人教版数学高一-必修2学案 2.4平行与垂直综合问题

3.1.2两条直线平行与垂直的判定基础梳理1．两条直线平行的判定．两条不重合的直线平行的条件是(斜率都存在)：它们的斜率相等．即：α1＝α2⇔l1∥l2⇔k1＝k2.上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．例如：已知两不重合直线的倾斜角都为0°，则这两直线平行．已知两不重合直线的倾斜角都为90°，则这两直线平行．2．两条直线垂直的判定．探究两直线l1，l2垂直时，它们的斜率k1，k2的关系．(1)l1，l2的倾斜角α1＝90°，α2＝0°时，斜率k1不存在；k2＝0，此时两直线垂直．(2)两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1.反之亦然，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1．例如：已知直线l1的斜率为3，l2的斜率为－13，则l1⊥l2.►思考应用1．当两条直线的斜率相等时，两条直线一定平行吗？解析：一定，课本说“两条直线时，一般是指两条不重合的直线”．2．当直线l1⊥l2时，它们的倾斜角α1，α2的关系是什么(α1<α2)? 解析：α2＝90°＋α1.自测自评1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(B)A．－3 B．3 C．－13D.132．过点A(1，2)和B(－3，2)的直线与直线y＝0的位置关系是(B) A．相交B．平行C．重合D．垂直3．直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(D) A. 3 B．－ 3C.33D．－334．经过点(m，3)和(－2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是2．题型一两条直线平行与垂直的关系(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－a3，题型二两直线平行与垂直的应用基础达标1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.其中正确的为(B )A ．①②③④B ．①③C ．②④D ．以上全错2．给定三点A(1，0)、B(－1，0)、C(1，2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点(A )A ．(0，1)B ．(0，0)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：∵k BC ＝2－01－（－1）＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.又∵k ＝1－00－1＝－1， ∴直线过点(0，1)．3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝(A )A ．2B ．－2C ．4D ．14．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS.正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4·k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS.而k PS ≠k QS ，所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C .5．下列各对直线不互相垂直的是(C )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，3)B ．l 1的斜率为－23，l 2过点A(1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12C ．l 1的倾斜角为30°，l 2过点P(3，3)，Q(4，23)D ．l 1过点M(1，0)，N(4，－5)，l 2过点A(－6，0)，S(－1，3)6．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是(D )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形7．确定l 1与l 2的位置关系(填“∥”或“⊥”)(1)l 1过点A(2，3)，B(－1，0)，l 2过点P(1，0)且斜率为1，则l 1________l 2.(2)l 1过点C(3，1)，D(－2，0)，l 2过点M(1，－4)且斜率为－5，则l 1________l 2.解析：(1)∵kl 1＝3－02＋1＝1，∴l 1∥l 2. (2)kl 1＝15，∴kl 1·kl 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 答案：(1)∥ (2)⊥ 巩固提升8．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________．解析：由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2， 则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b 2＝－1，解得b ＝2； 当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34， 解得b ＝－2k 1·k 2＝－98. 答案：2 －989．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.10．已知四边形MNPQ 的顶点M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ 为矩形．证明：∵k MN ＝1＋11－3＝－1，k PQ ＝2－02－4＝－1，∴MN ∥PQ.又∵k MQ ＝2－12－1＝1，k NP ＝0＋14－3＝1，MQ ∥NP ，∴四边形MNPQ 为平行四边形．又∵k MN·k MQ＝－1，∴MN⊥MQ.∴四边形MNPQ为矩形．1．对垂直与平行关系的理解应注意，当两直线的斜率相等时，并不一定两直线平行，还要注意判断一下两直线是否重合．2．无论是判断两条直线平行还是垂直，都需注意对特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．3．利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标求出各边斜率，再根据斜率判断各边所在直线的位置关系，进而得知形状．在求斜率、求点的坐标等问题时经常用到这两类关系．。

