经济数学(不定积分习题及答案)

不定积分 （Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx ２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dxxxx32532 ６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x32(⎰+　８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos ６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰ ８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx 12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin 14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211 ２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx ６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）　１）inxdxxs⎰ ２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2 ６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln ８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dxxx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx （Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

不定积分一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 如果xe-是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰。

2. 若()2cos 2xf x dx C =+⎰，则()f x = 。

3. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 。

4.()()f x df x =⎰ 。

5. sin cos x xdx =⎰。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设3()ln sin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。

A . cot 4xB . cot 4x -C . 3cos4xD . 3cot 4x2. ln x dx x =⎰（ ）。

A . 21ln 2x x C + B .21ln 2x C + C . ln x C x+ D .221ln xC x x-+ 3. 若()f x 为可导、可积函数，则（ ）。

A . ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰B . ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰C .()()f x dx f x '=⎰ D . ()()df x f x =⎰4. 下列凑微分式中（ ）是正确的。

A . 2sin 2(sin )xdx d x = B .d = C . 1ln ()x dx d x = D . 21arctan ()1xdx d x=+ 5. 若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）。

A . 222(1)x C ++ B . 222(1)x C --+C . 221(1)2x C ++D . 221(1)2x C --+三、计算题（每小题8分，共48分） 1. 2194dx x -⎰2.3. dx x⎰4. arcsin xdx ⎰5. dx x xx ⎰++21arctan6. .)1(21222dx x x x ⎰++四、综合题（本大题共2小题, 总计22分）1.（10分）求⎰'''⋅-'dx x f x f x f x f x f ])()()()()([32的值。

不定积分习题及答案9．求()()()()()dx x f x f x f x f x f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''-'32。

10．()d x x x ⎰1,,max 23。

第四章 不定积分(A 层次)1．⎰xx dx cos sin解：原式()()⎰⎰+===C tgx tgxtgx d dx tgx x ln sec 2 2．⎰--dx xx 2112解：原式()⎰⎰+---=-----=C x x x dx x x d arcsin 1211122223．()()⎰-+21x x dx解：原式()()[]⎰+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=C x x dx x x 2ln 1ln 31211131 C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+-=12ln 314．⎰xdx x 7sin 5sin 解：原式()⎰⎰⎰-=--=xdx xdx dx x x 12cos 212cos 212cos 12cos 21C x x +-=12sin 2412sin 41 5．()⎰+dx x x x arctg 1解：原式()()()⎰⎰+==+=C xarctg x arctg d x arctg dx x x arctg 222126．⎰-+21xx dx解：⎰⎰⎰+-++=+=-+dt tt tt t t t t tdt t x x x dx sin cos sin cos sin cos 21cos sin cos sin 12令()()C t t t t t t t d dt +++=+++=⎰⎰cos sin ln 2121cos sin cos sin 2121 ()C x x x ++-+=21ln 21arcsin 21 7．⎰arctgxdx x 2 解：原式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎰⎰dx x x arctgx x x arctgxd 2333113131 ⎰⎰++-=231313131x xdxxdx arctgx x ()C x x arctgx x ++--=2231ln 6161318．()⎰dx x ln cos解：原式()()[]⎰+=dx x x x x x 1ln sin ln cos ()()⎰+=dx x x x ln sin ln cos()()()[]⎰-+=x xd x x x x ln sin ln sin ln cos ()()()⎰-+=dx x x x x x x ln cos ln sin ln cos 故()()()[]C x x x x dx x ++=⎰ln sin ln cos 21ln cos 9．⎰--+dx xx x x 3458解：原式()⎰⎰--++++=dx xx x x dx x x 32281⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 131******** ()()C x x x x x x +--+-+++=1ln 31ln 4ln 821312310．()⎰+dx x x 2831解：原式()()()⎰⎰⎰=+=+=t tdt tgt u u du u x x x d 42224284sec sec 41141141令令 ()⎰⎰+==dt t tdt 2cos 181cos 412C t t ++=2sin 16181C uu u arctgu ++⋅++=221118181 ()C x x arctgx +++=844188111．⎰xdx x 2cos解：原式⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=dx x x 22cos 1[]()⎰⎰⎰+=+=x xd x xdx x xdx 2sin 41412cos 212 ⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412C x x x x +++=2cos 812sin 4141212．⎰dx e x 3解：令t x =3，则3t x =，dt t dx 23=原式[]⎰⎰⎰-===t d t e e t de t dt t e t t t t 2333222[]⎰⎰--=-=dt e te e t tde e t ttttt 636322C e te e t t t t ++-=6632 ()C x x e x++-=2223332313．⎰xx x dxln ln ln解：原式()()[]()()[]C x x x d x x x d +===⎰⎰ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 14．()⎰+21x e dx解：()()()()⎰⎰⎰⎰+-+=+-+=+222111111t dtdt t t t t t t t e e dxx x令 ()()C t t t t t d dt t t ++++=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰111ln 111112()C e e x C e e e xxx x x ++++-=++++=111ln 111ln15．()⎰+dx exe xx21解：原式()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=11112x xx e xd ee xd()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=+++-=x x x x x x x x e d e e e x dx e e e e x 111111()C e e e xx x x++-++-=1ln ln 1()C e e xe x xx++-+=1ln 116．dx x ⎰3sin解：令t x =3，则3t x =，dt t dx 23= 原式⎰⎰-=⋅=t d t dt t t cos 33sin 22⎰⎰+-=⋅+-=t td t t tdt t t t sin 6cos 32cos 3cos 322 ⎰-+-=tdt t t t t sin 6sin 6cos 32 C t t t t t +++-=cos 6sin 6cos 32C x x x x x +++-=333332cos 6sin 6cos 3 17．⎰-dx xx 1arcsin解：令u x sin =，则u x 2sin =，udu u dx cos sin 2= 原式⎰=udu u uucos sin 2cos ()⎰⎰--=-=udu u u u d u cos cos 2cos 2C x x x C u u u ++--=++-=2arcsin 12sin 2cos 218．()⎰+dx x x 321ln解：原式()⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=-22211ln x d x()⎰+++-=dx xx x x x 2222122121ln ()()⎰+++-=2222212121ln x x dx x x ()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=222221112121ln dx x x x x ()()[]C x x xx ++-++-=22221ln ln 2121ln ()()C x x xx ++-++-=2221ln 21ln 21ln 19．⎰+-dx xx xx sin 2cos 5sin 3cos 7解：原式()()⎰+-++=dx x x x x x x sin 2cos 5sin 5cos 2sin 2cos 5dx x x x x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-+=sin 2cos 5sin 5cos 21C x x x +++=sin 2cos 5ln 20．()⎰++dx x xx 21ln解：原式()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x d x x 11ln⎰+++++-=dx x x x x x 1111ln ⎰+++-=dx x x x x 11ln C x xxx ++++-=ln 1ln 21．⎰xdx x 35cos sin解：原式⎰=xdx x x cos cos sin 25()x d x x sin sin 1sin 25⎰-=C x x +-=86sin 81sin 6122．⎰dx x x tgxsin cos ln解：原式()⎰⎰==tgx d tgx tgxdx xtgxtgx ln cos ln 2 ()()⎰+==C tgx tgx tgxd 2ln 21ln ln 23．dx xx ⎰-2arccos 2110解：原式()⎰-=x d x arccos 21021arccos 2 C C x x ar +-=+-=arccos 2cos 21010ln 211010ln 12124．⎰arctgxdx x 2 解：原式()⎰=331x arctgxd ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰dx x x arctgx x 2331131 dx xxx x arctgx x ⎰+-+-=23313131 ⎰⎰++-=231313131x xdxxdx arctgx x ()C x x arctgx x ++--=2231ln 61613125．⎰-+dx x xx 1122解：令t x 1=，dt tdx 21-=原式dt t t t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=222111111⎰⎰⎰----=-+-=dt tt tdt dt tt 2221111C t t +-+-=21arcsinC xx x+-+-=11arcsin 2 26．dx x a x ⎰+222 解：令atgt x =，tdt a dx 2sec = 原式dt t a ttg a t a ⎰=222sec sec ⎰⎰+==dt tt tt t t dt cos sin cos sin cos sin 2222dt tttdt ⎰⎰+=2sin cos sec C t tgt t +-+=sin 1sec lnC xx a a x a x a ++-++=2222lnC x a x a x ++-++=2222ln 27．()dx tgx e x 221⎰+解：原式()⎰+=dx tgx x e x 2sec 22 ⎰⎰+=tgxdx e xdx e x x 2222sec ⎰⎰+=tgxdx e dtgx e x x 222dx tgx e dx e tgx tgx e x x x ⎰⎰+⋅-=22222C t g xe x +=2 28．()()()⎰+++321x x x xdx解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=⎰⎰⎰3312421x dx x dx x dx()()()[]C x x x ++-+-+=1ln 3ln 32ln 421()()()C x x x ++++=34312ln2129．()⎰+xx dxsin cos 2解：令t x tg =2，则arctgt x 2=，212t dt dx +=，212sin t tx +=，2211cos t t x +-=，于是原式()⎰++=dt tt t 3122⎰⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=dt t t t 313322()⎰⎰+++=dt tt t d 131333122 ()C t t ++=3ln 313C x tg x tg +⎪⎭⎫⎝⎛+=232ln 31330．dx xxx x ex⎰-23sin cos sin cos 。

不定积分100道例题及解答不定积分100道例题及解答1. 问题：计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解答：根据不定积分的基本性质，我们可以逐个对各项进行积分。

对于x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) =x^3/3。

对于2x，应用常数倍法则得到的积分结果为 x^2。

对于常数项1，则积分结果是x。

将这三个结果相加，即得到最终的积分结果为x^3/3 + x^2 + x + C，其中C为常数项。

2. 问题：计算不定积分∫(2e^x + 3x^2) dx解答：对于2e^x，应用指数函数的基本积分法则得到 2e^x。

对于3x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) = x^3/3。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 2e^x + x^3/3 + C，其中C为常数项。

3. 问题：计算不定积分∫(sin(x) + cos(x)) dx解答：对于sin(x)，应用三角函数的基本积分法则得到 -cos(x)。

对于cos(x)，同样应用三角函数的基本积分法则得到 sin(x)。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 -cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数项。

4. 问题：计算不定积分∫(1/x^2) dx解答：对于1/x^2，可以应用倒数函数的基本积分法则得到 -1/x。

因此，最终的积分结果为 -1/x + C，其中C为常数项。

5. 问题：计算不定积分∫(ln(x) + 1/x) dx解答：对于ln(x)，应用对数函数的基本积分法则得到 xln(x) - x。

对于1/x，同样应用倒数函数的基本积分法则得到 ln(x)。

将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 xln(x) - x + ln(x) + C，其中C为常数项。

6. 问题：计算不定积分∫(e^2x + x^3) dx解答：对于e^2x，应用指数函数的基本积分法则得到(1/2)e^2x。

第一单元 原函数的概念一、学习目标通过本节课的学习，理解原函数的概念．二、内容讲解这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数． 已知 求 总成本函数 边际成本 C (x ) C '(x )‖（ ） MC( )' = MC求 已知已知总成本C (x )，求边际成本C '(x )，就是求导数．反之如果已知边际成本，用MC 表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC ．我们引进一个概念：定义1.1——原函数若对任何x ∈D ，F '(x )=f (x )，则称F (x )为f (x )的原函数． 我们来看具体的问题：例如(x 3)' =3x 2 [F (x ) f (x )]；∴x 3是3x 2的原函数．大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数的概念搞混了． 先考虑这样一个问题：x 2的原函数是哪个？由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是x 2，即它使得x 2)(='成立，我们在下列函数中进行选择：12,ln ,4,1,222+-+xx x x 经验证知21x +和42-x 是2x 的原函数．通过这个过程应该弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已知函数，这个函数就是所求的原函数．另外，2x 的原函数不唯一．它告诉我们原函数不止一个． 再从另一方面提出问题：x sin 为哪个函数的原函数？x x cos )(sin ='，说明x sin 是x cos 的原函数．同样x x cos )3(sin ='+，说明3sin +x 是x cos 的原函数．事实上，c x +sin 都是x cos 的原函数，说明原函数有无穷多个．那怎样求出一个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的．若)(,)(x G x F 都是)(x f 的原函数，则c x F x G +=)()( 证：设)()()(x G x F x H -=0)()()()()(=-='-'='x f x f x G x F x H可知c x H -=)(，即c x F x G +=)()(这个结论非常重要，我们已经知道，若)(x F 是)(x f 的原函数，则c x F +)(都是)(x f 的原函数．而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数．所以只要求出一个原函数，就能得到所有原函数．问题思考1：如果一个函数)(x f 有原函数，它可能有多少个原函数？ 答案有无穷多个原函数．问题思考2：)(x F 是)(x f 的原函数，c x F +)(是否包含了)(x f 的所有原函数？ 答案是，因为)(x f 的任一原函数)(x G 都可表示为c x F +)(的形式．三、例题讲解例1求x 1的全体原函数．分析：先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数．求原函数就是看哪个函数的导数是x 1．解：因为x x 1)(ln ='，所以x ln 是x 1的一个原函数．故x1的全体原函数为x ln +c 。

