上海交大附中2019—2020 学年度第二学期高一第二学期期末考试试题

上海交通大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试语文试卷（满分150分，150分钟完成。

答案请写在答题纸上。

）一、积累运用（10分）1. 按要求填空。

（1）浴乎沂，______，咏而归。

（《子路、曾皙、冉有、公西华侍坐》）（2）《阿房宫赋》中，作者指出秦王朝如果爱惜六国百姓，就能世代为君、安享天下的句子是“______，______”。

（3）苏洵在《六国论》中借助“______，______”，敏锐地指出了对抗秦国的办法，此举会让对方寝食难安。

2. 按要求选择。

（1）有评论家指出：《红楼梦》的含蓄风格，反映在书中可以说是无所不在的。

以下不能表现其含蓄风格的一项是（）A. 满纸荒唐言，一把辛酸泪。

都云作者痴，谁解其中味！B. 《红楼梦》原来的书名为《石头记》。

C. 贾宝玉、甄士隐、四春姐妹等人名皆有隐喻。

D. 湘云喝醉酒后，沉酣于芍药花丛中。

（2）下列说法正确的一项是（）A. 曹禺认为：写戏主要是要发现社会矛盾，反映社会问题。

B. 《谏太宗十思疏》《答司马谏议书》都是优秀的论辩文，前者峻切坚定，后者循循善劝。

C. 《阿房宫赋》《六国论》均为借古鉴今、针砭时弊的名篇。

D. 只有多采用铺陈、夸张的写作手法，才能达到理足气盛的表达效果。

二、阅读（70分）（一）（15分）阅读下文，完成小题。

①我写了许多信，还没有郑重其事地谈到人生问题，这是一则因为这个问题实在谈滥了，一则也因为我看这个问题并不如一般人看得那样重要。

在这最后一封信里我之所以提出这个滥题来讨论，并不是要说出什么一番大道理，不过把我自己平时几种对于人生的态度随便拿来做一次谈料。

②我有两种看待人生的方法。

在第一种方法里，我把我自己摆在前台，和世界一切人和物在一块玩把戏：在第二种方法里，我把我自己摆在后台，袖手看旁人在那儿装腔作势。

③站在前台时，我把我自己看得和旁人一样，不但和旁人一样，并且和鸟兽虫鱼诸物也都一样。

人类比其他物类痛苦，就因为人类把自己看得比其他物类重要。

交大附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 已知a 、b 为常数，若24lim 123n an bn n →∞++=+，则a b += 2. 已知数列4293n a n=-，若对任意正整数n 都有n k a a ≤，则正整数k = 3. 已知4cos()5πα-=，且α为第三象限角，则tan α的值等于 4. 将无限循环小数0.145化为分数，则所得最简分数为5. 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =+-，4bc =， 则△ABC 的面积为6. 已知数列{}n a 满足：3122123n n a a a a n+++⋅⋅⋅+=（n *∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ， 则5S =7. 三角方程sin2cos x x =在[0,]π内的解集合为8. 将正整数按下图方式排列，2019出现在第i 行第j 列，则i j += 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅9. 已知()sin(2)3f x x π=+，若对任意x ∈R ，均有()()()f a f x f b ≤≤，则||a b -的最小值为10. 已知数列{}n a 满足11(3)(2)0n n n n a a a a ++--⋅-=，若13a =，则4a 的所有可能值的和为11. 如图△ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，M 为 AB 边上的动点，MD AC ⊥，D 为垂足，则MD MC +的最小值为12. 设01a <<，数列{}n a 满足1a a =，1n a n a a +=，将{}n a 的前100项从大到小排列的得到数列{}n b ，若k k a b =，则k 的值为二. 选择题13. 设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“lim 0n n a →∞=”是“lim 0n n S →∞=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列n b n *∈N ）也是等比数 列，若数列{}n a 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ） A. 12n n a a a b n ⋅⋅⋅⋅⋅=是等差数列 B. 12n n a a a b n++⋅⋅⋅+=是等差数列C. n b =D. n b = 15. 下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ） A. 22tan21tan 2xy x =- B. 1cot y x = C. sin 21cos2x y x =+ D. 1cos2sin 2x y x -= 16. 设1cos 10n n a n π=，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，在1220,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数是（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20三. 解答题17. 已知{}n a 为等差数列，且138a a +=，2412a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值.18. 已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=.（1）若{}n a 为等差数列，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 单调递增，求1a 的取值范围.19.函数2()6cos )32xf x x ωω=-（0ω>）在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且为△ABC 正三角形.（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若0()f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.20. 如图是某神奇“黄金数学草”的生长图，第1阶段生长为竖直向上为1米的枝干，第2，且与旧枝成120°，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，，且与旧枝成120°，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，依次生长，直到永远.（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；（精确到0.01米）（2）求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米）（3）求“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米）21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n a 满足11a =，1n n n a a d +-=，n *∈N .（1）若3n n d =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若4cos()n d n π=+，求数列{}n S 的通项公式；（3）若{|,}{1,2}n D x x d n *==∈=N ，是否存在数列{}n d 使得1720a =，17195S =？若存在，写出{}n d 前16项的值，若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 22. 93.34 4. 8555.6. 1307. 5{}626πππ，，8. 1289.2π 10. 69 11. 32 12. 50二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）2n a n =；（2）6k =.18.（1）21n a n =-；（2）1(0,2)a ∈.19.（1）4πω=；（2）()[f x ∈-.20.（1）(3)1f = （2）761[1][1](13)f ⨯-+-= （3）lim ()n f n →∞=. 21.（1）312n -；（2）2232225322122n n n n k S n n n k ⎧-=⎪⎪=⎨⎪-+=-⎪⎩，*k ∈N ； （3）116~d d ：2，1，2，1，2，1211,,1⋅⋅⋅个。

上海交通大学附属中学2020学年度第二学期高一数学期终试卷（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共计36分）1、已知m >0时)1lg()10lg(10mm x +=，则x 的值为_____________； 2、设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1[)](1[11=+⋅+--b fa f，则b a +的值为__________；3、已知f (x )是定义域为｛x |x ∈R 且x ≠0｝的偶函数，在区间（0，+∞）上是增函数，若 f (1)< f (lg x ) ，则x 的取值范围是_______________；4、已知A 、B 为两个锐角，且1tan tan tan tan ++=⋅B A B A ，则cos （A +B ）的值是______；5、已知钝角α的终边经过点P （θ2sin ，θ4sin ），且21cos =θ，则α的值为____________； 6、电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数I=)20,0,0)(sin(πϕωϕω<<>>+⋅A t A 的图象如图所示，则当501=t 秒时，电流强度是 安； 7、将函数x x f y sin )(=的图象向右平移4π个单位后，再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=，则()f x 是_____； 8、函数)arccos(2x x y -=的值域为______； 9、曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则 | P 2P 4 | 等于______；10、△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边。

如果a 、b 、c 成等差数列，30B ∠=o，△ABC 的面积为23，那么b =______； 11、根据右边的框图，请写出所打印数列的全部项的 和_____；12、已知等比数列{a n }及等差数列{b n }，其中b 1=0，公差0≠d 。

2019-2020学年上海市交大附中高二（下）数学期末模拟试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.如图，在下列三棱柱中，若M、N、P分别为其所在棱的中点，则不能得出平面MNP的是A. B.C. D.2.已知四棱柱中，平面ABCD，且底面ABCD是正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.3.半径为2cm的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，则它的最高处距桌面A. 4cmB. 2cmC.D.4.设a，b是异面直线，下列命题正确的是A. 过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B. 过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C. 过a一定可以作一个平面与b垂直D. 过a一定可以作一个平面与b平行二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.证明点P在平面内的方法是________证明点P在直线l上的方法是________6.在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列四个命题：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则；其中真命题的序号为______ ．7.已知异面直线a与b所成的角，P为空间一点，则过P点与a和b所成角的直线有______条，过P点与a和b所成角的直线有______条，过P点与a和b所成角的直线有______条8.如图所示，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，E为AB的中点，F为的中点，则EF的长为______．9.在三棱锥ABCD中，，E，F分别是AB，CD的中点，，则异面直线AD与BC所成的角为______ ．10.在正方体中，与平面之间的关系是________．11.在正方体中，点P在线段上运动，则异面直线DP与所成的角最大是．12.如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．13.已知平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于则动点P的轨迹方程为______ ．14.已知在棱长为1的正方体中，点E是线段上的动点，点F是线段BC上的动点，则的最小值是______．15.在直三棱柱中，，，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为______ ．16.如图，在四面体中，，对棱AC与BD所成的角为，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为________．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.设，求证：；已知，，比较与的大小．18.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，Q是棱PC上异于P，C的一点．求证：；过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面点F在棱PB上，求证：．19.在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．20.如图，四边形ABCD为矩形，平面ABE，，F为CE上的点，且平面ACE．求证：；求三棱锥的体积；设M在线段AB上，且满足，试在线段CE上确定一点N，使得平面DAE．21.如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，，是以CD为底边的等腰三角形，且点F为PC的中点．求证：平面BFD；求二面角的余弦值；求三棱锥的体积．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法解决问题．【解答】解：在A，B中，可得，所以平面MNP；在D中，可得，所以平面MNP；故选C．2.答案：D解析：解：如图，连接，，则为异面直线与所成角，由已知可得：，．．异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．由已知画出图形，找出异面直线与所成角，再由余弦定理求解．本题考查异面直线所成角的求法，是基础的计算题．3.答案：D解析：【分析】本题考查圆锥的侧面积及圆锥的轴截面，先根据圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，利用轴截面等面积法求得底面圆心到母线的距离，再乘以2，即为最高处距桌面的距离．【解答】解：设圆的半径为R，，圆锥的底面半径为r，高为h，最高处距桌面距离为H，根据题意：，，故，，最高处距桌面距离：，故选D4.答案：D解析：【分析】本题考查了空间中的位置关系，根据线面、线线的位置关系逐项判断即可．【解答】解：A项错，若点P与a所确定的平面与b平行，就不能作一条直线与a，b相交；B项错，若平面都与a，b垂直，则与a，b是异面直线矛盾；C项错，假如这样的平面存在时，平面，则，当直线a与b不垂直时，平面不存在，所以C错误；D项正确，在a上任取一点A，过A点作直线，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是唯一的．故选D．5.答案：证明；证明，，解析：【分析】本题主要考查点与直线和平面的关系，属于基础题．【解答】解：证明点P在平面内的方法是证明，证明点P在直线l上的方法是证明，，，故答案为证明；证明，，．6.答案：解析：解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，若，，则，满足平行线公理，所以正确；中正方体从同一点出发的三条线，也错误；可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确；故答案为：．有平行线公理判断即可；中正方体从同一点出发的三条线进行判断；可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；由线面垂直的性质定理可得；与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形．本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．7.答案：2 1 4解析：解：平移a，b过P，如图，平面内，设a与b所成锐角的角分线为m，所成钝角的角分线为n，则m与a，b所成最小角为，n与a，b所成最小角为，过P点与a和b所成角的直线有1条；上下旋转m，可得与a和b所成角的直线有2条；分别上下旋转m，n，可得过P点与a和b所成角的直线有4条，故答案为：2，1，4．平移a，b过P，通过异面直线所成角的概念结合直线旋转得答案．本题考查异面直线所成角，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.答案：解析：【分析】利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出．熟练掌握向量模的计算公式和向量的数量积的定义是解题的关键．【解答】解：，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，E 为AB的中点，F为的中点，，，故答案为．9.答案：解析：【分析】本题考查的知识点是异面直线所成的角，属于基础题．设G为AC的中点，其中根据三角形中位线定理得到为异面直线AD、BC所成的角或其补角，是解答本题的关键．【解答】解：设G为AC的中点，连接EG，FG，则、F分别是AB、CD中点且且，为异面直线AD、BC所成的角或其补角，，即异面直线AD、BC所成的角为．故答案为：．10.答案：垂直解析：【分析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的运用．【解答】解：在正方体中，，，，平面．故答案为垂直．11.答案：解析：【分析】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．由，得为异面直线DP与所成角，由此能求出异面直线DP与所成角的最大值．【解答】解：如图，在正方体中，连接，DB，则，所以为异面直线DP与所成的角，易知当点P与点B重合时，最大，且最大为．12.答案：12解析：【分析】本题考查异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．结合正方体的结构特征，利用列举法能求出在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数．【解答】解：在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线有：，，CD，，BC，，，，，BD，，，共12条．故答案为：12．13.答案：或解析：【分析】本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．根据平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于1，可得当时，点P到F 的距离等于点P到直线的距离，所以动点P的轨迹为抛物线；当时，也满足题意．【解答】解：平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于1，当时，点P到F的距离等于点P到直线的距离，动点P的轨迹为抛物线，方程为；当时，．动点P的轨迹C的方程为或．故答案为或．14.答案：解析：解：如图，，把正方体上底面折起，连接与B重合，则的最小值是．故答案为：．由题意画出图形，再由勾股定理求解．本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是基础题．15.答案：解析：解：设棱柱的内切球的半径为r，则的内切圆为球的大圆，设，，则，由等面积可得，．设，，则，设，，，，直三棱柱内切球的表面积的最大值为．故答案为：．棱柱底面三角形的内切圆即为球的大圆，求出直三棱柱内切球的半径的最大值，即可得出结论．本题考查了棱柱的结构特征，棱柱与内切球的关系，属于中档题．16.答案：或解析：解：取BC的中点P，连接MP、NP，因为M、N分别是AB、CD的中点，所以，，，，所以，就是异面直线AC与BD所成的角或补角，即或又，所以当时，为正三角形，所以当时，本题考查直线与直线的位置关系，平行线性质定理，异面直线所成的角，属于较综合的题型。

