循环小数

循环小数的概念和定义
嘿，大家好啊！今天咱来说说循环小数是啥概念和定义。

有一回啊，我和朋友去超市买东西。

算账的时候，我发现价格是个小数，而且这小数有点奇怪。

比如说有个东西价格是 3.3333……一直这么循环下去。

这就有点像循环小数了。

循环小数呢，就是小数部分有一个数字或者几个数字依次不断地重复出现。

就像刚才那个3.3333……，数字3 一直在重复。

比如说还有 2.142857142857……这里面的“142857”就不断重复出现。

循环小数有个特点，就是可以用一种特别的方式来表示。

比如说3.3333……可以写成3.（3 上面加个点），表示数字3 循环。

所以啊，以后咱看到这种小数部分有重复数字的小数，就知道它是循环小数啦。

好了，今天就聊到这儿吧。

希望大家都能认识循环小数。

关于什么是循环小数在数学中，循环小数是基础学习知识之一，下面是unjs小编为您整理关于循环小数，欢迎阅读!循环小数循环小数，是指从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，可分为有限循环小数,如：1.123123123(不可添加省略号)和无限循环小数，如：1.123123123……(有省略号)。

前者是有限小数，后者是无限小数。

循环小数介绍循环小数英文名：circulating decimal两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。

一种，得到无限小数。

从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如 2.1666...*(混循环小数)，35.232323...(循环小数)，20.333333…(循环小数)等，被重复的一个或一节数字称为循环节。

循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。

例如：2.966666... 缩写为 2. 96(6上面有一个点;它读作“二点九六，六循环”)35.232323…缩写为35.23(2、3上面分别有一个点;它读作“三十五点二三，二三循环”)循环小数可以利用等比数列求和(附链接：等比数列)的方法化为分数。

例如图中的化法。

所以在数的分类中，循环小数属于有理数。

循环小数一个“特殊”性质我们熟悉的七分之几化成循环小数为：以第一个分数为例：取它的循环节142857，共六位，从中间分成两段：142和857，对应相加!看看下图，发现了什么吗?没错!999!再试试其他几个循环小数的循环节，也是这样吗?我们再换一个分数。

比如1/11=0.090909……2/11=0.181818……3/11=0.272727…………循环节都是两位，分成两段，对应相加，9!再看一个：1/13=0.0769********……2/13=0.153846153846……3/13=0.230769230769…………第一个：循环节为076923，6位，分成两段， 076和923，对应相加：999!第二个：循环节为153846，6位，分成两段，153和846，对应相加，999!……再看一个长一点的：1/17=0.0588235294117647……2/17=0.1176470588235294……第一个：循环节为0588235294117647，16位，分成两段，05882352和94117647，对应相加，99999999!第二个：循环节为1176470588235294，16位，分成两段，11764705和88235294，对应相加：99999999!……一个调查：没错!7、11、13、17都是质数!其他质数呢?有没有兴趣试一试?特别是，有兴趣拿出一张大一点的纸，计算一下1/109吗?还有，背后的原因是什么呢?您会提出这个问题，并且试图解决吗? [关于什么是循环小数]。

循环小数分类
循环小数如何分类？
答：循环小数分类如下：
循环小数可分为纯循环小数和混循环小数。

一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。

1、纯循环小数
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同.
例如：0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999
2、混循环小数
将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同.
例如：0.1234234234…=(1234-1)/9990 0.55889888988898...=(558898-55)/999900。

