第四章 作业分析

第四章作业参考答案4. 用推广的Euclid算法求67 mod 119的逆元解：初始化：(1,0,119), (0,1,67)1：Q=119/67=1，(0,1,67) , (1,-1,52)2：Q=67/52=1，(1,-1,52), (-1,2,15)3：Q=52/15=3，(-1,2,15), (4,-7,7)4：Q=15/7=2，(4,-7,7), (-9,16,1)所以67－1 mod 119＝1610．设通信双方使用RSA加密体制，接收方的公开钥是(e，n)＝(5,35)，接收到的密文是C ＝10，求明文M。

解：由n＝35，易知35＝5×7，进而ϕ(n)=ϕ(35)=24，由RSA加密体制可知，ed≡1 mod ϕ(n)，即5d≡1 mod 24，所以d＝5∴M=C d mod n＝105 mod 35＝511. 已知c d mod n的运行时间是O(log3n)，用中国剩余定理改进RSA的解密运算。

如果不考虑中国剩余定理的计算代价，证明改进后的解密运算速度是原解密运算速度的4倍。

证明：RSA的两个大素因子p，q的长度近似相等，约为模数n的比特长度log n的一半，即(log n)/2，而在中国剩余定理中要计算模p和模q两个模指数运算，与c d mod n的运行时间规律相似，每一个模指数运算的运行时间仍然是其模长的三次幂，即O[((log n)/2)3]= O(log3n)/8，这样在不考虑中国剩余定理计算代价的情况下，总的运行时间为两个模指数的运行时间之和，即O(log3n)/8＋O(log3n)/8＝O(log3n)/4，得证。

12. 设RSA加密体制的公开钥是(e，n)＝(77，221)。

(1) 用重复平方法加密明文160，得中间结果为1602(mod 221)=185，1604(mod 221)=191，1608(mod 221)=16，16016(mod 221)=35，16032(mod 221)=120，16064(mod 221)=35，16072(mod 221)=118，16076(mod 221)=217，16077(mod 221)=23，若敌手得到以上中间结果就很容易分解n，问敌手如何分解n解：由以上中间结果得16016(mod 221)=35＝16064(mod 221)，此即16064－16016=0 (mod 221)即(16032－1608) (16032+1608)=0 (mod 221)(120－16)(120＋16)=0 (mod 221)104×136＝0 (mod 221)由gcd(104,221)=13及gcd(136,221)=17，可知221的分解为221＝13×17(2) 求解密密钥dd＝e－1mod ϕ(221)=77-1 mod 12×16由扩展Eucild算法可得d＝5。

(a)(b)图4-2 两种溶质再分配情况下凝固过程固液、液相成分随距离的分布第四章课后作业练习一一、判断题（T 或F ）1、溶质再分配既受溶质扩散性质的制约，也受液相中的对流强弱等诸种因素的影响。

2、溶质再分配只影响凝固过程溶质宏观及微观分布及最终成分偏析现象，而不影响凝固组织形貌和晶粒大小，也不影响热裂、气孔等凝固缺陷的形成。

3、图4-1所示成分为C 0的合金熔体，实际凝固结束时，其组织中只有单相固溶体。

4、虽然实际凝固过程中固、液两相成分不可能完全遵从平衡相图来分配，凝固理论认为，固-液界面处成分C *S 与C *L 的比值在任一瞬时仍符合相应的溶质平衡分配系数K 0（处于局部平衡状态）。

这被称为“界面平衡假设”。

5、“平衡凝固”条件下，凝固后零件断面的成分均匀地为C S =C 0。

所以“平衡凝固”开始时晶体析出的成分即为C 0。

6、对于“平衡凝固”及“液相充分混合”所假设的溶质再分配条件下，固-液界面前沿不存在溶质富集层，即界面处及其前方的液相成分处处相同。

7、在“平衡凝固”及“液相充分混合”所假设的溶质再分配条件下，固-液界面处的固相及液相成分C *S 、C *L 随凝固过程的进行均始终在不断升高。

8、在“液相只有有限扩散”以及 “液相中部分混合（有对流作用）”溶质再分配条件下，固-液界面处的固相及液相成分C *S 、C *L 随凝固过程的进行始终不断升高。

