河南省天一大联考2019-2020学年高一上学期阶段性测试(二)数学

河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4 C ．125- D ．1252．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=4．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 的中点，P 为上底面1111D C B A 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－32a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1B ． 3 1C ．3 2D ．3 26．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．2或-1 D ．-2或17．若两个球的半径之比为1:3，则这两球的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:1C ．1:27D ．1:98．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin 7A =，5a =，7b =，则sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．37D ．19．函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅的值为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．710．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,62.已知0,0m n >>，且3m n +=的最大值为（）A.8B. C. D.2+3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.π9B.1750π9C.π3D.5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A .4- B.2- C.3D.57.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.58.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a b c c c>∈R ，则a b >C.若a b >，则22a b >D.函数2sin sin y x x=+的最小值为10.如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559nn S =-⋅11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D.当3a <时，()f x 有唯一的零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan32θθ=-=）14.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,PA AB BC AD CD =====（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值.18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫==⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U=，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.已知0,0mn >>，且3m n +=，则的最大值为（）A.8B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.【详解】由0,0mn >>，3m n +=，得6(2)(1)m n =+++≥，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，==≤的最大值为故选：B3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可.【详解】函数)()(e e x x f x x -=-的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x -=-=--，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x -<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意.故选：B4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.π9B.1750π9C.π3D.【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h=2211ππ10π333V r h ==⋅⋅=，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r ，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h==2200011ππ5π333V r h ==⋅⋅=，所以该圆台的体积为0π27π31π33VV -=-=.故选：C5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++=->，即N n *∀∈，10n a q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件.故选：D6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A.4- B.2- C.3 D.5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值.【详解】当2x <-时，函数()21x f x =-在(,2)-∞-上单调递增，31()4f x -<<-；当2x ≤-时，函数2()2f x x =-在[2,0]-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=-，所以当0x =时，min ()2f x =-.故选：B7.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+-，所以11a =，211k ka a =+-=，32211a k k a =+-=+，43312k k a a =+-=，因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =⨯⇒2k =或0k =（舍去）.故选：A8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442x xy =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =--，得()(1)1f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42xxg x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x x g x g x --+-=+=+=++++⋅，因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同，则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i --= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y --+=+=，20262026()()2i i i i x y x y --+++=，所以202512(202520252)i i i x y =+=⨯=∑.故选：C 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若,ab c >∈R ，则22ac bc > B.若22,a b c c c>∈R ，则a b >C.若ab >，则22a b > D.函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c=时，22ac bc =，故A 错误；对B ，当22a b c c >，则20c >，则a b >，故B 正确；对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =-时，2sin 3sin y x x=+=-<D 错误.故选：BC.10.如图，有一列曲线012,,,P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线kP 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128 B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559n n S =-⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD.【详解】依题意，令0P 图形的边长为a，214a =，边数是3；根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34⨯；2P 图形边长为23a ，边数为234⨯；依此类推，n P 图形边长为3n a，边数为34n ⨯，C 正确；3P 的边数为334192⨯=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P -所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为2()43n ⨯，则121(34)()43n nn n aSS --=+⨯⨯，整理得1114()39n n n S S ---=⨯，数列1{}nn S S --是等比数列，1P图形的面积21413()433a S =+⨯⨯=，121321144[1(]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S ---=+⨯-=+-+--⨯++=- ，D 正确；2831640558127S =-⨯=，B 正确.故选：BCD 11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a=时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+= D.当3a <时，()f x 有唯一的零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =-，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax =-的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =-+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A 正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a=时，()32f x x x =-+，()231f x x '=-.由()2f x '=⇒2312x -=⇒1x =或1x =-.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =-，则2y =，所以()f x 在1x =-处的切线方程为：()221y x -=+即240x y -+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a '=-，若0a ≤，则()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x '<⇒33x -<<，由()0f x '>⇒3x <-或3x >.所以函数()f x 在,3⎛-∞-⎝⎭和,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有03f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭（因为()02f =，所以03f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭不成立），即32033a ⎛⎫-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⇒3a <，得0<<3a .综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.【答案】{0,2}【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =--=，显然B ≠∅，由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得BA ，当0a=时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x -++=的根为1和2a，显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a=，解得2a =，此时{1}B =，符合题意，所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 232θθ=-=）【答案】924【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】依题意，由10928GPIIPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ'∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接G I 并取其中点O，连接OH ，则2224tan2GOOH GO GI θ===，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 603AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG 是平行四边形，有=3GI AC =，则26=44OH GI =，因此一个菱形的面积为1632223244GHISGI OH =⋅⋅=⨯ =，所以上顶的面积为3292344⨯=.故答案为：92414.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】①.1e-②.