趣味数学---轴对称图形赏析

轴对称图形轴对称图形，是指一个图形在某个轴线上的两侧是完全对称的。

换句话说，这个图形可以分成两部分，每一部分都是另一部分的镜像。

在数学上，轴对称图形是指通过某条线（称为轴）对称后可以恰好重合的图形。

轴对称图形具有奇偶性质，也就是说，只有在某些条件下，轴对称图形才具有轴对称性，否则就只是一般的图形。

轴对称图形广泛存在于我们生活中的各个领域。

例如，我们常见的人体、动物、建筑、地形、植物、工艺品等都可以看作是轴对称图形。

轴对称图形在美学上也具有重要意义，它常被用作设计艺术、建筑艺术、时装设计、家居设计、广告设计等领域，使图案更加美观、和谐、统一。

本文将从数学、物理、生物、美学、设计等多个方面探讨轴对称图形的相关知识和应用。

一、数学视角下的轴对称图形在数学上，轴对称图形是一种变换，是指将一个图形沿着轴线翻转一下，然后使得原来在轴线上的点在新的图形中仍然在轴线上并且位置不变。

轴对称图形的轴称为对称轴，对称轴过图形中心。

下面是若干轴对称的图形：如图所示，图形通过对称轴折叠或旋转180°后，可以重合。

轴对称图形有以下特点：1、轴对称图形与它的对称轴垂直（除非它是在一个垂直平面中）。

2、对称轴把图形分成两半，每一半是另一半的镜像。

3、对称轴上的点不改变位置。

常用的对称轴包括垂直对称轴、水平对称轴、倾斜对称轴等。

图形的对称中心是对称轴的中点。

一个图形可以有多个对称中心。

如果图形同时具有垂直对称轴和水平对称轴，则它是一个点对称图形，也称为中心对称图形。

例：正方形是一个点对称图形，因为它具有中心对称轴，即两条对角线的交点。

二、物理视角下的轴对称图形在物理学中，轴对称图形是指一个物体相对于某个轴旋转后，图形保持不变的情况。

轴对称图形在物理学领域中广泛存在，例如，地球、分子、螺旋状物等都是轴对称的。

地球的自转轴是一个非常明显的轴对称线，它的旋转使得地球的北极和南极交替出现。

在分子结构中，原子和分子的构成可以通过轴对称来描述。

轴对称图形知识点分析数学与生活以树干为对称轴，画出树的另一半，如图14-1所示.思考讨论图14－1给出了树的一半，以树干为对称轴，画出它的另一半，需要找到几个关键点即关于树干的对称点，依次连接这些点即可，那么，我们为什么要这么做呢？知识详解知识点1 轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.如图14-2所示，△ABC是轴对称图形.知识点2 对称轴把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图14-3所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，l叫做对称轴.A和A′,B和B′，C和C′是对称点.知识点3 线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图14－4所示，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线.知识点4 对称轴的性质对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.探究交流成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？点拨成轴对称的两个图形全等；如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等；这两个图形对称.知识点5 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.如图14－5所示，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA=PB.知识点6 线段垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.知识点7 成轴对称的两个图形的对称轴的画法如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.典例剖析师生互动基本概念题例1 判断下列图形（如图14－6所示）是不是轴对称图形.（分析）由轴对称图形的含义可知，（1）（3）（6）是轴对称图形，（2）（4）（5）不是.解：是轴对称图形的有（1）（3）（6）；不是轴对称图形的有（2）（4）（5）.例2 判断下面每组图形（如图14－7所示）是否关于某条直线成轴对称.（分析）本题主要考查轴对称和读图能力，要仔细观察.解：图（1）不关于某条直线成轴对称；图（2）关于某条直线成轴对称.学生做一做如图14－8所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.老师评一评主要考查轴对称图形和图形成轴对称的含义.图（1）（3）（4）（6）（8）（10）是轴对称图形；图（2）（5）（7）（9）成轴对称.基本知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）能够找出常见轴对称图形的对称轴；（2）掌握线段垂直平分线的性质.例3 如图14-9所示，已知△ABC和直线MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）（分析）画已知图形关于某直线对称的图形，关键是找到对称点.作法：如图14－10所示.例4 如图14－11所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长.（分析）本题主要考查垂直平分线的性质.解：∵ED是AB的垂直平分线，∴DA=DB.又∵△BDC的周长为17m，AB=AC=10m，∴BD+DC+BC=17，∴DA+DC+BC=17，即AC+BC=17.∴10+BC=17，∴BC=7m.例5 下列图形中对称轴条数最多的是( )A.正方形B.长方形C.等腰三角形D.等腰梯形E.等边三角形F.角G.线段H.圆I.正五角星（分析）有一条对称轴的是C，D，F，G；有三条对称轴是E；有四条对称轴的是A；有两条对称轴的是B；有五条对称轴的是I；有无数条对称轴的是H.因此，对称轴条数最多的是H.小结（1）对称轴是一条直线；（2）轴对称图形的对称轴至少有1条.综合应用题本节知识的综合应用主要是轴对称图形和图形关于某直线对称的综合应用.例6 两个大小不同的圆可以组成如图14－12中的五种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同的特点.（分析）因为对于一个圆来说，它有无数条对称轴，每条对称轴都是经过圆心的直线，而对于由两个圆组成的图形来说，它的对称轴就是同时经过两个圆圆心的直线，因此图14-12中五个图形都是轴对称图形，并且每个图形都只有1条对称轴.（因为两点确定一条直线而且只确定一条直线）解：对称轴略.它们五种图形的对称轴都是经过两圆心的直线，即直线O1O2是对称轴.探索与创新题主要考查探索和创新的能力及与代数知识的综合应用.