下载文档原格式
人教版高中选修2-31.2排列与组合课程设计课程设计背景排列与组合是高中数学必修课程，也是高等数学课程中的重要内容，是概率论、数理统计等其他数学领域的基础和重要组成部分。
本课程设计旨在通过让学生深入理解和掌握排列组合基本概念、性质、应用等方面的内容，提高他们的数学思维能力和创造性，为进一步学习数理统计、概率论等专业领域的数学课程打下坚实的基础。
课程设计目标1.理解排列组合的基本概念、性质及其应用，掌握排列、组合、重排列的计算方法和技巧。
2.提高学生的数学思维和创造性，培养他们的数学分析和解决问题的能力。
3.引导学生热爱数学，探求数学知识的深层次内涵，培养学生数学思考的兴趣和能力。
课程设计内容第一节：排列组合的基本概念和性质1.排列组合的定义和基本性质2.排列组合的计算公式和推导过程3.排列组合的应用领域1.排列的计算方法和实例2.组合的计算方法和实例3.重排列的计算方法和实例第三节：排列组合的应用1.扑克牌、骨牌、麻将等游戏的排列组合问题2.有放回抽样、无放回抽样、二项式分布等统计学中的应用3.生活中的排列组合问题：座位安排、演出节目安排等第四节：课程总结与归纳1.知识点总结与梳理2.课程重难点回顾与巩固3.课程思维重点导向与拓展课程设计要点第一节：排列组合的基本概念和性质1.对于排列、组合、重排列的定义，要求掌握其数学知识点，并能运用其定义解决各类具体问题。
2.让学生通过丰富的例子，掌握排列组合在中公式的推导过程, 以及运用数学公式解决具体问题。
3.同时要求学生了解排列组合的应用领域，理解排列组合在数学中的重要性和作用。
1.对于排列、组合、重排列的计算方法，要求学生了解它们之间的异同点，以及如何在具体问题中应用。
2.通过一些典型的例题，让学生运用排列、组合和重排列的计算方法解决实际问题。
第三节：排列组合的应用1.针对扑克牌、骨牌、麻将等游戏的排列组合问题，引导学生根据题目条件进行分析并运用排列组合的方法，解决实际问题。
第二节 用样本估计总体预习设计 基础备考知识梳理1．频率分布直方图(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用 估计总体的分布，另一种是用 估计总体的数字特征．(2)在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用 表示．各小长方 形的面积总和2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着 的增加，作图时 增加， 减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．茎叶图的优点用茎叶图表示数据有两个突出的优点： 一是从统计图上没有 的损失，所有的 都可以从茎叶图中得到； 二是茎叶图可以在比赛时 方便记录与表示．4．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种(2)标准差：=s(3)方差：=2sn x (是样本数据，砚是样本容量，x 是样本平均数）． 5．利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积 ，由此可以估计中位数的值．（2抨均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的典题热身1．已知一个样本中的数据为..0,15.0,13.0,15.0,12.0,14.0,13.0,16.0,15.0,17.0则该样本的众数、中位数分别是( )15.0,14.0.A 14.0,15.0.B 15.0,15.0.C 145.0,15.0.D答案：D2．已知一个样本中的数据为,5,4,3,2,1那么该样本的标准差为（ ）1.A2.B3.C 2.D答案：B3．（2011．潍坊模拟）甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如下图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别,乙甲、X X 则下列结论正确的是 ( );.乙甲X X A < 乙比甲成绩稳定;.乙甲X X B >甲比乙成绩稳定乙甲X X C >.乙比甲成绩稳定;.乙甲X X D <甲比乙成绩稳定答案：A4．一个容量为32的样本，分成5组，已知第三组的频率为0.375，则另外四组的频数之和为 答案：205．为了了解某地区高三学生身体发育情况，抽查了该地区100名年龄在17.5岁～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下图所示．则样本数据落在[62.5，64.5）内的频率是 ．这100名学生的体重的众数是答案：14.0 5.65课堂设计 方法备考题型一 频率分布直方图的绘制与应用【倒1】为了解某校初中毕业男生的体能状况，从该校初中毕业班学生中抽取若干名男生进行铅球测试，把所得数据(精确到0.1 m)进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如下图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0．10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．(1)请将频率分布直方图补充完整，（3）若成绩在8.0 m 以上(含8.0 m)的为合格，试求这次铅球黼试的成绩的合格率．题型二 茎叶图的应用【例2】在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：,15,25,14,27,36,19,20,24,26,15,18,27,23,17,3,28,101.17,27,24,11,22在某报纸的一篇文章中，每个句子中所含的字的个数如下：,22,13,27,41,36,12,35,27,33,41,32,19,28,24,33,39,27.22,32,46,18,23(1)将这两组数据用茎叶图表示；(2)将这两组数据进行比较分析，得到什么结论？题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价，技法巧点(1)用样本频率分布来估计总体分布的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用，在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致，通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．(2)几种表示频率分布的方法的优点与不足：①频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便． ②频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式，但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
