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第7讲 因式分解（一）提公因式法、公式法一、 知识要点1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
注：因式分解的结果必须是每一个因式在有理数范围内不能再分解为止。
因式分解是恒等变形，不能随意把多项式改变原来的大小。
2、提公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++多项式中的公因式：数字部分找最大公约数，字母部分找相同的字母和最低次幂3、公式法：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-特点：①公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或某式的平方形式；③分解的结果是这两个数或两个式子的和与它们差的积；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。
（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=+特点：①左边相当于一个二次三项式；②首末两项符号为正且能写成某数或某式的完全平方形式；③中间一项是这两项两个数或两个式子的积的2倍，符号可正可负；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。
二、知识运用经典例题例1、多项式232118xy axy a xy -+-中的公因式是例2、已知关于x 的二次三项式22x mx n ++因式分解的结果是1(21)()4x x -+，求m ，n 的值。
例3、把下列各式分解因式（1）、2963x x y x z -+（2）、2210515x y xy xy --+（3）、()()()()xx y a b yy x b a ----- （4）、)2()37)(2(b a a b a b a +--+例4、计算201320142014201420132013⨯-⨯例5、把下列各式分解因式（1）211625m - （2）2()1a b +-（3）22(2)16(1)x x -++- （4）21236m n -+（5） 2244x xy y ++ （6）22293m mnn ++三、知识运用课堂训练1、下列各式能用平方差公式分解的是（ ）A 、22m n --B 、2219p q + C 、321649y x -D 、224k h -+2、下列各式是完全平方式的是（ ）A 、214m m ++ B 、22x xy y ++ C 、21x x +- D 、22h d +3、下列多项式能用公式法分解的是（ ）A.22x y --B.232a ab b -+C. 524x y -D. 2210.049y x -4、把多项式22155x y -分解因式是 。
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版第三章因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式几个整式的积例：axbx13131x(ab) 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部3232分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
2233例1：把12ab18ab24ab分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。
2233解：12ab18ab24ab6ab(2a3b4a2b2)例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)例3：把多项式x22x分解因式解：x22x=(x22x)᠆ 1;x(x2) （2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教学设计一. 教材分析《多项式的因式分解》是湘教版七年级数学下册第三章第一节的内容。
这一节主要介绍了多项式因式分解的概念、方法和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解因式分解的意义，掌握因式分解的基本方法，并能够运用因式分解解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减运算和乘法运算，具备了一定的代数基础。
但是，对于多项式的因式分解，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法，并能够运用因式分解解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和基本方法。
2.难点：多项式因式分解的技巧和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.利用多媒体和实物模型辅助教学，帮助学生形象地理解因式分解的概念和方法。
3.采用小组合作学习的方式，鼓励学生互相交流和讨论，培养学生的团队合作意识。
4.提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固和提高因式分解的能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和教具。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个实际问题，如“分解因式：x^2 - 5x + 6”，激发学生的兴趣，引导学生思考和探索因式分解的意义和方法。
2.呈现（10分钟）介绍因式分解的概念和方法，如提公因式法、十字相乘法等。
通过示例和讲解，让学生了解因式分解的基本步骤和技巧。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用给定的方法尝试分解因式。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈和评价。
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教案一. 教材分析《多项式的因式分解》是湘教版七年级数学下册第三章第一节的内容。