探索小数了解循环小数和无限不循环小数要探索小数的性质，我们需要先了解循环小数和无限不循环小数的概念。

循环小数是指小数部分存在循环模式的小数，而无限不循环小数则是指小数部分没有循环模式的小数。

为了更好地理解这两种小数，我们先来看一个例子：1/3。

当我们用十进制表示1/3时，得到的是无限不循环小数0.333333...，小数部分没有循环模式，无限重复。

而当我们用分数表示1/3时，可以写成1/3=0.3(3)，其中小数部分3无限循环，这就是循环小数。

接下来，让我们探索一下循环小数和无限不循环小数的特点以及它们之间的关系。

1. 循环小数的性质循环小数具有以下性质：- 循环小数的小数部分有限，但整数部分可以是任意整数。

- 循环小数可以用分数表示。

- 循环小数可以通过循环节的重复来表示。

在表示循环小数时，中括号可以用来表示循环节。

例如，4/7=0.(571428)，可以写成4/7=0.[571428]，其中571428是循环节。

2. 无限不循环小数的性质无限不循环小数具有以下性质：- 无限不循环小数的小数部分无限重复，没有循环模式。

- 无限不循环小数无法用有限的分数表示。

- 无限不循环小数是无限不循环的。

一个经典的例子是圆周率π，它是无限不循环小数。

尽管我们可以用3.14或22/7这样的近似值表示π，但真实的π是一个无限不循环小数，小数部分没有循环模式，无限重复。

3. 循环小数和无限不循环小数的关系循环小数和无限不循环小数之间存在一定的关系，可以通过一些数学方法进行转换。

有理数可以表示为循环小数或者有限小数，而无理数可以表示为无限不循环小数。

有理数是可以用两个整数的比表示的，而无理数无法用分数表示。

在数学领域中，我们可以通过一些运算和技巧将无理数近似地表示为循环小数或者无限不循环小数的形式，这对于计算和研究无理数是非常有帮助的。

总结起来，循环小数和无限不循环小数是小数的两种不同形式，它们有着不同的特点和性质。

循环小数化分数要两种类型可分：1.纯循环小数循环节有几位分母就写几个9，循环节是什么分子就写什么，如：0.33……＝3/9＝1/32.混循环小数循环节有几位分母就写几个9，不是循环节的有几位就在“9”后面加几个0，分子是第一个循环节前的数空大相应的倍数相减，如：0.833……＝83.33……－8.33……/90＝75/90＝5/6一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。

怎样把它化为分数呢？看下面例题。

把纯循环小数化分数：纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。

9的个数与循环节的位数相同。

能约分的要约分。

二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。

怎样把混循环小数化为分数呢？把混循环小数化分数。

（2）先看小数部分0.353一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。

分母的头几位数是9，末几位是0。

9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。

从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

有限小数化成分数直接将小数点去掉，分母对应化成十百千万等。

再约分。

例如：0.333.....＝3/9=1/30.214214214214214....=214/999简单说每一个循环节为分子，循环节有几位数分母就写几个90.3333......循环节为3 0.214.....循环节为2140.52525252....循环节为52，所以0.525252...＝52/990.35....=35/99例如：0.333333……循环节为3则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。

五年级数学循环小数
一、循环小数的定义
循环小数是一种特殊的分数小数，它具有特定的循环特征。

在数学上，循环小数被定义为具有无尽循环模式的数字序列。

例如，1/3=0.333333……是一个循环小数，因为它的小数部分3是不断重复的。

二、循环小数的表示方法
循环小数通常可以用两种方式表示：一般形式和特殊形式。

1.一般形式：通过在数字后面添加一个无穷的小数来表示循环小数。

例如，
1/3=0.333333……可以表示为1.333333……
2.特殊形式：通过在数字后面添加一个循环节来表示循环小数。

例如，
1/3=0.333333……可以表示为0.3（3无限循环）。

三、循环小数的性质
循环小数有一些重要的性质：
1.循环小数的整数部分始终保持不变。

2.循环小数的循环节始终重复出现。

3.循环小数的和、差、积和商都可以表示为循环小数。

4.循环小数的倍数仍然为循环小数。

四、循环小数的简单运算
对于循环小数的简单运算，可以遵循以下步骤：
1.将循环小数转换为分数。

2.对分数进行运算。

3.将结果再转换为循环小数（如果需要的话）。

五、应用循环小数解决实际问题
循环小数在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在时间计算中，我们常常会遇到“一刻钟”这样的表述，其中的“一刻”实际上是15分钟，是一个循环
小数的表示。

