等差数列与等比数列教案 高考例题精析

等差数列与等比数列数学教案引言：数列是数学中一种重要的数学概念，是指按照一定规律排列的数的集合。

其中，等差数列和等比数列是数学中最常见的两种数列。

它们是数学中的基础概念，掌握它们的性质与运算方法对深入理解数学知识、提高解决问题的能力具有非常重要的意义。

本教案将通过丰富的案例和实际问题，帮助学生全面掌握等差数列和等比数列的相关知识。

一、等差数列1. 等差数列的定义与公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都是一个常数的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项可表示为an=a1+(n-1)d。

其中，a1为首项，d为公差，n为项数。

案例：一个等差数列的首项为3，公差为4，求该等差数列的第10项。

2. 等差数列的通项公式推导与应用等差数列的通项公式是指可以通过首项、公差和项数，直接求得等差数列的第n项。

通项公式为an=a1+(n-1)d。

案例：已知一个等差数列的第5项为21，公差为7，求该等差数列的前10项和。

3. 等差数列的性质与运算等差数列具有以下性质和运算方法：（1）等差数列的任意两项的和等于这两项所夹项的两倍。

（2）等差数列的前n项和可以通过n(n+1)/2求得。

案例：某等差数列的前5项和为30，公差为2，求该等差数列的首项和第7项。

二、等比数列1. 等比数列的定义与公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都是一个常数的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项可表示为an=a1 * q^(n-1)。

其中，a1为首项，q为公比，n为项数。

案例：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该等比数列的第5项。

2. 等比数列的通项公式推导与应用等比数列的通项公式是指可以通过首项、公比和项数，直接求得等比数列的第n项。

通项公式为an=a1 * q^(n-1)。

案例：已知一个等比数列的第3项为16，公比为2，求该等比数列的前6项和。

3. 等比数列的性质与运算等比数列具有以下性质和运算方法：（1）等比数列的任意两项的比等于这两项所夹项的指数幂。

等差数列及其前n 项和 等比数列及其前n 项和等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示 充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示 不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 题组二 教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三 易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．(多选)设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值6．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝____时，{a n }的前n 项和最大．7．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．等差数列基本量的运算1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．122．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n3．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1 (2020·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (2019·江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.跟踪训练2 (1)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( )A.1316B.1314C.1116D.1115(2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．131．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于( ) A ．－2 B ．0 C ．3 D ．62．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－33．在等差数列{a n }中，已知a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A ．2 020 B ．2 021 C ．4 040 D ．4 0424．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．1846．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．147．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( ) A ．a 10＝0 B ．S 10最小 C ．S 7＝S 12 D ．S 20＝08．(多选)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( ) A ．a n ＝－12n－1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 0509．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.13．(2020·大连模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于( )A ．90B ．100C ．110D ．12014．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A ．210 B.1210 C.10 D.321016．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn ，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)． 概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示 不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示 必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二 教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11题组三 易错自纠4．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．log 2a 2nC ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}5．若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．22．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．23．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .等比数列的判定与证明例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列； (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列；(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列． 例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( ) A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2n C ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1 B ．3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D ．5n －3×2n －1构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根． 例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2019·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916 D ．3785．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－162 C ．2 D ．1627．(多选)在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为( ) A ．8 B ．12 C ．－8 D ．－128．(多选)在等比数列{a n }中，公比为q ，其前n 项积为T n ，并且满足a 1＞1，a 99·a 100－1＞0，a 99－1a 100－1＜0，下列选项中，结论正确的是( ) A ．0＜q ＜1 B ．a 99·a 101－1＜0C ．T 100的值是T n 中最大的D ．使T n ＞1成立的最大自然数n 等于1989．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________.10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1 成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 020的个位数字是____．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ，2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝2n a ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．。

课题：等差数列与等比数列『三维目标』1.知识与能力：①掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及其他性质公式；②进一步渗透方程思想、分类讨论思想、等价转化思想以及体会类比与归纳的数学方法。

