人教课标版高中数学必修5典型例题剖析：等差数列的通项与求和

人教版高三数学必修五《等差数列》评课稿一、教材内涵及重点难点分析1. 教材内涵《等差数列》是高中数学必修五教材中的重要章节之一，主要包括等差数列的定义、性质、通项公式、求和公式以及等差数列应用等内容。

2. 重点内容•等差数列的定义：解释等差数列的概念，理解首项、公差和项数的意义。

•等差数列的性质：掌握等差数列的常见性质，如公差的相等性、前后项差值的相等性等。

•等差数列的通项公式：掌握推导等差数列通项公式的方法，能够灵活运用通项公式求解相关问题。

•等差数列的求和公式：了解等差数列求和公式的推导过程，掌握求和公式的应用方法。

•等差数列的应用：应用等差数列解决实际问题，如找规律、推导公式、计算累计人数等。

3. 难点分析•掌握等差数列通项公式的推导方法；•灵活运用等差数列求和公式；•结合实际问题求解等差数列的应用题。

二、教学目标和要求1. 教学目标•理解等差数列的概念，能够应用等差数列的相关术语；•掌握等差数列通项公式的推导过程，能够灵活运用通项公式求解问题；•掌握等差数列求和公式的应用方法，能够计算等差数列的累加和；•能够结合实际问题运用等差数列解决相应的应用题。

2. 教学要求•学生能够准确理解等差数列的概念和相关术语；•学生具备基本的代数运算能力，能够进行简单的方程和不等式的变形；•学生能够运用等差数列的相关公式解决基本的数学问题；•学生具备一定的应用问题分析和解决能力。

三、教学内容和教学步骤1. 教学内容•等差数列的定义和性质；•等差数列的通项公式；•等差数列的求和公式；•等差数列的应用。

2. 教学步骤步骤一：导入与引导•介绍等差数列的定义，引导学生理解等差数列的概念；•解释等差数列的相关术语，如首项、公差、项数等；•提出一个关于等差数列的问题，激发学生思考和讨论。

步骤二：讲解和示范•通过示例，讲解等差数列的性质，如公差的相等性、前后项差值的相等性等；•推导等差数列通项公式的过程，引导学生理解通项公式的含义和应用方法；•演示运用通项公式求解等差数列相关问题的步骤。

求数列的通项公式【知识概述】1. 数列是高考数列命题的重要考点，考查目标则是考查学生的观察能力、抽象概括能力、计算能力、分析问题与解决问题的能力、转化与化归能力和推理运算能力等，在数列中蕴含着大量的思想方法，同时也是考查同学们数学能力的一个重要载体.命题的形式则比较灵活，在选择填空题和解答题中都有出现，一般为中高难度题，对考生的能力要求较高.2.在数列的大家庭中有形形色色的数列，等差数列和等比数列是两种非常重要的，也是非常基础的数列，当我们遇到的数列不是等差等比数列时，我们要通过一定方法转化成等差、等比数列，再运用等差、等比数列的知识进行研究3.数列中既可以出现比较简单的问题也可以出现比较复杂的、综合的问题，我们要学会把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把综合的、复杂的问题转化为基本的、简单的问题来解决，把综合的数列问题转化为通项、或者前n 项和的问题4.如何根据一个数列的递推公式来找到数列的通项公式【学前诊断】1．[难度] 易求下列数列的通项公式： （1）8，5，2，-1， (2)12，16，118，154，…（3）1，3，6，10，15，…2．[难度] 易已知数列的前项的和为223n S n n =-+，则n a ={}n a n3．[难度] 中在数列{}n a 中，若*111,32(2,),n n a a a n n -==+≥∈N 求该数列的通项公式n a .【经典例题】例1．在数列{}n a 中，若*111,32(2,),n n a a a n n -==+≥∈N 求该数列的通项公式n a .例2．在数列{}n a 中，已知112,13n n na a a a +==+，则2010a =____________.例3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,42n n a S a +==+.（1）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.例4．已知数列{}n a 满足11,a =11,()22,()n n na n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩当为奇数时，当为偶数时. （1）求2a ，3a ；（2）当2n ≥时，求22n a -与2n a 的关系式，并求{}n a 中偶数项的通项公式； （3）求数列{}n a 前100项中所有奇数项的和.【本课总结】由数列的递推公式求数列的通项公式主要有以下四种方法： 1.归纳法：就是写出数列的前几项，然后归纳猜想出数列的通项公式，不完全归纳法是合情推理，结论不可靠，如果是选填题，直接得出结果就可以了，若为解答题，则要用数学归纳法给出严格的证明.2. 累加（乘）法：若数列递推公式具有1()n n a a f n +-=的形式，可以用累加法，即21(1)a a f -=，32(2)a a f -=，…，1(1)n n a a f n --=-， 把这些等式的两端分别相加，得()()()21321(1)(2)(1)n n a a a a a a f f f n --+-++-=+++-，所以1(1)(2)(1)n a a f f f n =++++-.（当()f n 为常数时就是等差数列）.若数列递推公式具有1()n na f n a +=的形式，可以用累乘法，即21(1)a f a =，32(2)a f a =，…，1(1)n n a f n a -=-，把这些等式的两端分别相乘，得32121(1)(2)(1)n n a a a f f f n a a a -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-所以1(1)(2)(1)n a a f f f n =⋅⋅⋅⋅-(当()f n 为常数时就是等比数列).()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-,和23121n n n a a a a a a a -=⋅⋅⋅叫迭代法，跟累加法是同质的方法，但在使用时却比累加法还要方便，并有更广泛的使用价值.3. 构造辅助数列法：在已知数列的基础上，构造一个辅助的新数列，该新数列为等差（比）数列，然后先求出新数列的通项公式，再利用两数列的关系求出原数列的通项公式，这体现了转化思想的运用，也是解决数列问题的基本思想，构造辅助数列的常用途径有：{}{}21;;;;nnn a ak a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭{}1;n n a a --{}1n n a a λ--等.一般地：对于如下一些递推公式，可以构造辅助数列（等差、等比）加以解决：（1）1(0,1,)n n a c a d c c n *+=+≠≠∈N1n n a c a d +=+{}1()n n n a x c a x a x +⇔+=+⇔+是公比为c 的等比数列（其中x 为待定常数）或{}1111()n n n n n n n n a ca d a a c a a a a ++-+=+⇔-=-⇔-是公比为c 的等比数列，并用累加法求n a在1n n a c a d +=+中，当1c =时是等差数列，当0d =时是等比数列. （2）()10,n n n a ca d d n *+=+≠∈N1111nn n n n n na a c a c a ddd dd+++=+⇔=+，令n n na c d=，11n n c c c dd+⇔=+，转化为类型（1）.（3）1(0,)n n n k a a k n a b*+=≠∈+N1n n n k a a a b+=+1111n nb a ka k+⇔=⋅+，令1nn c a =，11n n b c c kk+⇔=+，转化为类型（1）4.利用关系11 (1) (>1)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩法：在既有通项n a 又含有前n 项和n S 的问题中，解题策略则是利用公式11(2)(1)n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩进行消元，转化为只含一种量n a （或n S ）的关系式.体现了转化思想的应用，数列中的一个重要问题就是n a 和n S 之间的相互转换.【活学活用】1．[难度] 中已知数列}{n a 满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，计算32,a a ，并求出数列的通项公式. 2. [难度] 难已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n为正整数）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意正整数n ，n S k ≤恒成立，求实数k 的最大值.3. [难度] 难已知数列}{n a 满足11=a ，12525(21)()3636nn n a a n +=++⋅，（1）求}{n a 的通项公式； （2）求}{n a 中的最大项. （3）若n n a c =，求n n c c c c S ++++= 321.。