例7 数的运算中会有一些有趣的对称形式，按照等式（1）的形式填空，并检验等式是否成立，你还能举出一些类似的例子吗？（1）12×231=132×21（2）12×462= ×（3）18×891= ×（4）24×231= ×（分析）模仿（1）题，（2）题分别填：264，21，（3）题分别填198，81，（4）题分别填132，42，经检验等式成立.如（1）中：12×231=12×21×11=（12×11）×21=132×21，如（2）中：12×462=12×42×11=12×21×2×11=（12×2×11）×21=264×21，（3）（4）论证方法同（1）（2）类似.答案：（2）264 21 （3）198 81 （4）132 42学生做一做我们把左右数字排列对称的自然数叫做回文数，请你写出下列回文数是由哪个数的平方得到的？（1）121=( )2；（2）14641=( )2；（3）40804=( )2；（4）44944=( )2；老师评一评（1）121=11×11，∴121=112.（2）14641=121×121，∴14641=1212.（3）40804=202×202，∴40804=2022.（4）44944=212×212，∴44944=2122例8 图14－13所示，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，拼成标号为P，Q，M，N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个轴对称图形”的对应关系填空：A与对应；B与对应；C与对应；D与对应.答案：M P Q N提高训练题例1 请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框（如图14－14所示）内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意.（分析）这是一道开放性题，重点考查轴对称图形的含义和学生的想象能力，答案有多种，只要符合题意即可.本题由同学自己完成.例2 如图14—15所示，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为( )A.4B.6C.8D.10（分析）关于图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用，解题时，①应抓住折叠前后的图形全等；②应注意折叠前后的对应关系.画出折叠前后的对比图，找出对应关系.如图14－16所示，从△FCE 折叠前后的图形中可知，DE=BC=AD=6， ∴△ADE 是等腰直角三角形. ∴∠AED=45°. ∴∠FEC=45°. 又∴∠C=90°∴△ADE 是等腰直角三角形. ∴EC=DC-DE=AB-DE=4. ∴S △CEF =21×4×4=8. 答案：C例3 在图14－17中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由.答：图形 ；理由是： .（分析）主要考查轴对称图形的含义，只有②与另外三个不同.因为①③④都是轴对称图形，而②不是.答案：② ①③④都是轴对称图形，而②不是例4 如图14－18所示，下列图案中，是轴对称图形的是( ) A.（1）（2）B.（1）（3）C.（1）（4）D.（2）（3）(分析)本题主要考查轴对称图形的含义，是轴对称图形的有(1)(4).故正确答案为C 项.学生做一做如图14－19所示，下列图案中，是轴对称图形的是( )图14-19A.（1）（2）B.（1）（3）（4）C.（2）（3）D.（1）（4）老师评一评是轴对称图形的是（1）（3）（4），故正确答案为B项.例5 如图14－20所示，下图是由一个圆，一个半圆和一个三角形组成的图形，请你以直线AB为对称轴，把原图形补成轴对称图形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（分析）主要考查画轴对称图形的方法.解：如图14－21所示.例6 如图14－22所示，下列四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是( )（分析）在A，B，C，D中，除C外均是轴对称图形，其中A有2条对称轴，B有4条对称轴，D有1条对称轴，所以正确答案为B项.例7 如图14-23所示的是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出阴影部分的面积图14-23（分析）本题考查点有两个，一是找轴对称图形的对称轴，二是求阴影部分的面积.由轴对称的性质可知，先求出对称轴左半部分的面积，再乘以2即是阴影部分的面积.对称轴左半部分有16个阴影小正方形，面积是2×16=32，故阴影部分的面积为32×2=64.解：（1）如图14－24所示.（2）图中阴影部分的面积是64.例8 如图14－25所示的图形是对称图形.答案：轴自我评价知识巩固1.如果O是线段AB的垂直平分线与AB的交点，那么 = .2.设MN是线段AB的垂直平分线，当点P在MN上运动时，PA，PB的长度都随之变化，但总保持 .3.如图14－27所示，OM是∠AOB的平分线，MA⊥OA，交OA于A，MB⊥OB，交OB于B，如果∠AOB=120°，则∠AMO= ，∠BMO= ，∠AMB= ，AM= ，理由是 .4.如图14－28所示，AB=AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB+D，交AC于E，求△BCE 的周长.5.（1）下面每个网格内的两个图形（如图14－29所示）都是成轴对称的，请画出它们的对称轴；（2）如图14－30所示，以虚线为对称轴，画出图形的另一半；（3）画出如图14－31所示的图形关于直线l的对称图形.6.某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图14－32所示（点M，N表示大学，AO，BO 表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；（2）阐述你设计的理由.7.欣赏下面对联，感悟轴对称在文学中的踪影.（1）秀山青雨青山秀，香柏古风古柏香；（2）雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天.观察上述对联，你也试一试，作出一幅类似的对联.参考答案1.OA OB2.PA=PB3.30° 30° 60° BM角的平分线上的点到角两边的距离相等4.解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB.∴BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=12+7=19.∴△BCE的周长为19.5.略6.（1）仓库在线段MN的垂直平分线和∠AOB的平分线的交点上.（2）角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质. 7.略。