2019-2020学年交附高二下期末数学试卷一、填空题1.随机扔一个硬币三次，数字朝上恰好出现一次的概率是______. 【答案】38【解析】 【分析】由随机扔一个硬币，每次数字朝上的概率均为12，且相互独立，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，随机扔一个硬币，每次数字朝上的概率均为12，且相互独立， 所以数字朝上恰好出现一次的概率为123113(1)228P C =⨯⨯-=. 故答案为：38.【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理利用独立重复试验的概率计算公式进行求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.2.将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使得点B 和D 的距离为1，则二面角B AC D --的大小为______. 【答案】2π【解析】 【分析】设翻折前AC 与BD 相交于点O ，则OB AC ⊥，OD AC ⊥，作出翻折后的图形，由二面角的定义可知BOD ∠即为所求，易证BOD ∆为等腰直角三角形，故2BOD π∠=，从而得解．【详解】设翻折前AC 与BD 相交于点O ，则OB AC ⊥，OD AC ⊥，而翻折之后的图形如图所示，BOD ∴∠为二面角B AC D --的平面角．OB OD ==1BD =， BOD ∴为等腰直角三角形，且2BOD π∠=，∴二面角B AC D --的大小为2π． 故答案为：2π． 【点睛】本题考查二面角的求法，理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、作图能力和逻辑推理能力，属于基础题．3.圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________． 【答案】15π 【解析】分析：由已知中圆锥底面半径是3，高是4，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式S rl π=，即可得到结论. 详解：圆锥的底面半径是3r =，高是4h =，圆锥的母线长5l =，则圆锥侧面积公式15S rl ππ==，故答案为15π.点睛：本题主要考查圆锥的性质与圆锥侧面积公式，意在考查对基本公式的掌握与理解，属于简单题.4.若6x ⎛- ⎝⎭的展开式的常数项为60，则a ＝_____【答案】4 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的系数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再由展开式的常数项为60，求出常数a 的值．【详解】∵62x x ⎛- ⎝⎭展开式的通项公式为T r+1＝66(r r r C x -=⋅⋅•x ﹣2r ＝r r 6(C ⋅•x 6﹣3r ， 令6﹣3r ＝0，可得 r ＝2，∴展开式的常数项为226(C ⋅＝60，解得a ＝4．故答案为4．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5.某校开设A 类选修课5门，B 类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有______.种 【答案】70 【解析】 【分析】根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数. 【详解】由条件可知3门课程可以分成以下两种情况：A 类2门，B 类1门，共有215440C C =种，或A 类1门，B 类2门，共有1254C C 30=，所以不同的选法共有403070+=种方法.故答案为：70【点睛】本题考查分类计数原理，组合知识，重点考查分类讨论的思想，属于基础题型.6.如图，在正四棱锥P ABCD -中，60APC ∠=︒，则二面角A PB C --的平面角的余弦值为______.【答案】17- 【解析】 【分析】设AB a ，则2AC a =，过A 作AE PB ⊥，垂足为E ，连CE ，则根据PAB PCB ≅△△，可得CE PB ⊥，所以AEC ∠为二面角A PB C --的平面角,在AEC 中，用余弦定理可求得结果.【详解】设AB a ，则2ACa =，因为60APC ∠=︒，所以2PA PC a ==，过A 作AE PB ⊥，垂足为E ，连CE ，则根据PAB PCB ≅△△，可得CE PB ⊥， 如图：所以AEC ∠为二面角A PB C --的平面角,在PAB △中,222cos 42AB aPBA PB a∠===，所以2214sin 144PBA ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以在直角AEB △中，sin AE AB EBA =⋅∠144a =，同理144CE a =， 在AEC 中，222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=⋅222214142161614216a a a a +-=⨯17=-. 故答案为：17-.【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征，考查了二面角的求法，按照作、证、求这三个步骤做题是解题关键，属于中档题.7.在由二项式系数所构成的杨辉三角形，第________行中从左至右第14与第15个数的比为2:3； 【答案】34 【解析】依题意有1314C 2C 3nn =，()()!13!13!142!13314!14!n n n n n -==--，解得34n =. 【点睛】本题主要考查二项式系数与杨辉三角的对应关系，考查组合数的计算公式.二项式展开式的二项式系数为01C ,C ,,C n nnn，由于计数是从0开始的，故第14，与15项的比为1314C 2C 3nn =，在用阶乘表示组合数的计算公式，约分后解方程可求得n 对应的数值. 8.集合{}*110,,S x x x N n N=≤≤∈∈共有120个三元子集()1,2,...,120iA i =，若将iA 的三个元素之和记为()1,2,...,120i a i =，则12120...a a a +++=______. 【答案】1980 【解析】 【分析】根据题意，将所有元素在子集中的个数算出，然后再求和即可. 【详解】因为集合{}{}*110,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10S x x x N n N=≤≤∈∈=，所以含元素1的子集有29C ,同理含2，3，4，5，6，7，8，9，10的子集也各有29C ，所以2121209...(123...10)a a a C +++=++++⨯，()1011098198022+⨯=⨯=. 故答案：1980【点睛】本题主要考查集合的新定义以及组合问题，还考查了分析推理的能力，属于中档题. 9.太阳光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d 的木棍在水平地面的影子最长为______.【答案】sin dα【解析】 【分析】太阳光与水平面所成的角是不变量, 设BAC θ∠=，利用正弦定理公式可得，()sin sin d ACαθα=+影子长为()sin sin d AC θαα+=，α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大，计算即可得出结果.【详解】光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d ，如图所示：AB d =，C α=，设BAC θ∠=，影子长为AC ,根据正弦定理：()sin sin d AC αθα=+，则()sin sin d AC θαα+=， 因为α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大, 故有2πθα+=，此时，木棍在水平地面的影子最长为sin dα. 故答案为：sin dα【点睛】本题考查了线面角中的最小角定理，还考查了学生们的空间想象能力及把生活中的实例用数学的思想加以解释的能力，即建模能力．10.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 【答案】15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法11.气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有_____．【答案】①③【解析】【分析】根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．【详解】①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22、22、24、25、26，其连续5天的日平均气温均不低于22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19、20、27、27、27，可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22，如22、25、25、26、32，这组数据的平均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，故③对．则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可．12.有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权.若7位评委依次揭晓票选结果，则A 选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是______. 【答案】532【解析】 【分析】将比分分为7:0，6:1，5:2，4:3四种情况讨论计算概率.【详解】由条件可知前两名投票的都投给选手A ，并且投给每位选手的概率是12P =. 若投票给A 、B 两位选手的比分为7:0，则概率为712⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若比分为6:1，则投给选手B 的方法有155C =种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭若比分为5:2，则投给选手B 的两票不能在第三和第四的位置，有2519C -=种，所以概率为7192⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 若比分为4:3，则投给A 的票不能是最后一位，且不能占5,6位，有2415C -=种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 所以概率()7151595232P ⎛⎫=+++⋅=⎪⎝⎭. 故答案为：532【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，重点考查分类的思想，属于中档题型.二、选择题13.空间中，“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】B 【解析】 【分析】由线面平行的判断定理和性质定理判断即可得出结论.【详解】由线面平行的判定定理可知,当直线l 在平面α内，l 平行于平面α上的一条直线，则不能得出结论“直线//l 平面α”，故“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”不充分条件；由直线和平面平行性质定理可知,“直线//l 平面α”则经过直线l 的平面和平面α相交,那么直线l 和交线平行，所以能得出“直线l 平行于平面α上的一条直线”，故“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”必要条件. 故选：B【点睛】本题考查直线和平面平行的判断定理和性质定理，考查理解辨析能力，属于基础题.14.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A.1122a b c ++ B. 1122a b c --+ C.1122a b c -+ D. 1122-++a b c 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c 作基底表示BM 即可得解. 【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+ 11112AA B D =+()1111112AA B A A D =++()112AA AB AD =+-+因为,AB a AD b ==,1AA c =，则()112AA AB AD +-+ 1122a b c =-++即1122BM a b c =-++，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.15.一间民房的屋项有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；⑤四向倾斜.记三种盖法是屋项面积分别为1P 、2P 、3P ，若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是θ，则（ ）A. 321P P P >>B. 321P P P >=C. 321P P P =>D. 321P P P ==【答案】D 【解析】 【分析】因为三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，且三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，知屋顶面积1P 、2P 、3P ，均相等．