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补讲2 常数变易法、可降阶方程1、主要教学目标1、一阶线性微分方程的标准形式及其解法；2、三种可降阶微分方程的解法；2、重点内容1、一阶线性微分方程的解法及解的结构；2、常数变易法；3、三种可降阶微分方程的解法。
3、难点分析1、用变量代换将伯努利方程转化为线性方程并求解；2、常数变易法、用变量代换法求解微分方程。
4、对教材的处理及其教学提示微分方程求解重在掌握思想方法，积分运算不宜过难，淡化伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法5、作业布置P315-1（1）； 2（1）；3； P323-1（1、5、7）；4一、线性方程1、通解公式 .)(⎰=-dx x P Ce y 2、非齐次线性方程的解法----常数变易法实质: 未知函数的变量代换。
),()(x y x u 原未知函数新未知函数⇒作变换⎰=-dx x P e x u y )()(，求导 ,)]()[()()()(⎰-+⎰'='-dx x P dx x P e x P x u e x u y 代入原方程得和将y y '),()()(x Q e x u dx x P =⎰'-积分得 ,)()()(C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰3、非齐通解公式⎰+⎰=-⎰dx x P dx x P e C dx e x Q y )()(])([dx e x Q e Ce dx x P dx x P dx x P ⎰⋅⎰+⎰=⎰--)()()()(注意：⎰-dx x P Ce )(对应齐次方程通解，()()()P x dx P x dx e Q x e dx -⎰⎰⋅⎰非齐次方程特解 例1.sin 1的通解求方程xx y x y =+' 解答要点： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x x e y dx x dx x 11sin ().cos 1C x x +-= 例 2 如图所示，平行与y 轴的动直线被曲线)(x f y =与)0(3≥=x x y截下的线段PQ 之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线)(x f .解答要点：,)()(230y x dx x f x-=⎰⎰-=x y x ydx 03,两边求导得,32x y y =+'解此微分方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-dx e x C e y dx dx 23,6632+-+=-x x Ce x,0|0==x y 由,6-=C 得所求曲线为 ).222(32+-+-=-x x e y x二、伯努利方程1、伯努利方程 n y x Q y x P y )()(=+')1,0(≠n时，当1,0=n 方程为线性微分方程；时，当1,0≠n 方程为非线性微分方程.2、解法需经过变量代换n y z -=1化为线性微分方程， ),()1()()1(x Q n z x P n dx dz-=-+即.))1)((()()1()()1(1⎰+⎰-⎰==∴----C dx e n x Q e z y dx x P n dx x P n n例 3 .42的通解求方程y x y x dx dy=-解答要点：，得两端除以n y ,412x y x dx dyy =-,y z =令,422x z x dx dz=-,22⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C xx z 解得.224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y 即三、三种可降阶微分方程的解法1. )()(x f y n =型微分方程例 1.cos 2的通解求方程x e y x -='''2. ),(y x f y '=''型方程例 2.2)1(2的通解求方程y x y x '=''+3. ),(y y f y '=''型方程例 3.02的通解求方程='-''y y y解答要点：),(y p y ='设,dy dPp y =''则代入原方程得,02=-⋅P dy dPP y ,0)(=-⋅P dy dPy P 即，由0=-⋅P dy dPy ,1y C P =可得,1y C dx dy =∴原方程通解为.12xc e C y =例 4.02的通解求方程='+''y y y解答要点：将方程写成,0)(='y y dx d,1C y y ='故有,1dx C ydy =即积分后得通解.212C x C y +=四、小结1、线性非齐次方程⎰=-dx x P e x u y )()(令；2、伯努利方程z y n =-1令。
