高考数学复习 第72课时 第九章 直线、平面、简单几何体空间直线名师精品教案

数学高考复习名师精品教案第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算课题：空间向量及其运算一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识：1．,a b向量共线的充要条件： ；2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习：1．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

若AB a =，AD b = ，1A A c =，则下列向量中与BM等的向量是（ ）()A 1122a b c-++ ()B 1122a b c++()C 1122a b c--+ ()D c b a +-21212．有以下命题：A①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C一定共面；③已知向量,,a b c是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是 （ ）()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③3．下列命题正确的是 （ ）()A 若a 与b共线，b与c 共线，则a与c 共线；()B 向量,,a b c共面就是它们所在的直线共面；()C 零向量没有确定的方向； ()D 若//a b，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ）()A OC OB OA OM ++= ()B OCOB OA OM--=2()C OCOB OA OM 3121++= ()D OCOB OA OM313131++=四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥ABCP -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证：BCPG ⊥GN ABCPM例2．已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点， （1） 用向量法证明H G F E ,,,四点共面； （2）用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有1()4O M O A O B O C O D =+++例3．在平行六面体1111D C B A ABCD-中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1A A 长为b ，且 1111120AAB AA D ∠=∠=︒，求（1）1AC 的长；（2）直线1BD 与AC 所成角的余弦值。

高中数学备课教案空间解析几何中的直线与平面高中数学备课教案：空间解析几何中的直线与平面一、概述在高中数学课程中，空间解析几何是一个重要的内容，其中直线与平面是基本元素。

本教案的目的是帮助教师准备空间解析几何中的直线与平面的教学，并提供一些相关的教学资源和方法。

二、前期准备1. 教学目标本节课的教学目标是让学生掌握直线与平面的基本概念和性质，理解直线和平面的方程表达形式，并能够应用相关概念解决实际问题。

2. 教学资源和准备为了帮助学生理解和掌握直线与平面的概念，教师可以准备以下教学资源：- 数学教材- 相关教学视频或动画- 合适的笔记本电脑和投影仪三、教学步骤1. 导入与概念解释教师可以通过展示一张包含直线和平面的图片来引起学生的兴趣。

然后解释直线和平面的基本概念，引导学生思考它们的性质和特点。

2. 直线的表示与方程通过示例和练习，教师可以向学生展示如何表示一个直线，并引导学生推导出直线的方程表达形式。

同时，教师可以提供一些实际应用的例子，让学生感受直线在现实生活中的应用。

3. 平面的表示与方程与直线类似，教师可以引导学生探索平面的表示方法，并引导学生推导平面的方程表达形式。

同样地，教师可以通过实际问题和应用来加深学生对平面概念的理解。

4. 直线与平面的关系教师可以通过示例和图示，向学生展示直线与平面之间的关系。

例如，一条直线可以位于平面内、与平面相交或平行于平面。

通过练习，学生可以进一步熟悉这些关系，并掌握相关解题方法。

5. 综合练习与拓展为了进一步巩固学生的学习成果，教师可以提供一些综合练习和拓展问题。

这些问题可以涉及到直线与平面的交点、夹角等高级概念，并结合实际应用场景，提高学生的解决问题的能力。

四、课堂互动与讨论在教学过程中，教师应鼓励学生积极参与课堂互动与讨论，提出问题并互相交流。

通过互动与讨论，学生可以更好地理解和应用直线与平面的相关概念，同时培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

