极坐标系的概念北师大版

§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念1.了解极坐标系，理解极坐标的概念.(重点)2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置.(难点)3.能进行点坐标和极坐标的互化.(易错易混点)教材整理 极坐标系与极坐标 1.极坐标系的概念如图1­2­1所示，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系.图1­2­12.极坐标的概念对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ).特别地，当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值. 3.点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R ).和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)极轴是以极点为端点的一条射线.( ) (2)极角θ的大小是唯一的.( )(3)点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6与点⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6是同一个点.( )【解析】 (1)√ 极轴是以极点为端点的一条射线.(2)× 因为极角是以极轴为始边，终边是过极点与目标点的射线，可正、可负，相差2k π. (3)× 因为极角不相差2π的整数倍，故不表示同一个点. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴、直线l 、极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π).【精彩点拨】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值.【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53π.关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π. 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上.1.点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序.1.若使正六边形的一个顶点为极点且边长为a ，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的极坐标.【导学号：12990004】【解】 建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：A (0,0)，B (a,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，π3，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，π2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，23π.已知点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，3，分别在下列给定条件下，画出点A 关于极点O 的对称点A ′的位置，并写出A ′的极坐标：(1)ρ＞0，－π＜θ≤π； (2)ρ＜0,0≤θ＜2π； (3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.【精彩点拨】 本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力.【自主解答】 如图所示， |OA |＝|OA ′|＝6， ∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3，即A 与A ′关于极点O 对称，由极坐标的定义知：(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A ′点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，2π3；(2)当ρ＜0,0≤θ＜2π时，A ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，5π3； (3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A ′点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6，－π3.由极坐标确定点的位置的步骤： (1)取定极点O ；(2)作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；(3)以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边； (4)以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置.2.在同一个极坐标系中，画出以下各点： A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，94π.【解】如图所示.探究1【提示】建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.探究2 为什么点的极坐标不唯一？能用三角函数的概念解释吗？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z).某大学校园的部分平面示意图如图1­2­2所示.图1­2­2用点O，A，B，C，D，E，F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0)).【精彩点拨】解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标.【自主解答】以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得|AB|＝300 m，|OA|＝300 3 m，同样求得|OD|＝2|OF|＝3002m，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫600，π6，C ⎝⎛⎭⎪⎫300，π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫3002，3π4，E (300，π)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1502，3π4.在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈3.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 ，π3，B (2，π)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.【解】 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形.(2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝23，∴S △ABC ＝34×(23)2＝3 3.1.在极坐标系中与点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3表示同一点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫－2， 4π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π3【解析】 在极坐标系中将点P 确定，再逐个验证知C 正确. 【答案】 C2.已知极坐标平面内的点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－2π3 【解析】 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3关于极点的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3.【答案】 D3.若A ⎝⎛⎭⎪⎫3，4π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6，O 为极点，则△AOB 的面积为________.【解析】 S △AOB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×5×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π－π6＝154.【答案】1544.关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；④点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4与点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4表示同一个点.其中，叙述正确的序号是________.【导学号：12990005】【解析】 设极点为O ，极轴就是射线Ox ，①正确；极点O 的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，③正确；点M 与点N 的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误.【答案】 ①③5.已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π).【解】 如图所示，由题意知|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝π4，∠xOB ＝3π4，∠xOC ＝5π4，∠xOD ＝7π4.∴正方形的顶点坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念2.2 点的极坐标与直角坐标的互化1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：如图在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系. (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ). 当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值. 2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位. (2)互化公式：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）. 【思维导图】【知能要点】 1.极坐标系的四要素. 2.点的极坐标的写法. 3.极坐标和直角坐标的互化.题型一 极坐标系的概念与点的极坐标1.极坐标系的概念极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③单位长度；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置. 2.点的极坐标每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置.其中，ρ是点M 的极径，θ是点M 的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋2k π) (k ∈Z )，另一类为(－ρ，θ＋2k π＋π) (k ∈Z ).在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定.给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点.但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式.由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系.这是极坐标与直角坐标的不同之处.如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系. 【例1】 写出图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π).解 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E (9，0)，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2. 【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了.(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.1.写出下列各点的极坐标.解 A (4，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，1312π，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，53π.【例2】 在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B (6，－120°)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，180°). 解 各点描点如图所示.【反思感悟】 知道点的极坐标(ρ，θ)，我们可以先根据极角θ确定方向(射线)，然后根据ρ来确定距离，进而描出(ρ，θ)的对应点.2.在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3所在的位置.解 由图可得点A ，B ，C 的极坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π4.点D ，E ，F 的位置如上图所示.【例3】 在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标可能是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4C.