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高中数学是学生在数学学科中学习的重要阶段，数学知识的掌握对于学生进入大学甚至未来的职业发展都是至关重要的。
而在高中数学的学习过程中，大家必须掌握一定的数学题目，才能更好的提高自己的数学水平。
我将在本文中共享70个高中数学必刷题，希望能够帮助更多的学生在高中数学学习过程中取得更好的成绩。
一、代数部分1. 一元二次不等式2. 根据配方法求最值3. 分式方程4. 二项式定理5. 绝对值不等式6. 倍式展开与二项式系数二、函数部分7. 函数奇偶性8. 函数极值问题9. 参数方程问题10. 反函数与复合函数11. 对数函数的性质12. 求极限问题三、方程部分13. 解方程组14. 解不等式组15. 二元一次方程组16. 解三元一次方程组17. 解分式方程18. 二次方程的判别式四、几何部分19. 三角形内角和20. 三角形外角定理21. 直线与平面的交点22. 圆的切线与切点23. 直角三角形的性质24. 平行四边形的几何关系五、概率部分25. 事件的概率26. 条件概率27. 期望与方差28. 排列与组合29. 二项分布30. 正态分布的性质六、数列部分31. 数列的通项32. 数列的性质33. 数列的求和34. 数列的递推公式35. 等差数列与等比数列36. 等比中项问题七、植物生长模型37. 个体生长模型38. 种裙增长模型39. 人口增长模型40. 自然增长模型41. 对数生长模型42. 指数生长模型八、微积分部分43. 函数的极限44. 函数的连续性45. 一元函数的导数46. 函数的微分47. 函数的积分48. 微积分中的应用问题九、向量部分49. 向量的定位问题50. 向量的线性运算51. 向量的数量积52. 向量的夹角问题53. 平面向量的应用54. 空间向量的应用十、解析几何部分55. 曲线与曲面的方程56. 空间中的直线57. 空间中的平面58. 空间中的球面59. 空间中的圆锥曲线60. 空间中的二次曲面十一、复数部分61. 复数的性质62. 复数的运算63. 复数的共轭64. 复数的幂与根65. 复数的几何意义66. 复数方程问题十二、三角部分67. 弧度与角度的转换68. 三角函数的基本关系69. 三角函数的图像70. 三角函数的性质以上便是我整理的高中数学必刷题清单，希望对大家在高中数学学习中有所帮助。
河北省邢台市第八中学2025届高考冲刺数学模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ） ①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数； ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±3．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．84．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -6．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40 B ．60 C ．80D ．1007．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且8．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．πB 2πC 3πD ．2π9．设a ，b ，c 是非零向量.若1()2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅，则（ ） A ．()0a b c ⋅+=B ．()0a b c ⋅-=C ．()0a b c +⋅=D ．()0a b c -⋅=10．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 11．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg1012．设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅>”的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．充分不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学秒杀干货内容盘点高考数学秒杀干货内容盘点板块一：函数板块秒杀干货1：已知函数奇偶性求解参数的值【策略】带一对数值秒解，比如为偶函数，则(1)(1)f f −=即可；甚至如果为奇函数，且0x =可取，则(0)0f =，计算更快。
【例题】若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.【解析】(0)0f =，则2a =秒杀干货2：“奇函数+常数”模型 【策略】()()2f f −+=常数【例题】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f −的值为（ ） 3.A0.B1.−C2.−D【解析】()()()02f a f a f a −+=⇒−=1【例题】设，已知，求的值____________ 【解析】(7)(7)5(7)272f f f −+=⇒=:秒杀干货3：函数周期性结论()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=−+=+=−+=−+=−−+=−⎧−⎨+=−⎩+=−⎧⎨⎩+=−−⎧−⎨+=−−⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=−−⎧⎨⎩+=−⎧−⎨+=−−⎩+=−⎧⎨⎩+=−−⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数注：记住结论，可以大幅度提高我们解题速度和准度，不用现场推算。
高考数学突破130分一．考纲解读1．考基础，突出主干内容2．考能力，突出思想方法，3．考素质，突出应用创新二．命题分析1．高考命题，以纲为纲2．高考命题，以本为本3．高考命题，以考为考三．复习建议1．抓课本题，深化知识基础2．抓典型题，强化解题能力3．抓易错题，优化思维品质（以“类型+方法”夯实基础，以“模式+变式”训练能力，以“小题+大题”破解难题，以“问题+专题”提升素质）四．答卷提示1．审题与解题关系2．会做与得分关系3．快速与准确关系4．难题与容易题关系一．考纲解读高考考什么，简单的说，就是考数学的基础知识，思想方法，能力素质。
是如何体现的呢？1.1考基础知识，突出三个重点１．１．１加强对课本内容的考查课本是学习的依据，也是考试命题的依据，虽说这几年的高考命题把能力的考查放在首位，但对基础知识的考查始终未放松，而且突出了对课本内容的考查，一是注重课本知识的内在联系和思维过程，强调知识的之间的交叉、渗透和综合，二是体现在试题中始终有一定数量的课本类型题，导向着中学的数学教学。
１．１．２加强对新增内容的考查“简易逻辑”--------主要起到语言和工具性作用，与不等式知识和集合内容联合命题，“空间向量”-------选学内容，一道试题用两方法。
或两道试题选一法，传统方法，空间向量方法。
平面向量------用选择、填空题体现基础性，考查基本概念、基本运算，用解答题体现工具性，与解析几何、三角函数整合线性规划---------属课本要求层次，考简单运算与应用。
概率统计--------稳定于两小一大，侧重于分布列与数学期望，名为考查概率，实为考查排列组合知识极限导数-------用小题考查基础：极限与连续，导数与切线方程，用解答题考查综合：以函数问题为背景，或含参问题的讨论，或不等式的证明，或求单调性，或求最值，１．１．３加强对重点内容的考查函数和导数--------占分比例大：用选择填空题考查函数的图象、性质，反函数，函数的极限、函数的连续、导数的几何意义等；突出综合性：统揽各种知识，综合各种方法，运用各种能力；考查思想方法：函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论的思想，有限与无限的思想等。
高中数学必做100道题在高中数学学习过程中，数学题的练习是非常重要的一部分，可以帮助学生巩固知识、提高解题能力。
下面我为大家整理了一份高中数学必做的100道题，希望可以帮助大家更好地备考。
1. 计算：$3 \times 4 =$？2. 计算：$2^3 =$？3. 计算：$5 \times 6 - 2 =$？4. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} =$？5. 求下列代数式的值：$a = 3, b = 5$，计算 $2a + b = $？6. 求下列代数式的值：$x = 4, y = 2$，计算 $x^2 - y^2 = $？7. 求下列代数式的值：$m = 6, n = 3$，计算 $mn - 2m =$？8. 求下列代数式的值：$c = 8, d = 4$，计算 $cd + c =$？9. 求下列方程的解：$2x + 5 = 11$。
10. 求下列方程的解：$3y - 4 = 8$。
11. 求下列方程的解：$4z = 16$。
12. 求下列方程的解：$5w + 6 = 21$。
13. 简化下列分式：$\frac{8}{12}$。
14. 简化下列分式：$\frac{15}{20}$。
15. 简化下列分式：$\frac{18}{27}$。
16. 简化下列分式：$\frac{24}{36}$。
17. 求下列等式的值：$3a - 2 = 7$。
18. 求下列等式的值：$4b + 5 = 13$。
19. 求下列等式的值：$5c \div 2 = 10$。
20. 求下列等式的值：$6d \times 3 = 24$。
21. 计算三角形的面积：底边长为 5，高为 4。
22. 计算三角形的周长：边长分别为 3，4，5。
23. 计算正方形的面积：边长为 6。
24. 计算正方形的周长：边长为 8。
25. 解方程 $2x + 3 = 11 - x$。
26. 解方程 $3y + 5 = 2y - 1$。
2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编031.(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)命题“∃x ∈0,+∞ ，使a x ≤log a x (a >0且a ≠1)成立”是假命题，则实数a 的取值范围是()A.a >e12B.a >e1eC.1<a <e12D.1<a <e1e2.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)设a =ln1.02，b =sin0.02，c =151，则a ,b ,c 大小关系为()A.c <b <aB.c <a <bC.a <b <cD.a <c <b3.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +θ ω>0,|θ|<π2 ，f (0)=32，函数f (x )在区间-2π3,π6 上单调递增，在区间0,5π6 上恰有1个零点，则ω的取值范围是()A.45,2B.45,54C.45,1D.54,24.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)已知定义域为R 的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，都有f (2x )+f (2y )=-f (x +y )f (x -y )，且f (2)=2，则()A.f (0)=0B.f (x )为偶函数C.f (x +1)为奇函数D.2024i =1f (i )=05.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设A ,B ,C 三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB ⋅AC的最小值为()A.-94B.-2C.-32D.-436.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知数列a n 满足a n +1<a n +1<2a n +2，a 1=1，S n 是a n 的前n 项和．若S m =2024，则正整数m 的所有可能取值的个数为()A.48B.50C.52D.547.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设函数f x =0,x =34π+k πω-tan ωx -π4,x ≠34π+k πωω>0,k ∈Z ，若函数f x 在区间-π8,3π8上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为()A.23,2B.0,23C.23,103D.0,28.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知f (x )=e x -1-e 1-x2-ax ,x ≤1x +3x +1,x >1，a ∈R 在R 上单调递增，则a 的取值范围是()A.-2,1B.-2,-1C.-∞,1D.-2,+∞9.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知函数f (x )=2cos ωx +1(ω>0)在区间(0,π)上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()A.83,103B.83,103C.73,113D.73,11310.