2018-2019年上海市七宝中学高二下期中数学试卷及答案

2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．（上海市崇明区2018届高三4月模拟）若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2b =， 3c =B ．2b =， 1c =-C ．2b =-， 3c =D ．2b =-， 1c =-【答案】C【解析】由题意可得：()()2110b c +++=，则：()()120b c -++++=， 整理可得：()()10b c i +-+=，据此有：10b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解方程组可得：23b c =-⎧⎨=⎩. 本题选择C 选项.2．关于x ，y ，z 的三元一次方程组()1232136ax y z x ay z x a y z ⎧++=⎪++=⎨⎪+++=⎩解的情况是（ ）A ．一组解B ．一组解或无穷多组解C ．一组解或无解D ．无解【答案】B【解析】分别计算D,,,x y z D D D ,并对a 讨论求解即可 【详解】21111111(1),21132136213x a D aa D aa a a ==-==-++11111210,12(21)(1)3633216y z a a D D aa a a ===--+当1a ≠，110211x y z D x D a D y D D a x D a ⎧==⎪-⎪⎪==⎨⎪-⎪==⎪-⎩方程组有唯一解当 1 ,0y z x a D D D ====即方程组为123336x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，方程组无解故选：B 【点睛】本题考查行列式与方程组的解，考查运算能力，是基础题3．双曲线C 的左、右焦点为1F ，2F ，P 为C 右支上的动点（非顶点），I 为12F PF ∆的内心.当P 变化时，I 的轨迹为（ ） A ．直线的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．无法确定【答案】A【解析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q 的横坐标，PF 1﹣PF 2＝F 1Q ﹣F 2Q ＝2a ，F 1Q +F 2Q ＝F 1F 2解出OQ ，可得结论． 【详解】如图设切点分别为M ，N ，Q ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与Q 横坐标相同． 由双曲线的定义，PF 1﹣PF 2＝2a ＝4．由圆的切线性质PF 1﹣PF 2＝F 1M ﹣F 2N ＝F 1Q ﹣F 2Q ＝2a ， ∵F 1Q +F 2Q ＝F 1F 2＝2c ， ∴F 1Q ＝a +c ，F 2Q ＝c ﹣a ，∴OQ ＝OF 2﹣QF 2＝c ﹣（c ﹣a ）＝a ．∴△F 1PF 2内切圆与x 轴的切点坐标为（a ，0）， ∴当P 变化时，I 的轨迹为直线的一部分． 故选：A ．【点睛】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义,注意切线长相等的应用 4．已知两点51,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，54,4B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，给出下列曲线方程：（1）4210x y +-=；（2）223x y +=；（3）2214y x -=；（4）2214y x +=，在曲线上存在点P 满足PA PB =的所有曲线是（ ） A ．（1）（2）（3）（4） B ．（2）（3） C ．（1）（4） D ．（2）（3）（4）【答案】B【解析】求出线段MN 的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立，利用判别式判断直线和曲线的交点情况，从而判断给出的曲线上是否存在点P ，使得||P A |＝|PB |． 【详解】 由A （1，54），B （﹣4，54-）， 得()55144142ABk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--，A 、B 的中点坐标为（32-，0）， ∴AB 的垂直平分线方程为y ﹣0＝﹣2（x 32+），即y ＝﹣2x ﹣3． （1）∵直线y ＝﹣2x ﹣3与直线4x +2y ﹣1＝0平行， ∴直线4x +2y ﹣1＝0上不存在点P ，使|P A |＝|PB |； （2）联立22233y x x y =--⎧⎨+=⎩，得5x 2+12x +6＝0，△＝122﹣4×5×6＝24＞0． ∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 2+y 2＝3有交点，曲线x 2+y 2＝3上存在点P 满足|P A |＝|PB |；（3）联立222314y x y x =--⎧⎪⎨-=⎪⎩，得1312x =-，方程有解，∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 224y -=1有交点，曲线x 224y -=1上存在点P 满足|P A |＝|PB |；（4）联立222314y x y x =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，得8x 2+12x +5＝0，△＝122﹣4×8×5＝﹣16＜0． ∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 224+=y 1没有交点，曲线x 224+=y 1上不存在点P 满足|P A |＝|PB |．∴曲线上存在点P 满足|P A |＝|PB |的所有曲线是（2）（3）． 故选：B ． 【点睛】本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用判别式法判断两条曲线的位置关系，是中档题．二、填空题 5．复数2i的虚部是______. 【答案】-2【解析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 【详解】()()222i i i i i -==--,故虚部为-2 故答案为：-2 【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题． 6．直线342x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 是参数，t R ∈）的一个方向向量是______.【答案】（1，14-） 【解析】化直线的参数方程为普通方程为：x +4y ﹣11＝0，由直线的方向向量得：该直线的斜率k 14=-，即该直线的一个方向向量为（1，14-），得解． 【详解】 将直线342x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 是参数，t ∈R ）化为普通方程为：x +4y ﹣11＝0，可得该直线的斜率k 14=-， 即该直线的一个方向向量为：（1，14-） 故答案为：（1，14-） 【点睛】本题考查了直线的参数方程与普通方程的互化及直线的方向向量，属简单题．7．已知椭圆2221x y a+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =________【解析】由抛物线的标准方程可得其焦点坐标为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， 设椭圆的焦点坐标为：()()12,0,,0F c F c -， 则：1211,0,,022F F c FF c ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意有：11,03,022c c ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则：11322c c ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求解关于c 的方程可得：1c =，则：a ==.8．已知点(23)A ，，(1,0)B ，动点P 在y 轴上，当||||PA PB +取最小值时，点P 的坐标为______. 【答案】()0,1【解析】作出A 关于y 轴的对称点()'2,3A -,连接'A B ,与y 轴交于P ,即为所求，求出直线AB 的方程，令0x =可得P 的坐标. 【详解】作出A 关于y 轴的对称点()'2,3A -, 连接'A B ,与y 轴交于P ,即为所求， 此时PA PB +取最小值'A B ， 由'A B 的斜率为30121-=---， 可得方程()1y x =--， 令0x =，可得1y =， 即为()0,1P ，故答案为()0,1. 【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.9．已知复数(),z a bi a b R =+∈，满足1z =，则ab 的最小值是______. 【答案】12-【解析】由1z =得,a b 的关系，再利用基本不等式求最值即可 【详解】 ∵|z |＝1，=1，即a 2+b 2＝1，则1＝a 2+b 2≥2|ab |，当且仅当|a |=|b |=2等号成立 即|ab |12≤， 则12-≤ab 12≤，， 故答案为：12-【点睛】本题主要考查复数模长的应用，结合基本不等式求最值是解决本题的关键．10．已知{}n a 是无穷等比数列，若{}n a 的每一项都等于它后面所有项的k 倍，则实数k 的取值范围是______.【答案】（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．【解析】无穷等比数列{a n }的各项和为A ，前n 项和为S n ，公比为q ，0＜|q |≤1，q ≠1．可得A 11a q =-，S n ()111na q q-=-，由题意可得：a n ＝k （A ﹣S n ），代入化为：k ()1n q q q -=，分类讨论即可得出． 【详解】解：无穷等比数列{a n }的各项和为A ，前n 项和为S n ，公比为q ，0＜|q |≤1，q ≠1．则A 11a q =-，S n ()111na q q-=-，由题意可得：a n ＝k （A ﹣S n ）， ∴a 1q ＝k （()11111na q a qq----），化为：k ()1nq q q-=，1＞q ＞0时，k ＞0，n →+∞时，k →+∞．﹣1≤q ＜0时，可得：n 为偶数时，k ∈（﹣∞，﹣2]；n 为奇数时，k ＞0． ∴k ∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）． 综上可得：k ∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、极限性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知12F F 、是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点,过点1F 且斜率为2的直线l 交双曲线的左支于点P,若直线2PF l ⊥，则双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】2y x =±【解析】先求出过点1F 且斜率为2的直线的方程，再利用垂直关系得出直线1PF 的方程，求出它们的焦点坐标及点P 的坐标，利用点P 在双曲线上，代入求得,,a b c 的关系式，进而求得其渐近线的方程，得到答案． 【详解】由题意，过过点1F 且斜率为2的直线l 的方程为2()y x c =+，因为2PF l ⊥，所以直线1PF 的斜率为12-，所以直线1PF 的方程为1()2y x c =--，两直线联立方程组，解得交点P 的坐标为34(,)55c c-，如图所示，将点P 代入双曲线的方程，可得222234()()551c c a b --=，整理得22222291625b c a c a b -=，又由222b c a =-，代入得222222229()1625()c a c a c a c a --=-，整理得4224950250c a c a -+=，解得225c a =，可得224b a =，即2b a =， 所以双曲线的渐近线的方程为2y x =±． 故答案为：2y x =±．、【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．12．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，24a =，平面内三个不共线的向量OA ，OB ，OC 满足()()()*1112,n n n OC a OA a a OB n n N -+=-++≥∈，若点A ，B ，C在同一直线上，则2019S =______. 【答案】8【解析】由题意得出a n ﹣1+a n +1＝a n ，由S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，a 2＝4，得到数列{a n }是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，由此能求出S 2019 【详解】因为OC =（1﹣a n ）OA +（a n ﹣1+a n +1）OB （n ≥2，n ∈N ），A ，B ，C 在同一直线上， 则a n ﹣1+a n +1+1﹣a n ＝1，∴a n ﹣1+a n +1＝a n ， ∵S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，a 2＝4，∴数列{a n }为：2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，… 即数列{a n }是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2， ∵2019＝6×336+3，∴S 2019＝336×（2+4+2﹣2﹣4﹣2）+2+4+2＝8． 