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法;思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分★1⎰思路: 被积函数52x -=,由积分表中的公式2可解; 解：532223x dx x C --==-+⎰★2dx-⎰ 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★322x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★43)x dx -思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰ ★★54223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分; 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★6221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分;解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出56两题的解题思路是一致的;一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分;★7x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分;解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★823(1dx x -+⎰思路:分项积分;解：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰ ★★9思路=11172488xx ++==,直接积分; 解：715888.15x dx x C ==+⎰ ★★10221(1)dx x x +⎰思路:裂项分项积分;解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x=-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★11211x x e dx e --⎰ 解：21(1)(1)(1).11x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰★★123x x e dx ⎰思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变,底数相乘;显然33x x x e e =（）;解：333.ln(3)x x x xe e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（） ★★132cot xdx ⎰思路:应用三角恒等式“22cot csc 1x x =-”;解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰★★1423523x xx dx ⋅-⋅⎰思路:被积函数 235222533x x x x ⋅-⋅=-（）,积分没困难; 解：2()2352232525.33ln 2ln 3x x xx x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★152cos 2x dx ⎰ 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分;解：21cos 11cos sin .2222x x d dx x x C +==++⎰⎰★★1611cos 2dx x +⎰ 思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分;解：221111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x===++⎰⎰⎰ ★17cos 2cos sin x dx x x -⎰ 思路:不难,关键知道“22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”;解：cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x dx x x dx x x C x x=+=-+-⎰⎰ ★1822cos 2cos sin x dx x x ⋅⎰ 思路:同上题方法,应用“22cos 2cos sin x x x =-”,分项积分;解：22222222cos 2cos sin 11cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x x x x x-==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰★★19dx ⎰思路:注意到被积函数==,应用公式5即可;解：22arcsin .dx x C ==+⎰ ★★2021cos 1cos 2x dx x ++⎰思路:注意到被积函数 22221cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x x x x x++==++,则积分易得; 解：221cos 11tan sec .1cos 2222x x x dx xdx dx C x ++=+=++⎰⎰⎰ ★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰,求()f x ;知识点：考查不定积分原函数与被积函数的关系;思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()d f x dx f x dx =⎰即可; 解：等式两边对x 求导数得：★3、设()f x 的导函数为sin x ,求()f x 的原函数全体;知识点：仍为考查不定积分原函数与被积函数的关系;思路分析：连续两次求不定积分即可;解：由题意可知,1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰所以()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰（）;★4、证明函数21,2x x e e shx 和x e chx 都是s x e chx hx -的原函数 知识点：考查原函数不定积分与被积函数的关系;思路分析：只需验证即可;解：2x x e e chx shx =-,而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx ===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程; 知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数不定积分与被积函数的关系; 思路分析：求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可;解：设曲线方程为()y f x =,由题意可知：1[()]d f x dx x =,()ln ||f x x C ∴=+； 又点2(,3)e 在曲线上,适合方程,有23ln(),1e C C =+∴=,所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+★★6、一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是23(/)t m s ,问：（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少（2） 物体走完360米需要多少时间知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数不定积分与被积函数的关系; 思路分析：求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可;解：设物体的位移方程为：()y f t =,则由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C =⇒=+d dt, 又因为物体是由静止开始运动的,3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=;1 3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米；2令3360t t =⇒=秒;习题4-2★1、填空是下列等式成立;知识点：练习简单的凑微分; 思路分析：根据微分运算凑齐系数即可;解：234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dx d x xdx d x x dx d x =-=--=-2、求下列不定积分;知识点：凑微分第一换元积分法的练习;思路分析：审题看看是否需要凑微分;直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握;此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍★13t e dt ⎰思路:凑微分;解：33311(3)33t t t e dt e d t e C ==+⎰⎰ ★23(35)x dx -⎰思路:凑微分; 解：33411(35)(35)(35)(35)520x dx x x x C -=---=--+⎰⎰d ★3132dx x -⎰思路:凑微分;解：1111(32)ln |32|.322322dx d x x C x x =--=--+--⎰⎰ ★4⎰ 思路:凑微分;解：1233111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+⎰ ★5(sin )xb ax e dx -⎰思路:凑微分;解：11(sin )sin ()()cos x x x b b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a-=-=--+⎰⎰⎰★★6思路:如果你能看到td =,凑出d 易解;解：2C ==+⎰ ★7102tan sec x xdx ⎰思路:凑微分;解：10210111tan sec tan (tan )tan .11x xdx xd x x C ==+⎰⎰ ★★8ln ln ln dx x x x ⎰思路:连续三次应用公式3凑微分即可;解：(ln ||)(ln |ln |)ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+⎰⎰⎰★★9tan ⎰思路:是什么,是什么呢就是这有一定难度解：ln ||C ==-+⎰⎰ ★★10sin cos dx x x ⎰思路:凑微分;解：方法一：倍角公式sin 22sin cos x x x =;方法二：将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数;方法三： 三角公式22sin cos 1x x +=,然后凑微分;★★11x x dx e e -+⎰思路:凑微分：222111()x x x x x x x x dx e dx de de e e e e e -===++++;解：22arctan 11()x x x x x x x dx e dx de e C e e e e -===++++⎰⎰⎰ ★122cos()x x dx ⎰思路:凑微分;解：222211cos()cos sin 22x x dx x dx x C ==+⎰⎰ ★★13思路:22==凑微分易解; 解：1222211(23)(23)66x d x C -=-=---=⎰ ★★142cos ()sin()t t dt ωω⎰思路:凑微分;解：22211cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωωω==-⎰⎰⎰★★153431x dx x -⎰ 思路:凑微分;解：33444444433431313(1)ln |1|.44441111x x dx dx dx d x x C x x x x===--=--+----⎰⎰⎰⎰ ★163sin cos x dx x ⎰思路:凑微分;解：332sin 111cos .2cos cos cos x dx d x C x x x =-=+⎰⎰ ★★179思路:经过两步凑微分即可;解：9101010111010C ===+⎰ ★★18思路:分项后分别凑微分即可;解：=-⎰ ★★19 221dx x -⎰ 思路:裂项分项后分别凑微分即可;解：21212dx dx x ==-⎰⎰⎰ ★202(45)xdx x -⎰思路:分项后分别凑微分即可;解：22214541114(45)(45)5(45)2545(45)xdx x dx d x x x x x --=-=------⎰⎰⎰（）（） ★212100(1)x dx x -⎰思路:分项后分别凑微分即可;解：222100100100100100(11)(1)(1)1(2)(1)(1)(1)(1)(1)x dx x dx x x dx x x x x x -+--==++-----⎰⎰⎰ ★★2281xdx x -⎰思路:裂项分项后分别凑微分即可;解：28444444111111()()241(1)(1)1111xdx xdx xdx dx x x x x x x x ==-=---+-+-+⎰⎰⎰⎰ ★233cos xdx ⎰思路:凑微分;cos sin xdx d x =;解：3222cos cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x =⋅==-⎰⎰⎰⎰★★242cos ()t dt ωϕ+⎰思路:降幂后分项凑微分; 解：21cos 2()11cos ()cos 2()2()224t t dt dt dt t d t ωϕωϕωϕωϕω+++==+++⎰⎰⎰⎰★★★25sin 2cos3x xdx ⎰思路:积化和差后分项凑微分;解：111sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102x xdx x x dx xd x xdx =-=-⎰⎰⎰⎰ ★★★26sin5sin 7x xdx ⎰思路:积化和差后分项凑微分;解：111sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424x xdx x x dx xd x xd x =-=-⎰⎰⎰⎰ ★★★273tansec x xdx ⎰思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =;解：3222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =⋅==-⎰⎰⎰⎰★★28arccos x思路:(arccos )d x =-;解：arccos arccos arccos 1010arccos .ln10x xxd x C =-=-+⎰★★29思路:(arcsin )d x =;解：2arcsin 1arcsin (arcsin )d x C x x ==-+⎰★★★★30思路:==;解：==⎰★★★★31ln tan cos sin xdx x x ⎰思路:被积函数中间变量为tan x ,故须在微分中凑出tan x ,即被积函数中凑出2sec x , 解：2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x xdx dx d x xd x x x x x x===⎰⎰⎰⎰ ★★★★3221ln (ln )xdx x x +⎰思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+ 解：221ln 11(ln )ln (ln )(ln )x dx d x x C x x x x x x +==-+⎰⎰ ★★★★331x dxe -⎰解：方法一：思路:将被积函数的分子分母同时除以 x e ,则凑微分易得; 方法二： 思路:分项后凑微分 方法三：思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 x e ,裂项后凑微分;★★★★346(4)dx x x +⎰解：方法一:思路：分项后凑积分;方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换; 令1x t =,则21dx dt t=-; ★★★★3582(1)dxx x -⎰解：方法一: 思路：分项后凑积分;方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换; 令1x t=,则21dx dt t =-; 6426422753751111(1)()(1)()211111111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++⎰⎰⎰⎰3、求下列不定积分;知识点：真正的换元,主要是三角换元第二种换元积分法的练习;思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式三角函数中,下列二恒等式起到了重要的作用;为保证替换函数的单调性,通常将交的范围加以限制,以确保函数单调;不妨将角的范围统统限制在锐角范围内,得出新变量的表达式,再形式化地换回原变量即可;★★★1⎰ 思路:令sin ,2x t t π=<,先进行三角换元,分项后,再用三角函数的升降幂公式;解：令sin ,2x t t π=<,则cos dx tdt =;tan arcsin .2t t C x C =-+=+或arcsin x C =+ 万能公式sin 1cos tan 21cos sin tt tt t-==+,又sin t x =时,cos t★★★2⎰思路:令3sec ,(0,)2x t t π=∈,三角换元;解：令3sec ,(0,)2x t t π=∈,则3sec tan dx t tdt =;3sec x x =时,3cos ,sin tan x x x x===★★★3思路:令tan ,2x t t π=<,三角换元;解：令tan ,2x t t π=<,则2sec dx tdt =;★★★4思路:令a tan ,2x t t π=<,三角换元;解：令tan ,2x a t t π=<,则2a sec dx tdt =;★★★★52思路:先令2u x =,进行第一次换元；然后令tan ,2u t t π=<,进行第二次换元;解：2224112x x x +=+⎰,令2u x =得：212=,令tan ,2u t t π=<,则2sec du tdt =, 与课本后答案不同★★★6思路:三角换元,关键配方要正确;解：22549(2)x x x --=-+,令23sin ,2x t t π+=<,则3cos dx tdt =;★★4、求一个函数()f x ,满足'()f x =,且(0)1f =;思路:,由条件(0)1f =确定出常数C 的值即可;解：1(1).1x C x=+=+⎰⎰令()f x C =+,又(0)1f =,可知1C =-,★★★5、设tan ,n n I xdx =⎰,求证：1-21tan 1n n n I x I n -=--,并求5tan xdx ⎰; 思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan n x 分开成22tan tan n x x -,进而写成：22222tan (sec 1)tan sec tan n n n x x x x x ----=-,分项积分即可;证明：222222tan (tan sec tan )tan sec tan n n n n n n I xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-⎰⎰⎰⎰ 习题4-3 