2.过程与方法：通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。

3.情感态度与价值观：通过公式的简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

『教学重点』等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及应用『教学难点』等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及应用『课型』复习课『教学过程』一、基础知识巩固二、例题分析◆例1．(2011辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式◇练一练(2011福建)等比数列{a n }的公比q=3，前3项和S 3=133（I ）求数列{a n }的通项公式； ◆例2．（2009北京）若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a = ；8S =◇练一练（2012合肥三模)已知数列{}n a 满足122n n n a a a ++=-（*n N ∈）2151,75a S =-=,则5a =_______◆例3. (2011浙江)已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列 （I ）求数列{}n a 的通项公式及nS1.（2010重庆）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为________2.（2009湖南）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于______3.（2010全国Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1235a a a =，78910a a a =，则456a a a =_______4.（2009江西）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S =3，则96SS =______ 5.（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为________ 1．数列{}n a 中，若满足11a =，1112n n a a +-=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是_______数列， 数列{}n a 的通项公式n a =________2. 数列{}n a 中，若11a =，121n n a a +=+，求数列{}n a 通项公式n a三、归纳小结：等差、等比数列是数列的基础内容，也是高中数学重点内容。

等差数列与等比数列一、高考考点1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列.2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求；求；解决关于或的问题.3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求；求；解决有关或的问题.4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。

二、知识要点（一）、等差数列1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.认知：｛｝为等差数列－ =d(n∈N※且d为常数) － =d (n 2, n∈N※且d为常数) 此为判断或证明数列｛｝为等差数列的主要依据.2.公式（1）通项公式： = +（n－1）d：引申： = +（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数 =kn+b (n )（2）前n项和公式： = 或 =n +认知：｛｝为等差数列为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n )3.重要性质(1)｛｝为递增数列 d＞0; ｛｝为递减数列 d＜0; ｛｝为常数列 d=0(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.(4)设 , , 分别表示等差数列｛｝的前n项和,次n项和,再次n项和,…则, , …依次成等差数列.（二）等比数列1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.认知：（1）｛｝为等比数列 =q (n∈N※且q为非零常数) =q(n≥2，n∈N※且q为非零常数)(2）｛｝为等比数列(n≥2，且≠0 ) (n ※，且≠0)2.公式（1）通项公式： = ；引申： = （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等比数列 =c (c,q均是不为0的常数，且n )（2）前n项和公式认知：｛｝为等比数列 =A +B （其中n ，且A+B=0）.3．主要性质：（1）设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ; （2）2m=p+q即在等比数列中，如果某三项（或更多的项）的项数成等差数列，则相应的各项依次成等比数列.（3）设 , , ，……分别表示等比数列的前n项和，次n项和，再次n项和，……，则 , , ，……依次成等比数列。

高考数学第九章数列第63课等差等比数列的综合问题教案第一篇：高考数学第九章数列第63课等差等比数列的综合问题教案等差、等比数列的综合问题一、教学目标1.掌握等差、等比数列的性质；2.能用类比的思想来研究等差、等比数列，体会它们的区别和联系；3.理解等差数列前n项和Sn与二次函数的关系；掌握求等差数列前n项和最值的基本方法。

二、基础知识回顾与梳理1、已知{an}是公差为d的等差数列，下列命题是否正确？①a2,a4,...a12是等差数列；②an,an-1,...a1是等差数列；③ca1,ca2,...can（c为常数）是等差数列．【教学建议】本题选自书本第35页习题，主要复习等差数列的概念，让学生学会用定义判断一个数列是否为等差数列．2、设{an}是等比数列，下列命题正确吗？2①an是等比数列；②{anan+1}是等比数列；③⎨{}⎧1⎫⎬是等比数列；④{lgan}是等比数列； a⎩n⎭⑤{an+an+1}是等比数列．【教学建议】本题选自课本第60页习题，提问学生：如何判断一个数列是否为等比数列，学会用定义判断一个数列是否为等比数列，第⑤小题学生容易忽略等比数列各项不能为零．3、下列说法是否正确？①1与4的等比中项是2；②等比数列{an}中a1=1,a5=4，则a3=2；【教学建议】本题考察等比中项的概念，学生可能在概念上犯错，教师在讲解时不需要避免学生出错，让学生暴露问题，老师进一步理清概念．4、数列1,x,x2,...xn-1的前n项和Sn=_________．【教学建议】本题选自书本第56页习题，等比数列求和学生使用时很容易忘记讨论q=1，主要让学生加深印象，对等比数列求和一定要考虑q=1的特殊情形，进一步练习：等比数列{an}中，S3=3a3，则公比q=______，说明一些特殊情况下可以回避用求和公式，避免讨论．三、诊断练习1、教学处理：数列小题解法较多，要重视学生自己思路解法。

