奥数因数和倍数第一课

因数倍数一、要点提示整数a除以整数b（b≠0），所除得的商正好是整数，而没有余数，我们就说a能够被b整除，或者说b能整除a，而a叫做b的倍数，b叫做a的因数。

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小的公倍数。

公因数和公倍数，特别是最大公因数和最小公倍数，不同于一般题目的解法，学习并掌握其规律和解法，有助于我们开阔眼界，在思考问题是更机智、灵活。

需要用公因数、公倍数来解答的应用题叫做公因数。

公倍数问题。

解题思路和方法：先确定题目中要用最大公因数或者最小公倍数，再求出答案。

最大公因数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。

二、题型点击1、一个四位数的每个数位上的数字都不相同，它既能被9整除又能被7整除，这样的四位数最大是多少？2、在1的内一次填上哪些数，可以使这个数成为能被2,3,5整除的最小四位数？3、有72名学生，共交课间餐费a527b元，每人交了多少元？4、在568后面补上三个数字组成一个六位数，使它分别能被3,4,5整除，且使这个数值尽可能小。

求这个六位数？5、现在有四个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的最大公因数尽可能大，那么这四个数的最大公因数最大可能是多少？6、在1,2,3，…，1998这1998个数中，既不能被8整除，又不能被12整除的数共有（）个。

7、一个六位数，首位数是1，把首位数移到末位，使新的六位数是原数的3倍，则原数是（）。

8、一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数是11的倍数，这样的六位数中的最小数是（）。

9、把1,2,3，…，10个自然数围成一个圆（如图），使得任意相邻的两个数的和都是小于15的素数。

这个10个数依次是1,2，__，__，__，__，__，__，__，10。

10、倩倩到商店买了6块橡皮，5支铅笔，3本练习本和7支圆珠笔，已知每支铅笔1角8分，每支圆珠笔4角5分，倩倩给售货员10元，售货员找给倩倩5.1元。

因数与倍数（一）【课前小练习】(★)1. 学习短除法和因数式.3. 公因数、公倍数的实际应用1.2.写出12的所有因数，并列举几个12的倍数.写出18的所有因数，并列举几个18的倍数.1. 公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数.2. 公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 方法：枚举法、短除法、分解质因数板块一:短除法和分解质因数法【例1】(★★☆)求下列每组的最大公因数和最小公倍数.板块二:借助最大公因数未知数⑴28, 35 ⑵108, 360 ⑶66, 165 ⑷588, 924 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 结论：A×B＝最大公因数×最小公倍数【例】★★★求下列每组的最大公因数和最小公倍数.⑴, , ⑵, , ⑶, , 【例3】(★★)一个数和16的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？1【例4】(★★★☆) 【例5】(★★★☆)两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？三个不同的自然数的和是3030，它们的最大公因数最大可能是多少？【拓展】(★★★★)由1、3、5这三个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最大公因数. 美国的17年蝉是目前已知的生命期最长的昆虫，它的生活习性很特别，在它生命的前十七年，都是埋在地底的幼虫型态，十七年一到，就钻出土壤，羽化成成虫然后交配、产卵，接下来就死亡了。

你知道为什么是17年吗？板块三:公因数、公倍数的应用【例6】(★★★)1 1 1学校组织一次数学考试，其中三班的学生有得优，得良，得中，2 3 7其余的得差，已知三班的学生不满50人，那么得差的学生有_____人.知识大总结. 、.2. 枚举法，短除法，分解质因数法A＝ax、B＝bx，其中a、b互质4. 应用：【例7】(★★★)将92个苹果和138个梨平均分给一班的小朋友，要求每人分到的水果相同，且无剩余. 那么一班最多有多少个小朋友？每个小朋友分到几个苹果几个梨？公因数---除数；公倍数---被除数【今日讲题】例2，例4，例5，例6【讲题心得】__________________________________________________________________. 【家长评价】________________________________________________________________. 2。

第二周因数和倍数（一）1.因数和倍数（一）[题型概述]大家都知道，求一个数的因数可以采用列举的方法，通过找因数，我们还能解决一些有趣的问题。

今天，我们学习与因数有关的知识。

[典型例题]求80和144的因数各有多少个?思路点拨我们不妨从1开始，慢慢地进行列举。

80=1×80=2×40=4×20=5×16=8×10。

因此，80的因数有2×5=10个。

同样道理，144=1×144=2×72=3×48=4×36=6×24=8×18=9×16=12×12。

最后的“12×12”只能算144有12这个因数。

所以，144的因数有2×7+1=15个。

同学们需要注意：80的因数有双数个；144是完全平方数，它的因数有单数个。

所以，完全平方数的因数有单数个，其他数的因数都有双数个，这个结论非常重要。

[举一反三]1.求60和90的因数各有多少个？2.求196的因数有多少个？3.甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数。

