2＝4 16．一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6B．（x﹣2）2＝6C．（x+2）2＝﹣6D．（x+2）2＝﹣2 17．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8 18．一元二次方程2x2+6x+3＝0经过配方后可变形为（）A．（x+3）2＝6B．（x﹣3）2＝12C．D．六．解一元二次方程：公式法19．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A．B．C．D．20．解方程：（1）x2﹣2＝5；（2）x（x+2）＝﹣2x+1．21．解下列方程：（1）（x﹣1）（x+3）＝12；（2）2x2﹣4x+1＝0．七．解一元二次方程：因式分解法22．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0的实数根有（）A．0个B．1个C．2个D．3个A．x＝3B．x＝0C．x1＝3，x2＝0D．x1＝﹣3，x2＝0 24．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定25．三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则三角形的周长为（）A．12B．13C．14D．12或14八．换元法解一元二次方程26．请用合适的方法解方程：（1）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0（2）4x2﹣8x+1＝0（3）（x﹣2）（x﹣3）＝1227．解方程：（1）2x2﹣1＝4x；（2）（x﹣1）2﹣3（1﹣x）＝0．九．一元二次方程根的判别式28．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定29．下列关于方程x2﹣4x﹣7＝0的结论正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根30．关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定31．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．x2+x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝0 32．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根33．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根34．已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．一十．一元二次方程根与系数的关系35．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（）A．﹣1B．1C．5D．﹣536．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（）A．﹣2B．2C．3D．﹣337．关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，则（x1﹣x2）2的值是（）A．13或11B．12或﹣11C．13D．1238．若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+2＝0的一个根是﹣1，则另一个根是．39．若α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的两个实数根，则α+β的值是．40．已知x1、x2是方程x2﹣x+1＝0的两根，则x12+x22的值为．十一．一元二次方程的应用41．11月15日上午，2020“一带一路”国际帆船赛（中国北海站）举行了起航仪式，北海市人民政府副市长欧余军为北海号船长授旗．比赛期间，某帆船赛的纪念品受到热烈欢迎，从原价100元连续两次涨价达到121元，如果每次涨价的百分率都是x，下面所列方程正确的是（）A．121（1﹣2x）＝100B．121（1﹣x）2＝100C．100（1+2x）＝121D．100（1+x）2＝12142．近年来，我国快递业务迅猛发展，据统计，2018年和2020年全国累计完成快递业务量分别约为400亿件和635亿件．设这两年我国快递业务量的年平均增长率为x，可列方程为（）A．400（1+2x）＝635B．400（1+x）2＝635C．635（1﹣2x）＝400D．635（1﹣x）2＝40043．惠多多超市2020年10月份的营业额为36万元，12月份的营业额为48万元．设该超市每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．36（1+x）2＝48B．36（1﹣x）2＝48C．48（1+x）2＝36D．48（1﹣x）2＝3644．某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为．45．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件、如果全组共有x名同学，根据题意列出的方程是．46．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场个47．某超市销售一种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，超市采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件降价5元，则平均每天销售量为件；（2）当每件降价多少元时，该超市每天销售此商品利润为1200元？48．某电脑销售店电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某校计划以促销价购买100台电脑．该店还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送12个月的免费保修费，免费保修费为每台每月10元．请问哪种方案更优惠？49．某玩具经销商2019年全年的销售总额为20万元，总成本为12万元；由于改善经营模式，与2019年相比2021年总成本下降了20%，销售总额增加了10.5%．（1）求该经销商年利润的平均增长率；（2）如果不受客观因素的影响，并按此增长速度，那么2022年该经销商获得的利润是多少万元（结果精确到0.01万元）．十二．配方法的应用50．用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（）A．（a+2）2﹣1B．（a+2）2﹣5C．（a+2）2﹣9D．