等差数列求和的故事
数学家高斯小时候做的题1+2+3+…+100，就是求公差为1的等差数列前100项的和。

小高斯想到的方法与等差数列前n项和的公式完全相同。

等差数列是一个古老的数学课题。

例如，早在公元前2700年埃及数学的“莱因特纸草书”中，就记载有相关的问题。

在巴比伦晚期的“泥板文书”中，也有按递减分物的等差数列问题。

其中一个问题的大意是：
10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目。

现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟分得银子相差多少？
在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤。

比如卷上第23题（用现代语叙述）：
有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？
这实际上是一个已知首项、末项，以及项数求总数的问题。

等差数列有着较为广泛的实际应用。

例如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码。

1/ 1。

数列专项-2 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

例1.写出下列数列的一个通项公式a n（1）-1,4，-9,16，-25,36，......；（2）2,3,5,9,17,33，......。

类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩构造两式作差求解。

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a 和n a 合为一个表达，（要先分1n =和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。

例2.设数列{}a n 的前n 项和为()()*∈-=N n a S n n 131 （1）求21a a 、；（2）求数列n a 的通项公式。

例3.设数列{}a n 的前n 项和为()*∈+=N n a S nn 12，求证n a 为等比数列并求其通项公式。

类型Ⅲ 累加法：形如)(1n f a a n n +=+型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造： 11221(1)(2)..(1.)n n n n a a f n a a f n a a f ----=⎧⎪⎪⎨--=--=⎪⎪⎩ 将上述1-n 个式子两边分别相加，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-+-+++≥适用于)(n f 是可求和的情况。

①若()f n 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;例4.设数列{}a n 满足11=a ，121+=-+n a a n n ，求数列的通项公式。

② 若()f n 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;例5.设数列{}a n 满足21=a ，n n n a a 21=-+，求数列的通项公式。

数列专项之求和-4（一）等差等比数列前n 项求和1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nnn 项求和② 数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ⋅的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ⋅的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ⋅的前n 项和.此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法.例23. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S )0(≠x例24.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.一般地，当数列的通项12()()n ca anb an b =++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将na 变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12n a an b an b λλ=-++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cb b λ=-，从而可得12211211=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++常见的拆项公式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②1111();(21)(21)22121n n n n =--+-+③1a b=-- ④11;m m mn n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ⋅=+- ⑥])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n…… 例25. 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例26. 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。