故答案为：8 【点睛】本题考查数列的前n 项和的求法，考查周期数列、共线向量性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 13．已知平面向量a ，b ，c 满足a b ⊥，且{}{},,1,2,3a b c =，则a b c ++的最大值是______.【答案】3【解析】分别以a b ，所在的直线为x ，y 轴建立直角坐标系，分类讨论：当{|a |，|b |}＝{1，2}，|c |＝3，设()c x y ，=，则x 2+y 2＝9，则a b c ++=（1+x ，2+y ），有|++a b c |=的最大值，其几何意义是圆x 2+y 2＝9上点（x ，y ）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可． 【详解】分别以a b ，所在的直线为x ，y 轴建立直角坐标系， ①当{|a |，|b |}＝{1，2}，|c |＝3，则()12a b +=，，设()c x y ，=，则x 2+y 2＝9，∴a b c ++=（1+x ，2+y ），∴|++a b c |的最大值，其几何意义是圆x 2+y 2＝9上点（x ，y ）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为3=3②当{|a |，|b |}＝{1，3}，|c |＝2，则()13a b +=，，x 2+y 2＝4， ∴a b c ++=（1+x ，3+y ） ∴|++a b c|=x 2+y 2＝4上点（x ，y ）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2=2， ③当{|a |，|b |}＝{2，3}，|c |＝1，则()23a b +=，，设()c x y ，=，则x 2+y 2＝1∴a b c ++=（2+x ，3+y ） ∴|++a b c|=x 2+y 2＝1上取点（x ，y ）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1=1∵133++++ 故|++a b c |的最大值为3故答案为：3【点睛】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r +d （r 为该圆的半径，d 为该点与圆心的距离）．14．设m 为实数，若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，，则m 的取值范围是 ． 【答案】403m ≤≤ 【解析】【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤ 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1202n n n a S S n -+⋅=≥，112S =，设n n b na =，则以下四个命题：（1）1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）{}n b 中最大项是1b ；（3）{}n a 通项公式是()121n a n n =--；（4）lim 0n n a →∞=.其中真命题的序号是______. 【答案】（1）（2）（4）【解析】运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，即可判断（1），（3），由数列的单调性可判断（2），（4）． 【详解】a n +2S n ﹣1•S n ＝0（n ≥2），S 112=， 可得S n ﹣S n ﹣1＝﹣2S n ﹣1•S n ＝0（n ≥2），即有111n n S S --=2， {1n S }是首项、公差均为2的等差数列，故（1）正确； 可得1n S =2+2（n ﹣1）＝2n ，即S n 12n=， 可得a 1＝S 112=，n ≥2时，a n ()121n n =--，对n ＝1不成立，故（3）错误；由a n ()121n n =--在n ≥2递增，当n →∞时，可得n lim →∞a n ＝0，故（4）正确； b n ＝na n ()1121221n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥-⎪⎩，，，可得n ≥2时，b n 递增，且b n ＜0，则{b n }中最大项是b 1，故（2）正确． 故答案为：（1）（2）（4）． 【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列的单调性，考查化简运算能力和推理能力，注意利用S n 12n=求a n 检验首项是否成立属于中档题．16．已知函数()21x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于点A ，B 两点，若动点P 满足4PA PB +=，则点P 的轨迹方程是______.【答案】（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．【解析】函数f （x ）21x x -==-111x --，可得f （x ）的对称中心为Q （1，1）．直线g （x ）＝mx +1﹣m 即y ＝m （x ﹣1）+1，经过定点Q （1，1）．可得两图象相交的两点A ，B 关于点Q 对称．设A （x 0，y 0），B （2﹣x 0，2﹣y 0）．设P （x ，y ）．利用动点P 满足|PA PB +|＝4，即可得出． 【详解】 函数f （x ）21x x -==-111x --，可得f （x ）的对称中心为Q （1，1）． 直线g （x ）＝mx +1﹣m 即y ＝m （x ﹣1）+1，经过定点Q （1，1）． 则两图象相交的两点A ，B 关于点Q 对称． 设A （x 0，y 0），B （2﹣x 0，2﹣y 0）．设P （x ，y ）． ∵PA PB +=（2﹣2x ，2﹣2y ）．∵动点P 满足|PA PB +|＝4，=4，化为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4． 故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．【点睛】本题考查了函数的对称性、轨迹方程、向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，准确推理两函数均关于点（1,1）对称是关键，属于中档题．三、解答题17．已知复数z 满足2641iz i-+=--. （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若w z ai =+，且w z ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）82z i =--（2）﹣4≤a ≤0【解析】（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出； （2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出． 【详解】 （1）()()2614822i i z i -++=-=-+，∴82z i =--．（2）由（1）z =w ＝﹣8+（2+a ）i ，∴w ==∵|w |≤|z |，则68+4a +a 2≤68，a 2+4a ≤0，﹣4≤a ≤0，所以，实数a 的取值范围是：﹣4≤a ≤0． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．18．已知定点()0,1A ，()0,1B -，()1,0C ，动点P 满足2AP BP k CP ⋅=. （1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型； （2）当2k =时，求AP BP +的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）[2，6]【解析】（1）设P （x ，y ），则AP =（x ，y ﹣1），BP =（x ，y +1），CP =（x ﹣1，y ），动点P 满足AP BP ⋅=k |CP |2．可得x 2+y 2﹣1＝k [（x ﹣1）2+y 2]，对k 分类讨论即可得出．（2）当k ＝2时，方程为：（x ﹣2）2+y 2＝7．由|AP BP +|＝|（2x ，2y ）|＝求出原点到圆心的距离d ．即可对称|AP BP +|的取值范围． 【详解】（1）设P （x ，y ），则AP =（x ，y ﹣1），BP =（x ，y +1），CP =（x ﹣1，y ）， ∵动点P 满足AP BP ⋅=k |CP |2． ∴x 2+y 2﹣1＝k [（x ﹣1）2+y 2]，k ＝1时，化为：x ﹣1＝0，此时点P 的轨迹为直线． k ≠1时，化为：2()1k x k -+-y 221(1)k =-．由21(1)k -＞0，得点P 的轨迹为圆，圆心为01k k ⎛⎫⎪-⎝⎭， （2）当k ＝2时，方程为：（x ﹣2）2+y 2＝1．|AP BP +|＝|（2x ，2y ）|＝．原点到圆心（2,0）的距离d ＝22-1=1，最大为2+1=3∴|AP BP +|＝[2，6]．【点睛】本题考查了圆的定义标准方程及其性质、分类讨论方法、向量坐标运算性质、数量积运算性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．从数列{}n a 中取出部分项组成的数列称为数列{}n a 的“子数列”.（1）若等差数列{}n a 的公差0d ≠，其子数列{}n k a 恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，求12n k k k ++⋅⋅⋅+；（2）若32n a n =-，4n n b =，判断数列{}n b 是否为{}n a 的“子数列”，并证明你的结论. 【答案】（1）3n﹣1﹣n （2）见解析【解析】（1）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，求得首项和公差的关系，可得等比数列的公比，结合等比数列的通项公式，可得k n ＝2•3n ﹣1﹣1，再由数列的分组求和，即可得到所求和；（2）数列{b n }为{a n }的“子数列”．由3k ﹣2＝4n ，可得3k ＝4n+2，运用二项式定理即可得证． 【详解】（1）等差数列{a n }的公差d ≠0，其子数列{a n k }恰为等比数列， 其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，可得a 1k =a 1，a 2k =a 5，a 3k =a 17，且有a 52＝a 1a 17，即（a 1+4d ）2＝a 1（a 1+16d ），化为a 1＝2d ，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝（n +1）d ， 子数列{a n k }为首项为2d ，公比为51a a =3的等比数列， 则a n k =2d •3n ﹣1＝（k n +1）d ，可得k n ＝2•3n ﹣1﹣1，则k 1+k 2+…+k n ＝（2+6+…+2•3n ﹣1）﹣n()21313n -=--n ＝3n﹣1﹣n ；（2）若a n ＝3n ﹣2，b n ＝4n，数列{b n }为{a n }的“子数列”． 由3k ﹣2＝4n ，可得3k ＝4n+2，由4n ＝（1+3）n ＝1+C 1n •3+C 2n •32+…+3n ，即有4n +2＝3（1+C 1n +C 2n •3+…+3n ﹣1），显然为3的倍数，故数列{b n }为{a n }的“子数列”． 【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．20．设复数(),x yi x y R β=+∈与复平面上点(),P x y 对应.（1）若β是关于t 的一元二次方程()220t t m m R -+=∈的一个虚根，且2β=，求实数m 的值；（2）设复数β满足条件()()31331nna a ββ++--=+-（其中*n N ∈、常数3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），当n 为奇数时，动点(),P x y 的轨迹为1C ，当n 为偶数时，动点(),P x y 的轨迹为2C，且两条曲线都经过点(D ，求轨迹1C 与2C 的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹2C 上存在点A ，使点A 与点()()00,00B x x >的最小距，求实数0x 的取值范围.【答案】（1）m ＝4；（2）C 1的方程是：22136x y -=（x ≥，C 2的方程是：221123x y +=．（3）00x ≤＜或0x ≥． 【解析】（1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出m 的值．（2）方法一：分n 为奇数和偶数，化出a 的范围，联立双曲线方程，求出a 值，推出双曲线方程即可．方法二：由题意分a 的奇偶数，联立方程组，求出复数β，解出a ，根据双曲线的定义求出双曲线方程．（3）设点A 的坐标，求出|AB |表达式，根据x 范围，x的对称轴讨论002x ≤＜，02x ＞时，|AB |的最小值，不小于3，求出实数x 0的取值范围． 