1、求下列不定积分：知识点：基本的分部积分法的练习;思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分;”的原则进行分部积分的练习;★1arcsin xdx ⎰思路:被积函数的形式看作0arcsin x x ,按照“反、对、幂、三、指”顺序,幂函数0x 优先纳入到微分号下,凑微分后仍为dx ;解：21arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+-⎰⎰ ★★22ln(1)x dx +⎰思路：同上题;解：22222222ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x dx x x dx x x+=+-=+-++⎰⎰⎰ ★3arctan xdx ⎰思路：同上题;解：222(1)arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x+=-=-++⎰⎰⎰1★★42sin 2xx e dx -⎰ 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：22221111sin sin ()sin cos 22222222xx x x x x x x e dx d e e e dx ----=-=-+⎰⎰⎰ ★★52arctan x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：32332111arctan arctan ()arctan 3331x x xdx xd x x x dx x ==-+⎰⎰⎰ ★6cos 2xx dx ⎰ 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：cos 2sin 2sin 2sin 2sin 4sin 2222222xx x x x x xx dx xd x dx x d==-=-⎰⎰⎰⎰ ★★72tan x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：2222tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰d★★82ln xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222211ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dx x x=-⋅⋅=-=-+⋅⎰⎰⎰⎰★★9ln(1)x x dx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：22211ln(1)ln(1)ln(1)2221x x x x dx x d x x dx x -=-=---⎰⎰⎰★★1022ln xdx x ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222222ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x x dx xd x x dx x dx x x x x x x x=-=-+⋅=-+⎰⎰⎰⎰★★11cosln xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：1cosln cosln sin ln cosln sin ln xdx x x x x dx x x xdx x =+⋅=+⎰⎰⎰ ★★122ln x dx x ⎰思路：详见第10 小题解答中间,解答略;★★13ln (1)nx xdxn ≠-⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：111111ln ln ln 111n nn n x x xdx xdx x x dx n n n x+++==-⋅+++⎰⎰⎰ ★★142xx e dx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222222x x x x x x x e dx x e e xdx x e xe e dx ------=-+=--+⎰⎰⎰★★1532(ln )x x dx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：32244241111(ln )(ln )()(ln )2ln 444x x dx x d x x x x x dx x==-⋅⋅⎰⎰⎰ ★★16ln ln xdx x ⎰思路： 将积分表达式ln ln xdx x写成ln ln (ln )xd x ,将ln x 看作一个整体变量积分即可; 解：ln ln 111ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x dx xd x x x x dx x x dx x x x x==-⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰ ★★★ 17sin cos x x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：11111sin cos sin 2(cos 2)cos 2cos 222244x x xdx x xdx xd x x x xdx ==-=-+⎰⎰⎰⎰★★1822cos 2x x dx ⎰思路：先将2cos 2x 降幂得1cos 2x+,然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：2222221111cos (cos )cos 22222xx dx x x x dx x dx x xdx =+=+⎰⎰⎰⎰ ★★192(1)sin 2xxdx -⎰思路：分项后对第一个积分分部积分;解：22211(1)sin 2sin 2sin 2(cos 2)cos 222x xdx x xdx xdx x d x x -=-=-+⎰⎰⎰⎰★★★20⎰思路：首先换元,后分部积分;解：令t =,则32,3,x t dx t dt ==★★★212(arcsin )x dx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：22(arcsin )(arcsin )x dx x x x =-⎰⎰222(arcsin )2(arcsin )2(arcsin )2.x x x x x x dx x x x x C =+-=+-=+-+⎰★★★222sin x e xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：方法一： 方法二：★★★23思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：ln(1))1x d x x =++-+⎰⎰令t=则2,dx tdt =所以原积分)4arctan x C=+-++;★★★24ln(1)x x e dx e +⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：ln(1)ln(1)()ln(1)1x x x x x x xx xe e dx e d e e e e dx e e---+=+-=-+++⎰⎰⎰ 注：该题中11x dx e +⎰的其他计算方法可参照习题4-2,233; ★★★251ln 1xx dx x +-⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：2222111111111lnln ()ln 1122121(1)x x x x x xx dx d x x x dx x x x x x +++--++==-⋅---+-⎰⎰⎰ 注： 该题也可以化为 1ln[ln(1)ln(1)]1xx dx x x x dx x+=+---⎰⎰再利用分部积分法计算; ★★★26sin 2cos dxx x ⎰思路：将被积表达式sin 2cos dxx x 写成22sec tan 2sin 2sin 2sin cos dx xdx d x x x x x ==,然后分部积分即可; 解：22sec tan sin 2cos 2sin 2sin 2sin cos dx dx xdx d xx x xx x x ===⎰⎰⎰⎰2、 用列表法求下列不定积分;知识点：仍是分部积分法的练习;思路分析：审题看看是否需要分项,是否需要分部积分,是否需要凑微分;按照各种方法完成;我们仍然用一般方法解出,不用列表法;★13xxedx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：33333331111111()3().3333933x x x x x x xxe dx xd e xe e dx xe e d x x e C ==-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★2(1)xx e dx +⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：(1)(1)(1)x x x x x x e dx x de x e e dx xe C +=+=+-=+⎰⎰⎰;★32cos xxdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：2222cos sin sin 2sin sin 2cos x xdx x d x x x x xdx x x xd x ==-=+⎰⎰⎰⎰★42(1)x xe dx -+⎰思路：分项后分部积分即可;解：222(1)()x x x x x x e dx x e dx e dx x d e e dx -----+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰★5ln(1)x x dx +⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222111ln(1)ln(1)()ln(1)-2221x x x dx x d x x x dx x +=+=++⎰⎰⎰★6cos xe xdx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：cos cos ()cos sin xx x x exdx xd e e x e xdx ----=-=--⎰⎰⎰★3、已知sin xx是()f x 的原函数,求()xf x dx '⎰; 知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习;思路分析：积分 ()xf x dx '⎰中出现了()f x ',应马上知道积分应使用分部积分, 条件告诉你sin xx是()f x 的原函数,应该知道sin ().xf x dx C x=+⎰解：()()()()xf x dx x f x xf x f x dx '=-⎰⎰⎰d()=又2sin cos sin cos sin (),(),();x x x x x x xf x dx C f x xf x x x x --=+∴=∴=⎰★★4、已知()xe f x x=,求()xf x dx ''⎰;知识点：仍然是分部积分法的练习;思路分析：积分()xf x dx ''⎰中出现了(f x '',应马上知道积分应使用分部积分; 解：()(())()()()().xf x dx xd f x xf x f x dx xf x f x C ''''''==-=-+⎰⎰⎰又22(1)(1)(,(),();x x x x x e xe e e x e x f x f x xf x x x x x---''∴=∴)=== ★★★★5、设n I =sin n dx x ⎰,(2)n ≥；证明：211cos 21sin 1n n n x n I I n x n ---=-⋅+--; 知识点：仍然是分部积分法的练习; 思路分析：要证明的目标表达式中出现了n I ,1cos sin n x x -和2n I - 提示我们如何在被积函数的表达式1sin n x中变出1cos sin n xx- 和21sinn x- 呢这里涉及到三角函数中1的变形应用,初等数学中有过专门的介绍,这里1可变为22sin cos x x +;证明：22sin cos x x +1=2222222221222-1sin cos cos sin cos 1sin sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin sin sin cos sin n n n n n n n n n n n n n n n n n n dx x x x x x I dx dx dx dx dx x xx x x x x x dx I d x I x x x x x n x x x x dx I x x x I x -----+∴===+=+=+=+-⋅-=-⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222212222112.1cos cos 1sin sin sin sin cos cos (2)sin sin 1cos 21sin 1n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x n dx I I n dx I x x x x x I nI nI I nI n I x xx n I I n x n --------------++=+++=++-+=+---∴=-⋅+--⎰⎰★★★★6、设f x ()为单调连续函数,f x -1()为其反函数,且()()f x dx F x C =+⎰ ,求：1fx x -⎰()d ;知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系,还有就是分部积分法的练习; 思路分析：要明白1(())x f f x -=这一恒等式,在分部积分过程中适时替换;解：f x x x f x x f x ⎰⎰-1-1-1()d =()-d(())又1(())x f f x -=又()()f x dx F x C =+⎰习题4-41、 求下列不定积分知识点：有理函数积分法的练习;思路分析：被积函数为有理函数的形式时,要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式,若是假分式,通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后再具体问题具体分析;★133x dx x +⎰思路：被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分; 解：3327272739333x x x x x x x +-==-+-+++2 ★★★2 5438x x dx x x +--⎰思路：被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分; 解：545342323338()()()881,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--+-+-++-+-==+++---22而3(1)(1),xx x x x -=+-令23811x x A B C x x x x x +-=++-+-,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：118A B C C B A ++=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解此方程组得：843A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩★★★3331dx x +⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：321(1)(1)x x x x +=+-+,令323111A Bx Cx x x x +=+++-+等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：⎧⎪⎨⎪⎩A+B=0B+C-A=0A+C=3解此方程组得：112A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩★★★431(1)x dx x +-⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：令32311(1)(1)(1)x A B Cx x x x +=++----,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0,21,1A B A A B C =-=-+=,解此方程组得：0,1,2A B C ===;★★★5332(1)x dx x x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：3333232(1)(1)(1)x x x x x x +=++++,令32321(1)(1)(1)A B C Dx x x x x x =+++++++等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0320302A B A B C A B C D A +=⎧⎪++=⎪⎨+++=⎪⎪=⎩解此方程组得：2222A B C D =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩;★★★62(2)(3)xdxx x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：22222222(2)(3)(2)(3)(2)(3)(2)(3)x x x x x x x x x x x +-+==-++++++++ 2212(3)(2)(3)x x x =-+++；令22223(2)(3)(3)A B Cx x x x x =+++++++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：06509622A B A B C A B C +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解此方程组得：2222222223(2)(3)(3)2A B x x x x x C =⎧⎪=-∴=--⎨+++++⎪=-⎩★★★7331xdx x -⎰思路：将被积函数裂项后分项积分;解：332333(1)3331111x x x x x x x -+==+--++- 令323111A Bx C x x x x +=+--++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得： 003AB A BC A C +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 解此方程组得：112A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩而222222131313(21)(21)(21)2222222111111x x x x x x x x x x x x x x x x +++++==+=+++++++++++++ ★★★82221(1)x x dx x --+⎰思路：将被积函数裂项后分项积分;解：22222222112(1)1(1)(1)x x x x x x x --=--+++++又由分部积分法可知：222212(1)11dx x dx x x x =++++⎰⎰★★★9(1)(2)(3)xdxx x x +++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：3313(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(1)(2)(3)x x x x x x x x x x x x x +-==-+++++++++++令3(1)(2)(3)123A