（a+2）2+451．对于任何实数m、n，多项式m2+n2﹣6m﹣10n+36的值总是（）A．非负数B．0C．大于2D．不小于2 52．对于任意实数x，多项式x2﹣5x+8的值是一个（）A．非负数B．正数C．负数D．无法确定53．阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，（1）求m2+2m+4的最小值；（2）求4﹣x2+2x的最大值．参考答案一．一元二次方程的定义1．解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意．；B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：A．2．解：A、未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、未知数的最高次数为3次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．3．解：A、未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C．二．一元二次方程的一般形式4．解：一元二次方程2x2+3x﹣4＝0一次项系数是：3．故选：D．5．解：一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是1，﹣4．故选：B．6．解：x（x+3）＝4，去括号，得x2+3x＝4，移项，得x2+3x﹣4＝0，故答案为：x2+3x﹣4＝0．7．解：由2x2＝x﹣1，得2x2﹣x+1＝0，即方程2x2＝x﹣1化为一元二次方程的一般形式是2x2﹣x+1＝0．故答案为：2x2﹣x+1＝0．三．一元二次方程的解8．解：∵方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0为一元二次方程，∴k﹣1≠0，∴k≠1．将x＝0代入（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0，得：k2+k﹣2＝0，解得：k1＝﹣2，k2＝1（不合题意，舍去）．故选：C．9．解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个实根，∴1﹣2+m＝0，∴m＝1，故选：C．10．解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，所以原式＝2022﹣2（a﹣b）＝2022﹣2×2＝2022﹣4＝2018，故选：A．四．解一元二次方程：直接开平方法11．解：∵y＝x3，∴y′＝3x2，∵y′＝18，∴3x2＝18，则x2＝6，∴x1＝，x2＝﹣，故选：A．12．解：x2＝1，开方得：x＝±1，即x1＝1，x2＝﹣1，故选：C．13．解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．五．解一元二次方程：配方法14．解：∵x2+6x﹣5＝0，∴x2+6x＝5，∴x2+6x+9＝5+9，∴（x+3）2＝14，故选：B．15．解：由x2+6x+4＝0可得：x2+6x＝﹣4，则x2+6x+9＝﹣4+9，即：（x+3）2＝5，故选：C．16．解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，∴（x+2）2＝6．故选：A．17．解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x+9＝8，∴（x﹣3）2＝8，故选：A．18．解：∵2x2+6x＝﹣3，∴x2+3x＝﹣，则x2+3x+＝﹣+，即（x+）2＝，故选：C．六．解一元二次方程：公式法19．解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，则x＝＝＝3±2，故选：D．20．解：（1）x2﹣2＝5，x2＝7，解得，x1＝，x2＝﹣；（2）x（x+2）＝﹣2x+1方程整理得x2+4x＝1，x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，∴x+2＝±，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．21．解：（1）x2+2x﹣15＝0，（x+5）（x﹣3）＝0，x+5＝0或x＝3，所以x1＝3，x2＝﹣5；（2）解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8，∴，即，．七．解一元二次方程：因式分解法22．解：∵x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，则x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3，故选：C．23．解：x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝3．故选：C．24．解：方程变形得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，解得：当x＝3或x＝6，当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6+6+3＝15，故选：B．25．解：解方程x2﹣12x+35＝0，得x1＝5，x2＝7，即第三边的边长为5或7．∵1＜第三边的边长＜7，∴第三边的边长为5．∴这个三角形的周长是3+4+5＝12．故选：A．八．换元法解一元二次方程26．解：（1）设t＝x+2，则由原方程得到：（t﹣5）2＝0，t﹣5＝0，∴t＝5，∴x1＝x2＝3．（2）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）x2﹣2x＝﹣，（x﹣1）2＝，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（3）原方程整理为x2﹣5x﹣6＝0，∵（x﹣6）（x+1）＝0，∴x﹣6＝0或x+1＝0，则x＝6或x＝﹣1．27．解：（1）2x2﹣1＝4x，∵x2﹣2x＝，∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（x﹣1）2﹣3（1﹣x）＝0，（x﹣1）（x﹣1+3）＝0，∴x﹣1＝0或x+2＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2．九．一元二次方程根的判别式28．解：∵△＝（﹣2）2﹣4×5＝﹣16＜0，∴方程无实数根．故选：C．29．解：方程x2﹣4x﹣7＝0，这里a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7，∵△＝16+28＝44＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．