2014年秋人教版八年级上册：15.2.3《整数指数幂》学案

整数指数幂【学习目标】1．知道负整数指数幂 a n=1n〔a≠0，n是正整数〕.a2．掌握整数指数幂的运算性质 .3．掌握用科学计数法表示绝对值小于1的数【学习重点】整数指数幂的运算，用科学计数法表示绝对值小于1的数。

【学习难点】整数指数幂的运算。

【知识准备】1．正整数指数幂的运算性质：〔1〕同底数的幂的乘法：a m a n(m,n是正整数)；〔2〕幂的乘方：(a m)n(m,n是正整数)；〔3〕积的乘方：(ab)n(n是正整数)；〔4〕同底数的幂的除法：a m a n(a≠0，m,n是正整数，m＞n)；〔5〕商的乘方：(a)n(n是正整数)；b0指数幂，即当a≠0时，a0.【自习自疑】一、阅读教材内容，思考并答复下面的问题1.以下运算准确的是〔〕A.300B.(a2)31C.a2a31D.(a2)35a6填空〔1〕-22=〔2〕(-2)2=〔3〕(-2)0=〔4〕20=(5〕2-3=(6〕(-2)-3=3.用科学记数法表示以下各数。

1〕32000=_____________；2〕384000000=____________；3〕－810000=____________；我想问：请你将预习中未能解决的问题和有疑问的问题写下来。

等级组长签字【自主探究】【探究一】负整数指数幂探究：当a≠0时，a3a5=a=，再假设正整数指数幂的运算性质a m an a mn(a≠0，m,n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么a3a5=a35=.于是得到a2=12〔a≠0〕a当n是正整数时，a n=〔a≠0〕.〔注意：适用于m、n能够是全体整数.〕【探究二】负整数指数幂的运算计算(1)(x 3y-2)2〔2〕x2y-2·(x-2y)3（(3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3〔4〕(3x3y2z1)2(5xy2z3)2（（（（（（（（【探究三】科学计数法（用科学计数法表示以下各数：（0．00004，-0.00045, 0.003009（（（（（（（ 2.用四舍五入法按括号里的要求对以下各数取近似值。