此外，循环小数也出现在物理学、工程学和其他科学领域中。

通过对循环小数的理解，我们可以更好地解决实际问题。

循环小数的简单表示方法循环小数的简单表示方法一、简介循环小数是一种不定小数，也称作无限循环小数，它是一种复杂的数学概念，它在数学实践中，一般用简记方式来表示。

二、简记法简记法是用一个符号来代表复杂的数字，帮助人们快速记忆。

简记法常用来表示循环小数，它由三部分组成：比特率，循环节以及权数。

1.比特率：比特率是指循环小数的位数，它的取值范围一般为2到16。

2.循环节：循环节是指位数形成的圈，表征循环小数的最小单位。

其中从右边开始的第一个不同的数字为该循环节的第一位，第二个不同的数字为第二位，以此类推。

3.权数：权数即对应其小数部分权值，由2位16进制数字表示，其范围为00-FF。

简记法中的三部分组成，比特率、循环节以及权数都可以根据实际情况自行确定，但循环节和权数要搭配使用，所确定的比特率不能超过循环节，权数不能大于比特率。

三、示例考虑一个循环小数，它的比特率为3，循环节为其小数部分的第一位即多少位数以及最后一位的十六进制标识，权数为第一位和最后一位之间数字的十六进制标识，即可表示为：3-n-m。

四、表示法如果以循环小数的格式进行表示，则可以用一个词语表示，表示法由比特率、小数部分和权数组成，其形式为：m比特率置n，权m，如3比特率置3，权6，表示小数0.123456循环。

五、转换法例如，一个循环小数a=0.125，比特率=4，可以先转换成十进制，即a=0.125=1/8=0.0001，然后按照四比特率进行编码，即 0000 1000 0000 0000，将其转换成二进制约分，可以转换成 0000 1000 0000 0000=0.1000=8/16，即a=0.125=8/16，再把8换算成十六进制表示，可以得出，a=4-8-8，表示4比特率置8，权8表示循环小数0.125。

六、结论循环小数是一种常见的不定小数，简记法、表示法以及转换法都能够帮助人们快速记忆循环小数，并能够根据实际需要调整比特率以及权数，以此来更有效的表示循环小数。

循环小数的两种表达方式
循环小数是定义循环节的小数，它被表示为一个特殊形式的小数，
它可以通过有限的位数来表示无限的小数位数。

一般来说，对于没有
循环节的小数，可以用它们的无限小数表示式来表示，而对于具有循
环节的小数，我们可以用两种不同的方式来表示，即直观的表达方式
和解主义表达方式。

1.直观的表达方式：这种方式要求将小数的数字按照原先的顺序表示出来，并在连续重复部分圈出来，对于循环小数0.123451234512345…来说，就可以用(0.12345)来表示。

2.解主义表达方式：这种方式要求将小数中的重复部分用“（）”括起来，把位数改为分子形式，把重复部分表示为分母，如果没有循环节，则
把分母写为1，而对于上例，就可以用1290ý9来表示。

以上就是循环小数的两种表达方式，其中，直观的表达方式比较直观，比较容易理解，而解主义表达方式虽然比较抽象，但是能够更清晰明
确地表达出循环小数。

无论是直观的表达方式还是解主义表达方式，
都是用来描述循环小数的常用方式，在遇到循环小数的场合都可以使用。

循环小数的读法
循环小数的读法：先读出这个小数，在读循环节，例如
2.966666... 读作“二点九六，六循环”； 35.232323…读作“三
十五点二三，二三循环”
循环小数：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次
重复出现的无限小数；循环小数会有循环节（循环点），并且可以
化为分数。

定义：两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，得到无限小数。

循环小数的缩写法：将第一个循环节以后的数字全部略去，而在
第一个循环节首末两位上方各添一个小点。

循环小数可以利用等比数列求和公式的方法化为分数，所以循环
小数均属于有理数。

循环小数的相关知识循环小数的简便记法：循环小数的一般写法是把循环节写出两到三遍，然后写上省略号。

简便写法是一个循环小数只写出它的不循环的部分和第一个循环节，并在这个循环节的最左和最右的数字上面各记一个点，这个点叫做循环点．如果循环节只是一个数字，就只在这一个数字上记一个循环点。