30．解：∵x2﹣kx﹣1＝0，∴△＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，∴方程x2﹣kx﹣1＝0有两个不相等的实数根，故选：C．31．解：A、在方程x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴该方程没有实数根；B、在方程x2+x﹣1＝0中，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴该方程有两个不相同的实数根；C、在方程x2﹣2x﹣1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴该方程有两个不相同的实数根；D、在方程x2﹣2x+1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴该方程有两个相等的实数根．故选：A．32．解：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，故选：A．33．解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，∵△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．34．解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，∴a﹣3+4+3＝0，∴a＝4；（2）由题意△≥0且a≠3∴16﹣12（a﹣3）≥0，解得a≤，∵a是正整数，∴a＝1或2或4．十．一元二次方程根与系数的关系35．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，∴x1+x2＝3；x1x2＝﹣2．则x1+x2+x1x2＝3+（﹣2）＝1．故选：B．36．解：根据根与系数的关系，x1+x2＝﹣＝2．故选：B．37．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝2k﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，即k2﹣4k﹣5＝0，解得：k1＝﹣1，k1＝5．当k＝﹣1时，原方程为x2+x﹣3＝0，∴△＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，∴k＝﹣1符合题意，此时x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝13；当k＝5时，原方程为x2﹣5x+9＝0，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×9＝﹣11＜0，∴k＝5不符合题意，舍去．综上可知：（x1﹣x2）2的值是13．故选：C．38．解：设方程的另一个根是t，根据题意得﹣1•t＝2，解得t＝﹣2，即方程的另一个根是﹣2．故答案为﹣2．39．解：∵α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的两个实数根，∴α+β＝3，故答案为3．40．解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝1，所以原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×1＝3．故答案为3．十一．一元二次方程的应用41．解：依题意得：100（1+x）2＝121．故选：D．42．解：依题意得：400（1+x）2＝635．故选：B．43．解：依题意得：36（1+x）2＝48．故选：A．44．解：设月平均增长率为x，根据题意得：400（1+x）2＝900．故答案为：400（1+x）2＝900．45．解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，所以，x（x﹣1）＝132．故答案为：x（x﹣1）＝132．46．解：设这个航空公司有机场n个＝10n＝5或n＝﹣4（舍去）47．解：（1）20+2×5＝30（件）．故答案为：30．（2）设每件降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售量为（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．又∴40﹣x≥24，∴x≤16，∴x＝10．答：当每件降价10元时，该超市每天销售此商品利润为1200元．48．解：（1）设平均每次降价的百分率为x，依题意得：5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价的百分率为10%．（2）选择方案①所需费用为4050×100×0.98＝396900（元）；选择方案②所需费用为4050×100﹣100×10×12＝393000（元）．∵396900元＞393000元，∴方案②更优惠．49．解：（1）设该经销商年利润的平均增长率为x，依题意得：（20﹣12）（1+x）2＝20（1+10.5%）﹣12（1﹣20%），即：8（1+x）2＝12.5，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合，舍去）．答：该经销商年利润的平均增长率为25%．（2）∵2021年获得的利润12.5万元，∴12.5×（1+25%）＝15.625≈15.63（万元）．答：2022年该经销商获得的利润约是15.63万元．十二．配方法的应用50．解：a2+4a﹣5＝a2+4a+4﹣9＝（a+2）2﹣9．故选：C．51．解：m2+n2﹣6m﹣10n+36＝m2﹣6m+9+n2﹣10n+25+2＝（m﹣3）2+（n﹣5）2+2，∵（m﹣3）2≥0，（n﹣5）2≥0，∴（m﹣3）2+（n﹣5）2+2≥2，∴多项式m2+n2﹣6m﹣10n+36的值总是不小于2，故选：D．52．解：x2﹣5x+8＝x2﹣5x++＝（x﹣）2+，任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，所以（x﹣）2+的最小值是，故多项式x2﹣5x+8的值是一个正数，故选：B．53．解：（1）m2+2m+4＝m2+2m+1+3＝（m+1）2+3，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，即m2+2m+4的最小值为3；（2）4﹣x2+2x＝﹣x2+2x+4＝﹣（x2﹣2x+1）+5＝﹣（x﹣1）2+5，∵（x﹣1）2≥0，∴﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，即4﹣x2+2x的最大值为5．。