(23，π)D.(3，π)解析 如图所示，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点.又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，|OC |＝23，∠AOC ＝π2，C对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4.答案 B【反思感悟】 在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合.3.点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找.描点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边.又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2，就是由极角为π2的那些点的集合.故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选择支没有这样的坐标.又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.答案 B题型二 两点间的距离公式一般地，设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，由余弦定理可得到两点间的距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.【例4】 已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积.解 求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4.【反思感悟】 求两点间距离可以直接套用公式，求三角形面积时可以结合公式S ＝12·ab sin θ考虑.4.若△ABC 的三个顶点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，判定△ABC 的形状.解 AB ＝25＋64－2×8×5cos 5π3＝49＝7，BC ＝9＋64－2×8×3×cos π3＝7， AC ＝25＋9－2·3·5cos 4π3＝7，∴△ABC 为等边三角形.题型三 极坐标与直角坐标的互化我们把极轴与平面直角坐标系xOy 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P (x ，y )是平面上的任一点，如图所示，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.① 从①可得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0） ② ①与②是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)之间的换算公式.【例5】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标. 解 (1)x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52. ∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52.(2)ρ＝（－3）2＋（－1）2＝2，tan θ＝－1－3＝33.又∵点N 在第三象限，ρ>0.∴最小正角θ＝76π. 故点N 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π.【反思感悟】 把极坐标化成直角坐标，直接代入公式即可；把直角坐标化为极坐标，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般只要取θ∈[0，2π)，ρ>0即可.5.若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. (1)已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标.(ρ＞0，0≤θ＜2π)解 (1)x ＝4cos 5π3＝2，y ＝4sin 5π3＝－2 3. ∴直角坐标为(2，－23).(2)ρ1＝4＋4＝22，sin θ1＝－222＝－22，cos θ1＝222＝22，∴θ1＝7π4，∴(2，－2)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，ρ2＝15，sin θ2＝－1，cos θ2＝0，∴θ2＝3π2，∴(0，－15)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，3π21.在极轴上与点⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点的坐标是________. 解析 设所求点的坐标为(ρ，0)，则 ρ2＋（42）2－2×42ρcos π4＝5.即ρ2－8ρ＋7＝0，解得ρ＝1或ρ＝7.∴所求点的坐标为(1，0)或(7，0). 答案 (1，0)或(7，0)2.在直角坐标系中，已知点A (－3，33)，B (33，3). 将A 、B 两点的直角坐标化为极坐标.解 直接根据互化公式，可得A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23π，B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π6.3.某大学校园的部分平面示意图如图所示.用点O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0))解 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.由|OB |＝600 m ，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝90°，得|AB |＝300 m ，|OA |＝3003m ，同样求得|OD |＝2|OF |＝3002，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，E (300，π)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1502，3π4. 4.已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标. (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点.解 (1)由于P 、Q 关于极点对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z ).所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z ). (2)由P 、Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )，所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z ).[P 10练习]在极坐标中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)有什么关系？答 关于极轴对称.设M 点坐标为(ρ，θ)，为直观，以极点为原点，以x 轴的正方向与极轴建立直角坐标系，不难看出与M 点关于y 轴对称的点M 1的坐标为(ρ，π－θ)M 1关于极点对称的点M 2的坐标为(－ρ，π－θ) 则M 2与M 关于极轴对称，如图所示. 【规律方法总结】1.建立极坐标系可以确定点的位置和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面内的点和极坐标一一对应.2.利用极坐标可以刻画点的位置，有时比直角坐标方便，在台风预报、测量、航空、航海中主要采用这种方法.3.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并且取相同的长度单位，平面内一点的直角坐标和极坐标可以进行互化.一、选择题1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式. 答案 B2.已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.32＋62B.32－62C.36＋322D.36－322解析 极坐标系中两点A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)的距离|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.答案 C3.在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A.M 和N B.M 和G C.M 和HD.N 和H解析 把极坐标写成最简形式M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，0，故M 、N 是相互重合的点. 答案 A4.在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3，则线段AB 中点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π3 解析 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3知，∠AOB ＝π2，于是△AOB 为等腰直角三角形，所以|AB |＝22×2＝1， 设线段AB 的中点为C ，则|OC |＝12，极径OC 与极轴所成的角为5π12， 所以线段AB 中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12.答案 A5.一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P 1(－5，109°)，P 2(4，49°)，则这个三角形P 1OP 2的面积为( ) A.5 3B.10 3C.52 3D.10解析 点P 1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P 1OP 2＝120°，S △P 1OP 2＝12×4×5sin 120°＝5 3.答案 A二、填空题6.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________. 解析 利用极坐标系中两点间距离公式.答案 57.在极坐标系中，点P (ρ，θ)与Q (－ρ，π－θ)的位置关系是________.解析 Q 的极坐标可写成(ρ，－θ)，故与P (ρ，θ)关于极轴对称.答案 关于极轴对称8.直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________. 解析 A 、B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32， k ＝－1，倾斜角为3π4，故直线与极轴的夹角为π4.答案 π49.极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则 (1)点A 关于极轴对称的点是________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________.(规定ρ>0，θ∈[0，2π))解析 如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 三、解答题10.在极坐标系中，(1)求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π36，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43π36两点间的距离；(2)已知点P 的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R ，求满足上述条件的点P 的位置.解 (1)A ，B 在过极点且与极轴成7π36的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上.11.设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.解 如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列两种情形：(1)当θ＝30°时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝150°时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝210°时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝330°时，ρ＝30(万千米).彗星此时的极坐标有四种情形：⎝ ⎛⎭⎪⎫30，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，5π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，11π6. 12.在极坐标系中，已知三点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，－π4，R (6，2π). (1)将P 、Q 、R 三点的极坐标化为直角坐标；(2)求△PQR 的面积.解 (1)P (23，2)，Q (4，－4)，R (6，0).(2)直线PQ 的方程为y ＋4＝6（x －4）23－4， 与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋43，0，S △PQR ＝14－4 3. 13.已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0，0≤θ<2π时，求点P 的极坐标.解 设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，∴点P 的直角坐标为(3，－3).ρ＝32＋（－3）2＝23，tan θ＝－33， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6.。