2．3.4 平面与平面垂直的性质1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线面的垂直关系．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．文字语言两个平面垂直，则__________垂直于____的直线与另一个平面______ 符号语言图形语言作用证明直线与平面______平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．【做一做】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作E F⊥A1B1于F，则E F与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．E F平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直答案：一个平面内交线垂直aαa⊥l垂直【做一做】D1．理解平面与平面垂直的性质定理剖析：(1)定理成立的条件有两个：①直线在其中一个平面内；②直线与两个平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．(3)遇到面面垂直的问题时，通常经过此定理转化为线面垂直．(4)若两个平面垂直，过其中一个平面内一点垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内．2．线线垂直、线面垂直和面面垂直之间的关系剖析：线面垂直是线线垂直和面面垂直的纽带．对于面面垂直的判定和性质定理，可借助于长方体进行抽象概括．首先由线面垂直的定义可知，若线面垂直，则线和面内任意直线都垂直；根据线面垂直的判定定理，若直线垂直于平面内的两条相交直线，则线面垂直；然后根据面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，我们可以简记为“线面垂直，则面面垂直”；同样根据面面垂直的性质定理，我们还可证得，若面面垂直，则线面垂直．由上可得，利用线面垂直，可以证明线线垂直，也可以实现面面垂直的证明．因此，我们可以说线面垂直是线线垂直、面面垂直的纽带，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直的相互转化．题型一：性质定理的应用【例1】如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.反思：若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理时，要注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．题型二：计算问题【例2】如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD 分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长．反思：在空间中求线段长度的问题一般在三角形中求解，如果已知垂直关系较多，通常最终转化为线线垂直，即在直角三角形中求线段长度．答案：【例1】证明：∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面SCD.又∵BC平面SBC，∴平面SCD⊥平面SBC.【例2】解：∵AC⊥l，AC＝3 cm，AB＝4 cm，∴BC＝5 cm.∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BDβ，∴BD⊥α.又BCα，∴BD⊥BC.在Rt△BDC中，DC＝BD2＋BC2＝13 cm.1．如图所示，三棱锥P-ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ＝PB ，AD ＝DB ，则( )A ．PD 平面ABCB ．PD ⊥平面ABC C ．PD 与平面ABC 相交但不垂直 D ．PD ∥平面ABC2．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n β，n ⊥l ，直线m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是__________．3．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA ′⊥A ′B ′，BB ′⊥A ′B ′，且AA ′＝3，BB ′＝4，A ′B ′＝2，则三棱锥A-A ′BB ′的体积V ＝__________.4．如图所示，P 是菱形ABCD 所在平面外的一点，且∠DAB ＝60°，边长为a.侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，PB 与平面AC 所成的角为θ，则θ＝__________.5．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E ，F 分别为PC ，BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD.(1)求证：E F ∥平面PAD ； (2)求三棱锥C-PBD 的体积．答案：1．B 2.平行 3.4 4.45°5．解：(1)证明：连接AC，如图所示，则F是AC的中点，又E为PC的中点，∴EF∥PA.又∵PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)取AD的中点N，连接PN，如图所示．∵PA＝PD，∴PN⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN平面PAD，∴PN⊥平面ABCD，∴V C-PBD＝V P-BCD＝13S△BCD·PN＝1 3·12a a⎛⎫⋅⎪⎝⎭·12a＝312a.。