B Cx x x x x x =++++++++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：054306323A B C A B C A B C ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得：333233223(1)(2)(3)12332A B x x x x x x C ⎧=⎪⎪=-∴=-+⎨++++++⎪⎪=⎩而111(1)(2)12x x x x =-++++★★★10221(1)(1)x dx x x ++-⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：22222112121(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x +-+==+++-+-+- 令22211(1)(1)(1)A B Cx x x x x =++-++-+,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0,20,2A B A C A B C +=+=--=；解之得：11,,122A B C ==-=-;★★★1121(1)dx x x +⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：令221(1)1A Bx Cx x x x +=+++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得： 001A B C A +=⎧⎪=⎨⎪=⎩解之得：221111(1)10A xB x x x xC =⎧⎪=-∴=-⎨++⎪=⎩★★★1222()(1)dxx x x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：22211()(1)(1)(1)x x x x x x =++++令22211()(1)1A B Cx Dx x x x x x +=++++++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得： 0,0,0,1A B C A C D A B D A ++=++=++==,解之得：★★★★★1341dx x +⎰思路：将被积函数裂项后分项积分;解：4221(1)(1)x x x +=+-++令411x =++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0001A C B D A C B D +=⎧+-+=++-=⎪⎪+=⎩解之得：412412A B C D ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩注：由导数的性质可证21)1)arctan1x ++-=-本题的另一种解法：注：由导数的性质可证22arctan21xπ=+-; ★★★★★142222(1)x dx x x --++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：222222211(1)(1)x x x x x x x x --++-+=-++++ 又22223112122(1)11x dxdx x x x x x x +=+++++++⎰⎰ 注：本题再推到过程中用到如下性质：本性质可由分部积分法导出;若记22()n ndxI x a =+⎰,其中n 为正整数,0a ≠,则必有：122211[(23)]2(1)()n n n xI n I a n x a --=+--+; 2、 求下列不定积分知识点：三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习;思路分析：求这两种积分的基本思路都是通过适当的变换化为有理函数积分去完成;★★123sin dxx+⎰思路：分子分母同除以x 2sin 变为2csc x 后凑微分;解：2222()csc cot 63sin 3csc 13cot 4d x dx xdx d x x x x ==-=-+++⎰⎰⎰⎰★★23cos dxx+⎰思路：万能代换解：令tan 2xt =,则22212cos ,;11t dt x dx t t -==++ 注：另一种解法是：★★32sin dxx+⎰思路：万能代换 解：令tan2x t =,则2222sin ,;11t dt x dx t t ==++ ★★41tan dx x+⎰思路：利用变换tan t x =万能代换也可,但较繁 解：令tan t x =,则2arctan ,;1dtx t dx t ==+ ★★51sin cos dxx x++⎰思路：万能代换解：令tan 2xt =,则2222212sin ,cos ,;111t t dt x x dx t t t -===+++ ★★652sin cos dxx x+-⎰思路：万能代换解：令tan 2xt =,则2222212sin ,cos ,;111t t dt x x dx t t t -===+++而22133221(33dt C t t ===++++⎰ ★★★★7(54sin )cos dxx x+⎰思路一：万能代换解：令tan 2xt =,则2222212sin ,cos ,;111t t dt x x dx t t t -===+++ 而22244(585)(1)(585)(1)(1)t t t t t t t =++-++-+,令22411(585)(1)(1)585At B C Dt t t t t t t t +=++-+++-+++,等式右边通分后比较两边分子t 的同次项的系数得：55013301330554A C DBCD A C D B C D ++=⎧⎪++=⎪⎨-+-=⎪⎪+-=⎩解之得：116,;916C D ⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩5A=27B=8 2222221191110891161161458585851191110871()(54sin )cos 161161458585851191110871(54sin )cos 161161458585851ln 16t t t t t t t dx t dt x x t t t t t t dx t dt dt dt dt x x t t t t t t t +=⋅-⋅+⋅-⋅-++++++∴=-⋅+⋅-⋅-⋅+-++++++∴=-+--+-+++++=--⎰⎰⎰⎰⎰22917541ln 1ln(585)arctan()1642435tan 419172ln tan 1ln tan 1ln(5tan 8tan 5)arctan()162162422243t t t t C x x x x x C +++-++-++=--++-++-+思路二：利用代换sin t x = 解：令sin t x x π=，<2,则dxx ==令21(54)(1)5411A B Ct t t t t =+++-+-+,等式右边通分后比较两边分子t 的同次项的系数得：44090551A B C B C A B C ++=⎧⎪+=⎨⎪-+-=⎩解之得:216911161111118(54)(1)9541812112A B t t t t t C ⎧=⎪⎪⎪=∴=⋅+⋅-⋅⎨+-+-+⎪⎪=-⎪⎩注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单★★★★81sin (1cos )sin xdx x x++⎰思路：将被积函数分项得,对两个不定积分分别利用代换cos t x =和万能代换 解：1sin 11(1cos )sin (1cos )sin 1cos x x x x x x+=++++对积分1(1cos)sin dx x x+⎰,令cos ,(0,)t x x π=∈,则dx x == 令22111(1)(1)(1)A B Ct t t t t =++-++-+,等式右边通分后比较两边分子t 的同次项的系数得：0201A B A C A B C +=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩解之得：221411111111441412(1)(1)(1)12A B t t t t t C ⎧=⎪⎪⎪=-∴=⋅-⋅-⋅⎨-++-+⎪⎪=-⎪⎩对积分11cos dx x+⎰,令22212tan ,os ,211x t dt t c x dx t t -===++★★9思路：变无理式为有理式,变量替换t =解：令t =则 321,3;x t dx t dt +==★★103思路：变无理式为有理式,变量替换t =;解：令2,2;t x t dx tdt ===★★11思路：变无理式为有理式,变量替换t =解：令21,2;t x t dx tdt =+==222122222(2)1111124444ln 11)1t t t t t tdt dt dt t dtt t t t tdt dt dt t t t C x Ct---∴====-+++++=-+=-+++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰★★★12思路：变无理式为有理式,变量替换t =; 解：令87,8;t x t dx t dt ===★★★133思路：变无理式为有理式,三角换元; 解：令2tan ,,sec .2x t t dx tdt π=<=则★★★14 思路,三角换元;解：令sin ,;2x a t t π=<则cos dx a tdt =；注： 另一种解法,分项后凑微分;★★★15思路：换元;解：令11x t x +=-,则22.(1)dx dt x -=- 总习题四★1、设()f x 的一个原函数是2x e -,则()().f x =A 2x e -B -22x e -C -42x e -D 42x e - 知识点：原函数的定义考察; 思路分析：略; 解：B;★2、设()arcsin xf x dx x C =+⎰,则()dxf x =⎰; 知识点：原函数的定义性质考察;思路分析：对条件两边求导数后解出()f x 后代入到要求的表达式中,积分即可; 解：对式子()arcsin xf x dx x C =+⎰两边求导数得：★★3、设222(1)ln 2x f x x -=-,且(())ln f x x ϕ=,求()x dx ϕ⎰;知识点：函数的定义考察;思路分析：求出()f x 后解得()x ϕ,积分即可; 解：22222111()1(1)ln ln ,()ln ,(())ln ,1()1211x x t x f x f t f x t x x x ϕϕϕ-+++-==∴=∴=-----又()11(())ln ,,()()11x x f x x x x x x ϕϕϕϕ++=∴∴=--=;★★★4、设F()x 为()f x 的原函数,当>0x 时,有2()F()sin 2f x x x =,且(0)1F =, ()0F x ≥试求()f x ;知识点：原函数的定义性质考察;思路分析：注意到()()dF x f x dx =,先求出()F x ,再求()f x 即可; 解：22()()sin 2()()sin 2f x F x x f x F x dx xdx =∴=⎰⎰；即2221()()sin 2,(())sin 2,2F x dF x xdx F x xdx =∴=⎰⎰⎰ 又21(0)1,1;(())sin 41;(0.)4F C F x x x x =∴=∴=-+>又()0,()F x F x >∴=又22()()sin 2,()f x F x x f x =∴=5、求下列不定积分; 知识点：求不定积分的综合考察; 思路分析：具体问题具体分析;★★1⎰思路：变无理式为有理式,变量替换t =解：令t =则222,,55t tx dx dt -==- ★21)x >⎰思路：变无理式为有理式,变量替换sec x t =; 解：令sec ,02x t t π=<<,则sec tan dx t tdt =;★★★32394x xx x dx -⎰思路：将被积函数2394x x x x - 变为2222()33221[()]1()33x xx xx x --=后换元或凑微分;解：令2()3x t =,则22()ln 33x dt dx =;★★4266(0)x dx a a x >-⎰思路：凑微分;解：23336666632111133()x dx dx dx t x a xa x a x ===---⎰⎰⎰,令, ★★5思路：将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元; 解：方法一：(1dx x =+⎰令11sec ,0,222x tt π+=<<,则1sec tan ;2dx ttdt = 方法二：22(1dxx ==+⎰⎰令2t=∴=再令tan ,2t z z π=<,则2sec ,dtzdz =★★★610(2)dxx x +⎰思路：倒代换解：令1x t =，,则21,dx dt t =-★★★★77cos 3sin 5cos 2sin x xdx x x -+⎰思路：大凡被积函数的分子分母皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分,一般思路是将被积函数的分子写成分母和分母的导数的线性组合的形式,然后分项分别积分即可;解：7cos 3sin 5cos 2sin (5cos 2sin )x x x x x x '-=+++★★★★8 (1sin )1cos x e x dx x ++⎰思路：分项积分后对前一积分采用分部积分,后一积分不动;解：2(1sin )sin ()(tan )1cos 1cos 1cos 22cos 2x x x xx e x e e xe xdx dx e dx x x x x +=+=++++⎰⎰⎰ ★★★★6、求不定积分：23()()()[]()()f x f x f x dx f x f x ''-''⎰知识点：分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性;思路分析：分项后,第二个积分显然可凑现成的微分,分部积分第二个积分,第一个积分不动,合并同种积分,出现循环后解出加一个任意常数即可;解：2233()()()()()()[]()()()()f x f x f x f x f x f x dx dx dx f x f x f x f x ''''-=-''''⎰⎰⎰ 而22223333()()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x f x dx df x f x f x d f x f x f x f x '''''==-''''⎰⎰⎰ ★★★★7、设tan (1)n n I xdx n =>⎰，,求证：121tan 1n n n I x I n --=--，,并求5tan xdx ⎰; 知识点：分部积分法考察,三角恒等式的应用,凑微分等;思路分析：由要证明的目标式子可知,应将tan n x 分解成22tan tan n x x -,进而写成22tan (sec 1)n x x --,分部积分后即可得到2n I -;证明：2222tan tan tan tan (sec 1)n n n n I xdx x xdx x x dx --===-⎰⎰⎰22121tan tan tan tan 1n n n n xd x xdx x I n ----=-=--⎰⎰; ★★★8、().B = 思路：化无理式为有理式,三交换元; 解：11x x +=-令sin ,2x t t π=<,则cos dx tdt =;★★★9、设不定积分1(1)xxdx x xe +=+⎰1I ,若x u xe =,则有()D ; 思路：x u xe =,提示我们将被积函数的分子分母同乘以x e 后再积分;解：1(1)(1)(1)x x x xx e x dx dx x xe e x xe ++==++⎰⎰1I 又()(1);x x x du e xe dx e x dx =+=+2,(1)duI u u ∴==+⎰1I 选()D ;10、求下列不定积分:知识点：求无理函数的不定积分的综合考察; 思路分析：基本思路——将被积函数化为有理式;★★★★1、思路：先进行倒代换,在进行三角换元 ; 解：令1x t =,则21dx dt t=-; 令2tan ,02tu u π=<<,则22sec dtudu =;★★★2、.思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令sec ,02x t t π=<<,则sec tan ,dx t tdt =注： 11(arccos )(arcsin )xx''=-★★★3、.思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令sin ,02x t t π=<<,则cos dx tdt =；★★★★★4、思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令sin ,02x t t π=<<,则cos dxtdt =；★★★5、思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令2sin ,02x t t π=<<,则2cos dx tdt =；11、求下列不定积分:知识点：较复杂的分部积分法的考察;思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分;★★★1、ln(x dx +⎰思路：分部积分;解：ln(ln(x dx x x dx +=+-+⎰★★2、2ln(1)x dx +⎰思路：分部积分;解：222222222(1)2ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x dx x x dx x x +-+=+-=+-++⎰⎰⎰ 2221ln(1)22ln(1)22arctan 1x x dx dx x x x x C x=+-+=+-+++⎰⎰; ★★★★3、4tan sec x x xdx ⎰思路：分部积分; 解：4343tan sec sec sec sec sec (sec x x xdx x xd x x x x x ==-⎰⎰⎰★★★4、22arctan 1x xdx x +⎰思路：分项后分部积分;解：22222111arctan arctan arctan arctan 111x x xdx xdx xdx xdx x x x +-==-+++⎰⎰⎰⎰ ★★★★5、23ln(1)x dx x +⎰思路：分部积分后 倒代换;解：22222232ln(1)111ln(1)()ln(1)22221x x dx x d x x x xdx xx ---+=+-=-+++⎰⎰⎰ 对于积分2(1)dx x x +⎰应用倒代换,令1x t =,则21dx dt t =-, ★★★6、1cos xdx x +⎰思路：将被积函数变形后分部积分; 解：2221sec sec tan 1cos 222222cos 2xx x x x x dx dx x dx x d xd x x====+⎰⎰⎰⎰⎰ 11cos tanln tan ln 1cos 222x x xx C x x C +=++=+++; ★★★12、求不定积分:,n x n I x e dx n =⎰为自然数;知识点：较复杂的分部积分法的考察;思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分,推一个递推关系式; 解：1x I xe x C =-+★★★13、求不定积分:2(23)cos 2.x x xdx -+⎰知识点：较复杂的分部积分法的考察;思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分,分项后分别积分; 解：22(23)cos2cos22cos23cos2x x xdx x xdx x xdx xdx -+=-+⎰⎰⎰⎰14、求下列不定积分:知识点：求解较复杂的有理函数和无理函数的不定积分; 思路分析：基本思路——有理式分项、无理式化为有理式;★★★★1、118432x dxx x ++⎰思路：将被积函数化为一个整式加上一个真分式的形式,然后积分;。