【详解】∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是θ，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，射影面积可设为S ，则由面积射影公式，得：123P cos S P cos S P cos S θθθ⋅=⋅=⋅=，，， ∴321P P P ==． 故选:D ．【点睛】本题是二面角知识在实际生活中的应用，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，容易得出结论，是基础题．16.如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R 的大球放置在底面半径和高均为R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球.A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】B 【解析】 【分析】圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，利用几何关系计算即可.【详解】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，设球的半径为R ，实心小球的半径为r ，由题意可得：22r r R R ++=，解得：(322)R r =+，因为小球球心在以E 为圆心，EF 为半径的圆上，2EF =，周长为2EF π， 所以22rn EF π≤，即()()22(322)22222215.16222r r R r EFn rr rπππππ⎡⎤+++⎣⎦≤====+≈. 故该工艺品最多可放入15个小球. 故选：B.【点睛】本题考查空间几何体与球接、切问题的求解方法.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.三、解答题17.某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（1）记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()P A的估计值；（2）求续保人本年度平均保费的估计值.【答案】（1）1120；（2）1.1925a.【解析】【分析】（1）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求()P A的估计值；（2）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．【详解】（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，()P A 的估计值为：1101120020=； （2）续保人本年度的平均保费估计值为0.856050 1.2530 1.530 1.75202101.1925200a a a a a a x a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．属于基础题.18.如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是边AB 及BC 的中点，将AED 、BEF 及DCF 折起，使A 、B 、C 三点重合于1A 点.（1）求三棱锥1A EFD -的体积； （2）求1A D 与平面DEF 所成角的大小. 【答案】（1）13；（2）1arcsin 3.【解析】 【分析】（1）首先证明1A D ⊥平面1A EF ，再求三棱锥的体积；（2）首先证明平面1A MD ⊥平面EFD ，再说明1A D 与平面DEF 所成角为1A DM ∠，并求角的大小. 【详解】（1）由条件可知11A E A D ⊥，11A F A D ⊥，且111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥平面1A EF ，1A EF 是等腰直角三角形，1111122A EFS∴=⨯⨯=, 1111111123323A EFD D A EFA EF V V S A D --∴==⨯⨯=⨯⨯=； （2）取EF 的中点M ，连结1A M ，DM ，11A E A F =，1A M EF ∴⊥，同理，DM EF ⊥，且1A MEF M =EF ∴⊥平面1A MD ,又EF ⊂平面1A MD ，∴平面1A MD ⊥平面EFD ，且平面1A MD 平面EFD MD =，∴1A D 与平面DEF 所成角为1A DM ∠，1A D ⊥平面1A EF ，11A D A M ∴⊥11222A M EF ==，()22221232522DM DE EF ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111sin 3A M A DM MD ∴∠==, 即11arcsin 3A DM ∠= ，1A D 与平面DEF 所成角为1arcsin 3.【点睛】本题考查垂直关系，几何体的体积，线面角，重点考查直观想象能力，计算能力，推理证明能力，属于基础题型.19.（1）已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ； （2）解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.【答案】（1）[)1,2；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，由此可求得()2f x x =-+，代入后转化为一元二次不等式即可求出答案；（2）分类讨论法解不等式即可．【详解】解：（1）∵()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-， ∴方程23kx +=的解集为1,5，∴23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1k =-，∴()2f x x =-+，∴()112x x f x x ≥⇔≥-+()2102x x -⇔≤-()()12020x x x ⎧--≤⇔⎨-≠⎩， 解得12x ≤<， ∴[)1,2A =；（2）∵()2220ax a x +--≥，①当0a =时，原不等式化为220x --≥，解得1x ≤-； 当()2010a a x x a ⎛⎫≠∴-+≥ ⎪⎝⎭， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解得1x ≤-，或2x a≥； ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 1︒当21a =-即2a =-时，原不等式化为()210x +≤，解得1x =-； 2︒当21a <-即20a -<<时，解得21x a≤≤-； 3︒当21a >-即2a <-时，解得21x a-≤≤；综上：当2a <-时，原不等式的解集为21,x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 当2a =-时，原不等式的解集为{}1x ∈-；当20a -<<时，原不等式的解集为2,1x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 当0a =时，原不等式的解集为(],1x ∈-∞-； 当0a >时，原不等式的解集为(]2,1,x a ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查转化与化归思想，考查分类讨论法，属于中档题．20.如图，为正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，底面边长AB a ，高1AA h =.（1）若a h =，求异面直线1BD 和1CF 所成角的大小； （2）计算四面体11BCD F 的体积（用,a h 来表示）；（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a 和高h 满足：23h a k =（k 为定值），则当底面边长a 和高h 分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？【答案】（1）5；（223h ；（3）3a =，14h k =，取得最小.【解析】 【分析】（1）延长,EF BA 相交于G 点，延长1111,E F B A 相交于H 点，连接GH ， 得111BCFGB C F H 是直四棱柱，证明1//CF BH ,所以异面直线1BD 和1CF 所成角的大小即为直线1BD 和BH 所成角的大小.解三角形可得.（2）建立空间直角坐标系,求出平面1BF C 法向量，求出1D 到平面1BF C 的距离，可得四面体11BCD F 的体积.（3）求出正六棱柱的表面积2633S ha a , 正六棱柱的体积233Va h ，利用已知条件，转化为二次函数求得最值，得解.【详解】（1）补形如图：延长,EF BA 相交于G 点，延长1111,E F B A 相交于H 点，连接GH 由正六边形性质知BCFG 是平行四边形，从而得111BCFG B C F H 是直四棱柱，则1//BC HF 且1=BC HF 所以四边形1BCF H 是平行四边形，所以1//CF BH ,所以异面直线1BD 和1CF 所成角的大小即为直线1BD 和BH 所成角的大小. 在三角形1BD H 中，由平面几何知识和余弦定理得：17D Ha ，5BH a ，12BD a ,22222211115cos 210252BH BD HD HBD BH BD a a15arccos10HBD（2）如图，建立分别以1,FB FE FF ，为,,x y z 轴的空间直角坐标系，则 (3,0,0)B a ，(3,,0)C a a ，133,)2a aD h ，1(0,0,)F h (0,,0)BCa ，1(3,0,)BF a h ，13(,,)2a aCD h 设平面1BF C 法向量为(,,)n x y z =100n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ , 030ay ax hz =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令3x ，则3az h，0y =3(3,0,)a n h所以1D 到平面1BF C的距离123330223a a a hn CD h dnh 又2214FC a h ，BC a =，2213BF a h ,22211BC BF F C122111322BF CSBC BF a a h 11122221113332239D BF CBF C V S d a a h h h （3）由题知，正六棱柱的表面积221626sin606332S ha a ha a正六棱柱的体积221336sin 6022V a ha h2222332633423423h V a h ah Sha a ha a h a又2h k = 22221()22416V hk h h h k kh Skkk所以当=4kh 时，VS 有最大值，也即S V取得最小值， 此时=4k h ，6a k = 【点睛】本题考查异面直线所成角，利用空间向量求四面体体积及利用表面积与体积之比转化为函数求其最值问题，属于较难题. 21.对任意*n N ∈，定义(1nn a b +=+n a ，n b 为正整数.（1）求33a b +，44a b +的值； （2）求证：2221n n a b -=； （3）设nn na cb =是否存在实数0λ>，使得()()10n n c c λλ+--<对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）12，29；（2）证明见解析；（3）存在，λ=【解析】 【分析】（1）分别令3n =和4n =，将3(1+和4(1展开，求得3344,,,a b a b 的值，进而求得结果；（2）分别列出n a 和n b 的值，列出关系，得到222(1)nn n a b -=-，从而证得结果；（3）假设存在实数0λ>，满足条件，根据题意找关系，确定出nn na cb =的极限，求得结果. 【详解】（1）(31167+=++=+所以337,5a b ==，所以3312a b +=，(411624417+=+⨯+⨯=+，所以4417,12a b ==，4429a b +=；（2）12233(11(2)n nn n n n n C C C C =+⋅+++，所以224361222n n n n a C C C =++++，132522n n nn b C C C =+++，所以222()()n n n n n n a b a a -=224361325224361325[(1222)2(22)][(1222)2(22)]nn n n nn nnnn nnC C C C C C C C C C C C =++++++++⋅++++-+++12232[(1(2)]n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++2233[1(]nn n n n C C C C ⋅-⋅-⋅++-(1(1[(1(1)n n n n ==+=-，所以2221n n a b -=；（3）由（2）知，2221n n a b -=，设2221n n a b -=，== 可以发现132522n n n n b C C C =+++会随着n 的增大而增大，=n的增大而减小，并且会越来越接近与1，所以nnnacb=要大；当2221n na b-=-时，==同理可以确定nnnacb=会随着会随着n，从而可以得出满足()()1n nc cλλ+--<的λ.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的有关问题，涉及到的知识点有二项式定理和数列的综合题，在解题的过程中，注意极限的思想的应用，属于难题.。

