高中数学：空间几何体的直观图

x
x
空间直角坐标系
如图,OABC D' A'B'C是' 单位正方体．以O为原点,分别 以射线OA,OC, OD的' 方向为正方向,以线段OA,OC, OD'
的长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴．这时我们说
建立了一个空间直角坐标系 O xy,其z 中点O 叫做坐标原点,
x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面．
关于水平放置的圆的直观图的画法,常用正等测画法．在
实际画水平放置的圆的直观图时,通常使用椭圆模版．
问题引入
3．怎样确切的表示室内灯泡的位置？
问题引入
4．空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢？ 当建立空间直角坐标系后,空间中的点M,可以用有 序实数（x,y,z）表示．
z
z M（x,y,z）
O
y
y
设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是
x,y和z,那么点M就对应唯一确定的有序实数组
（x,y,z）．
z
R M
O
Q
y
P
M’
x
空间直角坐标系
反过来,给定有序实数组（x,y,z）,我们可以在x 轴、 y 轴和z 轴上依次取坐标为x,y和z的点P、Q和R,分别过 P、Q和R各作一个平面,分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴,这 三个平面的唯一交点就是有序实数组（x,y,z）确定的 点M．
(3)连接 A'B',C'D', E'F', F ' A', 并擦去辅助线x’轴和y’轴,便获得正 六边形ABCDEF水平放置的直观图 A'B'C'D'E'F'
y
F
ME
A
O
D
x
y
F M E
A
O
D x
B N C
B NC
~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~
小结：“横同,竖半 ,平行性不变”
z
D'
A'
C'
B'
O
C
y
A
B
x
空间直角坐标系
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中,让右手拇 指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中 指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐 标系．
空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点,过点M分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面,依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、 Q和R．
线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,
C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
Z
y
y
D QC
O
x
MO N x
AP B
3画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分
例2．用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方 体的直观图
联想水平放置的平 面图形的画法,并注意到 高的处理
1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,xOz 90 .
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在
轴上取线段PQ,使PQ=1.5 cm;分别过点M 和N 作y轴的平行
图片都是空间图形在平面上的反映,通过对图片的研究可 以了解空间图形的一些性质和特征．
三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法,但三视 图的直观性较差,因此有必要绘制空间图形的直观图．一般采用 中心投影或平行投影．
在中心投影中,水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直),但斜的 平行线则会相交,交点称为消点．
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
(1)在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为X轴,对称轴MN所
在直线为Y轴,两轴交于点O．画对应的 X轴' ,Y,两' 轴相交于
点 ,O使'
X 'OY ' 45
y
F
ME
y'
A
O
D
x
O
x'
B NC
注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．
(2)以O'为中心,在 以点 N '为中心,画
x上' 取
B'C '
A'D' AD ,在 轴y 上取 x'轴,并等于 BC ,再以
M ' N ' 1 MN
M '为中心2,画
E'F ' x' 轴,并等于y EF
M
F
E
A
O
D
x
y
F M E
A
O
D x
B N C
B NC
注意：平行x轴的线段长不变,平行y轴放置的线段长变为原 来的一半．
斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于O点.画 直观图时,把它画成对应的x’轴、y’轴,两轴交于O’,使 x'Oy' 45 (或135 ) ,它们确定的平面表示水平平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成 平行于x’轴或y’轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段,长度为原来的一半．
改为虚线), 就可得到长方体的直观图.
Z
D
A D
MO
C y
B
Q
C
Nx
AP B
D
A D
A
C B C B
例3．已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图
·Z
y
O y x
Ox
·
O
·
O
正视图
·
俯视图
·O
·
O
侧视图
投影
中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物
平行投影 投影线平行
斜投影 不改变原 正投影 物形状
z
R M
O
Q
y
P
M’
x
空间直角坐标系
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（x,y,z） 来表示,有序实数组（x,y,z）叫做点M 在此空间直角坐 标系中的坐标,记作M（x,y,z）．其中x叫做点M的横坐 标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标．
z
知识小结
空间直角坐标系 点在空间直角坐标系中的坐标
正视图
侧视图
三视图
俯视图
长对正、高平齐、宽相等
根据三视图,我们可以得到 一个精确的空间几何体
视图 直观图 斜二测画法
可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象
中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象,但作图较复杂, 又不易度量．
立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图, 这种画法叫斜二测画法．
投影规律
1.平行性不变,但形状、长度、 夹角会改变；
2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变；
3.在太阳光下,平行于地面的直 线在地面上的投影长不变．