轴对称图形轴对称图形是几何学中的一个重要概念，在许多领域中都有着广泛的应用。

轴对称图形是指可以通过某条虚拟线（称为轴）将图形分成两个对称的部分的图形。

接下来我们将深入探讨轴对称图形的性质、特点以及一些实际应用。

轴对称图形的性质轴对称图形具有以下几个显著的性质：1.对称轴：轴对称图形存在一个或多个对称轴，通过这些轴，可以将图形分成两个完全对称的部分。

对称轴可以是水平、垂直或斜线。

2.对应点：轴对称图形上的每个点都有一个对应的对称点，这个对称点关于对称轴相对位置相同，但是在轴对称图形中却是互为镜像的。

3.性质保持不变：轴对称变换不改变轴对称图形的性质，如面积、周长等，它只改变图形在空间中的位置和方向。

轴对称图形的分类根据轴对称的不同性质，轴对称图形可以分为以下几类：1.轴对称图形：最简单的轴对称图形是对称图形本身，例如正方形、正圆等。

2.轴对称字母：字母X在垂直中线上是轴对称。

3.轴对称数字：数字0、1、8在水平、垂直中线上是轴对称的。

4.轴对称图形的组合：多个轴对称图形可以组合在一起形成一个更大的轴对称图形。

轴对称图形的实际应用轴对称图形在日常生活中有着广泛的应用，下面列举几个实际应用：1.艺术创作：许多艺术作品中都运用了轴对称的原理，通过对称的布局或对称的图案来吸引观众的眼球。

2.建筑设计：建筑中的对称结构能够给人一种和谐、美感的感受。

许多古代建筑和现代建筑都运用了轴对称的设计。

3.产品设计：在产品设计中，轴对称设计能够提升产品的稳定性和美观性，例如汽车、手机等产品。

4.生物学：生物体中也存在轴对称结构，例如人体的左右对称、植物的对称花瓣等。

总结轴对称图形作为一种重要的几何概念，不仅在数学中有着丰富的性质和特点，而且在各个领域都有着重要的应用。

通过深入研究和理解轴对称图形，我们可以更好地利用这一概念在日常生活和工作中发挥作用，为人们创造更多美好的体验和设计。

希望本文对读者们有所启发，谢谢阅读！。

轴对称图形知识点分析说起轴对称，就不得不提轴对称图形，这两个概念学生最容易混淆。

轴对称研究的是两个图形之间的关系，当这两个图形沿着某条直线进行对折，在直线两旁的两个图形或两个图形的部分能够完全重合，那么这两个图形就被称为成轴对称关系的两个图形，简称为成轴对称。

而轴对称图形指的是一个图形，如果该图形沿某条直线对折后，能够使图形的两部分完全重合，那么这样的图形就被称为轴对称图形。

小学数学所研究的轴对称，指的是轴对称图形，是一个图形的两个部分之间的关系。

明确这一点，才能有针对性地指导孩子学习数学。

轴对称的学习一定要让学生亲自操作、亲身体验，才能建构起轴对称图形的模型。

1．动手折纸可以先让孩子准备长方形、正方形和平行四边形的纸片各一张，再通过对折纸片，让折痕两边的部分完全重合。

操作后发现，长方形、正方形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形。

接着通过不同的对折方法，认识长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，对称轴的条数因图形的不同而不同。

此时有必要指出，对称轴并不是那条折痕，而是那条折痕所在的直线。

2．动手画“轴”在方格纸上画一些平面图形的对称轴，如：①只是轴对称图形：角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等。