上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//αβ，则下列三个结论：①//a b 、②a b ⊥、③a β⊥．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，因此//a b ，a β⊥，不难判断.【详解】因为a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，所以//a b ，a β⊥，所以①正确，②不正确，③正确，则其中正确命题的个数为2.故选C【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.2．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ 【答案】B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B ．3．已知a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b >B ．a b <C ．22a b <D ．33a b <【答案】D【解析】【分析】利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3y x =的单调性，可证明D 正确.【详解】取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，由函数3y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4．已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】 试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，971216a a a ==.11a =，所以916a =，又可知9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.考点：函数的零点、数列的递推公式5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D. 考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．1B ．5C ．9D ．4【答案】C【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4=b a ．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 考点：等差中项和等比中项．7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】 由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =， 所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( )A ．()()22215x y -+-=B ．()()22125x y ++-=C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-= 【答案】D【解析】【分析】根据已知圆的方程可得其圆心()2,1-，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.【详解】由圆()()22215x y -++=，则圆心为()2,1-，半径r =圆心为()2,1-关于原点对称点为()2,1-，所以圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为()()22215x y ++-=.故选：D【点睛】本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.10．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( ) A ．12 B ．12或0 C ．0 D ．－2或0 【答案】A【解析】【分析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解出a 值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解得0a =或12a =, 又0a =时,直线10x -=与10x -+=表示同一条直线, 故12a =, 故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键. 11．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩或或或或 当022a ∆<⇒-<<综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】 本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．12．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下列命题正确是（ ）A ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 【答案】D【解析】【分析】在A 中，n ∥α或n ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 【详解】由两条直线m ，n ，两个平面α，β，知：在A 中，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，故A 错误； 在B 中，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10【解析】【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S .【详解】设该数列的公差为d ，由题可知： ()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故5151010S a d =+=.故答案为：10.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩． 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．【答案】1【解析】【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a ）在直线20ax y +-=上，所以20,1a a a +-=∴=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知3sin()45πθ-=，则sin 2θ的值为______ 【答案】725 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，化简3sin()cos 4225πθθθ-=-=，解出sin cos θθ-的值，再平方，即可求解.【详解】由题意，可知3sin()45πθθθ-=-=，sin cos θθ∴-=1812sin cos 25θθ-= 72sin cos 25θθ∴=则7sin 225θ=故答案为：725【点睛】本题考查三角函数常用公式()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-关系转换，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年上海市交大附中高一下学期期末数学试题一、单选题1．要得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】C【解析】将所给函数化为3sin 26y x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数相位变换原则可得结果. 【详解】3sin 23sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴只需将3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度即可得到3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的相位变换，关键是明确相位变换是针对x 的变化量的变换，遵循“左加右减”原则.2．O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【解析】先根据||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，确定||||A AB A AC CB →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】 解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力．3．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知1000a ，从而判断数列{}n a 是单调递增数列，即可判断当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值.【详解】数列{}n a 为等差数列，119921981002a a a a a ，1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，则1001990a ，即1000a ，10a <，可以判断数列{}n a 是单调递增数列，991010,0a a ，12n n n n b a a a ++=， 12323412nn n n S a a a a a a a a a ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值为97，98，99，100共4个. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题.4．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ） A ．6 B ．83C ．127D ．4【答案】A【解析】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，由已知可得O 是'''A B C 的重心，由重心性质可得所求面积比． 【详解】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△， 设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△，∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，∴''1''sin ''2141sin 2OA B OABOA OB A OB S S OA OB AOB ⋅∠==⋅∠△△，即114x t =，同理16y t =，121z t =，11161462121ABCS x y z t t t t=++=++=△，∴6216121ABCOBCtSS t==△△．故选：A．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．二、填空题5．计算：5arcsin sin6π⎛⎫=⎪⎝⎭______；【答案】6π【解析】用诱导公式把5sin6π中的角化到,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦中即可由反正弦函数定义得出结论．也可直接计算．【详解】5arcsin sin arcsin sin666πππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．或者51arcsin sin arcsin626ππ⎛⎫==⎪⎝⎭故答案为：6π．【点睛】本题考查反正弦函数，掌握反正弦函数定义是解题关键，注意反正弦函数的值域是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．6．关于未知数x ，y 的方程组对应的增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭，则此方程组的解x y +=______；【答案】307【解析】由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程的解x ，y ，最后求x y +的值. 【详解】由二元线性方程组的增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭，得到二元线性方程组的表达式2+6320x y x y =⎧⎨-=⎩， 解得127187x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x y +=307. 故答案为: 307. 【点睛】此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，属于基础题. 7．设3,sin 2a α⎛⎫=⎪⎝⎭，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//a b ，则cos2=α__________．【答案】0【解析】根据平面向量共线定理可以得到等式，用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，求出2α的值，最后计算出它的余弦值即可. 【详解】 因为//a b ，所以31sin cos sin 2122()232k k Z πααααπ⨯=⇒=⇒=+∈， 因此cos 2cos(2)0()2k k Z παπ=+=∈.故答案为：0 【点睛】本题考查了两个平面向量共线定理，考查了二倍角的正弦公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.8．已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为3xπ=，则a =______；【解析】根据三角函数的性质可知()f x 在3x π=取得最大值或最小值，建立方程即可求解. 【详解】()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+，其中ϕ是辅助角， 3x π=是()f x 的一条对称轴，231()1322f a a ，整理得230a -+=，解得a =【点睛】本题考查三角函数性质得应用，利用在对称轴的函数值是最大或最小是解题的关键，属于中档题.9．已知平面向量,a b 满足3a =，2b =，3a b ⋅=-，则2a b += .【解析】试题分析：因为222|2|44316127a b a b a b +=++⋅=+-=，所以27a b +=【考点】向量数量积，向量的模10．设211S =，2222121S =++，22222312321S =++++，…，222221221n S n =++++++，希望证明()2213nn n S +=，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k 到1k +应添的项是______. 【答案】()221k k ++【解析】写出1,k k S S +的表达式，通过比较可以知道第二步从k 到1k +应添的项. 【详解】当n k =时，222222212(1)(1)21k S k k k =+++-++-+++,当1n k =+时，2222222122(12(1)()21)11k k S k k k k +=+++-+++++-+++,通过对比可以发现，第二步从k 到1k +应添的项是()221k k ++.故答案为：()221k k ++ 【点睛】本题考查了数学归纳法证明过程中添项问题，属于基础题.11．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 【答案】25-【解析】由已知得()c a b =-+，再两边平方22+2+25a a b b ⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答案. 【详解】因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，又因为5c =， 所以()225a b+=，即22+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =，所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，所以()()20+25a b b c c a a b c b a c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-， 故答案为：25-. 【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.12．若数列{}n a 为无穷等比数列，且()1231lim 2n n n a a a a a -→∞+++⋅⋅⋅++=-，则1a 的取值范围是______； 【答案】()()4,22,0--⋃-【解析】根据无穷等比数列的前n 项和的极限求解． 【详解】设数列{}n a 公比是q ，在1q <且0q ≠时，()11231lim 21n n n a a a a a a q-→∞+++⋅⋅⋅++==--， ∴12(1)a q =-，又11q -<<且0q ≠，210q -<-<且11q -≠-，∴142a -<<-或120a -<<．故答案为：()()4,22,0--⋃- 【点睛】本题考查无穷等比数列的和，数列{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为n S ，在1q <时，1lim 1n n a S q→∞=-．若1q ≥，则lim n n S →∞不存在． 13．设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则123456789a a a a a a a a a =______； 【答案】0；【解析】根据行列式计算法则和等比数列性质计算即可. 【详解】数列{}n a 是公比为q 的等比数列123456159483726753429186789a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∴=++--- 33548372654837260a a a a a a a a a a a a a a .故答案为：0. 【点睛】本题考查等比数列的性质，以及行列式的相关计算，属于中档题.14．已知向量()5,5a =，(),1b λ=，若a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______； 【答案】()()7,11,7-⋃【解析】利用()()0a b a b +⋅->去掉同向的情形即得． 【详解】由题意()()0a b a b +⋅-> ，即220a b ->，2222551λ+>+，∴77λ-<<，若()a b k a b +=-，则5(5)51(51)k k λλ+=-⎧⎨+=-⎩，解得321k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩，综上λ的范围是()()7,11,7-⋃． 故答案为：()()7,11,7-⋃． 【点睛】本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，,a b 是两个非零向量，则,a b 夹角是锐角时，0a b⋅>，,a b夹角是钝角时，0a b⋅<，反之要注意,a b可能同向也可能反向．15．如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA2=，OC4=，AC5=，则OB OD⋅=______．【答案】52-【解析】建立坐标系，设()O m,n，()C a,b，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算OB OD⋅的值．【详解】以A为原点，以AB，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设()O m,n，()B a,0，()D0,b，则()C a,b，OA2=，OC4=，AC5=，222222a b25m n4()()16m a n b⎧+=⎪∴+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：13am bn2+=．又()OB a m,n=--，()OD m,b n=--，()()()22135OB OD m m a n n b m n am bn422∴⋅=-+-=+-+=-=-．故答案为52-．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题．16．已知平面直角坐标系内定点()1,1A ，动点B 满足2AB →=，动点C 满足3CB →=，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为______； 【答案】24π【解析】本题先将B 固定，得到C 的轨迹，C 的轨迹随着B 的动点而运动从而形成一个圆环，即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形. 【详解】因为动点B 满足2AB →=，所以B 点的轨迹是以A 为圆心，2为半径的一个圆， 又因为动点C 满足3CB →=，所以C 点轨迹是以B 为圆心，3为半径的一个圆，当B 点在圆上运动时，点C 的轨迹是以点A 为圆心、以5为半径的圆， C 点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示，即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为22=5124S πππ⋅-⋅=. 故答案为：24π 【点睛】本题考查根据曲线的轨迹方程求面积，考查学生的直观想象能力和作图能力，易错点是把覆盖的面积看成整个圆，属于中档题.三、解答题17．解关于x .y 的一元二次方程组()3322ax y a x a y +=--⎧⎨+-=-⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】3a =，无数个解；1a =-，无解；3a ≠且1a ≠-，4111a x a y a --⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.【解析】分情况讨论即可知道解的情况. 【详解】 （1）当33122aa a 时，方程组有无数个解， 解得3a =； （2）当33122a a a 时，方程组无解， 解得1a =-；（3）当312a a 时，方程组只有一组解为4111a x a y a --⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，解得3a ≠且1a ≠-，综上，3a =，无数个解；1a =-，无解；3a ≠且1a ≠-，4111a x a y a --⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.【点睛】本题考查二元一次方程组的解的情况，可以利用直线系数的比例关系讨论，属于基础题. 18．已知x ∈R ，设()3cos ,sin cos m x x x =-，()2sin ,sin cos n x x x =+，记函数()f x m n =⋅.（1）求函数()f x 的最小值，并求出函数()f x 取最小值时x 的值；（2）设ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f C =，c =，求ABC 的面积S 的最大值.【答案】（1）min 2y =-，,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（2）【解析】(1)先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f （x ）=2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质即可求出答案； （2）先求出C 的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出3ab ≤，根据三角形的面积公式即可求出答案. 【详解】（1）()2223sin cos sin cos f x m n x x x x =⋅=+-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令2262x k ππ-=π-，k ∈Z ，即()6x k k Z ππ=-∈时，sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()f x 取最小值2-，所以，()f x 的最小值为2-，所求x 的取值集合是,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭； （2）由()2f C =，得sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0C π<<，所以112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，3C π=，在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab ab =+-≥，即3ab ≤，当且仅当a b =时取等号，所以ABC 的面积11sin 32224S ab C =≤⨯⨯=，因此ABC 的面积S 【点睛】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式，两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题. 19．已知ABC 内接于O ，AB c =，BC a =，=CA b ，O 的半径为r .（1）若230OA OB OC ++=，试求BOC ∠的大小；（2）若A 为动点，60BAC ∠=︒，AO OC OB λμ=+，试求λμ+的最大值. 【答案】（1）56π；（2）2. 【解析】（1）由230OA OB OC ++=可得2223OB OCOA ，解得3cos BOC，即可求出56BOC ； （2）由60BAC ∠=︒可得120BOC ∠=︒，再由AO OC OB λμ=+平方后得221λμλμ+-=，利用基本不等式可求出λμ+的最大值.【详解】 （1）230OA OB OC ++=， 23OBOCOA ，则2223OBOCOA ，即2224433OBOB OC OCOA ,2222443cos 3r r BOC r r ，解得3cos 2BOC, 56BOC; （2）60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，AO OC OB λμ=+，()()22AOOC OB λμ∴=+，即222222AO OC OC OB OB λλμμ=+⋅+，2222222cos120r r r r ，整理得221λμλμ+-=，即231，22，22132，解得24，即2λμ+≤，当且仅当1λμ==时等号成立，∴λμ+的最大值为2.【点睛】本题考查向量数量积的应用，以及利用基本不等式求最大值，属于综合题. 20．已知平方和公式：()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，其中*n N ∈.（1）记()()()()()22222231521432f n n n =-++⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅+-，其中*n N ∈，求()20f 的值；（2）已知()()22222213214948242n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+，求自然数n 的值； （3）抛物线2y kx =.x 轴及直线:AB x a =围成了如图（1）的阴影部分，AB 与x 轴交于点A ，把线段OA 分成n 等份，作以an为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S ，n 等于这些内接矩形面积之和.2222231a a a a a a a n k k k k a n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n →+∞时的极限值.图（3）中的曲线为开口向右的抛物线2y x =，抛物线y x =x 轴及直线:4AB x =围成了图中的阴影部分，请利用极限平方和公式.反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积.【答案】（1）47980；（2）72；（3）163. 【解析】（1）将(20)f 化为2222222222221234565758593657，即可结合公式求解；（2）分别转化()()222222242412n n ++⋅⋅⋅+=+++和()()()()222222222221321123221242n n n n ⎡⎤++⋅⋅⋅++=++++++-+++⎣⎦，然后根据公式求解，建立方程即可求出n ； （3）线段AB 分成n 等份，作以2n为底的内接矩形，则阴影部分的面积可看作是这些内接矩形的面积之和，利用极限即可求出. 【详解】 （1）()()()()()22222231521432f n n n =-++⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅+-，22222222(20)595652145558f2222222212457858592222222222221234565758593657222259601199123196192039702109479806；（2）()()()()22222221212424123n n n n n ++++⋅⋅⋅+=+++=，()()()()222222222221321123221242n n n n ⎡⎤∴++⋅⋅⋅++=++++++-+++⎣⎦212112122122436333n n n n n n n n n ，()()22222213212349248242n n n n ++⋅⋅⋅+++∴==++⋅⋅⋅+， 解得72n =；（3）由题可知，2AB =,如图，把线段AB 分成n 等份，作以2n为底的内接矩形，设阴影部分的面积为S ，则S 可看作是这些内接矩形的面积之和， 则222222242622(1)4444n Snnnnnnnn22222222411231n n nn n328112181644633n n n n nn n n ，当n →+∞时，163S， 所以阴影部分的面积为163. 【点睛】本题考查根据所给公式化简求值，以及用极限求面积，属于较难题.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈，数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211333n n n n n a b a b a b a b n ---⎛⎫+++⋅⋅⋅+=+- ⎪⎝⎭成立.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.【答案】（1）113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）21n b n =-；（3）存在，1c ，2c ，5c 或2a ，3c ，5c .【解析】（1）当2n ≥时，类比写出1123n n S a --+=，两式相减整理得113n n a a -=，当1n =时，求得10a ≠，从而求得数列{}n a 的通项公式.；（2）将113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列{}n b 的通项公式；（3）由n c 的通项公式分析，得12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，且s p r <<，则2p s r c c c =+，即()1112212121333p s r p s r ------=+，根据数列{}n c 的单调性，化简得722p ≤<，将2p =或3p =代入已知条件，即可得到结论. 【详解】（1）由23n n S a +=， ① 得()11232n n S a n --+=≥， ② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥， 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数， 所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13， 即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈；（2）由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ③则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ④则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ⑤由③-⑤得()212n b n n =-≥，对③取1n =得，11b =也适合上式，因此21n b n =-，*n N ∈， （3）由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==， 则()11412121333n n n n n n n n c c +--+--=-=， 所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+（），即()1112212121333p s r p s r ------=+， 因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥， 因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>， 即()122212333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p ≥且*∈p N ，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意，当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入（）式得19r c =， 因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以=5r ， 综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题.。

