11.2第二节 排列与组合

2019-2020学年高中数学 11.2排列与组合训练 理 新人教A 版一、选择题（每小题6分，共36分）1.不等式x x 288A 6A -⨯＜的解集为( ) (A)［2，8］ （B ）［2，6］ （C ）（7，12） （D ）{8}2.（2012·沈阳模拟）用1，2，3，4，5，6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1，3，5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为( )(A)18 (B)108 (C)216 (D)4323.（2012·青岛模拟）某小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) (A)36种 (B)42种 (C)48种 (D)54种4.（2012·泉州模拟）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i=1,2,3;j =1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )（A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）13145.（2012·杭州模拟）为了迎接建国63周年国庆，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( ) （A ）1 205秒 (B)1 200秒 (C)1 195秒 （D)1 190秒6.(预测题)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是( )(A)60 (B)48 (C)42 (D)36 二、填空题（每小题6分，共18分）7.(2012·厦门模拟)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_____种.8.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有_______种.9.(2012·宁德模拟)将5名志愿者分配到3个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案数为_____.三、解答题（每小题15分，共30分）10.(易错题)有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒子内． （1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒子内放2个球，有多少种放法？ （4）恰有两个盒子不放球，有多少种放法？11.（1）3人坐在有8个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则有多少种不同的坐法？111213212223313233a a a a a a a a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭（2）有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？（3）现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？【探究创新】（16分）由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数. （1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？ (2)若x=9，其中能被3整除的共有多少个？ (3)若x=0，其中的偶数共有多少个？(4)若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x.答案解析1.【解析】选D.()()8!8!6,8x !10x !⨯--＜∴x 2-19x+84＜0,又x ≤8,x-2≥0, ∴7＜x ≤8,x ∈N *,即x=8.2.【解析】选D.第一步，先将1，3，5分成两组，共2232C A 种方法；第二步，将2，4，6排成一排，共33A 种方法；第三步：将两组奇数插到三个偶数形成的四个空位，共有24A 种方法.综上共有22323234C A A A =3×2×6×12=432（种）.3.【解题指南】根据甲的位置分类讨论.【解析】选B.分两类：第一类：甲排在第一位，共有44A =24种排法；第二类：甲排在第二位，共有1333A A ⨯=18种排法，所以共有编排方案24+18=42（种），故选B.4.【解析】选D.从9个中选3个有39C 种选法，要使三个数均不同行且不同列共有111321C C C 种选法，所以，所求概率为11132139C C C 131.C 14-=5.【解题指南】先用排列算出闪烁个数55A =120，还要考虑每个闪烁间隔的时间.【解析】选C.由题知闪烁的总个数为55A =120.每次闪烁时间为5秒，知总闪烁时间为5×120=600 s ，又每两次闪烁之间的间隔为5 s ，故闪烁间隔总时间为5×(120-1)=595 s ，故总时间为600+595=1 195 s. 6.【解析】选B.方法一：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A （A 共有2232C A 6⨯=种不同排法），剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A 、B 之间，此时共有6×2＝12种排法（A 左B 右和A 右B 左），最后在排好的三个元素的4个空位插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法.方法二：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A （A 共有2232C A 6⨯=种不同排法），剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有22226A A 24⨯⨯=种排法；第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时共有226A 12⨯＝种排法； 第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法.此时共有226A 12⨯＝种排法；三类之和为24＋12＋12＝48种.7.【解析】首先在4门功课中选1门，甲乙两人所选相同，有14C 种选法，然后在其余的3门中选2门，分给甲、乙各1门，有23A 种选法， ∴共有23A 14C =24种不同选法.答案：248.【解题指南】根据甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,分情况讨论.【解析】根据题意，可以分情况讨论：① 甲、丙同去，则乙不去，有2454C A 240⨯=种；②甲、丙同不去，乙去，有3454C A 240⨯=种；③甲、乙、丙都不去，有45A =120种.故共有600种不同的选派方案．答案：6009.【解析】分配方案分两种情况：(1)两个场馆各2人，另一场馆1人,共有223533C C A 902=种分配方案. (2)两个场馆各1人，另一场馆3人，则有3353C A =60种分配方案.故有90+60＝150种分配方案.答案：150 10.【解析】（1）一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44=256种．（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个有14C 种可能，再将4个球分成2，1，1的三组，有24C 种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法12124432C C C A 144⨯⨯⨯=种．（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒子内放2个球”与“恰有一个盒子不放球”是一种情况.故也有144种放法.（4）先从四个盒子中任意拿走两个盒子有24C 种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有3142C C ⨯种放法；第二类：有24C 种放法.因此共有312424C C C 14⨯+=种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有24C 1484⨯=种．11.【解题指南】对于问题（1）可理解成3个人不相邻问题，采用插空法；对于问题（2）属定序问题，可进行除法；对于问题（3）属“分名额”问题，可分类求解或用隔板法求解. 【解析】（1）由已知有5个座位是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人往5个空座的空隙插，由于这5个空座位之间有4个空，故共有34A 24=种坐法. （2）不考虑条件总的排法数为55A 120=种. 则甲在乙的右边的排法数为551A 602⨯=种. （3）方法一：每个学校一个名额，则分去7个,剩余3个名额分到7所学校的方法数就是所求的分配方法种数. 若3个名额分到1所学校有7种方法，若分配到2所学校有27C 242⨯=种方法，若分配到3所学校有37C 35=种方法. 故共有7+42+35=84种方法.方法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块隔板插在9个间隔中，共有69C 84=种不同方法.所以名额分配的方法共有84种.【方法技巧】用“隔板法”解决相同元素分配问题：相同元素的分配问题可以在其之间插入隔板来达到分配的目的.它强调的是分配之后每组元素的个数，而与每一组包含哪几个元素无关.【例】将9个完全相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子内，要求每个盒子内的球数不小于其编号数，问有多少种不同的放法.【解析】先将编号为2的盒子放入1个球，编号为3的盒子内放入2个球，然后只需将余下的6个球分成3组，每组至少有1个球即可.6个球有5个空隙，将两块隔板插入这些空隙中有25C =10种方法，故有10种不同的放法. 【探究创新】【解析】(1)5必在个位，所以能被5整除的三位数共有23A =6个.(2)∵各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除， ∴这种三位数只能由2,4，9或1,2，9排列组成， ∴共有2×33A =12个.(3)偶数数字有3个，个位数必是一个偶数，同时0不能在百位，可分两类考虑：①0在个位的，有23A =6个.②个位是2或4的，有111222A A A ⨯⨯=8个，∴这种偶数共有6+8=14个.（4）显然x ≠0，∵1,2,4,x 在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现1233A A ⨯次， ∴这样的数字之和是(1+2+4+x)×1233A A ⨯，即(1+2+4+x)×1233A A ⨯=252，∴7+x=14,∴x=7.。