课前学生自主完成，黑板板演，老师点评学生思路方法，比较多种解法，比较优劣，归纳总结．2、诊断练习点评题1：在等差数列{an}中，若S15=90，则a8=______________.【分析与点评】提出问题：条件S15=90如何使用，引导学生思考用等差数列求和公式的两种表示形式来翻译条件，归纳思路：（1）完全化归为基本量表示，S15=15a1+寻求Sn和an的关系，S15=15⨯14d=90，化简得a8=a1+7d=6；（2）215(a1+a15)=90，利用性质2a8=a1+a15，解得a8=6．2题2：公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且-3a,若a1=1，则S4＝________.a2,a3成等差数列，1-答案为：-20 【分析与点评】（1）等差等比数列的计算强调基本量的运算：化归为a1,d(q)的计算；（2）本题“递增”是关键，学生容易得到a1=1,a3=4⇒q2=4⇒q=2，代入公式求解；也可以得到a1⋅a3=4,a1+a3=5⇒q2=4⇒q=2．题3：等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.第3题答案为：5 题4：：等差数列{an}的公差是2，若a2,a4,a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=第4题答案为：Sn=_______ n(a1+an)=n(n+1)23、要点归纳（1）强化等差（比）数列的重要性质，对于下标和相等，等差（比）子数列的性质不同，要注意区别；（2）等差（比）数列的前n 项和的性质也不同，特别注意有关等差数列前n项和Sn取最值问题，如“诊断练习”第3题；（3）要重视等差（比）数列的性质在解题中的运用．四、范例导析*例1、数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2且Sn=Sn-1+2nn≥2,n∈N()(1)求Sn；(2)是否存在等比数列{bn}满足b1=a1,b2=a3,b3=a9？若存在，求出数列{bn}的通项公式；若不存在，说明理由.【教学处理】让学生板演，了解学生读题后的第一想法，加以点评总结，同时规范学生的书写【引导分析与精讲建议】1、第1问强调等差数列的证明,注意n=1的验证；2、第2问注重等差等比数列基本量的计算.*解析:(1)因为Sn=Sn-1+2nn≥2,n∈N，()所以有Sn-Sn-1=2n对n≥2,n∈N*成立.即an=2n对n≥2,n∈N*成立，又a1=S1=2⨯1，所以an=2n对n∈N成立.所以an+1-an=2a对n∈N成立，所以{an}是等差数列，所以有Sn=(2)存在.由(1)知，an=2n对n∈N成立，所以有a3=6,a9=18,又a1=2，所以有b1=2，b2=6,b3=18,则***a1+an⋅n=n2+n,n∈N*.2b2b3==3，b1b2所以存在以b1=2为首项，以3为公比的等比数列{bn}.练习:（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=100，S100=10，求S110；（2）已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an。