五、课后作业为了巩固学生的学习成果，教师可以布置一些课后作业，包括练习题和问题解答。

第73课时：第九章 直线、平面、简单几何体——直线和平面平行及平面与平面平行课题：直线和平面平行及平面与平面平行 一．复习目标：1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理． 2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理． 二．课前预习：1．已知直线a 、b 和平面α，那么b a //的一个必要不充分的条件是（ D ）()A α//a ，α//b ()B α⊥a ，α⊥b ()C α⊂b 且α//a ()D a 、b 与α成等角2．α、β表示平面，a 、b 表示直线，则α//a 的一个充分条件是 （ D ）()A βα⊥，且β⊥a ()B b =βα ，且b a // )(C b a //，且α//b ()D βα//，且β⊂a3.已知平面//α平面β，P 是βα,外一点，过点P 的直线m 与βα,分别交于点C A ,，过点P 的直线n 与βα,分别交于点D B ,，且6=PA ，9=AC ，8=PD ，则BD 的长为（ B ）()A 16 ()B 24或524()C 14 ()D 20 4．空间四边形ABCD 的两条对角线4=AC ，6=BD ，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是 ．答案：（8，12） 三．例题分析：例1．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴B 1D 1∥BD ，又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ． 而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．AB1取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ． ∴AG ∥DF ． ∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．例2．如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分；(2)AC ∥平面MNP ，BD ∥平面MNP ． 证明：(1) ∵M 、N 是AB 、BC 的中点，∴MN ∥AC ，MN ＝21AC ． ∵P 、Q 是CD 、DA 的中点，∴PQ ∥CA ，PQ ＝21CA ． ∴MN ∥QP ，MN ＝QP ，MNPQ 是平行四边形． ∴□MNPQ 的对角线MP 、NQ 相交且互相平分．(2)由(1)，AC ∥MN ．记平面MNP (即平面MNPQ )为α．显然AC ⊄α． 否则，若AC ⊂α， 由A ∈α，M ∈α，得B ∈α； 由A ∈α，Q ∈α，得D ∈α，则A 、B 、C 、D ∈α，与已知四边形ABCD 是空间四边形矛盾．又∵MN ⊂α，∴AC ∥α， 又AC ⊄α，∴AC ∥α，即AC ∥平面MNP ．同理可证BD ∥平面MNP ．小结：例3．已知正四棱锥ABCD S -的底面边长为a ，侧棱长为a 2，点Q P ,分别在BD 和SC 上，并且2:1:=PD BP ，//PQ 平面SAD ，求线段PQ 的长．解：延长CP 交DA 延长线于点R ，连SR ，可证得PQ ∥SR ，由PBC ∆与PDR ∆相似及已知求得2DR a =。

数学高考复习名师精品教案第74课时：第九章 直线、平面、简单几何体——直线与平面垂直课题：直线与平面垂直 一．复习目标：1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。

二．知识要点：1．直线与平面垂直的判定定理是 ；性质定理是 ； 2．三垂线定理是 ；三垂线定理的逆定理是 ； 3．证明直线和平面垂直的常用方法有：三．课前预习：1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ D ）()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若mα⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则mα⊥。

上述判断正确的是 （ B ）()A ①②③ ()B ②③④ ()C ①③④ ()D ②④3．在直四棱柱1111ABC D A B C D -中，当底面四边形A B C D 满足条件A CB D⊥时，有111A C B D ⊥（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 4.设三棱锥P A B C -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题： ①若P A B C⊥，P B A C⊥，则H 是A B C ∆的垂心②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是A B C ∆的垂心 ③若90ABC∠=，H 是A C 的中点，则PA PB PC ==④若PA PB PC ==，则H 是A B C ∆的外心其中正确命题的命题是 ①②③④ 四．例题分析：例1．四面体A B C D 中，,,ACBD E F=分别为,AD BC 的中点，且2EFAC=，90BDC ∠=，求证：B D ⊥平面A C D证明：取C D 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点， ∴E G12//A C=12//F G B D=，又,AC BD =∴12F G A C=，∴在E F G ∆中，222212E GF G A CE F+==∴E GF G⊥，∴B DA C⊥，又90BDC ∠=，即BDC D⊥，AC CD C =∴B D ⊥平面A C D例2．如图P 是A B C ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面P A B ，M 是P C 的中点，NMPCBAM DA 1C 1B 1CBAN是AB 上的点，3A NN B=（1）求证：M N A B⊥；（2）当90APB ∠= ，24AB BC ==时，求M N 的长。