[拓展提高]一个数是5个2、3个3、2个5、1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数的因数中，最大的是几？思路点拨根据题意，这个数为5322357⨯⨯⨯。

在从大到小的两位数中，由于22⨯⨯，所以，它们都不是这个数的因数，97也不是。

99=311,98=275⨯，因此，96是这个数的因数，并且没有比96更大的两位数的因数96=23了。

所以，这些两位数的因数中最大的是96。

[奥赛训练]4.把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。

5.和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元；竹荚鱼，每条170日元；沙丁鱼，每条78日元；秋刀鱼，每条104日元。

每种鱼都多于1条，正好花了3600日元。

第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。

例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。

如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。

例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。

2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。

例如：15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。

最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。

3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。

例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。

②个位上是0或5的数，是5的倍数。

③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。

奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。

第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。

例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。

如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。

例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。

2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找 （2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。

例如： 15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。

最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。

3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。

例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。

②个位上是0或5的数，是5的倍数。

③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。

奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。

1. 六年级奥数约数与倍数〈一〉学生版2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识, 例如：〈1〉约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； 〈2〉整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一”一、 约数、公约数与最大公约数概念〈1〉约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数；〈2〉公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”； 〈3〉最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；〈4〉0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法⒈分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以(231,252)3721=⨯=；⒉短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632,所以(12,18)236=⨯=；3.辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．〈如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的〉．例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15．2． 最大公约数的性质⒈几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；⒉几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；3.几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以知识点拨教学目标5-4-1.约数与倍数（一）n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系〈1〉约数是对一个数说的；〈2〉公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数〈1〉倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数〈2〉公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数〈3〉最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。

第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。

用符号“b| a”表示。

2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。

练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：__________________； 7的因数：__________________；2的因数：__________________； 8的因数：__________________；3的因数：__________________； 9的因数：__________________；4的因数：__________________； 10的因数：__________________；5的因数：__________________； 11的因数：__________________；6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。

如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。

根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。

（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。

（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

（３）0和１既不是质数，也不是合数。

、请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。

五年级奥数 第一讲：因数与倍数知识点拨1、 因数和倍数 ：如果a >b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。

例如6 >2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。

如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。

例如 10能被 5整除，那么 10 就是 5的倍数， 5就是 10的因数。

2、 一个数的因数的求法： ( 1 )列乘法算式找(2)列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是 1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。

例如： 15 的因数有哪些？ 方法一： 1215=15， 325=15(一般从自然数 1开始，一对一对的找) 方法二：15+1=15,15七=5 (计算时从除数1开始找，直到重复为止) 所以 15的因数就是 1, 3, 5, 15。

最大的因数就是 15，也就是它本身！最小的是 1。

3、 一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。

例如： 3的倍数 36 9 1215 .... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征： 最小的倍数是本身，没有最大的倍数如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。

4、 2、5、3的倍数的特征 ：① 个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2的倍数。

② 个位上是 0或5的数，是 5的倍数。

③ 一个数各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。

5、 常见数字的整除判定方法： ( 1) 2：个位是偶数的自然数(2) 5：个位是 0或5的自然数 注：若一个数同时是 2 和 5 的倍数，则此数的个位一定为 0 ( 3) 4、 25：末两位能被 4、25 整除 (4) 8、125：末三位能被 8、125整除 (5)3、9：各个数位上的数之和能被 3、9 整除(6) 7、11、13通用性质：① 一个数如果是 1001 的倍数，即能被 7、11、13整除.如201201=20121001，则其必能被 7、 ② 从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是 7、11、13的倍数，则其为 ③ 末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为 7、11、13的倍数，则其为(7) 11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除 (8) 99：两位一段(从右往左) ，各段的和能被 99 整除 (9) 999：三位一段(从右往左) ，各段的和能被 999 整除6、 在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数( 0也是偶数)，不是 2的倍数的数叫做奇数。

因数和倍数例 1 360的因数有多少个？360的全部因数的和是多少？【针对性训练】144有多少个因数？这些因数的和是多少？【试金石】例 2 求21672与11352的最大公因数和最小公倍数。

【针对性训练】求568与1065的最大公因数和最小公倍数。

【试金石】例 3 A、B两数都只含有质因数3和 5，它们的最大公因数是75，已知数A有12个因数，数B有10个因数，那么A、B两数的最小公倍数是多少？【针对性训练】A、B两数都只含有质因数2和 7，它们的最大公因数是14，已知数A有6个因数，数B有6个因数，那么A、B两数的最小公倍数是多少？【试金石】例 4甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【针对性训练】甲数和乙数的最大公因数是4，最小公倍数是252.如果甲数是28,那么乙数是多少？【试金石】例 5今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【针对性训练】一块长方形地长90米，宽48米，要在它的四周种树，四角都种，相邻的两棵树之间的距离相等，最少要种几棵树？相邻两棵树之间的距离是多少米？【试金石】例 6.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公因数最大能是多少?【针对性训练】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，这两个数是多少？【智能提速训练营】1.24有多少个因数，这些因数的和是多少？2. 一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积.这个数有许多因数是两位数,那么在这些两位数的因数中,最大的是多少?3.在101与300之间，只有3个因数的自然数有几个？把它们写出来。