15.2.3 整数指数幂（第1课时）课标要求：结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质.教学目标：1.会用整数指数幂的运算性质进行计算；2.类比正整数指数幂，探究负整数指数幂的运算性质，经历数学算理的扩充与发展，体会特殊到一般的思想.教学重点：负整数指数幂的运算.教学难点：负整数指数幂运算性质的理解. 教学方法：启发式、探讨式、合作式学习. 教学准备：多媒体课件. 教学过程： 一、复习旧知1.填空: （1）mna a •= （m,n 是正整数）；（2）()nm a = （m,n 是正整数）；（3）()nab = （n 是正整数）； （4）na b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）；（5）m na a ÷= （a ≠0，m ,n 是正整数，且m ＞n ）； （6）0a = （a ≠0）. 学生口答，教师展示答案.（从学生已有的数学经验出发，回忆学过的有关整数指数幂的运算性质，为学生经历探究负整数指数幂做准备.）二、探究新知探究一 负整数指数幂的意义2.计算:（1）3a a ÷（0≠a ）； （2）63b b ÷ (0≠b )； （3）72x x ÷（0≠x ）.（1）解：方法一、由分式的约分可知 3a a ÷= = ①；方法二、若将上题（5）中的条件“m ＞n ”去掉，我们发现3a a ÷= ②.学生独立思考并作答，教师提问学生不同的算法，并提出以下问题: 问题1 对比①、②两式，你发现了什么？对比①②两式，等号左边都是3a a ÷，等号右边一个是21a，另一个是2-a ，两种方法的若按以往的算理都是正确的，如果我们规定221aa=-(0≠a )，就能使nm n m a a a -=÷也适用于像3a a ÷这样的情形.为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以简便地表示分式，数学中规定：一般地，当n 是正整数时，n a -=1na （a ≠0）.也就是说，n a -（a ≠0）是na 的倒数.问题2 从以上性质中，你还能得出哪些结论？ 如由na-=1n a 可知，n a -形式上像整式，但实质上是分式；1=•-n n a a ；nna a -=1； p p nmm n )()(=-等. 3.填空：32-= ； 2)31(- = ； 2)3(--= ； =-3)1.0( .学生独立思考并作答，教师展示答案.（通过学生自己的观察、思考、计算，教师提问学生不同的算法，师生共同对比两种算法，得出数学规定，体会规定的合理性和数学算理的扩充，培养学生的观察、思辨能力. 在此过程中渗透“一般到特殊”的数学思想方法.）探究二 负整数指数幂的运算性质引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数，那么正指数幂的运算性质是否适合负整数呢？问题1 验证同底数幂的运算性质nm nmaa a +=•对于任意整数的情形仍适用.)4(22242421-+--====•a a aa a aa （0≠a ）,即)4(242-+-=•a a a . 仿照上式，验证（1）)4()2(42-+---=•a a a（0≠a ）；（2）)4(040-+-=•a a a （0≠a ）.问题2 类似地，试着用负整数指数幂或0指数幂验证其他的正整数指数幂的运算性质，小组成员分工完成.归纳：随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算性质就推广到整数指数幂.4.计算（要求：一般情况下，当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数.）:（1）53a a÷- ； （2）232)(-ab ； （3）342)(b a -.问题3 我们知道，除法和乘法互为逆运算，能否将同底数幂的除法性质n m n m a a a -=÷ 归结到同底数幂的乘法性质n m n m a a a +=•中呢？根据整数指数幂的运算性质，当m 、n 为整数时，nm n m aa a -=÷，n m n m n m a a a a --+-==•)(，因此，n m n m a a a a -•=÷，即同底数幂的除法n m a a ÷ 可以转化为同底数幂的乘法nmaa -•.试着说明商的乘方能否转化为积的乘方？ 因此，整数指数幂的运算性质可以归结为： （1）nm n m a a a +=•（m 、n 为整数）；（2）mnnm aa =)(（m 、n 为整数）；（3）nnn b a ab =)(( n 为整数).教师提出以上问题，学生以小组分工合作的形式完成问题一、二、三，师生归纳得出结论.（通过学生自己的观察、思考、师生共同探究负整数指数幂的运算性质，加深学生对负整数指数幂的理解，体会数学算理的扩充与整合，培养学生的观察、思辨、小组合作的能力, 体会化归思想.） 三、学以致用例1 计算：（1）3223)(---•b a b a ；（2）22321)()2(b a bc a ---÷-.分析：计算中，根据运算顺序“先乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号内的”计算，结果要化为正整数指数幂.解：（1）3223)(---•b a b a （2）22321)()2(b a bc a ---÷-.)()()(966960636603ab b a b b a a b a b a =•=•••=•=----- .88181)()2(657657623)4(3246333cb ac b a c b a b a c b a -=-=-=÷-=-----------先由学生独立思考，教师提问个别学生，说出每一步的依据及过程，教师板书过程. （本部分例题帮助学生理解整数指数幂的运算性质，学生体会代数运算中每一步都要依据算理，细心计算，边做边检查，才可以得出正确的答案.） 四、反馈练习1. 下列计算正确的是( ) A.100)1.0(2=-- B.10001103=-- C.251512-=- D.33212a a =- 答案:A.2.计算(1)2)(-+b a ；（2）3)2(-ba ； (3) ()22322ab a b ---•；（4）22232)(---÷b a b a . 答案:（1）2221bab a ++；（2）338a b ； （3）67a b ；（4）b a 2. （在此设置了比较简单的基础练习题，重在考察学生对基础知识的掌握情况，完成后展示学生的成果，让学生在学习的过程中感受学习的乐趣和成功的喜悦，激发学生的学习兴趣.）五、课堂小结1.本节课我们学习了什么？2.你还有哪些收获？学生小结，教师适当点拨补充，师生共同完成.（学生归纳总结本节课的主要内容，交流在探索负整数指数幂的过程中的心得体会，不断积累数学活动经验.）六、作业布置课本147页习题15.2第7题. 补充：1.下列各式正确的有（ ）A. 1个B.2个C. 3个D. 4个 2.计算： （1）2023)1.0(14.3)301()101(----+⨯+-； （2）232221)()3(---•n m n m . 3.若2312---=÷y y ym ，求2-m 的值.答案: 1. A.2. (1) 0 ； (2)1069nm .()()01111(1)1,(2)(0),3(),4(0)m mn n m n m n a a aa a a a a a a----+==-≠==≠3.41.。