一元二次方程综合提高题一、选择题1.若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4 >-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C。

【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。

②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>-。

故结论②正确。

③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。

∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m =x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。

令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。

∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。

综上所述，正确的结论有2个：②③。

故选C。

2.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13【答案】B。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a 。

∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0， 解得，a=﹣3。

专题21.2 一元二次方程（拓展提高）一、单选题1．已知()23460a x x ---=是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是（ ） A ．3a =B ．3a ≠C ．a ≥3D ．a ＜3【答案】B 【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答．【详解】解：∵()23460a x x ---=是关于x 的一元二次方程， ∴30a -≠，∴3a ≠，故选：B ．【点睛】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．下面关于x 的方程中：①ax 2＋bx ＋c ＝0；②3（x ﹣9）2﹣（x ＋1）2＝1；③x 2＋1x ＋5＝0；④x 2＋5x 3﹣6＝0；⑤3x 2＝3（x ﹣2）2；⑥12x ﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．【详解】解：①ax 2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；③x 2＋1x＋5＝0是分式方程； ④x 2＋5x 3﹣6＝0是一元三次方程；⑤3x 2=3（x-2）2是一元一次方程；⑥12x-10=0是一元一次方程．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．3．若a ﹣b +c ＝0，则一元二次方程ax 2﹣bx +c ＝0（a ≠0）必有一根是（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．无法确定【答案】B【分析】由a ﹣b +c ＝0特点可知把x 换成1成立，则可求得答案．【详解】解：∵a ﹣b +c ＝0，∴a ×12﹣b ×1+c ＝0，∴方程ax 2﹣bx +c ＝0必有一根为1．故选：B ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的定义，熟知方程根的含义，观察出a 、b 、c 的特点是解题的关键．4．已知m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，则2020﹣m 2+3m 的值为（ ）A ．2020B ．2021C ．2019D ．-2020【答案】B【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m 2-3m =-1，再把2020﹣m 2+3m 变形为2020﹣（m 2-3m ），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 为一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根．∴m 2-3m +1=0，即m 2-3m =-1，∴2020﹣m 2+3m =2020﹣（m 2-3m ）=2020-（-1）=2020+1=2021．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．若(),a b a b <是关于方程()()()10x m x n m n --+=<的两个实数根，则实数,,,a b m n 的大小关系是（）A ．a b m n <<<B ．m n a b <<<C ．a m n b <<<D ．m a b n <<< 【答案】D【分析】利用a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根得到（a-m ）（a-n ）=-1＜0，进而判断出m ＜a ＜n ，同理判断出m ＜b ＜n ，即可得出结论．【详解】解：∵a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根，∴（a-m ）（a-n ）+1=0，∴（a-m ）（a-n ）=-1＜0，∵m ＜n ，∴m ＜a ＜n ，同理：m ＜b ＜n ，∵a ＜b ，∴m ＜a ＜b ＜n ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m ）（a-n ）＜0是解本题的关键．6．若关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 满足0a b c -+=，称此方程为“月亮”方程．已知方程()221999100a x ax a -+=≠是“月亮”方程，求22199919991a a a a +++的值为（ ） A ．0B ．2C ．1D ．2-【答案】D 【分析】根据“月亮”方程的定义得出2+199910a a +=，变形为2+19991a a =-，211999a a +=-代入计算即可．【详解】解：∵方程()221999100a x ax a -+=≠是“月亮”方程， ∴2+199910a a +=∴2+19991a a =-，211999a a +=- ∴222199919991999=199191919()219a a a a a a aa -++++-+-=-+ 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解．二、填空题7．已知关于x 的一元二次方程()221210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为________． 【答案】-1．【分析】把0x =代入方程，转化为关于a 的一元二次方程，求得a 值，结合二次项系数不能为零，确定结果即可．