等差数列与等比数列的综合应用高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【参考答案】（1）；（2）.【试题解析】（1）设等差数列的首项为，公差为.依题意有，即.由，解得.所以.（2）由（1）知.因为，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以.【解题必备】等差、等比数列的综合是高考考查的热点，一般都是突出基本量和方程思想，强调基本的运算.解题时，关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系.注意运用等差数列与等比数列的基本量，即与来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化.一般地，若为等差数列，则且为等比数列；若为正项等比数列，则且为等差数列.1．已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和．2．已知等差数列满足，，数列满足，.（1）求，；（2）求数列的前项和.3．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.1．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由已知，得．而，所以．又因为，所以解得，所以．由，可得①．由，可得②．联立①②，解得，，由此可得．所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．（2）设数列的前项和为，由，，有，故，．上述两式相减，得．得．所以，数列的前项和为．【名师点睛】本题是等差数列和等比数列的综合题，主要考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的递推式、错位相减法.2．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由题知为等差数列，设其公差为，则解得故；又，则.（2）由（1）知：，，故，，故，【名师点睛】本题考查了等差数列，错位相减法，意在考查学生对于数列公式和性质的灵活运用. 3．【答案】（1）；（2）5或.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以有，即.因为，所以，联立方程组，解得，∴.（2）∵，解得或3，当时，，此时；当时，，此时，所以或75.【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用问题，熟记等比数列、等差数列的通项公式是解决本题的关键.。