15.2.3 整数指数幂（第1课时）教学设计
一、教材分析:
1、地位作用：这节课时学生在学习了正指数幂的基础上，对指数幂的进一步深入拓展，通过本节课的学习，让学生对幂的运算由正指数扩大到整数指数，为整式的运算奠定良好的基础。

2、教学目标：
(1)、知识技能：①掌握整数指数幂的运算公式；②运用整式指数幂的性质进行有关计算.
(2)、数学思考：①通过同底数幂的除法的运算，让学生归纳指数是负数的运算方法；
②通过实践，培养学生的推理、归纳能力.
(3)、解决问题：①通过同底数幂的除法的运算，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；②通过相关的运算，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展运用意识.
(4)、情感态度：引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.
3、教学重、难点
教学重点：①探究指数是负数的运算方法；②运用指数是整数的运算性质解决问题.
教学难点：探究指数是负数的运算方法.
突破难点的方法：通过同底数幂的除法的运算，让学生归纳指数是负数的运算方法.
二、教学准备：多媒体课件、导学案
三、教学过程。

整数指数幂【教学目标】1．知识目标：理解负整数指数幂的性质，正确熟练地运用整数指数幂公式进行计算。

2．能力目标：通过幂指数扩展到全体整数，培养学生抽象的数学思维能力，运用公式进行计算，培养学生综合解题的能力和计算能力。

3．情感目标：在数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美，随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情感，让学生形成辩证统一的哲学观和世界观。

【教学重难点】重点：理解负整数指数幂的性质，会应用性质进行计算。

难点：理解负整数指数幂公式中字母的取值范围。

【教学过程】一、创设情境，导入新课：1．知识回顾：引导学生回顾正指数指数幂的运算性质。

2．思考：（1）同底数幂除法公式a m÷a n=a m-n中m、n有什么条件限制吗？（2）若a0=1，则a 。

（3）计算52÷55= ，103÷107= 。

二、探究新知：1．通过上面的问题（3），你发现了什么？请你与同伴交流。

一方面：（1）52÷55=52-5=5-3（2）103÷107=103-7=10-4另一方面：（1）52÷55=2555=223555⨯=315（2）103÷107=371010=334101010⨯=4110则5-3=315 10-4=4110 2．仿照上面的计算，讨论a 3÷a 5，并与同伴交流。

3．归纳：请总结一般规律。

一般地，规定：a -n =1/a n （a ≠0，n 是正整数），即任何不等于零的数的-n （n 为任何正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数。

思考：为什么公式中规定a ≠0？4．试一试：求下列各式的值。

（1）5-3 （2）2-2 （3）a -1 （4）（2x ）-25．思考：引入负整数指数和0指数后，a m ·a n =a m+n ( m 、n 为正整数)这条性质能否扩大到m 、n 是任何整数的情形？并举例说明。

15．2．3 整数指数幂----科学记数法一、教学目标（一）知识与技能会用科学计数法表示小于1的数.（二）过程与方法通过练习，掌握科学记数法.（三）情感、态度与价值观通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间都是相互联系，理论来源于实践，服务于实践.能利用事物之间的类比性解决问题.二、教学重、难点重点：掌握科学记数法难点：会用科学计数法表示小于1的数.三、教学准备多媒体教学设备四、教学方法启发式，讲练结合五、教学过程(一)复习回顾，引入新课1．回忆正整数指数幂的运算性质：（1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅(m,n 是正整数)；（2）幂的乘方：mn n m a a =)((m,n 是正整数)；（3）积的乘方：n n n b a ab =)((n 是正整数)；（4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( 其中a ≠0，m, n 是 正整数，m ＞n)；（5）商的乘方：n n n ba b a =)((n 是正整数)；2．当n 是正整数时，n a -=n a1（a ≠0）.（注意：适用于m 、n 可以是全体整数） 回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，10=a .3.绝对值大于10的数记成a×10n 的形式，其中1≤︱a ︱<10，n 是正整数.n 等于原数的整数数位减1例如:864000可以写成8.64×105(二)新课教授1.用小数表示下列各数解：类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值小于1的数，即将它们表示成a×10-n 的形式.(其中n 是正整数，1≤∣a ∣＜10.)例题1：用科学记数法表示下列各数思考：当绝对值较小的数用科学记数法表示为a ×10-n 时，a ，n 有什么特点？=⨯-410141010001.0=51011.2⨯00001.01.2⨯==⨯-5101.2000021.0=a的取值一样为1≤︱a︱＜10；n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。