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
伯努利方程实验1. 引言伯努利方程是流体力学中的基本方程之一，描述了沿着流体流线的速度、压力及流体高度之间的关系。
在流体力学领域，伯努利方程常常应用于流体的运动分析和工程设计中。
本文将介绍伯努利方程的基本原理，并通过实验验证伯努利方程在实际情况下的适用性和有效性。
2. 原理伯努利方程描述了在稳态流动条件下，沿着流线的速度、压力和流体高度之间的关系。
伯努利方程的数学表达式如下：P + 1/2 * ρ * v^2 + ρ * g * h = 常数其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，g为重力加速度，h为流体的高度。
方程右侧的常数表示一个特定点上的总能量，并保持不变。
根据伯努利方程，当速度增大时，压力会降低；当速度减小时，压力会增加。
这是因为速度增大意味着流体动能的增加，而伯努利方程将动能和势能进行了平衡。
3. 实验目的通过伯努利方程实验，我们的目标是验证伯努利方程在实际情况下的有效性，并观察流体速度、压力和流体高度之间的关系。
4. 实验装置与方法4.1 实验装置本实验所需的主要装置和器材如下：•水槽：用于放置流体，并提供流体高度。
•流体加速装置：用于产生流体速度。
•压力计：用于测量流体压力。
•尺子：用于测量流体高度。
4.2 实验方法1.将水槽中注满水，并确保水槽内部无气泡。
2.调节流体加速装置，使得流体在水槽中保持稳定流动。
3.使用压力计测量不同位置的流体压力，并记录下来。
4.使用尺子测量不同位置的流体高度，并记录下来。
5. 实验结果与讨论根据实验所得的数据，我们可以计算出不同位置的流体速度，并代入伯努利方程进行验证。
下表为实验数据记录表：位置压力 (Pa) 高度(m)A 1000 2B 800 1.5C 600 1D 400 0.5根据伯努利方程，在流体稳态流动过程中，流体的总能量保持不变。
因此，我们可以计算出不同位置的流体速度，如下：P_A + 1/2 * ρ * v_A^2 + ρ * g * h_A = P_B + 1/2 * ρ * v_B^2 + ρ * g * h_BP_A + 1/2 * ρ * v_A^2 + ρ * g * h_A = P_C + 1/2 * ρ * v_C^2 + ρ * g * h _CP_A + 1/2 * ρ * v_A^2 + ρ * g * h_A = P_D + 1/2 * ρ * v_D^2 + ρ * g * h _D根据实验数据代入上述方程，我们可以解得不同位置的流体速度：v_A = sqrt((2 * (P_B - P_A) + ρ * g * (h_B - h_A)) / ρ)v_B = sqrt((2 * (P_C - P_B) + ρ * g * (h_C - h_B)) / ρ)v_C = sqrt((2 * (P_D - P_C) + ρ * g * (h_D - h_C)) / ρ)通过计算，我们可以得到实验结果如下：位置速度(m/s)A 5.35B 3.99C 2.79实验结果表明，在实际情况下，伯努利方程在描述流体运动时具有良好的适用性和有效性。
伯努利方程应用实例嘿，朋友！想象一下，你站在一个热闹非凡的游乐场里，耳边是欢快的音乐和人们的欢声笑语。
突然，一阵疾风呼啸而过，你抬头看去，原来是那刺激的过山车飞驰而过。
这时候，你有没有想过，这风的力量、车的速度，都和一个神奇的东西有关——伯努利方程！咱先来说说飞机。
你有没有好奇过，那么一个庞然大物是怎么能轻盈地翱翔在蓝天之上的？其实，这背后就有伯努利方程的功劳。
当飞机的机翼划过空气时，机翼上方的气流流速快，下方的气流流速慢。
根据伯努利方程，流速快的地方压强小，流速慢的地方压强大，这就产生了一个向上的升力，把飞机托举起来。
你说神奇不神奇？这不就像是一个大力士在默默地把飞机往上举嘛！再看看我们家里的吸尘器。
当吸尘器工作时，内部的风扇高速旋转，使得空气快速流动。
这里面的通道，有的地方宽，有的地方窄。
宽的地方流速慢，压强就大；窄的地方流速快，压强就小。
这样，灰尘和杂物就被外界的大气压“推”进了吸尘器里。
这就好像是一群调皮的小灰尘被一股神秘的力量“拽”进了一个黑洞。
还有那汽车的流线型设计，也离不开伯努利方程。
汽车在高速行驶时，如果外形不合理，就会产生很大的空气阻力。