[]0,2【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x ='-显然，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′>0，()f x 单调递增；所以()f x 的最小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；由题可知，()()22ln g x x af x x ax x=-=-所以()2ln g x x a x a =--'由题可知()2ln 0g x x a x a '=--≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞'→-，故不成立；当0a=时，()2g x x '=，因为∈0,+∞，所以()20g x x '=>，故成立；当0a >时，由2ln 0x a x a --≥恒成立，得21ln xa x+≥恒成立，即max 21ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭不妨令()1ln x h x x +=，所以()2ln xh x x -='所以显然当∈0,1时，ℎ′>0，ℎ单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减；所以()()max 11h x h ==，即2102a a ≥⇒<≤综上所述：[]0,2a ∈故答案为：1e-；0,2【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a <（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=---，再求n S 进行判断即可.【小问1详解】因为211n n n a a a +=-+⇒()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=-+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>.故20242026a a <.【小问2详解】由211n n n a a a +=-+⇒()2111n nn n n a a a a a +-=-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----⇒111111n n n a a a +=---.所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭∑∑1111111111n n a a a ++=-=----.由（1）可知：12n a +>，所以1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）(1,0)(1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x -=-两边同时求导即可证明；（2）构造函数2()()ex f x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案.【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，所以()y f x '=为偶函数.【小问2详解】因为当0x >时，()2()f x f x '->，所以()2()f x f x '>.构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()e xf x f x h x '-'=，所以当0x >时，()0,()h x h x >'在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，又因为2e 0x>，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞--上小于零，在(1,0)-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,PA AB BC AD CD =====（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC与平面PAD 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ，所以ADOCDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD ︒∠=∠=，即AC BD ⊥，又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为AC PA A ⋂=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ，所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OAOD ==，则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P ---，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =-==--=，设平面PAD 的法向量为()111,,m x y z =，同理设平面PBC的法向量为()222,,n x y z =，则2222220n PB x y z n BC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可取(1,1,1)n =- .所以cos ,5m n m n m n ⋅===-⋅，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值为5，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值为5.【点睛】18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).【答案】（1）答案见解析；（2）（i ）(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----；（ii ）不经过.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小.【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+-的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111k x k f x x x --'=+=--，当0k<时，11k ->，由()0f x '<，得11x k <<-；由()0f x '>，得1x k >-，函数()f x 在(1,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增，当0k>时，11k -<，则恒有()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k -，单调递增区间是(1,)k -+∞；当0k>时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间.【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t '=+-，而()ln(1)f t t k t =+-，则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y k t k t x t t +--=+--，即(1ln(1)11k kty x k t t t =++----.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----，当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k kt ty k t k t t t t -=++--=++----，令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t -=+-=-+---，而2t >，求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t -'=-+=>---，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t -++-≠-，所以直线l 不经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）（2）40（3）证明见解析（4）()013BTX =【解析】【分析】（1）先写出12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再计算得22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，最后相加即可；（2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可；（4）直接代入计算得11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，21336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得到答案.【小问1详解】因为021,{2,5}34X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1X 经过5M变换后得到数阵22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以()021340BT X =-+-+=.【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4BT X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，可得()010,4B T X =-种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，12min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()010,8BT X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0BT X 取值的和为404(10)8104040⨯+⨯-+⨯+⨯=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；③同时含有11x和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；④不含11x也不含21x 的子集共421-个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x .若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②不含11x的子集共521-个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++--+++++++=--同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x --.所以所有()0BT X 取值的和为()112112222x x x x ----，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8-.【小问4详解】如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。

2019-2020学年河南省天一大联考高一上学期第二次阶段性测试数学试题一、单选题1．已知集合{}3M x x =<，{N x y ==，则RMN =（ ）A ．{}23x x ≤≤ B ．{}23x x <≤ C ．{}23x x << D ．{}23x x ≤<答案C先求得集合N,再由集合补集与交集的运算即可求解. 解：集合{N x y ==,求解得{}2N x x =≤则由补集运算可得{}2RN x x =>由交集运算可知{}{}{}3223RM N x x x x x x ⋂=<⋂>=<<故选:C 点评：本题考查了集合的补集与交集的简单运算,属于基础题.2．直线1l ：2(1)40x m y -++=与直线2l ：20mx y +-=垂直，则m 的值为（ ） A ．－1 B ．1C ．1或－1D ．－2或－1答案B根据两直线1l ：1110A x B y C ++=与2l ：2220A x B y C ++=垂直，则12120A A B B +=得到方程，解得即可. 解：解：直线1l ：2(1)40x m y -++=与直线2l ：20mx y +-=，若12l l ⊥，需2(1)0m m -+=，解得1m =.故选：B 点评：本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题..3．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则该圆锥的体积为（ ）A． B． C ．54π D ．81π答案A设圆锥的底面圆的半径为r ，根据侧面展开图的弧长与底面周长相同，求得底面半径，再由勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式计算可得. 解：解：设圆锥的底面圆的半径为r ，则由题意可得12262r ππ=⨯⨯.所以3r =，所以圆锥的高h ==所以该圆锥的体积2133V π=⨯⨯⨯=.故选：A 点评：本题考查圆锥的体积及侧面展开图的计算，属于基础题..4．设21log a e =，11e b e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 2c =，则（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >>答案C根据对指数函数与对数函数的图像与性质,判断出,,a b c 的范围,即可比较大小. 解：由指数函数与对数函数的图像与性质可知21log 0a e=< 1111eeb e e -⎛⎫= ⎪=⎭>⎝0ln21c <=<所以b c a >> 故选:C 点评：本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,利用中间值法比较大小,属于基础题. 5．下列函数既是偶函数又在区间(0,)+∞上是减函数的是（ ） A ．()|1|f x x =+ B ．()1f x x x=+C ．()f x =D ．()4f x x -=答案D根据函数解析式,结合偶函数性质及函数的单调性,即可判断选项. 解：对于A,函数()|1|f x x =+不是偶函数,所以A 错误; 对于B,函数()1f x x x=+为奇函数,不是偶函数,所以B 错误;对于C,()ln f x =为偶函数,但在区间(0,)+∞上是增函数,所以C 错误;对于D,()441f x x x-==为偶函数,且在区间(0,)+∞上是减函数,所以D 正确. 综上可知,正确的为D 故选:D 点评：本题考查由函数解析式判断函数奇偶性及单调性,属于基础题. 6．下列区间，包含函数()12ln 3x f x x =--零点的是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C由函数单调性,结合零点存在定理,即可判断函数零点所在区间. 解：根据函数解析式可知()12ln 3x f x x =--在()0,∞+上为单调递增函数 且()152ln101331f =--=-< ()127ln 2ln 202362f =--=-<()12ln 3ln 310333f =--=->由零点存在定理可知,零点位于(2,3)内 故选:C 点评：本题考查了函数零点存在定理的应用.在判断函数零点所在区间时,需先判断函数的单调性,才能说明函数零点的唯一性,属于基础题.7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）A ．