人教版数学八年级上册15.2.3.1《整数指数幂》教学设计1一. 教材分析《整数指数幂》是人教版数学八年级上册第15章“指数与对数”的一部分，本节课主要让学生理解整数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。

教材通过引入幂的概念，让学生从具体实例中感受幂的意义，从而过渡到整数指数幂的定义和运算性质。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了有理数的乘方，对幂的概念有了一定的了解。

但八年级的学生对幂的概念的理解还停留在表面，对幂的运算性质还没有系统的认识。

因此，在教学过程中，需要引导学生从具体实例中抽象出幂的概念，让学生通过自主探究、合作交流，理解并掌握整数指数幂的运算性质。

三. 教学目标1.理解整数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。

2.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.培养学生的自主探究、合作交流的能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：整数指数幂的概念，有理数指数幂的运算性质。

2.难点：对整数指数幂的理解，有理数指数幂的运算性质的运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、自主探究法、合作交流法等，引导学生从具体实例中抽象出幂的概念，让学生通过自主探究、合作交流，理解并掌握整数指数幂的运算性质。

六. 教学准备1.准备相关实例，用于引导学生理解幂的概念。

2.准备PPT，用于展示教学内容和引导学生进行自主探究。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾七年级学习的有理数的乘方，让学生回忆幂的概念。

然后给出具体实例，如正方形的面积、球的体积等，让学生感受幂的意义。

2.呈现（10分钟）利用PPT展示整数指数幂的定义和运算性质，引导学生从具体实例中抽象出幂的概念，让学生理解整数指数幂的意义。

3.操练（10分钟）让学生进行自主探究，尝试解决一些与整数指数幂相关的问题，如：计算幂的值、判断两个幂是否相等等。

教师在这个过程中给予学生适当的引导和帮助。

15.2.3整数指数幂法则应用一、学习目标1、掌握整数指数幂的运用；2、能用科学记数法表示绝对值较小的数和绝对值较大的数。

3、培养学生运用知识解决实际问题的能力。

学习重点：能熟练的用科学记数法表示绝对值小于1的正数学习难点：理解正整数指数幂与负整数指数幂用于科学记数法的区别二、自主学习（一）温故知新：1、一般地，当n是正整数时，a-n= ，这就是说，a-n(a≠0)是a n的倒数。

2、把下列数写成小数的形式：（1）8-1 （2）10 -1（3）10-33、用科学计数法表示下列各数863=696 000=300 000 000=-6 100 000 000=（二）探究新知：1、把下面的数写成小数的形式：10-1= ，10-2= ，10-3= ，10-4= ，…，10-9= ，…，10-n=2.把小数化成负整数指数幂的形式：0.1= ，0.01= ，0.001= ，0.0001= ，…，0.000 000 001= ，…，0.00 …01= .3、思考1：怎样用上述记数方法表示0.000 0257和0.000 000 025 7？并比较两个数的大小.思考2：如果小数点后面至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数，10的指数是多少?如果有m个0呢?思考3：对于一个小于1的正数，用科学记数法表示这个数时，10的指数与原数中0的个数有什么关系？小结科学记数法：把绝对值大于10的数表示成a×的形式，(其中1≤|a| ＜10即a是整数数位只有一位的数,n是正整数)。

（三）例题解析例1.用科学记数法表示下列各数：（1）0.000 000 001；（2）0.001 2；（3）0.000 000 345 ；（4）0.000 000 010 8例2、用科学计数法表示：（1）0.000 607 5= （2）-0.309 60=（3）-0.008 05=例3、把下列用科学计数法的数还原：（1） 6.8 ×10-3 =（2）-5.9 ×10-6=例4、纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm=10-9 m. 把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计) ?五、课堂反馈1．目前发现的一种新型病毒的直径为0.000 025 1米，用科学记数法表示为_________ 米.2．用科学记数法把0.000 009 405表示为9.405×10-n千克，则n =___ .3.在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10-5 cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是（）.A.10-2 cm B．10-1 cm C．10-3 cm D．10-4 cm六、课题小结通过这节课的学习，你有什么收获？。

整数指数幂一． 教学目标1．知识目标：会用科学记数法表示绝对值较小的数．2．能力目标：引入负整数指数幂后，通过讨论用科学记数法表示小于1的数，使学生形成对科学记数法较完整的认识，培养学生抽象的数学思维能力和概括能力。