第二节 参数方程预习设计 基础备考知识梳理1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==).(),(t g y t f x并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在 ，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做2．直线的参数方程过定点),(000y x p 且倾斜角为α的直线的参数方程为 （t 为参数），则参数t 的几何意义是3．圆的参数方程圆心为(a ，b)，半径为r ，以圆心为顶点且与x 轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为 ).2,0[πα∈4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的参数方程为 ).2,0[πθ∈典题热身1．已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 222,221（t 为参数），则直线l 的斜率为( )1.A 1.-B 22.c 22.-D 答案：B2．过点M(2，1)作曲线θθθ,sin 4cos 4:⎩⎨⎧==y x c 为参数）的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线的方程为( ))2(211--=-⋅x y A )2(21--=-⋅x y B)1(212--=-⋅x y C )1(22--=-⋅x y D答案：B3．圆),0()(222>=+-r r y r x 点M 在圆上，O 为原点，以ϕ=∠MOx 为参数，那么圆的参数方程为 ( )⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos .r y r x A ⎩⎨⎧=+=ϕϕsin ),cos 1(.r y r x B ⎩⎨⎧+==)sin 1(,cos .ϕϕr y r x c ⎩⎨⎧=+=ϕϕ2sin ),2cos 1(.r y r x D 答案：D4．直线t ty t x (531,541⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=为参数）被曲线)4(2πθρ+∞=s 所截的弦长为 答案：57 课堂设计 方法备考题型一 直线的参数方程及应用【例1】已知直线l 经过点A(l ，2)，倾斜角为⋅3π (1)求直线l 的参数方程;(2)求直线l 和圆922=+y x 的两个交点到点A 的距离之积．题型二 圆的参数方程及应用【例2】已知P(x ，y)是圆0222=-+y y x 上的动点． (1)求y x +2的取值范围．(2)若0≥++c y x 恒成立，求实数C 的取值范围．题型三 椭圆的参数方程及应用【例3】如图所示，已知点M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上在第一象限的点，A(a ，O)和B(O ，b)是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．题型四 参数方程与极坐标的综合问题【例4】（2011．课标全国卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1c 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==.sin 22(,cos 2αααy x 为参数)M 是C ，上的动点，P 点满足P OM OP ,2=点的轨迹为曲线⋅2c(1)求α的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1c 的异于极点的交点为A ，与2C的异于极点的交点为B ，求︱AB ︱．随堂反馈1．若直线,(221:1t t k y tx l ⎩⎨⎧+=-=为参数）与直线s xy s x l .(21:2⎩⎨⎧-==为参数）垂直，则=k 答案：-12．设直线1l 的参数方程为t t y t x (31,1⎩⎨⎧+=+=为参数），直线2l 的方程为;43+=x y 则1l 与2l 间的距离为 答案：51033．已知曲线t ty t x c (sin 3,cos 4:1⎩⎨⎧+=+-=为参数），θθθ(3,cos 8:2⎪⎩⎪⎨⎧==si y x c 为参数）． (1)化21,c c 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若1c 上的点P 对应的参数为Q t ,2π=为2c 上的动点，求PQ 中点M 到直线t ty t x c (2,23:3⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=为参数）距离的最小值．4．（2011．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆ϕϕϕ(sin 3cos 5⎩⎨⎧==y x 为参数）的右焦点，且与直线⎩⎨⎧-=-=ty t x 3,24（t 为参数）平行的直线的普通方程． 高效作业 技能备考1．(2010．陕西赢毒)已知圆C 的参数方程为ααα(,sin 1cos ⎩⎨⎧+==y x 为参数），以原点为摄点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1sin =θρ则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为 答案：（-1，1），(1，1)2．（2011．沈阳市质检）已知直线l 的参数方程为：t t y t x (3,2⎩⎨⎧=+=为参数），曲线C 的极坐标方程为：.122=∞θρs(1)求曲线C 的普通方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．3．(2010．课标全国卷)已知直线t t y t x c (sin ,cos 1:1⎪⎩⎪⎨⎧=+=αα为参数），圆θθθ(sin ,cos :2⎩⎨⎧==y x C 为参数）． (1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点0作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．4．（2010．辽宁高考）已知P 为半圆θθθ(sin ,cos :⎪⎩⎪⎨⎧==y x C 为参数，)0πθ≤≤上的点，点A 的坐标为(1，O)，0为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为⋅3π (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．5．(2010．