高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n ，前n 项和S n 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．备考时应切实文解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．1．等差数列(1)定义式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)； (2)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋a n 2＝na 1＋n n －1d2；(4)性质：①a n ＝a m ＋(n －m )d (n 、m ∈N *)；②若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．等比数列(1)定义式：a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)；(2)通项公式：a n ＝a 1q n －1；(3)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 q ＝1，a 11－q n 1－q q ≠1.(4)性质：①a n ＝a m q n－m (n ，m ∈N *)；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q (p 、q 、m 、n ∈N *)．3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n 项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用a n 与S n 的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n 项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1．应用a n 与S n 的关系，等比数列前n 项和公式时，注意分类讨论． 2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．3．讨论等差数列前n 项和的最值时，不要忽视n 为整数的条件和a n ＝0的情形． 4．等比数列{a n }中，公比q ≠0，a n ≠0.高频考点一 等差数列的运算例1、（2018年江苏卷）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n 项和，则使得成立的n 的最小值为________．【答案】27 【解析】设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解， 此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为27.【变式探究】(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【变式探究】(1)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97 解析：通解：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝27a 10＝a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98，选C.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.答案：C(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【方法规律】1．通解是寻求a 1与d 的关系，然后用公式求和．优解法是利用等差中项性质转化求和公式．2．在等差数列中，当已知a 1和d 时，用S n ＝na 1＋nn －12d 求和．当已知a 1和a n 或者a 1＋a n ＝a 2＋a n －1形式时，常用S n ＝a 1＋a n n2＝a 2＋a n －1n2求解．学+科网【变式探究】若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选B.∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列，∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20x 1＋x 202，∴x 1＋x 20＝20，又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16，∴x 5＋x 16＝20.高频考点二 等比数列的运算 例2、（2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则A. B. C.D.【答案】B 【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意； 若公比，则但，即，不合题意； 因此， ，选B.【变式探究】【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知,则8a = ▲ . 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则.【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：通解：求a 1a 2…a n 关于n 的表达式a 2＋a 4a 1＋a 3＝a 1＋a 3·q a 1＋a 3＝510，∴q ＝12 ∴a 1＋a 1⎝⎛⎭⎫122＝10，∴a 1＝8 ∴a 1·a 2·a 3…a n ＝a n 1·q n n －12＝8n ×⎝⎛⎭⎫12n n －12＝2－n 2＋7n 2当n ＝3或n ＝4时，－n 2＋7n 2最大为6.∴a 1a 2…a n 的最大值为26＝64 优解：利用数列的单调变化设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64.答案：64(2)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18解析：通解：∵a 3＝a 1·q 2，a 4＝a 1·q 3，a 5＝a 1·q 4， ∴a 21·q 6＝4(a 1·q 3－1) ∵a 1＝14，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1·q ＝12.优解：设{a n }的公比为q ，由等比数列的性质可知a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，得a 4＝2，则q 3＝a 4a 1＝214＝8，得q ＝2，则a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.答案：C 【方法规律】1．解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．2．运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．【变式探究】等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：选C.由题意知a 1·a 8＝a 2·a 7＝a 3·a 6＝a 4·a 5＝10，∴数列{lg a n }的前8项和等于lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 4·a 5)4＝4lg(a 4·a 5)＝4lg 10＝4.故选C.高频考点三 数列递推关系的应用例3、（2018年天津卷）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．（Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.【解析】（I ）设等比数列的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得．因为，可得，故．所以，．设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，所以，．（II ）由（I ），有 由可得， 整理得解得（舍），或．所以n 的值为4．【变式探究】已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式． (2)求{b n }的前n 项和．解析：(1)因为a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ， 所以a 1b 2＋b 2＝b 1，解得a 1＝2又{a n }是公差为3的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，即通项公式为a n ＝3n －1. (2)由a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1b n ＝13，所以数列{b n }是首项b 1＝1，公比q ＝13的等比数列所以数列{b n }的前n 项和为S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝32－12·31－n . 【方法规律】判断和证明数列是等差(比)数列的方法1．定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的一常数． 2．中项公式法：(1)若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列； (2)若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列． 【变式探究】已知等差数列{a n }的公差d ≠0，{a n }的部分项ak 1，ak 2，…，ak n 构成等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k n .1. （2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则 A. B.C.D.【答案】B 【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意； 若公比，则但，即，不合题意； 因此， ，选B.2. （2018年北京卷）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B. C.D.【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D.3. （2018年江苏卷）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.4. （2018年浙江卷）已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1−b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.5. （2018年天津卷）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+…+T n）=a n+4b n，求正整数n的值．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.【解析】（I）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．因为，可得，故．所以，．设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，所以，．（II）由（I），有由可得，整理得解得（舍），或．所以n的值为4．6. （2018年北京卷）设是等差数列，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.【答案】（I）（II）【解析】（I）设等差数列的公差为，∵，∴，又，∴.∴.（II）由（I）知，∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.∴.∴7. （2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求的值；（2）求的表达式(用n表示)．【答案】（1）2 5（2）n≥5时，【解析】（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．当n≥5时，，因此，n≥5时，．1．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为() A．1B．2C ．4D ．8解析：通解：选C.设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.优解：由S 6＝48得a 4＋a 3＝16， (a 4＋a 5)－(a 4＋a 3)＝8， ∴d ＝4，故选C.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A.由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×－22＝－24.故选A.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1， ① a 1(1－q 2)＝－3. ②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2. ∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8. 答案：－84．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q 2＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝－2[1－－2n ]1＋2＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋－1n 2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97【答案】C【解析】由已知,所以故选C.2【2016高考浙江文数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且，，（）.若（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}nS 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}nd 是等差数列 【答案】A【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．3.【2016年高考北京文数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列，∴，40a =，，2d =-，∴，故填：6．【解析】依题意得2214S S S =，∴，解得112a =-．【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式．7. 【2014大纲高考文第10题】等比数列{}n a 中，，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C ． 【解析】由已知得为等比数列，为等差数列，∴所求和为，故选C ．【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式．8. 【2014高考广东卷文第13题】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且，则 .【答案】50【考点定位】等比数列的基本性质与对数的基本运算9. 【2014高考安徽卷文第12题】数列{}n a 是等差数列，若构成公比为q 的等比数列，则q =________.【答案】1【解析】∵成等比，∴，令，则，即，∴0y=，即10d +=，∴1q =. 【考点定位】等差、等比数列的性质.10. 【2014高考北京版文第12题】若等差数列{}n a 满足，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质，，08>a ，又因为0107<+a a ，所以098<+a a 所以09<a ，所以78S S >，98S S >，故数列}{n a 的前8项最大.【考点定位】等差数列的性质，前n 项和的最值11. 【2014高考大纲文第18题】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）133n a n =-；（2）．【解析】（1）由已知可得等差数列{}n a 的公差d 为整数．由4n S S ≤可得列出不等式组解得d 的范围，从而可确定整数d 的值，最后由等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由已知先写出，列出n T 的表达式，由于n b 可分裂为，故采用裂项相消法求n T ．（1）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故于是，解得，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（2），于是．【考点定位】等差数列通项公式、裂项法求数列的前n 项和．12. 【2014高考广东文第19题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足，n N *∈，且315S =.（1）求1a 、2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）13a =，25a =，37a =；（2）21n a n =+.【解析】（1）由得，整文得，因此有，即，解得28S =，同文有，即，解得13S =，，，；（2）由题意得，由（1）知13a =，25a =，37a =，猜想21n a n =+， 假设当时，猜想成立，即21k a k =+，则有，则当1n k =+时，有，这说明当1n k =+时，猜想也成立，由归纳原文知，对任意n N *∈，21n a n =+.【考点定位】数列的通项13. 【2014高考湖北文第18题】已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列.（1）求数列}{n a 的通项公式.（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明文由.【答案】（1）2=n a 或24-=n a n .【解析】（1）设数列}{n a 的公差为d ，依题意，成等比数列， 所以，解得0=d 或4=d ，当0=d 时，2=n a ；当4=d 时，，所以数列}{n a 的通项公式为2=n a 或24-=n a n .【考点定位】等差数列、等比数列的性质、等差数列的求和公式.。