若//αγ，//βγ，则//αβB ．若m α⊥，m β⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，则//m nD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n答案C根据线面、面面平行与垂直的判定定理及性质定理即可得解. 解：解：若//αγ，//βγ，则//αβ，故A 正确； 若m α⊥，m β⊥，一定有//αβ，故B 正确；若//m α，//n α，则m 与n 可以平行、相交或者异面，故C 错误； 若m α⊥，n α⊥，则一定有//m n ，故D 正确. 故选：C 点评：本题考查空间线面关系的判定和性质，属于基础题.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．12B ．822+C ．8D ．842+答案D根据三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体截得的四棱锥S ABCD -，画出直观图，结合图形计算可得. 解：解：由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体截得的四棱锥S ABCD -.如图所示224ABCD S∴=⨯=，221222222BCS DCSS S ∆∆==⨯⨯+=， 122BSA DSA ABCD S S S ∆∆===所以它的表面积为22842ABCD BCS SS ∆+=+.故选：D 点评：本题考查空间几何体的三视图以及锥体的表面积计算，属于基础题.9．设直线0x y a ++=与圆C ：222410x y x y +-++=相交于P ，Q 两点.若CP PQ =，则实数a 的值为（ ） A ．61-B ．61-或61+C ．16+D ．16+或16-答案D首先将圆的方程配成标准式，由CP PQ =则||2PQ =，即可求出圆心到直线的距离，再用点到线的距离公式计算可得. 解：解：由222410x y x y +-++=，得22(1)(2)4x y -++=，所以圆心为(1,2)-，半径为2.因为CP PQ =所以||2PQ =，那么圆心(1,2)C -到直线0x y a ++=的距离为3232⨯=， 即|12|32a d -+==，所以16a =+或16-. 故选：D 点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.10．如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SAC ，SAB ∆是边长为2的等边三角形，90ASC ∠=︒，23SC =，则直线BC 与平面SAC 所成角的正弦值为（ ）A 3B 3C ．14D ．18答案A取SA 的中点为M ，连接MC ，MB ，由面面垂直的性质得到BM ⊥平面SAC ，即可得到BCM ∠就是直线BC 与平面SAC 所成的角，再由线面垂直的性质及判定定理可得SC ⊥平面SAB ，即可得到SC SB ⊥，最后由勾股定理及三角函数求得.解：解：取SA 的中点为M ，连接MC ，MB .因为SAB ∆是边长为2的等边三角形， 所以BM SA ⊥，且3BM =，BM ⊂平面SAB ， 又因平面SAB ⊥平面SAC ，平面SAB平面SAC SA =，所以BM ⊥平面SAC ，所以BCM ∠就是直线BC 与平面SAC 所成的角.又MC ⊂平面SAC ，可得BM MC ⊥.由BM ⊥平面SAC ，SC ⊂平面SAC 可得BM SC ⊥，又SC SA ⊥，SA ⊂平面SAB ，BM ⊂平面SAB ，BMSA M =所以SC ⊥平面SAB ， 因为SB ⊂平面SAB ， 所以SC SB ⊥.在Rt SBC ∆中，由23SC =，2SB =，可得224BC SC SB =+=. 在Rt MBC ∆中，3sin 4MB BCM BC ∠==.故选：A 点评：本题考查直线与平面所成的角，线面垂直的判定及性质的应用，属于难题. 11．已知偶函数()log ||a f x b x =-（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减，则()f b a -与()21f a +的大小关系是（ ）A ．()()21f b a f a >+-B ．()()21f b a f a <+-C ．()()21f b a f a =+-D ．无法确定答案B根据偶函数性质,可求得b ,结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.通过比较21a +与a -的大小关系,即可比较大小.解：因为()log ||a f x b x =-为偶函数 所以()()f x f x =-,即log ||log ||aa xb x b -=--所以||||x b x b -=--对()(),00,x ∈-∞+∞恒成立解得0b = 即()log ||a f x x =因为偶函数()log ||a f x x =（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减,则()log ||a f x x =在()0,∞+上单调递增所以由对数函数的图像与性质可知1a > 而211a a +>-> 所以()()()21f a fa f a +>-=-故选:B 点评：本题考查了由偶函数的性质求参数,根据函数单调性比较抽象函数的大小关系,综合性较强,属于中档题.12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为（ ）A 82πB ．42πC ．43πD ．6π答案A根据三视图画出直观图，将该四面体嵌入到一个直三棱柱中，四面体的外接球即直三棱柱的外接球，再将其转化为长方体，则长方体的体对角线为外接球的直径，再根据球的体积公式计算可得. 解：解：该几何体是一个四面体，画出其直观图，如图中的四面体ABCD .该四面体可以嵌入到一个直三棱柱中，四面体的外接球即直三棱柱的外接球.该三棱柱的底面是斜边长为2的等腰直角三角形，三棱柱的高为2，可以扩展到一个底面是边长为2的正方形，高为2的长方体中，从而求得其外接球半径为()()222122222r =++=，所以外接球体积348233V r ππ==.故选：A 点评：本题考查三视图的还原和外接球问题.二、填空题 13．计算：61log 022log 8lg 25lg 469.8+++=______.答案5根据指数的性质，对数的运算及对数的性质计算可得. 解： 解：61log 022log8lg 25lg 469.8+++()3221log 2lg 25412=+⨯++ 3121522=+++=. 故答案为：5 点评：本题考查指数、对数的运算，属于基础题.14．设函数()()142,1,log 21,1,x xx f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()12f x =，则x =________.答案0或2log 3根据分段函数解析式,分段即可求得自变量的值. 解：当1x <时,()12x f x -=.若()12f x =,即1212x -=,解得0x =,符合题意当1x ≥时,()()4log 21x f x =-. 若()12f x =,即()41log 221x=-,所以212x -=则23x =,解得2log 3x =,符合题意 综上可知,若()12f x =时,0x =或2log 3x = 故答案为: 0或2log 3 点评：本题考查了分段函数的求值,属于基础题.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心和垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高所在直线的交点）依次位于同一条直线上这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(1,2)B -，(3,4)C ，且AB AC =，则ABC ∆的欧拉线方程为______. 答案250x y +-=依题意，在ABC ∆中，AB AC =，所以它的外心、重心和垂心都在BC 的中垂线上，则ABC ∆的欧拉线方程即为BC 的中垂线，首先求出BC 的中点，再求出BC k ，最后利用点斜式计算可得. 解：解：由(1,2)B -，(3,4)C 可得BC 的中点坐标为(1,3)，再由4213(1)2BC k -==--，所以BC 的中垂线方程为32(1)y x -=--，即250x y +-=.又因为ABC ∆中，AB AC =，所以它的外心、重心和垂心都在BC 的中垂线上，所以ABC ∆的欧拉线的方程为250x y +-=.故答案为：250x y +-= 点评：本题考查直线方程的求法及数学文化，属于基础题.16．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.答案(4,1)(1,0)--⋃-根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 解： 函数()211x x xf -=-定义域为{}1x x ≠当1x ≤-时,()2111x x x f x -==---当11x -<<时,()2111x x x f x -==+-当1x <时,()2111x x xf x -==---画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点; 当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点 故答案为:()()4,11,0--⋃- 点评：本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.三、解答题17．已知集合A 为函数()2log (1)f x x =-+的定义域，集合B 为函数()2233x x g x -=-的值域.（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若{|112}C x a x a =-<<-，且()C AB ⊆，求实数a 的取值范围.答案（Ⅰ）{}|10B x x A-<=≤；（Ⅱ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅰ）根据对数性质及二次根式有意义条件,先求得集合A,由指数的图像与性质,求得集合B,即可由集合交集的运算求得AB .（Ⅱ）讨论C =∅与C ≠∅两种情况.根据集合的包含关系,即可求得a 的取值范围. 解：（Ⅰ）由函数()f x 的定义域需满足10,10,x x ->⎧⎨+>⎩解得11x -<<,所以{}|11A x x =-<<. 设22t x x =-,则22(,1]t x x =-∈-∞, 所以3(0,3]t∈,所以{}|30}B y y =-<≤. 所以{}|10B x x A-<=≤.（Ⅱ）由于()C AB ⊆,若C =∅,则需112a a -≥-,解得23a ≥； 若C ≠∅,则需2,311,120,a a a ⎧<⎪⎪-≥-⎨⎪-≤⎪⎩解得1223a ≤<.综上,实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 点评：本题考查了函数定义域的求法,指数函数值域的求法,由集合的包含关系求参数,属于基础题.18．已知函数()21log 1x x xf -=+. （Ⅰ）设()11x x xh -=+，用定义证明：函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数； （Ⅱ）若函数()()2x g x f x m =++，且()g x 在区间(3,5)上有零点，求实数m 的取值范围.答案（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2log 3337m -<<-（Ⅰ）任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12x x <,代入解析式可求得()()21h x h x -,变形后即可判断函数的单调性.（Ⅱ）先判断出函数()f x 与()g x 的单调性,即可根据零点存在定理求得m 的取值范围. 解：（Ⅰ）证明:由题意得()11211x x x x h x -+-==++211x=-+. 任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12x x <, 则()()212211h x h x x ⎛⎫-=-⎪+⎝⎭1211x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭122211x x =-++ ()()()2112211x x x x -=++.因为12,(1,)x x ∈-+∞,且12x x <, 所以210x x ->,110x +>,210x +>, 所以()()210h x h x ->,所以函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数. （Ⅱ）由题意()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞.由（Ⅰ）知,()f x 在(1,)+∞上单调递增,所以()()2x gx f x m =++在(3,5)上单调递增.因为()g x 在区间(3,5)上有零点,所以3252231(3)log 270,3151(5)log 2log 3330,51g m m g m m -⎧=++=+<⎪⎪+⎨-⎪=++=-++>⎪+⎩所以2log 3337m -<<-. 点评：本题考查了利用定义判断函数的单调性,由函数单调性及零点取值范围判断参数的取值情况,属于基础题.19．已知圆C 经过(2,1)A ，(0,3)B 两点，且圆心C 在直线2350x y -+=上. （Ⅰ）求圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线l ：3yx与圆C 相交于M ，N 两点，求CMN ∆的面积.答案（Ⅰ）22(2)(3)4-+-=x y （Ⅱ）2（Ⅰ）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意得到方程组，解得即可. （Ⅱ）联立直线与圆的方程求出交点坐标，再根据面积公式计算可得. 解：（Ⅰ）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.则圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 由题意得520,930,350,2D E F E F E D ⎧⎪+++=⎪++=⎨⎪⎪-++=⎩解得4,6,9.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为224690x y x y +--+=，标准方程为22(2)(3)4-+-=x y . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，圆C 的圆心为(2,3)C ，半径2r.联立223,(2)(3)4,y x x y =+⎧⎨-+-=⎩解得0,3x y =⎧⎨=⎩或2,5.x y =⎧⎨=⎩ 不妨设(0,3)M ，()2,5N .因为直线CM 的斜率为0，直线CN 的斜率不存在，所以CM CN ⊥.所以211||||222CMN S CM CN r ∆===. 点评：本题考查待定系数法求圆的方程、直线与圆的位置关系，属于中档题.20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点，点Q 是1CC 的中点.