2022高考数学理一轮复习基础达标演练-11A级基础达标演练(时刻：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2020·舟山月考)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．假如将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()．A．42 B．30 C．20 D．12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A22A16＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A26＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A27＝42)．答案 A2．(★)假如n是正偶数，则C0n＋C2n＋…＋C n－2n＋C n n＝()．A．2n B．2n－1C．2n－2D．(n－1)2n－1解析(特例法)当n＝2时，代入得C02＋C22＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C04＋C24＋C44＝8，排除答案D.故选B.答案 B【点评】本题运用了专门数值法，两次选择专门数值代入，从而得到答案.因此，本题也能够运用直截了当法，由二项展开式系数的性质得C\o\al(0,n)＋C\o\al(2,n)＋…＋C\o\al(n－2,n)＋C\o\al(n,n)＝2n－1.3．A、B、C、D、E五人并排站成一排，假如B必须站在A的右边(A、B能够不相邻)，那么不同的排法共有()．A．24种B．60种C．90种D．120种解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．答案 B4．(2010·北京)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()．A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27解析不相邻问题用插空法，8名学生先排有A88种，产生9个空，2位老师插空有A29种排法，因此最终有A88·A29种排法．故选A.答案 A5．(2020·福州质检)某外商打算在4个候选都市中投资3个不同的项目，且在同一个都市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()．A．16种B．36种C．42种D．60种解析若3个不同的项目投资到4个都市中的3个，每个都市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个都市中的2个，一个都市一项、一个都市两项共C23A24种方法，由分类计数原理知共A34＋C23A24＝60种方法．答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A47＝840(种)．答案8407．(2020·天津模拟)将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案种数是________．解析将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C24A33种分配方案，其中甲同学分配到A班共有C23A22＋C13A22种方案．因此满足条件的不同方案共有C24A33－C23A22－C13A22＝24(种)．答案248．(2020·东北三校联考)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是________． 解析 记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a 、b 、c ，先排男生，若甲在男生两端有4种排法，然后3位女生去插空，排法如ab 甲□丙c 乙共有4A 23A 12A 13种，若男生甲排在中间，有两种排法，然后女生去插空，排法如ab 乙□甲c 丙共有2A 23A 24种排法．依照分类计数原理共有4A 23A 12A 13＋2A 23A 24＝288种不同排法． 答案 288三、解答题(共23分)9．(11分)按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒． 解 (1)46＝4 096；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫C 26C 24C 12C 11A 22A 22＋C 36A 44＝1 560； (3)C 24＋4＝10；或C 25＝10(挡板法)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫C 36C 23C 11＋C 26C 24C 22A 33＋C 46A 34＝2 160.10．(12分)(2020·合肥调研)要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男 生甲、女生乙至少有一个人入选．解 (1)C 512－C 57＝771； (2)C 57＋C 15C 47＋C 25C 37＝546；(3)C22C310＝120；(4)C512－C22C310＝672；(5)C512－C510＝540.B级综合创新备选(时刻：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2010·全国I)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()．A．30种B．35种C．42种D．48种解析法一可分两种互斥情形：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)选法．法二总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的C34＝4(种)，共有30种选法．答案 A2．(2020·萍乡模拟)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()．A．24 B．48 C．72 D．96解析A55－2A22A23A22－A22A22A33＝48.答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析当每个台阶上各站1人时有A33C37种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C23C17C16种站法，因此不同的站法种数有A33C37＋C23C17C16＝210＋126＝336(种)．答案3364．(2020·武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．解析 先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C 25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C 24种，最后，安排其他两辆车共有A 22种方法，∴不同的调度方法为C 25·C 24·A 22＝120种．答案 120三、解答题(共22分)5．(10分)在m (m ≥2)个不同数的排列p 1p 2…p m 中，若1≤i ＜j ≤m 时p i ＞p j (即前面某数大于后面某数)，则称p i 与p j 构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n ＋1)n (n －1)…321的逆序数为a n .如排列21的逆序数a 1＝1，排列321的逆序数a 2＝3，排列4 321的逆序数a 3＝6. (1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ，证明2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3，n ＝1,2，…. 解 (1)由已知条件a 4＝C 25＝10，a 5＝C 26＝15，则a n ＝C 2n ＋1＝n (n ＋1)2.(2)证明 b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n n ＋2＋n ＋2n ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ∴b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2 ＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2， ∴2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3.6．(12分)已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？解(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．第2次测到第一件次品有4种抽法；第8次测到最后一件次品有3种抽法；第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A25种抽法；剩余4次抽到的是正品，共有A24A25A46＝86 400种抽法．(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A44种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A34A16种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A35A26＋A66种．由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为A44＋4A34A16＋4A35A26＋A66＝8 520.。

