江苏专用2018版高考数学专题复习专题7不等式第45练基本不等式练习理

2018年高考数学讲练测【江苏版】【讲】第七章 不等式第04节 基本不等式及其应用【考纲解读】理解：【直击考点】题组一 常识题1．函数y ＝x ＋4x(x ＞0)的最小值为________．【解析】∵x ＞0，∴y ＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，故函数y ＝x ＋4x (x ＞0)的最小值为4.2．一段长为40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________．【解析】设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝40，即x ＋y ＝20，∴ 矩形的面积S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝100，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大的面积是100 m 2.3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.【解析】设两直角边长分别为a m ，b m ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，即ab ＝4，∴ l＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m.4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为______元．【解析】设水池的总造价为y 元，池底长为x m ，则宽为4x m ，由题意可得y ＝4×120＋2⎝⎛⎭⎫2x ＋8x ×80＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320×2x ·4x ＝480＋320×24＝1760，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，y min＝1760.故当池底长为2 m 时，这个水池的造价最低，最低造价为1760元． 题组二 常错题5．若x ＞－1，则x ＋4x ＋1的最小值为________．【解析】x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥4－1＝3，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立．6．已知0<x <1，则y ＝lg x ＋4lg x的最大值是________． 【解析】∵0<x <1，∴lg x <0，则－lg x >0. ∴－y ＝－lg x ＋4－lg x≥2（－lg x ）×4－lg x＝4，当且仅当－lg x ＝4－lg x ，即x ＝1100时，等号成立，∴y max ＝－4.7. 函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2的最小值为 _________________________.【解析】当sin x ＝4sin x 时，sin x ＝±2，显然等号取不到，事实上，设t ＝sin x ，则t ∈(0，1]，y ＝t ＋4t 在(0，1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取最小值5. 题组三 常考题8． 设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是__________．【解析】将方程组中的第一个方程化为y ＝1－ax ，代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－b ，由方程组无解得1－ab ＝0且1－b ≠0，所以ab ＝1且b ≠1.由基本不等式得a ＋b >2ab ＝2，故a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．9．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于________．【解析】依题意有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·1a ＋1b ＝1＋a b ＋ba＋1≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a＝b ＝2时等号成立．10．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．【知识清单】考点1利用基本不等式证明不等式如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）如果0a >，0b >,则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.考点2 利用基本不等式求最值常见结论：1、 如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、 如果0a >，0b >,则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)2a b a b a b+≤≤>>+ 考点3 基本不等式的实际应用利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行之有效的工具，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件.【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【答案】∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴2bc ac c a b +≥=，2ac ab a b c +≥=，2bc ab b a c +≥=. ∴bc ca aba b c a b c++≥++.【1-2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc ca aba b c a b c++≥++. 【1-3】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a +.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a=b=2时等号成立． 【思想方法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【温馨提醒】1. 在运用ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号. 3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．考点2 利用基本不等式求最值【2-1】若log 2x ＋1og 2y ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 【答案】4【解析】因为log 2x ＋log 2y ＝1，即log 2xy ＝1，所以xy ＝2且x ＞0，y ＞0，于是x ＋2y ≥2x ·2y ＝4，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时取等号，所以x ＋2y 的最小值为4. 【2-2】设01x <<，函数411y x x=+-的最小值为 ． 【答案】 9【2-3】已知0,0,lg2lg8lg2xyx y >>+=，则113x y+的最小值是 ． 【答案】4【解析】由lg 2lg8lg 2x y +=，得()lg 28lg 2x y⋅=，即322x y+=，亦即31x y +=,且0,0x y >>，从而()1111332333y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭24≥+，当且仅当33y x x y =，又31x y +=，即12x =，16y =时，113x y+取得最小值4，注意乘“1”法技巧的使用. 【2-4】若a>0，b>0，且a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为 ． 【答案】2【解析】由2＝a 0<ab≤1，令t ＝ab ，t ∈(0,1]，则y ＝t ＋1t在(0,1]上为减函数，故当t ＝1时，y min ＝2，故选A.【2-5】设x>0，y>0，且x ＋4y ＝40，则lgx ＋lgy 的最大值是 ． 【答案】2【思想方法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋a x(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【温馨提醒】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.考点3 基本不等式的实际应用【3-1】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）. 【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为x , 4x . 则该容器的最低总造价是808020160y x x=++≥.当且仅当2x =的时区到最小值.【3-2】如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M -P AB ，三棱锥M -PBC ，三棱锥M -PCA 的体积．若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，且1x ＋ay≥8恒成立，则正实数a 的最小值为________．【答案】1【3-3】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为 ．【答案】4【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以EB =，AE y =．AB EB AE =+y ≥，即≤4，所以4xy ≤，所以绿地面积最大值为4．【3-4】某汽车运输公司，购买了一批豪华大巴投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y （万元）与营运年数)(*N x x ∈满足25122-+-=x x y ，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大？ 【答案】5年【解析】年平均利润为2122525()12122,x x f x x x N x x *-+-==--+≤-=∈, 当x=5时，f(x)取得最大值，最大值为2万元．【思想方法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案.【温馨提醒】对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题．【易错试题常警惕】忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.【答案】(1)3＋22(2)1＋2 6【解析】(1)∵x>0，y>0，温馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．。