4.330与210的最小公倍数是最大公因数的多少倍？5. 两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，且大数不是小数的倍数，这两个数是多少？6.把长90厘米、宽42厘米的长方形纸板剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形纸片，恰好没有剩余，则至少可以剪成多少块？7.一盒福娃玩具，可以平均分给2、3、4、5、6个小朋友，这盒玩具最少有多少个？8.有320个苹果、240个橘子、200个梨，用这些果品最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、梨各有多少个？9.一篮鸡蛋，两个两个地数多两个，三个三个地数多两个，四个四个地数还多两个，五个五个地数仍是多两个，这篮鸡蛋至少有多少个？10.甲、乙、丙三人沿环形跑道跑步。

小学奥数因数与倍数小学奥数是指小学生参与的数学竞赛活动，它旨在培养学生的数学思维与解题能力。

在小学奥数的学习中，因数与倍数是一个重要的概念，它们不仅贯穿于数学的各个领域，而且在日常生活中也有广泛的应用。

本文将介绍因数与倍数的概念、性质以及解题方法，帮助小学生更好地掌握这一知识点。

一、因数的概念与性质1.1 因数的定义对于一个数a，如果能整除a的数b，那么b就是a的因数。

例如，4的因数包括1、2和4，因为1、2和4能够整除4。

1.2 因数的性质（1）每个数都有1作为因数，且数本身也是它自己的因数，这两个因数称为它的自身因数。

（2）对于任意的正整数a，a的因数都不会超过a的一半。

（3）任意的正整数都有无限个因数。

二、倍数的概念与性质2.1 倍数的定义对于一个数a，如果a能够被另一个数b整除，那么a就是b的倍数。

例如，8是4的倍数，因为8能够被4整除。

2.2 倍数的性质（1）零是任意数的倍数。

（2）一个数的倍数可以是正数、负数或零。

（3）一个数的倍数与这个数成正比例关系，即如果一个数是另一个数的倍数，那么这两个数成正比例关系。

三、因数与倍数之间的关系3.1 最大公因数与最小公倍数（1）最大公因数：对于两个或多个数，它们共有的因数中最大的一个因数称为这些数的最大公因数。

例如，12和18的最大公因数是6。

（2）最小公倍数：对于两个或多个数，能够被它们共有的倍数整除的最小的一个数称为这些数的最小公倍数。

例如，6和9的最小公倍数是18。

3.2 因数与倍数的性质（1）对于任意的正整数a和b，如果a是b的因数，那么a也是b的倍数。

（2）对于任意的正整数a和b，如果a是b的倍数，那么b也是a的因数。

四、因数与倍数的解题方法4.1 因数的解题方法（1）列举法：对于一个数，列举出所有能够整除它的数即为它的因数。

（2）分解法：将一个数分解为若干个能够整除它的较小的数，这些较小的数即为它的因数。

4.2 倍数的解题方法（1）倍数的计算：对于两个数a和b，如果a是b的n倍，那么可以通过将a乘以n来计算出b的值。

因数与倍数初步
主讲：五豆
听课小贴士
1、上课做笔记，下课要复习
2、暂停、回播
因数个数最大公
因数
最小公
倍数
因数个数
因数个数
【例题】数360的因数有多少个？其中奇数有多少个？
指数加1
再连乘
因数个数
【例题】求在1到100中，恰好有10个因数的所有自然数.
因数个数
【例题】数160的因数个数是多少？它们的和是多少？它们的积呢？
从高到低
先加后乘
方法汇总
1、因数个数→指数加1连乘
2、所有因数的和→从高到低先加后乘
3、所有因数的积偶数个因数
奇数个因数（完全平方数）
最大公因数
最大公因数
【例题】用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
短除法
最大公因数
【例题】求7191和38211的最大公因数。

辗转相除法
最小公倍数
最小公倍数
【例题】计算：[18,24,36]
分解质因数法
【例题】一次考试，参加的学生中有1
7得优，1
4
得良，1
3
得中，其余的得
差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有多少人？最小公倍数
方法总结
求最大公因数求最小公倍数短除法→乘半边
分解质因数法→含有公共质因数指数低的辗转相除法→大数除小数，小数除余数短除法→乘半圈
分解质因数法→含有所有质因数指数高的。