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)若a ≠0，函数f x =sin π6x -π6ax 2+bx +c ，且f x ≥0在0,8 上恒成立，则下列结论正确的是()A.a >0B.b <0C.c >0D.b +c >011.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)设双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，过点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别为D ，E ，若PF 1 ⋅PF 2 =0，且3|PD ||PE |=S △PF 1F 2，则双曲线C 的离心率为()A.233B.2C.3D.212.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知a >0，设函数f x =e 2x +2-a x -ln x -ln a ，若f x ≥0在0,+∞ 上恒成立，则a 的取值范围是()A.0,1eB.0,1C.0,eD.0,2e13.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知数列a n 满足a n +1a n +an +1a n +2=2，且a 2=a 12a 1+1,a 3=17，则3a 100=()A.165B.167C.169D.17114.(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)若cos α-π6 =13，则sin 2α+π6=()A.429B.79C.-429D.-7915.(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若a =log 4256，b =0.125-79，c =6log 32，则()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a16.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知x 1,x 2是函数f (x )=12ax 2-2x +ln x 的两个极值点，若不等式m >f x 1 +f x 2 +x 1x 2恒成立，则实数m 的取值范围是()A.(-3,+∞)B.[-2,+∞)C.(2,+∞)D.[e ,+∞)17.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知f x =4x -1+(x -1)2+a 有唯一的零点，则实数a 的值为()A.0B.-1C.-2D.-318.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)设函数f (x )=(x -a )sin ax ，若存在x 0使得x 0既是f (x )的零点，也是f (x )的极值点，则a 的可能取值为()A.0B.πC.πD.π219.(多选题)(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)若数列a n 满足1a n +1-1a n=d (n ∈N ∗，d 为常数)，则称数列a n 为“调和数列”.已知数列b n 为“调和数列”，下列说法正确的是()A.若∑20i =1b i =20，则b 10+b 11=b 10b 11B.若b n =2n +1c n ，且c 1=3，c 2=15，则b n =12n -1C.若b n 中各项均为正数，则b n +1≤b n +b n +22D.若b 1=1，b 2=12，则∑n +1i =2[b i ⋅ln (i -1)]≤n 2-n420.(多选题)(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设a >1，n 为大于1的正整数，函数的定义域为R ，f x -f y =a yf x -y ，f 1 ≠0，则()A.f 0 =0B.f x 是奇函数C.f x 是增函数D.f n +1f 1>a n +n 21.(多选题)(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)以下不等式成立的是()A.当x ∈0,1 时，e x +ln x >x -1x+2 B.当x ∈1,+∞ 时，e x +ln x >x -1x+2C.当x ∈0,π2时，e x sin x >x D.当x ∈π2,π时，e x sin x >x 22.(多选题)(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设正项等比数列a n 的公比为q ，前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，则下列选项正确的是()A.S 9=S 4+q 4S 5C.若a 1a 9=4，则当a 24+a 26取得最小值时，a 1=2D.若(a n +1)n >T 2n ，则a 1<123.(多选题)(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知f 3x +1 为奇函数，且对任意x ∈R ，都有f x +2 =f 4-x ，f 3 =1，则()A.f 7 =-1B.f 5 =0C.f 11 =-1D.f 23 =024.(多选题)(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知函数f (x )=x 2-x +2x 2+1⋅x 2-2x +2，则下列结论正确的是()A.f (x )的最小值为1B.f (x )的最大值为2C.f (x )在(1,+∞)上单调递减D.f (x )的图象是轴对称图形25.(多选题)(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知实数a ，b 是方程x 2-k -3 x +k =0的两个根，且a >1，b >1，则()A.ab 的最小值为9B.a 2+b 2的最小值为18C.3a -1+1b -1的最小值为3 D.a +4b 的最小值为1226.(多选题)(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知函数f (x )满足：f 1 =14，4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，则()A.f 0 =12B.f (x )为奇函数C.f (x )为周期函数D.f 2 =-1427.(多选题)(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知函数f x 的定义域为R ，设g x =f x +2 -1，若g x 和f x +1 均为奇函数，则()A.f 2 =1B.f x 为奇函数C.fx 的一个周期为4D.2024k =1f (k )=202428.(多选题)(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F 1-c ,0 和F 2c ,0 且c >0，动点M 满足MF 1 ⋅MF 2 =a 2a >0 ，动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ，则下列描述正确的是()A.曲线C 的方程是x 2+y 2 2-2c 2x 2-y 2 =a 4-c 4B.曲线C 关于坐标轴对称C.曲线C 与x 轴没有交点D.△MF 1F 2的面积不大于1a 229.(多选题)(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)对任意x ,y ∈R ，函数f x ，g x 都满足f x +f y +g x -2g y =e x +y ，则()A.f x 是增函数B.f x 是奇函数C.g x 的最小值是g 0D.y =2f x -g x 为增函数30.(多选题)(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)记数列a n 的前n 项和为S n ，若存在实数t ，使得对任意的n ∈N *，都有S n <t ，则称数列a n 为“和有界数列”，下列说法正确的是()A.若a n 是等差数列，且公差d =0，则a n 是“和有界数列”B.若a n 是等差数列，且a n 是“和有界数列”，则公差d =0C.若a n 是等比数列，且公比q <1，则a n 是“和有界数列”D.若a n 是等比数列，且a n 是“和有界数列”，则a n 的公比q <131.(多选题)(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是棱AB ,A 1B 1的中点，动点P 满足AP =λAB +μAD，其中λ,μ∈(0,1]，则下列命题正确的是()A.若λ=2μ，则平面AB 1P ⊥平面DEFB.若λ=μ，则D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为π4,π2C.若λ=μ-12，则PD 1∥平面A 1C 1E D.若λ+μ=32，则线段PF 长度的最小值为6232.(多选题)(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知x 1是函数f x =x 3+mx +n m <0 的极值点，若f x 2 =f x 1 x 1≠x 2 ，则下列结论正确的是()A.f x 的对称中心为0,nB.f -x 1 >f x 1C.2x 1+x 2=0D.x 1+x 2>033.(多选题)(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，C 上一点P 到F 和到y 轴的距离分别为12和10，且点P 位于第一象限，以线段PF 为直径的圆记为Ω，则下列说法正确的是()A.p =4B.C 的准线方程为y =-2C.圆Ω的标准方程为(x -6)2+(y -25)2=36D.若过点(0,25)，且与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线l 与圆Ω相交于A ，B 两点，则|AB |=4534.(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)四棱锥P -ABCD 的底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别在侧棱P A、PB、PC上，且满足PE=14P A，PF=23PB，PG=12PC.若平面EFG与侧棱PD交于点H，则PH=PD.35.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)方程cos3πx=x2的根的个数是.36.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知四面体ABCD各顶点都在半径为3的球面上，平面ABC⊥平面BCD，直线AD与BC所成的角为90°，则该四面体体积的最大值为.37.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知函数f x =sinπ-ωxcosωx-3sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间-2024π,2024π上所有零点之和为．38.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若定义在-∞,0∪0,+∞上的函数f(x)满足：对任意的x,y∈-∞,0∪0,+∞，都有：fxy=f x +f1y ，当x,y>0时，还满足：x-yf1x-f1y>0，则不等式f x ≤x -1的解集为．39.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则16k=111+tan2kα2=.40.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知a>0，且x=0是函数f x =x2ln x+a的极大值点，则a的取值范围为.41.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知有穷递增数列a n的各项均为正整数n≥3，所有项的和为S，所有项的积为T，若T=4S，则该数列可能为．(填写一个数列即可)42.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)若过点0,0的直线是曲线y=x2+1x>0和曲线y=ln x-a+a的公切线，则a=．43.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设a,b是正实数，若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A,B，点M为AB的中点，直线OM(O为原点)的斜率为2，又OA⊥OB，则椭圆的方程为.44.(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)若曲线y=x+ae x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．45.(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若函数f(x)=sin6x+cos6x+3 8sin4x-m在0,π4上有两个零点，则m的取值范围是．46.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知定义在(0,+∞)的函数满足对任意的正数x，y都有f(x)+f(y)=f(xy)，若2f13+f15 =-2，则f(2025)=．47.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)是抛物线C:y2=2x上三个不同的点，它们的横坐标x1，x2，x3成等差数列，F是C的焦点，若P2F= 2，则y1y3的取值范围是．48.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻(即没有公共边)的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则P X=3=.。