【详解】（1）β是方程的一个虚根，则β是方程的另一个虚根， 则2||4m βββ⋅===，所以m ＝4（2）方法1：①当n 为奇数时，| β +3|﹣| β﹣3|＝2a ，常数332a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，），轨迹C 1为双曲线一支，其方程为222219x y a a -=-，x ≥a ； ②当n 为偶数时，| β +3|+| β﹣3|＝4a ，常数332a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，），轨迹C 2为椭圆，其方程为22221449x y a a +=-； 依题意得方程组42224222421445990449421536019a a a a a a a a ⎧+=⎪⎧-+=⎪-⇒⎨⎨-+=⎩⎪-=⎪-⎩解得a 2＝3，因为332a ＜＜，所以a =此时轨迹为C 1与C 2的方程分别是：22136x y -=，x ≥，221123x y +=．方法2：依题意得334333332a a a a ββββββ⎧++-=⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨-=+--=⎪⎩⎪⎩ 轨迹为C 1与C 2都经过点(2D，且点(2D对应的复数2β=+，代入上式得a =即33ββ+--=C 1是双曲线，方程为22136x y -=；33ββ++-=对应的轨迹C 2是椭圆，方程为221123x y +=．（3）由（2）知，轨迹C 2：221123x y +=，设点A 的坐标为（x ，y ）， 则22222001||()()34AB x x y x x x =-+=-+-22220000334123()34433x x x x x x x =-++=-+-，0x ⎡∈-⎣当0403x ≤＜即002x ≤＜时，220014||3033min AB x x =-≥⇒≤＜当043x ＞0x时，00|min AB x x =-≥⇒≥，综上00x ≤＜0x ≥． 【点睛】本题考查复数的基本概念，轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．21．抛物线22y x =的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A ，B 两点. （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：032x >； （3）若直线l 的斜率依次为12，14，18，…，12n ，…，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为1N ，2N ，3N ，…，n N ，…，求12231111n nN N N N N N -++⋅⋅⋅+. 【答案】（1）k ∈（﹣1，0）∪（0，1）；（2）见解析（3）111194n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】（1）求得抛物线的准线方程，可得M 的坐标和直线l 的方程，联立抛物线方程，运用判别式大于0，即可得到所求范围；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得AB 的垂直平分线方程，可令y ＝0，求得x ，即可得证； （3）设N m （x m ，0），求得142mm x =+，所以1114434m m m m m N N ---=-=⋅，由等比数列的求和公式，即可得到所求和． 【详解】（1）抛物线y 2＝2x 的准线为x 12=-， 102M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，设l ：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线的方程：()22222120242y k x k k x k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⇒+-+=⎝⎭⎨⎪=⎩（）． 因为l 交抛物线于两点，所以k ≠0且二次方程（）根的判别式△＞0，即（k 2﹣2）2﹣k 4＞0，解得k ∈（﹣1，0）∪（0，1）； （2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理可得21222k x x k -+=-，()121221y y k x x k +=++=， 所以AB 中点的坐标为22212k k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 所以AB 中垂线方程为221122k y x k k k ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭，令y ＝0，可得0211322x k =+＞． （3）设N m （x m ，0），由直线l 的斜率依次为11112482n ，，，，，， 可得x m 2112k =+， 则142mm x =+， 所以1114434mm m m m N N ---=-=⋅，1223111113n nN N N N N N -+++=（11144n -++）13=•111144114n -⎛⎫- ⎪⎝⎭-， 所以11223111111194n n n N N N N N N --⎡⎤⎛⎫+++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，同时考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.若复数z=a+i1−2i(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数，则|a+2i|等于()A. 2B. 2√2C. 4D. 82.条件p：π4<α<π2，条件q：f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，则p是q的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.在三棱锥中，，是等腰直角三角形，，为中点.则与平面所成的角等于()A. B. C. D.4.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=CD=1，DD1=2，则直线DB1与直线BC1所成角的余弦值为()A. √3010B. √1010C. √7010D. 3√1010二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z1=3+4i，z2=t+i，，且z1⋅z2是实数，则实数t等于______．6.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则|z2z1|=______ ．7.设复数z1=1+i，z2=−2+xi(x∈R)，若z1⋅z2∈R，则x的值等于______．8.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”，那么母线长为2√2的“标准圆锥”的体积为______ ．9.若z∈C，且|z+3+4i|≤2，则|z|的取值范围为____________．10.在复数集中分解因式：a4−b4=．11.在复平面内，三点A，B，C分别对应复数z A，z B，z C，若z B−z Az C−z A =1+43i，则△ABC的三边长之比为______．12.若2cos2x=1，则x=______13.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱BB1，CC1爬到点A1，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱CC1爬到点A1.如图，设∠PAB=α，∠QBC=β，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则α+β=______ ．14.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB=3，AD=AA1=2，E点在棱D1C1上，且D1E=13D1C1，则直线AE与DB1所成角的余弦值为______．15.给出下列命题：①如果，是两条直线，且//，那么平行于经过的任何平面；②如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；③若直线，是异面直线，直线，是异面直线，则直线，也是异面直线；④已知平面⊥平面，且∩=，若⊥，则⊥平面；⑤已知直线⊥平面，直线在平面内，//，则⊥．其中正确命题的序号是．16.如图，一个立方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此立方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.计算下列问题：18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求异面直线B1C与A1B所成角的大小；=λ(λ∈(0,1)，点N在线段A1B上，(Ⅲ)点M在线段B1C上，且B1MB1C的值(用含λ的代数式表示)．若MN//平面A1ACC1，求A1NA1B19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求直线PC与底面ABCD所成角的余弦值．20.已知多面体ABCDE中，DE⊥平面ACD，AB//DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，M为CD的中点．(1)求证：AM//平面BCE；(2)求证：AM⊥平面CDE；(3)求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．21.在区间D上，如果函数f(x)为增函数，而函数f(x)为减函数，则称函数f(x)为“弱增函数”.已x．知函数f(x)=1−1+x(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”；|x1−x2|；(2)设x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，证明：|f(x2)−f(x1)|<12≤1−bx恒成立，求实数a，b的取值范围．(3)当x∈[0,1]时，不等式1−ax≤√1+x【答案与解析】1.答案：B解析：先用复数的乘除运算将z计算化简，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．解：z=a+i1−2i =(a+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=a−2+(2a+1)i5.根据纯虚数的概念得出{2a+1≠0a−2=0∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|=√22+22=2√2故选B．2.答案：B解析：解：∵π4<α<π2，∴1<tanα，∴f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，∴p是q的充分条件；而f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，必有tanα>1，解得α∈(kπ+π4,kπ+π2)(k∈Z)，由q不是p的充分条件．综上可知：p是q的充分不必要条件．故选B．由π4<α<π2，可得1<tanα；而反之不成立．当a>1时，函数y=log a x在(0,+∞)是增函数．据此即可判断出答案．充分函数y=tanα、y=log a x的单调性及充分、必要条件的意义是解题的关键．3.答案：B解析：试题分析：先作PO⊥平面ABC，垂足为O，根据条件可证得点O为三角形ABC的外心，从而确定点O为AC的中点，然后证明BO是面PAC的垂线，从而得到∠BEO为BE与平面PAC所成的角，在直角三角形BOE中求解即可。

上海中学2019学年第二学期期终考试数学试题一、选择题1.__________.1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】1【解析】【分析】由即可求得1lim =0x n →∞【详解】11lim(1=lim1lim =1-0=1x x x n n →∞→∞→∞--）【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。

2.等差数列中，若，则___________.{}n a 13,21,2n a a d ===n =【答案】10.【解析】【分析】直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解的值．n 【详解】在等差数列中，由，，，{}n a 13a =21n a =2d =且，所以，1(1)n a a n d =+-1213192n a a n d ---===所以．10n =故答案为：10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求．n 3.数列中，已知，50为第________项.{}n a *41322,n n n a n N =-+∈•【答案】4【解析】【分析】方程变为，设，解关于的二次方程可求得。

4132-48=0n n -•2nx =x 【详解】，则，即*41322,n n n a n N =-+∈•5041322n n =-+•4132-48=0n n -•设，则，有或2n x =213480x x --=16x =3x =-取得，，所以是第4项。