【详解】∵一元二次方程()221210a x x a --+-=有一个根为0x =，∴210a -=∴a =1或a =-1，∵方程()221210a x x a --+-=是一元二次方程， ∴a -1≠0，∴a =-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解法，熟练理解定义，确保二次项系数不为零是解题的一个陷阱，要注意．8．若m 是方程2x 2-3x ﹣1＝0的根，则式子6m -4m 2+2023的值为_____．【答案】2021【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x =m 代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【详解】解：把x =m 代入2x 2-3x -1=0，得2m 2-3m -1=0，则2m 2-3m =1．所以6m -4m 2+2023=-2（2m 2-3m ）+2023=-2+2023=2021．故答案为：2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．9．若关于x 的方程x 2－3x ＋a ＝0有一个解是2，则3а+1的值是____________．【答案】7【分析】将x =2代入方程求出a =2，代入代数式求值即可．【详解】解：将x =2代入方程，得4-6+a =0，解得a =2，∴3a +1=6+1=7，故答案为：7．【点睛】此题考查方程的解，已知字母的值求代数式的值，正确理解方程的解是解题的关键．10．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1=0（a ≠0）的解是x =-1，则2021-a +b 的值是___．【答案】2022【分析】把x=-1代入方程可以得到-a+b 的值，从而得到所求答案．【详解】解：∵x=-1，∴a-b+1=0，∴-a+b=1，∴2021-a+b=2022，故答案为2022 ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程解的意义、等式的性质和代数式求值的方法是解题关键．11．已知x n =是关于x 的一元二次方程2450mx x --=的一个根，若246mn n m -+=，则m 的值为____． 【答案】1．【分析】把x =n 代入方程求出mn 2-4n 的值，代入已知等式求出m 的值即可．【详解】解：把x =n 代入方程得：mn 2-4n -5=0，即mn 2-4n =5，代入246mn n m -+=，得：5+m =6，解得：m =1．故答案为：1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．已知关于x 的一元二次方程m 2x ﹣nx ﹣m ﹣3＝0，对于任意实数n 都有实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】m ＞0或m≤-3．【分析】把方程有实数根，转型为根的判别式大于等于零，根据n 的任意性，构造不等式求解即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程m 2x ﹣nx ﹣m ﹣3＝0，对于任意实数n 都有实数根，∴△≥0，且m≠0，∴2()4(3)n m m -++≥0，∴22412n m m ++≥0，∵对于任意实数n 都有实数根，∴2412m m +≥0，∴030m m ≥⎧⎨+≥⎩或030m m ≤⎧⎨+≤⎩， ∴m≥0或m≤-3，且m≠0，∴m ＞0或m≤-3，故答案为：m ＞0或m≤ -3．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式，并规范把问题转化为不等式组求解是解题的关键．13．已知a 是方程2202110x x -+=的一个根，则322202120211a a a --=+____． 【答案】2021-【分析】由方程根的定义可得2202110a a -+=，变形为212021a a +=．再将2202110a a -+=等号两边同时乘a 并变形得322021a a a -=-，代入322202120211a a a --+逐步化简即可． 【详解】∵a 是方程2202110x x -+=的一个根．∴2202110a a -+=，即212021a a +=．将2202110a a -+=等号两边同时乘a 得： 2(20211)0a a a -+=，即322021a a a -=-．∴2322202120211120212021202112021a a a a a a a a a a a +--=--=--=-=-=-+． 故答案为：-2021．【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键． 14．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①BE +DF ＝EF ；②CE ＝CF ；③∠AEB ＝75°；④四边形ABCD 面积＝2+3，其中正确的序号是_____．【答案】②③④【分析】由正方形的性质得AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，由等边三角形的性质得AE ＝AF ，则可判断Rt △ABE ≌△ADF ，得到BE ＝DF ，∠BAE ＝∠DAF ，加上∠EAF ＝60°，易得∠BAE ＝∠DAF ＝15°，利用互余得∠AEB ＝75°，则可对③进行判断；由于CB ＝CD ，BE ＝DF ，则CE ＝CF ，于是可对②进行判断；先判断△CEF 为等腰直角三角形得到CE ＝CF＝2EF ，设正方形的边长为x ，在Rt △ABE 中利用勾股定理得x ，则可计算出BE +DF ，即可判断①错误；然后利用正方形面积公式可对④进行判断．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，∵△AEF 为等边三角形，∴AE ＝AF ＝EF ＝2，∠EAF ＝60°，∴90AB AD B D AE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ADF ，∴BE ＝DF ，∠BAE ＝∠DAF ，∵∠EAF ＝60°，∴∠BAE ＝∠DAF ＝15°，∴∠AEB ＝90°-∠BAE ＝75°，即③正确∵CB ＝CD ，∴CB ﹣BE ＝CD -DF ，∴CE ＝CF ，即②正确；∴△CEF 为等腰直角三角形，∴CE ＝CF＝2EF设正方形的边长为：x ，则BE ＝x，Rt △ABE 中，AB 2+BE 2＝AE 2，∴(2222x x +=解得：x 1x 2＝2（舍去）， ∴BE +DF ＝2（x）＝2，即①错误；四边形ABCD 面积＝x 2＝2⎝⎭＝2+④正确． 故答案为：②③④．【点睛】本题考查了全等三角形、正方形、等边三角形、等腰三角形、勾股定理、一元二次方程、直角三角形两锐角互补、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、正方形、等边三角形、勾股定理、一元二次方程的性质，从而完成求解．三、解答题15．