2020年高考数学 必考题型总结第一章 集合与常用逻辑用语题型1 集合元素的“三性” （详见《专题课-集合的概念与运算》）例1：设集合A ={2，3，a 2-3a ，a +2a+7}，B ={|a -2|，3}，已知4∈A ，且4∉B ，则a 的取值集合为 . 题型2 集合间的关系 （详见《专题课-集合的概念与运算》）例2：设集合A ={x |y =lg(x -x 2)}，B ={x |x 2-cx <0，c >0}，若A B ，则c 的取值范围为 .题型3 集合间的基本运算 （详见《专题课-集合的概念与运算》）例3：已知全集U =A ，A ={1，2，3，4}，B ={x ∈A |(x +1)(x -3)>0}，则A ∩(C U B )子集个数为 () A.2 B.4 C.8 D. 6例4：已知集合A ={x |x 2-3x -4>0}，集合B ={x |-1 ≤ x ≤ 3}，则(C R A ) ∩B = ( )A.(-1,3)B.[-1,3]C. [-1,4]D. (-1,4)题型4 求集合中参数的取值范围 （详见《专题课-集合的概念与运算》）例5：已知集合M ={x |3x 2-5x -2≤0}，集合N =[m ，m +1]，若M ∪N =M ，则m 的取值范围是 () A.B. C. D. 例6：集合A ={x |-2≤x <1}，B ={x |x <a }，若A ∩B ≠∅， 则a 的取值范围是 ( )A. -2<a ≤1B.a >1C.a ≥-2D.a >-2题型5 四种命题及其真假判断 （详见《专题课-命题》）例7：命题“若x ，y 都是偶数，则x +y 也是偶数”的逆否命题是 （ ）A.若x +y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B.若x +y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C.若x +y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D.若x +y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数例8：下列命题为真命题的是 （ ）A.若x=y ,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦113,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦223,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦123,⎡⎤⎢⎥⎣⎦113B.若a 2-4b 2-2a +1≠0，则a ≠2b +1C.若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面D.命题：若x 2=1，则x =1或x =-1的逆否命题为：若x ≠1或x ≠-1，则x 2≠1题型6 含逻辑联结词命题的真假 （详见《专题课-命题》）例9：已知命题p ： x >0，ln(x +1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是 （ ）A.p qB. p qC. p qD. p q题型7 全称（特称）命题的真假 （详见《专题课-命题》）例10：下列四个命题：p 1： x 0∈(0,+∞)，001123x x⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；p 2： x 0∈(0,+∞)，101023log log x x >； p 3： x ∈(0，+∞)，121log 2x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭；p 4： x ∈10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 其中的真命题是 （ ）A.p 1，p 3B.p 1，p 4C.p 2，p 3D.p 2，p 4题型8 已知复合命题真假求参数 （详见《专题课-命题》）例11：设命题p ：函数f (x )=lg(ax 2-2ax +1)的定义域为R ，命题q ： 3x -9x <a 对一切实数x 恒成立.如果“p q ”为真，“p q ”为假，求实数a 的取值范围.题型9 充分必要条件的判断 （详见《专题课-充分必要 条件》）例12：设π02x <<，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例13：设 ∈R ，则“ππ1212θ-<”是“sin 2θ<1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例14：已知p ：|x +1|>2，q ：5x -6>x 2，则 q 是 p 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件题型10 已知充分必要条件求参数 （详见《专题课-充分必要 条件》）例15：设p ：|4x -3|≤1，q ：x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 .第二章 基本初等函数题型1 函数相等 （详见《专题课-函数的概念与表示》）例1：判断下列各组中的两个函数是否为同一函数.22(1)()21,()21;f x x x g x t t =+-=+- 21(2)(),()1;1x f x g x x x -==+-(3)()()f x g x == (4)2,3,()|3|1,()4, 3.x x f x x g x x x -≥⎧=-+=⎨-+<⎩ 题型2 求函数定义域 （详见《专题课-函数的概念与表示》）例2：0(1)______.y x =+-函数的定义域是例3：,y R 已知函数的定义域为则实数a 的取值范围是________.例4：(1)若函数f (x )的定义域为[-1，2]，则函数f (1-2x )的定义域为 .(2)若函数f (2x )的定义域为[-1，1]，则函数h (x )=f (x )+f (x -1)的定义域为 .题型3 求函数解析式 （详见《专题课-函数的概念与表示》）例5：求下列各题中f (x )的解析式.222111(1)(21)465;(2);1(3)()()2(0).x x f x x x f x x x f x f x f x x x ++⎛⎫+=-+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭已知函数已知函数已知函数满足 题型4 确定单调性（单调区间） （详见《专题课-函数的单调性、奇偶性》）例6：()f x =已知函数______. 题型5 判断奇偶性 （详见《专题课-函数的单调性、奇偶性》）例7：已知函数f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )=-e ax .若f (ln2)=8，则a = .例8：()sin ln(f x x ax y 若函数的图象关于轴对称，=+则实数a 的值为________.题型6 单调性+奇偶性解不等式 （详见《专题课-函数的单调性、奇偶性》）例9：(1)已知偶函数f (x )在区间[0，+∞)上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是________. (2)已知函数f (x-2)为奇函数，f (-2)=0且f (x )在区间[-2，+∞)上单调递减，则f (3-x )>0的解集为 .例10：已知函数f (x )=-x |x |，x ∈(-1，1)，则不等式f (1-m )<f (m 2-1)的解集为 .题型7 求值问题 （详见《专题课-函数的对称性、周期性》）例11：已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x +2)=f (x -1)，当x ∈[-2，0)时，f (x )=(x +1)2；当0≤x <1时，f (x )=-2x +1，求f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2018)的值.题型8 比较大小 （详见《专题课-函数的对称性、周期性》）例12：已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=f (2-x )，且在区间[0，2]上为增函数，则 （ ）A.f (-25)<f (11)<f (80)B. f (80)<f (11)<f (-25)C.f (11)<f (80)<f (-25)D.f (-25)<f (80)<f (11)题型9 图象交点问题 （详见《专题课-函数的对称性、周期性》）例13：已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x )，1()x y y f x x+==若函数与的图象交点分别为 11221(,),(,),,(,),(,)________.m m m i i i x y x y x y x y ==∑则例14：设函数f (x )为R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x +2)=f (2-x )，且当x ∈[-2，0]时，f (x )=2-x -1，若在区间(-2，6]内关于x 的方程f (x )-log a (x +2)=0(a >1)恰有三个不同的实根，则a 的取值范围是 .题型10 分离常数法求最值 （详见《专题课-函数的最值》）例15：51,[3,1].42x y x x -=∈--+题型11 单调性法求最值 （详见《专题课-函数的最值》）例16：52log 10).x y x -=+≤≤求函数的值域题型12 配方法求最值 （详见《专题课-函数的最值》）例17：求函数y =cos2x -6sin x +2的值域.题型13 判别式法求最值 （详见《专题课-函数的最值》）例18：221.1x y x -=+求的值域题型14 基本不等式法求最值 （详见《专题课-函数的最值》）例19：236()(0).1x x f x x x ++=>+求函数的最小值例20：已知a,b ∈R ，且a −3b +6=0,则128a b +的最小值为_______.题型15 换元法求最值 （详见《专题课-函数的最值》）例21：1[2,0],________.m x x m ++∈-若对恒成立则的取值范围是例22：设a ，b ∈R ，a 2+2b 2=6，则a +b 的最小值为________.题型16 数形结合法求最值 （详见《专题课-函数的最值》）例23：y =求函数.例24：()23f x x =--求函数.题型17 导数法求最值 （详见《专题课-函数的最值》）例25：231()2[1,5]3f x x x =--求函数在区间上的最大值.题型18 指数、对数的一般计算 （详见《专题课-指数、对数、幂函数》）例26：433420,0);()a b a b a b >>1324(2)lg 2493- 11(3)252,a b m m a b ==+=若,且求的值.题型19 指对幂的比较大小 （详见《专题课-指数、对数、幂函数》）例27：已知4213532,4,25,a b c ===则a ，b ，c 大小关系为______.例28：若c ＞0,0＜b ＜a ＜1，试比较a bc 与b ac 大小.例29：比较a =log 3.12,b =log 32.1的大小.例30：若a ＞b ＞1,0＜c ＜1,则（ ）A.a c ＜b c C.a log b c ＜b log a cB.ab c ＜ba c D.log a c ＜log b c例31：已知a =log 52，b =log 0.50.2，c =0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ）A.c <b <aB.a <b <cC.a <c <bD.c <a <b例32：设x ，y ，z 为正数，且2x =3y =5z ，则 （ ）A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z题型20 构造法解抽象函数 （详见《专题课-指数、对数、幂函数》）例33：已知函数f (x )定义域为(0，+∞)，且满足f (xy )=f (x )+f (y )，11,2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭如果对于0<x <y ,都有f (x )>f (y ),则不等式 f (-x )+f (3-x )≥-2的解集为________.