②只是中心对称图形：平行四边形等。

③既是轴对称图形又是中心对称图形：正方形、长方形、圆等。

④既不是轴对称图形又不是中心对称图形：不等边三角形、非等腰梯形等。

经历画“轴”的过程，可以进一步加深对轴对称图形的认识，初步体会轴对称图形的特征。

3．动手画图轴对称图形到底有什么特征，不妨通过下面三个层次的画图操作，实现对其特征的认识。

该题有些难度，目的就是强化对称点到对称轴的距离相等这一特征。

刚开始画图时，如果出现错误也是正常的，不妨提醒孩子联系上面两题得出的结论，再进行操作探究，一定会对轴对称图形有一个统一的认识。

4．动手设计我们可以根据轴对称图形的特征，由一个图形得到与它对称的另一个图形，重复这个过程，便可以得到美丽的图案。

五年级数学认识简单的轴对称形的特点与判断方法轴对称形是数学中的重要概念，它在几何形状的研究和图形的绘制中有着广泛的应用。

通过学习轴对称形的特点和判断方法，可以帮助我们更好地理解和运用数学知识。

本文将详细介绍五年级学生对轴对称形的基本认识，包括特点和判断方法。

一、轴对称形的特点轴对称形是指一个图形可以关于某一条直线对称。

具体来说，轴对称形的特点有以下几个方面：1. 对称轴：轴对称形图形中的对称轴是指将图形平分为两个相等部分的直线。

对称轴是图形的中轴线，可以是水平线、垂直线或斜线。

2. 对称性：轴对称形图形对称性强，即两边相同、相似或相等。

两边对称的图形特点使得它们具有美感和平衡感。

3. 形状相同：对称轴两侧的图形形状完全相同，只是位置相对发生改变。

这意味着通过在对称轴处折叠，对称形两侧的图形可以完全重合。

二、轴对称形的判断方法了解轴对称形的特点之后，我们可以通过以下方法判断一个图形是否是轴对称形：1. 折叠法：首先，我们可以尝试将图形沿着一个猜测的对称轴线对折。

如果对折后的图形的两部分完全重合，那么可以确认这个图形是轴对称形。

2. 对比法：将图形折叠为轴对称形的对应部分，然后将两个对应部分分别放在透明的纸上，叠加在一起。

如果叠加后的图形完全重合，那么可以确定这个图形是轴对称形。

3. 观察法：注意观察图形的对称性和形状。

如果图形的两侧在某直线上对称，并且形状相同，则可以推测这个图形可能是轴对称形。

请注意，判断图形是否是轴对称形时，可以结合使用以上多种方法，以增加判断准确性。

三、实例分析下面我们通过几个实例来演示轴对称形的特点和判断方法：实例1: 正方形正方形是轴对称形的典型图形。

它的特点是：对称轴可以是任何通过正方形中心的直线，对称轴两侧的图形形状相同，可以通过折叠或对比法判断。

实例2: 鱼的图形鱼的图形通常是轴对称形。

将鱼的图形沿着它的脊椎线对折，发现两部分完全重合，故鱼的图形是轴对称的。

实例3: 苹果的图形苹果的图形通常不是轴对称形。

高中数学几何图形中的对称分析对称是数学图形中的一种重要性质，它在几何、代数、分析等多个领域有着广泛的应用。

在高中数学中，对称也是学生们必须掌握的一个重要知识点。

本文将通过分析高中数学中的一些几何图形，探讨对称的性质和应用。

一、轴对称图形轴对称图形是指沿着一条直线对折，如果左右两边能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。

常见的轴对称图形有正方形、等腰三角形、圆形等。

轴对称图形的对称轴可以是直线，也可以是曲线。

例如，圆的对称轴就是圆所在的整个平面。

在轴对称图形中，对称轴两侧的图形具有相似的性质。

例如，在等腰三角形中，对称轴两侧的边长相等、角度相等，性质相似。

因此，可以通过分析一个轴对称图形的对称轴，来判断另一个图形的性质。

二、中心对称图形中心对称图形是指将图形绕着某一点旋转180度后，能够与原来的图形重合。

常见的中心对称图形有矩形、菱形、平行四边形等。

中心对称图形的对称中心可以是任意一点，也可以是两条直线。

例如，矩形的对称中心就是对角线的交点，菱形的对称中心是两条对角线的交点。

在中心对称图形中，可以通过分析一个图形的对称中心或对称轴，来判断另一个图形的性质。

例如，矩形具有稳定性、平行四边形具有传递性等性质，这些性质都可以通过中心对称或轴对称的性质来解释。

三、对称在几何中的应用对称在几何中的应用非常广泛，它可以用来解决一些与角度、边长、面积等问题相关的问题。

例如，在求圆的面积时，可以通过轴对称将圆分成两个完全相等的扇形，再乘以π来计算；在求矩形周长时，可以通过中心对称将矩形分成两个完全相等的部分，再乘以两倍的边长来计算周长。

此外，对称还可以用来解决一些与角度问题相关的问题。

例如，在求一个角度的补角或余角时，可以通过轴对称将角度旋转180度来得到补角或余角；在判断两个角是否相等时，可以通过中心对称将两个角分别旋转180度后是否重合来判断；在证明三角形内角和为180度时，可以通过将三角形分成两个完全相等的扇形来证明。