（Ⅰ）求证：平面1//QBD 平面PAC ； （Ⅱ）求点1B 到平面PAC 的距离. 答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ3（Ⅰ）首先证明1//QD 平面PAC ，再连接PQ ，可证//QB 平面PAC ，即可得证. （Ⅱ）连接1PB ，1CB ，由三角形的三边关系得到1PB PC ⊥，同理可证1PB PA ⊥，即可得到1PB ⊥平面PAC ，则点1B 到平面PAC 的距离即线段1PB 的长. 解：解：（Ⅰ）由题意可得1//CQ PD ，且1CQ PD =，所以四边形1CQD P 是平行四边形. 所以1//QD CP ，又因为1QD ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC . 所以1//QD 平面PAC .如图，连接PQ ，则//PQ AB ，且PQ AB =，所以四边形PQBA 是平行四边形， 所以//QB PA ，又因为QB ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC . 所以//QB 平面PAC .而1QBQD Q =，且QB ⊂平面1QBD ，1QD ⊂平面1QBD ，所以平面1//QBD 平面PAC .（Ⅱ）如图，连接1PB ，1CB ，易得2PC =13PB =15BC =， 所以22211PC PB B C +=，所以1PB C ∆是直角三角形，且1PB PC ⊥.同理1PB PA ⊥. 又PAPC P =，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以1PB ⊥平面PAC .所以点1B 到平面PAC 的距离即线段1PB 的长，所以点1B 到平面PAC 3点评：本题考查空间平行关系的证明、点到平面距离的计算，属于中档题.21．某公司的电子新产品未上市时，原定每件售价100元，经过市场调研发现，该电子新产品市场潜力很大，该公司决定从第一周开始销售时，该电子产品每件售价比原定售价每周涨价4元，5周后开始保持120元的价格平稳销售，10周后由于市场竞争日益激烈，每周降价2元，直到15周结束，该产品不再销售.（Ⅰ）求售价()f t （单位：元）与周次t （*t N ∈）之间的函数关系式；（Ⅱ）若此电子产品的单件成本()h t （单位：元）与周次()21(7)1008h t t --+=之间的关系式为[1,15]t ∈，()f x ，*t N ∈，试问：此电子产品第几周的单件销售利润（销售利润=售价-成本）最大？答案（Ⅰ）()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈；（Ⅱ）第10周 （Ⅰ）根据题意,结合分段情况即可求得解析式.（Ⅱ）根据售价解析式及成本解析式,先表示出利润的函数解析式.结合二次函数性质即可求得最大值及对应的时间.解：（Ⅰ）当[1,5]t ∈时,()1004f t t =+； 当[6,10]t ∈时,()120f t =；当[11,15]t ∈时,()1202(10)f t t =--1402t =-.所以()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈.（Ⅱ）由于单件电子产品的销售利润=售价-成本,即单件销售利润()()()g t f t h t =-,所以,当[1,5]t ∈时,()211004(7)1008t t g t =++--21949848t t =++21(9)48t =+-. 此时()g t 单调递增,所以当5t =时,()g t 取得最大值1648. 当[6,10]t ∈时,()21120(7)1008g t t =+--21(7)208t =-+.当10t =时,()g t 取得最大值1698. 当[11,15]t ∈时,()211402(7)1008t t g t =-+--2115369848t t =-+21(15)188t =-+. 当11t=时,()g t 取得最大值20.综上,该电子产品第10周时单件销售利润最大. 点评：本题考查了分段函数在实际问题中的应用,利润问题的最值求法,二次函数的性质应用,属于基础题.22．已知圆1C ：22(3)4x y -+=，圆2C ：223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）设直线2y x =被圆1C 所截得的弦的中点为P ，判断点P 与圆2C 的位置关系；（Ⅱ）设圆2C 被圆1C 截得的一段圆弧（在圆1C 内部，含端点）为Ω，若直线l ：(4)y k x =-与圆弧Ω只有一个公共点，求实数k 的取值范围.答案（Ⅰ）点P 在圆2C 上.（Ⅱ）77k -<<或34k =±. （Ⅰ）将直线方程代入圆的方程，消去y ，得到2312100x x -+=，则124x x +=，从而得到P 的横坐标为2，再代入直线方程求出P 的坐标，即可判断点与圆2C 的位置关系；（2）设1C 和2C 的交点为A ，B ，直线l 恒过的定点为(4,0)Q ，求出两圆的交点坐标， 分直线l 与圆2C 相切时，与直线l 与圆弧Ω相交两种情况计算可得. 解：解：（1）将y x =代入圆1C 的方程可得2312100x x -+=. 设此方程的两实根分别为1x ，2x ，则124x x +=. 所以点P 的横坐标为2，从而可得(P .因为2239224⎛⎫-+=⎪⎝⎭，所以点P 在圆2C 上. （Ⅱ）如图，因为直线l ：(4)y k x =-，400x y -=⎧⎨=⎩解得40x y =⎧⎨=⎩，即直线恒过的定点为(4,0).设1C 和2C 的交点为A ，B ，直线l 恒过的定点为(4,0)Q .由2222(3)4,39,24x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得53x =，3y =±.所以53A ⎛ ⎝⎭，5,3B ⎛ ⎝⎭. （ⅰ）当直线l 与圆2C 相切时.由22(4),39,24y k x x y =-⎧⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩可得()()2222138160k x k x k +-++=. 令()()2222386410kk k ∆=+-+=，则34k =±. 此时解得12553x =>，切点在圆弧Ω上，符合题意.（ⅱ）当直线l与圆弧Ω相交时，由图可知，要使交点只有一个，则l在QA和QB之间.因为25535743QAk==--，252535743QBk==-，所以5577k-<<.综上所述，k的取值范围是2525k<<或34k=±.点评：本题考查圆的方程与性质、圆与直线圆与圆的位置关系，属于中档题.。

2019-2020学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试（二）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2560A x x x =-+≥，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A ．[]1,2- B ．[]1,3-C ．[]2,3D ．[)1,-+∞解：{}(][)2560=,23,A x x x =-+≥-∞⋃+∞，[)1,3B =-，所以[]1,2A B ⋂=-. 故选：A 点评：本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算,属于容易题. 2．如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ） A ．33a b > B ．b a >C ．ln 2ln 2a b<D ．11b a<解：由不等式性质知，当0b a <<时，有33a b >，b a >，ln 2ln 2a b >，11b a<成立，故选：C . 点评：本题考查不等式的基本性质及对数函数、指数函数的单调性，属于容易题. 3．命题“[)2,x ∀∈+∞，()2log 10x ->”的否定为（ ） A ．[)2,x ∀∈+∞，()2log 10x -< B ．[)02,x ∃∈+∞，()20log 10x -≤ C ．(),2x ∀∈-∞，()2log 10x -< D ．()0,2x ∃∈-∞，()20log 10x -≤解：命题“[)2,x ∀∈+∞，()2log 10x ->”的否定为：[)02,x ∃∈+∞，()20log 10x -≤，故选：B 点评：本题主要考查了含量词命题的否定，属于容易题.4．“函数()(21)x f x a =-是增函数”是“2a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解：()(21)x f x a =-是增函数，需满足211,1a a ->>∴，“函数()(21)x f x a =-是增函数”是“2a >”的必要不充分条件， 故选B ． 点评：本题考查了充分必要条件，考查指数函数的性质，是一道基础题．5．已知{}n a 是等差数列，且2a ，4038a 是函数()2162020f x x x =--的两个零点，则2020a =（ ）A ．8B ．8-C ．2020D ．2020-答案：A由根与系数的关系及等差中项即可求解. 解：因为2a ，4038a 是函数()2162020f x x x =--的两个零点，所以240382020216a a a +==， 所以20208a =. 故选：A 点评：本题考查了根与系数的关系，等差数列的基本性质，等差中项，属于容易题.6．已知双曲线C ，则该双曲线的实轴长为（ ）A ．1 BC ．2D ．答案：D设双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，半焦距为c ，求出双曲线的渐近线方程，根据题意求出c 的值，利用离心率可得出a 的值，进而可得出该双曲线的实轴长.解：设双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，半焦距为c ，1b a ===，即双曲线的渐近线方程为y x =±，焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为d ==所以2c =，a =C 的实轴长为2a =.故选：D. 点评：本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线斜率与离心率之间的关系，考查计算能力，属于中等题.7．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()()0a b c a b c ab ---++=且1sin 2A =，则B =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：A由已知条件及余弦定理可求出3C π=，由1sin 2A =可求出A ，即可求解. 解：由()()0a b c a b c ab ---++=，可得222a b c ab +-=，根据余弦定理得222cos 122a b c C ab +-==，又()0,C π∈，所以3C π=.因为1sin 2A =，()0,A π∈， 所以6A π=或56A π=.当6A π=时，2B π=；当56A π=时，A C π+>，不合题意.点评：本题主要考查了解三角形，余弦定理的应用，分类讨论，属于中档题.8．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点()02,M y 在抛物线C 上，M e 与直线l 相切于点E ，且3EMF π∠=，则M e 的半径为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．83答案：D过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，由3EMF π∠=知2MF FH =，利用抛物线定义即可知ME MF =，求解即可. 解： 如图所示，依题意ME l ⊥，过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ， 在Rt MFH V 中，2MF FH =，由抛物线定义可得ME MF =，则22222p p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得43p =， 故M e 的半径为8223p +=. 点评：本题考查抛物线的性质，直线与圆相切的性质，属于中档题.9．函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A．B．C．D．答案：D根据函数的单调性与导数符号的关系判断即可. 解：根据导函数为正，则原函数递增，导函数为负，则原函数递减，导函数()y f x ='从左到右的符号依次为负、正、负、正，则原函数()y f x =的单调性从左到右依次为减、增、减、增，且在0x =附近单调递增，通过对比可知，D 中的图象正确. 故选：D. 点评：本题考查利用导数的图象判断原函数的图象，一般利用导数符号与原函数单调性之间的关系来判断，考查推理能力，属于中等题.10．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（ ）A ．()()2019202020202019f f >B ．()()20192020f f >C ．()()2019202020202019f f <D ．()()20192020f f <答案：A 构造函数()()f xg x x=，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.解： 令()()()0f x g x x x =>，则()()()2xf x f x g x x'-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，即()()2020201920202019f f >，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A. 点评：本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.11．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线0x ty -=与椭圆E 交于A ，B 两点.若四边形12AF BF 面积的最大值为8，则a 的最小值为（ ）A B ．2C ．D ．4答案：C当直线与x 轴垂直，即0t =时，四边形12AF BF 的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即可. 解：设椭圆E 的半焦距为c .直线0x ty -=过原点，当其与x 轴垂直，即0t =时，四边形12AF BF 的面积最大，此时12282S c b =⨯⨯=， 所以4bc =，所以22228a b c bc ≥=+=，当且仅当b c =时等号成立.故a ≥故选：C 点评：本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题. 12．对于函数()f x ，将满足()00f x x =的实数0x 称为()f x 的不动点.若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1UB ．(){0,1UC ．()10,1e e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭UD ．()0,1答案：C令()f x x =，可得log a x x =，利用换底公式得出ln ln x x a =，进而得出ln ln xa x=，由题意得出函数ln y a =与函数()ln xg x x=的图象有且只有一个公共点，利用导数研究函数()y g x =的单调性与极值，利用数形结合思想可得出实数a 的取值范围. 