2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）计算：arcsin（sin）＝．2．（3分）关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，则此方程组的解x+y ＝．3．（3分）设，，且∥，则cos2α＝．4．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则a＝．5．（3分）已知平面向量，满足||＝，||＝2，＝﹣3，则||＝．6．（3分）设S1＝12，S2＝12+22+12，S3＝12+22+32+22+12，…，S n＝12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n＝，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k到k+1应添的项是．（不用化简）7．（3分）已知++＝，且||＝3，||＝4，||＝5，则•+•+•＝，•＝．8．（3分）若数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，则a1的取值范围是．9．（3分）设数列{a n}是公比为q的等比数列，则＝．10．（3分）已知向量＝（5，5），＝（λ，1），若+与﹣的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为．11．（3分）如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA＝2，OC＝4，AC＝5，则＝．12．（3分）已知平面直角坐标系内定点A（1，1），动点B满足||＝2，动点C满足||＝3，则点C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为．二、选择题13．（3分）要得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度14．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心15．（3分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199＝0，设b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个16．（3分）设O为△ABC所在平面内一点，满足2﹣7﹣3＝，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（）A．6B．C．D．4三.解答题：17．解关于x、y的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．18．已知x∈R，设＝（cos x，sin x﹣cos x），＝（2sin x，sin x+cos x），记函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的最小值，并求出函数f（x）取最小值时x的值；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，c＝2，求△ABC的面积S的最大值．19．已知△ABC内接于⊙O，AB＝c，BC＝a，CA＝b，⊙O的半径为r．（1）若+2+＝，试求∠BOC的大小；（2）若A为动点，∠BAC＝60°，＝，试求λ+μ的最大值．20．（4分）已知平方和公式：12+22+…+n2＝，其中n∈N*．（1）记f（n）＝（﹣3n+1）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（3n﹣2）2，其中n∈N*，求f（20）的值；（2）已知＝，求自然数n的值；（3）抛物线y＝kx2、x轴及直线AB：x＝a围成了如图（1）的阴影部分，AB与x轴交于点A，把线段OA分成n等份，作以为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S，等于这些内接矩形面积之和．×k×（）2×k×（）2×k×（）2+…+×k×（a）2，当n→+∞时的极限值S＝[k•（）2+k•（）2+k•（）2+…+k•（）2]2•＝•ak＝•ak＝ak．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2＝x．抛物线y＝、x轴及直线AB：x＝4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）21．设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n＝3，n∈N*，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n＝a n b n，问：数列{c n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）计算：arcsin（sin）＝．【分析】由题意利用反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，求得结果．【解答】解：arcsin（sin）＝arcsin＝，故答案为：．【点评】本题主要考查反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题．2．（3分）关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，则此方程组的解x+y＝．【分析】推导出，由此能求出x+y的值．【解答】解：∵关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，∴，解得，∴x+y＝．故答案为：．【点评】本题考查方程的解求法，考查增广矩阵等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（3分）设，，且∥，则cos2α＝0．【分析】由平面向量的共线定理列方程求出sin2α的值，再求cos2α的值．【解答】解：由，，且∥，则sinαcosα﹣×＝0，所以sinαcosα＝，所以sin2α＝1；所以2α＝+2kπ，k∈Z；所以cos2α＝0．故选：0．【点评】本题考查了平面向量的共线定理与三角函数求值问题，是基础题．4．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则a＝．【分析】由题意化简函数f（x），将函数的对称轴代入可得辅助角的值，进而求出正切值，可得a的值．【解答】解：由题意显然a≠0，当a＞0时，f（x）＝sin（x+α），且tanα＝，因为函数的一条对称轴为x＝，所以+α＝+kπ，k∈Z，所以α＝+kπ，k∈Z，则tanα＝tan（+kπ）＝，所以＝，解得：a＝；当a＜0，则f（x）＝﹣sin（x+α），且tanα＝，下面运算相同，综上所述，可得a＝，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简即正弦函数的性质，属于基础题．5．（3分）已知平面向量，满足||＝，||＝2，＝﹣3，则||＝．【分析】求出（）2，开方即为||．【解答】解：（）2＝＝3﹣12+16＝7，∴||＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6．（3分）设S1＝12，S2＝12+22+12，S3＝12+22+32+22+12，…，S n＝12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n＝，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2．（不用化简）【分析】分别写出n＝k与n＝k+1时S n中的项，然后确定从k到k+1应添的项．【解答】解：当n＝k时，S n＝12+22+32+…+k2+…+32+22+12，那么，当n＝k+1时，S k+1＝12+22+32+…k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12．从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2，故答案为：（k+1）2+k2．【点评】本题考查数学归纳法证题的步骤，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．7．（3分）已知++＝，且||＝3，||＝4，||＝5，则•+•+•＝﹣25，•＝0．【分析】首先，根据++＝得到，然后，根据||＝5，求解，然后，再求解•+•+•的值．【解答】解：∵++＝，∴，∵||＝5，∴（）2＝25，∴|＝25，∵||＝3，||＝4，∴9+2+16＝25，，∴•+•+•＝•+•（+）＝﹣（）2＝0﹣25＝﹣25．故答案为：﹣25；0．【点评】本题重点考查了平面向量的基本运算，数量积的运算性质等知识，属于中档题．8．（3分）若数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，则a1的取值范围是（﹣4，﹣2）∪（﹣2，0）．【分析】设公比为q，由题意可得0＜|q|＜1，且＝﹣2，解不等式可得所求范围．【解答】解：数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，设公比为q，可得0＜|q|＜1，且＝﹣2，则q＝1+，由0＜|1+|＜1，解得﹣4＜a1＜﹣2或﹣2＜a1＜0，故答案为：（﹣4，﹣2）∪（﹣2，0）．【点评】本题考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．9．（3分）设数列{a n}是公比为q的等比数列，则＝0．【分析】利用三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式直接求解．【解答】解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，∴＝a1a5a9+a4a8a3+a2a6a7﹣a7a5a3﹣a8a6a1﹣a4a2a9＝++﹣﹣﹣＝0．故答案为：0．【点评】本题考查三阶行列式的值的求法，考查三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（3分）已知向量＝（5，5），＝（λ，1），若+与﹣的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为（﹣7，1）∪（1，7）．【分析】可先求出，根据题意即可得出，然后解出λ的值即可．【解答】解：，∵与的夹角是锐角，∴，且与不共线，∴，解得﹣7＜λ＜7且λ≠1，∴实数λ的取值范围为（﹣7，1）∪（1，7）．故答案为：（﹣7，1）∪（1，7）．【点评】本题考查了向量坐标的加法和减法运算，向量数量积的计算公式，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．11．（3分）如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA＝2，OC＝4，AC＝5，则＝﹣．【分析】建立坐标系，设O（m，n），C（a，b），根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算的值．【解答】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设O（m，n），B（a，0），D（0，b），则C（a，b），∵OA＝2，OC＝4，AC＝5，∴，整理可得：am+bn＝．又＝（a﹣m，﹣n），＝（﹣m，b﹣n），∴＝m（m﹣a）+n（n﹣b）＝m2+n2﹣（am+bn）＝4﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．12．（3分）已知平面直角坐标系内定点A（1，1），动点B满足||＝2，动点C满足||＝3，则点C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为24π．【分析】本题先将B固定，得到C的轨迹，C的轨迹随着B的动点而运动从而形成一个圆环，即C在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】解：因为动点B满足||＝2，所以B点的轨迹是以A为圆心，2为半径的一个圆，又因为动点C满足||＝3，所以C点轨迹是以B为圆心，3为半径的一个圆，当B点在圆上运动时，C点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为．【点评】本题考查根据曲线的轨迹方程求面积，考查学生的直观想象能力和作图能力，易错点是把覆盖的面积看成一整个圆，属于中档题．二、选择题13．（3分）要得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由于函数y＝3sin（2x+）＝3sin2（x+），故只要将函数y＝3sin2x的图象相左平移个单位即可实现目标．【解答】解：由于函数y＝3sin（2x+）＝3sin2（x+），故只要将函数y＝3sin2x的图象相左平移个单位，即可得到函数y＝3sin（2x+）的图象．故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．14．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到＝λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．15．（3分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199＝0，设b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据等差数列的性质，可推得a100＝0，进而可得数列{a n}为递增数列，a99＜0，a101＞0，根据题意，b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当n≤97时，b n＜0；当n＝98，n＝99，n ＝100时，b n＝0；当n≥101时，b n＞0．所以{b n}的前n项和S n最小时，n＝97或n＝98或n＝99或n＝100，共4个．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列∴a1+a199＝a2+a198＝…＝a99+a101＝2a100，又∵a1+a2+a3+…+a199＝0，即199a100＝0，∴a100＝0．又∵a1＜0，∴数列{a n}为递增数列，∴a99＜0，a101＞0，∵b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），∴{b n}的前n项和S n＝a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2，当n≤97时，b n＜0，当n＝98，n＝99，n＝100时，b n＝0，当n≥101时，b n＞0，∴{b n}的前n项和S n最小时，n＝97或n＝98或n＝99或n＝100，共4个．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查数列的前n项和的最值，考查学生运算和推理的能力，属于中档题．16．（3分）设O为△ABC所在平面内一点，满足2﹣7﹣3＝，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（）A．6B．C．D．4【分析】先设设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则＝k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案．【解答】解：不妨设，如图所示，根据题意则，即点O是△A1B1C1的重心，所以有＝k，又因为，，，那么，，，，故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了向量的数乘运算，重心的性质，三角形的面积公式，考查了转化与化归的数学思想，属于难题．三.解答题：17．解关于x、y的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．【分析】（1）若＝＝（a﹣2≠0），解得a，可得方程组有无数个解．（2）若＝≠（a﹣2≠0），解得a，可得方程组无解．（3）若a＝2时，方程组化为：，解出即可判断出结论．．若a﹣2≠0，≠，解出可得方程组有唯一解．【解答】解：（1）若＝＝（a﹣2≠0），则a＝3，此时两条直线重合，方程组有无数个解．（2）若＝≠（a﹣2≠0），则a＝﹣1，此时两条直线平行，方程组无解．（3）若a＝2时，方程组化为：，解得．若a﹣2≠0，≠，则a≠3，﹣1，2，此时两条直线相交，方程组有唯一解．【点评】本题考查了方程组的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知x∈R，设＝（cos x，sin x﹣cos x），＝（2sin x，sin x+cos x），记函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的最小值，并求出函数f（x）取最小值时x的值；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，c＝2，求△ABC的面积S的最大值．【分析】结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）根据正弦函数的图象可知，当2x﹣＝+2kπ时，f（x）可取得最小值．（2）易知C＝，由余弦定理得，cos C＝，再利用基本不等式的性质可求出ab的最大值，然后根据S△ABC＝ab sin C即可得解．【解答】解：f（x）＝＝2sin x cos x+（sin x﹣cos x）（sin x+cos x）＝sin2x﹣cos2x ＝2sin（2x﹣）．（1）∵x∈R，∴2x﹣∈R，当2x﹣＝+2kπ，即x＝+kπ，k∈Z时，f（x）min＝2×（﹣1）＝﹣2．故f（x）的最小值为﹣2，此时x＝+kπ，k∈Z．（2）∵f（C）＝2，∴2sin（2C﹣）＝2，∴2C﹣＝+2π，k∈Z，即C＝+kπ，k∈Z．∵C∈（0，π），∴C＝．由余弦定理知，cos C＝，即＝≥，当且仅当a＝b时，取等号．∴ab≤12，∴S△ABC＝ab sin C≤＝．故△ABC的面积S的最大值为．【点评】本题考查平面向量与解三角形的综合运用，包含平面向量数量积的运算、二倍角公式、余弦定理以及基本不等式的性质等基础考点，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．已知△ABC内接于⊙O，AB＝c，BC＝a，CA＝b，⊙O的半径为r．（1）若+2+＝，试求∠BOC的大小；（2）若A为动点，∠BAC＝60°，＝，试求λ+μ的最大值．【分析】（1）根据+2+＝，得∴﹣＝2+，等式两边同时平方，即可求得cos∠BOC＝﹣，进而求得∠BOC＝．（2）因为⊙O中，∠BAC＝60°，所以∠BOC＝120°，＝，等式两边同时平方，可得λ2+μ2＝λμ+1，根据均值不等式，即可求得λ+μ≤2．【解答】解：（1）∵+2+＝，∴＝2+，∴2＝（2+）2，∵AO＝OB＝OC＝r，∴r2＝4r2+2•2•r2•cos∠BOC+3r2，计算得cos∠BOC＝﹣，由题，∠BOC∈（0，π），∴∠BOC＝．（2）由题，⊙O中，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，＝，∴2＝（）2，∴r2＝λ2r2+2•λ•μr2•cos120°+μ2r2，∴λ2+μ2＝λμ+1，根据题意，可知λ＞0，μ＞0，∴（λ+μ）2＝3λμ+1≤3•+1，（当且仅当λ＝μ时等式成立），∴（λ+μ）2≤4∴λ+μ≤2．∴λ+μ的最大值为2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用及基本不等式的应用．考查学生转化的思想，属于中档题．20．（4分）已知平方和公式：12+22+…+n2＝，其中n∈N*．（1）记f（n）＝（﹣3n+1）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（3n﹣2）2，其中n∈N*，求f（20）的值；（2）已知＝，求自然数n的值；（3）抛物线y＝kx2、x轴及直线AB：x＝a围成了如图（1）的阴影部分，AB与x轴交于点A，把线段OA分成n等份，作以为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S，等于这些内接矩形面积之和．×k×（）2×k×（）2×k×（）2+…+×k×（a）2，当n→+∞时的极限值S＝[k•（）2+k•（）2+k•（）2+…+k•（）2]2•＝•ak＝•ak＝ak．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2＝x．抛物线y＝、x轴及直线AB：x＝4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）【分析】（1）直接利用关系式的应用求出函数的值．（2）利用合比性质的应用求出n的值．（2）首先求出被积函数原函数，进一步求出定积分的值．【解答】解：（1）f（20）＝（﹣59）2+（﹣56）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（58）2，＝12+22+32+...+592﹣[32+62+92+ (572)＝12+22+32+…+592﹣[（3×1）2+（3×2）2+（3×3）2+…+（3×19）2]＝12+22+32+…+592﹣[9×（12+22+32+…+192）]＝﹣9×＝47980；（2）＝，由合比性质可知＝，所以＝，解得n＝72，所以自然数n的值为72．（3）S＝＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的求和，合比性质，定积分，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．21．设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n＝3，n∈N*，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n＝a n b n，问：数列{c n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将n换为n﹣1，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；（2）a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3中的n换为n﹣1，乘以，相减可得所求通项公式；（3）求得c n＝a n b n＝，讨论单调性，假设存在三项c s，c p，c r成等差数列，其中s，p，r∈N*，运用等差数列中项性质和不等式的性质，推理运算，即可得到所求结论．【解答】解：（1）由2S n+a n＝3，①得2S n﹣1+a n﹣1＝3，（n≥2），②由①﹣②得2a n+a n﹣a n﹣1＝0，即a n＝a n﹣1（n≥2）．对①取n＝1得，a1＝1≠0，所以a n≠0，所以{a n}为等比数列，首项为1，公比为，即a n＝（）n﹣1，n∈N*．（2）由a n＝（）n﹣1，可得对于任意n∈N*．有b n+b n﹣1+（）2b n﹣2+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+3n﹣3，③则b n﹣1+b n﹣2+（）2b n﹣3+…+（）n﹣2b1＝（）n﹣2+3n﹣6，n≥2，④则b n﹣1+（）2b n﹣2+（）3b n﹣3+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+n﹣2，n≥2，⑤由③﹣⑤得b n＝2n﹣1（n≥2），对③取n＝1得，b1＝1也适合上式，因此b n＝2n﹣1，n∈N*．（3）由（1）（2）可知c n＝a n b n＝，则c n+1﹣c n＝﹣＝，所以当n＝1时，c n+1＝c n，即c1＝c2，当n≥2时，c n+1＜c n，即{c n}在n≥2且n∈N*上单调递减，故c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，假设存在三项c s，c p，c r成等差数列，其中s，p，r∈N*，由于c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，可不妨设s＜p＜r，则2c p＝c s+c r（*），即＝+，因为s，p，r∈N*，且s＜p＜r，则s≤p﹣1且p≥2，由数列{c n}的单调性可知，c s≥c p﹣1，即≥，因为c r＝+，＞0，所以＝+＞，即以＞，化简得p＜，又p≥2且p∈N*，所以p＝2或p＝3，当p＝2时，s＝1，即c1＝c2＝1，由r≥3时，c r＜c2＝1，此时c1，c2，c r不构成等差数列，不合题意．当p＝3时，由题意s＝1或s＝2，即c s＝1，又c p＝c3＝，代入（*）式得c r＝．因为数列{c n}在n≥2且n∈N*上单调递减，且c5＝，r≥4，所以r＝5．综上所述，数列{c n}中存在三项c1，c3，c5或c2，c3，c5构成等差数列．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列中项性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