美丽的轴对称图形引言轴对称图形是数学中一种很常见的图形形式，它们具有特殊的美学价值和吸引力。

轴对称图形在我们的生活中无处不在，无论是自然界中的形状，还是艺术作品中的设计，都可以找到轴对称图形的影子。

本文将介绍轴对称图形的定义、特点以及一些常见的轴对称图形例子，让我们一起探索美丽的轴对称世界。

轴对称图形的定义轴对称图形是指存在一条线，也叫轴线，将图形分为两个完全对称的部分。

这条轴线可以是水平、垂直或对角线。

在轴对称图形中，两边的部分是完全一致的，对称轴上的每个点到图形的另一边都有对应的点。

轴对称图形具有以下特点：1.对称性：轴对称图形的每个点都能通过轴线找到与之对应的点，两边的图形是完全一致的。

2.不变性：轴对称图形以轴线为对称轴，通过旋转或翻转都可以得到与原图相同的结果。

3.美感：轴对称图形具有对称美，给人以平衡、和谐和稳定的感觉。

轴对称图形的例子1. 矩形矩形是最经典的轴对称图形之一。

它的轴线可以是矩形的中心线，将矩形分为左右两个对称的部分。

无论是正方形还是长方形，它们的两边长度相等，角度也相同，因此具有轴对称性。

矩形的对称美给人以稳定和安宁的感觉，广泛应用于建筑、家具等设计中。

2. 圆形圆形是另一个常见的轴对称图形。

它的轴线可以是任意直径，将圆形分为上下两个对称的部分。

圆形具有自然的轴对称性，对称轴上的每个点到另一边都有与之对应的点。

圆形的对称美给人以和谐、完美的感觉，广泛应用于艺术、装饰等领域。

3. 对称字母和数字除了几何形状，轴对称图形还包括一些字母和数字。

例如，字母。

《轴对称图形》案例分析片段一：1、师：同学们：你们看过“千手观音”这个节目吗？在2005年的春节晚会上这个节目感动了亿万中国观众，在残奥会上感动了世界.师：“千手观音”这个节目由于内容和形式的完美统一，深受观众的喜爱。

请同学们再来看一看一些现场的画面:（欣赏“千手观音”节目的影像)师：你觉得这些画面中舞蹈演员的动作造型美吗？师:这些造型都体现一种艺术美----——----对称美（板书：对称)（分析:从生活中的对称现象让同学们感受轴对称现象，让同学们感受数学来源于生活，又服务于生活，同时激发起学生进一步了解轴对称图形的兴趣。

）片段二：（一）看一看。

1、出示天安门、飞机、奖杯等图片。

请大家再来欣赏一组物体的照片.（课件出示)提问：仔细观察，你能发现它们的共同特征吗?预设:（1）两边是一样的；（2）两边是对称的……揭示：像这样物体的两边是一模一样的，我们就说这个物体是对称的。

谈话：我们把天安门、飞机、奖杯画下来，可以得到下面的图形.（出示平面图形）谈话：请大家拿出你课前剪下的这三个图形,对折一下，看看你能发现什么。

请同学们以小组为单位,折一折,并互相说一说你的发现。

反馈:谁愿意把你的发现说给全班同学听？请一组学生拿着图形到前面来演示。

预设:（1) 这些图形对折后，两边都是一样的；（2）它们是对称的。

谈话：像这样对折后，图形的两边完全一样，也可以说成是图形的两边“完全重合”。

(板书：完全重合）揭示：像这样对折以后能完全重合的图形就是“轴对称图形"（板书：轴对称图形）奖杯图、天安门图和飞机图对折以后能完全重合吗?那么这三个图形就都是轴对称图形.提问：再看这三个轴对称图形中间还有什么？预设：（1）印子;（2）折痕（板书：折痕）揭示：这条折痕就是这个图形的对称轴。

(电脑演示)（板书：对称轴）（分析：学生是课堂的主人，动手实践、自主探索与合作交流时学生学习的重要方式。

在这一个环节，我让学生自己动手去折一折，帮助学生了解轴对称图形的本质，同时也体会到判断一个图形是不是轴对称图形的方法之一.）总评：本节课学生情绪高涨,能够主动地参与学习的全过程，使他们享受到了数学活动所带来的快乐与成功。

轴对称的含义和特点《轴对称的奇妙世界》嘿，朋友们！今天我要和你们唠唠轴对称这个神奇又有趣的玩意儿。

一提到轴对称，你们可能会觉得，哎呀不就是那个左右或者上下能对称的东西嘛。

嘿，还真别说，就是这么回事儿，但这里面的门道可多着呢！你们想想，轴对称就像是大自然和我们人类开的一个小玩笑。

比如说吧，那美丽的蝴蝶，翅膀一展开，嘿，轴对称！还有那孔雀开屏，哇塞，多漂亮的轴对称图案呀，好像它在向我们炫耀：“瞧，我多对称，多美丽！”这轴对称简直就是大自然的艺术杰作呀！再说说我们生活中的建筑。