3．1.2 两条直线平行与垂直的判定1．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2．能根据两条直线的平行或垂直关系确定两条直线斜率的关系．1．平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2k ．1．＝．k ．2．.(1)当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．(2)直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＝k 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(3)对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2α＝β. 【做一做1】 已知直线l 1∥l 2，直线l 2的斜率k 2＝3，则直线l 1的斜率k 1等于( )A ．可能不存在B ．3 C.13 D ．－132．垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果两条直线的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．【做一做2】 已知直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＝2，l 1⊥l 2，则k 2＝__________.答案：【做一做1】 B【做一做2】 －12平面上两条直线的位置关系剖析：平面上两条直线的位置关系共有三种：平行、相交和重合．我们知道，确定一条直线需要两个基本量，一个是确定直线倾斜程度的量——倾斜角，另一个是确定直线位置的量——直线上一点，所以在研究直线位置关系时可以从这两个基本量入手．(1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同；(3)相交：倾斜角不同．垂直关系是相交关系的一种特殊情况，从倾斜角来看，两条直线如果垂直，那么它们的倾斜角相差90°，在相交关系中，除了垂直这种特殊情况外，更多的情况是两条直线相交成一个非直角的角度，这时就需要用两条直线的夹角来研究了．当然，如果两条直线的斜率都存在，以上位置关系也可以用直线的斜率和直线上一点来加以说明．题型一：判断两直线平行或垂直【例1】判断下列各小题中的不同直线l1与l2是平行还是垂直：(1)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(2)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(0，－2)；(3)l1经过点A(1,3)，B(1，－4)，l2经过点M(2,1)，N(2,3)；(4)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)．反思：判断两条直线l1与l2平行还是垂直时，当它们的斜率都存在时，若k1k2＝－1，则l1⊥l2；若k1＝k2，再从l1和l2各取一点P，Q，并计算k PQ，当k PQ≠k1＝k2时，l1∥l2，当k PQ＝k1＝k2时，l1与l2重合；当它们有一条直线不存在斜率时，画出图形来判断它们是平行还是垂直，如本题(3)和(4)．题型二：平行条件的应用【例2】已知ABCD的三个顶点分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标．反思：解决与平行有关的问题时，常借助于它们的斜率之间的关系来解决，即不重合的两条直线l1与l2平行k1＝k2或k1与k2都不存在．题型三：垂直条件的应用【例3】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．反思：解决与垂直有关的问题时，常借助于它们的斜率之间的关系来解决，即l1⊥l 2k 1k 2＝－1或k 1与k 2中一个为0，一个不存在．题型四：易错辨析易错点 判断两条直线位置关系时常忽视重合【例4】 已知直线l 1经过点A(－3，－5)，B(0,1)，直线l 2经过点C(－1，－1)，D(4,9)，则l 1与l 2的位置关系是__________．错解：∵直线l 1的斜率k 1＝1＋50＋3＝2，直线l 2的斜率k 2＝9＋14＋1＝2，∴k 1＝k 2， ∴l 1∥l 2，故填平行．错因分析：当k 1＝k 2时，有l 1∥l 2或l 1与l 2重合．反思：已知两条直线l 1与l 2的斜率相等，不能确定它们平行，还可能重合．此时，可画图来进一步确定，也可以分别在l 1与l 2上取两点，求出过这两点的直线的斜率．若这个斜率与k 1，k 2相等，则l 1与l 2重合；若这个斜率与k 1，k 2不相等，则l 1∥l 2.答案：【例1】 解：(1)直线l 1的斜率k 1＝0－11－0＝－1，直线l 2的斜率k 2＝3－0－1－2＝－1，故k 1＝k 2.又直线AM 的斜率k AM ＝3－1－1－0＝－2≠k 1，故l 1∥l 2. (2)直线l 1的斜率k 1＝2＋21＋1＝2，直线l 2的斜率k 2＝－1＋2－2－0＝－12， 则k 1k 2＝－1.故l 1⊥l 2.(3)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率也不存在，画出图形，如图所示，则l 1⊥x 轴，l 2⊥x 轴，故l 1∥l 2.(4)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率k 2＝1－12－1＝0. 画出图形，如图所示，则l 1⊥x 轴，l 2⊥y 轴，故l 1⊥l 2.【例2】 解：设点D (m ，n )，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得m ＝3，n ＝4.所以顶点D 的坐标为(3,4)．【例3】 解：由题意知l 2的斜率k 2一定存在，l 1的斜率可能不存在．(1)当l 1的斜率不存在时，3＝a －2，即a ＝5，此时k 2＝0，则l 1⊥l 2，满足题意．(2)当l 1的斜率k 1存在时，a ≠5，由斜率公式，得k 1＝3－aa －2－3＝3－a a －5，k 2＝a －2－3－1－2＝a －5－3. 由l 1⊥l 2，知k 1k 2＝－1，即3－a a －5×⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5－3＝－1，解得a ＝0. 综上所述，a 的值为0或5.【例4】 重合1．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，则直线AB与直线CD()A．平行B．垂直C．重合D．以上都不正确2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形3．直线l1经过点A(3,4)，B(5,8)，直线l2经过点M(1，－2)，N(0，b)，且l1∥l2，则实数b＝__________.4．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝__________.5．已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(1,2)，B(－4,6)，C(－8,5)，D(－3,1)，试判断四边形ABCD是否是平行四边形．答案：1．A 2.C 3.－4 4.5 25．解：AB边所在直线的斜率k AB＝624 415 -=---，DC边所在直线的斜率k DC＝5183--+＝－45，BC边所在直线的斜率k BC＝561 844 -=-+，AD边所在直线的斜率k AD＝121 314 -=--.∵k AB＝k DC，k BC＝k AD，∴AB∥DC，BC∥AD.∴四边形ABCD是平行四边形．。