第45课一元二次不等式A 应知应会1。

（2015·广东卷)不等式—x2—3x+4>0的解集为.(用区间表示）2。

不等式<0的解集为。

3。

(2015·汕头期末)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+2〉0的解集为｛x|-1<x<2｝，那么实数a+b= .4。

若关于x的不等式x2+ax+4〈0的解集不是空集,则实数a的取值范围是。

5。

已知p：实数x满足（x—4a)（x-a）<0，其中a〉0；q:实数x满足x2-4x+3≤0。

（1) 若a=1,且“p∧q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.6.求关于x的不等式12x2—ax〉a2(a∈R)的解集。

B 巩固提升1。

(2016·苏北四市摸底）已知函数f（x)=-x2+2x，那么不等式f （log2x)〈f(2)的解集为.2。

若不等式x2+ax>4x+a-3对于任意a∈[0，4］恒成立,则x的取值范围是.3。

（2016·南京一中）已知函数f(x）=x2+mx-1，若对于任意x∈［m,m+1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是.4.(2016·淮阴中学）定义运算a⊕b=那么关于非零实数x的不等式⊕4≥8的解集为.5.已知函数f（x)=（a，b为常数），且方程f(x)-x+12=0的两个实数根分别为x1=3，x2=4.(1）求函数f(x）的解析式；(2）若k〉1，解关于x的不等式f(x)<.6.（2015·大同期末)已知关于x的不等式ax2+（a—2)·x—2≥0，a∈R。

（1）若不等式的解集为(-∞，—1]∪［2，+∞）,求实数a的值；（2) 若不等式ax2+(a-2）x—2≥2x2—3对任意x∈R恒成立,求实数a 的取值范围；(3) 解关于x的不等式ax2+（a-2）x—2≥0.第45课一元二次不等式A 应知应会1。