16x =216n =4n =【点睛】发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。

对于指数结构，242n n =（）x 242n n =（），等，都可以通过换元变为二次形式研究。

293n n =（）2255n n =（）4.为等比数列，若，则_______.{}n a 1234126,52a a a a a ++=-=n a =【答案】123n -•【解析】【分析】将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解1234126,52a a a a a ++=-=1,a q 方程组即可求出。

七宝中学高二期中数学试卷2018.11一. 填空题1. 若线性方程组的增广矩阵是122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，其解为11x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 2. 已知行列式4513732xx 中元素4的代数余子式是1，则实数x 的值是3. 求26100lim 3110045nn n n n n →∞⎧≤⎪⎪⎨+⎪>⎪+⎩（*n ∈N ）=4. 在△ABC 中，(0,0)A ，(3,5)B ，(4,4)C ，则△ABC 面积为5. 已知(1,2)a =，(2,3)b =-，(2)a b +∥()a kb +，则实数k 的值是6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九 韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的n 、x 的值分别是3、2，则输出v 的值为7. 设111()122f n n n n=++⋅⋅⋅+++，*n ∈N ，若*k ∈N ，则(1)()f k f k +=+ 8. 已知||1a =，||1b =，a 、b 的夹角是60°，若向量c 满足||1c a b --=，则||c 的最小值为9. 设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n ∈N ，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭 图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=10. 已知圆O 中，弦3AB =，5AC =，则AO BC ⋅的值是11. 定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，m na b p q*=，有下列说法：① 若a 与b 垂直，则0a b *=；② a b b a *=*；③ 对任意的λ∈R ，有()()a b a b λλ*=*；④ 2222()()a b a b a b *+⋅=； 正确的是 （写出所有正确的序号）12. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，若对于任意*n ∈N ，2n S S <恒成立，则公比q 的取值范围是二. 选择题13. 用数学归纳法证明11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（*n ∈N ，2n ≥）时，第一步应验证（ ） A. 1122+< B. 111223++< C. 111323++< D. 11113234+++<14. 已知A 、B 、C 是平面不同三点，则“0AB BC CA ⋅+=”是“A 、B 、C 三点能构 成三角形”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15. 若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于x 、y 的二元一次方程组132423a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况，下列说法正确的是（ ）A. 对任意q ∈R ，0q ≠，方程组都有唯一解B. 对任意q ∈R ，0q ≠，方程组都无解C. 当且仅当32q =时，方程组无解 D. 当且仅当32q =时，方程组无穷多解16. 正六边形ABCDEF 中，令AB a =，AF b =，P 是△CDE 内含边界的动点（如图），AP xa yb =+， 则x y +的最大值是（ ）A. 1B. 3C. 4D. 5三. 解答题17. 求证：对任意的*n ∈N ，22389n n +--能被64整除.18. 上海市旅游节刚落下帷幕，在旅游节期间，甲、乙、丙三位市民顾客分别获得一些景区门票的折扣消费券，数量如表1，已知这些景区原价和折扣价如表2（单位：元）. 表1：表2：（1）按照上述表格的行列次序分别写出这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵A 和三个景区的门票折扣后价格矩阵B ；（2）利用你所学的矩阵知识，计算三位市民各获得多少元折扣？19. 已知平面直角坐标系内三点A 、B 、C 在一条直线上，满足(3,1)OA m =-+，(,3)OB n =，(7,4)OC =，且OA OB ⊥，其中O 为坐标原点.（1）求实数m 、n 的值；（2）设△AOC 的重心为G ，且23OG OB =，且1P 、2P 为线段AB 的三等分点， 求12OA AB OP AB OP AB OB AB ⋅+⋅+⋅+⋅的值.20. 已知一列非零向量n a 满足：1(2,0)a =，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+. （1）写出数列{||}n a 的通项公式；（2）求出向量n a 与1n a -的夹角θ，并将12,,,n a a a ⋅⋅⋅中所有与1a 平行的向量取出来，按原来的顺序排成一列，组成新的数列{}n b ，12n n OB b b b =++⋅⋅⋅+，O 为坐标原点，求点列{}n B 的坐标；（3）令8128n n S a a a =++⋅⋅⋅+（*n ∈N ），求8{}n S 的极限点位置.21. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了A 、B 、C 三款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这三款软件的激活码分别为下面数学问题的三个答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋅⋅⋅，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，以此类推，试根据下列条件分别求三款软件的激活码.（1）A 款应用软件的激活码是该数列中第四个三位数的项数的平方； （2）B 款应用软件的激活码是该数列中第一个四位数及其前所有项的和；（3）C 款应用软件的激活码是满足如下条件的最小整数0N ：①01000N >；②该数列的前0N 项和为2的整数幂.参考答案一. 填空题1. 62. 53. 04. 45. 16. 187.1(21)(22)k k ++8.19. 1410. 8 11.（1）（3）（4）12. 1((0,)2二. 选择题13. B 14. B 15. D 16. C三. 解答题17. 设22389n n S n +=--，∴8(91)n n a =-，即证91n -能被8整除，数学归纳法证. 18.（1）022301410A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()406080B =； （2）034201210C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()203040D =，()140100110D C ⋅=， 即三位市民各获得140、100和110元折扣. 19.（1）1m =，2n =；或8m =，9n =；（2）26.20.（1）n ；（2）1()]4(,0)5n --；（3）. 21.（1）2809；（2）4083；（3）(1)1000452m m m +>⇒≥，21m m b =-， 11222m m b b b m +++⋅⋅⋅+=--，∴12124221k k m -+=+++⋅⋅⋅+=-，2log (3)6k m =+≥，此时61m =，∴06162618972N ⨯=+=。

2018-2019学年上海市七宝中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A.若120z z -=，则12z z = B.若12z z =，则12z z = C.若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D.若12z z =，则2212z z =【答案】D【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b i z a b i =+=+，若12z z ==222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12z z =为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．【考点】1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．2．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.3．如图，已知正四面体D ABC -中，P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --、D PQ R --、D QR P --的平面角为α、β、γ，则α、β、γ的大小关系为（ ）A.αβγ<<B.αγβ<<C.βαγ<<D.γαβ<<【答案】B【解析】设O 为正三角形ABC ，以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设3OP =，利用空间向量法计算出α、β、γ的值，即可得出这三个角的大小关系. 【详解】设底面正ABC ∆的中心为点O ，以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 轴、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -.设3OP =，则()0,0,0O、()0,3,0P -、()0,6,0C -、(D 、)Q、()R -，()PR ∴=-uu r，(PD =uu u r，)PQ =uu u r，()2,0QR =--uu u r.设平面PDR 的法向量为(),,n x y z =，则00n PR n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3030y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，取y =x =1z =-，可得()6,22,1n =-r，可取平面ABC 的法向量()0,0,1m =，则cos ,m n m n m n⋅==⋅u r ru r r u r r，取α=同理可得β=γ=，>>，因此，αγβ<<. 故选：B. 【点睛】本题考查二面角大小的比较，解题的关键就是建立空间直角坐标系求出二面角的大小，考查计算能力，属于中等题.二、填空题4．复数()()123i i -+的虚部为________. 【答案】5-【解析】利用复数的乘法法则将复数()()123i i -+表示为一般形式，可得出该复数的虚部. 【详解】()()212335255i i i i i -+=--=-Q ，因此，复数()()123i i -+的虚部为5-.故答案为：5-. 【点睛】本题考查复数的虚部的求解，考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题. 5．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A 、B 对应的复数分别是1z 、2z ，则221z z =________.【答案】5【解析】先根据复数的几何题意得出复数1z 、2z ，并利用复数的乘方法则和除法法则求出复数221z z ，然后利用复数的模长公式求出221z z . 【详解】由图形可得点()0,1A 、()2,1B -，1z i ∴=，22z i =-，()222123443i zii z ii--∴===--， 因此，2215z z ==.故答案为：5. 【点睛】本题考查复数的模的计算，同时也考查了复数的几何意义与复数的乘方、除法运算，解题的关键就是将复数利用四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.6．复数352019i i i i ++++=L ________. 【答案】0【解析】将352019i i i i ++++L 视为等比数列{}21n i -的前1010项和，利用等比数列的求和公式可计算出代数式的值. 【详解】由题意可知，352019i i i i ++++L 为等比数列{}21n i -的前1010项和，且该数列的首项为i ，公比为2i ，所以，()()1010101023520192111012i i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎣⎦⎣⎦++++===-L . 故答案为：0. 【点睛】本题考查复数的计算，考查复数乘方的计算，注意复数乘方周期性的应用，同时也可以转化为等比数列求和来处理，考查计算能力，属于中等题.7．一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是________. 