9、在“液相只有有限扩散”以及液相容积很大的“液相中部分混合（有对流作用）”溶质再分配条件下，当达到稳定状态时，界面处及其前方液相成分均符合0)'(=∂∂tx C L ，且溶质富集层以外的成分均为C L =C 0。

二、解答题1、图4-2所示，为两种溶质再分配情况下凝固过程固液、液相成分随距离的分布。

（1） 分别指出图（a ）及图(b)各属于哪种溶质再分配情况。

（2） 简述图(b)中C s C S =*、C L L C =*的物理内涵及原因。

第四章作业第一题：已知系统零初始条件下的单位阶跃响应分别如下，分别求它们脉冲响应与传递函数。

（1）y (t )=1+e -t –e -2t （2）y (t )=e -t -e -2t解：由单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系，得单位脉冲响应为 （1）g (t )=δ(t)-e -t +2e -2t ，对应的传递函数为12()112G s s s =-+++ （2）g (t )=-e -t +2e -2t ，对应的传递函数为12()12G s s s =-+++第二题：已知单位负反馈系统结构图如图所示。

求 （1）K ＝50时系统单位阶跃响应的超调量；(4.3%)（2）K 取何值才能使系统单位阶跃响应的超调量为 10% ；(K =71.6) （3）K ＝50时系统的单位斜坡响应与单位抛物线响应。

解：（1）闭环系统特征多项式50102++s s，707.0,25==ζωn 。

代入p e100%σ=⨯得到πp e 100% 4.3%σ-=⨯=。

（2）由p e100%σ=⨯πln(/100)σ-=。

令βζcos =得到πtan ln(/100)βσ-=。

将p 10%σ=代入得到πarctan[]arctan1.3640.938ln(/100)βσ-===。

因此591.0=ζ。

闭环系统特征多项式K s s ++102，K K n /5,==ζω。

因此有591.0/5=K ，得到6.71=K 。

（3）斜坡响应22150()1050Y s s s s =++，反Laplace 变换，便可得。

抛物线响应32150()1050Y s s s s =++，反Laplace 变换，得可得。

第三题：某闭环系统如下图所示，控制器采用PI 控制，i n 0.6,0.7,2T ζω===，试分析计算该系统是否为欠阻尼，并在单位阶跃信号下计算上升时间、峰值时间、超调量、调节时间。

解：由题可得，系统的闭环传递函数为22i n n 32223232i n i i n n 2.444203()20.6 1.68 2.44 2.842034203( 2.32)(0.24 1.68i)(0.24 1.68i)T s s s s T s T s T s s s s s s s s s s s ωωζωωω+++Φ===++++++++++=++-++显然该系统存在主导极点，降阶为24(53) 2.88(0.61)() 2.32(0.24 1.68i)(0.24 1.68i)+0.48+2.88s s s s s s s +⨯+Φ==+-++这是一个含有零点的二阶系统，显然是一个欠阻尼系统，且有n 1.70,0.14ωζ==。

第四章热分析作业一、什么是热重分析（英文缩写）？(Thermogravimetric Analysis)，TG热重法：在程序控制温度下，测量物质的质量与温度或时间的关系的一种技术。

二、什么是差热分析（英文缩写）？Differential Thermal Analysis，DTA差热分析是在程序控制温度下，测量物质与参比物之间的温度差与温度或时间关系的一种技术。

三、影响差热曲线的主要因素是什么？老师课件：1. 升温速度的影响2.气氛的影响3．试样特性的影响4.试样量及粒度的影响5.试样的结晶度、纯度和离子取代6.试样的装填7. 参比物的选择课本：内因：1.晶体结构的影响2.阳离子电负性、离子半径及电价的影响3.氢氧离子浓度的影响外因：1.加热速度2.试样的形状、称量及装填3.压力和气氛的影响4.试样粒度的影响四、哪些反应过程是吸热反应？哪些过程是放热反应？放热：熔融、重结晶、氧化反应、燃烧、晶格重建及形成新矿物吸热：熔化、脱水反应、分解反应、还原反应、蒸发、升华、气化和晶格破坏等五、什么是外推起始点温度？在差热曲上，曲线开始偏离基线那点的切线与曲线最大斜率切线的交点。