一、等差数列与等比数列的概念解析1. 等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做这个数列的公差，这样的数列叫做等差数列。

2. 等比数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都是一个常数，这个常数叫做这个数列的公比，这样的数列叫做等比数列。

二、等差数列的性质与通项公式1. 等差数列的性质：（1）等差数列的相邻两项之差相等。

（2）等差数列的任意一项都可以用首项和公差表示。

（3）等差数列的前n项和公式为：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。

2. 等差数列的通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$a_n$是第n项。

三、等比数列的性质与通项公式1. 等比数列的性质：（1）等比数列的相邻两项之比相等。

（2）等比数列的任意一项都可以用首项和公比表示。

（3）等比数列的前n项和公式为：$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。

2. 等比数列的通项公式：$a_n = a_1 q^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$a_n$是第n项。

四、等差数列与等比数列的判定1. 等差数列的判定：如果一个数列满足相邻两项之差相等，则这个数列是等差数列。

2. 等比数列的判定：如果一个数列满足相邻两项之比相等，则这个数列是等比数列。

五、等差数列与等比数列的求和1. 等差数列的求和：已知首项$a_1$，公差$d$，项数$n$，求前n 项和$S_n$。

根据公式$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$，直接代入求解。

2. 等比数列的求和：已知首项$a_1$，公比$q$，项数$n$，求前n 项和$S_n$。

根据公式$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$，直接代入求解。

等差数列与等比数列教案高考例题目精析一、等差数列的概念及性质1. 等差数列的定义：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，数列的首项称为首项。

2. 等差数列的性质：（1）等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 (2a1 + (n-1)d)3. 例题精析：（1）已知等差数列的前5项和为35，求该数列的首项和公差。

（2）已知等差数列的前n项和为10n，求该数列的首项和公差。

二、等比数列的概念及性质1. 等比数列的定义：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都是一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，数列的首项称为首项。

2. 等比数列的性质：（1）等比数列的通项公式：an = a1 q^(n-1)（2）等比数列的前n项和公式：Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)3. 例题精析：（1）已知等比数列的前5项和为125，求该数列的首项和公比。

（2）已知等比数列的前n项和为10n，求该数列的首项和公比。

三、等差数列与等比数列的求和1. 等差数列的求和：（1）前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 (2a1 + (n-1)d)（2）部分和：S_k = k/2 (a1 + ak) = k/2 (a1 + a1 + (k-1)d) = k/2 (2a1 + (k-1)d)2. 等比数列的求和：（1）前n项和：Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)（2）部分和：S_k = a1 (1 q^k) / (1 q)3. 例题精析：（1）已知等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。