上海交通大学附属中学2019—2020学年度第二学期高一化学期末考试卷相对原子质量：C-12；O-16；Al-27；Cl-35.5；Ca-40；Fe-56一、选择题(每小题只有一个正确选项)1. 在预防新冠肺炎中，化学消毒剂发挥了重要作用，以下不是利用氧化性来消毒的是A. 84消毒液B. 75%酒精C. 臭氧D. H2O2【答案】B【解析】【详解】A. 84消毒液中的有效成分次氯酸钠具有强氧化性，可以杀菌消毒，A项不符合题意；B. 75%酒精可以使蛋白质变性，从而达到杀菌消毒的目的，B项符合题意；C. 臭氧具有强氧化性，可用来杀菌消毒；C项不符合题意；D.H2O2具有强氧化性，可用来杀菌消毒；D项不符合题意；答案选B。

2. 下列溶液中导电性最强的是A. 1.0L0.1mol/L醋酸 B. 2.0L0.2mol/LH2SO3溶液C. 0.1L0.2mol/LH2SO4溶液 D. 0.5L0.1mol/L盐酸【答案】C 【解析】【详解】溶液导电性强弱与溶液中可移动电荷总浓度有关，A．醋酸是弱电解质，在水溶液里只有部分电离，所以0.1mol/L的醋酸中氢离子浓度小于0.1mol/L；B．亚硫酸是弱电解质，在水溶液里只有部分电离，0.2mol/LH2SO3溶液中氢离子浓度小于0.2mol/L；C．硫酸是强电解质，在水溶液里只有完全电离，0.2mol/L的硫酸中氢离子浓度是0.4mol/L；D．氯化氢是强电解质，在水溶液里只有完全电离，0.1mol/L的盐酸中氢离子浓度是0.1mol/L；综上所述，溶液中离子浓度最大的是C项，故答案为C。

3. 关于硫酸工业中的催化氧化反应，叙述正确的是（）A. 是吸热反应B. 在常压下进行C. 在沸腾炉中进行D. 使用铁触媒作催化剂【答案】B【解析】【详解】A．硫酸工业中的催化氧化反应是放热反应，A选项错误；B．硫酸工业中的催化氧化反应选择在常压下进行，B选项正确；C．硫酸工业中的催化氧化反应是在接触室中发生反应，C选项错误；D．硫酸工业中的催化氧化反应使用V2O5作催化剂，D选项错误；答案选B。

2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。

2019-2020学年上海交大附中高一下学期期末物理试卷一、单选题（本大题共12小题，共40.0分）1.下列各组物理量中，全是矢量的是()A. 速度、质量、时间B. 力、加速度、位移C. 路程、温度、力D. 功率、动能、加速度2.匀速圆周运动属于()A. 匀速运动B. 匀加速运动C. 加速度不变的曲线运动D. 变加速度的曲线运动3.对于一定质量的理想气体，下列说法中正确的是()A. 气体的温度升高时，气体分子撞击器壁的作用加剧，气体的压强增大B. 气体体积变小时，单位时间内打到器壁单位面积上的分子数增多，气体的压强增大C. 物体温度升高每个分子的动能都一定增大D. 当两个分子之间的距离为r0时，分子势能最小4.如图所示，一导热良好的足够长气缸水平放置在光滑水平桌面上，桌面足够高，气缸内有一活塞封闭了一定质量的理想气体。