纯循环小数：循环节从小数点后的第一位即十分位就开始的循环小数，叫做纯循环小数。

混循环小数：循环节不是从小数点后第一位开始的，而是在十分位后开始循环的循环小数，叫做混循环小数。

无限循环小数与分数的互化：一、纯循环小数化分数纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。

9的个数与循环节的位数相同。

能约分的要约分。

如：0.52525252……循环节为52，所以0.525252……＝52/990.1111……＝1/90.2222……＝2/90.232323……＝23/990.234234234……＝234/9990.333……＝3/9＝1/30.214214214214214……＝214/9990.35……＝35/99二、混循环小数化分数一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。

分母的头几位数是9，末几位是0。

9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

如：0.02222……＝2/900.00222……＝2/900三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。

从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

循环小数与周期问题：如：（1）求0.1234（1234循环）的小数点后第2007位的数字是多少？解：这个小数是的循环节是四位，是以1234的顺序为一个周期循环，所以用2007÷4＝501 (3)0.1234（1234循环）的小数点后第2007位的数字是3。

mathml 循环小数表示
数学中的循环小数是一种特殊的小数表示形式。

它是指小数部分的某一部分数字无限重复出现的小数。

我们可以使用MathML来表示循环小数，而不需要依赖于任何网络地址或数学公式。

循环小数的表示方式是将循环部分用括号括起来，并在括号上方加上一个横线。

例如，表示循环部分为2的循环小数可以写作 2.2̅，其中2上方的横线表示循环。

循环小数可以是无限循环的，也可以是有限循环的。

无限循环小数的循环部分会一直重复下去，而有限循环小数的循环部分会在某个位置停止重复。

循环小数可以进行各种数学运算，如加法、减法、乘法和除法。

这些运算可以通过将循环小数转化为分数来进行。

例如，将循环小数2.2̅转化为分数，我们可以假设x = 2.2̅，然后将x乘以10，两者相减得到9x = 22，解方程可得x = 22/9，即2.2̅= 22/9。

循环小数在实际生活中也有很多应用。

例如，时间的表示就使用了循环小数。

一天的24小时可以表示为24.0̅，即24小时无限循环。

此外，循环小数还可以用来表示周期性现象，如月亮的周期、地球的自转周期等。

循环小数是一种特殊的小数表示形式，可以用MathML来进行表示。

它具有很多应用，并可以进行各种数学运算。

通过合理的结构安排
和流畅的叙述，我们可以清楚地描述循环小数的概念和应用。

循环小数知识要点分类有限小数无限循环小数小数的分类无限不循环小数无限小数的分类有限小数无限循环小数无限小数无限不循环小数小数循环节：①、循环节只能看小数部分：13.781378137813···这样的循环小数的循环节很容易错写成是1378， 循环节只能看小数部分，13.781378137813···所以它的循环节应该是7813。

②、只有循环小数才有循环节：0.878787这样的数其实是有限小数，有限小数是没有循环节的，只有循环小数才有循环节，所以87不是0.878787的循环节，因为0.878787根本没有循环节，1、尾巴式：写出2-3组完整的循环节，然后点上3个点（带上尾巴），【写出2组带尾巴】例：17.563563…，0.10666…例：0. 313313… 313是循环节，3个数字的循环节0. 3133131… 31是循环节，2个数字的循环节这是两个完全不同的循环小数，下面的书写只比上面的多了一个1，但意义完全不同。