题型21 图象变换 （详见《专题课-函数的图象》）例34：作出下列函数的图象：22(1)(2)|log 1|.1x y y x x ；+==-- 例35：下列函数中，其图象与函数y=ln x 关于直线x =1对称的是 （ ）A.y =ln(1-x )B.y =ln(2-x )C.y =ln(1+x )D.y =ln(2+x )题型22 “知式选图” （详见《专题课-函数的图象》）例36：2sin ()=[π,π]cos x x f x x x +-+函数在的图象大致为 （ ）例37：32[66]22x x x y -=-+函数在，的图象大致为 （ ）例38：有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x cos x ，2ln ||ex x y y x x ==③，④的部分图象如下，但顺序被打乱，则按图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是 （ ） A B C DA .①④②③ B.①④③② C.③②④① D.③④②①题型23 函数图象的交点问题 （详见《专题课-函数的图象》）例39：已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x −4)=−f (x ),且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )=m(m ＞0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+x 2+x 3+x 4=______.例40：已知函数y =f (x )的周期为2，当x ∈[-1，1]时，f (x )=x 2，g (x )=|lg x |，那么y =f (x )与y =g (x ) 交点的个数为______. 例41：已知函数f (x )=cos x +e x -2(x <0)与g (x )=cos x +ln(x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是______.题型24 判断函数零点所在区间（详见《专题课-函数的零点》）例42：函数f (x )=1-x log 2x 的零点所在的区间是 （ ）111A. B.1 C.(12) D.(23)422⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 例43：若a <b <c ，则函数f (x )=(x -a )(x -b )+(x -b )(x -c )+(x -c )(x -a )的两个零点所在的区间是 （ ）A.(a ，b )和(b ，c )内B.(-∞，a )和(a ，b )内C.(b ，c )和(c ，+∞)内D.(-∞，a )和(c ，+∞)内题型25 判断函数零点个数（详见《专题课-函数的零点》）例44：函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=e x +x -3，则f (x )的零点个数为________.例45：1()()1sin π2x f x g x x x 已知函数与，-==--()()g()F x f x x =-则函数26[-]在区间，上 所有零点的和为（ ）A.4B.8C.12D.16 题型26 求参数的取值范围（详见《专题课-函数的零点》）例46：2(43)30()(01)log (1)10ax a x a x f x a a x x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩R ，,已知函数且在上单调递减，且关于的方程，, |()|2f x x a =-恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是 （ ）223123123A.0 B. C. D.334334334⎛⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎡⎫⎧⎫⋃⋃⎨⎬⎨⎬ ⎪⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎭⎩⎭，，，，例47：()11()()141x f x x f x x a a x x⎧≤≤⎪==-+∈⎨>⎪⎩R ，已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，，， a 则的取值范围是________.例48：24(1)1()()2651x x f x g x kx x x x -≤⎧=+⎨-+->⎩，，设函数=，，，若函数F (x )=f (x )-g (x )有三个零点，则k 的取值范围是________. 题型27 判断嵌套函数零点个数（详见《专题课-嵌套函数》）例49：210()()[()]1________.|log |0x x f x F x f f x x x +≤⎧=-⎨>⎩，，设函数则函数=的零点个数为，，例50：2ln 0()2[()]3()1________.102x x x f x y f x f x x >⎧⎪==-+⎨⎛⎫≤⎪⎪⎝⎭⎩，，函数则函数的零点个数为，，题型28 “二次嵌套”的零点问题（详见《专题课-嵌套函数》）例51： |1|22e 0()()()208210x x f x f x bf x x x x -⎧>⎪=++=⎨--+≤⎪⎩，,已知函数若方程有个相异的实根，，,则实数b 的取值范围是________.例52：已知函数f (x )=|x 2-1| ，关于x 的方程f 2(x )-f (x )+k =0，下列结论正确的是________.①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实数根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实数根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实数根.例53：212345111|1|()()()()521=1x x f x x h x f x bf x x x x x x x ⎧≠⎪-==++⎨⎪⎩，，已知函数若关于的函数有个不同零点，，，，，，，2222212345________.x x x x x ++++=则第三章 导数及其应用题型1 导数的计算 （详见《专题课-导数的概念与运算》）例1：求下列函数的导数.(1)y =(x +1)(x +2)(x +3)； (2)2sin 12cos ;24x x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (3)211ln ;212x y x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭ (4)y =1(5)(.2x y x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭题型2 解析式中含导数值的函数 （详见《专题课-导数的概念与运算》）例2：已知函数f (x )的导函数为f (x )，且满足关系式 f (x ) =3xf (2)+ln x ，则f (1)=______.题型3 求切点 （详见《专题课-切线方程》）例3：213ln 42x y x =--已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为______.题型4 在某点的切线方程 （详见《专题课-切线方程》）例4：已知曲线y =a e x +x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y =2x +b ，则 （ ）A.a =e ，b =-1B.a =e ，b =1C.a =e -1，b =1D.a =e -1，b =-1例5：已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是 （）A.y =-2x +3B.y =xC.y =3x -2D.y =2x -1题型5 过某点的切线方程 （详见《专题课-切线方程》）例6：若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切，求直线 l 的方程.题型6 共切线问题 （详见《专题课-切线方程》）例7：若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则b =______.题型7 导数与函数单调性 （详见《专题课-求单调性》）例8：已知函数f (x )=2x 3-ax 2+2.讨论f (x )的单调性.例9：已知函数f (x )=1ln x a x x -+.讨论f (x )的单调性.例10：2()(2)ln(1)2.f x x ax x x =+++-已知函数010()0;0()0a x f x x f x =-<<<>>若，证明：当时，当时，.例11：2-2200()ln .()e ()2f x x x x x f x x f x -=--<<已知函数证明：存在唯一的极大值点 ,且 .题型8 已知函数单调性求参数 （详见《专题课-单调性的应用》）例12：若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在（-∞，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是________.例13：函数f(x)=x3-k e x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围是________.题型9构造法解单调性问题（详见《专题课-单调性的应用》）例14：对任意的x∈R，函数y=f(x)的导数都存在，若f(x)+f (x)>0恒成立，且a>0，则下列说法正确的是（）A.f(a)<f(0) B. f(a)>f(0) C. e a f(a)<f(0) D. e a f(a)>f(0)例15：设函数f (x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf (x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C. (-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)例16：已知f(x)为R上的奇函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)+xf (x)>0.若af(a)≥2f(2-a)+af(a-2)，则实数a的取值范围是（）A.(-∞，-1)B.[-1,1]C.(-∞，-1]∪[1，+∞)D. [1，+∞)例17：定义在为R上的函数f(x)满足：f(x)+f (x)>1，f(0)=4，则不等式e x f(x)>e x+3(e为自然对数的底数)的解集为________.题型10 函数的极值（详见《专题课-极值、最值》）例18：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f(2)等于（）A.11或18B.11C.18D.11或17例19：已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1，证明：f(x)存在唯一的极值点.题型11 函数的最值（详见《专题课-极值、最值》）例20：已知函数f(x)=ax2+bx+c ln x(a>0)在x=1和x=2处取得极值，且极大值为5，则函数f(x)在区间(0,4]上的最大2值为.例21：已知函数f(x)=e x-ax2.证明：若a=1，则当x≥0时，f(x)≥1.题型12 三次函数的零点（详见《专题课-函数的零点》）例22：若函数f(x)=ax3-3x2+1(a≠0)存在两个零点，求a.例23：若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值之和为________.题型13 指数、对数型函数的零点（详见《专题课-函数的零点》）例24：已知函数1()ln .1x f x x x +=--讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点. 题型14 含参函数的零点 （详见《专题课-函数的零点》）例25：已知函数2()e 2x x f x a =+(e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a 的取值范围是________. 例26：函数f (x )=2e x -a (x -1)2有且只有一零点，则实数a 的取值范围是________.题型15 利用导数证明不等式 （详见《专题课-恒成立与存在性问题》）例27：321().4f x x x x =-+已知函数当x ∈[-2，4]时，求证：x -6≤f (x )≤x . 题型16 恒成立与存在性问题 （详见《专题课-恒成立与存在性问题》）例28：对任意x >0，不等式 xa ≤e x -1+x 2+1恒成立，则实数a 的最大值为 （ ）A.4B.3C.2D.1例29：若关于x 的不等式e 64x m x x≥-在(0,+∞)上恒成立，则实数m 的取值范围是________. 例30：已知函数321(),3f x x x ax =++1()e x g x =，若存在121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 .