福建高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t ty t x (225,223⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原1点0为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为.sin 52θρ= (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ．若点P 的坐标为),5,3(求.||||PB PA +6．已知直线t ty tx (13431364⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=为参数）与圆422=+y x 交于A 、B 两点，求此两点到点C(4，3)的距离之积以及线段AB 的长．7．（2011．福建高考）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为,04=+-y x 曲线C 的参数方程为ααα(sin ,cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为),2,4(π判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值，8．已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t t y t x (sin ,cos 2αα为参数，α为倾斜角，且),2πα=/且与曲线1121622=+y x交于A 、B 两点．(1)写出直线l 的一般程及直线l 通过的定点P 的坐标； (2)求||||PB PA ⋅的最大值．9．(2011．辽宁高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1c 的参数方程为ϕϕϕ(sin cos ⎩⎨⎧==y x 为参数），曲线2C 的参数方程为ϕϕϕ,0(,sin cos >>⎩⎨⎧==b a b y a x 为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线21:c c l 、与αθ=各有一个交点，当0=α时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合．(1)分别说明21c c 、是什么曲线，并求出a 与b 的值； (2)设当4πα=时，l 与21c c 、的交点分别为⋅11B A 、当=α4π-时，l 与21,C C 的交点分别为,,22B A求四边形1221B B A A 的面积，。
高中数学排列与组合算法解题思路在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念，也是解题的常见考点之一。
掌握排列与组合的算法解题思路，对于高中学生来说是非常重要的。
本文将以具体的题目为例，分析和说明排列与组合的考点和解题技巧，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、排列问题排列问题是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的问题。
常见的排列问题有全排列、循环排列等。
1. 全排列问题全排列问题是指从给定的元素中选取所有的元素按照一定的顺序排列的问题。
下面以一个具体的例题来说明全排列的解题思路。
例题：有三个不同的字母A、B、C，从中选取两个字母进行排列，列出所有可能的情况。
解题思路：根据排列的定义，我们知道在这个问题中，有3个元素，选取2个进行排列。
根据排列的计算公式，可以得到全排列的个数为3 × 2 = 6。
我们可以使用穷举法列出所有的情况：AB, AC, BA, BC, CA, CB通过这个例题，我们可以看到全排列问题的解题思路是通过穷举法列出所有的情况，根据排列的计算公式计算出全排列的个数。
2. 循环排列问题循环排列问题是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列，并且最后一个元素与第一个元素相连的问题。
下面以一个具体的例题来说明循环排列的解题思路。
例题：有三个不同的字母A、B、C，从中选取两个字母进行循环排列，列出所有可能的情况。
解题思路：根据循环排列的定义，我们知道在这个问题中，有3个元素，选取2个进行循环排列。
循环排列的个数等于全排列的个数除以元素个数，即6 ÷ 3 = 2。
我们可以使用穷举法列出所有的情况：AB, BC, CA通过这个例题，我们可以看到循环排列问题的解题思路是先计算出全排列的个数，然后除以元素个数得到循环排列的个数，最后使用穷举法列出所有的情况。
二、组合问题组合问题是指从给定的元素中选取若干个元素进行组合的问题。
常见的组合问题有从n个元素中选取m个元素的组合、有重复元素的组合等。
第2讲排列与组合A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2018·全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )．A．12种B．18种C．24种D．36种解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．答案 A2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )．A.24种B.60种C.90种D.120种解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．答案 B3．如果n是正偶数，则C0n＋C2n＋…＋C n－2n＋C nn＝( )．A．2n B．2n－1C．2n－2D．(n－1)2n－1解析(特例法)当n＝2时，代入得C02＋C22＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C04＋C24＋C44＝8，排除答案D.故选B.答案 B4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )．A.42B.30C.20D.12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A22A16＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A26＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A27＝42)．答案二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2018·汕头调研)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有________种情况．