3．情感目标：随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情感，让学生养成善于归纳形成完整知识体系的良好学习习惯，获得正确的学习方法。

二．教学重点﹑难点重点：用科学记数法表示绝对值较小的数．难点：用科学记数法表示绝对值较小的数时，a ×10n形式中n 的取值与小数中零的关系．三．教学过程：（一）创设情境，导入新课：问题1：我们已经知道，一些较大的数可以用科学记数法表示，你能举出例子吗？ 问题2 ： 一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？以前学过大于10以上的数的科学记数法，那么现在较小的数纳米直径也能用科学记数法来表示吗？（二）探究新知，合作交流：1．做一做 ：（1）用科学记数法表示745 000= 7.45×105，2 930 000= 2.93×106．（2）绝对值大于10的数用a ×10n表示时， 1 ≤│a │< 10 ，n 为 整数 ．（3）零指数与负整数指数幂公式是 a 0=（a ≠0），a -n=1na （a ≠0）． 2．根据学生回答，进行归纳：（1）我们曾用科学记数法表示绝对值大于10的数，表示成a ×10n的形式，其中1≤│a │<10，n 为正整数． （2）我们知道1纳米=9110米，由9110=10-9可知，1纳米=10-9米，所以35纳米=35×10-9米．而35×10-9=（3.5×10）×10-9=3.5×101+(-9)=3.5×10-8，所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8米．（3）类似地用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，•将它们表示成a ×10-n形式，其中1≤│a │<10．3． 试一试 把下列各数用科学记数法表示（1）100 000=1×105 （2）0.000 01=1×10-5（3）-112 000=-1.12×105 （4）-0.000 001 12=-1.12×10-64．讨论：（1）当绝对值大于10的数用科学记数法表示a ×10n形式时，1•≤│a•│<10，n 的取值与整数位数有什么关系？（2）当绝对值较小的数用科学记数法表示中，a、n有什么特点呢？（学生分组讨论，互相交流）5．归纳讨论结果：绝对值较小的数的科学记数法表示形式a×10-n中，n是正整数，a•的取值一样为1≤│a│<10，但n的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数．比如：0.000 05=5×10-5（前面5个0）；0.000 007 2=7.2×10-6（前面6个0）．（三）应用迁移，巩固提高：例1 用科学记数法表示下列各数（1）0.001=1×10-3．（2）-0.000 001=-1×10-6．（3）0.001 357=1.357×10-3．（4）-0.000 034=-3.4×10-5．例2：纳米是非常小的长度单位，1纳米=10-9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上。

15.2.3整数指数幂教学目标： 知识与技能：知道负整数指数幂n a -=n a1（a ≠0，n 是正整数）. 过程与方法：掌握整数指数幂的运算性质.情感、态度与价值观：会用科学计数法表示小于1的数.教学重点：掌握整数指数幂的运算性质.教学难点：会用科学计数法表示小于1的数.教学过程：课前预习1．回忆正整数指数幂的运算性质：（1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅(m,n 是正整数)；（2）幂的乘方：mn n m a a =)((m,n 是正整数)；（3）积的乘方：n n n b a ab =)((n 是正整数)； （4）同底数的幂的除法：nm n m a a a -=÷( a ≠0，m,n 是正整数，m ＞n)； （5）商的乘方：n n n b a ba =)((n 是正整数)； 2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，10=a . 3．你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=9101米吗？4．大胆尝试与猜测：计算当a ≠0时，53a a ÷=53a a =233a a a ⋅=21a，再假设正整数指数幂的运算性质n m n m a a a -=÷(a ≠0，m,n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么53a a ÷=53-a =2-a .于是得到2-a =21a（a ≠0） 探索建模构新（一）、构建负整数指数幂的运算性质：根据学生预习掌握的情况，视情况引出负整数指数幂的运算性质：当n 是正整数时，n a -=n a1（a ≠0）.（注意：适用于m 、n 可以是全体整数.）（二）、例题讲解1、（P144）例9.计算学生独立完成，然后组内交流，再班内交流。

2、（P145）例10.学生独立完成，指名回答。

例后说明这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数.小结：这节课你收获了什么？作业练习1、课本145页练习1、2题；145页练习1、2题；（学生独立完成）2、课本146页习题15.2第7、8、9题。