例31：已知函数f (x )=ax +ln x (a ∈R ).(1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )=x 2-2x +2，若对任意x 1∈(0,+∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围.题型17 极值点偏移问题 （详见《专题课-极值点偏移问题》）例32：21212()(2)e (1),,2x f x x x x x x x =-+-+<已知函数的两个零点为证明：.例33：12121221()e .()()01x x f x f x f x x x x x x-==≠+<+已知函数当,时，证明：. 例34：1()ln .f x x a x x =-+已知函数 121212(1)()()()(2)(),, 2.f x f x f x f x x x a x x -<--讨论的单调性；若存在两个极值点证明：第四章 三角函数与解三角形题型1 同角三角函数关系的应用 （详见《专题课-同角三角函数的基本关系》）例1：已知sin 3cos 5,3cos sin αααα+=-则sin 2α-sin αcos α= .例2：已知1πsin cos ,π,52ααα+=<<则tan α= . 题型2 利用诱导公式化简求值 （详见《专题课-同角三角函数的基本关系》）例3：已知πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭则25ππcos sin 66αα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 . 例4：已知sin(π+)cos(π+)(),sin cos k k A k αααα=+∈Z 则A 的值构成的集合为 .题型3 三角函数式的化简 （详见《专题课-同角三角函数的基本关系》）例5：化简下列各式：222cos 1(1);ππ2tan sin 44π0;2αααα-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 题型4 三角函数式的求值 （详见《专题课-同角三角函数的基本关系》）例6：若α∈（0，π2cos 2,tan()2ααα+==则例7：已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 例8：已知113cos ,cos(),714ααβ=-=若 π0,2βα<<<则β= .题型5 三角函数的单调性 （详见《专题课-三角函数的性质》）例9：若f (x )=cos x -sin x 在[-a ，a ]上是减函数，则a 的最大值为________.题型6 三角函数的周期 （详见《专题课-三角函数的性质》）例10：函数f (x )=sin2x -2cos 2x +1的最小正周期为 .题型7 三角函数的奇偶性 （详见《专题课-三角函数的性质》）例11：将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向左平移 （ >0）个单位后，得到关于y 轴对称的图象，则 的最小值为________.题型8 三角函数的对称性 （详见《专题课-三角函数的性质》）例12：已知函数f (x )= πsin()0,||2x ωϕωϕ⎛⎫+>< ⎪⎝⎭,其图象相邻两条对称轴间的距离为π4，将函数y =f (x )的图象向左平移3π16个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f (x )的图象 （ ） A.关于点π,016⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B.关于点π,016⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C.关于直线π16x =对称 D.关于直线π4x =对称题型9 根据图象求解析式 （详见《专题课-三角函数的图象》）如图所示，则f (x )例13：已知函数f (x )=A sin( x + )(A >0, >0, ∈(-π， π)的部分图象的解析式为（ ）ππA.()23sin 84π3πB.()23sin 84ππC.()23sin 84π3πD.()23sin 84f x x f x x f x x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭题型10 三角函数的图象变换（详见《专题课-三角函数的图象》）例14：函数f (x )=A cos( x + )(A >0， >0， ∈(-π，0))的部分图象如图所示，要得到y =A sin x 的图象，只需将函数f (x )的图象 （ ）A.向左平移π12 B.向左平移π6C.向右平移π12D.向右平移π6 题型11 三角函数的最值（详见《专题课-三角函数的图象》）例15：函数f (x )=|sin x |+cos2x 的值域为 .例16：2ππ()2cos 3sin 22()63f x x x f x ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦已知函数，求在，上的最值. 例17：已知函数f (x )=sin(2x +π3)+cos(2x +π6)+2sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数f (x )的最大值与最小值.题型12 正、余弦定理解三角形（详见《专题课-解三角形》）例18：π26cos 4ABC C AB AC B ==在中，=，，，则的值为______.△ 例19：1=33sin 2sin cos ____.4ABC AC A B C AB ===在中，，，且，则△题型13 判断三角形形状（详见《专题课-解三角形》）例20：cos cos 0ABC b B a A -=在中，，则△△ABC 的形状为 （ ）A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形题型14 与面积、范围有关的问题（详见《专题课-解三角形》）例21：2sin()8sin .2BABC A B C a b c A C +=的内角，，的对边分别为，，，已知△(1)cos ;(2)62.B a c ABC b +=求若，的面积为，求△例22：.sin sin .2A CABC A B C a b c a b A +=△的内角，，的对边分别为，，已知(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围.第五章 平面向量题型1 向量的表示 （详见《专题课-平面向量的概念与运算》）例1：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = （ ）31133113A. B. C. D.44444444AB AC AB AC AB AC AB AC --++题型2 平面向量的数量积 （详见《专题课-平面向量的概念与运算》）例2：(2,3),(3,),||1,______.AB AC t BC AB BC ===⋅=已知则例3：,5,30,ABCD AD BC AB AD A E CB AE BE ==∠=︒=在四边形中，点在线段的延长线上,且，________.BD AE ⋅=则题型3 平面向量的平行与垂直 （详见《专题课-平面向量的概念与运算》）例4：(1,0),(1,),(),________.m m m ==-⊥-=设向量若则a b a a b例5：,(1),,,,,AB m m AC n A B C =+≠=+已知向量不共线，且若三点共线a b a b a b,()A.1B.1C.1D.1m n m n m n mn mn +=+=-==-则实数满足的条件为题型4 平面向量的模长与夹角 （详见《专题课-平面向量的概念与运算》）例6：,||2||,(),________.=-⊥已知非零向量满足且则与的夹角为a b a b a b b a b例7：,60,||2,||1,|+2________.︒==已知向量的夹角为则的夹角为a b a b a b |题型5 向量与三角形“四心” （详见《专题课-平面向量与三角形》）例8：O 是△ABC 所在平面内一点，(0)||cos ||cos AB AC P OP OA AB B AC C λλ⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭动点满足+， 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A.垂心B.重心C.外心D.内心例9：已知△ABC 内一点O 满足关系：230::______.BOC COA AOB OA OB OC S S S ++==，则△△△题型6 “特值法”解向量与三角形 （详见《专题课-平面向量与三角形》）例10：如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 中点，若存在实数 和 ，使得= ( )BM AB ACλμλμ=++，则 11A. B. 22C.2D.2-- 例11：在如图所示的平面图形中，已知OM =1，212022ON MON BM MA CN NA BC OM =∠=︒==⋅，，，,则的值为（ ）A.15B.9C.-6D.0--例12：过△ABC 内一点M 任作一条直线l ，再分别过顶点A ，B ，C 作l的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF M ABC ++=恒成立，则点是的 （ ）△A.垂心B.重心C.外心D.内心题型7 函数法求向量最值 （详见《专题课-平面向量的最值问题》）例13：(cos sin )(31)|2|αα==--已知向量，，，，求的最大值.a b a b 例14：在平面直角坐标系中，已知点A (-1，0)，B (2，0)，E ，F 为y 轴上的两个动点，且||2EF AE BF =⋅，则 的最小值为______.题型8 不等式法求向量最值 （详见《专题课-平面向量的最值问题》）例15：已知，是单位向量，ab =0||1⋅--=，若向量满足，a bc c a b ||则的取值范围是c （ ）A.2121B.2122C.121D.122⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦，，，，例16：已知平面向量，，ab c ||=2||=3||1=满足，，,a b c ()10||⋅-⋅++=-，则的最大值是 （ ）a b c a b a b A.2 3 B.5 C.23 1 D.26-题型9 坐标法求向量最值 （详见《专题课-平面向量的最值问题》）例17：如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120°，AB =AD =1.若点E 为边CD 上的动点， 21325A. B. C. D.316216AE BE ⋅则的最小值为 （ ）例18：在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心，且与BD 相切的圆上.AP AB ADλμλμ=++若，则的最大值为________. 例19：已知，，是平面向量，ab e 是单位向量.e 若非零向量与a π3的夹角为，e 2430||-⋅+=-向量满足,则的最小值为______.b b e b a b 题型10 回路法求向量最值 （详见《专题课-平面向量的最值问题》）例20：如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N.若AB mAM AC nAN ==，，则m +n 的值为 （ ）A.1B.2C.3D.4例21：如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，12BP PC M =且满足，点，N P 在过点的直线上，若 (0)+2AM AB AN AC λμλμλμ==>，，，则的最小值为（ ）810A.2 B. C.3 D.33第六章 数列题型1 等差、等比数列的判断 （详见《专题课-等差、等比数列》）例1：设数列{b n }各项都为正数，且11..1n n n n b b b b +⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭证明数列为等差数列例2：已知数列{a n }满足a 1=1，12(1).n n n n a na n a b n+=+=，设判断{b n }是否为等比数列. 例3：已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，4a n +1=3a n -b n +4，4b n +1=3b n -a n -4.证明：{a n +b n }是等比数列，{a n -b n }是等差数列.题型2 等差数列的基本计算 （详见《专题课-等差、等比数列》）例4：记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=0，a 6+a 7=14，则S 7=______.