这一节主要让学生掌握多项式因式分解的基本方法和技巧，培养学生对多项式的理解和运算能力。
教材通过引入、讲解、练习等环节，使学生逐步掌握多项式因式分解的原理和方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减、乘法运算，对多项式有一定的理解。
但因式分解较为抽象，需要学生具有一定的逻辑思维能力和转化能力。
此外，学生可能对因式分解的方法和技巧掌握不牢固，需要老师在教学中进行引导和巩固。
三. 教学目标1.让学生理解多项式因式分解的概念和意义。
2.使学生掌握多项式因式分解的基本方法和技巧。
3.培养学生对多项式的理解和运算能力。
4.提高学生的逻辑思维能力和转化能力。
四. 教学重难点1.重点：多项式因式分解的概念、方法和技巧。
2.难点：如何灵活运用因式分解的方法和技巧，解决实际问题。
五. 教学方法1.采用启发式教学法，引导学生主动探究多项式因式分解的方法。
2.使用案例分析法，让学生通过具体例子理解因式分解的原理。
3.运用小组合作学习法，培养学生团队合作精神和沟通能力。
4.利用巩固练习法，加强对因式分解方法的掌握。
六. 教学准备1.教材、多媒体教学设备。
2.相关练习题和测试题。
3.教学课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生思考如何将这些问题转化为多项式的因式分解问题。
例如，解决“一件衣服原价80元，优惠20%，现价是多少？”的问题，可以转化为多项式80x - 16x^2的因式分解。
2.呈现（10分钟）讲解多项式因式分解的概念和意义，介绍因式分解的方法和技巧。
通过具体例子，让学生理解因式分解的原理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试对给定的多项式进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
初中数学试卷
因式分解
一、选择题
1.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
(x+y)＝ax+ay +4=x(x-4)+4
（
＝5x(2x-1) +6x＝(x+4)(x-4)+6x
2.分解因式8ab(a-b)3-12a(a-b)2时，应提取的公因式是( )
(a-b)3 (a-b)2 (a-b)2 3.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
+1 +9 +5y
4.添加一项，能使多项式9x2+1构成完全平方式的是( )
5.计算：852-152=( )
&
900 000
6.下列因式分解中，正确的个数为( )
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③-x2+y2=（x+y）（x-y）.
个个 C. 1个个
+9a2b分解因式的正确结果是( )
(a2-6a+9) (a+3)(a-3) (a2-3)2 (a-3)2
8.某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )
，2 ，1 ，3 ，8
?
二、填空题(每小题4分，共16分)
9.多项式9x2y-15xy-6y的公因式是_____________.
10.一个多项式因式分解的结果是(x+2)(x-3)，那么这个多项式是_____________.
11.已知x、y是二元一次方程组
23,
245
x y
x y
-=
+=
⎧
⎨
⎩
的解，则代数式x2-4y2的值为_____________.
12.一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是_____________(用a，b的代数式表示).
三、解答题
13.因式分解：
—
（1）-4a2+12ab-9b2; （2）x4-x2y2; （3）a4-1.
$
14.运用因式分解知识说明：2n+3-2n+1(n为正整数)能被6整除.
15.已知a-2b=1
2
，ab=2，求-a4b2+4a3b3-4a2b4的值.
$
16.用简便方法计算下列各题：
(1)39×37-13×34； (2)××++(101
2
)2-(9
1
2
)2.
;
17.把一个边长为a米的正方形广场的四周各留出一个边长为b米的正方形用来修花坛，其余地方种草，问草坪的面积有多大如果修建每平方米的草坪需要5元，请计算当a=92，b=4时，投资修此草坪需要多少钱
'
18.下面是某同学对多项式（a2-4a+2）（a2-4a+6）+4进行因式分解的过程．
解：设a2-4a=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（a2-4a+4）2（第四步）
…
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底___________;（填“彻底”或“不彻底”）（2）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________;
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解. %
.
参考答案
11.15 2
13.(1)原式=-(4a2-12ab+9b2)=-(2a-3b)2.
(2)原式=x2(x2-y2)=x2(x+y)(x-y).
(3)原式=(a2+1)(a2-1)=(a2+1)(a+1)(a-1).
14.因为2n+3-2n+1=2n(23-2)=2n×6，所以能被6整除.
15.原式=-a2b2(a2-4ab+4b2)=-a2b2(a-2b)2.
当a-2b=1
2
，ab=2时，原式=-22×(
1
2
)2=-1.
16.(1)原式=39×(37-27)=390.
(2)原式=1
2
1
2
1
2
1
2
草坪的面积为：a2-4b2（平方米）；
当a=92，b=4时，草坪的面积为：a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(92+8)×(92-8)=8 400(平方米).所以投资修此草坪需要的钱是8 400×5=42 000(元).
答：草坪面积（a2-4b2)平方米，投资修此草坪需要42 000元.
18.(1)不彻底.
(2)（a-2）4.
(3)设x2-2x=y,原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2-2x+1）2=（x-1）4.。