2019-2020年高考数学复习 第71课时第九章直线、平面、简单几何体-课题：平面的基本性质一•复习目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 二•课前预习： 1.、、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是(C )A 丨，A 三 *,B 丨，B ：=丨二：；一,B——二:--AB 直线，且不共线与重合2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为， 腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 (D )例2.已知：a , b , c , d 是不共点且两两相交的四条直线,求证： a , b , c , d 共面. 证明1 o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a , b , c 相交于一点A , 但A'd ,如图1.3•对于空间三条直线,有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④有两条个由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥,则这五AB// CD 直线AB BC AD DC 分别与平面a 相交于点 AB T A/D--CH2, 即先证明这些点都是某二• a , b , c , d 四条直线在同一平面 a 内.说明：证明若干条线（或若干个点）共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件 中的部分线（或点）确定一个平面，然后再根据公理 1证明其余的线（或点）均在这个平面内•本题最容易忽视“三线共点”这一种情况•因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每 一句话的含义.例3•如图，点 A , B , C 确定的平面与点 D, E , F 确定的 平面相交于直线I ,且直线AB 与 I 相交于点G,直线EF 与 l 相交于点H,试作出平面 ABD 与平面CEF 的交线.解：如图3,在平面ABC 内，连结 AB 与I 相交于点G, 则G€平面DEF 在平面DEF 内，连结DG 与EF 相交于点M 则M€平面 ABD 且M€平面CEF 所以，M 在平面ABD 与平面CEF 的交线上.同理，可作出点N N 在平面ABD 与平面CEF 的交线上•连结 MN 直线MN 即为所求.例4.如图，已知平面 a , 3 ,且a3= I .设梯形 ABCDh , AD// BC 且ABa , CD 3 ,求证: AB CD I 共点（相交于一点）.证明 •••梯形 ABCD^ , AD// BC • AB, CD 是梯形ABCD 勺两条腰. • AB CD 必定相交于一点，• ••直线d 和A 确定一个平面a.又设直线d 与a , b , c 分别相交于E, F , 则 AE ，F ， G€ a .T A , E € a , A , E € a ,「. a a . 同理可证b a, c a .• a , b , c , d 在同一平面a 内.2当四条直线中任何三条都不共点时，如图•••这四条直线两两相交，则设相交直线 a , 面a .设直线c 与a , b 分别交于点H K,则H 又 H, K € C ,「. c a .同理可证d a . 、Aa/ .• r... d /a E Fb G c图12.b 确定一个平H" K ad /K € a .ab c图2G例3I DB设ABC& M又T ABa , CD3 , • ME a ,且M€ 3 . • M€ a 3 . 又T a 3 = I , —M€ I ,即AB CD l 共点.说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理 2,这与证明多点共线是一样的.四•课后作业：1 •在空间四边形的边、、、上分别取点，如果与相交于一点，那么 ( ) 一定在直线上一定在直线上可能在直线上，也可能在直线上 既不在直线上，也不在直线上 2.有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面； ②空间四点中，其中任何三点不共线，则这四 点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形； ④垂直于同一直线的两直线平行⑤ 两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是 _______________ . 答案：①③ 3.—个平面把空间分成 __2__部分，两个平面把空间最多分成 _4___部分，三个平面把空间 最多分成__8__部分. 4 .四边形中，AB 二BC 二CD 二DA 二BD =1，则成为空间四面体时，的取值范围 答案：. 5.如图，P 、Q R 分别是四面体 ABC 啲棱AB ACAD 上的点，若直线PQ 与直线BC 的交点为 M 直线RQ M 与直线DC 的交点为 N,直线PR 与直线DB 的交点为L , 试证明M N,L 共线.证明：易证 M N , L €平面 PQR 且 M N, L €平面BCD所以M N, L €平面PQF 平面BCD 即M N, L 共线.6. 如图，P 、Q R 分别是正方体 ABCD-ABCD 的棱AA ,DD 上的三点，试作出过 P , Q, R 三点的截面图. 作法 ⑴连接PQ 并延长之交 AB 的延长线于T ;⑵连接PR 并延长之交AD 的延长线于S ; ⑶连接ST 交CD 、BC 分别于M N,则线段 MN 为平面PQF 与面ABCD 的交线.⑷连接RMQN 则线段RMQN 分别是平面PQF 与面DCCD , 面BCGB 的交线.得到的五边形 PQNM 即为所求的截面图(如图 4). 说明 求作二平面的交线问题，主要运用公理1.解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共 占 八、、♦有时同时还要运用公理 2、3及公理的推论等知识.7.如图，在平行六面体 ABC -A i B CD 的中，A i CBD = O , BD 平面A i BC = P. 求证：P € BO.S图4证明在平行六面体 ABC D ABC D 中，•/ BD 平面 ABC = P,「. P € 平面 ABC , P € BD. •/ BD 平面 BBDD. ••• P € 平面 ABC ,且 P € 平面 BBDD.••• P €平面 ABC 平面 BBDD,••• A i C B i D = O , AC 平面 ABC , BD 平面 BBD D, •••O €平面 ABC,且 O €平面 BBDD.又B €平面A i BC , 且 B €平面BBDD, •平面 A i BC 平面 BBDD = BO .「. P € BO.说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这 个点在过这条直线的两个平面上.2019-2020年高考数学复习 第72课时第九章直线、平面、简单几何体-空间直线名师精品教案课题：空间直线 一. 复习目标：1. 了解空间两条直线的位置关系.2. 掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长. 二. 课前预习： 1. 下列四个命题：(1 )分别在两个平面内的两条直线是异面直线 (2) 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 (3) 和两条异面直线都相交的两条直线必异面 (4 )若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面 其中真命题个数为 (D )3212.在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为( A )0 0 03045 603. ______________________________________________ 在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为 ____________________________________________ .(答案：)4. ________________________________________ 两条异面直线、间的距离是 1cm,它们所成的角为60°,、上各有一点 A B ,距公垂线的 垂足都是10cm,贝U A 、B 两点间的距离为 .答案：三. 例题分析：CC例1.已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线.证一：(反证法)假设AD和BC共面，所确定的平面为a，那么点P、A B C D都在平面a内，.••直线a 、b 、c 都在平面a 内，与已知条件 a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立，二 AD 和BC 是异面 直线。