例5：已知等差数列{a n }的前9项和为27，a 10=8，则a 100= （ ）A.100B.99C.98D.97题型3 等差比数列的基本计算 （详见《专题课-等差、等比数列》）例6：已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=1，S 8=3，则a 9+a 10+a 11+a 12= ( )A.8B.6C.4D.2例7：已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1，则 （ ）A.a 1<a 3，a 2<a 4B.a 1>a 3，a 2<a 4C.a 1<a 3，a 2>a 4D.a 1>a 3，a 2>a 4题型4 公式法求通项公式 （详见《专题课-通项公式》）例8：设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比大于0，已知a 1=b 1=3，b 2=a 3，b 3=4a 2+3.求{a n }和{b n }的通项公式.例9：设{a n }为等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.求{a n }的通项公式.题型5 递推法求通项公式 （详见《专题课-通项公式》）例10：设数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *.求通项公式a n .例11：设数列{a n }前n 项和为S n ，且满足a 1=1.*1(1)(1)(N ).{}2n n n n n nS n S n a ++-+=∈求的通项公式. 题型6 累加（累乘）法求通项公式 （详见《专题课-通项公式》）例12：已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足(a n +1-a n )(b n +1-b n )=c n (n ∈N *).设c n =2n ，a n =n +1，当b 1=1时，求{b n }的通项公式. 例13：已知数列{a n }满足a 1=1，当n ≥2时，有(n -1)a n =2(n +1)a n -1，求{a n } 的通项公式.题型7 消项法求通项公式 （详见《专题课-通项公式》）例14：已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =()213n n n a -,求的通项公式.例15：已知数列{a n }满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________. 题型8 待定系数法求通项公式 （详见《专题课-通项公式》）例16：已知数列{a n }满足a 1=1，且点P n (a n ，a n +1)（n ∈N *）在直线4x -y +1=0上，求{a n }的通项公式.例17：已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n +S n =2n (n ∈N *)，求{a n }的通项公式.例18：已知数列{a n }满足a 1=5，a 2=5，a n +1=a n +6a n -1（n ≥2），求{a n }的通项公式.题型9 倒数（相除）法求通项公式 （详见《专题课-通项公式》）例19：1111{}20.3n n n n n a a a a a a ++=+-=数列中，，求{a n }的通项公式. 题型10 对数法求通项公式 （详见《专题课-通项公式》）例20：2*11{}22(N ){}n n nn a a a a n a +==∈若数列中，且，求的通项公式. 题型11 特征根法求通项公式 （详见《专题课-通项公式》）例21：*111325{}N .5.3n n n n n a a n a a a a +-∈==+已知数列满足：对于，都有若，求题型12 公式法求前n 项和 （详见《专题课-求前n 项和》）例22：记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.10121503______.S a a a S ≠==若，,则 例23：已知{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0，S 9=27，则S 8的值是______.例24：已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= （ ）A.16B.8C.4D.2题型13 裂项相消法求前n 项和 （详见《专题课-求前n 项和》）例25：1223111{}.217n n n n a a a a a a a a n -=+++<+已知数列的通项公式为求满足n 的的最大值. 例26：数列{a n }为等比数列，其通项公式为a n =2n -1， 前n 项和为S n ；{b n }为等差数列，其通项公式为b n =n . 若数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N *），()2*21()22N .(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n ++=+=-∈+++∑证明： 题型14 错位相减法求前n 项和 （详见《专题课-求前n 项和》）例27：已知数列{a n }的通项公式为a n =3n -2，b n =2n .求数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和（n ∈N *）.例28：已知数列{a n }的通项公式为a n =2n .{b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n +1=b n b n +1..n n n b n T a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求数列的前项和 题型15 分组求和法求前n 项和 （详见《专题课-求前n 项和》）例29：已知{a n }为等差数列，且a 2=3，前4项的和为16；数列{b n }满足b 1=4，b 4=88，且数列{b n -a n }为等比数列.(1)求数列{a n }和{b n -a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和.例30：已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为：a n =3n ，b n =3n .21{}n n n n c c b n ⎧⎪⎨⎪⎩，为奇数，设数列满足=，为偶数. *112222().n n a c a c a c n +++∈N 求题型16 求数列的最大（小）项 （详见《专题课-数列的综合应用》）例31：已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n =n 2+ n 恒成立，则实数 的取值范围是________. 例32：数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a n =2n -a n (n ∈N *)，数列{b n }2(2){}______.2n n n n b a b -=-满足，则中最大项的值是 题型17 数列与函数 （详见《专题课-数列的综合应用》）例33：已知数列{a n } 满足 m ，n ∈N *，都()7π()π42m n m n a a a a f x f x ++==+-=有成立，且，函数， (){}13______.n n n y f a y =记，则数列的前项的和为例34：已知数列{a n } 为等比数列，1010e 01()e 1x n x a a f x >==+，，函数，则122019(ln )(ln )(ln )______.f a f a f a +++= 题型18 数列与不等式 （详见《专题课-数列的综合应用》）例35：**12..n n a n a a a n =∈+++<∈N N 已知证明：例36：*111{}(){}()(N ){}=211n n n n n n n a x a a f x a a f a n b b x n +==≤∈++若正项数列的首项，函数.满足，数列满足， 12 1.n b b b +++<证明第七章 不等式题型1 判断不等式成立 （详见《专题课-不等关系与不等式》）例1：设a,b 是非零实数，若a<b ，则下列不等式成立的是 （ ）A.a 2<b 2B.ab 2<ba 2D.例2：若x>y>0 ，则 ( )A. B.sin x-sin y>0D.lnx+lny>0 题型2 直解不等式问题 （详见《专题课-不等关系与不等式》）例3：的解集为 .题型3 分段函数不等式问题 （详见《专题课-不等关系与不等式》）例4：已知函数的x的取值范围是________.例5：设函数，则满足的x的取值范围是________.题型4 利用函数性质解不等式（详见《专题课-不等关系与不等式》）例6：已知函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数，若f(1)=-1，则满足的x的取值范围是.题型5 一元二次函数零点——轴动区间定（详见《专题课-一元二次函数零点问题》）例7：已知方程x2+(m-3)x+m=0有两个正根，求m的范围.例8：已知方程x2+(m-3)x+m=0有一个正根，一个负根，求m的范围.例9：已知方程x2+(m-3)x+m=0两个根都小于1 ，求m的范围.例10：已知方程x2+(m-3)x+m=0两个根都在（0,2）内求m的范围.题型6 一元二次函数零点——轴定区间动（详见《专题课-一元二次函数零点问题》）例11：题型7 一元二次函数零点——轴动区间动（详见《专题课-一元二次函数零点问题》）例12：题型8 求一元二次不等式的解集（详见《专题课-一元二次不等式及其解法》）例13：不等式的解集为.题型9 讨论一元二次不等式的解集（详见《专题课-一元二次不等式及其解法》）例14：解关于x的不等式例15：解关于x的不等式.题型10 一元二次不等式恒成立问题（详见《专题课-一元二次不等式及其解法》）例16：若关于x不等式在R上恒成立求a的取值范围.题型11 一元高次不等式的解集（详见《专题课-一元二次不等式及其解法》）例17：求x3-2x2-x+2>0的解集.题型12 基本不等式（详见《专题课-基本不等式》）例18：例19：例20：题型13 多次均值不等式（详见《专题课-基本不等式》）例21：题型14 无法取等的类均值不等式（详见《专题课-基本不等式》）例22：例23：求函数2y=的最小值.题型15 均值不等式中“1”的活用（详见《专题课-基本不等式》）例24题型16 线性规划——求截距（详见《专题课-线性规划问题》）例25：例26：题型17 线性规划——求距离（详见《专题课-线性规划问题》）例27：题型18 线性规划——求斜率（详见《专题课-线性规划问题》）例28：题型19 已知最值求参数取值范围（详见《专题课-线性规划问题》）例29：第八章解析几何题型1 求直线方程（详见《专题课-直线方程》）例1：根据条件写出下列直线的方程．(1)经过点A(-1,2)，在y 轴上的截距为－2；(2)在y轴上的截距是－5，倾斜角是y=x+12的倾斜角的3倍：题型2 两直线平行和垂直的应用（详见《专题课-直线方程》）例2：已知直线l1:ax+(3−a)y+1=0, l2:x−2y=0,若l1⊥l2，则实数a的值为.题型3 距离问题（详见《专题课-直线方程》）例3：已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0，则l1，l2的距离．例4：若点P(3，a)到直线x+√3y−4=0的距离为1，则a的值为（）A. √3B.−√33C. −√3或−√33D. √3或−√33题型4 线段与直线的位置关系（详见《专题课-直线方程》）例5：已知点A(1，3)，B(2，0)，直线l：2x+3y-1=0,则线段AB与l的位置关系是（）A.线段AB在l的同一侧B.线段AB至少有一点在l上C.线段AB与l相交D.条件不足位置关系无法判断题型5 点关于点对称（详见《专题课-对称问题》）例6：点A（2，3）关于坐标原点的对称点的坐标．题型6 直线关于点对称（详见《专题课-对称问题》）例7：求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.题型7 点关于直线对称（详见《专题课-对称问题》）例8：坐标原点关于直线x-y-6=0 的对称点的坐标为．例9：在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边上异于A ，B 的一点．光线从点 P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图）．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等 于（ ） A ．2B ．1C ．83D ．43题型8 线关于线对称（详见《专题课-对称问题》）例10：试求直线l 1:x -y -2=0关于直线 l 2:3x -y +3=0对称的直线l :的方程为 .题型9 求圆的方程（详见《专题课-圆与方程-1》）例11：一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________ ．题型10 直线与圆的位置关系（详见《专题课-圆与方程-1》）例12：直线kx -2y +1=0与圆x 2+(y -1)2=1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定例13：已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x -y +3=0与圆C 相切于点 A (-2，-1)，则m = ，r = .例14：若直线y ＝kx 与圆（x ﹣2）2+y 2＝1的两个交点关于直线2x +y +b ＝0对称，则k ，b 的 值分别为（ ） A ．k =12，b =−4 B ．k =−12，b =4C ．k =12，b =4D ．k =−12，b =−4题型11 弦长问题（详见《专题课-圆与方程-1》）例15：直线x −√3y −2=0被圆x 2+y 2−2x =0截得的线段长为 ．题型12 直线与圆动点距离（详见《专题课-圆与方程-1》）。