立体几何平行和垂直知识讲解知识点1 点、线、面一、平面的基本性质二、空间直线的位置关系1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设ba,是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线bbaa//',//'，把'a与'b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．I,,Pl P l且且三、直线与平面的位置关系llAα//l知识点2 线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭注意：⑴三垂线指AO PO PA ,,都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。

知识点3 线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。

直线l 与平面α垂直记作：α⊥l 。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

知识点4 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

课题：两条直线的平行与垂直课型：新授课教学目标：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．教学过程：(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系) ∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α2． L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.例题分析：例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例3．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.例4.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略) 课堂练习P89 练习 1. 2.归纳小结：(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3)应用直线平行的条件, 判定三点共线. 作业布置：P89-90 习题3.1：A组 5. 8；课后记:。

2.2.4平面与平面平行的性质学习目标核心素养1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的性质定理并加以证明．(重点)2．能用文字语言、符号语言和图形语言准确描述平面与平面平行的性质定理，并知道其地位和作用．(重点)3．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些与空间面面平行关系有关的简单问题．(难点)通过学习平面与平面平行的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养．平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言[提示]不一定．它们可能异面．1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面A[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.]2．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则()A. l∥βB. l⊂βC. l∥β或l⊂βD. l, β相交C[假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.]3．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．②[由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．]平面与平面平行性质定理的应用[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？[提示]必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？[提示]联系如下：【例1】如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且P A＝6，AC＝9，PD ＝8，求BD的长．[解] 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ， 因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P AAC ＝PB BD ，即69 ＝8－BD BD .所以BD ＝245.1．将本例改为：若点P 在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD 的长．[解] 与本例同理，可证AB ∥CD . 所以P A PC ＝PB PD ，即63 ＝BD －88 ， 所以BD ＝24.2. 将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25 ，则AC ＝________．15 [由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52 ×6＝15.]3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a 与这三个平面依次交于点A 、B 、C ，直线b 与这三个平面依次交于点E 、F 、G . 求证：AB BC ＝EF FG .[证明]连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG. 因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以ABBC＝AHHG＝EFFG.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：平行关系的综合应用【例2】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面P AD.[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴P A∥平面BMD，又∵P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴P A∥GH.又P A⊂平面P AD，GH⊄平面P AD，∴GH∥平面P AD.1．证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2)公理4.(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．2. 证明直线与平面平行的方法：(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．[跟进训练]如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.[证明]由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.1．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交D[如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．]①②③2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线D[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．]3．用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H. 若A1A>A1C1，则截面的形状可以为________．(填序号)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．②⑤[当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．]4．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点．求证：MN∥平面ADD1A1.[证明]如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，所以MK∥AD，NK∥DD1，所以MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A1.又MK∩NK＝K，MK，NK⊂平面MNK，所以平面MNK∥平面ADD1A1.因为MN⊂平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

《平行与垂直》教案(平行与垂直优质课教案)•课程介绍与目标•平行线性质及判定方法•垂直线性质及判定方法目录•平行与垂直在生活中的应用•典型例题分析与解答技巧•学生自主练习与互动环节•总结回顾与拓展延伸课程介绍与目标平行与垂直概念引入0102教学目标与要求知识目标掌握平行与垂直的定义、性质及判定方法。

能力目标能够运用平行与垂直的知识解决实际问题，如证明线段相等、角相等等。

情感态度与价值观培养学生观察、思考、归纳、总结的能力，以及严谨、认真的学习态度。

课程安排与时间课程安排时间安排平行线性质及判定方法平行线定义及性质平行线定义平行线的性质判定两直线平行方法内错角相等法同位角相等法两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