第 72 课时：第九章直线、平面、简单几何体——空间直线课题：空间直线一．复习目标：1．认识空间两条直线的地点关系．2．掌握两条直线所成的角和距离的观点，会计算给出的异面直线的公垂线段的长．二．课前预习：1．以下四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都订交的两条直线必异面（4）若a与b是异面直线，b与 c 是异面直线，则 a 与 c 也异面此中真命题个数为（ D）(A)3(B)2(C)1( D)02．在正方体ABCD A'B'C'D'中， M 、 N分别是棱AA '和 AB 的中点， P 为上底面ABCD 的中心，则直线PB 与 MN 所成的角为（ A ）000( D )(A)30(B)45(C) 60．在棱长为a 的正四周体中，相对两条棱间的距离为__ _．（答案：2a ）324．两条异面直线 a 、b间的距离是1cm，它们所成的角为600，a、b上各有一点 A、 B，距公垂线的垂足都是10cm，则 A、 B 两点间的距离为 _______．答案：101cm或301cm三．例题剖析：a例 1．已知不共面的三条直线 a 、b、 c 订交于点P，BA a ，B a ，C b ，D c ，求证： AD 与 BCc是异面直线．证一：（反证法）假定AD和 BC共面，所确立的平面PDb C A为α，那么点α2cm AB450300l AC l D 1C1F D1A G B13(A) (B) B βBD l C D CD AB CD3 2 1cm-2AC 3 E O3D C(C) (D) (A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) ABC A AB2BB1AB1 C1B 900CA1 B1C111C1C1A1C， BD AC＝ N．∴M， N分别是 B1D1， AC的中点．连接 BM， D1N．∵BB1∥ DD1，且 BB1＝ DD1，∴四边形 BDD1B1是平行四边形．在平面 BDD1B1中，设 B1D BM＝ O，B1D D1N＝ O1，在平行四边形BDD1B1中，∵D1M∥ NB，且 D1M＝NB，∴四边形 BND1M是平行四边形．∴BM∥ND1，即 OM∥ O1D1，∴O是 BO1的中点，即O1O＝ OB1．同理， OO1＝ O1D．∴O1O＝ OB1＝ O1D．综上， OB1∶ OD1＝1∶2．D1MA1O1ODAN图 1C1B1CB6．如图，已知平面α、β交于直线l ，AB、CD分别在平面α，β内，且与两点．若∠ ABD＝∠ CDB，试问 AB， CD可否平行并说明原因．证明：直线AB， CD不可以平行．不然，若AB∥ CD，则 AB∥ CD共面，记这个平面为γ．l 分别交于B， D∴AB， CD γ．α∴ABα，∈γ．AD由题知， ABα， D∈α，且 D AB，D 依据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个βBC平面，α与γ重合．同理，β与γ重合．∴α与β重合，这与题设矛盾．∴AB， CD不可以平行．7．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，求证： CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．证明：假定CD所在的直线与BC 所在的直线不是异面11A1直线．B1设直线1与 1 共面α．CD BC D1C1∵C， D1∈ CD1，B， C1∈ BC1，∴ C， D1， B，C1∈α．∵CC1∥ BB1，∴ CC1， BB1确立平面 BB1C1C，A∴C， B， C1∈平面 BB1C1C．∵不共线的三点C，B， C1只有一个平面，D C∴平面α与平面BB1C1C重合．∴D1∈平面 BB1C1C，矛盾．所以，假定错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．。