高中高数作业中的经典题目解析高中数学作业中的经典题目往往是解题思路与方法的集中体现，这些题目不仅考察学生对数学知识的掌握程度，还锻炼了他们的逻辑思维能力。
接下来，将对一些经典题目进行解析，以便更好地帮助学生理解和掌握这些重要的知识点。
首先，考虑一道典型的高中数学题目：已知函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数在区间 [1, 4]上的最小值和最大值。
这个问题涉及到函数的基本性质，包括求导数和分析极值。
我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1. 函数的导数：首先计算函数 f(x) 的一阶导数 f'(x) = 2x - 4。
这个导数可以帮助我们找到函数的极值点。
令 f'(x) = 0，得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
2. 判断极值：接下来，我们需要判断 x = 2是最小值点还是最大值点。
我们可以计算函数在 x = 2的值，得到 f(2) = 2^2 - 42 + 3 = -1。
为了确认这是一个极小值点，可以进一步计算二阶导数f''(x) = 2，发现 f''(x) 是正的，因此 x = 2是一个局部最小值点。
3.函数在区间端点的值：还需要计算函数在区间端点的值。
计算得到 f(1) = 1^2 - 41 + 3 = 0 和 f(4) = 4^2 - 44 + 3 = 3。
4. 比较：最后，将 x = 2 的值 -1 与端点的值 0 和 3比较。
可以看出，函数在区间 [1, 4] 上的最小值是 -1，最大值是 3。
通过这种方式，学生不仅学会了如何利用导数求解极值，还掌握了在给定区间内找到函数最值的技巧。
另一个经典题目是几何问题：在一个半径为 R的圆内，任意选择一个点 O 和圆上的两个点 A 和 B，求角 AOB 的最大值。
这个问题涉及到圆的几何性质和三角函数的知识。
1.使用弦的性质：圆中，任意弦与圆心连线形成的角是弦所对的圆周角的两倍。
2020届高三数学（文）“小题速练”613. 14. 15. 16. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（） A．B ．C ．D ．2．设为虚数单位，，则（ ） A ． BCD 3．若，，，则，，的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．4．斐波那契数列满足：，，．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．{2,1,0,1,2}A =--2{|20}B x x x =--=A B =I {1,2}-{2,1}-{1,2}∅i 3i21iz =+-||z =1129()4a =83log 3b =132()3c =a b c c b a <<a b c <<b a c <<c a b <<{}n a 11a =21a =12(3,)n n n a a a n n --=+≥∈*N 1n n S n c 2111n n n n S a a a +++=+⋅12321n n a a a a a +++++=-L 1352121n n a a a a a -++++=-L 1214()πn n n n c c a a --+-=⋅5．函数的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．数列，为等差数列，前项和分别为，，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知，，，则（ ） A ．B ．C ．D ．8．如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为，则该多面体的最大面的面积为（ ）A ．B ． CD ．9．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为，若用分层抽样的方法抽取容量为的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（ ） A ．B ．C ．D ．10．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，1sin 1x x e y x e +=⋅-{}n a {}n b n n S n T 322n n S n T n +=77a b =41262314117116π,(,π)2αβ∈sin α=cos()αβ+=β=2π35π63π411π12125:4:1250253575100ABC △A B C a b c 24a b +=，则的面积取得最小值时有（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线，过点的直线交双曲线于，两点，交轴于点(点与双曲线的顶点不重合)，当，且时，点的坐标为（ ） A ． B ．C ．D ．12．已知函数，当时，不等式恒成立，则整数的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知变量，满足约束条件，若，则的取值范围是__________．14．已知向量，的夹角为，且，，则_________． 15．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为__________．16．已知数列的前项和为，，，其中为常数，若，则数列中的项的最小值为__________．2020届高三数学（文）“小题速练”6（答案解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=ABC△2c =52+53+5-5-22:13y C x -=(0,4)P l C M N x Q Q C 1212(,0)PQ QM QN λλλλ==≠u u u r u u u u r u u u r12327λλ+=-Q 4(,0)3±4(,0)32(,0)3±2(,0)321()21x x f x -=+(0,π)x ∈(sin 1)(cos )0f x x f x a -+-≤a 1234x y 20111x y x y +-≤⎧⎪-<≤⎨⎪≥-⎩2z x y =-z a b 5π6||=a ||2=b ()(2)+⋅-=a b a b A BCD -AB ⊥BCD AB BD ==1CB CD ==A BCD -{}n a n n S 12a =2n n S a λ=-λ13n n a b n =-{}n b1．【答案】A【解析】，∴．2．【答案】D 【解析】， ∴． 3．【答案】D 【解析】，，， 故． 4．【答案】C【解析】对于A ，由图可知，，，，可得，A 正确；对于B ，，所以B 正确；对于C ，时，，C 错误；对于D ，，D 正确． 故选C ． 5．【答案】B 【解析】，定义域为，，所以函数是偶函数，排除A 、C ， 2{|20}{1,2}B x x x =--==-{1,2}A B =-I 3i 3i (1i)3i 313222i 1i (1i)(1i)222z ⋅+-=+=+=+=+--+||2z ==32a ==33322223log 3log 3log 212b a ==>==>132()13c =<c a b <<223S a a =334S a a =445S a a =L 21121111()n n n n n n n n n S a a a a a a a a +++++++==+=+1232111n n n n a a a a a a a ++++++=-=+-L 123111n n a a a a a -+⇔++++=-L 12321n n a a a a a -⇔++++=-L 123311311121n n a a a a a a a --⇔++++=-⇔⇔=-⇔=-L L 1n =121a a ≠-22111121ππ4()4()π()()π44n n n n n n n n n n a a c c a a a a a a -----+-=-=+-=⋅1sin 1x xe y x e +=⋅-(,0)(0,)-∞+∞U 11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--1sin 1x x e y x e +=⋅-又因为且接近时，，且，所以．6．【答案】A【解析】依题意，． 7．【答案】B 【解析】由于，∴，∴，， ∴， ∴． 8．【答案】B【解析】由三视图可知多面体是棱长为的正方体中的三棱锥， 故，，，，∴，，，∴该多面体的最大面的面积为．故选B ．0x >x 0101x x e e +>-sin 0x >1()sin 01x x ef x x e +=⋅>-1137131137131341226132aa a Sb bb T +⋅===+⋅π,(,π)2αβ∈(π,2π)αβ+∈sin()αβ+=cos α==cos cos()cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+⋅++⋅((=+==5π6β=2P ABC -1AC =2PA =BC PC ==AB =PB =12112ABC PAC S S ==⨯⨯=△△122PAB S =⨯⨯=△12PBC S =⨯=△9．【答案】A【解析】因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为， 所以丙层所占的比例为，所以应从丙层中抽取的个体数为，故本题选A ． 10．【答案】D【解析】由已知有， 根据正弦定理得， 又，即， 由于，即有，即有， 由于，即，解得， 当且仅当时取等号， 当，，取最小值， 又(为锐角)，则，则． 11．【答案】A【解析】由题意知直线的斜率存在且不等于零， 设的方程为，，，则． 又，∴，故，得，∵在双曲线上，∴， 5:4:110.1541=++0.125025⨯=sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=2246sin a b ab C +=1sin 2S ab C =22412a b S +=24a b +=2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-41612ab S =-2242()82a b ab +≤=16128S -≤23s ≥22a b ==2a =1b =S 232sin 3C =C cos C=2222cos 5c a b ab C =+-=l k l 4y kx =+11(,)M x y 22(,)N x y 4(,0)Q k-1PQ QM λ=u u u r u u u u r 11144(,4)(,)x y k k λ--=+111144()4x k k y λλ⎧-=+⎪⎨⎪-=⎩1111444x k k y λλ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩11(,)M x y C 21221111616()103k λλλ+--=整理得，同理得． 若，则直线过双曲线的顶点，不合题意，∴， ∴，是方程的两根， ∴，∴，此时，∴，点的坐标为． 12．【答案】A【解析】由题意知函数为奇函数，增函数，不等式恒成立， 等价于，得，即， 令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故当时，取极大值也是最大值，最大值为，所以，得． 又，则．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】【解析】由图可知．∵，，∴的取值范围为．22211161632(16)03k k λλ++--=22222161632(16)03k k λλ++--=2160k -=l C 2160k -≠1λ2λ222161632(16)03x k x k ++--=1223232716k λλ+==--29k =0Δ>3k =±Q 4(,0)3±21()21x x f x -=+(sin 1)(cos )0f x x f x a -+-≤(sin 1)(cos )f x x f x a -≤--(sin 1)(cos )f x x f x a -≤-+sin cos 1x x x a +≤+()sin cos g x x x x =+()cos g x x x '=π(0,)2x ∈()0g x '>()g x π(,π)2x ∈()0g x '<()g x π2x =()g x ππ()22g =π12a +≥π12a ≥-a ∈Z min 1a =(5,3]-A B z z z <≤2(1)35A z =⨯--=-21(1)3B z =⨯--=z (5,3]-14．【答案】【解析】依题有 ． 15．【答案】【解析】由题意，，又因为底面，所以，即平面，所以． 取的中点，则， 故点为四面体外接球的球心， 因为，所以球半径，故外接球的表面积． 16．【答案】 【解析】∵，，∴，，，①，时，②，②-①化为，所以是公比为的等比数列，∴，，由，可得，2-225()(2)||||||cosπ2||6+⋅-=-⋅-a b a b a a b b 3(242=--⨯=-4π1CB CD ==BD =BC CD ⊥AB ⊥BCD AB CD ⊥CD ⊥ABC CD AC ⊥AD O OC OA OB OD ===O A BCD -AB BD ==112r AD ==24π4πS r ==1412-12a =2n n S a λ=-1112S a a λ==-222λ=-2λ=22n n S a =-2n ≥1122n n S a --=-12(2)n n a a n -=≥{}n a 21222n n n a -=⨯=1(13)()2nn b n =-⨯11n n n n b b b b +-≤⎧⎨≤⎩1111(13)()(12)()2211(13)()(14)()22n n n n n n n n +-⎧-⨯≤-⨯⎪⎪⎨⎪-⨯≤-⨯⎪⎩解得，即中的项的最小值为．2(13)121415(13)2(14)n n n n n -≤-⎧⇒≤≤⎨-≤-⎩{}n b 14151412b b ==-。