不定积分100题（附答案）容易题1—60，中等题61—105，难题106—122. 1．设⎰-=1tan cos 2x x dxI ， 则=I ( ). (C).;)1(tan 221C x +-2．设⎰-=12x xdx I ，则=I （ ）。

(D).C x+-1arcsin. 3．设⎰=x dxI sin ,则=I ( ). (B).C x c x +-tan csc ln4．设⎰=axdx I 2 ,则=I （ ）。

(A).C ax+2; 5．设⎰++=dx e e I xx 113,则=I ( ). (B).C x e e x x ++-2216．设⎰=xdx I tan ,则( ). (D).C x +-sin ln . 7．设⎰=xdx I ln 则（ ）。

(D).C x x x I +-=ln 8．设⎰=xdx I arctan , 则=I ( ). (B).C x x x ++-1ln arctan 29．设 ⎰=xdx x I cos sin ，则( ). (A).C x I +-=2cos 4110．设⎰+=21x dx I ， 则=I ( ). (B)C x x +++21ln11．设211)(xx f -=，则的一个原函数=)(x F （ ）。

(A).x x -+11ln 21 12．设)(x f 为可导函数，则（ ）。

(C).⎰=')())((x f dx x f13．设⎰=xdx I arcsin ，则( ). (C).C x x x +-+21arcsin14．=+⎰x x dx sin 2)2sin(( ) （B ）c x x ++|2tan |ln 412tan 812 15．=-⎰)4(x x dx ( ) （C ）c x+2arcsin2 16．=-⎰dx x x 21ln ( ) （B ）c xx+-ln17．设x xsin 为)(x f 的一个原函数，且0≠a ，则⎰dx a ax f )(=( ) （A ）xa ax 3sin19．欲使⎰⎰=dx x f dx x f )()(λλ，对常数λ有何限制？( ) 0≠λ。