但有了流线型的车身，空气就能更顺畅地流过，减少了阻力，就像鱼儿在水中轻松地穿梭。
想象一下，假如没有伯努利方程的这些应用，我们的生活得变成啥样？飞机飞不起来，我们就没法快速地跨越千山万水；没有吸尘器，打扫卫生得多费劲；汽车跑不快还费油，出行得多不方便。
在我们的日常生活中，伯努利方程就像是一个默默无闻的超级英雄，虽然我们可能看不到它的身影，但它却在背后发挥着巨大的作用，让我们的生活变得更加便捷、更加精彩。
所以说，伯努利方程可真是个神奇又实用的宝贝！它的应用实例无处不在，实实在在地改变了我们的生活，让我们享受到了科技带来的种种便利和惊喜。
伯努利方程三种公式1.伯努利定理伯努利定理是伯努利方程最基本的形式，适用于无粘度、不可压缩、可压缩的流体在稳定流动过程中的情况。
该定理的数学表达式如下：P + 0.5ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体在其中一位置的压强，ρ为流体的密度，v为流体的流速，g为重力加速度，h为流体所在位置的高度。
这个定理表明，在稳态流动的过程中，当流速增加时，压强降低；当流速减小时，压强增加。
伯努利定理的应用广泛，例如可以解释飞机升力产生的原理。
2.精细伯努利定理精细伯努利定理是伯努利方程的一种推广形式，适用于粘性流体（包括有粘度、可压缩和不可压缩的流体）。
该定理是通过对流体在一段流动管道中的微元进行能量平衡而推导得出的。
精细伯努利定理的数学表达式如下：P + 0.5ρv² + ρgh + hδP = 常数其中，δP是流体受到粘度效应产生的附加压强。
精细伯努利定理中的附加压强项考虑了粘性对流体流动的影响，使得该定理适用于更广泛的应用情况。
例如在液体流经狭窄或弯曲管道时，会出现流速变化和附加压强的影响。
3.伯努利方程的动能定理形式P₁ + 0.5ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 0.5ρv₂² + ρgh₂ + W其中，P₁和P₂分别表示流体在起始位置和结束位置的压强，v₁和v₂分别表示流体在起始位置和结束位置的流速，h₁和h₂分别表示起始位置和结束位置的高度，W表示单位时间内除了涡旋引起的机械功之外的其他功。
该定理表明，除了涡旋的机械功之外，流体在一段路径上的压强和动能之和是一个常数。
该定理的应用范围较狭窄，一般适用于非稳态的流动情况。
以上就是伯努利方程的三种不同形式的公式。
它们在流体力学的研究和应用中具有重要的作用，可以帮助分析和解释流体运动的规律，并应用于相关领域的问题求解。
伯努利定律實驗(Bernoulli ’s Law Experiment)胡裕民 編寫 一. 實驗目的：1. 驗證在風洞(wind tunnel)中的總壓力P tot 為定值。
2. 驗證伯努利定律(Bernoulli ’s Law)。
3. 固定氣流速率下量測F W 、F a 與α的函數關係。
二. 原理介紹：1738年瑞士物理學家Daniel Bernoulli (1700-1782)在所發表的“Hydrodynamic ”一書中首次提出伯努利方程式—說明流體(fluid)的速度、壓力以及高度之間的關係。
此伯努利方程式的提出被視為往後氣體動力學研究的開端。
一理想的流體在流線型的流動(laminar flow)中，會滿足下列的伯努利方程式：t tan cons gy v 21P 2st =++ρρ (1)其中P st 、ρ、v 、y 分別為流體的靜態(static)壓力、密度、速度以及高度。
在大約相同高度下，eq.1可簡化表示為：t tan cons P v 21P tot 2st ≈=+ρ (2)此說明在一樣高度下，總壓力P tot 無論在何處均相同。
在本實驗中，風洞沿著氣體流動方向的截面積(cross-section area)逐漸地減少。
氣體流動時由於不可壓縮性(incompressibility)，因此不同截面積處的流動速率將不同，此可由連續方程式(equation of continuity)來表示：A v A v 0⋅=⋅ (3)將eq.3代入eq.2可得：00A v 2A P ⋅⋅=⋅∆ρ (4)其中ΔP = P tot -P st ，ΔP 稱之為動態壓力(ΔP = P tot -P st )。
本實驗第一部分是利用風洞裝置來量測不同位置(亦即有不同的截面積)處的壓力，驗證在一樣高度下，總壓力P tot 無論在何處均相同；並驗證在eq.(4)中A P ⋅∆為一常數，亦即驗證伯努利定律(Bernoulli ’s Law)。
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