2020年复化梯形公式和复化Simpson公式.pdf

复合梯形公式和复合Simpson 公式用法的比较一、问题叙述由曲线y ()f x = ,a x b ≤≤绕x 轴旋转得到立体，其表面积计算公式为2(baS f x π=⎰分别用N=10的复合梯形公式和N=5的复合Simpson 公式求解下列每个的曲线绕x 轴旋转得到立方体的表面积。

（1）3(),01f x x x =≤≤ （2）()sin ,0/4f x x x π=≤≤ ； （3）()e ,01x f x x -=≤≤。

二、问题分析由叙述可知，三个函数在各自的定义域上函数值都大于0，且函数在各自的定义域上都是单调的。

（1）复合梯形公式取正整数n,令(b a)/n h =-,则点(k 0,1,,n)k x a kh =+=将[a,b]分为n 个小区间，利用定积分的性质可得11110011(x)(x)(x )f(x )2 =(a)f(b)2(x )2j jn n bx j j ax j j n j j h f dx f dx f h f f +--+==-=⎡⎤=≈+⎣⎦⎡⎤++⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰∑所以，复合梯形公式的近似面积为：11(a)f(b)2(x )2n j j h S f f -=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑（2）复合Simpson 公式取正整数n,令h=(b-a)/2n,(j 0,1,,2n)j x a jh =+=.利用定积分的性质，以及Simpson 公式[]012(x)(x )4f(x )f(x )(f)3bahf dx f R =+++⎰在小区间222,j j x x -⎡⎤⎣⎦上的应用，有 2222221211(x)(x)(x )4f(x )f(x )3j nnbj j j j ax j j hf dx f dx f ---==⎡⎤=≈++⎣⎦∑∑⎰⎰整理可得，复合Simpson 公式的近似面积为：121211[f(a)f(b)4(x )2(x )]3n n j j j j hS f f --===+++∑∑。

数值计算方法上机题目3计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。

1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。

f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果 Tn= 7.3891等分数 n= 7019已知值与计算值的误差 R= 2.8300e-0082. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果 Sn= 7.3891等分数 n= 24已知值与计算值的误差 R= 2.7284e-008用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。

数值分析第五次程序作业PB09001057 孙琪【问题】分别编写用复化Simpson 积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分： I (f )=∫sin (x )dx 40取节点x i ， i =0,…,N,N 为2k ,k =0,1,…,12，并分析误差；简单分析你得到的数据。

【复化Simpson 积分公式】Simpson 法则：∫f (x )dx ≈b −a 6[f (a )+4f (a +b 2)+f (b )]b a 使用偶数个子区间上的复合Simpson 法则：设n 是偶数，x i =a +ih , h =b−a n ,(0≤i ≤n) 则有∫f (x )dx =∫f (x )dx +∫f (x )dx +⋯+∫f (x )dx =∑∫f (x )dx x 2i x 2i−2n 2i=1x n x n−2x 4x 2x 2x 0b a 将Simpson 法则应用于每一个区间，得到复合Simpson 法则：∫f (x )dx ≈h 3b a [f (x 0)+2∑f (x 2i−2)n 2i=2+4∑f (x 2i−1)n 2i=1+f (x n )] 公式的误差项为：−1180(b −a )h 4f (4)(δ) 其中δ∈(a,b)【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：∫f (x )dx ≈b −a 2b a [f (a )+f (b )] 如果划分区间[a,b]为：a =x 0<x 1<⋯<x n =b那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：∫f (x )dx =∑∫f (x )dx x i x i−1n i=1b a ≈12∑(x i −x i−1)[f (x i−1)+f (x i )]ni=1 对等间距h=(b-a)/n 及节点x i =a +ih ，复合梯形法则具有形式：∫f (x )dx ≈h 2[f (a )+2∑f (a +ih )n−1i=1+f (b )]b a 误差项为：−112(b −a )h 2f ′′(δ)【算法分析】复合Simpson 法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。

复合梯形公式和复合辛普森公式1.复合梯形公式步骤1：将积分区间[a,b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，其中n为正整数。

步骤2：定义一个函数f(x)，并在每个小区间上求出函数在小区间两个端点的函数值，记作f(x0), f(x1), f(x2), ..., f(xn)。

步骤3：根据梯形公式，每个小区间上的定积分近似值为(h/2) * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))。