一足够长轻绳跨过定滑轮，一端连接在活塞上，另一端挂一钩码，滑轮与活塞间的轻绳与桌面平行，不计一切摩擦。

已知当地重力加速度为g，大气压为p0，钩码质量为m1，活塞质量为m2，气缸质量为m3，活塞横截面积为S，则释放钩码，气缸稳定运动过程中，气缸内理想气体的压强为()A. p0−m1m3(m1+m2+m3)S B. p0−m1m3g(m2+m3)SC. p0D. p0−m1gS5.2019年3月27日莫迪在电视讲话中称：“印度生产的反卫星导弹不到三分钟内击毁了一颗近地轨道卫星。

”莫迪表示，此事具有历史意义，此前只有美国、俄罗斯、中国获得类似成就，标志着印度正在成为太空强国。

此事件引起美国航空航天局局长布莱登斯坦罕见的严厉批评，他说印度将距离地面300km高度的一颗近地低轨道卫星击碎，产生400多块碎片，10cm以上的达到60块，其中60块碎片中的24块将飞越国际空间站最高点的上空。

这些碎片将对距离地面400km空间站造成威胁。

以下你认为错误的是()A. 碎片在与大气摩擦，使得碎片的速度越来越小，高度越来越小B. 离地面300km的碎片速度比空间站大C. 离地300km的碎片角速度比空间站大D. 300km处地球的向心加速度比空间站大6.质量为5000kg的汽车，在水平路面上以加速度a=2m/s2起动，受到的阻力为2×103N，则汽车起动后第2s末的瞬时功率为()A. 24KwB. 48KwC. 22KwD. 11Kw7.沿x轴正向传播的一列简谐横波在t=0时刻的波形如图所示，M为介质中s时()的一个质点，该波的传播速度为40m/s，则t=140A. 质点M对平衡位置的位移一定为负值B. 质点M的速度方向与对平衡位置的位移方向相同C. 质点M的加速度方向与速度方向一定相同D. 质点M的回复力方向与对平衡位置的位移方向相同8.下列说法正确的是()A. 摩擦力对物体做功，其机械能必减小B. 外力对物体做功，其机械能必不守恒C. 做变速运动的物体可能没有力对它做功D. 物体速度增加时，其机械能必增加9.一定质量的理想气体的p−1图象如图所示，则从状态a变化到状V态b的过程中，以下说法正确的是()A. 气体内能不变B. 气体内能增加C. 气体放热D. 气体对外界做功10.轻质弹性绳呈水平状，绳的中点为M，两端P、Q同时开始上下振动，一段时间后产生的波形如图，以下判断正确的是()A. 波源P的起振方向竖直向上B. 波源Q产生的波先到达中点MC. 波传至M点后，M点的振动始终加强D. 波源P的频率是波源Q的频率的两倍11.试管内封有一定质量的气体，静止时气柱长为L0，大气压强为p0，其余尺寸如图所示，当试管绕竖直轴以角速度ω在水平面内匀速转动时气柱长变为L。

2024年上海交大附中高一英语期末考试卷（满分150分，答案一律写在答题纸上）第I卷I.Listening Comprehension(25’)Section ADirections:In Section A,you will hear ten short conversations between two speakers.At the end of each conversation,a question will be asked about what was said.The conversations and the questions will be spoken only once.After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper,and decide which one is the best answer to the question you have heard.1.A.7:00 B.6:30 C.6:00 D.7:302.A.They are likely to have a great review. B.They will stay there for a longer time.C.They are to enjoy ice cream in an easy way.D.The ice cream store is too big to imagine.3.A.He was involved in a traffic accident. B.He was not able to get to work on time.C.He is seriously sick of his car.D.He had his car stolen.4.A.The woman planned to travel by high-speed rail.B.One of the man’s ears absolutely deaf.C.The traffic app may help them to avoid a heavy traffic.D.They are driving at a high speed as they planned.5.A.At the bus stop of Shanghai Disney land B.At the platform of a subway.C.At Shanghai railway station.D.At a bus stop somewhere in Shanghai.6.A.Policewoman and driver B.Nurse and patient.C.Librarian and readerD.Hotel manager and guest.7.A.They have adopted at least two kids. B.They will have more adopted kids.C.The couple are from Africa.D.They are an extended family.8.A.Ms.Zeng is planning to raise the raw material cost due to the raised labour cost.B.The man is hesitating about whether he will buy certain products or not.C.The quality of the products is really far from the man’s expectation.D.The man has made up his mind to give the negotiation a stop.9.A.She does not approve of the man’s way in describing people’s speech.B.She believes that people’s speaking in an elegant way is amazing.C.She doesn’t believe people may speak elegantly in real life.D.She was in doubt about the man’s characters in the novel.10.A.Their wedding anniversary is coming soon.B.They’d better find another restaurant to celebrate their wedding anniversary.C.The woman should be more patient on such a big day.D.The driving is dull because of the heavy traffic.Section BDirections:In Section B,you will hear two short passages and one longer conversation,and you will be asked several questions on each of the passages and the conversation.The passages and the conversation will be read twice,but the questions will be spoken only once.When you hear a question,read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions11through13are based on the following passage.11.A.15.000 B.5,000,000 C.15,000,000 D.50,000,00012.A.The Chinese people are really good at the world’s most popular sport,soccer.B.Within next decades,more than90,000soccer fields will be built across the country.C.Chinese men have qualified for the World Cup final only once in2002.D.In contrast to men,Chinese women soccer players are more successful.13.A.Some billionaires in China.B.President Xi Jinping.C.Jackson Martinez.D.The Chinese people.Questions14through16are based on the following passage.14.A.It gives students more time to digest what they’ve learned.B.It is flexible in planning classes,social practice and personal projects.C.Plenty of social practice frees students of worries about their future career.D.Students have more time to enjoy their life in universities.15.A.The length of each semester varies in the Chinese trimester.B.All those“Project985”universities have applied this trimester system.C.Student should take as many courses as possible in summer semester.D.Taking other subjects should be off the list in summer semester.16.A.Taking more courses in summer semester.B.Having an efficient arrangement in studying contents.C.Taking an active part in promoting academic environment.D.Paying not attention to changes in academic schedules.Questions17through20are based on the following conversation.17.A.At home B.In a studio C.In office D.At school18.A.An English programme B.Something annoyingC.An expressionD.A goat called Fred19.A.Nell’s goat is really a mad goat,a troublemaker.B.Nell really makes Feifei mad.C.Nell’s goat was really annoying to everyone.D.Nell’s goat annoys Feifei due to its smell.20.A.Your best friend told you that he’s past the driving test.B.Some cars are blowing their horns when you are doing a test inside.C.You are riding a bicycle with you classmates in the street.D.Your neighbour brings you a cake because it is her daughter’s birthday.II.Grammar and VocabularySection AMultiple Choices(25’)Directions:Beneath each of the following sentences there are four choices marked A,B,C and D.Choose the answer that best completes the sentence.1．Regulations often meet resistance in the rigid system,________bossy employers maybe challenged by employees.A．which B．where C．whose D．that2．Dominating the list are high-income countries,________the average ecological footprint is now five times that of poor nations.A．of which B．what C．in which D．whose3．________we’ve advanced our service quality is helpful in attracting more customers in the future.A．How B．Why C．Which D．That4．The post-pandemic job market is no longer the market________the general public thinks it is,as profit margins shrink.A．which B．as C．where D．that5．It is10years________these important environmental problems were addressed,which benefited the entire world.A．since B．after C．before D．when6．It is suggested________,instead of complaining all day long,Louise think of the contributors who have helped her survive.A．which B．/C．that D．what7．The new class rules in________design most classmates have participated is so innovative that other classes also want to follow suit.A．which B．where C．whose D．what8．New________the facility is,it would make possible a much stronger signal that would cover wider residential areas.A．although B．as C．despite D．while9．It was widely confirmed by scientists that that was exactly________global greenhouse gas emission needs to be addressed as soon as possible.A．why B．how C．when D．whether10．Appreciating a poet’s reading of his own works is very beneficial because we can understand the poem better ________the poet places emphasis or pauses.A．at where B．from where C．in which D．from which11．Whoever is elected the new leader will shoulder the responsibility of shaping our community into a more united one,as________by the voters.A．being expected B．expected C．had expected D．expect12．Where there is freedom of the press,there is also obligation to ensure objective reporting for what________ and what is happening.A．happens B．had happened C．happened D．is happened13．It suddenly________to me that I need to mark it down,because I tend to forget things,however simple theyDead67．The passage can probably be found________.A．on a website providing reviews about reality showsB．on the advertisement of“The1940s House”C．on a textbook about how to make excellent moviesD．in a fantasy novel about travelling back to the1940sCDear boss—You have always tried to attract young and youngish consumers,and our consultants have always come up with new ways to label them.I don’t need to remind you that“millennials”and,increasingly,“Gen Z”are our most important markets.The trouble is that coming up with rules to define a swathe of humanity is more art than science.It is liable to apply stereotypes.Luckily you have me,and I’m here to tell you that much of what is written about marketing to today’s most prized consumers is a myth.Social media has just changed the ways people discover brands from viewing television,newspapers and magazines to surfing Instagram and TikTok;it has weakened the power of marketing as a whole.Such is the ease with which digital natives can fact-check our tricky marketing claims that it is getting harder to build brand loyalty. Online,communication is cheap and prices are readily Googled.There is a similar temptation to think that physical shops no longer matter.Young consumers love their Amazon deliveries.But what works best is the seamless combination of the digital and physical worlds.Remember those online-only influencer-backed beauty brands like Glossier,which took the world by storm during the pandemic?It turns out that they struggle to get repeat business and have had to pair up with physical retailers.If we want to succeed,we need to offer the best of both physical and virtual worlds.Gen Z will consider a brand’s sustainability and social impact,but considering something isn’t surrendering to it.They are never brand-slaved.It is chiefly youngsters who buy cheap“fast-fashion”outfits to wear once and then send to landfill.Also,youngsters care less for consumer boycotts than its virtue-signaling parents,thus open to various brands.No wonder,most brands originate from youngsters with duel identities of producers and consumers.What determines the shopping mode of a generation is their mindset.In Gen Z,lies are easily exposed online, where everyone loves a takedown and hates hypocrisy.We are people just as our young customers are and people will always buy sincerity.68．What is the article primarily warning readers against in marketing?A．The excessive use of digital advertising and ignoring traditional media.1．B【详解】考查定语从句。

上海交通大学附属中学2019-2020学年高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，，则（A）（B）（C）（D）参考答案：C略2. 已知角终边上一点的坐标为（），则的值是（）A．2 B．-2 C. D．参考答案：D3. 如果，，那么直线不经过的象限是 ( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B4. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，A，则B=（）A. B. C. 或 D. 或参考答案：D【分析】由正弦定理，可得：，进而可求解角B的大小，得到答案。

【详解】由题意，因为，，，由正弦定理，可得：，又因为，则，可得：，所以或．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数的应用，其中解答中利用正弦定理，求得是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