很多古老的建筑那可都是轴对称的，从中间一劈两半，两边那叫一个一模一样。

为什么呀？因为轴对称给人一种稳定感、庄重感。

你要是建个歪七扭八不对称的房子，那看着得多别扭呀，感觉随时都可能倒了似的。

轴对称还有一个特别有意思的特点，就是它特别对称！哈哈，开个小玩笑。

说正经的，它让我们在观察事物的时候有一种特别的和谐感。

就像我们照镜子，左边右边完美对称，我们自己看着都觉得舒服。

而且你们发现没有，对称轴就像是一个神秘的分割线，两边的东西好像在互相呼应，互相映衬。

有时候我都在想，这对称轴是不是有什么魔力呀，能把两边的东西变得这么和谐统一。

我记得小时候玩折纸，一张纸对折再对折，然后剪出个形状来，打开一看，哇，一个漂亮的轴对称图形就出现了。

那种惊喜感，就像发现了新大陆一样。

在学习数学的时候，轴对称也是个很重要的概念。

做几何题的时候，一看到轴对称图形，心里就有底了，感觉解题都变得容易起来。

总之，轴对称这个玩意儿，既神奇又有趣，既在大自然中无处不在，又在我们的生活和学习中有着重要的地位。

它就像一个隐藏在我们身边的小魔法，给我们带来惊喜和乐趣。

下次你们再看到对称的东西，可别忘了感受一下轴对称的神奇魅力哦！哈哈！。

数学中的美—《轴对称图形》案例分析一、案例背景数学中的对称分为轴对称和中心对称，本册教材中讲的对称图形仅仅限于轴对称图形。

在自然界和日常生活中，具有轴对称性质的事物很多，教材通过树叶，蜻蜓和天平的实物图，让学生观察分析它们的共同特性，在做减脂实验，然后找出轴对称图的概念，接着让学生折叠学过的几何图形找出其中轴对称图形，使学生进一步认识这些集合图形的本质特征。

二、学情分析学生对生活中的对称现象有一定的感性认识，但不能准确表述轴对称图形的概念，对称图形的特征了解也不够深入，通过轴对称图形的学习，学生既可以了解轴对称现象，在生活中的普遍性又能提高欣赏能力与空间的想象能力。

三、教学目标1、过各种活动发展学生空间概念，学会欣赏教学美。

2、通过折纸，剪纸，画图，图形分类等操作活动，体会轴对称图形的特征，并能在方格上画出简单的轴对称图形。

3、发展学生的空间观念，培养学生的观察能力和动手操作能力新知。

四、教学流程创设情景倒入新知——动手操作理解新知——巩固练习运用新知五、实录片段（一）发现美老师:同学们你们喜欢照镜子吗？请看这付幅图片，小刘也在照镜子呢，你看他笑的多开心呀，猜猜看，她为什么笑得这么开心呢？学生:……教师:同学们猜一下，她哪半张脸弄脏了？学生一:我认为是左半张脸。

学生二:我认为是右半张脸。

（反思，通过照镜子这个活动，调动了学生的积极性，营造了良好的学习气氛。

）老师:那么是谁的正确呢？下面我们也来照镜子，验证一下，好吗？（学生跃跃欲试，兴趣盎然。

）学生一:我知道了，肯定是右半张脸，因为镜子里面的像和实际的人正好左右相反。

老师:很好。

下面我们再做一个实验，请看图2，先猜测一下它可能是什么图形的一部分。

学生一:蝴蝶的一半。

老师:是吗？下面让我们来验证一下，我们的猜测是否正确好吗？请同学们拿出镜子，先把镜子竖直放好，然后把图2靠紧放好，图垂直于镜子，观察一下，右图与镜子里面的像组成一个什么图形，刚好合成一个什么图形。