解析每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b 中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7＝63种情况．答案636．(2018·郑州模拟)从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c 的系数a，b，c的取值，问共能组成________个不同的二次函数．解析a，b，c中不含0时，有A37个；a，b，c中含有0时，有2A27个．故共有A37＋2A27＝294个不同的二次函数．答案294三、解答题(共25分)7．(12分)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．解(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C310＝120种选法．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C510＝252种选法．(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672种选法．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C512－C15·C47－C57＝596种选法．(5)分三步进行；第1步，选1男1女分别担任两个职务有C17·C15种选法．第2步，选2男1女补足5人有C26·C14种选法．第3步，为这3人安排工作有A33方法．由分步乘法计数原理，共有C17C15·C26C14·A33＝12 600种选法．8．(13分)直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解法一第1步，涂A区域有C15种方法；第2步，涂B区域有C 14种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C13种涂法，则D区域有C13种涂法．故共有C15·C14·(4＋C13·C13)＝260种不同的涂色方法．法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有C25A22种涂法；第2类，用五色中三种色，共有C35C13C12A22种涂法；第3类，用五色中四种色，共有C45A44种涂法．由分类加法计数原理，共有C25A22＋C35C13C12A22＋C45A44＝260种不同的涂色方法．B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有( )．A．576种B．720种C．864种D．1 152种解析由题意，先排1,3,5,7，有A44种排法；再排6，由于6不能和3相邻，故6有3种排法；最后排2和4，在不与6相邻的4个空中排上2和4，有A24种排法，所以共有A44×3×A24＝864种排法．答案 C2．(2018·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )．A．232 B．252 C．472 D．484解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C14×C14×C14＝64种，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192种，乘余2张同色，则有C14×C13×C24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2018·深圳模拟)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种．解析出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A55种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A25种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A45种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有C23A35种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A35种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有C23A45种方法．因此，共有不同的出牌方法A55＋A25＋A45＋C23A35＋A35＋C23A45＝860(种)．答案8604．小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B 必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种．解析对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法． 答案 20 三、解答题(共25分)5．(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)； (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8 568(种)； (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加， 共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)； (4)方法一 (直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类： 一内四外；二内三外；三内二外；四内一外， 所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)． 方法二 (间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)． 6．(13分)在m(m≥2)个不同数的排列p 1p 2…p m 中，若1≤i＜j≤m 时p i ＞p j (即前面某数大于后面某数)，则称p i与p j 构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n ＋1)n(n －1)…321的逆序数为a n .如排列21的逆序数a 1＝1，排列321的逆序数a 2＝3，排列4 321的逆序数a 3＝6. (1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ，证明：2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3，n ＝1,2，….(1)解 由已知条件a 4＝C 25＝10，a 5＝C 26＝15， 则a n ＝C 2n ＋1＝＋2.(2)证明 b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n n ＋2＋n ＋2n ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2∴b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，∴2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3.。