5. 下列命题正确的个数是 ( )①②③④（）=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A略6. 数列1，3，6，10，…的一个通项公式a n=（）A．n2﹣n+1 B．C．D．2n+1﹣3参考答案：C【分析】3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…，a n=1+2+3+…+n，利用等差数列的求和公式可求数列的通项公式．【解答】解：由题意，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，∴a n=1+2+3…+n=故选C．【点评】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项公式的关键是挖掘各项的规律，再进行猜测．7. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 o*m( )（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱参考答案：B略8. 若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则c等于()A．－a＋3b B．a－3bC．3a－b D．－3a＋b参考答案：B略9. 函数的最小值是( )A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】设=t，t≥0，则x=t2+2，将原函数式转化为关于t的二次函数式的形式，再利用二次函数的值域求出原函数的值域即可．【解答】解：设=t，t≥0，则x=t2+2，则函数等价于：y=2t2+t+3，t≥0，∵y=2t2+t+3在[0，+∞）上是增函数，∴y min=2×02+0+3=3．∴函数的最小值是3．故选A．【点评】本题主要考查了利用换元法函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题．10. 设偶函数满足，则（）A B C D参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某商人将彩电先按原价提高，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了元，则每台彩电原价是_____元.参考答案：225012. 过点(1,2)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l方程为_______________.参考答案：或【分析】分类讨论直线是否过原点确定直线方程即可.【详解】当直线过原点时，设直线方程为，则，直线方程为，即，当直线不经过原点时，直线的斜率为，直线方程为，整理可得：.故答案为：或．【点睛】本题主要考查直线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13. 已知直线和直线平行，那么实数k=___________. 参考答案：4【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【详解】直线,即，直线，即，又直线和直线平行，∴，即=4故答案为：4【点睛】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 在中，若，则角B=___________参考答案：15. 化为y=为a的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：上海交通大学附属中学20XX 学年度第二学期高一数学期终考试卷考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考号填写清楚.2.本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．函数y =____________.2．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +=________. 3．公比为q 的无穷等比数列{}n a 满足：1q <，12()n n n a k a a ++=++（*n ∈N ），则实数k 的取值范围为_________.4．已知角α的终边在射线43y x =-（0x ≤）上，则sin 2tan 2αα+=______.5．关于x 的方程sin cos cos2x x x +=（[]x ππ∈-，）的所有解之和为_________. 6．函数()sin sin()3f x x x π⋅=-的最小正周期为________. 7．设数列{}n a 满足：121a a ==，32a =，且对于任意正整数n 都有121n n n a a a ++⋅⋅≠，又123123n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++⋅⋅⋅=+++，则1232013a a a a ++++=________.8．已知(0)x π∈，，函数21cos 8sin 2()sin xx f x x++=的最小值是___________.9．设x 为实数，[]x 为不超过实数x 的最大整数，如[2.66]2=，[ 2.66]3-=-.记{}[]x x x =-，则{}x 的取值范围为[01)，.现定义无穷数列{}n a 如下：{}1a a =，当0n a ≠时，11{}n na a +=；当0n a =时，10n a +=.当1132a <≤时，对任意的自然数n 都有n a a =，则实数a 的值为________.10．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(10)d ∈-，.若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________.11．若三个角α、β、γ满足：17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-，17cot cot cot cot cot cot 5αββγγα⋅+⋅+⋅=-，则tan()αβγ++=___________. 12．已知线段AB 上有9个确定的点（包括端点A 与B ）.现对这些点进行往返标数（从A →B →A →B →…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）.如图：在点A 上标1称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n 的点称为点n ），…，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，20XX 都被标记到点上.则点20XX 上的所有标记的数中，最小的是____________.二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”的第二步是[答]()(A) 证明假设n k =（1k ≥且k ∈N ）时正确，可推出1n k =+正确 (B) 证明假设21n k =+（1k ≥且k ∈N ）时正确，可推出23n k =+正确 (C) 证明假设21n k =-（1k ≥且k ∈N ）时正确，可推出21n k =+正确 (D) 证明假设n k ≤（1k ≥且k ∈N ）时正确，可推出2n k =+时正确 14．右图是偶函数)sin()(ϕω+=x A x f （0A >，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象，KML △为等腰直角三角形，90KML ∠=︒，1KL =，则1()6f =[答]()5BA(A)43-(B)14- (C)12-(D)4315．若sin sin 1x y +=，则cos cos x y -的取值范围是[答]()(A)[(B)[(C)[11]-，(D)[22]-，16．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ⋅->，99100101a a -<-.给出下列结论：①01q <<；②9910110a a ⋅->；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是[答] ( )(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④三、解答题（本大题共有5题，满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分.已知函数)sin()(ϕω+=x x f （0ω>，0ϕπ<<）在一个周期上的一系列对应值如下表：（1）写出()f x 的解析式；（2）在ABC △中，2AC =，3BC =，A 为锐角，且21)(-=A f ，求ABC △的面积.18．（本题满分10分）本题共有2个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分.已知集合{}()310C x y xy x y =-++=，，数列{}n a 的首项31=a ，且当2n ≥时，点1()n n a a C -∈，，数列{}n b 满足11n nb a =-. （1）试判断数列{}n b 是否是等差数列，并说明理由； （2）若lim()1n n ns ta b →∞+=（s ，t ∈R ），求t s 的值.19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分.如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.（1）若30MOD ∠=︒，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的三角形铁皮PMN 面积的最大值.20．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2n n n S a b =+（n ∈*N ）. （1）若n b =n, 求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)n n b =-，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T 的表达式.21．（本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分3分，第3小题满分5分.将边长分别为1、2、3、4、…、n 、1n +、…（n ∈*N ）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形.由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、…、第n 个阴影部分图形.设前n 个阴影部分图形的面积的平均值为()f n .记数列{}n a 满足11a =，+1()()n n f n n a f a n ⎧=⎨⎩当为奇数当为偶数.（1）求()f n 的表达式；（2）写出2a 、3a 的值，并求数列{}n a 的通项公式. （3）记a b ad bc c d=-.若n n b a s =+（s ∈R ），且2110n n n n b b b b +++<恒成立，求s 的取值范围.上海交通大学附属中学20XX-20XX 学年第二学期高一期末考试数学一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．6211．[]0,π2．3或3- 3．()(),20,-∞-⋃+∞ 4．26255．0 6．π 7．40258．49．21- 10．4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 11．1112．2二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答 题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．13．C 14．D 15．A 16. B三. 解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. (本题满分8分) 本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分.解：(1) ()cos 2f x x =； （4分） (2）1()2f A =-,即1cos 22A =-，又A 为锐角，π3A ∴= , （5分）在ABC △中，由正弦定理得：sin sin BC ACA B=， sin 3sin AC A B BC ⋅∴== ，又BC AC >，π3B A ∴<=,cos 3B ∴=， （6分）sin sin()sin cos cos sin 6C A B A B A B ∴=+=+=，（7分）1sin 22ABC S AC BC C ∴=⋅⋅⋅=△ （8分） 18.（本题满分10分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分.(1)∵当2≥n 时,点()n n a a ,1-恒在曲线C 上 ∴01311=++---n n n n a a a a （1分） 由nn a b -=11得 当2≥n 时，1111111111111222n n n n n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a a a a a ----------=-===-----+-+ （3分） ∴数列{}n b 是公差为21-的等差数列. （4分） (2)∵31=a ，∴211111-=-=a b ∴()1111222n b n n ⎛⎫=-+-⨯-=- ⎪⎝⎭（6分） ∴n a n -=-1121 ， 则 na n 21+= （8分） ∴2221222112122n ns s n t n tn ts t n a b n n n n ⎛⎫-+⋅+-++ ⎪⎝⎭+==⎛⎫---+ ⎪⎝⎭1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n n b t a s ∴1=s ∴1=t s （10分）19.（本题满分10分）本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分．PNCB AODM(1)设MN 交AD 交于Q 点 ，∵30MOD ∠=，∴12MN =,（1分）OQ =（2分）113(1222PMNSMN AQ =⋅=⨯⨯+= （5分） (2)设MOD θ∠=,θ∴∈[0,]2π,sin MQ θ=,cos OQ θ= （6分）1(1sin )(1cos )2PMNSMN AQ θθ∴=⋅=++1(1sin cos sin cos )2θθθθ=+++ （7分） 令sin cos t θθ+=∈，2211(1)(1)=224PMNt t St -+∴=++ （8分） ∴当t =,即4πθ=时，（9分） PMNS取得最大值，PMNS∴的最大值为4223+. （10分）20.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分．(1)由2n n S a n =+ (*) 当n=1时，可得11a =-当2n ≥时，1121n n S a n --=+-（**）(*)与（**）相减得121n n a a -=-，()1121n n a a --=- 故{}1n a -是以11a -=-2为首项，以2为公比的等比数列，所以1122n n a --=-⋅，得112212n n n a -=-⋅=-(2)由2(1)(1)n n n S a n =+-≥得:1112(1),2n n n S a n ---=+-≥两式相减得:122(1),2nn n a a n -=--≥解法一：11142422(1)(1)2(1)(1)3333n n n n n n n a a a ---=----=+---1122(1)2((1))(2)33n n n n a a n --+-=+-≥故数列2(1)3n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是以12133a -=为首项,公比为2的等比数列.所以121(1)233n n n a -+-=⨯， 即1122(1)33n n n a -=⨯--.解法二：两边同除以(1)n-，得到1122,2(1)(1)n n n n a a n --=--≥-- 设112(1)(1)nn n n a a λλ--⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭， 1123(1)(1)n n n n a a λ--∴=----，23λ=， 2(1)3n n a ⎧⎫∴+⎨⎬-⎩⎭是以12133a -+=-为首项，2-为公比的等比数列.121(2)(1)33n n na -⎛⎫∴+=-⨯- ⎪-⎝⎭整理后得到 1122(1)33n n n a -=⨯--.21.（本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分3分,第2小题满分5分．(1) 由题意，第1个阴影部分图形的面积为2221-，第2个阴影部分图形的面积为2243-，……，第n 个阴影部分图形的面积为()222(21)n n --.故()()()22222221432(21)()n n f n n ⎡⎤-+-+--⎣⎦= 1234(21)221n n n n +++++-+==+（2分）(2) 11a = 2(1)3a f ==32()2317a f a ==⨯+=（3分）当n 为偶数时，(1)21n a f n n =-=-（4分）当n 为大于1的奇数时，[]11()2122(1)1145n n n a f a a n n --==+=--+=-故1121451n n a n n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩() (为偶数) (为大于的奇数)（5分）(3) 由(2)知 1121451n s n b n s n n s n +=⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩() (为偶数) (为大于的奇数)（6分）又2110n n n n b b b b +++<恒成立11212()0n n n n n n n b b b b b b b +++++⇔-=-<恒成立(ⅰ) 当1n =时，12()0n n n b b b ++-<恒成立，即213()(3)(6)0b b b s -=+-<恒成立，于是303s s +>⇒>-（7分） （ⅱ）当n 为偶数时，12()0n n n b b b ++-<恒成立，即 ()()[4(1)5][(21)2(2)1]41(4)0n s n s n s n s +-+⋅-+-+-+=-+-< 恒成立，于是410n s -+>恒成立，()max 417s n >-+=-（8分）（ⅲ）当n 为大于1的奇数时，12()0n n n b b b ++-<恒成立即[]()()()()2(1)1454(2)52180n s n s n s n s +-+⋅-+-+-+=++-<⎡⎤⎣⎦ 恒成立，于是210n s ++>恒成立，max (21)7s n >--=-（9分）s>-（10分）综上所述：3。