（课本）在峰的前沿最大斜率点的切线与外推基线的交点六、差热曲线鉴定物质的依据是什么？优先考虑什么？鉴定物质的依据是：峰位置所对应的温度尤其是外延起始温度是鉴别物质及其变化的定性依据，峰面积是反映热效应总热量，是定量计算热效应的依据，峰的形状则可求得热效应的动力学参数；试样在升温或降温过程中的物理化学变化是试样本身的热特性，相对应差热曲线也具有其本身特性，借此可以判定物质的组成及反应机理。

优先考虑的是峰位置及峰面积，根据峰位置定性鉴别物质，测出反应峰的面积可求出ΔH，从而确定反应物质的名称及含量七、什么是差示扫描量热分析（英文缩写）？Differential Scanning C alorimetry，DSC)差示扫描量热法(DSC)是在程序控制温度下，测量输给试样和参比物的功率差与随温度间关系的一种技术八、差示扫描量热分析仪有哪两种类型?各自的特点?这种技术可分为功率补偿式差示扫描量热法和热流式差示扫描量热法。

第四章生产者选择（1）一、选择题1、边际收益递减规律发生作用的前提是（ D ）A．存在技术进步B．生产技术水平不变C．只有一种可变要素的生产D．B与C2、当边际产量大于平均产量时，（ A ）A．平均产量增加B．平均产量减少C．平均产量不变D．平均产量达到最低点3、在规模报酬不变阶段，若劳动的使用量增加10%，资本的使用量不变，则（ D ）A．产出增加10% B．产出减少10% C．产出的增加大于10% D．产出的增加小于10%4、当劳动的（L）总产量下降时，（ C ）A/劳动的平均产量为负B劳动的平均产量为零C劳动的边际产量为负D劳动的边际产量为零5、当劳动的平均产量为正但递减时，劳动的边际产量是（ D ）A正 B 零C负D以上情况都有可能6、下列说法中错误的一种说法是（ B ）A只要总产量减少，边际产量一定是负数B只要边际产量减少，总产量一定也减少C随着某种生产要素投入量的增加，边际产量和平均产量增加到一定程度将趋于下降D边际产量曲线一定在平均产量曲线的最高点与之相交7、当劳动L的边际产量为负时，我们是处于（ C ）A L的第一阶段B L的第二阶段C 的第三阶段D 上述都不是8、等产量曲线是指在这条曲线上的各点代表（D ）A．为生产同等产量投入要素的各种组合比例是不能变化的B．为生产同等产量投入要素的价格是不变的C．不管投入各种要素量如何，产量总是相等的D．投入要素的各种组合所能生产的产量都是相等的9、如果连续地增加某种生产要素，在总产量达到最大时，边际产量曲线（ D ）A. 与纵轴相交B. 经过原点C. 与平均产量曲线相交D. 与横轴相交10、如果等成本线与等产量线没有交点，那么要生产等产量曲线所表示的产量，应该（B ）A. 增加投入B. 保持原投入不变C. 减少投入D. 上述均不正确11、等成本曲线围绕着它与纵轴（Y）的交点逆时针移动表明（ C ）A生产要素Y的价格上升了B生产要素X的价格上升了C生产要素X的价格下降了D生产要素Y的价格下降了四、分析讨论题1、已知生产函数Q=AL1/3K2/3，判断：（1）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律支配？（提示判断dMP/dL 的值是大于零还是小于零）（2）长期属于规模报酬的哪一种类型？解：（1）因为Q=F(L、K)=AL1/3K2/3，于是有：F(tL、tK)= A(tL)1/3(tK)2/3=t·F(L、K)所以，生产函数Q=AL1/3K2/3属于规模报酬不变的生产函数。