高中数学排列与组合的概率题解思路分享在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念，它们在解决实际问题中起着至关重要的作用。
而概率题则是排列与组合的一个重要应用方向，通过概率题的解答，我们可以更好地理解排列与组合的概念和应用。
本文将通过具体的题目举例，分析解题思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用排列与组合的概率题。
一、排列与组合的基本概念回顾在开始解答概率题之前，我们首先需要回顾一下排列与组合的基本概念。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，排列的结果是有序的。
组合则是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合，组合的结果是无序的。
例如，有5个人要从10个不同的座位中选取3个座位坐下，问有多少种不同的坐法？解答：根据排列的定义，我们可以知道，这是一个从10个不同元素中取出3个元素进行排列的问题，即A(10, 3)。
根据排列的计算公式，我们可以得到A(10, 3) = 10! / (10-3)! = 10 × 9 × 8 = 720种不同的坐法。
二、概率题的解题思路在解答概率题时，我们需要先确定事件的样本空间，然后计算出事件发生的可能性，即事件的概率。
在计算概率时，我们可以利用排列与组合的概念来简化计算过程。
例如，有4个红球和6个蓝球，从中任取3个球，问取到2个红球的概率是多少？解答：首先，我们需要确定事件的样本空间。
从4个红球和6个蓝球中任取3个球，共有C(10, 3)种可能的取法。
接下来，我们需要计算取到2个红球的可能性。
我们可以将这个事件分解为两个子事件：取到2个红球和1个蓝球的情况，以及取到3个红球的情况。
对于取到2个红球和1个蓝球的情况，我们可以先从4个红球中任取2个红球，再从6个蓝球中任取1个蓝球，共有C(4, 2) × C(6, 1)种可能的取法。
对于取到3个红球的情况，我们可以直接从4个红球中任取3个红球，共有C(4, 3)种可能的取法。
最后，我们将两个子事件的取法相加，即可得到取到2个红球的总共可能的取法。
第二节 排列与组合预习设计 基础备考知识梳理1．排列与排列数(1)排列的定义：一般地，从n 个 元素中取出m )(n m ≤个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记为.m A π(3)排列数公式=+---=)1()2)(1(m n n n n A mn=⋅⋅⋅-⋅-⋅=123).2()1( n n n A nn ，规定.1!0=2．组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n 个 的元素中取m ⋅≤)(n m 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个 元素中取出)(n m m ≤个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n c 表示．(3)组合数公式=mn C =(4)组合数的性质性质1：=mn C性质2；=+m n c 1 ).,,(⋅∈∈≤*N m N n n m3．解排列组合题的"24宇方针，12个技巧”：(1)“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．(2)“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即：①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；⑨至少（多）问题间接法；⑩选排问题先取后排法；（11）局部与整体问题排除法；（12）复杂问题转化法．典题热身1．设直线的方程是5,4,3,2,1,0从=+By Ax 这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是( )20.A 19.B 18.C 16.D答案；C2．某校开设10门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 （ ）120.A 98.B 63.c 56.D答案：B3．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有 （ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种答案：B4．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（ ）14.A 16.B 18.C 20.D答案：C5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和两个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告， 则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）．答案：48课堂设计 方法备考题型一 排列应用问题【例1】有5个同学排队照相，求：(1)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种？(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？(4)甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？题型二 组合应用问题【例2】从7名男生5名女生中选取5人当班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种，（1）)A ，B 必须当选；（2）A ，B 必不当选；（3）A ，B 不全当选；（4）至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．题型三 排列与组合的综合应用【例3】已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？题型四 均匀分组与不均匀分组问题【例4】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本，技法巧点1．