2_5_谓词演算的推理理论[19页]

2.5 谓词逻辑推理理论谓词演算推证的基本思路是将量词消去，然后用类似命题演算推证法证明。

2.5.1 谓词演算推证谓词演算推证也是由三个要素组成：推理根据、推理规则和证明方法。

推理根据：一方面命题演算推证中命题定律和推理定律的代换实例可以作为谓词演算推证的推理依据；一方面谓词演算的基本逻辑等价式和逻辑蕴涵式：量词否定逻辑等价式量词辖域的收缩与扩张逻辑等价式量词分配逻辑等价式具有两个量词的逻辑等价式量词与联结词的逻辑蕴涵式具有两个量词的逻辑蕴涵式2.5.1 谓词演算推证证明方法：直接证法间接证明方法反证法附加前提证法2.5.1 谓词演算推证推理规则：P规则T规则CP规则消去和添加量词的规则2.5.1 谓词演算推证1）US 规则（全称指定规则）这里P 是谓词，而c 是个体域中某个任意的个体。

例如，设个体域为全体偶数的集合，P(x)表示“x 是整数”，则∀xP(x)表示“所有的偶数都是整数”，那么根据全称指定规则有P(6)，即“6是整数”。

全称指定规则在使用时要求x 是P(x)中自由出现的个体变元。

该规则使用时还可以有以下形式：()()c Ρx x Ρ∴∀()()y Ρx Ρ∴∀x 这里y 是任意的不在P(x)中约束出现的个体变元。

注意：2.5.1 谓词演算推证2）UG 规则（全称推广规则）设E 是指定的个体域，若对于E 中的任意个体a ，都有P(a)成立，才能应用该全称推广规则。

例如，设个体域是全体人类，P(x)表示“x 是要死的”。

显然，对于任意一个人a ，P(a)都成立，即任何人都是要死的。

则应用全称推广规则有∀xP(x)成立。

全称推广规则在使用时要求y 不在P(x)中约束出现。

注意：)()(y yP x P ∀∴2.5.1 谓词演算推证3）ES 规则（存在指定规则）这里c 是指定个体域中的某一个个体。

但需注意的是，应用存在指定规则时，指定的个体c 不是任意的。

注意：存在指定规则在使用时要求：（1）c 是使P(c)为真的指定个体域中的某一个个体。

谓词演算的推理理论在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。

设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(∃y) F(x,y), 则(∀x)P(x) ⇒P(z)=(∃y) F(z,y).而不能(∀x) P(x) ⇒P(y)=(∃y) F(y,y).其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.或 (∀x ) P (x ) ∴ P (y ) (∀x) P (x )∴ P (c )2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：P(x)∴ (∀x)P(x)其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中自由出现.3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：(∃x)P(x)∴ P(c)1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：P(c)∴ ( x)P(x)其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.1. 等价公式2. 蕴含式3. 推理规则：(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则(3) CP推理规则 (4)归谬论(5) US规则 (6) UG规则(7) ES规则 (8) EG规则1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、规则CP .2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来消去量词.3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则EG将其量词加入.4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等价公式和基本蕴涵公式.7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。

第二章谓词逻辑2—1基本概念例题１. 所有的自然数都是整数。

设N(x)：x是自然数。

I(x)：x是整数。

此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))例题２. 有些自然数是偶数。

设E(x)：x是偶数。

此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))例题3. 每个人都有一个生母。

设P(x):x是个人。

M(x,y):y是x的生母。

此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。

其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))例题2 小王的父亲是个医生。

设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。

例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。

设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))命题的符号表达式与论域有关系两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1.每个自然数都是整数。

该命题的真值是真的。

表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。

例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。

而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。

∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an))比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。

谓词逻辑的推理演算
谓词逻辑是一门重要的数学学科，它是用来研究可以用谓词符号表示的各种数学语言中的定理，其中包括如何推理和证明其定理。

谓词逻辑最初是由古希腊哲学家克里特拉提出的，他提出了一组谓词符号，用来表示语句的真假性。

他也创造了一种推理机制，用来从已知事实推断出新的结论。

谓词逻辑的推理演算是由一系列规则构成的，这些规则用来说明在谓词逻辑中可以从已有的结论推出新的结论的过程。

该过程可以分成三个步骤：推断，证明和验证。

首先，我们需要从已知的事实和结论中推断出新的结论。

然后，我们需要用谓词逻辑规则来证明这个结论是正确的。

最后，我们需要验证这个结论是正确的，以确保我们的推理是正确的。

谓词逻辑的推理演算是一种非常强大的工具，可以用来推断出各种复杂的数学定理。

它可以让我们更加深入地理解一些概念，并证明它们的正确性。

它也可以帮助我们解决许多复杂的数学问题。

谓词逻辑的推理演算是用来研究可以用谓词符号表示的各种数学语言中的定理，它是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们更好地理解数学概念，从而推断出新的结论。