第四章生产者选择（1）一、选择题1、边际收益递减规律发生作用的前提是（ D ）A．存在技术进步B．生产技术水平不变C．只有一种可变要素的生产D．B与C2、当边际产量大于平均产量时，（ A ）A．平均产量增加B．平均产量减少C．平均产量不变D．平均产量达到最低点3、在规模报酬不变阶段，若劳动的使用量增加10%，资本的使用量不变，则（ D ）A．产出增加10% B．产出减少10% C．产出的增加大于10% D．产出的增加小于10%4、当劳动的（L）总产量下降时，（ C ）A/劳动的平均产量为负B劳动的平均产量为零C劳动的边际产量为负D劳动的边际产量为零5、当劳动的平均产量为正但递减时，劳动的边际产量是（ D ）A正 B 零C负D以上情况都有可能6、下列说法中错误的一种说法是（ B ）A只要总产量减少，边际产量一定是负数B只要边际产量减少，总产量一定也减少C随着某种生产要素投入量的增加，边际产量和平均产量增加到一定程度将趋于下降D边际产量曲线一定在平均产量曲线的最高点与之相交7、当劳动L的边际产量为负时，我们是处于（ C ）A L的第一阶段B L的第二阶段C 的第三阶段D 上述都不是8、等产量曲线是指在这条曲线上的各点代表（D ）A．为生产同等产量投入要素的各种组合比例是不能变化的B．为生产同等产量投入要素的价格是不变的C．不管投入各种要素量如何，产量总是相等的D．投入要素的各种组合所能生产的产量都是相等的9、如果连续地增加某种生产要素，在总产量达到最大时，边际产量曲线（ D ）A. 与纵轴相交B. 经过原点C. 与平均产量曲线相交D. 与横轴相交10、如果等成本线与等产量线没有交点，那么要生产等产量曲线所表示的产量，应该（B ）A. 增加投入B. 保持原投入不变C. 减少投入D. 上述均不正确11、等成本曲线围绕着它与纵轴（Y）的交点逆时针移动表明（ C ）A生产要素Y的价格上升了B生产要素X的价格上升了C生产要素X的价格下降了D生产要素Y的价格下降了四、分析讨论题1、已知生产函数Q=AL1/3K2/3，判断：（1）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律支配？（提示判断dMP/dL 的值是大于零还是小于零）（2）长期属于规模报酬的哪一种类型？解：（1）因为Q=F(L、K)=AL1/3K2/3，于是有：F(tL、tK)= A(tL)1/3(tK)2/3=t·F(L、K)所以，生产函数Q=AL1/3K2/3属于规模报酬不变的生产函数。

(a)(b)图4-2 两种溶质再分配情况下凝固过程固液、液相成分随距离的分布第四章课后作业练习一一、判断题（T 或F ）1、溶质再分配既受溶质扩散性质的制约，也受液相中的对流强弱等诸种因素的影响。

2、溶质再分配只影响凝固过程溶质宏观及微观分布及最终成分偏析现象，而不影响凝固组织形貌和晶粒大小，也不影响热裂、气孔等凝固缺陷的形成。

3、图4-1所示成分为C 0的合金熔体，实际凝固结束时，其组织中只有单相固溶体。

4、虽然实际凝固过程中固、液两相成分不可能完全遵从平衡相图来分配，凝固理论认为，固-液界面处成分C *S 与C *L 的比值在任一瞬时仍符合相应的溶质平衡分配系数K 0（处于局部平衡状态）。

这被称为“界面平衡假设”。

5、“平衡凝固”条件下，凝固后零件断面的成分均匀地为C S =C 0。

所以“平衡凝固”开始时晶体析出的成分即为C 0。

6、对于“平衡凝固”及“液相充分混合”所假设的溶质再分配条件下，固-液界面前沿不存在溶质富集层，即界面处及其前方的液相成分处处相同。

7、在“平衡凝固”及“液相充分混合”所假设的溶质再分配条件下，固-液界面处的固相及液相成分C *S 、C *L 随凝固过程的进行均始终在不断升高。

8、在“液相只有有限扩散”以及 “液相中部分混合（有对流作用）”溶质再分配条件下，固-液界面处的固相及液相成分C *S 、C *L 随凝固过程的进行始终不断升高。