2、帽子式：写出1个完整的循环节，然后在循环节的第一个和最后一个数字头上点上点（戴帽子）【只写一组戴帽子】 例：∙∙701.3 ∙∙914.0 注意：例：∙∙914.0不能写成∙∙914.0419，也不能写成∙∙914.0419…，写成∙∙914419.0也不行，啰嗦、也不规范∙∙701.3和∙∙701.3是不同的循环小数，∙∙701.3的循环节是07，∙∙701.3的循环节是1073、 “帽子式”与“尾巴式”的互换（1）帽子式 尾巴式 口诀：【写出2组循环节，脱掉帽子带尾巴】 例：∙∙701.3，循环节是07，换成“尾巴式”，写出2组循环节，再带上尾巴3.10707…∙∙914.0，循环节是419，虽然1头上没有帽子，帽子式只要求给循环节的头和尾带帽子，中间是可以不带的，所以1也是循环节中的一个数，写出2组循环节（419419），脱掉帽子带尾巴0.419419…（2）尾巴式 帽子式 口诀：【只写1组循环节，甩掉尾巴戴上帽】例：4.1560560…，循环节是560，只写1组循环节，甩掉尾巴戴上帽，∙∙0651.4，原来多余的循环节和后面的尾巴都去掉，但不要忘了给循环节戴帽子。

循环小数的
循环小数指的是小数部分无限重复的小数形式。

它们可以表示为一个有限的小数加上一个无限循环的小数分数。

常见的循环小数形式有以下几种：
1. 周期性循环小数：小数部分有一个或多个数字的有限序列，然后无限重复。

例如，1/3 = 0.3333...，以及2/7 =
0.285714285714...。

2. 不完全循环小数：小数部分有一些数字的有限序列，然后无限重复，但其中可能有一些数字不在循环中。

例如，1/6 = 0.1666...，其中6在一个循环中，但1不在。

3. 真循环小数：小数部分的有限序列在循环中不重复。

例如，1/7 = 0.142857142857...，这里的序列142857在循环中没有重复。

循环小数可以通过将分数表示为一个分数分子除以一个除数来确定。

我们可以通过观察小数部分的循环模式并进行计算来将循环小数转换为分数。

例如，0.3333...可以写成1/3，
0.285714285714...可以写成2/7等等。

循环小数的计算循环小数指的是小数部分中的某一段数字在不断重复出现。

在计算循环小数时，我们需要确定循环节的长度和循环节的数值。

首先，我们来考虑如何确定一个小数是循环小数。

当我们进行除法运算时，如果出现了重复的余数，就意味着开始了循环。

举个例子，我们将1除以3，得到的结果是0.3333333...，可以发现小数部分中的3无限重复。

这意味着1/3是一个循环小数，循环节是3。

对于确定循环节的长度，有一个简单的方法。

首先，我们用除数去除以被除数，并取得商的小数部分。

然后，将商的小数部分乘以10，再次进行上述操作，同样取得商的小数部分。

如此重复操作，直到商的小数部分开始重复为止。

循环节的长度即为两次重复之间的除数的个数。

举个例子，我们计算2/7，得到商的小数部分为0.2857142857...，可以发现循环节是142857，长度为6。

所以，2/7是一个循环小数。

当我们遇到一个循环小数时，如何将其转化为分数呢？我们可以利用代数的方法来处理。

设循环小数为x，循环节的长度为n。

我们将x乘以10的n次方，然后减去x，即可将循环节移到小数点前面。

这样，我们可以得到一个与x相等的数，但其循环节被移动到小数点前面。

接下来，我们将这两个数相减，即可消去循环节。

最后，我们将结果除以一个由n个9组成的数，即可得到原循环小数的分数形式。

举个例子，我们将0.2857142857...转化为分数。

设x=0.2857142857...，循环节长度为n=6。

将x乘以10的6次方得到285714.2857142857...，然后减去x得到285714。

接下来，我们将这两个数相减，得到285714-0.2857142857...=285714-2x。

将其化简为285712=2x，即x=285712/2=142856。

最后，将142856除以一个由6个9组成的数999999，得到142856/999999=2/7。

通过以上的方法，我们可以将循环小数转化为分数形式，这样更方便进行计算和比较。