不定积分典型例题一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式.例1、求∫(1−1)x x dx x 234−54714解原式＝∫(x −x )dx =x 4+4x 4+C 7e 3x +1例2、求∫x dx e +1解原式＝∫(e 2x −e x +1)dx =例3、求∫12x e −e x +x +C 21dx 22sin x cos xsin 2x +cos 2x 11解原式=∫dx =dx +dx =tan x −cot x +C 2222∫∫sin x cos x cos x sin x例4、∫cos 2解原式＝∫x dx 2x +sin x 1+cos x dx =+C 22x 2例5、∫dx 21+x x 2+1−11dx =(1−解原式=∫∫1+x 2)dx =x −arctan x +C 1+x 2注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.二、第一类换元积分法(凑微分法)∫f (x )dx =∫g [ϕ(x )]ϕ'(x )dx 凑成令ϕ(x )=u =∫g (u )du 求出=G (u )+C 还原=G [ϕ(x )]+C 在上述过程中，关键的一步是从被积函数f (x )中选取适当的部分作为ϕ'(x )，与dx 一起凑成ϕ(x )的微分d ϕ(x )=du 且∫g (u )du 易求.tan x dx cos x例1、求∫3−2sin x −d cos x =−∫(cos x )2d cos x =+C dx =∫解原式＝∫cos x cos x cos x cos x cos x例2、求∫arcsin xx −x 2dx解原式=∫arcsin x1−x ⋅1x dx =∫2arcsin x1−(x )2d (x )=2∫arcsin xd (arcsin x )=(arcsin x )2+C注1dx =2d (x )x1−x9−4x 2 例3、求∫dx1−1d (2x )12 解原式=∫+∫(9−4x )2d (9−4x 2)232−(2x )28=12∫2d (x )11213+9−4x 2=arcsin x +9−4x 2+C 423421−(x )23例4、求∫tan 1+x 2⋅x1+x 2dx解原式＝∫tan1+x 2d 1+x 2=−ln |cos 1+x 2|+C 例5、求∫x x −x −12dxx (x +x 2−1)22dx =x dx +x x −1dx 解原式＝∫2∫∫x −(x 2−1)3x 31x 31222=+∫x −1d (x −1)=+(x −1)2+C 3233例6、求∫1dx 1+tan xcos x 1cos x −sin x )dx dx =∫(1+sin x +cos x 2cos x +sin x解原式＝∫=1⎡1⎤1++(cos sin )x d x x =(x +ln |cos x +sin x |)+C ∫⎢⎥2⎣cos x +sin x ⎦211+x ln dx 1−x 21−x11+x 1+x 121+x ln (ln +C )d ln =∫21−x 1−x 41−x例7、求∫ 解原式＝ 例8、求∫1dx x e +1e x 1+e x −e x dx =∫dx −∫dx 解原式＝∫e x +11+e x=∫dx −∫1x x d (1+e )=x −ln(1+e )+C x1+e例9、求∫1dx e x +e −xe x 1 解原式＝∫2x dx =∫d (e x )=arctan e x +C x 2e +11+(e ) 例10、求∫sin x dx 1+sin x11−sin x )dx =∫dx −∫dx 21+sin x cos x解原式＝∫(1−=x −∫1sin x dx +dx =x −tan x +sec x +C 22∫cos x cos x例11、求∫dx x 2−3ln x−12 解原式=∫(2−3ln x )d (ln x )1111(2−3ln x )2+C =∫(2−3ln x )(−)d (2−3ln x )=−⋅33−1+12−12=−22−3ln x +C 31dx a 2sin 2x +b 2cos 2x1b 2+a 2tan 2x d (tan x )=11a (tan x )d ab ∫1+(a tan x )2b b例 12、求∫ 解原式＝∫=1a arctan(tan x )+C ab bx 4+1dx 例13、求∫6x +1(x 2)2−x 2+1x 2x 4−x 2+1+x 2dx +∫32dx dx =∫解原式＝∫(x 2)3+1(x )x 6+1=∫111133dx +dx =arctan x +arctan x +C 232∫1+x 31+(x )3例14、求∫1dx x (1+x 8)1+x 8−x 811x 78=−dx dx dx 解原式＝∫=ln |x |−ln(1+x )+C 88∫x ∫1+x x (1+x )8例15、求∫3x −2dx x 2−4x +53d (x 2−4x +5)1+4∫2 解原式＝∫2dx 2x −4x +5x −4x +5d (x −2)3ln |x 2−4x +5|+4∫22(x −2)+13ln |x 2−4x +5|+4arctan(x −2)+C 2== 注由于分子比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数，把积分化为形1dx 的积分(将分母配方，再凑微分).如∫2ax +bx +cx 2 例16、已知f (x −1)=ln 2，且f [ϕ(x )]=ln x ，求∫ϕ(x )dx .x −22x 2−1+1x +1 解 因为f (x −1)=ln 2，故f (x )=ln ，又因为x −1−1x −12f [ϕ(x )]=ln ϕ(x )+1ϕ(x )+1x +1=ln x ，得=x ，解出ϕ(x )=，从而ϕ(x )−1ϕ(x )−1x −1∫ϕ(x )dx =∫ 例17、求∫x +12dx =∫(1+)dx =x +2ln |x −1|+C x −1x −11dx cos 4x1 解原式=∫sec 2xd tan x =∫(1+tan 2x )d tan x =tan x +tan 3x +C 3例18、求∫1+ln x dx 22+(x ln x ) 解原式＝∫1d (x ln x )x ln x arctan(=)+C 2+(x ln x )222三、第二类换元法设x =ϕ(t )单调可导，且ϕ'(t )≠0，已知∫f [ϕ(t )]ϕ'(t )dt =F (t )+C ，则∫f (x )dx 令x =ϕ(t )=∫f [ϕ(t )]ϕ'(t )dt =F (t )+C t =ϕ−1(x )还原=F [ϕ−1(x )]+C选取代换x =ϕ(t )的关键是使无理式的积分化为有理式的积分(消去根号)，同时使∫f [ϕ(t )]ϕ'(t )dt 易于计算.例1、求∫xdx(x +1)1−x 22 解令x =sin t ,dx =cos tdt原式＝∫111sin t cos tdt d cos t (=−)d cos t =−+22∫∫(sin t +1)cos t 2−cos t 222−cos t 2+cos t2+cos t 12+1−x 2ln +C =−+C ln =−2222−cos t 222−1−x 1例2、求∫dxx41+x2解令x=tan t,dx=sec2tdtsec2tdt cos3tdt1−sin2t原式＝∫=∫=∫d sin t=∫(sin−4t−sin−2t)d sin t 444tan t⋅sec t sin t sin t(1+x2)3(1+x2)111++C=−++C=−333sin t sin t3x xx2−9dxx2例3、求∫解令x=3sec t，则dx=3sec t⋅tan tdt3tan t tan2t原式＝∫⋅3sec t⋅tan tdt=∫dt=∫(sec t−cos t)dt29sec t sec t=ln|sec t+tan t|−sin t+C1x x2−a2x2−a2=ln+−+C1a a xx2−a2+C=ln x+x−a−x22例4、求∫1dxx(x7+2)11 解令x=，则dx=−2dt，t t1t 6117 原式=∫(−2)dt =−∫dt =−d (1+2t )77∫11+2t 141+2t +2t 7t t 111ln |1+2t 7|+C =−ln |2+x 7|+ln |x |+C 14142=− 注设m ,n 分别为被积函数的分子，分母关于x 的最高次数，当n −m >1时，可用倒代换求积分.例5、求∫x +1x 2x −12dx11 解令x =，dx =−2dt t t 1+111+t 1d (1−t 2)t (−2)dt =−∫dt =−∫dt +∫ 原式=∫222t 111−t 1−t 21−t −1t 2t 2=−arcsin t +1−t +C =2x 2−11−arcsin +C x x例6、求∫x 3x −x 24dxt 10⋅t 4t 6t 1411解原式=11∫83⋅12t dt =12∫5dt =12∫5dt dx =12t dt t −t t −1t −1令12x =t t 10−1+14121121212⋅t dt =∫(t 5+1+5)dt 5=t 10+t 5+ln |t 5−1|+C =12∫5t −15t −1105561212=x 6+x 12+ln x 12−1+C 555555例7、求∫dx1+e x解令1+e x =t ，e x =t 2−1，dx =2t dt 2t −112t 1t −11+e x −1原式＝∫⋅2dt =2∫2dt =ln +C =ln +C x t t −1t −1t +11+e +1ln x dx x 1+ln x例8、求∫解令t =1+ln x原式=∫ln x t −1d ln x =∫dt 1+ln x t112322=∫(t −)dt =t −2t 2+C =(ln x −2)1+ln x +C 33t例9、求∫x +1−1dx x +1+1解令x +1=t ,x =t 2−1,dx =2tdt因为原式=∫x +2−2x +1x +1dx =x +2ln |x |−2∫dx x x而∫x +12t 2dt 1dx =∫2=2∫(1+2)dt x t −1t −1t −1x +1−1+C =2x +1+ln +C t +1x +1+1=2t +ln原式＝x +2ln |x |−4x +1−2ln x +1−1+C ＝x −4x +1+4ln x +1+1+C x +1+1四、分部积分法分部积分公式为∫uv 'dx =uv −∫u 'vdx 使用该公式的关键在于u ,v '的选取，可参见本节答疑解惑4.例1、求∫x 3e x dx解原式＝∫x 3de x =x 3e x −3∫x 2de x =x 3e x −3x 2e x +6∫xde x =x 3e x −3x 2e x +6xe x −6e x +C例2、求∫x 2cos 2解原式=x dx 2121312x (1+cos x )dx =x +∫x cos xdx ∫262=131211x +∫x d sin x =x 3+x 2sin x −∫x sin xdx 6262131211x +x sin x +∫xd cos x =x 3+x 2sin x +x cos x −∫cos xdx 62621312x +x sin x +x cos x −sin x +C 623==例3、求∫e x dx令3x =t 解原式dx =3t 2dt=3∫t e dt =3∫t de 2t 2t =3t 2e t −6te t +6e t +C=33x 2e 3x −63xe 3x +6e 3x +C例4、求∫cos(ln x )dx解原式=x cos(ln x )+∫sin(ln x )dx=x cos(ln x )+x sin(ln x )−∫cos(ln x )dxx移项，整理得原式=[cos(ln x )+sin(ln x )]+C2注应用一次分部积分法后，等式右端循环地出现了我们所要求出的积分式，移项即得解，类似地能出现循环现象的例题是求如下不定积分：αxe ∫cos βxdx 或αxe ∫sin βxdx例5、求∫ln(x +1+x 2)dx解原式=x ln(x +1+x 2)−∫x 1+x 2dx =x ln(x +1+x 2)−1+x 2+Cln 3x例6、求∫2dx x 1ln 3x 1 解原式＝=∫−ln xd ()=−−3∫ln 2xd ()x x x3ln 3x ⎡ln 2x 1⎤ln 3x 3ln 2x 6ln x 6−3⎢+2∫ln xd ()⎥=−−−−+C=−x x ⎦x x x x ⎣x例7、推导∫1dx 的递推公式22n(x +a ) 解令I n =∫1dx (x 2+a 2)nx x 2+a 2−a 21x 2I n =2n +dx 222=+−nI na dx n 2n 22n +122n 22n +1∫∫(x +a )(x +a )(x +a )(x +a )=x 2+2nI −2na In +1n 22n(x +a )I n +1=12na 2⎡⎤x(2n 1)I +−n ⎥⎢(x 2+a 2)n ⎣⎦⎡⎤x(2n 3)I +−n −1⎥⎢(x 2+a 2)n −1⎣⎦I n =12(n −1)a 2例8、推导I n=∫tan n xdx 的递推公式.解I n=∫tan n −2x ⋅tan 2xdx =∫tan n −2x ⋅(sec 2x −1)dx=∫tan n −2x ⋅sec 2xdx −∫tan n −2xdx =∫tann −2xd (tan x )−In −2=1tan n −1x −I n −2n −1注应用分部积分法可以建立与正整数n 有关的一些不定积分的递推公式.例9、已知f (x )的一个原函数是e −x ，求∫xf '(x )dx解原式=∫xdf (x )=xf (x )−∫f (x )dx =xf (x )−e −x +C例10、求∫x arctan x ln(1+x2)dx解因为∫x ln(1+x 2)dx ==221ln(1+x 2)d (1+x 2)∫211(1+x 2)ln(1+x 2)−x 2+C 221⎤⎡1所以 原式＝∫arctan xd ⎢(1+x 2)ln(1+x 2)−x 2⎥2⎦⎣211⎡x 2⎤2222=(1+x )ln(1+x )−x arctan x −∫⎢ln(1+x )−2⎥22⎣1+x ⎦[]=13x arctan x (1+x 2)ln(1+x 2)−x 2−3−ln(1+x 2)+x +C 222[]注本题是三类函数相乘的形式，这类问题大多采用本题的方法.xe arctan xdx 例11、求∫2(1+x )解令x =tan t ,dx =sec 2tdttan t ⋅e t sec 2tdt =∫sin t cos te t dt 原式=∫4sec te arctan x (x 2+x −1)11t t +C =∫sin 2te dt =e (sin 2t −cos 2t )+C =25(1+x )210x 2arctan xdx 例12、求∫21+x 解原式＝∫(1−11=−)arctan xdx arctan xdx ∫∫1+x 2arctan xdx 1+x 211=x arctan x −ln(1+x 2)−(arctan x )2+C22arcsin x 1+x 2⋅dx 例13、求∫22x 1−x 解令x =sin t ,arcsin x =t ,dx =cos tdt ，t (1+sin 2t )t cos ⋅tdt = 原式=∫∫sin 2tdt +∫tdt sin 2t cos t=td (−cot t )+∫121t=−t cot t +∫cot tdt +t2221=−t cos t +ln |sin t |+t 2+C21−x 21=−arcsin x +ln |x |+(arcsin x )2+Cx 2注直接积分法、换元法、分部积分法是求不定积分最重要的方法，主要用到了“拆、凑、换、分”的技巧，同时应注意这些方法的综合运用.五、有理函数的积分有理函数的积分总可化为整式和如下四种类型的积分：(1)∫Adx =A ln |x −a |+C x −a−AA 1dx =+C (n ≠1)n n −1(x −a )n −1(x −a )(2)∫(3)∫dx dx dx =∫⎡p 4q −p 2⎤n(x 2+px +q )n 2⎢(x +)+⎥24⎣⎦p令x +＝u24q −p 2令＝a 4=du 22n∫(u +a )2(4)∫(x +a )dx 11p dx()dx a =−+−,其2n 2n −12n∫(x +px +q )2(n −1)(x +px +q )2(x +px +q )中p 2−4q <0.这就是说有理函数积分，从理论上讲，可先化假分式为整式与真分式之和，再将真分式化为若干部分分式之和，然后逐项积分，但这样做有时非常复杂，因此我们最好先分析被积函数的特点，寻求更合适，更简捷的方法也是很必要的.例1、求∫dx2x −2x +31dx d (x −1)x −1arctan ==+C(x −1)2+2∫2+(x −1)222解原式＝∫x 2+5x +4例2、求∫4dx 2x +5x +4x 2+4x解原式＝∫2dx +5dx222∫(x +1)(x +4)(x +1)(x +4)dx 5dx 25112=∫2arctan x ()dx +∫2=+−222∫x +12(x +1)(x +4)6x +1x +45x 2+1+C=arctan x +ln 26x +4本题若用待定系数法，较麻烦一些，也可获得同样的结果.事实上，x 2+5x +4Ax +B Cx +D 设4=2+2，通分后应有2x +5x +4x +1x +4x 2+5x +4=(Ax +B )(x 2+4)+(Cx +D )(x 2+1)得A +C =0，B +D =0，4A +C =5，4B +D =4比较等式两端x 的同次幂的系数，55由此，A =,B =1,C =−,D =−1335⎡5⎤−−+11x x ⎢3⎥5x 2+13+2+arctan x +C 故原式＝∫⎢2⎥dx =ln 2x +4⎥6x +4⎢x +1⎣⎦例3、求∫解设xdx3x −1x A Bx +C2=+，通分后应有x =A (x +x +1)+(Bx +C )(x −1)32x −1x −1x +x +1比较等式两端x 的同次幂的系数，得A +B =0,A −B +C =1,A −C =0，由此，111A =,B =−,C =333⎡1⎤x −1故原式＝∫⎢dx −⎥2⎣3(x −1)3(x +x +1)⎦1d (x +)1dx 12x +112dx +∫=∫−∫23x −16x +x +12(x +1)2+324(x −1)212x +11=ln 2+arctan +C 6x +x +133例4、求∫dx24x (1−x )(x 2+1)−x 211解原式＝∫2dx dx =−∫x 2(1−x 2)∫(1−x 2)(1+x 2)dx x (1−x 4)=∫(11111+−+)dx ()dx x 21−x 22∫1−x 21+x 211111=−+∫−dx dx 22∫21+x x 21−x 111+x 1−arctan x +C=−+ln x 41−x 2注：本题若用待定系数法，应当将被积函数分解为A B C D Ex +F11==++++x 2(1−x 4)x 2(1−x )(1+x )(1+x 2)x x 21−x 1+x 1+x 2然后再确定系数，显然这样做比较麻烦，也可获同样结果，此处从略.x 11dxdx 例5、求∫8x +3x 4+3解令x 4=u ，则du =4x 3dx ，于是，u 21411−原式=∫2du =∫(1+)du u +1u +24u +3u +241x 41=(u +ln |u +1|−4ln |u +2|+C )=+ln(1+x 4)−ln(x 4+2)+C 444x 5例6、求∫dx23(2x +3)解令2x 2+3=t ,x 2=t −3,4xdx =dt ，从而，2(t −3)21169原式＝∫dt =(−2+3)dt 3∫4⋅4t 16t t t 169169(ln |t |+−2)+C =[ln |2x 2+3|+2−]+C 221616t 2t 2x +32(2x +3)=x 4dx 例7、求∫4x +5x 2+4x 4−(5x 2+4)解4=1+4x +5x 2+4x +5x 2+4−(5x 2+4)A 1x +B 1A 2x +B2设4=2+2，通分后应有x +5x 2+4x +1x +4−(5x 2+4)=(A 1x +B 1)(x 2+4)+(A 2x +B 2)(x 2+1)116由此，A 1=0,B 1=,A 2=0,B 2=−，故33⎡18116⎤xdx −原式＝∫⎢1+arctan arctan =x +x −+C ⎥223(1)3(4)++x x 332⎣⎦例8、求∫dx 102x (x +1)x 10+1−x 10x 911==−10解由于102102102x (x +1)x (x +1)x (x +1)(x +1)1x 9x 9=−10−102x (x +1)(x +1)⎤⎡1x 9x 91d (x 10+1)1d (x 10+1)dx =ln |x |−∫10原式＝∫⎢−10−∫10−102⎥2x x x (1)(1)10x +110(x +1)++⎦⎣111x 10110=ln |x |−ln(x +1)++C =ln ++C10x 10+110(x 10+1)1010(x 10+1)注对被积函数先做初等变形常常可以使问题得到简化，常见的初等变形有：分子分母同乘一个因子；有理化；加一项或者减一项以及利用三角函数恒等变形等.六、三角函数有理式的积分一般从理论上讲，三角函数有理式的积分∫R (sin x ,cos x )dx 可通过万能代换x化为代数有理式的积分，但有时较繁，因此我们常采用三角恒等变形，2然后再求解.t =tan 例1、求∫dx4sin x cos xsin 2x +cos 2x sin x dx dx dx =+解原式＝∫442∫∫sin x cos x cos x sin x cos x=−∫=sin x dx1d (cos x )dx ++∫cos 2x ∫sin xcos 4x x 111d (cos x )x −+ln |tan |=++ln |tan |+C 3cos 3x ∫cos 2x 23cos 3x cos x 2例2、求∫1+sin xdxx x x x +cos 2+2sin cos dx2222解原式＝∫sin 2=∫(sin x x x x x x+cos )2dx =∫(sin +cos )dx =−2cos +2sin +C222222例3、求∫dx2sin x −cos x +5x 2t 1−t 22dt,cos x ,dx ==，于是解令t =tan ，则sin x =22221+t 1+t 1+t x ⎞⎛3tan +1⎟⎜11dt ⎛3t +1⎞2⎟+C 原式＝∫2arctan ⎜arctan ⎜=⎟+C =3t +2t +2555⎜⎟⎝5⎠⎜⎟⎝⎠例4、求∫sin xdx 1+sin xsin x (1−sin x )sin x 1−cos 2xdx =∫dx −∫dx 解原式＝∫cos 2x cos 2x cos 2x=1−tan x +x +C cos xsin xdx sin x +cos x1sin x +cos x +sin x −cos x 1⎛sin x −cos x ⎞dx =⎜1+⎟dx ∫∫2sin x +cos x 2⎝sin x +cos x ⎠例5、求∫解原式＝=11−d (sin x +cos x )1x +∫=(x −ln |sin x +cos x |)+C 22sin x +cos x 2例6、求∫sin 5x cos xdx解原式＝111[sin 4x +sin 6x ]dx =−cos 4x −cos6x +C 2∫812注积化和差公式1sin αx ⋅cos βx =[sin(α+β)x +sin(α−β)x ]21sin αx ⋅sin βx =[cos(α−β)x −cos(α+β)x ]21cos αx ⋅cos βx =[cos(α+β)x +cos(α−β)x ]2例7、求∫dx2(2+sin x )cos x解令sin x =t ,cos xdx =dt1(2+t 2)+(1−t 2)dt =于是原式＝∫dt(2+t 2)(1−t 2)3∫(2+t 2)(1−t 2)=1dt 111+t 1dt tln +=+arctan()+C 22∫∫31−t 32+t 61−t 32211+sin x 1sin xarctan(=ln +)+C 61−sin x 322注形如∫R (sin x ,cos x )dx 的有理函数的积分，一般可利用代换tan 为有理函数的积分.(i) 若R (−sin x ,cos x )=−R (sin x ,cos x )或R (sin x ,−cos x )=−R (sin x ,cos x )成立，最好利用代换cos x =t 或对应的sin x =t .(ii) 若等式R (−sin x ,−cos x )=R (sin x ,cos x )成立，最好利用代换tan x =t .x=t 化2例8、求∫sin xdx sin 3x +cos 3x解令tan x =t ，则sec 2xdx =dt ，于是t 1(1+t )2−(1−t +t 2)1t +11dt dt =dt =dt −原式＝∫1+t 33∫(1+t )(1−t +t 2)3∫1−t +t 23∫1+t 112t −11arctan()−ln |1+t |+C ＝ln(t 2−t +1)+63332tan x −11tan 2x −tan x +11+arctan()+C ＝ln 26(1+tan x )33 21。