1．(2016·镇江模拟)设A ＝12a ＋12b ，B ＝1a ＋b (a ＞0，b ＞0)，则A ，B 的大小关系是________．2．(2017·河南六市第一次联考)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是________．(填序号)①a 2＜b 2；②ab ＜b 2；③a ＋b ＜0；④|a |＋|b |＞|a ＋b |.3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能使log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________．4．(2016·济南模拟)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是________．(填序号)①1x 2＋1＞1y 2＋1； ②ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)； ③sin x ＞sin y ；④x 3＞y 3.5．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞bc －b ；⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0.其中真命题是________．(填序号)6．(2016·北京西城区模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ∨b ＝⎩⎨⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则下列结论正确的是________．①a ∧b ≥2，c ∧d ≤2; ②a ∧b ≥2，c ∨d ≥2；③a ∨b ≥2，c ∧d ≤2; ④a ∨b ≥2，c ∨d ≥2.7．若存在x 使不等式x －m e x ＞x 成立，则实数m 的取值范围为____________．8．设a ＞0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是________．9．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )＜log a (1＋1a )；②log a (1＋a )＞log a (1＋1a )；③a 1＋a＜a 1＋1a ；④a 1＋a ＞a 1＋1a . 其中成立的是________．10．(2016·苏州模拟)设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“＞”连接)11．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 12．(2017·辽宁五校联考)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则b a 的取值范围是________．13．(2016·长沙模拟)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n ＞2时，c n 与a n ＋b n 的大小关系为______________．(用“＞”连接)14．已知－12＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“＞”连接)答案精析1．A ＞B 2.④ 3.② 4.④5．②③④⑤解析 ①中，c 的符号不确定，故ac 与bc 的大小关系也不能确定，故为假． ②中，由ac 2＞bc 2知c ≠0，∴c 2＞0，则a ＞b ，故为真．③中，由⎩⎨⎧ a ＜b ，b ＜0可得ab ＞b 2，由⎩⎨⎧ a ＜b ，a ＜0可得a 2＞ab ，∴a 2＞ab ＞b 2，故为真．④中，由a ＞b 得－a ＜－b ，∴c －a ＜c －b ，又c ＞a ，∴0＜c －a ＜c －b ，∴1c －a ＞1c －b ＞0.又a ＞b ＞0，∴ac －a ＞bc －b ，故为真．⑤中，由a ＞b 得a －b ＞0，由1a ＞1b 得b －a ab ＞0，又b －a ＜0，∴ab ＜0，而a ＞b ，∴a ＞0，b ＜0，故为真．6．③解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b ＜2，则a ＜2，∴ab ＜4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c ＞2，则d ＞2，∴c ＋d ＞4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故③正确．7．(－∞，0)解析 由x －me x ＞x ，得－m ＞e x ×x －x (x ＞0)，令f (x )＝e x ×x －x (x ＞0)，则－m ＞f (x )min ，f ′(x )＝e x ×x ＋e x ×12x －1≥2×e x －1＞0(x ＞0)，所以f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，－m ＞0，m ＜0.8．P ＞Q解析 由题意可知a ＞1.∴(a 3－1)－(a 2－1)＝a 2(a －1)＞0，∴a 3－1＞a 2－1，∴log a (a 3－1)＞log a (a 2－1)，即P ＞Q .9．②④解析 因为0＜a ＜1，所以(1＋a )－(1＋1a )＝(a ＋1)(a －1)a ＜0，则1＋a ＜1＋1a ，可知②④成立．10．z ＞y ＞x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )＞0，∴y ＞x .同理，z ＞y ，∴z ＞y ＞x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20， z ＝26，故z ＞y ＞x .11．27解析 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81.又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27. ∴x 3y 4的最大值是27.12．23，32]解析 两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b a ＋c a ≤2， ①b a ≤1＋c a ≤2·b a ，②将②乘(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b a ＋c a ≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－b a ，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.13．c n ＞a n ＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ＞0，b n ＞0，c n ＞0.而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0＜a c ＜1,0＜b c ＜1.∵n ∈N ，n ＞2，∴(a c )n ＜(a c )2，(b c )n ＜(b c )2.∴a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c )n ＜a 2＋b 2c 2＝1.∴a n ＋b n ＜c n .14．C ＞A ＞B ＞D解析 由已知得－12＜a ＜0，不妨取a ＝－14，这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45.由此猜测：C ＞A ＞B ＞D .∵C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a .又∵1＋a ＞0，－a ＞0，(a ＋12)2＋34＞0，∴C ＞A .∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2＞0，∴A ＞B .∵B－D＝1－a2－11－a＝a(a2－a－1)1－a＝a[(a－12)2－54]1－a.又∵－12＜a＜0，∴1－a＞0.