已知：P ＝3a （a +1）﹣（a +1）（a ﹣1）（1）化简P ；（2）若a 为方程23x 2+x ﹣53＝0的解，求P 的值． 【答案】（1）2a 2+3a +1；（2）6【分析】（1）通过去括号，合并同类项，即可得到答案；（2）把原方程整理得2x 2+3x ﹣5＝0，再根据解的定义得到2a 2+3a =5，进而即可求解．【详解】解：（1）P ＝3a （a +1）﹣（a +1）（a ﹣1）=3a 2+3a -a 2+1=2a 2+3a +1；（2）23x 2+x ﹣53＝0， 整理得：2x 2+3x ﹣5＝0， ∵a 为方程23x 2+x ﹣53＝0的解， ∴2a 2+3a ﹣5＝0，即：2a 2+3a =5，∴P =2a 2+3a +1=5+1=6．【点睛】本题主要考查整式的化简，一元二次方程的的解的定义，掌握整体代入思想方法，是解题的关键．16．化简求值：22211369x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中x 是一元二次方程260x x --=的解． 【答案】原式=31x x -+，当x =-2时，原式=5 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据2-60x x -=，可以得到x 的值，然后将使得原分式有意义的x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】原式=22211+369x x x x -⎛⎫÷ ⎪--+⎝⎭ =()()()2113233x x x x x +--+÷-- ()()()231311x x x x x --=•-+- 31x x -=+ 解方程2-60x x -=得1x =3，2x =－2∵3x =时分式无意义∴当x =－2 时， 原式23521--==-+ 【点睛】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 17．先化简，再求值：2111m m m -⎛⎫-+⎪+⎝⎭÷2221m m m -+++2m ，其中m 是方程x 2-x -5=0的根． 【答案】2m m -+，-5【分析】首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据m 是方程x 2-x -5=0的根，代入即可得到关于m 的式子，代入分式化简后的结果即可求解． 【详解】解：221212121m m m m m m m --⎛⎫-+÷+ ⎪+++⎝⎭=()()()2111212112m m m m m m m m ⎡⎤+-+--⨯+⎢⎥++-⎣⎦ =()221211212m m m m m m +--+⨯++- =()()221212m m m m m m -+-⨯++-=()12m m m -++=2m m -+∵m 是方程250x x --=的根，∴25m m -=，∴2m m -+=()2m m --=-5．【点睛】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．18．（1）解下列方程：2410x x ++=；（2）已知关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m +--+=有两个相等的实数根．求m 的值．【答案】(1)1222x x =-+=-(2)m=±2. 【分析】(1)计算根的判别式判断即可；(2)利用判别式等于零，解关于m 的一元二次方程即可.【详解】(1)∵2410x x ++=，∴a=1，b=4，c=1，∴△=24b ac -=2441112-⨯⨯=>0，∴2x ===-±，∴1222x x =-=-(2) ∵2(2)20x m x m +--+=，∴a=1，b=m-2，c=-m+2，∴△=24b ac -=2m 2)41(2)m --⨯⨯-+（=24448m m m -++-=24m -，∵一元二次方程2(2)20x m x m +--+=有两个相等的实数根,∴△=0，∴24m -=0，解得m=±2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，灵活运用根的判别式是解题的关键.19．已知方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程．（1）求a 的取值范围；（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．【答案】（1）a 1≠；（2）1x 4=-，2x 4=【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a 的值，再代入原方程，解出方程即可.【详解】解：()1化简，得 ()2a 1x 3ax 8a 160-+-+=．方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程，得 a 10-≠，解得a 1≠，当a 1≠时，方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程； ()2由一次项系数为零，得a 0=．则原方程是2x 160-+=，即2x 160-=．因式分解得()()x 4x 40+-=，解得1x 4=-，2x 4=．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.20．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，从点C 为圆心，CB 长为半径画弧交线段AC 于点D ，以点A 为圆心AD 长为半径画弧交线段AB 于点E ，连结BD ．(1)若A ABD ∠=∠，求C ∠的度数：(2)设BC a AB b ==，．①请用含a b ，的代数式表示AD 与BE 的长；②AD 与BE 的长能同时是方程22 2 0x ax b +-=的根吗？说明理由．【答案】（1）60C ∠=°；（2）①22AD a b a =+，22=+-+BE a b a b ；②是，理由见解析【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC 是等边三角形，即可得到结论； （2）①根据线段的和差即可得到结论；②根据方程的解得定义，判断AD 是方程的解，则当AD=BE 时，同时是方程的解，即可得到结论．【详解】解：（1）∵90ABC ∠=︒，90A C ∴∠+∠=︒，90ABD CBD ∠+∠=︒又A ABD ∠=∠，C CBD ∴∠=∠DC DB ∴=DC BC =DBC ∴∆是等边三角形．60C ∴∠=︒．（2）①∵BC a AB b ==，， 22AC a b ∴=+22 AD AC BC a b a ∴=-=+又AD AE =，()2222BE b a b a a b a b ∴=-+=+-+． ②∵()()22222220a b a a b a a b +-++= ∴线段AD 的长是方程2220x ax b +-=的一个根．若AD 与BE 的长同时是方程2220x ax b +-=的根，则 AD BE =，a ab =+-243ab b ∴=，0b ≠，34a b ∴= ∴当34a b =时，AD 与BE 的长同时是方程2220x ax b +-=的根． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．。