数学高考复习名师精品教案第81课时：第九章直线、平面、简单几何体——棱柱、棱锥课题：棱柱、棱锥一．复习目标：了解棱柱和棱锥的概念，周围棱柱、正棱锥的有关性质，能进行有关角和距离的运算。

二．知识要点：1．叫棱柱2．正棱柱的性质有3．叫正棱锥4．正棱锥的性质有P={四棱柱}，Q={平行六面体}，R={长方体}，M={正方体}，N={正四棱柱},S={直平行六面体}，这六个集合之间的关系是三．课前预习：1．给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥， 其中正确命题的个数是( A )()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 32．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的( D )()A 垂心 ()B 重心 ()C 外心 ()D 内心3．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC ==，2BC =，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是( C )()A 4π ()B 3π ()C 2π()D 32π4．已知长方体ABCD A B C D ''''-中，棱5AA '=，12AB =，那么直线B C ''和平面A BCD ''的距离是6013.5．三棱柱111ABC A B C -，侧棱1BB 在下底面上的射影平行于AC ，如果侧棱1BB 与底面所成的角为030，160B BC ∠= ，则ACB ∠的余弦为3四．例题分析：例1．正四棱锥S ABCD -中，高SO =γ，tan 2γ=(1)求侧棱与底面所成的角。

(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。

解：（1） 作CF SB ⊥于F ，连结AF ，则CFB ABF ∆≅∆且AF SB ⊥，故AFC ∠是相邻侧面所成二面角的平面角，连结OF ，则AFC γ∠=，G F E D C 1B 1A 1CBA2OFC γ∠=，在R t O F C ∆与Rt OBF ∆中， tan 2γ＝OF OC ＝αsin 1=OF OB (其中SBO ∠为SB 与底面所成的角，设为α) 故sin 60αα== 。

高二数学第九章直线、平面、简单几何体复习教案平面1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：=b Aaαα=∅α=Al αβ= 平面α、β相交于直线lα⊄a （平面α外的直线a ）表示a α=∅或a A α=4平面的基本性质公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⎬∈⎭． 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．BA α推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，lα推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a bα推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形二、空间直线1空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等5空间两条异面直线的画法b aa b a b D 1C 1B 1A 1D C B A6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的X 围：]2,0(π8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．9．求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 向量法：用向量的夹角公式 10两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义． 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条 计算方法：①几何法；②向量法三、直线与平面平行和平面与平面平行1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:a α，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: aA α=，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //a α．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⇒．3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒．4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．6．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，a b P =，//a α，//b α//βα⇒． 7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒．8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒． 9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面． 推理模式：//,//a a αβαβ⊂⇒．四、直线与平面垂直和平面与平面垂直 1线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α 2直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 3直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭5．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用 6两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 推理模式：a α，a β⊥⇒αβ⊥．8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面推理模式：,,,l a a l αβαβα⊥=⊥a β⇒⊥ 9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直 五、空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3 平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 4共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量 6空间直线的向量参数表示式：OP OA t =+a 或()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+，中点公式．1()2OP OA OB =+7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++=③上面①式叫做平面MAB 的向量表达式 9空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ 11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）六、空间向量的坐标运算 1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则222123||a a a a a a =⋅=++222123||b b b b b b =⋅=++5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a a a b b b ⋅⋅==⋅++++． 6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-七、空间角1．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的X 围：]2,0(π2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法 3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角b ′O b a直线和平面所成角X 围：[0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=5二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；6．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：①二面角的平面角X 围是[0,180]；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法8求二面角的射影公式：SS '=θcos ， 其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，S '是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的大小9．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量八、空间距离⊥，垂足为A，则PA 1点到平面的距离：已知点P是平面α外的任意一点，过点P作PAα唯一，则PA是点P到平面α的距离即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面α外一点P与α内一点所得的线段中，垂线段PA最短2异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离AB即为直线a到平面α的距离其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求10用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B ∈∈是平面α的法向量⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈n 是平面α的法向量⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=，其中B α∈，n 是平面α的法向量另法：点000(,,),A x y z 平面0Ax By CzD +++=则 d =⑸点A 到直线a 的距离：22|||AB a d AB a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，其中B a ∈，a 是直线a 的方向向量⑹两平行直线,a b 之间的距离：22|||AB a d AB a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量九、棱柱1多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形7平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点且互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和特别地，正方体的一条对角线长等于棱长的3倍。