步骤4：将所有小区间上的定积分近似值相加，得到最终的近似值。

复合辛普森公式是通过将积分区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间上应用辛普森公式来逼近定积分的值。

具体的步骤如下：步骤1：将积分区间[a,b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，其中n为正偶数。

步骤2：定义一个函数f(x)，并在每个小区间上求出函数在小区间三个点的函数值，记作f(x0),f(x1),f(x2)。

步骤3：根据辛普森公式，每个小区间上的定积分近似值为(h/3)*(f(x0)+4f(x1)+f(x2))。

步骤4：将所有小区间上的定积分近似值相加，得到最终的近似值。

复合辛普森公式的误差主要取决于小区间的数量和函数在每个小区间上的变化情况。

与复合梯形公式相比，复合辛普森公式的精度更高，但计算复杂度也更高。

综上所述，复合梯形公式和复合辛普森公式是数值积分中常用的近似计算方法。

它们通过将积分区间划分成小区间，并在每个小区间上应用相应的公式来逼近定积分的值。

这两种方法都可以通过增加小区间的数量来提高近似的精度，但相应地也会增加计算的复杂度。

根据实际情况，我们可以选择合适的方法来计算需要求解的定积分。

- 让每一个人同等地提高(tí gāo)自我实验四、复化梯形(tīxíng)公式和复化Simpson 公式的精度(jīnɡ dù)比较（2 学时(xuéshí)）一、实验目的(mùdì)与要求1、熟习复化 Simpson 公式和复化梯形公式的结构原理；2、熟习并掌握两者的余项表达式；3、分别求出正确值，复化梯形的近似值，复化Simpson 的近似值，并比较后两者的精度；4、从余项表达式，即偏差曲线，来察看两者的精度，看哪个更靠近于正确值。

二、实验内容：关于函数 f (x) sin x，试利用下表计算积分 I 1sin xdx 。

x x表格以下：x 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f ( x)1注：分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，比较哪个精度更好。

此中：积分的正确值I0.9460831。

三、实验步骤1、熟习理论知识，并编写相应的程序；2、上机操作，从偏差图形上察看偏差，并与正确值对比较，看哪个精度更好；3、得出结论，并整理实验报告。

四、实验注意事项11- 让每一个人同等地提高(tí gāo)自我1、复化梯形公式，程序主体(zhǔtǐ)部分：for n=2:10T(n)=*T(n-1)for i=1:2^(n-2)；endend2、复化 Simpson 公式(gōngshì)，程序主体部分：for i=1:10n=2.^ix=0:1/n:1f=sin(x)./xf(1)=1s=0for j=1:n/2s=s+f(2*j)endt=0for j=1:(n/2-1)t=t+f(2*j-1)endS(i)=1/3/n*(f(1)+4*s+2*t+f(n+1))end五．实验(shíyàn)内容复化梯形(tīxíng)公式和复化辛普森公式的引入22- 让每一个(yī ɡè)人同等地提高自我复化梯形(tīxíng)公式：T n n 1 h [ f (x k f ( x k 1 )] ；k 0 2复化辛普森公式：S n n 1 h4 f ( x 1 ) f (x k 1 )] ；[ f (x kk 0 6k2依据题意(tí yì)和复化梯形公式、复化辛普森公式的原理编写程序求解代码以下：Matlab 代码(dài mǎ)clcs=quad( 'sin(x)./x',0,1)p1=zeros(10,1);p2=zeros(10,1);for k=6:15s1=0;s2=0;x=linspace(0,1,k);y=sin(x)./x;z=(1/(2*(k-1))):(1/(k-1)):1;sz=sin(z)./z;y(1)=1;for i=1:(k-1)s1=s1+*(x(i+1)-x(i))*(y(i)+y(i+1));endfor j=1:(k-1)s2=s2+(1/6)*(x(j+1)-x(j))*(y(j)+y(j+1)+4*sz(j));endp1(k-5)=s1-s;p2(k-5)=s2-s;endp1;33- 让每一个人同等地提高(tí gāo)自我p2;s1=s+p1(4)s2=s+p2(4)format longfor k=1:length(p1)p1(k)=abs(p1(k));p2(k)=abs(p2(k));endp1p2plot(6:1:15,p1,'-r' )hold onplot(6:1:15,10000*(p2),'-c' )hold off部分(bù fen)程序结果输出：s=s1 =s2 =结果剖析1 sin( x)；依据结果输出可知：积分 I dx 的正确值为： I=x44- 让每一个人同等(tóngděng)地提高自我经过复化梯形公式(gōngshì)和复化辛普森公式获得的积分值为：s1 =:s2 =;相对偏差为：S 1 I 100 4.15 10 4 ； 1I 100S 2 I 100 1.62 10 8 ； 2 I 100明显，从相对偏差可知经过辛普森公式获得(huòdé)的结果偏差小精度高。

SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式对比学生姓名:学生学号:班级:学院(系):目录1.概述 (3)2.问题提出 (4)3.算法推导 (5)4.算法框图 (6)复合梯形公式算法流程图 (6)复合辛普森公式算法流程图 (7)5.MATLAB源程序 (8)6.结论与展望 (9)图表目录图 4-1 复合梯形公式算法流程图 (6)图 4-2 复合辛普森公式算法流程图 (7)图 6-1 MATLAB计算结果 (9)表 2-1函数计算结果表 (4)1.概述梯形求积公式和辛普森求积公式分别是牛顿-科斯特公式中n=1和n=2时的情形。

其中梯形求积公式可表示为其公式左端是以[a,b]区间上积分，右端为b-a为高、端点函数值为上下底的梯形的面积值，故通称为梯形公式，具有1次代数精确度。

类似的，辛普森求积公式可以表示为该公式一般在立体几何中用来求拟柱体的体积，由于偶数n阶牛顿-科特斯求积公式至少具有n+1次代数精确度，所以辛普森公式实际上具有3次代数精确度。

由于牛顿-科斯特公式在n≥8时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。

为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式。

这种方法称为复合求积法。

本文主要讨论复合梯形公式和复合辛普森公式在同一数学问题中的应用。

首先给出了复合梯形公式和复合辛普森公式的推导过程以及其余项的表达形式，然后用流程图的形式介绍算法思路，再运用MATLAB编写代码计算结果，最后对结果进行对比讨论。

希望通过两个算法在同一个算例中的应用对比，更好的理解和掌握复合梯形公式和复合辛普森公式的适用范围和适用条件。

并且能够熟悉MATLAB编程求解问题的流程，掌握编程化的思想方法。

同时对两种方法的计算结果对比分析，讨论两种求积方法的计算精度。

2.问题提出对于函数f(x)=sinxx给出的函数表如下，试用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分I=∫sinxx dx1。

陕西科技大学机械教改班用C++的积分其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。

一．积分的基本思想1、思路：微分—>求和—>取极限。

2、Newton —Leibniz 公式 ⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( 其中，)(x F 被积函数)(x f的原函数。

3、用计算机积分的思路在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。

因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。

二．现有的理论1、一阶求积公式---梯形公式⎰=+-=b a T b f a f a b dx x f )]()([2)( 他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。

2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式 ⎰=+++-=ba Sb f a b f a f a b dx x f )]()2(4)([6)(他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。

三．四种实现方法1.复化矩形法将积分区间[a,b]等分成n 个子区间:],[],[],[],[],[112322110n n n n x x x x x x x x x x ---、、、 则h=(b-a)/n,区间端点值k x =a+kh)hf(x ))f(x x (x I 11121=-=)()()x (22232x hf x f x I =-=............................)()()(111n ---=-=n n n n x hf x f x x I∑==ni i x hf T 1n )(源程序：#include <iostream.h>#include<math.h>double f(double x) //计算被积函数{double y;y=log(1+x)/(1+x*x); //被积函数return y;}double Tn(double a,double b,int n) //求Tn{double t=0.0;double xk; //区间端点值double t1,t2; //用来判断精度do{double h=(b-a)/n;for(int k=1;k<=n-1;k++) //每一小段的矩形叠加 {t1=t;xk=a+k*h;t+=h*f(xk);t2=t;}n++; //如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求 }while(fabs(t1-t2)<=1e-7); //判断计算精度return t;}void main(){double a=0.0; //积分下线double b=2.0; //积分上限int n=1024; //把区间分为1024段cout<<Tn(a,b,n)<<endl; //输出积分结果}执行结果：2.复化梯形法方法和复化矩形法类似，只是把原来的矩形小面积变成了梯形小面积，但是精确度明显提高了，也就是说达到同样的精度需要的时间少了。