A．(0,1)
B．(－1,0)
C．(2,3)
D．(1,2)
D [由 f(1)＝3－4＝－1<0，f(2)＝9－4＝5>0 得 f(x)的零点所在区间为(1,2)．]
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4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数有________个零点． 两 [由 Δ＝b2－4ac>0 得二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有两个零点．]
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[跟踪训练] 1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由． (1)f(x)＝x2＋7x＋6； (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； (3)f(x)＝2x－1－3； (4)f(x)＝x2＋x4－x－2 12.
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2．（2019 年重庆期末）函数 f(x)＝2x－3 的零点所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
【答案】B [∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0， ∴f(1)·f(2)<0，即 f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]
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同理，其他选项不符合，选 A.]
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函数零点的个数
[探究问题] 1．方程 f(x)＝a 的根的个数与函数 y＝f(x)及 y＝a 的图象交点个数什么关系？
提示：相等．
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2．若函数 f(x)＝x2－2x＋a 有零点，如何求实数 a 的取值范围？
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2．若把本例条件换成“函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点”，求实数 b 的取值 范围． [解] 由 f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b. 在在同同一 一平平面 面直直角角坐坐标标系系中中分分别别画画出出 yy＝＝||22xx－－22||与与 yy＝＝bb 的的图图象象，，如如图图所所示示．．
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[跟踪训练]
2．若函数 f(x)＝x＋ax(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则 a 的值可能是( )
A．－2
B．0
C．1
D．3
A [f(x)＝x＋ax(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当 a
＝－2 时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故 f(x)在区间(1,2)上有零点，
则则当当 00<<bb<<22 时 时，，两两函函数数图图象象有有两两个个交交点点，，从从而而函函数数 ff((xx))＝＝||22xx－－22||－－bb 有有两两个个零零点点．．
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PART 04
当堂达标·固双基
DOUBLE BASE WHEN IN CLASS
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简雅PP点所在区间的三个步骤 代入：将区间端点值代入函数求出函数的值 判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断 结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若 符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点
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4．若 f(x)＝x＋b 的零点在区间(0,1)内，则 b 的取值范围为________．
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母题探究：1.把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其 零点个数． [解] 由 2xx|logax|－1＝0 得|logax|＝1212xx， ，作 作出出yy＝＝1212xx及及 y＝|logax|(0<a<1)的图象 如y＝图|lo所ga示x|(．0<a<1)的图象如图所示． 由由图图可可知知，，两两函函数数的的图图象象有 有两 两个 个交 交点 点， ， 所所以以函函数数 yy＝＝22xx||llooggaaxx||－－11 有有两 两个 个零 零点 点． ．
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例 3 已知 0<a<1，则函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
构造函数fx＝a|x|0<a<1 画出fx与 观察图象得
思路探究：
→
→
与gx＝|logax|0<a<1
gx的图象 零点的个数
[解] (1)解方程 f(x)＝x2＋7x＋6＝0， 得 x＝－1 或 x＝－6， 所以函数的零点是－1，－6. (2)解方程 f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得 x＝－1，所以函数的零点是－1. (3)解方程 f(x)＝2x－1－3＝0，得 x＝log26，所以函数的零点是 log26. (4)解方程 f(x)＝x2＋x4－x－2 12＝0，得 x＝－6，所以函数的零点为－6.
[提示] 不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与 x 轴交 点的横坐标．
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2．方程、函数、函数图象之间的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x轴轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点 ． 3．函数零点的存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续续不不断断的一条曲线 ，并且有 f(fa(a)·)f·(f_(bb))<<00.那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(fc(c)_)＝＝00，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根． 思考 2：该定理具备哪些条件？
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第三章 函数的应用
3.1.1 方程的根与函数的零点
第一课时 方程的根与函数的零点
目录
1 2 3 4
学习目标 自主预习·探新知 合作探究·攻重难 当堂达标·固双基
PART 01
学习目标
LEARNING
GOALS
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学习目标：
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.(易混 会求函数的零点.(重点) 掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数.(难点)
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PART 02
自主预习·探新知
S E L F S T U D YA N D E X P LO R I G N E W K N O W L E D G E
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[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把使 f(fx()x_)＝_＝00的的实实数数x x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 思考 1：函数的零点是函数与 x 轴的交点吗？
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2．函数 y＝2x－1 的零点是( 1
A.2 C.0，12 A [由 2x－1＝0 得 x＝12.]
) B.12，0 D．2
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3．函数 f(x)＝3x－4 的零点所在区间为( )
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3．（2019 年古冶区校级月考）对于函数 f(x)，若 f(－1)·f(3)<0，则( ) A．方程 f(x)＝0 一定有实数解 B．方程 f(x)＝0 一定无实数解 C．方程 f(x)＝0 一定有两实根 D．方程 f(x)＝0 可能无实数解 【答案】D [∵函数 f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管 f(－1)·f(3)<0，但 方程 f(x)＝0 在(－1,3)上可能无实数解．]
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
A.(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
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(1)C (2)C [(1)因为 f(1)＝ln 2－12<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数 f(x)在(0，＋∞) 上单调递增， 所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选 C. (2)构造函数 f(x)＝ex－x－3，由上表可得 f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0， f(0)＝1－3＝－2<0， f(1)＝2.72－4＝－1.28<0， f(2)＝7.39－5＝2.39>0， f(3)＝20.08－6＝14.08>0， f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选 C.]
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B [函数 y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方 程 a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数 f(x) ＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点 的个数． 画出函数 f(x)＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，观察可得 函数 f(x)＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数为 2，从而函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为 2.]
[当 堂 达 标·固 双 基]