第九讲轴对称图形及其性质（一）知识点一轴对称图形及轴对称性质1、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．2、两个图形成轴对称如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．3、轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．知识点二利用轴对称作图1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对称轴．2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形．经典例题【例1】选择题（1）如图，ABC∠度数为()C∠=︒，则B'∠=︒，20∆与△A B C'''关于直线l对称，若50AA．110︒B．70︒C．90︒D．30︒【解析】A．（2）下列说法：①线段的对称轴有两条；②角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；③两个全等的等边三角形一定成轴对称；④两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线两侧；⑤到直线L距离相等的点关于L对称．其中说法不正确的有()A．3个B．2个C．1个D．4个【解析】D．【例2】如图，AOB∠=︒，BOD ∆与COB∆关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若46∠=︒．∠=︒，则ADCC22【解析】AOB与COB∆关于边OB所在的直线成轴对称，∆∴∆≅∆，AOB COB∠=∠，∴∠=∠=︒，ABO CBO22A C，∠=∠+∠BOD A ABO∴∠=︒-︒=︒，462224ABO∴∠=∠=︒，ABD ABO248∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，ADC A ABD224870故答案为：70．【例3】如图，在Rt ABCBC=，AD平分CABAC=，4∠交BC于D点，E，F分ACB∠=︒，3∆中，90别是AD，AC上的动点，求CE EF+的最小值.【解析】在AB上取一点G，使AG AF==∠=∠CAD BAD，AE AE∴∆≅∆()AEF AEG SAS∴=FE EG∴+=+CE EF CE EG则最小值时CG垂直AB时，CG的长度12CG=5【例4】如图在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．A B C；（1）在图中画出与ABC∆关于直线l成轴对称的△111（2）利用网格线在直线l上求作一点P，使得PA PC+最小，请在直线l上标出点P位置．A B C即为所求作．【解析】解：（1）如图，△111（2）如图，点P即为所求作．【例5】如图，在ABCBC cm==，8=，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，∆中，10AB AC cm在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的PBC∆的周长最小值．∆的周长最小，求PBC【解析】如图，连接PA．=++，8=，BC cm的周长BC PB PC∆PBC∴+的值最小时，PBC∆的周长最小，PB PC垂直平分线段AB，MN∴=，PA PB，∴+=+=PB PC PA PC AC cm10∴+的最小值为10cm，PB PC∴∆的周长的最小值为18cm．PBC故答案为18cm【例6】在等边ABC∆中，点P、Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且=，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM，求证：PA PM=．AP AQ【解析】证明：AP AQ，=∴∠=∠，APQ AQP∆是等边三角形，ABC∴∠=∠，B C∠=∠+∠，，AQP C CAQ∠=∠+∠APQ B BAP∴∠=∠，BAP CAQ点Q关于直线AC的对称点为M，∴=，QAC MAC∠=∠，AQ AM∠=∠，BAP CAQ∴∠=∠，MAC BAP∴∠+∠=∠+∠=︒，BAP PAC MAC CAP60∴∠=︒，PAM60=，AP AQ∴=，AP AM∴∆是等边三角形APM∴=．AP PM配套练习1、如图，ABC ∆与DEF ∆关于直线l 对称，BE 交l 于点O ，则下列说法不一定正确的是()A ．AC DF=B ．BO EO =C ．AD l ⊥D ．//AB EF【解析】D ．2、在44⨯的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与ABC ∆关于某条直线对称的格点三角形，最多能画()个．A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】C ．3、如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B '、D '点处，若得70AOB ∠'=︒，则B OG ∠'的度数为．【解析】根据轴对称的性质得：B OG BOG∠'=∠又70AOB ∠'=︒，可得110B OG BOG ∠'+∠=︒1110552B OG ∴∠'=⨯︒=︒．4、如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6BC =，8AC =，10AB =，动点P 在边AB 上运动（不与端点重合），点P 关于直线AC ，BC 对称的点分别为1P ，2P ．则在点P 的运动过程中，线段12P P 的长的最小值是．【解析】如图，连接CP ，点P 关于直线AC ，BC 对称的点分别为1P ，2P ，12PC PC P C ∴==，∴线段12P P 的长等于2CP ，如图所示，当CP AB ⊥时，CP 的长最小，此时线段12P P 的长最小，90ACB ∠=︒ ，6BC =，8AC =，10AB =，4.8AC BC CP AB⨯∴==，∴线段12P P 的长的最小值是9.6，故答案为：9.6．5、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点ABC ∆（顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△111A B C ；（2）在DE 上画出点P ，使1PB PC +最小；（3）在DE 上画出点Q ，使1||QB QC -最大．A B C即为所求作．【解析】（1）如图，△111（2）如图，点P即为所求作．（3）如图点Q即为所求作．。

解析几何中的轴对称图形和非轴对称图形在解析几何中，轴对称和非轴对称是两种重要的图形变换，可以用来分析和描述图形在坐标系中的位置和形状。

在本文中，我们将从几何和代数两个角度来探讨这两种图形变换的本质和应用。

一、轴对称图形轴对称是指一个图形可以沿着某一条直线对折，使得对折前后的图形完全重合。

这条直线被称为轴线。

轴对称图形具有以下特点：1. 对称中心在轴线上，即轴线同时也是轴对称图形的对称中心；2. 轴对称图形的任意一点关于轴线是对称的，即对称轴两侧的点对为对称点对；3. 轴对称图形是自反的，即对称轴两侧的点在轴线上的投影互为相反数。

轴对称图形在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。

例如，在光学中，镜面反射就是一种轴对称变换，它可以用来制造反射镜、望远镜等光学设备；在工程学中，轴对称结构的设计和分析也是必不可少的，它可以大大提高结构的稳定性和强度。

二、非轴对称图形非轴对称是指一个图形不能通过沿着任何一条直线对折重合的图形变换。

非轴对称图形具有以下特点：1. 没有对称中心，即不存在任何一条直线同时作为对称轴；2. 非轴对称图形的任意一点关于中心对称，即对称中心到任意一点的线段都垂直于这个点的对称轴；3. 非轴对称图形不能通过旋转、平移等简单的刚体运动变换得到。

非轴对称图形在艺术和设计等领域中经常出现。

例如，在花纹设计和装饰中，非轴对称图形可以制造出独特的视觉效果，给人以美感和艺术享受；在科技和生物学等领域，非轴对称的形态也往往具有特殊的物理和生物特性，它们可以用来研究物质的结构和生命的起源等重要问题。

三、代数表示除了几何表示，轴对称和非轴对称变换还可以用代数式来表示。

我们以平面上的点为例，假设轴线方程为y=k，轴对称变换可以表示为：(x,y) -> (x,2k-y)这个式子的意义是，对于平面上的任意点(x,y)，通过轴线y=k将其分为两个点对(p,q)，其中p和q的y坐标分别为k+y和k-y。