【答案】π【解析】设圆柱底面圆的半径为r ，利用底面圆周长等于高，可得出该圆柱高与底面直径的比值. 【详解】设圆柱底面圆的半径为r ，由于该圆柱的侧面展开图为正方形，则圆柱的高等于底面圆周长，所以，圆柱的高为2r π，因此，圆柱的高与底面直径的比值为22rrππ=. 故答案为：π. 【点睛】本题考查圆柱的相关计算，解题时要结合题中的条件得出底面半径与高的等量关系，考查计算能力，属于基础题.8．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________. 【答案】1【解析】先得出复数z 对应的点的轨迹为复平面内连接点()0,1和()0,1-的线段，1z i ++的几何意义为复数z 对应的点到点()1,1--的距离，利用数形结合思想可得出1z i ++的最小值.【详解】设z x yi =+，由复数模的三角不等式可得()()222z i z i z i z i i =++-≥+--==，所以，复数z 在复平面的轨迹是连接点()0,1和()0,1-的线段，如下图所示：当z i =-时，则1z i ++取得最小值1.故答案为：1. 【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题. 9．设z 是复数，()a z 表示满足1n z =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则1i ()1ia +=-________. 【答案】4【解析】∵21(1)1211(1)(1)11i i i i i i i +++-===--++ ∴1()()1ia a i i+=- ∵()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ∴当4n =时满足1n i =第一次成立 ∴()4a i = 故答案为4.10．已知a 是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且2a ≤，则实数m 的取值范围是________.【答案】34⎛-⎝ 【解析】根据一元二次方程的判别式和虚数根的模列出不等式组，求得其范围. 【详解】由已知得()()222141430m m m ∆=--+=--<，解得34m >-；又因为 2a ≤，所以2221422m ⎛-⎛⎫+≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得m ≤≤；所以实数m 的取值范围是34m -<≤ 故得解. 【点睛】本题考查一元二次方程的判别式和复数的模，属于基础题.11．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是_____．【答案】【解析】作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离，利用余弦定理求解即可. 【详解】圆锥的侧面展开图为半径为30，弧长为20π的扇形AOB ， ∴最短距离为AB 的长． 扇形的圆心角为202303ππ=，∴AB ==故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，最短距离求解，将曲面转化为平面是解题关键，属于中档题．12．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为__________．【解析】如图所示，设,,M N P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，则11,AB BC 夹角为MN 和NP夹角或其补角，112MN AB ==，112NP BC ==，作BC 中点Q ，则PQ M ∆为直角三角形，11,,2PQ MQ AC ABC ==∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，AC MQ ∴=∴=，在MQP ∆中，MP == 在PMN ∆中，由余弦定理得222222cos 2MN NP PM MNP MN NP +-+-∠===⋅⋅，又异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，1AB ∴与1BC所成角的余弦值为5，故答案为5. 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及余弦定理，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 13．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，对于以下命题： （1）若//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等； （2）若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥； （3）若m β⊥，αβ⊥，则//m α；（4）若//m α，αβ⊥，则m β⊥. 其中正确命题的序号是________. 【答案】（1）（2）【解析】在（1）中，由线线、面面平行和线面所成角的定义可以判断； 在（2）中，运用线面垂直的判定和性质、面面垂直的定义即可判断； 在（3）中，由面面垂直的性质定理可判断；在（4）中，运用线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理即可判断. 【详解】在（1）中，若//m n ，//αβ，则m 与α、n 与α所成的角相等，n 与α、m 与β所成的角相等，可得（1）正确；在（2）中，若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，m 、n 平移为相交直线，确定一个平面与α、β相交使得交线垂直，由面面垂直的定义可得αβ⊥，可得（2）正确；在（3）中，若m β⊥，αβ⊥，则//m α或m α⊂，可知（3）错误；在（4）中，//m α，αβ⊥，过m 作平面γ，使得a αγ⋂=，由线面平行的性质定理可得//m a ，但a 与β不一定垂直，则m 与β也不一定垂直. 故答案为：（1）（2）. 【点睛】本题考查线面角的定义以及空间线面关系、面面关系有关命题的判断，可充分利用相应的定义以及线面、面面平行和垂直的判定与性质定理进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 14．在四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心．若，则______．【答案】【解析】【详解】如图，设面AHD 与BC 交于点F.因为AB = AC ，所以，点G 在AF 上，且.则，.在△GFH 中，由余弦定理得. 15．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）A.()0,6B.()6,+∞C.(D.()+∞【答案】C【解析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出. 【详解】 如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AOAC A =，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO .OC ⊂Q 平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，tan 30AOOB ∴==o. 在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即0BC <<BC 长的取值范围是(.故选：C.【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题16．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________.【答案】()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+【解析】配方为()()()222422262531634x x x x i -+=-+=--，由()2234i i ±=±结合平方差公式即可求得答案.【详解】 ()2234i i -=-Q ，()2234i i +=+， ()()()()()222422222625316343434x x x x i x i x i ∴-+=-+=--=---+()()()()222222343422x i x i x i x i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+--=-+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+=.故答案为：()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+.【点睛】本题考查在复数范围内进行因式分解，充分利用平方差公式进行分解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.17．已知复数21i 22z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭是一元二次方程21(,)0m n x nx m ++=∈R 的一个根. （1）求m 和n 的值；（2）若1(2i)z a z =-，a ∈R ，1z 为纯虚数，求|2i |a +的值.【答案】（1）1m n ==；（2）4.【解析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由实系数一元二次方程虚根成共轭复数这一性质，结合韦达定理求解；（2）化简()12z a i z =-，由实部为0且虚部不为0求出a 的值，然后利用复数模的计算公式求解.【详解】（1）213144212z =--=-⎛⎫= ⎪⎪⎝- ⎭Q 是一元二次方程210mx nx ++=的一个虚根，则12-+是一元二次方程210mx nx ++=的另一个虚根，111122m ⎛⎫⎛⎫∴=--+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =，11122n m ⎛⎫⎛⎫-=--+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1n =， 因此，1m n ==；（2）()()1112212222z a i z a i i a i ⎛⎫⎛⎫⎛=-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭Q 是纯虚数，则102102a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，即a =-224a i i +=-==. 【点睛】本题考查虚根与实系数一元二次方程之间的关系，同时也考查了复数相关的概念以及复数模的计算，解题时要利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，针对实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于中等题.18．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1.（1）正方体1111ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线1A B 是异面直线； （2）若M 、N 分别是1A B 、1BC 的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.【答案】（1）AD 、DC 、1CC 、1DD 、11C D 、11B C ；（2）4π.【解析】（1）利用图形列举出与直线1A B 是异面直线的棱所在的直线；（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可求出异面直线MN 与BC 所成角的大小.【详解】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1A B 是异面直线的棱所在的直线有：AD 、DC 、1CC 、1DD 、11C D ，共6条；（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()11,0,1A 、()1,1,0B 、()10,1,1C 、111,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,1,22N ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,1,0B 、()0,1,0C ， 11,,022MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r ，()1,0,0BC =-uu u r ，设异面直线MN 与BC 所成角的大小为θ，则1cos cos ,MN BC MN BC MN BC θ⋅====⋅uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r 4πθ∴=. 因此，异面直线MN 与BC 所成角的大小为4π. 【点睛】 本题考查异面直线的判断，考查异面直线所成角的计算，考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.19．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进门博览会是某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD .（1）若4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15，求立柱PD 的长；（精确到0.01m ）（2）请证明四面体PDBC 为鳖臑；若2PD =，2CD =，1BC =，点E 为线段PB 上一个动点，求ECD ∆面积的最小值.【答案】（1）1.52；（2）证明见解析，ECD ∆. 【解析】（1）推导出侧棱PB 在底面ABCD 上的射影为DB ，从而可得出PBD ∠是侧棱PB 所在直线与底面ABCD 所成的角，得出15PBD ∠=o ，由此能求出立柱PD 的长；（2）底面ABCD 是矩形，从而BCD ∆是直角三角形，推导出PD CD ⊥，PD BD ⊥，可得出PCD ∆、PBD ∆都是直角三角形，由BC ⊥平面PCD ，可推导出PBC ∆是直角三角形，由此能证明出四面体PDBC 为鳖臑；利用转化法求出异面直线CD 与PB 的距离，即可求出ECD ∆面积的最小值.【详解】（1）侧棱PD ⊥平面ABCD ，∴侧棱PB 在底面ABCD 上的射影为DB ， 所以，PBD ∠是侧棱PB 所在直线与底面ABCD 所成的角，则有15PBD ∠=o ，在PBD ∆中，90PDB ∠=o ，)BD m ==.由tan PD PBDBD∠=，得tan152==o (()2 1.52PD m ∴=≈；（2）由题意可知，底面ABCD 是矩形，则BCD ∆是直角三角形，PD ⊥底面ABCD ，BD 、CD ⊂平面ABCD ，PD BD ∴⊥，PD CD ⊥. 所以，PBD ∆、PCD ∆都是直角三角形，易证BC PD ⊥，又BC CD ⊥，PD CD D ⋂=，PD 、CD ⊂平面PCD ， BC ∴⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，BC PC ∴⊥，则PBC ∆是直角三角形， 因此，四面体PDBC 为鳖臑. PB 与CD 是异面直线，//CD AB ，且CD ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ， //CD ∴平面PAB ，则两异面直线PB 与CD 的距离等于CD 到平面PAB 的距离， 即点D 到平面PAB 的距离，等于D 到直线PA 的距离.2PD =Q，1AD =，PA ∴=D 到PA5=.所以，线段PB 上的动点E 到CD .因此，ECD ∆面积的最小值为122⨯=【点睛】 本题考查空间中线线、线面位置关系的判定与应用，考查异面直线距离的求法，同时也考查了线面角的定义，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，//AB 平面1111D C B A ，//AB DC ，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：11B C CE ⊥；（2）求二面角11B CE C --的平面角的正弦值；（3）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值为6，求线段AM 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）7；（3）AM =【解析】（1）以A 为原点，分别以AD ，1AA ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，计算出110B C CE ⋅=uuu u r uu r ，可证明出11B C CE ⊥；（2）计算出平面1B CE 和平面1C CE 的法向量m 、11B C uuu u r，然后利用空间向量法计算出二面角11B CE C --的余弦定理，利用同角三角函数的基本关系可得出其正弦值； （3）设()101EM EC λλ=≤≤uuu r uuu r ，计算出AM ，利用空间向量法并结合条件直线AM 与平面11ADD A所成角的正弦值为6，求出λ的值，即可求出AM . 【详解】（1）如图所示，以A 为原点，分别以AD ，1AA ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意得()0,0,0A ，()0,0,2B ，()1,0,1C ，()10,2,2B ，()11,2,1C ，()0,1,0E .易得()111,0,1B C =-，()1,1,1CE =--uur ，于是110B C CE ⋅=uuu u r uu r ，所以11B C CE ⊥；（2）易得()11,2,1B C =--uuu r .设平面1B CE 的法向量为(),,m x y z =，()11,2,1B C =--uuu r , 则120000x y z B C m x y z CE m ⎧--=⎧⋅=⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎩， 消去x ，得20y z +=，不妨取1z =，可得法向量()3,2,1m =--.由（1）知11B C CE ⊥，又111CC B C ⊥，可得11B C ⊥平面1CEC ，故()111,0,1B C =-为平面1CEC 的一个法向量.于是111111cos ,m B C m B C m B C ⋅===⋅u r uuu u r u r uuu u r u r uuu u r，从而11sin ,7m B C =u r uuu u r ，故二面角11B CE C --的平面角的正弦值为7； （3）易得()0,1,0AE =uu u r ，()11,1,1EC =uuu r .设()1,,EM EC λλλλ==uuu r uuu r ，01λ≤≤，则有(),1,AM AE EM λλλ=+=+uuu r uu u r uuu r ， 可取()0,0,2AB =uu u r 为平面11ADD A 的一个法向量，设θ为直线AM 与平面11ADD A 所成的角， 则sin cos ,AM AB AM AB AM ABθ⋅==⋅uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r==，163λ=⇒=（15λ=-舍去），则141,,333AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu r ，所以AM ==uuu r 【点睛】本题考查异面直线垂直、二面角的计算以及直线与平面所成角的动点问题，可以利用空间向量法来进行等价转化与计算，考查运算求解能力，属于中等题.21．设z C ∈，且()()()Re 0Re 0z z f z z z ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩. （1）已知()()()2429f z f z z i z C +-=-+∈，求z 的值；（2）若Re 0z ≥，设集合()()()(){}122120,P z f z f z i f z i f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，{}21,P iz z P ωω==∈，求复平面内2P 对应的点集表示的曲线的对称轴；（3）若()1z u u C =∈，()()211n n n z f z z n *+=++∈N ，是否存在u ，使得数列1z 、2z 、满足n m n z z +=（m 为常数，且m *∈N ）对一切正整数n 均成立？若存在，试求出所有的u ，若不存在，请说明理由.【答案】（1）23z i =-；（2）2x =；（3）存在u i =±符合要求，详见解析.【解析】（1）设z a bi =+，分0a ≥和0a <两种情况讨论，即可求出z 的值；（2）求解集合1P 、2P ，得到两集合的关系，再求两集合所表示的曲线的对称轴即可；（3）假设存在u C ∈满足题设要求，令Re n n a z =，Im n n b z =，易得对一切n *∈N 均有0n a ≥，且2211n n n n a a a b +=++-，()121n n n b a b +=+，根据数学归纳法可证：对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∈-，再记222n n n x a b =+，证明对任意m 、n *∈N ，均有m n n x x +>，可得n m n z z +=，从而，此时的{},u i i ∉-不满足要求，从而得出结论.【详解】（1）设(),z a bi a b R =+∈，则Re z a =.若0a ≥，则()f z z =，由已知条件可得329a bi i --=-+， a 、b R ∈，239a b -=-⎧∴⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，23z i ∴=-； 若0a <，则()f z z =-，由已知条件可得7529a bi i --=-+， a 、b R ∈，7259a b -=-⎧∴⎨-=⎩，解得27a =（舍去），95b =-. 综上所述，23z i =-；（2）设(),z a bi a b R =+∈，则Re z a =，且0a ≥.集合()()()(){}122120,P z f z f z i f z i f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，得()()()()22120a bi a bi i a bi i a bi +--++--=，化简得224120a b b ++-=，且0a ≥，()22216a b ++=.则点(),a b 是表示在以()0,2-为圆心，半径为4的右侧半圆周上的点. {}21,P iz z P ωω==∈，可得iz b ai ω==-+，集合2P 中的点为(),b a -，由于(),a b 是表示在以()0,2-为圆心，半径为4的右侧半圆周上的点.且点(),b a -与点(),a b 关于直线y x =-对称，则点(),b a -是表示在以点()2,0为圆心，半径为4的上侧半圆周上的点，故其对称轴为直线2x =；（3）设存在u C ∈满足题设要求，令Re n n a z =，Im n n b z =，易得对一切n *∈N ，都有0n a ≥，且2211n n n n a a a b +=++-，()121n n n b a b +=+.①（i ）若{},u i i ∈-，则{}n z 显然为常数数列，故u i =±满足题设要求；（ii ）若{},u ii ∉-，则用数学归纳法可证：对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∉-. 证明：当1n =时，由{},u i i ∉-，可知()()(){}11,0,1,0,1a b ∉-.假设当n k =时，()()(){},0,1,0,1k k a b ∉-，那么当1n k =+时，若()()(){}11,0,1,0,1k k a b ++∈-，则10k a +=，11k b +=，故2210k k k a a b ++-=，()211k k a b +=，② 如果0k a =，那么()()(){},0,1,0,1k k a b ∉-，可知1k b ≠，这与②矛盾； 如果0k a >，那么()()(){}11,0,1,0,1a b ∉-，可知1k b ≠，这与②矛盾.综上可得，对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∉-.记222n n n x a b =+，注意到()()222211122n n n n n n x x a b a b +++-=+-+()()22222210n n n n n a a a a b ⎡⎤=++++-≥⎢⎥⎣⎦， 即10n n x x +-≥，当且仅当0n a =，1n b =±，即()()(){},0,1,0,1n n a b ∈-时等号成立， 于是有()1n n x x n N *+<∈，进而对任意的m 、n *∈N ，均有n m n x x +>，所以n m n z z +=. 从而，此时的{},u i i ∉-不满足要求.综上所述，存在u i =±，使得数列1z 、2z 、满足n m n z z +=（m 为常数，且m *∈N ）对一切正整数n 均成立.【点睛】本题考查了复数的有关概念，考查复数的几何意义，同时也考查了以复数为载体的数列问题，涉及到数学归纳法的应用，综合性较强，属于难题.。

2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二年级下学期期中考试数学试卷一、填空题（本大题共12题，第1-6每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1、2882C P n =，且*N n ∈，则=n _______________【答案】2【解析】∵282C =56，nP 8=56=8×7,∴=n 22、若一个圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为_____________ 【答案】33π 【解析】∵圆锥的底面周长为π2,∴底面圆半径R=1，∵侧面积为π2=21C l ，C 为圆锥侧面的弧长∴圆锥母线长l =2，∴圆锥高h =22r l -=3,∴圆锥的体积V =231r πh =33π3、在长方体1111D C B A -ABCD 中，若1==BC AB ，21=AA ，则A 到平面11BD A 的距离为______________ 【答案】36【解析】∵11BD A A V -=B AA D V 11-=62=31B AA S 1∆.h ，∴h =36 4、艺术节要安排5个节目进行表演，其中B A ,两个节目必须连排，则节目演出不同的编排方案有__________种【答案】48【解析】∵安排五个节目表演，其中B A ,两个节目必须连排，∴先把A 、B 两个节目作为一个整体排序，有4种情况，而后考虑其他三个节目的排序33A =6,最后考虑A 和B 的顺序2种情况，则共有4×6×2=48种5、从同一点出发的四条直线最多能确定________个平面 【答案】6【解析】∵四条直线可以两两构成一个平面，24C =6，∴最多能确定6个平面6、在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点()244，M 在直观图中对应的点是'M ，则线段'OM 的长度为__________ 【答案】102【解析】利用斜二测画法，标出点M （4，22）坐标，然后利用勾股定理求出'OM =1027、一个球夹在°120的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为___________ 【答案】3【解析】画切面图，两个切点的角均为︒90，二面角为︒120，由四边形内角和为︒360，得到最短距离的劣弧对应的圆心角为︒60，最短劣弧长度π=R π236060⨯,得出球的半径R=3。