解：函数()log a f x x =有且仅有一个不动点，则方程log a x x =仅有一个根. 由log a x x =可得ln ln x x a =，即ln ln xa x =，设()ln x g x x=，其中0x >. 则()21ln xg x x-'=，令()0g x '=，得x e =，列表如下： x()0,ee(),e +∞()g x ' +-()g xZ极大值]所以，函数()y g x =的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞，所以，函数()y g x =的极大值为()1g e e=，且当1x >时，()0g x >. 函数()y g x =的图象如图所示，所以ln 0a <或1ln a e=，即01a <<或1e a e =.故选：C.点评：本题考查函数新定义“不动点”问题的求解，将问题转化为函数的零点个数，并利用参变量分离法求解是解答的关键，在作函数的图象时，可利用导数分析函数的单调性与极值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题13．函数()321f x x x =--的图象在点()()0,0f 处的切线方程为________.答案：10x y ++=求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程，化为一般式即可. 解：由题知()261f x x '=-，()01f '∴=-，又()01f =-，所以函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为1y x +=-,即10x y ++=. 故答案为：10x y ++=. 点评：本题考查利用导数求函数的切线方程，考查导数几何意义的应用，属于基础题. 14．已知正项等比数列{}n a 中，1231a a a =，4562a a a =，则2122212log log log a a a +++L 的值为________.答案：6根据等比数列的性质可推出{}12n n n a a a ++为等比数列，求其前4项之积即可， 解：正项等比数列{}n a 中，12-11=(2,)n n n n n n a a a a a a q n n N ++*+≥∈，故{}12n n n a a a ++是等比数列，首项为1231a a a =，第二项为4562a a a =， 所以7894a a a =，1011128a a a =，因此数列{}n a 的前12项之积为12124864T =⨯⨯⨯=，6212221222log log log log 64log 26a a a +++===L .故答案为：6 点评：本题考查等比数列的性质，证明数列为等比数列，对数和的运算，属于中档题.15．已知实数x、y 满足1314x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2y k x +=的取值范围是________.答案：1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦作出不等式组所表示的可行域，利用2y k x+=的几何意义以及数形结合思想求出k 的最小值和最大值，即可得出k 的取值范围. 解：画出不等式组表示1314x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩的平面区域，如图中阴影部分所示，其中()1,0A ，()4,1B -，2y k x +=表示可行域内的点与点()0,2P -连线的斜率， 因为直线PA 的斜率为0221PA k +==，直线PB 的斜率为12144PB k -+==，所以1,24k ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点评：本题考查线性规划中非线性目标函数取值范围问题的求解，解题时要明确非线性目标函数的几何意义，利用数形结合思想求解，属于中等题.16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，虚轴的端点分别为1B 、2B ，渐近线方程为2y x =，若四边形1122A B A B 的内切圆的面积为18π，则a =________. 答案：33可计算出四边形1122A B A B 内切圆的半径r =，设双曲线的半焦距为c ，由双曲线的渐近线方程可得b =，c =，利用等面积法可得出关于a 的等式，解出即可. 解：由题可知，四边形1122A B A B 内切圆的半径r =，可知四边形1122A B A B 为菱形，设双曲线的半焦距为c ，因为双曲线的渐近线方程为y =，所以ba=，ca=菱形1122A B A B c ==， 由等面积法可知，菱形1122A B A B 的面积为1122422a b c r ⨯⨯=⨯⨯，所以ab =2=，得a =.故答案为：点评：本题考查双曲线的几何性质，涉及渐近线方程的应用，解题的关键就是确定a 、b 、c ，通过题意建立方程求解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知函数()()232f x ax ax a R =++∈.（1）若x R ∀∈，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（2）若()()30f x ax bx b R -+>∈的解集为112x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，解不等式2100ax bx --<.答案：（1）80,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）分0a =和0a ≠两种情况分类讨论求解（2）由根与系数的关系求出参数后解一元二次不等式即可. 解：（1）当0a =时，()20f x =>显然成立；当0a ≠时，需满足20980a a a >⎧⎨-<⎩，得809a <<.综上可得，a 的取值范围是80,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）()30f x ax bx -+>即220ax bx ++>.根据题意，1x =-和12x =-是方程220ax bx ++=的两个实根，所以202042a b a b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得46a b =⎧⎨=⎩，经检验，符合题意.()()2461021250x x x x --=+-<，解得512x -<<，所以不等式2100ax bx --<的解集为51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.点评：本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式求解，属于容易题. 18．已知:p 方程()222y m m x =--表示经过第二、三象限的抛物线；:q 方程2213x y m a a m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆.其中m R ∈，0a >. （1）若1a =，且p q ∧为真命题，求m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.答案：（1）m 的取值范围是()1,2.（2）20,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.（1）分别求出p ，q 为真时的m 的范围，根据“p 且q ”是真命题，得到关于m 的不等式组，解出即可；（2）先求出q 为真时的m 的范围，结合p 是q 的必要不充分条件，得到关于m 的不等式组，解出即可． 解：（1）若p 为真：220m m --< 解得12m -<<，若q 为真：则1+3m30m m >-⎧⎨->⎩解得13m <<若“p 且q ”是真命题，则1213m m -<<⎧⎨<<⎩，解得12m <<；（2）若q 为真，则m 30a a m +>->， 即3a m a <<，由p 是q 的必要不充分条件， 则可得{|3}m a m a << {|12}m m -<<即032a a >⎧⎨≤⎩，解得203a <…． 点评：本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道中档题．19．如图所示，在ABC V 中，已知点D 在边BC 上，且90DAC ∠=︒，22cos 3DAB ∠=，6AB =.（1）若3sin 3C =，求线段BC 的长； （2）若点E 是BC 的中点，17AE =AC 的长. 答案：（1）46BC =（2）AC 的长为8.（1）求出sin BAC ∠，利用正弦定理求解即可（2）求出1cos 3BAC ∠=-，利用()224AB ACAE +=u u u r u u u r u u u r ，解关于AC u u u r 的一元二次方程即可.解：（1）由条件可得()22sin sin 90cos BAC DAB DAB ∠=︒+∠=∠=在ABC V 中，sin sin BC ABBAC C=∠，=得BC =（2）由（1）知sin 3BAC ∠=， 因为BAC ∠为钝角，所以1cos 3BAC ∠=-. 因为2AB AC AE +=u u u r u u u r u u u r ，所以()22222cos 4AB ACAB AC AB AC BAC AE +=++⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以213626683AC AC ⎛⎫++⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭u u u r u u ur ，整理得24320AC AC --=u u u r u u u r，解得8AC =u u u r（负值舍去），所以线段AC 的长为8. 点评：本题考查解三角形、正弦定理、诱导公式以及平面向量数量积的应用. 20．在正项等比数列{}n a 中，已知133510,40a a a a +=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，求数列{}2(1)n n b -的前100项的和100S . 答案：（1）2nn a =；（2）5050.（1）根据题意，求得首项1a 和公比q ，即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）求得2log n n b a n ==，写出数列{}2(1)n n b -的前100项的和，即可求解.解：（1）设公比为q ，则由题意可知21221(1)10(1)40a q a q q ⎧+=⎨+=⎩ 又0q >，解得122a q =⎧⎨=⎩，所以112n nn a a q -==.（2）由（1）可得22log log 2nn n b a n ===，则数列{}2(1)n nb -的前100项的和()()()222222222222100123499100123499100S b b b b b b =-+-+--+=-++-+-+-+L L3711195199=++++L 50(3199)50502+==.点评：本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的分组求和的应用，其中解答中熟记等比数列的基本量的运算，以及合理分组求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．已知函数()()2ln x e f x x x x=--，向量(),xa x e =v ，()sin ,cosb x x =-v ，函数()g x a b =⋅vv .（Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）判断()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内的零点个数.答案：（Ⅰ）极小值为2e -，没有极大值；（Ⅱ）()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内有一个零点.（Ⅰ）利用导数研究函数()y f x =的单调性，由此可求出函数()y f x =的极值； （Ⅱ）求出函数()y g x =的解析式，利用导数判断函数()y g x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，结合零点存在定理即可判断出函数()y g x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数.解：（Ⅰ）函数()()2ln xe f x x x x=--的定义域为()0,∞+，()()()()()2221212122x xx x x e x e x x xe e f x x x x x x -----'=-+=-=，令()()20xx e x x ϕ=->，则()2xx e ϕ'=-，令()0x ϕ'=，得ln 2x =，由()0x ϕ'>，得ln 2x >，由()0x ϕ'<，得0ln 2x <<，所以，函数()y x ϕ=在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增. 所以()()ln 222ln 20x ϕϕ≥=->，于是，由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 所以，函数()y f x =在()0,1上递减，在()1,+∞上递增. 所以，函数()y f x =的极小值为()12f e =-，没有极大值；（Ⅱ）()sin cos xg x a b x x e x =⋅=-+r r .()()()sin cos cos sin cos 1sin x x x x g x x x x e x e x e x x e x '=--+-=--+，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0x e x ->，10x e +>，所以()cos 0x e x x ->，()1sin 0xe x +<，所以()0g x '>，所以，函数()y g x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增又因为()010g =>，022g ππ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭， 因此，函数()y g x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内有一个零点.点评：本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数判断函数的零点个数，一般利用导数研究函数的单调性与极值，结合零存在定理求解，考查推理能力，属于中等题.22．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，过点20,9P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与E交于A ，B 两点.当l 过点F 时，直线l 的斜率为29，当l 的斜率不存在时，4AB =. （1）求椭圆E 的方程.（2）以AB 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.