（2）已知等比数列的首项为2，公比为3，求前6项的和。

四、等差数列与等比数列的通项公式应用1. 等差数列的通项公式应用：（1）求某项的值：an = a1 + (n-1)d（2）求首项或公差：a1 = an (n-1)d 或d = (an a1) / (n-1)2. 等比数列的通项公式应用：（1）求某项的值：an = a1 q^(n-1)（2）求首项或公比：a1 = an / q^(n-1) 或q = an / a13. 例题精析：（1）已知等差数列的第5项为17，求该数列的首项和公差。

1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2＝2，则{a n }前10项的和等于( )A.1－2103 B ．－1－2103 C ．210－1D ．1－2103．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3＋a 2)，则 9a 1a 2a 3…a 9等于( )A ．－9B ．9C ．－81D ．81@4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．125．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( )A ．15B ．－15C ．30D ．25二、填空题6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则此人第4天走的里程是________里．8．(2019·雅礼中学调研)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n＋2(n ∈N *)．令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________． ：三、解答题9．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．10．已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：S n ＜163.?B 级 能力提升11．(2019·广州调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )A ．4B ．3C ．23－2D.9212．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a ·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足2a n －1＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和M n ；(2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由．)1．解析：设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.@所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n . 答案：A2．解析：由题意得，a n ＋1＋2a n ＝0，则a n ＋1a n＝－2，即数列是公比为－2的等比数列，又a 2＝2，所以a 1＝－1，所以{a n }前10项的和等于S 10＝a 1（1－q 10）1－q＝－1－2103.答案：B3．解析：根据题意可知a 5＋a 4a 3＋a 2＝q 2＝3，则9a 1a 2a 3…a 9＝ 9a 95＝a 5＝a 1·q 4＝1×32＝9.答案：B【4．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×（3－1）2×d ＝2a 1＋2×（2－1）2×d ＋4a 1＋4×（4－1）2d ，解得d ＝－32a 1， 因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案：B5．解析：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)， 由S 3＝3a 2＝9，得a 2＝3.又a 2－1，a 3－1，a 5－1成等比数列，;所以(a 3－1)2＝(a 2－1)(a 5－1)，则(2＋d )2＝2(2＋3d )，所以d ＝2，则a 3＝a 2＋d ＝5，故S 5＝5a 3＝25. 答案：D 二、填空题6．解析：因为a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， 所以a 1＝－4，d ＝1， 所以a 5＝a 1＋4d ＝0， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5. `令a n ＜0，则n ＜5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正，所以S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10. 答案：0 －107．解析：由题意，每天走的路程构成公比为12的等比数列．设等比数列的首项为a 1，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378， 所以a 1＝192.因此a 4＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案：24—8．解析：由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以a n ＋1＝3n ，a n ＝3n －1. 所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝100（1＋100）2＝5 050. 答案：5 050 三、解答题9．解：(1)设{a n }的公差为d . 】由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ， S n ＝n （n －9）d 2. 由a 1＞0知d ＜0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}．<10．(1)解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1＝a 1－3，a 3＝（a 2＋1）－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝－4，a 1q 2－a 1q ＝－2，解得⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12.所以a n ＝a 1qn －1＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n .(2)证明：因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2a 2n＝14，所以数列{b n }是以b 1＝a 2＝4为首项，14为公比的等比数列．所以S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝163·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＜163. 、B 级 能力提升11．解析：依题意a 23＝a 1a 13，即(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2.因此a n ＝2n －1，S n ＝n 2.则2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝（n ＋1）2－2（n ＋1）＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2（n ＋1）×9n ＋1－2＝4，当且仅当n ＝2时取得最小值4.答案：A12．解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 由a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，a ·b ＝24，）得a 1＋a 10＝24，又S 11＝143，解得a 1＝3，d ＝2，因此数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 所以1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， 所以M n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n6n ＋9(n ∈N *)． (2)因为2a n －1＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)，且a 1＝3， 所以T n ＝4n λ＋2λ， 当n ＝1时，b 1＝6λ；当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝3·4n －1λ， 此时有b nb n －1＝4，若{b n }是等比数列，则有b 2b 1＝4，而b 1＝6λ，b 2＝12λ，彼此相矛盾，故不存在非零实数λ使数列{b n }为等比数列．。