2019上海市高二第二学期期中数学试题一、单选题1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点】圆锥的性质与圆锥的体积公式2．“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立；若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题. 3．集合{M =正四棱柱}，{P =直四棱柱}，{N =长方体}，{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ） A.P n N n M n Q B.P n M n N n Q C.Q n M n N n P D.Q n N n M n P【答案】C【解析】根据直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的定义可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直四棱柱； 正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱；∴Q n M n N n P故选：C 【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，需熟练掌握直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的结构特征，属于基础题.4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）正视图 侧视图 俯视图 A.15B.16C.12D.18【答案】A【解析】由三视图可确定截面为平面11AB D ，可知截掉部分为三棱锥111A AB D -，由三棱锥体积公式求得111A A B D V -，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为3316a a -，作比得到结果. 【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体1111ABCD A B C D -沿平面11AB D 截掉三棱锥111A AB D -后得到的图形设正方体棱长为a 11113ABCD A B C D V a -∴=，111111111311136A AB D A A B D A B D V V S AA a --∆==⋅=∴截去部分体积与剩余部分体积之比为：333111:665a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.5．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =L 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r的不同值的个数为（ ）A.8B.4C.2D.1【答案】D【解析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=u u u r u u u r，从而得到21i AB AP AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，进而得到结果. 【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB ⊥Q 平面286BP P P i AB BP ∴⊥u u u r u u u r 0i AB BP ∴⋅=u u u r u u u r21i AB AP AB ∴⋅==u u u r u u u r u u u r则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r 的不同值的个数为1个故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.二、填空题6．空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4【解析】由三点确定一个平面可知共有4种情况，由此得到结果. 【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定4个平面 故答案为：4 【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a【解析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果. 【详解】1BB ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案为：a 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________. 【答案】4π 【解析】由线面垂直性质得1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，可得二面角平面角为1C BC ∠，由14C BC π∠=得到结果.【详解】AB ⊥Q 平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥又BC AB ⊥，BC ⊂平面ABD 1C BC ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角14C BC π∠=Q ∴二面角1C AB D --的大小为4π 故答案为：4π 【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角.9．如图，在棱长为3cm 的正四面体A BCD -中，若以ABC ∆为视角正面，则其主视图的面积是__________2cm .【答案】36 2【解析】确定正视图为三角形，且底边长为底面三角形边长，高为四面体的高；求得正四面体的高后，即可求得结果.【详解】由题意可得，正视图是以底面三角形边长为底边长，正四面体A BCD-的高为高的三角形Q正四面体棱长为3∴933 942 -=∴正四面体的高22339632AO⎛⎫=-⨯=⎪⎪⎝⎭∴正视图的面积为：1363622⨯=36【点睛】本题考查几何体三视图的求解问题，关键是能够根据给定视角确定正视图的图形构成，属于基础题.10．若正六棱柱的所有棱长均为m，且其体积为123m=__________.【答案】2【解析】根据底面为边长为m的正六边形可求得底面面积，进而利用棱柱体积公式构造方程求得结果.【详解】Q正六棱柱底面为边长为m的正六边形∴底面面积为：()2222m m +⨯=∴正六棱柱体积2V m =⋅=2m =故答案为：2 【点睛】本题考查棱柱体积的相关计算，关键是能够熟悉正棱柱的定义，并准确求解出底面面积. 11．给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确；②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.12．已知球的半径为5cm ，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于29cm π与216cm π，则这两个平行平面的距离为__________cm .【答案】1或7【解析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离；由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离.【详解】由截面面积可知截面圆半径分别为：3cm 和4cm∴球心到两截面的距离分别为：12594d =-=，225163d =-=∴当两截面在球心同侧时，两平行平面间距离为：431-=当两截面在球心两侧时，两平行平面间距离为：437+= 故答案为：1或7 【点睛】本题考查球的平行截面间距离的问题，易错点是忽略两平行平面可位于球心的同侧或两侧，求解时丢失其中一种情况.13．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，四面体C OAB -的主视图AOC 是面积为43的直角三角形，且23CO =，OAB ∆是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.【答案】6【解析】作//BD AO ，根据AO ⊥平面yOz 可知BD ⊥平面yOz ，得到左视图为COD ∆；根据AOC S ∆可求得底面正三角形边长，进而求得OD ，从而得到左视图面积.【详解】作//BD AO ，交y 轴于D ，连接CDAO ⊥Q 平面yOz ，//BD AO BD ∴⊥平面yOz∴此四面体的左视图为COD ∆12AOC S AO CO ∆=⋅==Q 4AO ∴= 122BD AO ∴==OD ∴=== 11622COD S CO OD ∆∴=⋅=⨯=故答案为：6 【点睛】本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.14．已知()cos ,1,sin a θθ=r ，()sin ,1,cos b θθ=r ，则向量a b +rr 与a b -r r 的夹角是__________. 【答案】2π 【解析】利用向量坐标运算表示出a b +rr 与a b -r r ，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=r rr r ，即两向量垂直，得到夹角.【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++r r ，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--rr()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=r rr r()()a b a b ∴+⊥-r r r r ，即a b +r r 与a b -r r 的夹角为2π故答案为：2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题.15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.16．已知函数22,01(){23,13x x f x x x x ≤≤=-++<≤，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π【解析】试题分析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【考点】旋转体体积17．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】30π【解析】由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值，进而利用球的表面积公式求得结果. 【详解】22213052122++=∴该球形容器表面积的最小值为：230430ππ⨯=⎝⎭故答案为：30π本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进而应用球的表面积公式求得结果.三、解答题18．已知向量b r 与向量()2,1,2a =-r 共线，且18a b ⋅=r r ，()()ka b ka b +⊥-r r r r ，求实数k 的值.【答案】2k =±【解析】根据向量共线可设b a λ=r r ，由18a b ⋅=r r 可构造方程求得λ，得到b r；由向量垂直可得()()0ka b ka b +⋅-=r r r r ，由数量积运算律可构造方程求得k . 【详解】,a b r r Q 共线 ∴可设()2,,2b a λλλλ==-r r44918a b λλλλ∴⋅=++==r r ，解得：2λ= ()4,2,4b ∴=-r()()ka b ka b +⊥-r r r r Q ()()2220ka b ka b k a b ∴+⋅-=-=r r r r r r 即()()2414164160k ++-++=，解得：2k =± 【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.19．已知地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两点.若点A 的经度为东经65︒，点B 的经度为西经25︒，求A 、B 两点的球面距离.【答案】1arccos 4R ⋅ 【解析】根据纬度的定义可知30OBO '∠=o ，从而得到纬线圈所在圆的半径，根据经度差可知90AO B '∠=o ，由勾股定理求得AB ；在AOB ∆中，由余弦定理求得cos AOB ∠，从而得到AOB ∠，由扇形弧长公式可求得球面距离.