9、在“液相只有有限扩散”以及液相容积很大的“液相中部分混合（有对流作用）”溶质再分配条件下，当达到稳定状态时，界面处及其前方液相成分均符合0)'(=∂∂tx C L ，且溶质富集层以外的成分均为C L =C 0。

二、解答题1、图4-2所示，为两种溶质再分配情况下凝固过程固液、液相成分随距离的分布。

（1） 分别指出图（a ）及图(b)各属于哪种溶质再分配情况。

（2） 简述图(b)中C s C S =*、C L L C =*的物理内涵及原因。

本章作业：1.p98:11（实验题）；5；2.p103:7；3.p105：2,3；4.p113:3第四章作业分析p98:习题4.14.1.5.求下列递推式的解的增长次数。

（郑雪） a. T(n) = 4T( n/2 ) + n ， T(1)=1 b. T(n) = 4T( n/2 ) + 2n ，T(1)=1 c. T(n) = 4T( n/2 ) + 3n ，T(1)=1解：解：由通用分治递推式：T (n) = a T (n/b) + f(n)，a . a=4, b=2, f(n) = n = n d ⇒ d=1b d =2 < a =4⇒T (n )∈242b aΘΘΘlog log （n）= （n ）= （n ）。

b . a=4, b=2, f(n) = n2= n d ⇒ d=2b d=2 = a =4⇒T (n )∈2d ΘΘ（n log n ）= （n log n ）。

C . a=4, b=2, f(n) = n 3= n d ⇒ d=3bd=8 > a =4⇒T (n )∈3d ΘΘ（n ）= （n ）。

√p103: 习题4.24.2.7、对快速排序在平均情况下的递推公式求解。

（罗雨欣）解：==n+1+=n+1+两边同乘以n 得：n =n(n+1)+2 ①n=n-1时，有：(n-1)=(n-1)n+2 ② 两式相减 ①- ②：n=2n+(n+1)③③等式两边同除以n(n+1)有：=+令=B(n)，则B(n)=B(n-1)+(n) 由有B(0)=0，B(1)=1此式可归纳为B(n)=2，所以B(n)=2A(n+1)-3,其中A(n+1)=，下面证明1++++……+= ln(n+1)+r(r为常量)Newton幂级数：ln(1+)=-+-……+于是，= ln(1+)+-……带入x=1,2,3…n，就给出：=ln(2)+-+-……=ln()+-+-…………=ln()+-+……将上面带入x后的所有等式相加有：1++++...+= ln(n+1)+(1+++…+)-(1+++…+)+ ……，可以确定的是每一个括号中的级数都是收敛的，故我们可以定义=1++++……+= ln(n+1)+r(r为欧拉常数，约为0.577)ln(n+1) ∴A(n+1)=ln(n+1)，B(n)= 2A(n+1)-3 2 ln(n+1)，=(n+1)B(n)=2(n+1) ln(n+1)2nln n，得证！习题4.3 p105：（罗雨欣）4.3.2. 当n = 2k 时，用反向替换法求下面的递推方程：log 2 n当 n > 1 时，worst C （n ）= worst C （⎣⎦2/n ）+ 1 ，worst C （1） = 1 解法1：左边：worst C （n ） =worst C （2k ）= ⎣⎦n log 2+ 1 = ⎣⎦k + 1 = k + 1右边：worst C （⎣⎦2/n ）+ 1 =worst C （⎣⎦12-k ）+ 1 =worst C （2k-1）+ 1 = ⎣⎦122log-k + 1 + 1 = ⎣⎦1 k - + 2 = k + 1解法2当n=时，用反向替换法求下面的递推方程：当n>1时，=+1，=1（罗雨欣）解： 因为n=，n>1 将其带入方程可得:=+1 且 =1做反向替换：=+1 =+2 =+3=…=+i=…+k∴=1+k 又∵k=∴=+14.3. 3、a.证明下面的等式：（罗雨欣） 当n 1时，+1=b.请证明，对于大于0的任意奇数，方程=+1是递推关系(4.2)的解。