g3.1072立体几何综合问题立体几何题怎么解高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 例1 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD.（1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°讲解:（1）正方形ABCD 是四棱锥P —ABCD 的底面, 其面积 为,2a 从而只要算出四棱锥的高就行了.⊥PB 面ABCD,∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影.又DA ⊥AB ， ∴PA ⊥DA ，∴∠PAB 是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°.而PB 是四棱锥P —ABCD 的高，PB=AB ·tg60°=3a, 3233331a a a V =⋅=∴锥.（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形.作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，则△ADE ≌△CDE ，CEA CED CE AE ∠=∠=∴故,90, 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角. 设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ， .22a AD AE OA a =<<=∴在.0)2)(2(2)2(cos ,2222<-+=⋅⋅-+=∠∆AEOA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC AEC 中 故平面PAD 与平面PCD 所成的二面角恒大于90°.本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.例2 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC点到AB 1的距离为CE=23，D 为AB 的中点.（1）求证：AB 1⊥平面CED ； （2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.讲解:（1）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ，∴CD ⊥AA 1. ∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1， ∴AB 1⊥平面CDE ； （2）由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE=23，AC=1 , ∴CD=.22 ∴21)()(22=-=CD CE DE ；（3）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC , ∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角.在Rt △CEA 中，CE=23，BC=AC=1, ∴∠B 1AC=600∴260cos 121==AB ， ∴2)()(2211=-=AB AB BB , ∴ 211==∠BCBB CB B tg , ∴21arctg CB B =∠. 作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.例3 如图a —l —β是120°的二面角，A ，B 两点在棱上，AB=2，D 在α内，三角形ABD 是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C 在β内，∆ABC 是等腰直角三角形∠ACB=.900（I ） 求三棱锥D —ABC 的体积； （2）求二面角D —AC —B 的大小； （3）求异面直线AB 、CD 所成的角.讲解: (1) 过D 向平面β做垂线，垂足为O ，连强OA 并延长至E.DAE OA AB DA OA AD AB ∠∴⊥∴⊥,,上的射影在平面为β 为二面角a —l —β的平面角..60,120 =∠∴=∠DAO DAE 3,2=∴==DO AB AD .ABC ∆ 是等腰直角三角形，斜边AB=2.,1=∴∆ABC S 又D 到平面β的距离DO=.3.33=∴-ABC D V （2）过O 在β内作OM ⊥AC,交AC 的反向延长线于M,连结DM.则AC ⊥DM.∴∠DMO 为二面角D —AC —B 的平面角. 又在△DOA 中，OA=2cos60°=1.且.22,45=∴=∠=∠OM CAE OAM.6.6arctg DMO DMO tg =∠∴=∠∴ （3）在β平在内，过C 作AB 的平行线交AE 于F ，∠DCF 为异面直线AB 、CD 所成的角. ACF CAF DF CF AF CF AF AB ∆=∠⊥∴⊥∴⊥即又,45,, 为等腰直角三角形，又AF 等于C 到AB 的距离，即△ABC 斜边上的高,.1==∴CF AF.7.7.7120cos 2222=∠∴==∠∴=⋅-+=∴DCF tg CFDFDCF tg AF AD AF AD DF 异面直线AB,CD 所成的角为arctg .7比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看.例4在边长为a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．图① 图②讲解: 设容器的高为x ．则容器底面正三角形的边长为x a 32-,)32)(32(3434143)320()32(43)(2x a x a x ax x a x x V --⋅⋅⋅=<<-⋅⋅=∴54)3323234(16133a x a x a x =-+-+≤. 当且仅当 .54,183,32343max a V a x x a x ==-=时即. 故当容器的高为a 183时，容器的容积最大，其最大容积为.543a对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是:某企业设计一个容积为V 的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r 和圆柱的高h 为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）.例5 已知三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB=BC ， D 、F 分别为AC 、PC 的中点，DE ⊥AP 于E ．（1）求证：AP ⊥平面BDE ；（2）求证：平面BDE ⊥平面BDF ；（3）若AE ∶EP=1∶2，求截面BEF 分三棱锥P —ABC 所成两部分的体积比．讲解: (1）∵PC ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴PC ⊥BD ．由AB=BC ，D 为AC 的中点，得BD ⊥AC ．又PC ∩AC=C ，∴BD ⊥平面PAC ． 又PA ⊂平面、PAC ，∴BD ⊥PA ．由已知DE ⊥PA ，DE ∩BD=D ，∴AP ⊥平面BDE ．（2）由BD ⊥平面PAC ，DE ⊂平面PAC ，得BD ⊥DE ．由D 、F 分别为AC 、PC 的中点，得DF//AP ．由已知，DE ⊥AP ，∴DE ⊥DF. BD ∩DF=D ，∴DE ⊥平面BDF ． 又 DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BDF ．（3）设点E 和点A 到平面PBC 的距离分别为h 1和h 2．则 h 1∶h 2=EP ∶AP=2∶3,.31232313121=⋅=⋅⋅⋅⋅==∴∆∆----PBC PBFPBC A PBF E ABC P EBF P S h S h V V V V故截面BEF 分三棱锥P —ABC 所成两部分体积的比为1∶2或2∶1值得注意的是, “截面BEF 分三棱锥P —ABC 所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种”会而不全”的错误.例6 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O 1且平行于母线AB 的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离） 为p 的抛物线.（1）求圆锥的母线与底面所成的角； （2）求圆锥的全面积．讲解: （1）设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，由题意得：R l ππ2=,即21cos 1==l R ACO ,所以母线和底面所成的角为.600（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON ，其中O 为截面与AC 的交点，则OO 1//AB 且.211AB OO =在截面MON 内，以OO 1所在有向直线为y 轴，O 为原点，建立坐标系，则O 为抛物的顶点，所以抛物线方程为x 2=－2py ，点N 的坐标为（R ，－R ），代入方程得 R 2=－2p （－R ），得R=2p ，l=2R=4p.∴圆锥的全面积为22221248p p p R Rl πππππ=+=+. 将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆．已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母线长为1，则该几何体的体积等于 ．例7 如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a ， DC=a ，F 、G 分别为EB 和AB 的中点. （1）求证：FD ∥平面ABC ； （2）求证：AF ⊥BD ；(3) 求二面角B —FC —G 的正切值. 讲解: ∵F 、G 分别为EB 、AB 的中点，∴FG=21EA ，又EA 、DC 都垂直于面ABC, FG=DC ， ∴四边形FGCD 为平行四边形，∴FD ∥GC ，又GC ⊂面ABC ，∴FD ∥面ABC.（2）∵AB=EA ，且F 为EB 中点，∴AF ⊥EB ① 又FG ∥EA ，EA ⊥面ABC ∴FG ⊥面ABC ∵G 为等边△ABC ，AB 边的中点，∴AG ⊥GC.∴AF ⊥GC 又FD ∥GC ，∴AF ⊥FD ②由①、②知AF ⊥面EBD ，又BD ⊂面EBD ，∴AF ⊥BD.（3）由（1）、（2）知FG ⊥GB ，GC ⊥GB ，∴GB ⊥面GCF. 过G 作GH ⊥FC ，垂足为H ，连HB ，∴HB ⊥FC. ∴∠GHB 为二面角B-FC-G 的平面角. 易求33223,23==∠∴=a a GHB tg a GH .例8 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点，且 D 1P ∶PA=DQ ∶QB=5∶12.(1) 求证PQ ∥平面CDD 1C 1； (2) 求证PQ ⊥AD ； (3) 求线段PQ 的长.讲解: （1）在平面AD 1内，作PP 1∥AD 与DD 1交于点P 1，在平面AC 内，作 QQ 1∥BC 交CD 于点Q 1，连结P 1Q 1. ∵1251==QB DQ PA P D , ∴PP 1//QQ 1 .由四边形PQQ 1P 1为平行四边形, 知PQ ∥P 1Q1而P 1Q 1⊂平面CDD 1C 1， 所以PQ ∥平面CDD 1C1（2） AD ⊥平面D 1DCC 1， ∴AD ⊥P 1Q1 又∵PQ ∥P 1Q 1， ∴AD ⊥PQ. （3）由（1）知P 1Q 1// PQ,125QB DQ C Q DQ 11==，而棱长CD=1. ∴DQ 1=175. 同理可求得 P 1D=1712. 在Rt △P 1DQ 1中，应用勾股定理, 立得P 1Q 1=1713175171222221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+DQ D P.做为本题的深化, 笔者提出这样的问题: P, Q 分别是BD,1AD 上的动点,试求PQ 的最小值, 你能够应用函数方法计算吗? 试试看. 并与如下2002年全国高考试题做以对照, 你会得到什么启示?如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。