排列与组合教案一、教学目标1.了解排列和组合的概念；2.掌握排列和组合的计算方法；3.能够应用排列和组合解决实际问题。

二、教学内容1. 排列排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列的个数，用符号A n m表示。

其中，n和m都是正整数，且有m≤n。

排列的计算公式为：A n m=n! (n−m)!其中，n!表示n的阶乘，即n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1。

2. 组合组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的个数，用符号C n m表示。

其中，n和m都是正整数，且有m≤n。

组合的计算公式为：C n m=n!m!(n−m)!3. 应用实例例1某班有10名学生，其中3名学生参加了数学竞赛，4名学生参加了英语竞赛，2名学生参加了物理竞赛。

现在要从这10名学生中选出5名学生参加比赛，问有多少种选法？解：这是一个组合问题，因为只需要选出5名学生，而不需要考虑他们的顺序。

所以，选法的个数为：C105=10!5!(10−5)!=252例2某公司有10名员工，其中3名员工要去参加培训，现在要从这10名员工中选出2名员工去接待参加培训的员工，问有多少种选法？解：这是一个排列问题，因为选出的2名员工需要按照先后顺序去接待参加培训的员工。

所以，选法的个数为：A72=7!(7−2)!=42三、教学方法1.讲解法：通过讲解排列和组合的概念和计算方法，让学生掌握相关知识；2.例题法：通过实例讲解，让学生了解如何应用排列和组合解决实际问题；3.练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学步骤1. 导入介绍排列和组合的概念，引出本节课的教学内容。

2. 讲解讲解排列和组合的计算方法，包括公式的推导和应用实例的讲解。

3. 练习让学生自主完成一些排列和组合的练习题，然后进行讲解和讨论。

4. 总结对本节课的内容进行总结，并强调学生需要掌握的重点和难点。

五、教学评价1.学生能够正确理解排列和组合的概念；2.学生能够掌握排列和组合的计算方法；3.学生能够应用排列和组合解决实际问题；4.学生能够独立完成排列和组合的练习题。