不定积分例题及参考答案87427763不定积分例题及参考答案第4章不定积分内容概要课后习题全解 习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx+⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx-思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C-=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰★★(6)221x dxx +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

P81 习作题5.11.求下列不定积分()()22311+3=3x dx dx x dx x x C +=++⎰⎰⎰()121322231122=33ln 23x x dx xdx x dx dx x x x C x x ⎛⎫++=++=+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰()()()()21c o s1113s i n 1c o s c o s s i n 22222x x dx dx x dx dx xdx x x C -==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰（4）解法1：()222cot csc 1csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰ 解法2：2cot xdx ⎰ 22222cos sin 1sin sin 1sin cot xdxx xdx x dx dxx x x C=-==-=--+⎰⎰⎰⎰P86习作题5.21. ()()()()()5561112+1=2+12+1=21212x dx x d x x C ++⎰⎰()()222112222x x x e dx e d x e C ---=--=-+⎰⎰()111213x x x e dx e d e C x x =-=-+⎰⎰()()()()22314ln ln ln ln 3dxx x d x x C x ==+⎰⎰()sin sin sin 5cos sin x x x e xdx e d x e C ==+⎰⎰()()3222236cos cos cos cos sin =1sin sin sin sin sin 1sin sin 3xdxx xdxxd xx d x d x xd xx x C ==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()1171ln 1111x x x x x x x e dx de d e e C e e e ==+=+++++⎰⎰⎰ ()()()21cos 6111118sin 31cos 6cos 66sin 622212212x xdx dx x dx dx xd x x x C -==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰P86—2—(1)：⎰则21x t =-，2dx tdt =原式=()2221t t dt -⎰ =()422t t dt -⎰ =()422t dt t dt -⎰⎰ =532253t t C -+ =()()5322221153x x C +-++ P86—2—(2)：23,,2t t x dx tdt +== 原式=1t dt t +⎰=111t dt t +-+⎰ =11dt dt t -+⎰⎰ =()111t d t t -++⎰ =()ln 1t t C -++)ln1C -+ P86—3—(1)：解法1:()()()()()22222223222ln 11ln 121ln 1ln 121ln 1221xxdx x dx x x x d x x x x dx x +=+⎡⎤=+-+⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()32221ln 1221x x x x x dx x ⎡⎤+-=+-⎢⎥+⎣⎦⎰ ()()()()222222211ln 1212111ln 12x x xdx d x x x x x C ⎡⎤=+-++⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=++-+⎣⎦⎰⎰解法2:()2ln 1x xdx +⎰ ()221ln 12x dx =+⎰ ()()221ln 112x d x =++⎰ ()()()()()()()()22222222211ln 11ln 1211ln 12211ln 12x x x d x x x xdx x x x C ⎡⎤=++-++⎣⎦⎡⎤=++-⎣⎦⎡⎤=++-+⎣⎦⎰⎰ P86—3—(2)：()()22222ln 1ln 21ln ln 21ln 211ln 22x xdxxdx x x x d x x x xdx x x C ==-=-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ P86—3—(3)：()22ln 1ln 11ln ln 11ln 1ln 1x dxx xd xx d x x x x dx x xx C x=-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=-+=-++⎰⎰⎰⎰ P86—3—(4)：()222222x xx x x x x e dxx de x e e dx x e xe dx------=-=--=-+⎰⎰⎰⎰()()2222222222x xx x x x x x x x e xde x e xe e dxx e xe e Cx x e C---------=--=---=---+=-+++⎰⎰ P86—3—(6)：()()()()()22222cos 11cos 221cos 221sin 241sin 2sin 2411sin 2sin 224211sin 2cos 242x xdx x x dx xdx x xdx x xd x x x x xdx x x x xd x x x x x C =+=+=+=+-⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ P105—1—(1)：22222122x dx x xdx x dx x C x-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=-+⎰⎰⎰P105—1—(2)：523223x dxx C --==-+⎰⎰P105—1—(3)： ()()2cos 21cos 21cos 21sin 2x dxx dx dx xdx x x C +==+=++⎰⎰⎰⎰ P105—1—(4)：解法1:2cot xdx ⎰()2csc 1x dx =-⎰2csc cot xdx dxx x C=-=--+⎰⎰ 解法2：2cot xdx ⎰22222cos sin 1sin sin 1sin cot x dx xx dx xdx dx xx x C=-==-=--+⎰⎰⎰⎰ P105—1—(5)：解法1：333x x x e dxe e dx e C---==+⎰⎰解法2：()3-333x x x e dxe d x e C--=-=+⎰⎰ P105—1—(6)：()()2222222211111111arctan dx x x x x dx x x dx dx x x x C x ++-=+=-+=--+⎰⎰⎰⎰P1053.(1) 解法1:t =，则323,3x t dx t dt =-=- 原式2233=32t dt tdt t C t -=-=-+⎰⎰ =233(3)2x C --+ 解法2:233(3)2x C =-=--+ (2)sin 21sin 2tan 2(2)cos 22cos 2x x xdx dx d x x x==⎰⎰⎰ 12=-1(cos 2)cos 2d x x ⎰1ln cos 22x C =-+ (3)222211()22x x x xe dx e d x e C ---=--=-+⎰⎰ (5)ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰ 5.(1)法一：t =，则322,3x t dx t dt =-=原式424333=3(2)44t t dt t C x C ⋅=+=++⎰法二：433(2)(2)4x x C =+=++(2) 解法1:t=，则65,6x t dx t dt==原式52234611 =6611t dt t tdt dt t t t t-+==+++⎰⎰⎰()()11161t tdtt+-+=+⎰()()()()1611161111t dt dttt d t d tt⎡⎤=-+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=--++⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()2161ln12t t C⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦))2316ln1C=++解法2:t=，则65,6x t dx t dt==原式52234611 =6611t dt t tdt dt t t t t-+==+++⎰⎰⎰()()11161t tdtt+-+=+⎰()()16111611t dt dtttdt dt d tt⎡⎤=-+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰()216ln12t t t C⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦)6ln1C=+(3)t=，则21,2x t dx tdt=-=原式21=2211t t ttdt dtt t--=++⎰⎰2=211t t dt dt t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭⎰⎰ ()()()()()()()()))2221111=2111111214ln 1214ln 111121*********t t dt dt t t t t dt dt dt t t t dt dt t t t t t t d t d t t CC t ⎛⎫-++-- ⎪++⎝⎭+-+⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=--++-++-+=-⎢⎥+⎣⎦=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 6（1）sin cos (cos cos )x xdx xd x x x xdx =-=--⎰⎰⎰sin cos x x x C =-+(2)233311ln ln (ln ln )33x xdx xdx x x x d x ==-⎰⎰⎰ 3331111(ln )(ln )333x x x dx x x C x =-⋅=-+⎰ （4）arctan arctan arctan xdx x x xd x =-⎰⎰ 22211arctan arctan 121x x x dx x x dx x x=-=-++⎰⎰ 2211arctan (1)21x x d x x=-++⎰ 21arctan ln(1)2x x x C =-++ （5t =，则2,2x t dx tdt ==原式=22t t e tdt tde =⎰⎰2()t t te e dt =-⎰()()2121t e t C C =-+=-+。