解答有关排列问题的应用题时应注意的问题(1)对受条件限制的位置与元素应首先排列，并适当选用直接法或排除法（间接法）；(2)同一个问题，有时从位置出发较为方便，有时从元素出发较为方便，应注意灵活处理；(3)从位置出发的“填空法”及对不相邻问题采用的“插空法”，是解答排列应用题中常用的有效方法，应注意培养运用这些方法的意识，同时要注意方法的积累．2．解答组合应用题的总体思路(1)整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果使用加法原理；(2)局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证．分步的不重复，计算每一类相应结果使用乘法原理；(3)考察顺序，区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题．3．解决排列与组合问题的常用方法解决排列与组合应用题常用的方法有：直接法、间接类法、分步法、元素分析法、位置分析法、插空法、捆绑数学思想主要有分类讨论的思想、等价转化的思想等几何问题，可画示意图，以增强直观性， 失误防范1．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重币2．对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处类选择题可采用排除法分析答案的形式，错误的答案犯有重复或遗漏的错误．3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏随堂反馈1．（2010．北京高考）8名学生和2位老师站成一排合影，老师不相邻的排法种数为 ( )2988.A A A 2988.C A B 2788.A A c 2788.C A D答案：A2．（2010．山东高考）某台小型晚会由6个节目组成，演序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺编排方案共有 ( )A.36种 B ．42种 C ．48种 D ．54种答案：B3．（2010．湖南高考）在某种信息传输过程中，用4个数一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表同信息．若所用数字只有O 和l ，则与信息0110至多个对应位置上的数字相同的信息个数为( )10.A 11.B 12.C 15.D4．（2011．海南模拟）某班班会准备从甲、乙等7名学生派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发序的种数为 ( )360.A 520.B 600.C 720.D答案：C5．（2010．重庆高考）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1人，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A ．504种B ．960种 C.1008种 D ．1108种答案：C高效作业 技能备考一、选择题1．（2011．山东聊城外国语学校二模）将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是 ( )444424228.A A c c c A E 44242628.A A A A B 442128..A c c c c 242628.C C C D答案：C2．（2011．江西井冈山4月模拟）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有 ( )A ．1260种B ．2025种C ．2520种D ．5040种答案：C3．（2010．广东高考）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了五个彩灯，它们闪亮的顺序不同定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这五个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这五个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 ( )A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒答案：C4．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机4项工作之一，每项工作至少有1人参加．甲、乙不会开车但能从事其他3项工作，丙、丁、戊都能胜任4项工作，则不同安排方案的种数是 ( )152.A 126.B 90.C 54.D答案：B5．（2011．广东模拟）四名志愿者和他们帮助的两位老人排成一排照相，要求两位老人必须站在一起，则不同的排列方法为 ( )266.A A A 55.A B 2244.A A c 2255.A A D 答案：D6．（2011．东北育才中学模拟）来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判员各两名，执行世锦赛的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地有两名来自不同国家的裁判，则不同的安排方案共有A.48种 B．24种 C．36种 D．96种答案：A二、填空题7．(2010．浙江高考)有四位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有种（用数字作答）．答案：2648．（2011．珠海模拟）从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有两人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有种．答案：609．（2011．陕西模拟）有一个不规则的六面体盒子（六个面大小不同），现要用红、黄、蓝三种颜色刷盒子的六个面，其中一种颜色刷3个面，一种颜色刷两个面，一种颜色刷1个面，则刷这个六面体盒子的刷法有种．答案：360三、解答题10．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数有多少种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校至少有一个名额，问：名额分配的方法共有多少种？11．用数字O，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数：(1)能组成多少个五位数？(2)能组成多少个正整数？(3)能组成多少个六位奇数？(4)能组成多少个能被25整除的四位数？12．(2011.枣庄联考)已知平面α//β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可做多少个不同平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？。