设北纬30o 的纬线圈的圆心为O '由题意可知：90AO B '∠=o ，30OBO '∠=o 122R OO OB '∴==，33O B OB R '== 3O A O B R ''∴== 226AB O A O B R ''∴=+= 在AOB ∆中，由余弦定理得：2222312cos 24R R R AOB R +-∠== 1arccos 4AOB ∴∠= ,A B ∴两点的球面距离为：1arccos 4R ⋅ 【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够熟练掌握经度和纬度的定义，从而得到图形中的角度关系.20．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是正三角形123PP P ，如图所示.求：（1）123PP P ∆的各边长；（2）三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）各边均为4；（2）23【解析】（1）由123PP P ∆为正三角形，可知三边长均为2AB ，根据2AB =可得结果； （2）根据正三棱锥的特点可求得三棱锥的高，求得底面面积后，根据三棱锥体积公式可求得结果.（1）123PP P ∆Q 为正三角形12231324PP P P PP AB ∴====（2）23234ABC S ∆=⨯=立体图形中求三棱锥的高：()22323633h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 11222363333P ABC ABC V S h -∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查正三棱锥的结构特征、三棱锥体积的求解问题，属于基础题.21．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求直线1A B 与平面1ADD 所成的角的大小；（2）求点1D 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）2arctan 3；（2）32211【解析】设长方体高为h ，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体111ABCD AC D -体积，由此建立方程求得3h =；（1）根据直线与平面所成角定义可知1BA A ∠即为所求角，由112tan 3AB BA A AA ∠==可（2）设所求距离为d ，由等体积法可知111111D A BC B A D C V V --=，由此构造关于d 的方程，解方程求得结果.【详解】设长方体的高1AA h =则几何体111ABCD AC D -体积：142103V h h =-⨯⨯=，解得：3h =（1）AB ⊥Q 平面11ADD A ∴直线1A B 与平面1ADD 所成角即为1BA A ∠ 112tan 3AB BA A AA ∠==Q ∴所求线面夹角为：2arctan 3（2）设点1D 到平面11A BC 的距离为d则由111111D A BC B A D C V V --=得：1111111133A BC A D C S d S BB ∆∆⋅⋅=⋅⋅ 11A BC ∆Q 为等腰三角形，114913A B BC ==+=，114422AC =+=∴13211-= 1112211222A BC S ∆∴=⨯=又11112222A D C S ∆=⨯⨯= 11222333d ∴=⨯⨯，解得：322d =即点1D 到面11A BC 的距离为32211 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.22．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，23PO =OA 、OB 是底面半径，且：0OA OB ⋅=u u u r u u u r，M 为线段AB 的中点，N 为线段PB 的中点，如图所示：（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 和OB 所成的角的大小，并求A 、N 两点在圆锥侧面上的最短距离.【答案】（1）12π；（2）PM 、OB 夹角为arctan 13，最短距离为2522-【解析】（1）由22r l PO =-求得底面圆半径，根据圆锥表面积公式可求得结果； （2）作//MH BO ，根据异面直线所成角定义可知所成角为PMH ∠；根据向量数量积为零可知OA OB ⊥，进而得到MH AO ⊥，根据线面垂直性质知MH PO ⊥，得到线面垂直关系MH ⊥平面AOP ，由线面垂直性质得MH PH ⊥，根据长度关系可求得tan PMH ∠，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得APB ∠，由余弦定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：底面圆半径()22224232r l PO =-=-=∴圆锥表面积28412S rl r πππππ=+=+=（2）作//MH BO ，交OA 于H ，连接PH∴异面直线PM 与OB 所成角即为PM 与MH 所成角，即PMH ∠0OA OB ⋅=u u u r u u u r Q OA OB ∴⊥，又//MH BO MH AO ∴⊥PO ⊥Q 平面OAB ，MH ⊂平面OAB MH PO ∴⊥,AO PO ⊂Q 平面AOP ，AO PO O ⊥= MH ∴⊥平面AOP又PH ⊂平面AOP MH PH ∴⊥M Q 为AB 中点，//MH BO H ∴为AO 中点 112MH OB ∴==，221121132PH PO OA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭tan 13PH PMH MH∴∠== arctan 13PMH ∴∠= 即异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 13由44πα=得：απ=，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为π圆锥侧面展开图如下图所示：124AB r ππ=⋅=Q 4APB BP ππ∴∠== N Q 为BP 中点 2PN ∴=在APN ∆中，由余弦定理可得：2222cos 2082AN AP PN AP PN APN =+-⋅∠=-2522AN ∴=-,A N 两点在圆锥侧面上的最短距离为2522-【点睛】本题考查圆锥表面积的求解、异面直线所成角的求解、利用侧面展开图求解两点间的最短距离问题；求解最短距离的方法为利用侧面展开图，通过两点之间线段最短，从而确定所求的线段，利用余弦定理求得结果.。

2018学年七宝中学高二年级开学考2019.3.6一、填空题1. 复数2i 的虚部是______.2. 直线342x tyt =+⎧⎨=-⎩（t 是参数，t R ∈）的一个方向向量是______.3. 已知椭圆()22210x y a a +=>的焦点为1F ，2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =u u u r u u u u r，则a =______.4. 已知()2,3A ，()1,0B ，动点P 在y 轴上，当PA PB +取最小值时，则点P 的坐标为______.5. 已知复数(),z a bi a b R =+∈，满足1z =，则ab 的最小值是______.6. 已知{}n a 是无穷等比数列，若{}n a 的每一项都等于它后面所有项的k 倍，则实数k 的取值范围是______.7. 已知1F ，2F 是双曲线L ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且斜率为2的直线l 交双曲线L 的左支于点P ，若直线2PF l ⊥，则双曲线L 的渐近线方程是______.8. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，24a =，平面内三个不共线的向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r满足()()()*1112,n n n OC a OA a a OB n n N -+=-++≥∈u u u r u u u r u u u r，若点A ，B ，C 在同一直线上，则2019S =______.9. 已知平面向量a r ，b r ，c r 满足a b ⊥r r ，且{}{},,1,2,4a b c =r r r ，则a b c ++r r r 的最大值是______.10. 若()(){}22250,30,250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，则实数m 的取值范围是______.11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1202n n n a S S n -+⋅=≥，112S =，设n n b na =，则以下四个命题：（1）1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）{}n b 中最大项是1b ；（3）{}n a 通项公式是()121n a n n =--；（4）lim 0n n a →∞=.其中真命题的序号是______.12. 已知函数()21x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于点A ，B 两点，若动点P 满足4PA PB +=u u u r u u u r ，则点P 的轨迹方程是______.二、选择题13. 若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A . 2b =，3c =B . 2b =-，3c =C . 2b =-，1c =-D . 2b =，1c =-14. 关于x ，y ，z 的三元一次方程组()1232136ax y z x ay z x a y z ⎧++=⎪++=⎨⎪+++=⎩解的情况是（ ）A . 一组解B . 一组解或无穷多组解C . 一组解或无解D . 无解15. 双曲线C 的左、右焦点为1F ，2F ，P 为C 右支上的动点（非顶点），I 为12F PF ∆的内心.当P 变化时，I 的轨迹为（ ）A . 直线的一部分B . 椭圆的一部分C . 双曲线的一部分D . 无法确定16. 已知两点51,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，54,4B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，给出下列曲线方程：（1）4210x y +-=；（2）223x y +=；（3）2214y x -=；（4）2214y x +=，在曲线上存在点P 满足PA PB =的所有曲线是（ ）A .（1）（2）（3）（4）B .（2）（3）C .（1）（4）D .（2）（3）（4）三、解答题17. 已知复数z 满足2641iz i -+=--.（1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若w z ai =+，且w z ≤，求实数a 的取值范围.18. 已知定点()0,1A ，()0,1B -，()1,0C ，动点P 满足2AP BP k CP ⋅=u u u r u u u r u u u r .（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当2k =时，求AP BP +u u u r u u u r 的取值范围.19. 从数列{}n a 中取出部分项组成的数列称为数列{}n a 的“子数列”.（1）若等差数列{}n a 的公差0d ≠，其子数列{}n k a 恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，求12n k k k ++⋅⋅⋅+；（2）若32n a n =-，4nn b =，判断数列{}n b 是否为{}n a 的“子数列”，并证明你的结论.20. 设复数(),x yi x y R β=+∈与复平面上点(),P x y 对应.（1）若β是关于t 的一元二次方程()220t t m m R -+=∈的一个虚根，且2β=，求实数m 的值；（2）设复数β满足条件()()31331n n a a ββ++--=+-（其中*n N ∈、常数3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），当n 为奇数时，动点(),P x y 的轨迹为1C ，当n 为偶数时，动点(),P x y 的轨迹为2C ，且两条曲线都经过点()2,2D ，求轨迹1C 与2C 的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹2C 上存在点A ，使点A 与点()()00,00B x x >的最小距离不小于233，求实数0x 的取值范围.21. 抛物线22y x =的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A ，B 两点.（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：032x >；（3）若直线l 的斜率依次为12，14，18，…，12n ，…，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为1N ，2N ，3N ，…，n N ，…，求12231111n n N N N N N N -++⋅⋅⋅+.。