第二章：一元二次方程能力提升测试一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．已知1=x 是方程012=++px x 的一个实数根，则p 的值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． ﹣22．已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=+-c b a ，则该方程一定有一个根为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． -13．关于x 的一元二次方程()02212=-+-x x k 有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是( )A ． 1B ． 0C ． 2D ． 34．若关于x 的一元二次方程()()0112222=+++-x m x m 有解，那么m 的取值范围是( )A ．43>m B ．43≥m C ．43>m 且2≠m D ．43≥m 且2≠m 5．若一元二次方程()096222=-++m x m 的一个根为0，则m 等于（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．3或-3 D ．9 6．方程()()121+=-+x x x 的解是（ ） A ．2B ．3C ．-1,2D ．-1,37．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数为（ ）A ．25B ．36C ．25或36D ．－25或－368.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24B ．24或85C ．48D ．859．如果非零实数a 是一元二次方程052=+-m x x 的一个根，a -是方程052=-+m x x 的一个根，那么a 的值等于( )A ． 0B ． 1C ．21D ． 5 10．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x 行或列，则列方程得( ) A ．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B ．(8－x)(10－x)＝8×10＋40 C ．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D ．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.若关于x 的一元二次方程062=++bx ax 的一个根为2=x ，则代数式_______62=++b a 12．若关于x 的一元二次方程()01532=+-+x x a 有实数根，则整数a 的最大值是__________13．已知直角三角形两直角边x 、y 的长满足032422=--+-y y x ，则斜边长为_________14．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的盈利为1600元，则每件应降价___________元15.两个奇数，其中一个为另一个的平方，较大奇数与较小奇数的差为110，两个奇数分别为___________16.方程()0142=---p x x 与032=-+px x 仅有一个公共根，那么p 的值为___________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题6分）解下列方程：（1）08922=+-x x （2）()()x x x 326237-=-18.（本题8分）关于x 的方程012=++-a ax x 有两个相等的实数根， 求a a a a a a a a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+44412222的值．19（本题8分）．已知方程()0612=-+-x k x 是关于x 的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．20.（本题10分）．已知关于x 的一元二次方程012=+++n mx x 的一根为2． （1）用含m 的代数式表示n ；（2）试说明：关于y 的一元二次方程02=++n my y 总有两个不相等的实数根．21（本题10分）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝7 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动．(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒后，△PBQ 的面积等于4 cm 2?(2)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒后，PQ 的长度等于102 cm? (3)在(1)中，△PQB 的面积能否等于7 cm 2？说明理由．22（本题12分）．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个． （1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？（3）在（2）的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．23（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两直角边OA ，OB 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(OA ＜OB)，且OA ，OB 的长分别是一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的两个根．线段AB 的垂直平分线CD 交AB 于点C ，交x 轴于点D ，点P 是直线CD 上一个动点，点Q 是直线AB 上一个动点． (1)求A ，B 两点的坐标；(2)求直线CD 的解析式；(3)在坐标平面内是否存在点M ，使以点C ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为21AB 长？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。