答案：（1）22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆恒过定点()0,2.（1）根据直线的斜率公式求得c 的值，由24b =，即可求得a 的值，求得椭圆方程； （2）当直线的斜率存在，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以AB 直径的圆的方程，令0x =，即可求得2y =，即可判断以AB 为直径的圆过定点(0,2)． 解：（1）设椭圆半焦距为c ，由题意202909AFk c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以1c =. l 的斜率不存在时，24AB b ==，所以2b =，a =.所以椭圆E 的方程为22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆过定点()0,2Q . 理由如下：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程29y kx =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程组2229154y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ， 整理得22201600(45)0981k k x x +--=， 所以122209(45)kx x k +=+，122160081(45)x x k =-+， 所以12122416()99(45)y y k x x k +=+-=-+，22121212224161620()98181(45)k k y y k x x x x k -=-++=+，以AB 为直径的圆的方程：1212()()()()0--+--=x x x x y y y y ， 即2212121212()()0x x x x x x y y y y y y -+++-++=， 令0x =，则2222164(4544)09(45)9(45)y k y k k ++-=++， 解得2y =或222(4544)9(45)k y k +=-+，所以AB 为直径的圆过定点(0,2)．当直线l 的斜率不存在时，()0,2A ，()0,2B -， 此时以AB 为直径的圆的方程为224x y +=. 显然过点(0,2)．综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,2)． 点评：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．。

河南省天一大联考2019-2020学年高中毕业班阶段测试理科数学试题数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==， {}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（ ） A. {}|1<<3x x B. {}|1<<6x x C. {}|13x x ≤≤ D. {}|16x x ≤≤ 2.已知1510z i =-，234z i =+，且复数z 满足1211z z z =+，则z 的虚部为（ ） A. 225 B. 225- C. 225i D. 225i - 3.某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为（）A. 14B. 20C. 21D. 704.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2372a a a =，540S =，则7a =（ ）A. 13B. 15C. 20D. 225.已知向上满足||2,a =r ||1b =r ,()a b b -⊥r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 2π D. 23π 6.马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（）A. 60B. 120C. 180D. 2407.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A.2 B. 62+ C. D. 6+8.已知双曲线22:13x E y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点()2,0，∶PQF 的周长为PQ 的长为（ ）A. 2B.C. 4D.9.已知函数()()x x f x x e e -=-，若(21)(2)f x f x -<+，则x 的取值范围是（） A. 1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C. (3,)+∞ D. 1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U 10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ）A. 14B. 12C.D. 11.设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为（ ）A. B. C. D. 12.已知四棱锥P ABCD -四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A. 23B. 23或3C. 3D. 13或3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设变量x ，y 满足约束条件7002x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数11y z x -=-最大值为__________.14.已知正项等比数列{n a }满足2464,80a a a =+=.记2log n n b a =，则数列{n b }的前50项和为________. 15.在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为__________. 16.已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______. 三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题,考生根据要求作答.17.已知平面四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，5CD =，6DA =，且内角B 与D 互补.（1）求cos A 的值.（2）求四边形ABCD 的面积.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12CA CB AA ===，M ，N 分别是1A B 与1CC 的中点，G 为ABN ∆的重心.（1）求证：MG ⊥平面ABN ；（2）求二面角1A AB N --的正弦值.19.已知动圆M 过点(2,0)P 且与直线20x +=相切.（1）求动圆圆心M 轨迹C 的方程；（2）斜率为()0k k ≠的直线l 经过点(2,0)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，的求||||AB NP 的值. 20.设函数()()21ln 12f x k x k x x =+--（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 的图象与直线y m =交于()1,A x m ，()2,B x m 两点，且12x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 21.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为121x m y m =+⎧⎨=-+⎩，（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2363cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求|MN |22.设函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()4f x …的解集； （2）设a ，b ，*c R ∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c ++=，求证：2343a b c ++…..。

试卷类型:断高两版天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段性测试（二）考生注炼；1 .茶黑前,考生务必将由己的姓名、得生号附将在试总和答题卡上，畀将考生号备沙马格贴在卷题卡上 妁指定拉工.2 .回答选株越时，选出毋小题答第后,用能比把茶题卡对应始口的冬拿标号涂黑•如£改动，用他戌擦 干号后,再选涂其他答案标号.叫等非选舞题时，将答案写在芥题卡上・将在本试落上无效・3 .才被结束后，将本试落和在会卡L 外交囱.一,余项洁播超:本题共8小第，每小22 s 分，共40分.在每小册给出的四个洁项中■只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 A 二卜12-»<8| ,B = {3]>51,财 4U& = A.（5,8）B.（2,8）C. [2f ♦«）D.（ -8,8）2・若发数中铝f 网周=3 .已知i 。

」是公差为-2的等差数列.且5 ,明，勾成等比数列J1，1 A. -1 B.3C.250.494 .已知△48C 是边长为2的等边三角形•其中M 为8c 边的中点，乙招C 的平分线交线段AM 于点M 则AM •前之 A.B. -5C 一 本D, -14 3 w5 .若函数式*） = cos x-^sin x #（ -a,a ）上有最大值,用。

的取值苞陶足A,信，fB.侍“） C 信用D.（普）6 .已知定义在R 上的儡函数/“）在（-,0）上单词递增，明 A./（2--） vf （l 崛6）（人岫 y ） BH2"*） </（1% </0叫6） C0吗6） <42"号）y ） D,/Q 隰6> /） <式2 +）7在三梭他/ -88中,AC =。

,点E 是4）的中点，则“平面雨口平面月CD”是“月6 = 6。

”的A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C,充要条件D.既不充分也不必要条件8 .已知定义在R 上的曲数/（"满足/"） =4 -/（2 -G,若函数Y 与函数了 =〃幻的图象的交点为 .（*（ ,夕J,（孙必），…■（&，九），则工（与*7*）= A. nB.争C.3nt>.6n二、多项选择题;本题共4小题,将小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分,9 .将函数y = 86 2名的图象上所有点向左平移上个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数y 二人动 的图绝容★启用前象，则⑷的图象的对称轴方程为刀二-泰+竽(A w Z)B J0)的图象的对称中心坐标为(竽+赤0)a W为C.汽乃的单调递增区间为［-碧+。

河南省天一大联考2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知偶函数()y f x =在区间[0,)+∞上单调递增，且图象经过点(1,0)-和(3,5)，则当[3,1]x ∈--时，函数()y f x =的值域是( ) A ．[0,5]B ．[1,5]-C ．[1,3]D ．[3,5]2．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h ），其中：三棱锥的体积为V ，四棱锥的底面是边长为a 的正方形，圆锥的底面半径为r ，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（ ） A ．3V a h =，3V r π=，1a r π= B ．3V a h =，3V r h π=，ar π= C ．3V a h =，3Vr hπ=，1a r π=D ．3V a h =，3Vr h π=，a rπ= 3．一个三角形的三边长成等比数列，公比为x ，则函数25y x x =-的值域为（ ） A ．（54-，+∞） B ．[ 54-，+∞） C ．（54-，－1） D ．[54-，－1） 4． 过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( ) A ．4B ．2C ．D ．5．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③6．过两点A (2,)m -，B(m ，4)的直线倾斜角是045，则m 的值是（ ） A ．1- B ．3 C ．1 D ．3-7．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( ) A ．39B ．20C ．19.5D ．338．为了得到函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若ABC 的面积为2224b c a +-，则角A =（ ）A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π610．若线性方程组的增广矩阵是，解为，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启用前河南天一大联考2019-2020学年高三阶段性测试文科数学试题数学(文科)一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的1.已知集合{}{}23,760A x x B x x x =≥=-+<，则()R C A B ＝A, {}13x x << B. {}16x x <≤ C. {}13x x ≤≤ D. {}16x x ≤≤ 2已知1510z i =-，234z i =+，且复数:满足: 1211z z z =+，则z 的虚部为 A. 225 B. 225- C. 225i D. 225i - 3.某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7:10.为了了解职工的身体状况，現采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为A. 14 B,20 C.21 D.704.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2a 3＝2a 7，S 5＝40，则a 7＝A.13B.15C.20D.225.若1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，已知a ＝1223e e +，则a =A.B.C.4D.6.马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米，跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅(一步的距离)一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为A. 60B.120C.180D.2407.