第二节排列与组合【最新考纲】 1.理解排列、组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题．1．排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．3．排列数、组合数的公式及性质1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为()A．6B．18C．20 D．24解析：由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.答案：B3．(2015·广东卷改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言() A．1 560条B．780条C．1 600条D．800条解析：由题意，得毕业留言共A240＝1 560(条)．答案：A4．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有() A．18个B．15个C．12个D．9个解析：根据“六合数”的定义可知，当首位为2时，其余三位是数组(0，0，4)，(0，1，3)，(0，2，2)，(1，1，2)的所有排列，即共有3＋A33＋3＋3＝15(个)．答案：B5．(2016·唐山调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28解析：法一(直接法)甲、乙两人均入选，有C17C22种方法．甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，∴由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种选法．法二(间接法)从9人中选3人有C39种方法．其中甲、乙均不入选有C37种方法，∴满足条件的选排方法是C39－C37＝84－35＝49(种)．答案：C一个区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．两个公式1．排列数公式：A m n＝n！（n－m）！2．组合数公式：C m n＝n！m！（n－m）！三点提醒1．特殊元素、特殊位置优先原则．2．解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一．3．解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配．四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”一、选择题1．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72 D．24解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A34＝24(种)放法．答案：D2．(2014·安徽卷)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对解析：正方体六个面的对角线共有12条，则有C212＝66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60°，则共有3×C24＝18对，而其余的都符合题意．因此满足条件的对角线共有66－18＝48(对)．答案：C3．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为()A．360 B．520C．600 D．720解析：当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C35 A44＝480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A25A23＝120，则不同的发言顺序的种数为480＋120＝600.答案：C4．(2016·青岛二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．18种B．24种C．36种D．72种解析：1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C13C22A33种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C23C22A33种．∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种)．答案：C5．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有() A．16种B．36种C．42种D．60种解析：法一(直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法．由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60种方法．法二(间接法)先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60(种)．答案：D6．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是() A．72 B．120C．144 D．168解析：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A34＝144种，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A33·A22·A22＝24种，于是符合题意的排法共有144－24＝120种．答案：B二、填空题7．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法．解析：先排最中间位置有1种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为C36＝20(种)．答案：208．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有________种．解析：把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种)．答案：119．四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．解析：分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C24种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A33种．依分步乘法计数原理，共有N＝C24A33＝36(种)．答案：3610．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：分两步：①任意选3个空排A、B、C，共有C36·C12·A22种排法．②排其余的3个字母，有A33种排法，所以由分步乘法计数原理，共有C36·C12·A22·A33＝480(种)排法．答案：480三、解答题11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法有多少种？解：分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．12．由1，2，3，4，5五个数字组成的没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第2项是12 354，…直到末项(第120项)是54 321.问：43 251是第几项？解：比43 251大的数有下列几类：①万位数是5的有A44＝24(个)；②万位数是4、千位数是5的有A33＝6(个)；③万位数是4、千位数是3、百位数是5的有A22＝2个；所以比43 251大的数共有A44＋A33＋A22＝32(个)，所以43 251是第120－32＝88(项)．。

排列与组合数学排列与组合是离散数学中的重要内容，广泛应用于各个领域。

它们在数学、物理、计算机科学、生物学等领域有着广泛的应用。

本文将对排列与组合的定义、性质、应用实例、计算公式及解题技巧进行详细介绍。

一、排列与组合的定义及概念1.排列：从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列，称为排列。

用符号A(n,m)表示。

2.组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序，称为组合。

用符号C(n,m)表示。

二、排列组合的基本性质1.排列组合的元素互异性：排列组合中的元素各不相同。

2.排列组合的顺序性：排列中的元素具有顺序关系，而组合无顺序关系。

3.排列组合的组合数性质：对于任意正整数n和m，有C(n,m) = C(n,n-m)。

4.排列组合的排列数性质：对于任意正整数n和m，有A(n,m) = A(n,n-m)。

三、排列组合的应用实例1.安排问题：如安排几个人完成不同任务，安排学生参加课程等。

2.选课问题：从多个课程中选取若干门课程进行学习。

3.组合问题：如组合密码、组合套餐等。

四、排列与组合的计算公式1.组合数公式：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)2.排列数公式：A(n,m) = n! / (n-m)!五、提高排列组合问题的解题技巧1.熟悉排列组合的定义和性质，掌握排列组合问题的基本解题方法。

2.善于运用数学公式和运算规律，简化问题求解过程。

3.善于将实际问题转化为数学模型，运用排列组合知识解决实际问题。

4.加强练习，培养解题思路和技巧。

通过以上对排列与组合的详细介绍，相信大家对排列与组合有了更深入的了解。