北师大版初二(下)数学第32讲：平方根

平方根和开平方【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. a 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”.要点进阶：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点进阶：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质 20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念例1、已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求，3x+5y 的算术平方根．举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.例2、x 为何值时，下列各式有意义？ (1)2x ； (2)4x -； (3)11x x ++-； (4)13x x --．举一反三： 【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b+的算术平方根．类型二、平方根的运算例3、求下列各式的值． (1)2222252434-+； (2)111200.36900435--．类型三、利用平方根解方程例4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=；（3）()2932640x +-=举一反三：【变式】求x 的值：（x ﹣2）2=4．类型四、平方根的综合应用例5、若x ，y 为实数，且满足．求的值．举一反三：【变式】若2110x y -++=，求20112012x y +的值．例6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【巩固练习】一.选择题1．下列说法中正确的有（ ）．①只有正数才有平方根． ②2-是4的平方根． ③16的平方根是4±．④2a 的算术平方根是a ． ⑤2(6)-的平方根是6-．⑥ 93=±．A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2．若m ＝40－4，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2 B. 2＜m ＜3 C. 3＜m ＜4 D. 4＜m ＜53. 试题下列说法中正确的是（ ）A.4是8的算术平方根B.16的平方根是4C.6是6的平方根D.－a 没有平方根4.若=a ，则a 的值为（ ）A.1B.﹣1C. 0或1D. ±15.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x ＝64时，输出的y 等于（ ）A.2B.8C.32D.226.下列运算正确的是（ ）A.2(13)13--=B. 2(6)6-=-C.255-=-D. 93=±二.填空题7. 若10404102=，则 1.0404＝__________.8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm 和5cm 的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 ________.9. 下列各数：81，1625，1.44，124，81的平方根分别是_______________；算术平方根分别是_______________.10．（1）25的平方根是________；（2）()25-的平方根是________，算术平方根是________；（3）2x 的平方根是________，算术平方根是________；（4）()22x +的平方根是________，算术平方根是________．11．364的平方根为______．12.观察下列各式：=2，=3，=4，…请你找出其中规律，并将第n （n ≥1）个等式写出来 ．三.解答题13．求下列各式中x 的值．①x 2﹣25=0 ②4（x+1）2=16．14.已知1y -和12x -互为相反数，且0x ≠，求y x的值．15.如图，实数a ，b 对应数轴上的点A 和B ，化简2222()()a b a b a b +---+。

初二数学 平方根 北师大版【本讲教育信息】一、教学内容： 1、无理数的概念2、平方根的概念、表示、求法3、算术平方根的表示、概念、求法二、教学目标1、掌握无理数的概念，会判断一个数是否是无理数。

2、理解平方根的概念，会求一个非负数的平方根。

3、理解算术平方根的概念，会求一个非负数的算术平方根。

4、能应用平方根和算术平方根解决问题。

三、知识要点分析1、无理数的概念（这是重点）无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.带根号的数不一定是无理数,如9;无理数也不一定带根号,如圆周率. 2、算术平方根（这是重点）如果一个数x 的平方等于a 即 a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ”，读作根号“a”；规定0的算术平方根即0 =0，如422=，那么2叫做4的算术平方根。

3、平方根（这是重、难点）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）；①平方根的意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根；②开方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。

【典型例题】考点一：无理数的概念例1. 如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD 的AC 、BD 相交于O ，试说明边 长AB 、BC 、CD 、AD 和对角线AC 、BD 的长度哪些是有理数，哪些不是有理数。

【思路分析】从图上看AC 、BD 、AB 是有理数，因此BC 、CD 、AD 的长度不是有理数．解：AC=7，BD=5是有理数，而AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理AB 2=32+4=25,AB=5是有理数，而BC 2=32+32=18,CD 2=32+22=13,AD 2=42+22=20,因此BC 、CD 、 AD 的长度不是有理数。

方法与规律:利用网格的特点进行分析，并借助勾股定理及数的平方来判定什么是有理数，什么不是有理数。