For personal use only in study and research; not forcommercial use第五章 不定积分习题 5－1?1. 1.?????? 验证在(-∞,+∞) 内, 221sin , cos 2, cos 2x x x-- 都是同一函数的原函数.解 221(sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x=-=-=因为2. 2.?????? 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x xe e e e e e ---+-+都是 的原函数.解 2222[()]'[()]'=2()x x x x xxe e e ee e ---+=-+因为 3.已知一个函数的导数是211x -，并且当x = 1时, 该函数值是32π，求这个函数.解 设所求函数为f (x ), 则由题意知'()f x =又当x = 1时，3(1)2f π=，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+.3. 3.?????? 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程.解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''()2y f x x == 因为2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C===+⎰⎰又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1故所求曲线方程为 21y x =+.5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程.解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x =因为'(sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C==+⎰又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为()sin 1f x x =+ 与 ()sin 1f x x =-.6. 已知 f (x ) = k tan2x 的一个原函数是2ln cos 23x，求常数k .解 因为2ln cos 23x是f (x )的一个原函数所以 '2214(ln cos 2)(2sin 2)tan 2()33cos 23x x x f x x =⋅⋅-=-=7. 已知 1(1)d x f x x xe C++=+⎰, 求函数f (x ).解 因为由不定积分的性质, 有 所以, 令t = x+1,有8. 设f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, F (x )是它的一个原函数, 证明: F (x )是偶函数.证 由已知F (x )是f (x )的一个原函数, 则'()()F x f x = 又因为f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, 则于是[]'()[()]'F x F x =- 即()()F x F x C =-+,故F (x )是偶函数.9.设1sin ()f x x 是的原函数, 求'()f x .解 因为 1sin ()f x x 是的原函数, 则习题 5－2?1. 求下列不定积分：解4233(1)(21)d .4x x x x x C +-=+-+⎰2. 21, 0() , ()d .21, 0x x f x f x x x x -≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩⎰已知求.解 21, 0()2 1 , 0x x f x x x -≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩由已知当0x ≤时,21()d (1)d 2f x x x x x x C =-=-+⎰⎰当x >0时,222()d (21)d 3f x x x x x x C=+=++⎰⎰故 221, 02()d 2, 03x x C x f x x x x C x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩⎰.3. 设某企业的边际收益是 '()1000.01R x x =- (其中x 为产品的产量)，且当产量 x = 0时，收益R = 0. 试求收益函数R (x ) 和平均收益函数. 解 由已知边际收益是 '()1000.01R x x =- 所以在上式两端积分, 得将0,0x R ==代入上式, 得C = 0故收益函数为 2()1000.005R x x x =-平均收益函数为 ()1000.005R x x =-.4. 某商品的需求量Q 为价格P 的函数. 已知需求量的变化率为'1()1000ln 3()3pQ p =-⋅且该商品的最大需量为1000.求该商品的需求函数.解 由已知需求量的变化率为'1()1000ln 3()3pQ p =-⋅ 所以在上式两端积分, 得又因为该商品的最大需求量为Q =1000（P = 0时），代入上式, 得C = 0故满足条件的需求函数1()1000()3pQ p =. 5. 一种流感病毒每天以 (240 t – 3 t 2 ) / 天的速率增加, 其中 t 是首次爆发后的天数.如果第一天有50个病人，试问在第10天有多少个人被感染?解 设()y t 为t 天被感染上的人数, 则由题意得 2d 2403d yt t t =-所以在上式两端积分, 得又当1,50t y ==时，代入上式, 得C = －69习题 5－3(1)?1. 1.?????? 填空：2(7) sin2d ( )d cos 2 (8) cos(13)d ( )d sin(13)1(9)d ( )d arctan 214x x x x x x x x x x=-=-==+解11111111(1);(2);(3);(4);(5);(6)3;(7);(8);(9);(10)2.37242232----2. 求下列不定积分： ? 习题 5－3(2)?1. 1.?????? 求下列不定积分：解2d 11(1) 2d 11t t t x tt t +-=++⎰⎰2. 若己知 ()d ()f x x F x C =+⎰. 求：(1)()d f ax b x +⎰ (2)22()d xx e f e x--⎰(3)cos 3(sin 3)d xf x x⎰(4)x解 （1）因为()d ()f x x F x C =+⎰.（2）因为()d ()f x x F x C =+⎰（3）因为 ()d ()f x x F x C=+⎰（4）因为 ()d ()f x x F x C=+⎰3. 下列不定积分：解2222212(1)tan ,sin ,cos ,d 2111x u u duu x x x u u u -====+++令则154154arctan ()arctan (tan )335335u C x C=++=++.习题 5－3(3)?1． 1．? 下列不定积分：(11)sin 2d x e x x⎰（12）cos d x e x x-⎰解222211111(1)ln ln ln 2224x xdx x x x dx x x x C x =-⋅=-+⎰⎰.移项解方程, 得 sin 2d (sin 22cos 2)5xxe e x x x x C=-+⎰.移项解方程, 得1cos d (sin cos ).2x x e x x e x x C --=-+⎰2. 2.?????? 已知()f x 的一个原函数是sin x ，求'()d xf x x⎰.解 因为()f x 的一个原函数是sin x , 则所以两边求导, 得 ()c o s f x x =于是 '()d ()()d xf x x xf x f x x =-⎰⎰故 '()cos sin xf x dx x x x C =-+⎰.3.已知'()1x f e x =+，求()f x . 解 设,ln xt e x t ==则由已知'()1x f e x =+，则'()1ln f t t =+所以'()()d (1ln )d ln ln f t f t t t t t t t t C t t C==+=+-+=+⎰⎰故 ()ln f x x x C =+.4. 已知()f x 的一个原函数是ln x x ，求''()xf x dx⎰.解 因为()f x 的一个原函数是ln x x ,则 所以两边求导,得'1()ln 1,()f x x f x x =+=且于是 '''''()()()()()xf x dx xf x f x dx xf x f x C=-=-+⎰⎰故 ''()d ln xfx x x C=-+⎰.习题 5－4?求下列不定积分：解22(23)1d =d 23232x xx x x x x x x -+-+-+⎰⎰221311ln(2)(1)()d 22211133ln(2)ln(1)ln(2)ln(1)2222(2) 2ln(2)ln(1)ln .1212.d (1)x x xx x x x x x Cx x x C C x x xx =--+---=-+-+---+-=---+=+-+-⎰⎰ 解222111d 2d 3d 1(1)(1)x x x x x x x +=+---⎰⎰⎰解 22211222d d d 22525(1)4x x x x x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰解222214(1)(4)(1)(4)x A B C Dx x x x x x =+++++++++因为 解 4332113(1)113(1)x x x x x x x x x x +=-=+-+++-+因为解321111x x x x +=+--因为解 221111=+ 1(1)(1)x x x x x ----因为解221411215125(1)(12)1x x x x x -=-++++因为 解321(2),d d 3t x t x t t==-=令综合习题五?1.选择填空：(1) 设3()d ln sin 44f x x x C=+⎰, 则f(x ) = ( ) .① cot4x ② －cot4x③ 3cos4 x④ 3cot4 x(2) 设(1)sin 2d cos 2k x x k x C-=+⎰, 则k = ( ) . ① -1 ② -2 ③ 1 ④ 2(3) 设11()d x xf x e x e C=+⎰ , 则f(x ) = ( ) .① 1x② 1x -③ 21x④ 21x -(4) 如果 xe -是函数f(x ) 的一个原函数, 则()d xf x x =⎰( ).① (1)xe x C --+ ② (1)xe x C --+③ (1) x e x C --++ 1 ④(1)xe x C -++ (5) 设=⎰-+=⎰dx x xf C x dx x f )1(,)(22则 ( ) . ① 222(1)x C -+ ② 222(1)x C --+ ③ 221(1) 2x C --+ ④ 221(1) 2x C -+ 解 (1) ④; (2) ①; (3) ④; (4) ④; (5) ③. 2.计算下列不定积分：解211(1) )d x x tt t =- 令3. 已知x xsin 是f (x )的一个原函数, 求'()d xf x x⎰.解 因为 x xsin 是f (x ) 的一个原函数, 则于是 '()d ()()d xf x x xf x f x x=-⎰⎰4.试求函数 y = 2x + 1的一条积分曲线, 使此曲线在 x =1 处的切线 刚好通过(2, 1)点.解 设积分曲线为()y f x =, 则由已知得 '()21f x x =+于是 2()(21)d f x x x x x C=+=++⎰又曲线在x =1 处的切线刚好通过(2, 1)点,于是曲线的切线方程为 于是曲线在x =1的切线方程的纵坐标为 -2，代入方程, 得 C = －4故满足条件的积分曲线方程为 24y x x =+-.5. 设 ln(1)(ln ),()d x f x f x x x +=⎰计算. 解 由已知ln(1)(ln )x f x x +=令ln t x =，得ln(1)ln(1)(),()t x txe ef t f x e e ++==即6.设F (x ) 为f (x ) 的原函数, 且x ≥0,2()()2(1)xxe f x F x x =+ 已知F (0) = 1, F (x ) > 0, 试求f (x ) .解 因为F (x ) 为f (x )的原函数，'()()F x f x = 又因为 F (0）=1，代入上式, 得C = 07.设当x ≠0 时，)('x f 连续，求2'()(1)()d xxf x x f x xx e -+⎰.解'2()()F x G x =因为9.一公司某产品的边际成本为3x +20, 它的边际收益为44-5x , 当生产与销售80单位产品时的成本为11400元，试求: (1)产量的最佳水平; (2)利润函数; (3)在产量的最佳水平是盈利还是亏损?解 （1）因为产量最佳水平满足的条件是 边际成本 = 边际收益所以由 320405,3x x x +=-=解得 （2）成本函数为 即成本函数为23()202002C x x x =++.收益函数为即收益函数为25()442R x x x =-.故利润函数为 2()()()244200L x R x C x x x =-=--.（3）由（1）知道最佳产量水平是3x =代入利润函数得 故在最佳水平时亏损164元.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

第 4 章不定积分知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！d ⎡⎰ ⎤ ⎡⎰ ⎤ 性质 1： f (x )dx = f (x ) 或 d f (x )dx = f (x )dx ；dx ⎣⎦⎣⎦性质 2： ⎰ F '(x )dx = F (x ) + C 或⎰ dF (x ) = F (x ) + C ； 性质 3：⎰[f (x ) ± g (x )]dx =⎰ f (x )dx ± ⎰ g (x )dx ，,为非零常数。

设 f (u ) 的 原函数为 F (u ) ， u =(x ) 可导，则有换元公式：⎰ f ((x ))'(x )dx = ⎰ f ((x ))d(x ) = F ((x )) + C设 x =(t ) 单调、可导且导数不为零， f [(t )]'(t ) 有原函数 F (t ) ，则⎰ f (x )dx = ⎰ f ((t ))'(t )dt = F (t ) + C = F (-1(x )) + Cx 2 xx 2x⎰ x1 ★(1)⎰思路: 被积函数1 = x- 5 2，由积分表中的公式（2）可解。

解 ：⎰dx= ⎰ x 1- 52 2dx = - 3 - 3 x 2+ C★(2) ⎰( -dx x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

11-11- 1 3 41解： ⎰ ( 3 x - )dx = ⎰ (x 3 - x 2 )dx = ⎰ x 3dx - ⎰ x 2dx = x 3 - 2x 2 + C 4★(3) ⎰（2x+ x 2）dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

x2x22x1 3解： ⎰（2 + x ）dx = ⎰ 2 dx + x dx = + x + Cln 2 3★(4)⎰x (x - 3)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

７６㊀所以,被积函数１２x f(x)＝１２x ２x＝x２,故所要求的不定积分为ʏ１２x f(x)d x＝ʏx２d x＝１３x３＋C,所以横线处应填写的答案是１３x３＋C.ʌ课堂练习４Ｇ１ɔ１ 函数c o s３x２为的一个原函数.２ 已知函数f(x)的一个原函数为３x２＋５,则fᶄ(x)＝.３ 若不定积分ʏf(x)d x＝l n(x２＋３)＋C,则被积函数f(x)＝.４ ʏs i n x d x()ᶄ＝.５ ʏd(２３x)＝.６ 若ʏf(x)d x＝１２x２＋C,则ʏ３x f(x)d x＝.第二节㊀不定积分的四则运算法则与基本公式一、不定积分的四则运算法则根据导数的运算法则,有以下不定积分的运算法则.法则１㊀若函数u＝u(x),v＝v(x)在区间I上都存在原函数,则有ʏ(uʃv)d x＝ʏu d xʃʏv d x(１)证明:由导数运算法则,对上式右边求导,得ʏu d xʃʏv d x()ᶄ＝ʏu d x()ᶄʃʏv d x()ᶄ＝uʃv,也就是对(１)式右边求导,正好等于其左边的被积函数uʃv,说明右边的ʏu d xʃʏv d x是被积函数uʃv的原函数,只需加上常数C就等于被积函数uʃv的不定积分,而由于ʏu d xʃʏv d x含有积分符号,所以不必再加上常数C,故有ʏ(uʃv)d x＝ʏu d xʃʏv d x.法则２㊀若函数u＝u(x)在区间I上存在原函数,且常数kʂ０,则有７７㊀ʏk u d x ＝k ʏu d x (２)证明:由导数运算法则,对上式右边求导,得k ʏu d x ()＝k ʏu d x ()ᶄ＝k u ,也就是对(２)式右边求导,正好等于其左边的被积函数k u ,说明k ʏu d x 是被积函数k u 的原函数,只需加上常数C 就等于被积函数k u 的不定积分,而由于k ʏu d x 含有积分符号,所以不必再加上常数C ,故有ʏk u d x ＝k ʏu dx .以上两个法则可以合并为:若函数u ＝u (x ),v ＝v (x )在区间I 上都存在原函数,且k １,k ２为不同时等于零的常数,则有ʏ(k １u ʃk ２v )d x ＝k １ʏu d x ʃk ２ʏv d x ,称为不定积分的线性运算法则,并且可以推广到有限个函数的情况.例１㊀计算ʏ(２x ＋c o s x )d x .解:根据法则１,有ʏ(２x ＋c o s x )d x ＝ʏ２x d x ＋ʏc o s xd x ,而由上一节得知ʏ２x d x ＝x ２＋C １,ʏc o s xd x ＝s i n x ＋C ２,所以ʏ(２x ＋c o s x )d x ＝ʏ２x d x ＋ʏc o s xd x ＝x ２＋C １＋s i n x ＋C ２,而常数C １与C ２相加仍是常数,故记为C ＝C １＋C ２,所求的不定积分为ʏ(２x ＋c o s x )d x ＝x ２＋s i n x ＋C .一般地,在计算不定积分时,其最后结果只需包含一个常数C ,并且是在所有积分均已计算出结果(即不再含有积分符号)后再加上常数,或者说只要式子中含有不定积分符号,就可以不加常数C .例２㊀计算ʏ６c o s x d x .解:根据法则２,有ʏ６c o s x d x ＝６ʏc o s xd x ,而由上一节得知ʏc o s x d x ＝s i n x ＋C １,。