又∵(a－12)2－54＜(－12－12)2－54＜0，∴B＞D.综上所述，C＞A＞B＞D.。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题7 不等式 第42练 不等式的概念与性质练习 文训练目标 (1)了解不等式概念及应用方法；(2)掌握不等式的性质，提高综合应用能力． 训练题型(1)利用比较法判断不等关系；(2)运用不等式的性质判断不等关系；(3)将不等式概念及性质与函数知识结合判断不等关系．解题策略(1)作差比较；(2)作商比较；(3)利用不等式的性质化简变形，合理放大或缩小；(4)借助基本函数单调性比较大小.1．(2016·镇江模拟)设A ＝2a ＋2b ，B ＝a ＋b(a ＞0，b ＞0)，则A ，B 的大小关系是________． 2．(2017·河南六市第一次联考)若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是________．(填序号)①a 2＜b 2；②ab ＜b 2；③a ＋b ＜0；④|a |＋|b |＞|a ＋b |.3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能使log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________．4．(2016·济南模拟)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是________．(填序号) ①1x 2＋1＞1y 2＋1； ②ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)； ③sin x ＞sin y ； ④x 3＞y 3.5．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞bx这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．6．(2016·北京西城区模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则下列结论正确的是________．①a ∧b ≥2，c ∧d ≤2; ②a ∧b ≥2，c ∨d ≥2； ③a ∨b ≥2，c ∧d ≤2; ④a ∨b ≥2，c ∨d ≥2.7．(2016·常州模拟)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是______________．8．设a ＞0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是________． 9．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式： ①log a (1＋a )＜log a (1＋1a )；②log a (1＋a )＞log a (1＋1a)； ③a 1＋a＜a 1＋1a ；④a1＋a＞a 1＋1a.其中成立的是________．10．(2016·苏州模拟)设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋b ＋c2，y ＝b 2＋c ＋a2，z ＝c 2＋a ＋b2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“＞”连接)11．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．12．(2017·辽宁五校联考)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则ba的取值范围是________．13．(2016·南京模拟)如图所示的两种广告牌中，图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为______________．14．已知－12＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a ，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“＞”连接)答案精析1．A ＞B 2.④ 3.② 4.④ 5．②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③不成立．∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝bx，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立． 6．③解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b ＜2，则a ＜2，∴ab ＜4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c ＞2，则d ＞2，∴c ＋d ＞4，与c ＋d ≤4矛盾， ∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故③正确． 7．c ≥b ＞a解析 ∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2， ∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34＞0.∴b ＞a ，∴c ≥b ＞a . 8．P ＞Q解析 由题意可知a ＞1.∴(a 3－1)－(a 2－1)＝a 2(a －1)＞0， ∴a 3－1＞a 2－1，∴log a (a 3－1)＞log a (a 2－1)，即P ＞Q . 9．②④解析 因为0＜a ＜1，所以(1＋a )－(1＋1a)＝a ＋1a －1a＜0，则1＋a ＜1＋1a，可知②④成立． 10．z ＞y ＞x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )＞0，∴y ＞x . 同理，z ＞y ，∴z ＞y ＞x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z ＞y ＞x .11．27解析 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y2≤81.又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27.∴x 3y4的最大值是27. 12．[23，32]解析 两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2， ①b a ≤1＋c a ≤2·b a ， ②将②乘(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca ≤2，－2·ba ≤－1－c a ≤－ba，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.(a 2＋b 2)＞ab解析 (1)中S 1＝12a 2＋12b 2＝12(a 2＋b 2)，(2)中S 2＝ab ，应有S 1＞S 2，即12(a 2＋b 2)＞ab .14．C ＞A ＞B ＞D解析 由已知得－12＜a ＜0，不妨取a ＝－14，这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45.由此猜测：C ＞A ＞B ＞D . ∵C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a [a ＋122＋34]1＋a.又∵1＋a ＞0，－a ＞0，(a ＋12)2＋34＞0，∴C ＞A .∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2＞0，∴A ＞B . ∵B －D ＝1－a 2－11－a＝aa 2－a －11－a＝a [a －122－54]1－a.又∵－12＜a ＜0，∴1－a ＞0.又∵(a －12)2－54＜(－12－12)2－54＜0，∴B ＞D .综上所述，C ＞A ＞B ＞D .。