轴对称变换的结果就是将点(x,y)映射为(x,2k-y)，也就是和(x,k+y)关于轴线y=k对称的点。

轴对称图形特点轴对称图形是指当把图形对折一个对称轴后，一侧的图像能够和另一侧完全对称的图形。

轴对称也被称为中心对称、轴向对称或者循环对称，它在数学、几何、图形学等领域有着广泛的应用。

一、轴对称图形的定义轴对称的定义是：一个图形在一个对称轴上内外一致，左右对称。

它体现在图形中的一条对称轴，称为对称轴。

当把图像放到对称轴的一侧并进行对称变换(如翻转、旋转、缩放等)后，另一侧的图像能够完全对称。

因此，它可以完全由一条对称轴来描述。

二、轴对称图形的特点1、轴对称图形有着规律性和对称性轴对称图形具有规律性和对称性，可以看出对称轴对图形有着极大的影响，因此，把对称轴来理解图形也就变得非常重要。

2、轴对称图形中顶点数量相同在轴对称图形中，顶点的数量是相同的，可以看出轴对称的性质对顶点的数量也有影响。

也就是说，如果图形是轴对称的，那么它的顶点数量就会是相同的。

3、轴对称的图形的对称性可以由角度来度量轴对称的图形的对称性可以由角度来度量，即可以由夹角底角和顶角来度量图形的对称性。

如果夹角底角和顶角相同，那么图形就是完全对称的，反之则不是。

四、轴对称图形的几何意义1、轴对称图形展示出来的新形状具有重要的实际意义轴对称图形不仅给我们展示出新的形状，而且这些形状具有重要的实际意义。

轴对称图形可以用来定义和表达许多结构，例如空气动力学中的空气动力学结构，机体运动中的机体运动结构，机械结构中的机械结构等等。

2、轴对称图形对称性可以影响物体的运动轴对称图形对称性可以影响物体的运动。

也就是说，一个物体在轴对称图形中转动时，会根据它的对称轴来改变运动轨迹，有助于改变物体的运动状态，从而改变物体的运动规律。

3、轴对称图形可以应用到古典力学中轴对称图形还可以应用到古典力学，也就是说，轴对称图形可以帮助我们更好地理解物体运动的原理，从而以更宏观的角度来认识力学系统。

5、轴对称图形在计算机图形学中的应用轴对称图形还可以用于计算机图形学，它可以帮助我们快速和准确地生成复杂的对称图形，这在建模和绘图中同样重要。

美丽的轴对称图形引言轴对称图形是一种具有特殊对称性的图形，它能够通过一个中心轴进行对称。

轴对称性质使得图形看起来更美观，更有吸引力。

本文将介绍轴对称图形的定义、特征以及常见的示例。

定义轴对称图形是指能够通过一个中心轴进行对称的图形。

这个中心轴可以是水平、垂直或斜线。

当沿着中心轴将图形折叠，两边的图形完全一致，就说明图形具有轴对称性质。

特征轴对称图形具有以下特征：1.中心轴：轴对称图形的最显著特征是它所拥有的中心轴。

中心轴可以是垂直轴、水平轴或斜轴，具体取决于图形的形状。

无论是哪种类型的中心轴，它都必须将图形分成两个完全对称的部分。

2.对称性：轴对称图形的最重要特征是它的对称性。

沿着中心轴，图形的两侧是完全一致的。

这种完美的对称性使得轴对称图形看起来更美观，更有吸引力。

3.镜像：轴对称图形的两个对称部分可以看作是彼此的镜像。

只需将其中一个部分沿着中心轴折叠，即可与另一个部分完全重合。

4.形状：轴对称图形的形状可以是各种各样的，包括几何形状（如正方形、矩形、圆形等）和复杂图形（如动物形状、建筑物形状等）。

5.无旋转：轴对称图形没有旋转对称性，只有镜像对称性。

示例轴对称图形在自然界、艺术作品、建筑设计等方面都有广泛的应用。

以下是一些常见的轴对称图形示例：1.蝴蝶形状：蝴蝶的翅膀通常具有轴对称性质，两个翅膀在中心轴处完全对称。

2.五角星：五角星是一种常见的轴对称图形，中心轴将五个角分成两组完全对称的部分。

3.雪花形状：雪花是一个经典的轴对称图形，它的六个分支在中心轴处完全对称。

4.庭院中的迷宫：迷宫通常具有轴对称性。

迷宫的通道在中心轴处对称，使得整个迷宫看起来更有条理。

制作轴对称图形制作轴对称图形可以通过以下步骤实现：1.确定中心轴的位置：根据图形的形状，确定适合的中心轴的位置，可以是垂直轴、水平轴或斜轴。

中心轴的位置应能将图形分成两个完全对称的部分。

2.绘制图形的一半：在中心轴的一侧绘制图形的一半。

这一半的图形可以是图形的左半部分、右半部分或上半部分、下半部分，取决于所选的中心轴的方向。

专题02 探索轴对称图形知识点框架知识点讲解知识点1 图形的轴对称轴对称的概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。

两个图形关于直线对称也叫做轴对称。

折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

轴对称图形概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（注意：对称轴必须是直线）常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。

平面直角坐标系的轴对称：1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；3）点（x，y）关于原点（0， 0）的对称点为（-x，-y）；4）点（x，y）关于（a，b）的对称点为（2a-x，2b-y）。

知识点2垂直平分线垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。

性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

知识点3 线段、角的轴对称性1）线段的轴对称性：①线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。

②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合2）角的轴对称性：Array①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

②角平分线上的点到角的两边距离相等。

③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合知识点4 等腰三角形等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。

等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。