人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式习题(3)

2019-2020年高考数学一轮复习 6.1 两角和、差的正弦、余弦、正切教案 新课标一、知识回顾（一）两角和与差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan μ±=± （二）倍角公式 ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=注：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。

注：（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。

（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。

（3）掌握“角的演变”规律，如()()()αβαββαβαα-+=-++=,2（4）将公式和其它知识衔接起来使用。

二、例题选讲例1．（1）计算的值；（=）（2）设若则=（ B ）A ．B ．C ．D ．4 例2．已知()(),43tan tan tan tan tan =+⋅--+βααβαβα且求 分析：涉及与及的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。

解：由已知()()βααβαβα+⋅--+tan tan tan tan tan =()()()()43tan tan tan tan tan 1tan tan ==+⋅⋅-+-+ββααβαβαβα 又所以为第三象限角，所以例3．求值：)45tan 1)(44tan 1()2tan 1)(1tan 1(0000++⋅⋅⋅++ 解：由144tan 1tan 44tan 1tan 44tan 1tan 144tan 1tan )441tan(45tan 100000000000=++⇒-+=+==得；21144tan 1tan 44tan 1tan 1)44tan 1)(1tan 1(000000=+=+++=++同理可得；2)43tan 1)(2tan 1(00=++，2)23tan 1)(22tan 1(00=++⋅⋅⋅， 故原式例4．已知),2,4(,41)24sin()24sin(ππααπαπ∈=-⋅+ 1cot tan sin 22--+ααα求的值. 解：法一：直接展开可得；414cos 2141)24sin()24sin(===-⋅+ααπαπ， 又.125),2,4(παππα=∈所以 于是 ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+ .325)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα 法二：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+ ,414cos 21)42sin(21==+=ααπ得 以下同解法一； 例5．设,322sin ,912cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαβα的值； 分析：观察已知角和所求角，可作出⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222，然后利用余弦的倍角公式求解。

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3。

1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固探究A组基础巩固1。

若sin=cos，则tan α=（）A。

-1 B.0 C。

D。

1解析由已知得cos α—sin α=cos α—sin α,因此sin α=cos α，于是tan α=—1.答案A2.已知a=（2sin 35°,2cos 35°),b=（cos 5°，-sin 5°），则a·b=（)A。

B.1 C.2 D。

2sin 40°解析a·b=2sin 35°cos 5°—2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°）=2sin 30°=1。

答案B3。

若tan（α+β)=,tan(α—β）=,则tan 2α=（)A.B。

C.D。

解析tan 2α=tan ［(α+β)+(α—β）］=.答案D4。

sin(θ+75°)+cos（θ+45°)—cos(θ+15°)的值等于(）A.±1 B。

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一.复习：()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-二．新课 ()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．和角的正弦公式()S αβ+：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 差角的正弦公式()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ-≠+≠+≠+∈． 例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （两结果一样，我们能否用几种方法证明？）3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 三．应用1．注意公式的逆用及变形应用例2．求值：⑴sin 72sin 48cos 252sin 42+；⑵cos 20cos70sin 20sin 70-； ⑶1tan151tan15+-． 分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.解：⑴()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； ⑵()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；⑶()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--． （4）原式=)60cos 60sin 10cos 10sin (40sin 00000- =000060cos 10cos 50sin 40sin -⋅=160cos 10cos 280sin 000-=⋅- ()T αβ+，()T αβ-变形公式：()tan tan tan (1tan tan )αβαβαβ±=±例3．⑴ 已知tan α+tan β=3(1-tan αtan β)，求)tan(βα+。

3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。

二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。

三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。

四、学情分析 五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点 2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备 多媒体课件七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-oooo；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-oooo；（3）、1tan151tan15+-oo． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==ooooo oo； （2）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o oo o o o o o．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭o o o思考：=余弦分别等于12和2的.（三）反思总结，当堂检测。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式考纲要求：① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．② 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③ 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．知识梳理)_____(__________)cos()_____(__________)cos(.1φαβαβαβα+-=+=-C C ，)_____(__________)sin()_____(__________)sin(.φαβαβαβα+-=+=-S S ，)_____(__________)tan()_____(__________)tan(.φαβαβαβα+-=+=-T T ，前面4个公式对任意的αβ都成立，而后面的两个公式成立的条件是,,2,Z k k ∈+≠ππβα且满足）（βαππβα+∈+≠+T Z k k ,,2，满足）（βαππβα-∈+≠-T Z k k ,,2否则不成立,当βαtan tan 、)tan(βα±的值不存在时，不能用)(βα±T 处理有关的问题应改用诱导公式或其它方法来解决。

2.要辩证的看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：)()(2,)(βαβααββαα-++=-+=)()(2αββαα--+=等等3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如)(βα±T 可变形为：1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ),tan tan 1)(tan(tan tan ---=++-=±=±βαβαβαβαβαβαβαβα 4.222222sin ,cos ,)(sin(cos sin b a b ba ab a x b a x b x a y +=+=++=+=θθθ为常数）其中典型例题：题型一、求值问题 例1.设12cos(),sin(),,0292322βαππαβαπβ-=--=<<<<且， 求cos()2αβ+的值。