同旁内角互补法平行线间距离公式垂直线性质及判定方法垂直线定义及性质定义性质垂直是相交的一种特殊情况，两条直线垂直时，它们之间的夹角为90度，且垂足是唯一的。

判定两直线垂直方法方法一01方法二02方法三03垂线段最短原理原理内容应用场景平行与垂直在生活中的应用建筑设计中应用垂直线在建筑设计中用于创造立体感和层次感。

例如，在建筑立面设计中，垂直线条可以突出建筑的高度和挺拔感，增强视觉效果。

道路交通标志识别其他生活场景应用平行与垂直在美术设计中也有广泛应用。

例如，在绘画、摄影等艺术作品中，艺术家可以利用平行与垂直的构图原则来创造和谐、平衡的美感。

在工程制图中，平行与垂直是基本的绘图原则。

例如，在机械制图、建筑制图等领域中，工程师需要使用平行线和垂直线来绘制精确的图纸，以确保工程的准确性和可行性。

在地理学和地质学中，平行与垂直也有重要应用。

例如，地质学家可以使用地层中的平行线和垂直线来判断地层的走向、倾斜角度等地质特征。

典型例题分析与解答技巧理解定义和性质图形分析排除法030201判断题和选择题答题技巧计算题和证明题解题思路明确已知和未知画图辅助逐步推导易错难点和注意事项避免将平行线和垂线混淆，特别是在复杂的图形中。

《平行与垂直》教案一、教学目标：知识与技能：1. 学生能够理解平行和垂直的概念，并能够识别生活中的平行和垂直现象。

2. 学生能够运用平行和垂直的知识解决实际问题。

过程与方法：1. 学生通过观察、操作、交流等活动，培养观察能力和动手能力。

2. 学生通过合作探究，培养团队协作能力和问题解决能力。

情感态度与价值观：1. 学生培养对数学的兴趣和好奇心。

2. 学生培养积极主动参与学习的习惯。

二、教学内容：1. 平行和垂直的概念及特征。

2. 生活中的平行和垂直现象。

3. 运用平行和垂直的知识解决实际问题。

三、教学重点与难点：重点：1. 平行和垂直的概念及特征。

2. 生活中的平行和垂直现象。

难点：1. 运用平行和垂直的知识解决实际问题。

四、教学方法：观察法、操作法、交流法、合作探究法。

五、教学准备：1. 教学PPT。

2. 教学素材（图片、实物等）。

3. 学生活动材料。

六、教学过程：1. 导入：通过生活实例引入平行和垂直的概念，激发学生的兴趣。

2. 新课导入：介绍平行和垂直的定义及特征。

3. 实例分析：分析生活中的平行和垂直现象，让学生感受数学与生活的联系。

4. 实践操作：学生动手操作，体验平行和垂直的性质。

5. 合作探究：学生分组讨论，探究平行和垂直在生活中的应用。

6. 总结提升：教师引导学生总结本节课所学内容。

7. 练习巩固：布置课后练习，巩固所学知识。

七、课后反思：教师在课后对自己的教学进行反思，了解学生的学习情况，针对存在的问题进行调整教学策略。

八、作业设计：1. 观察生活中的平行和垂直现象，并进行记录。

2. 运用所学知识解决实际问题。

九、评价方式：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、发言情况等。

2. 课后练习：检查学生的作业完成情况，了解学生的掌握程度。

3. 实践应用：评估学生在实际生活中的应用能力。

十、教学拓展：1. 邀请相关领域的专家进行讲座，加深学生对平行和垂直知识的理解。

2. 组织实践活动，让学生亲身体验平行和垂直在生活中的应用。

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质【教学目标】1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；2.能运用性质定理解决一些简单问题；3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系》课件“新课导入”部分，通过尝试或者互相交流，找到问题的答案，引发学习的兴趣.二、自主学习知识点一直线与平面垂直的性质文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言图形语言知识点二文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言问题1在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行.问题2黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.探究点1直线与平面垂直的性质定理例1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.解因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.反思与感悟证明线线平行的常用方法有：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．探究点2平面与平面垂直的性质定理例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.证明(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．探究点3线线、线面、面面垂直的综合问题例3如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.证明∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内，作AE⊥BC 于点E，如图，则AE⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AE⊥CD.又BC⊥CD，AE∩BC＝E，AE、BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴AB⊥CD.又AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD.∴AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.反思与感悟在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：四、当堂测试1．已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定答案 C解析因为l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.2．已知平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则()A．l∥γB．l⊂γC．l与γ斜交D．l⊥γ答案 D解析如图，在γ面内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m，所以OE⊥面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ.3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③答案 D解析∵l⊥α，α∥β，m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．4.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.证明因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SCD.又因为BC⊂平面SBC，所以平面SCD⊥平面SBC.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?1．垂直关系之间的相互转化2．平行关系与垂直关系之间的相互转化3．判定线面垂直的方法主要有以下五种①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理；④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面， ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β.。