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.143π B. 113π C. 83π D. 73π附:台体的体积V ＝'1()3S S h +，其中S ，'S 分别为台体上、下底面的面积，为台体的高8.已知直角三角形的两直角边长分别为3和4，现向该三角形内随机撒一粒黄豆，则豆子落在其内切圆内的概率为 A. 4π B. 6π C. 3π D. 5π 9.已知双曲线E: 2213x y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点(2，0)，△POF 的周长为PQ 的长为A.2C.4D. 10.已知函数()()x x f x x e e -=-，若f (2x -1)＜f (x +2)，则x 的取值范围是 A.1(,3)3- B. 1(,)3-∞- C. (3,)+∞ D. 1(,)(3,)3-∞-+∞11.已知点P 在曲线22ln y x x =-上，点Q 在直线32y x =-上，则PQ 的最小值为A. 13B. 1C. 10D. 14 12.已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分別为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为A. 14B. 12C.D. 4二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数2sin22cosy x x=+的最小正周期为___________.14.设变量x，y满足约束条件70102x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数32z x y=+的最大值为_____.15.已知四棱锥的四个侧面均是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的高为_______.16.已知平面四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝6，且内角B与D互补，则cosA＝______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题:共60分17.(12分)某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，随机抽取了120名考生的成绩(单位:分)，并按[95，105)，[105，115)，[115，125)，[125，135)，[135，145]分成5组，制成频率分布直方图，如图所示(I)若规定成绩在120分以上的为优秀，估计样本中成鎖优秀的考生人数;(Ⅱ)求该中学这次知识竞赛成绩的平均数与方差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)18.(12分)已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 都是递增数列，且满足a 3＝b 3＝5，a 1a 5＝9，b 1+b 5＝2a 7(I)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设21n n c b -=，求数列n c 的前n 项和S n19.(12分)如图所示，在三棱锥P-ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为的等边三角形，PA ＝PB ，点O ，M 分别是AB ，BC的中点 (I)证明:AC ∥平面POM;(Ⅱ)求点B 到平面POM 的距离，20.(12分)已知动圆M 过点P(2，0)且与直线x +2＝0相切(I)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)斜率为k (0k ≠)的直线l 经过点P(2，0)且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求AB NP的值21.(12分)已知函数21()cos (0)2f x ax x a =-≠在[0,]4π上的最大值対2816- (I)求a 的值(II)求f (x )在区间(0,)2π上的零点个数(二)选考题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系x o y 中，直线的参数方程为12(1x m m y m=+⎧⎨=-+⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立概坐标系、曲线C 的极坐标方程为23632cos ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点(I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)求MN23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 设函数()12f x x x =++-(I)求不等式f (x )≥4的解集;(II)设a ，b ，c R *∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c ++=，求证: 2343a b c ++≥。

河南省天一大联考高一上学期第一次阶段性测试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2,3,4},{|3}A B x x =-=<，则A B ⋂=（ ） A ．{1,0,1,2}- B ．{1,0,1}- C ．{0,1,2} D ．{|3}x x <【答案】A【解析】根据集合的交运算，结合已知，进行求解. 【详解】由集合的交运算，可得{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A. 【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2．已知22,0,()log ,0x x f x a x x ⎧≤=⎨+>⎩，若()(2)1f f -=-，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】由已知条件，利用分段函数性质，先求出1(2)4f -=，再算出14f ⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出a . 【详解】 由题意得：已知函数22,0,()log ,0,x x f x a x x ⎧≤=⎨+>⎩所以1(2)4f -=，则()1(2)214f f f a ⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭得1a =， 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的概念，还涉及函数的性质和函数值的求法，同时考查运算能力.3．函数1()lg f x x=+ ） A ．(],2-∞- B ．(]0,2C ．()(]0,11,2D ．(]1,2-【答案】C【解析】由函数解析式可知，根据对数真数大于0，分母不为0和二次根式的被开方数大于等于0，即可求出定义域. 【详解】由题意可得0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，化简得02x <≤且1x ≠，即()(]0,11,2x ∈⋃.故选：C. 【点睛】本题考查求具体函数的定义域的方法，注意函数的定义域是函数各个部分的定义域的交集.4．若()y f x =的定义域为R ，值域为[1,2]，则(1)1y f x =-+的值域为（ ） A ．[2,3] B ．[0,1] C ．[1,2] D ．[1,1]-【答案】A【解析】根据函数的平移规则，结合原函数的值域求解. 【详解】因为(1)1y f x =-+是将原函数()f x ，向右平移1个单位， 再向上平移1个单位得到，但是左右平移不改变值域， 故(1)1y f x =-+的值域为[]2,3. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的上下平移和左右平移对函数值域的影响. 5．函数21()log 1xf x e x=--的零点所在的区间是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】C【解析】将选项中区间左右端点代入函数解析式，若发现两端函数值异号，则零点就在该区间. 【详解】因为1202f ⎛⎫=<⎪⎝⎭，而()110f e =-> 则()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知 函数零点所在区间为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查函数零点所在区间的确定，判断依据是零点存在性定理.6．设0.20.343,log 0.4,log 0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】B【解析】将,,a b c 与1和0进行比较，从而得出结果. 【详解】0.20331a =>=，0.30.3log 0.4log 0.31?b =<=且0b >， 44log 0.2log 10c =<=，故a b c >>， 故选：B. 【点睛】本题考查指数式和对数式大小的比较，一般地，先与1和0进行比较，即可区分. 7．设m R ∈，幂函数1()(22)m f x m x +=+，且(1)(2)f a f a +>-，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦C ．(1,2]-D ．[2,)+∞【答案】B【解析】由()f x 是幂函数，求得参数的值，再求解不等式即可. 【详解】因为1()(22)m f x m x+=+是幂函数，故221m +=，解得12m =-， 则()f x x =，其在[)0,+∞为单调增函数，则不等式(1)(2)f a f a +>-等价于102012a a a a+≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，解得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：B. 【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及利用函数单调性求解不等式. 8．函数|1|1()10x f x -=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的定义域，以及单调性，结合选项进行选择. 【详解】 因为|1|1()10x f x -=定义域为R ，故排除C 、D 选项； 又1101x ->，故()()0,1f x ∈，故排除B . 故选：A. 【点睛】本题考查由函数的解析式，选择函数的图像.一般地，要从定义域、值域、单调性、特殊点出发进行选择.9．已知函数()22()log 2f x x x a =-+的最小值为3，则a =（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】判断函数的单调性，找到最小值点对应的自变量，代值计算即可. 【详解】若220x x a -+>在R 上恒成立， 则根据复合函数的单调性可知，()f x 区间(),1-∞单调递减，则()1,+∞单调递增，故()()()21log 13min f x f a ==-=，解得9a =，此时满足2290x x -+>在R 上恒成立， 若220x x a -+>在R 上不恒成立，则该函数没有最值. 综上所述：9a =. 故选：D. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性的判断，遵循同增异减的原则.10．常见的三阶魔方约有194.310⨯种不同的状态，将这个数记为A ，二阶魔方有85603⨯种不同的状态，将这个数记为B ，则下列各数与AB最接近的是（ ）（参考数据：43 4.3log 10 2.1,0.63560-≈≈⨯） A ．280.63-⨯ B ．280.610⨯ C ．280.63⨯ D ．320.63⨯【答案】C【解析】根据题意，结合参考数据，应用对数运算法则，对数据进行估算. 【详解】由题可知：A B =1984.3105603⨯两边取对数可得1933384.310log log log 5603A B =+4198333333log log log 3log 10log 35A B -≈++- 333log log 419 2.185A B -≈-+⨯-35log 27.93A B ⨯≈故27.9533A B ≈⨯ 解得：27.90.63A B ≈⨯，故与之最接近的为280.63⨯. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，涉及数据的估算；要结合参考数据进行处理，是解决本题的重要思路.11．已知函数2()x x x xe e xf x e e--++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2C ．211e e ++ D ．221ee ++ 【答案】B【解析】对()f x 分离参数，构造一个奇函数，再进行求解. 【详解】因为2()x x x xe e xf x e e--++=+=1+2x x x e e -+ 不妨令()2x xxh x e e-=+，显然()h x 为奇函数， 故()()max 0min h x h x +=，则()()()()max 22max min min f x f x h x h x +=++=. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数最值之间的关系，本题的难点在于分离常数，构造奇函数.12．设函数222,2,()54, 2.x a x f x x ax a x ⎧-<=⎨-+⎩若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2(2,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2[4,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2(4,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】分段考虑函数的零点，结合一元二次方程根的分布，对参数进行讨论. 【详解】为方便说明，不妨令()22?(2)?h x a x =-<，()()22542g x x ax ax =-+≥因为()h x 是单调函数，故其在定义域上的零点个数可以是0或1； 对()g x ，因为290a =≥，故其可以在定义域有1个零点，或2个零点；故当()f x 有两个零点，只有下面两种可能： ①当()40,4a -∈时，即()0,4a ∈时，()h x 在其定义域内有1个零点，此时只要保证()g x 在其定义域1个零点即可，等价于方程22540x ax a -+=有1个根在区间[)2,+∞， 只需()20g <，即：241040a a -+<，解得1,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或()20g =且522a <，解得12a =， 故1,22a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭②当()40,4a -∉，即(][),04,a ∈-∞⋃+∞时，()h x 在其定义域内没有零点，此时只要保证()g x 在其定义域2个零点即可等价于方程22540x ax a -+=有2个根在区间[)2,+∞，只需()52220ag ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，解得[)4,a ∈+∞综上所述：[)1,24,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，涉及二次方程根的分布，其难点是对参数进行分类讨论.