极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．图1－2－13．极坐标与直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1－2－1所示．(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎨⎧x＝ρcos θy＝ρsin θρ2＝x2＋y2tan θ＝yx(x≠0)1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？【提示】极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题．2．由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标惟一吗？【提示】平面上点的极坐标不是惟一的．如果限定ρ>0，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)可建立一一对应关系．3．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？【提示】任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若ρ>0，则sin θ＝yρ，cos θ＝xρ，所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0).。

石泉中学课时教案科目:高二数学教师:张艳琴授课时间: 第11周星期四2016 年 5月 5 日单元（章节）课题第一章坐标系本节课题 2.1极坐标系的概念三维目标知识与技能: 理解极坐标系的概念, 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 过程与方法：通过实例, 体会极坐标系与平面直角坐标系的区别。

情感,态度与价值观: 培养学生学习数学概念的方法；情感,态度与价值观：培养学生学习数学概念的方法；提炼的课题极坐标系的概念教学重难点重点: 理解极坐标系的概念, 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 难点: 的理解。

难点：0,0<<θρ的理解。

教学过程一、情境导入如图为某校园的平面示意图, 假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置, 他应如何描述？二、自主学习（预习教材P8~ P9, 找出疑惑之处）1.极坐标的概念1.如右图, 在平面内取一个定点, 叫做；自极点引一条射线, 叫做；再选定一个, 一个（通常取）及其 （通常取 方向）, 这样就建立了一个 。

如图：2.设是平面内一点, 极点与的距离叫做点的 , 记为 ；以极轴为始边, 射线为终边的角叫做点的 , 记为 。

有序数对 叫做点的 , 记作 。

特别规定： 当M 在极点时, 它的极坐标= , 可以取任意值.3、思考: 如何做点）？，（），，（ππ-2-6-2B A 三、典型例题例1． 题型一: 已知点的极坐标在极坐标系里描出点的位置在极坐标系中描出下列各点:).675.3(),345(),23(),62()0,4(ππππ，，，，，E D C B A 题型二: 已知极坐标系点的位置写出点的极坐标例2.在极坐标系中, 请写出点A, B, C 的极坐标。

四、课堂小结你今天主要学习了什么？ 都有哪些收获？你今天主要学习了什么？都有哪些收获？),(θρM● ρ θ O x。

第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系． 对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点Μ的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). 这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程1．(2016·北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程．解 点(2，π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2，2sin π2)，即(0,2)．∴过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为y ＝2. 即为ρsin θ＝2.2．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB (其中O 为极点)的面积．解 由题意知A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB＝12×3×4×sin π6＝3. 3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值．解 由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ，∴B 点的坐标为(33a ，a )． 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴(33a )2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.(2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝x .由ρsin θ＝1，得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1)．思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程．解 (1)将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ. (2)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于x 轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.题型二 求曲线的极坐标方程例2 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋(y 2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中， 令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 如图所示，因为圆C 经过点 P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径 |PC |＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 题型三 极坐标方程的应用例3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即MN ＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.思维升华 (1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程； (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．(2016·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解 由ρsin(θ＋π4)＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.故所求弦长为4 3.1．(2015·广东)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解 依题可知直线l ：2ρsin ⎝⎛⎫θ－π4＝2和点A ⎝⎛⎭⎫22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－(－2)＋1|12＋(－1)2＝522.2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．解 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值． 解 圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝3x ， 即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程为2x ＋4y ＋a ＝0. 因为圆与直线相切，所以|2×32＋4×0＋a |22＋42＝32，解得a ＝－3±3 5.4．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程．解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系， 则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 且圆心为(1,0)．直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，求|PQ |的最大值．解 对曲线C 1的极坐标方程进行转化：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36.对曲线C 2的极坐标方程进行转化： ∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， ∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.6．在极坐标系中，O 是极点，设A (4，π3)，B (5，－5π6)，求△AOB 的面积．解 如图所示，∠AOB ＝2π－π3－5π6＝5π6，OA ＝4，OB ＝5，故S △AOB ＝12×4×5×sin 5π6＝5.7．已知P (5，2π3)，O 为极点，求使△POP ′为正三角形的点P ′的坐标．解 设P ′点的极坐标为(ρ，θ)． ∵△POP ′为正三角形，如图所示， ∴∠POP ′＝π3.∴θ＝2π3－π3＝π3或θ＝2π3＋π3＝π.又ρ＝5，∴P ′点的极坐标为(5，π3)或(5，π)．8．在极坐标系中，判断直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系．解 直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．9．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)． (2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)． N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。