姓名，年级：时间：第一课时等差数列的概念与通项公式1。

已知数列｛a n｝的通项公式为a n=3n—5,则此数列是( A ）（A）公差为3的等差数列(B）公差为—5的等差数列（C)首项为3的等差数列(D）首项为—5的等差数列解析:因为当n≥2时，a n—a n-1=3n-5-[3(n—1）—5]=3，所以此数列是公差为3的等差数列.故选A。

2。

在等差数列{a n｝中，若a3=2,a5=8,则a9等于( C )(A)16 (B）18 (C）20 （D）22解析:设等差数列{a n｝的公差为d,因为a3=2，a5=8,所以解得则a9=a1+8d=-4+8×3=20。

故选C。

3.已知a=,b=,则a，b的等差中项为( A ）（A)(B）(C）（D)解析：设a,b的等差中项为x，则有2x=a+b=+=（-)+(+）=2，所以x=，故选A.4。

已知x≠y，数列x，a1，a2,y与x，b1,b2，b3,y都是等差数列，则的值是（ A )（A)(B)(C）（D)解析：a2—a1=,b2—b1=,则=.故选A.5.已知｛a n｝为等差数列，首项为,它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( D )(A)(，+∞）(B)（-∞，)(C）(,）（D）（，)解析：由题意可得a1=，且根据等差数列的通项公式可得从而解得〈d≤。

故选D。

6。

已知等差数列{a n｝的公差d≠0，且a3=2a1，则的值为( C ）(A)（B)（C)(D）解析:a3=a1+2d=2a1，a1=2d,所以===,故选C.7。

《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱?”（“钱"是古代一种质量单位），这个问题中，甲所得为( C )（A)钱（B）钱(C)钱（D）钱解析：甲、乙、丙、丁、戊五人依次设为等差数列的a1,a2,a3，a4，a5，a1+a2=a3+a4+a5=，即解得甲所得为钱,故选C.8.在数列{a n｝中,若=+，a1=8，则数列{a n｝的通项公式为（ A ）(A）a n=2(n+1)2(B）a n=4（n+1）(C）a n=8n2 （D）a n=4n(n+1)解析：因为=+，所以-=,数列是等差数列,由等差数列通项公式得=2+（n—1)·=n+,所以a n=2(n+1）2,选A.9.等差数列｛a n}中，a2=—5,a6=11,则公差d= 。

等差数列的概念、性质考查重点：等差数列的通项公式、等差中项以及等差数列的判定 所占分数：10--25分教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系；教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。

1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。

用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =A.672B.673C.662D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-⨯=-令2015n a =，解得673n = 答案：B练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥< 所以有115235062360a d d a d d +=+≥+=+<解得2323,456d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==-其中n N +∈设221n n b a =-（1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2） 求数列{}n a 的通项公式解析：（1）1144222222121212121n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++--=-=-==----- 所以数列{}n b 是等差数列（2）()111121,21221212,212n n n a b b b n d n a n n a a n=∴==∴=+-=-+∴==-答案：（1）略 （2）12n n a n +=练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1n nb a =（1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式 答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列 （2）443n a n =- ，34n b n =- 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d 答案：15,1a d =-=例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得8252a +== ；2为,ab 的等差中项得1b =-；由b 为2与c 的等差数列，得4c =- 答案：5，-1，-4练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 答案：2016例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得20151,20152015201520150n k b a n a =-=∴=-+∴=-+=答案：0练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2 答案：D练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b （1） 求1b 和2b （2） 求{}n b 的通项公式 （3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列 （1）()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+--=- 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==-==-（2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n mb a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n -=+-=-∴===--=- 则1320n b n =-（3）503132*********b =-⨯=- ，设它是{}n a 中的第m 项，则1004785m -=-，则2011m =，即{}n b 中的第503项是{}n a 中的第2011项1.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：A2.在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a101的值为()A．49 B．50 C．51 D．52答案：D3. 如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21 C．28 D．35答案：C4. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0D．a51＝0答案：D5. 等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30 B．27 C．24 D．21答案：B6. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63答案：B_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A ．11B ．12C ．13D ．14 答案：C2. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．33 答案：D3. 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( )A ．15B ．30C ．31D ．64 答案：A4. 等差数列中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝420，则a 2＋a 10等于( )A ．100B ．120C ．140D ．160 答案：B 5. 已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A.3 B.2 C.13 D.12答案：A6. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案： 747. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______. 答案： 858. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案：C9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：4210. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 答案：411. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． 答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案：D13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 答案：C14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12 C.23 D ．－1答案：B15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A.32B.23C.43D.34 答案：C16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案：676617. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根答案：A18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1答案：C19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：12(A ＋B )20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________． 答案：4,6,821. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：2022. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝3813∉N ＋.∴－101不是数列{a n }中的项． (3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝423.∵n ∈N ＋，∴n ≥5， 即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴423<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？答案：设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项．24. 已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，∴a 1＋5d ＝13.∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1，∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23. 27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．答案：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3. ∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ，即sin 2B ＝sin A ·sin C ，∴sin A sin C ＝34. 又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ，∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )2， ∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3，A ＝B ＝C . 故△ABC 为等边三角形．。