二、填空题13．已知函数2(0,1)x y a a a =+>≠且的图象恒过点M ，则M 的坐标为________. 【答案】(0,3)【解析】根据函数平移，结合指数函数恒过定点()0,1即可求得. 【详解】因为xy a =恒过定点()0,1，又函数2x y a =+是由xy a =向上平移2个单位得到， 故2xy a =+恒过定点()0,3.故答案为：()0,3. 【点睛】本题考查指数型函数恒过定点的问题，其一般思路为，根据函数图像变换进行求解. 14．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为___________. 【答案】3【解析】由集合A 的元素，以及2A ∈，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数m 的值. 【详解】由题可得，若2m =，则2320m m -+=，不满足集合元素的互异性，舍去； 若2322m m -+=，解得3m =或0m =，其中0m =不满足集合元素的互异性，舍去， 所以3m =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.15．已知函数()log (0,1)a f x x b a a =+>≠的定义域、值域都是[1,2]，则a b +=__________．【答案】52或3. 【解析】分析：分类讨论a 的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解. 详解：当01a <<时，易知函数()f x 为减函数，由题意有()()122log 21a fb f b ===+=，解得：1,22a b ==，符合题意，此时52a b +=； 当1a >时，易知函数()f x 为增函数，由题意有()()112log 22a fb f b ===+=，解得2,1a b ==，符合题意，此时3a b +=.综上可得：+a b 的值为52或3. 故答案为：52或3. 点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩则方程1()2f x =的所有实根之和为________. 21【解析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称， 且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称， 故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根， 此时()21log 12x +=，解得21x =.21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.三、解答题17．计算（1）142110.2542216--⎛⎫⎛⎫⨯--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()3334839322log 2log log 8log 3log 3log 2log 29-+-++ 【答案】（1）4-（2）34【解析】（1）根据指数运算法则，直接计算即可得出结果； （2）根据对数运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】解：（1）原式14421242444⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=⨯--=--22=-4（2）原式232233log 2log 3log 328log log 2322329⨯⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭323111533log 9log 3log 212232624⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯⨯+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查指数运算以及对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.18．已知集合{}2{|32},|log 3,{|13}A x x B x x C x m x m =-<<=<=-<<+. （1）求R A C B ⋂；（2）若()C A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|30}x x -<（2）(,4]-∞【解析】（1）求解对数不等式，再求补集和交集即可；（2）先求并集，对集合C 是否为空集进行讨论，分别求解.【详解】（1）∵函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，∴由2log 3x <得08x <<，∴{|08}B x x =<<.∴{|08}R B x x x =或.∴(){|30}R A B x x ⋂=-<.（2）{|38}A B x x ⋃=-<<.若C =∅，则13m m -+，解得1m -.若C ≠∅，则13,13,38,m m m m -<+⎧⎪--⎨⎪+≤⎩，解得14m -<.∴实数m 的取值范围为(,4]-∞.【点睛】本题考查集合的运算，以及集合之间的包含关系，涉及对数不等式的求解.19．已知函数21()2x x f x a-=+的图象经过点11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的定义域和值域；（3）判断函数()f x 的奇偶性并证明.【答案】（1）1；（2）定义域为R ，值域为(1,1)-；（3）()f x 是奇函数，证明见详解.【解析】（1）将函数过的点的坐标代入函数解析式，求解参数；（2）利用分母不为零求定义域，采用不等式法求函数值域；（3）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断()f x 与()f x -之间的关系.【详解】（1）由题意知11112112(1)1232f a a -----===-++， 解得1a =.（2）因为212()12121x x x f x -==-++. ∵20x >，∴211x +>，∴()f x 的定义域为R .∵2(0,)x ∈+∞，∴2(0,2)21x ∈+， ∴()f x 的值域为(1,1)-.（3）函数()f x 是奇函数.证明如下：∵()f x 的定义域为R ，关于原点对称， 且2112()()2112x x x xf x f x -----===-++， ∴()f x 是奇函数，即证.【点睛】本题考查函数解析式，定义域和值域的求解，以及函数奇偶性的证明，涉及指数运算，属函数综合基础题.20．某投资公司计划在甲、乙两个互联网创新项目上共投资1200万元，每个项目至少要投资300万元.根据市场分析预测：甲项目的收益P 与投入a满足30P =-，乙项目的收益Q 与投入a 满足1505Q a =+.设甲项目的投入为x . （1）求两个项目的总收益关于x 的函数()F x .（2）如何安排甲、乙两个项目的投资，才能使总收益最大？最大总收益为多少？（注：收益与投入的单位都为“万元”）【答案】（1）1()260,3009005F x x x =-+≤≤；（2）甲项目投资500万元，乙项目投资700万元；360万元【解析】(1)由题意得，分别代入甲和乙的收益函数即可得出两个项目的总收益关于x 的函数()F x ；(2)利用换元法，令t x =，则103,30t ⎡⎤∈⎣⎦，得出关于t 的二次函数，根据已知区间内的二次函数即可求出最大值以及对于的x 值，即可得出答案.【详解】（1）由题知，甲项目投资x 万元，乙项目投资1200x -万元.所以11()4530(1200)504526055F x x x x x =-+-+=-++ 依题意得3001200300x x ≥⎧⎨-≥⎩解得300900x ≤≤. 故1()45260,3009005F x x x x =-++≤≤ （2）令t x =，则103,30t ⎡⎤∈⎣⎦.221145260(105)36055y t t t =-++=--+ 当105t =，即500x =，y 的最大值为360.所以当甲项目投资500万元，乙项目投资700万元时，总收益最大，最大总收益为360万元.【点睛】本题考查函数模型的应用以及二次函数的性质，利用换元法及二次函数求最值. 21．已知函数2()22f x x kx =-+.（1）若函数(1)f x -是偶函数.求k 的值，并在坐标系中画出()y f x =的大致图象； （2）若当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）4k =-，图像见解析；（2）8,43⎡-⎣【解析】（1）根据(1)f x -是偶函数，得出()f x 的对称轴，结合二次函数对称轴，求出k ，便可以得出()f x 解析式，即可画出二次函数图像；（2）由条件，得出min ()4f x ≥-，分类讨论对称轴和所给区间比较，结合单调性，分别求出每种情况的最小值，分析加以排除，即可得出k 的取值范围.【详解】（1）由题得，函数(1)f x -是偶函数，可得函数()f x 的图象关于1x =-对称， 即14k =-，得4k =- 则2()242y f x x x ==++的大致图象如图所示.（2）因为当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成立，所以min ()4f x ≥-.由题可知()f x 的对称轴为4k x =. 当14k ≤-，即4k ≤-时，()f x 在[]1,2-上单调递增， 此时min ()(1)224f x f k =-=++≥-，得8k ≥-，所以84k -≤≤-； 当24k ≥，即8k ≥时，()f x 在[]1,2-上单调递减， 此时min ()(2)8224f x f k ==-+≥-，得7k ≤，不符合条件； 当124k -<<，即48k -<<时，()f x 在(1,)4k -上单调递减，在,24k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 此时22min()()24484k k k f x f ==-+≥-，得4343k -≤≤443k -<≤综上所述，k 的取值范围是8,43⎡-⎣.【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，利用偶函数性质以及二次函数的对称轴、单调性、最值，同时还考查二次函数图像的画法和分类讨论思想，以及数形结合思想.22．设a R ∈,函数 ()1,11ln ,1ax x f x x a x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩,且()()3f f e -=()1求()f x 的最大值()2若方程()()0f x f x --=在区间[)(),1k k k Z +∈上存在实根,求出所有可能的k 值【答案】（1）3；（2）3,0,2-【解析】（1）由(3)()f f e -=求得a ，分段考查函数值的取值范围可得最大值．（2）由()31,113ln ,1x x f x x x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩，分类讨论，分11x -<<，1x ≥和1x ≤-三类讨论其零点，其中1x ≤-可由1x ≥得出，主要是()()0f x f x --=的解都是成对出现的．【详解】（1）由()()3f f e -=得31131a a -+=---,解得3a = 当1x <时,()3143311x f x x x +==+<-- 当1x ≥时,()3ln f x x =-单调递减,()()13f x f ≤=所以()f x 的最大值为3（2）由（1）知()31,113ln ,1x x f x x x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩ 当11x -<<时,11x -<-<由()()0f x f x --=得3131011x x x x +-+-=---,解得0x =,因为[)00,1∈,故可取0k = 当1x >时,1x -<-，由()()0f x f x --=得313ln 01x x x -+--=--,整理得4ln 01x x -=+ 设()()4ln 11g x x x x =-≥+,易知()g x 在[)1,+∞上单调递减 又因为()()42ln 20,31ln 303g g =->=-<,所以()g x 在[)2,3上存在唯- -点, 从而原方程在[)2,3,上有且仅有一个实根.故可取2k =当非零实数0x 满足()()000f x f x --=时,0x -也满足()()000f x f x --=,即原方程的非零实根总是成对出现,所以在[)3,2--上也仅有一个实根,故可取3k =-. 综上所述,k 的值可以为3,0,2-．【点睛】本题考查对数型复合函数的最值，考查函数的零点问题．通过零点存在定理可确定函数零点所在区间．对分段函数一般需要分类讨论．。

2023-2024学年度第一学期联考高一数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7.若31323221,51,21⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a ,则a ，b ，c 的大小关系是()A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c8.若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,0-B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

12．对任意两个实数,a b ，定义{},,min ,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若()22f x x =-，()2g x x =，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（）A ．函数()F x 是偶函数B ．方程()0F x =有三个解C ．函数()F x 在区间[1,1]-上单调递增D ．函数()F x 最大值为1三、填空题：本题共4小题，前三小题每小题5分，第四小题第一个空2分，第二个空3分，共20分。

16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()22f x x ax a =-++，其中a ∈R ．（1）当1a =时，(1)f -=__________；（2）若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17.（10分）已知集合{|24}A x x =≤<，{|3782}B x x x =-≥-，求(1)A∩B，A∪B.(2)R ()A B ⋃ð,()A BR ð18.（12分）计算下列各式（式中字母均是正数）：（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）.。