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48总复习：基本不等式(提高)知识梳理

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基本不等式【考纲要求】1.2a b+≤的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】【考点梳理】考点一：两个重要不等式及几何意义 1．重要不等式：如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式：如果,a b是正数，那么2a b+≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：222a b ab +≥和2a b +≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。

（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .扩充不等式绝对值不等式柯西不等式易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD ab =这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称2ba +为,ab 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把2ba +看作是正数,ab 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2a bab +≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

要点三、几个常见的不等式 1）()R b a ab b a ∈≥+,222，当且仅当a=b 时取“=”号。

2）()+∈≥+R b a ab ba ,2，当且仅当a=b 时取“=”号。

3）()02>⋅≥+b a ab b a ；特别地：()021>≥+a aa ；4）ba ab ab b a b a +≥≥+≥+22222 (),a b R +∈ 5）()()+∈≥⎪⎭⎫⎝⎛++R b a b a b a ,411； 6）()+∈≥++R c b a abc c b a ,,3333；7）()+∈≥++R c b a abcc b a ,,33要点四、绝对值不等式的性质 1.||||||||||a b a b a b -≤±≤+；2.||||||a b a c c b -≤-+-； 要点五、柯西不等式1. 二维形式的柯西不等式： （1）向量形式：设βα,是两个向量，则||||||αβαβ⋅≤⋅，当且仅当β是零向量或存在实数k ，使βαk =时，等号成立。

（2）代数形式：①若a 、b 、c 、d 都是实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当ac=bd 时，等号成立； ②若a 、b 、c 、dac bd ≥+，当且仅当ac=bd 时，等号成立； ③若a 、b 、c 、d||ac bd ≥+，当且仅当ac=bd 时，等号成立； 要点诠释：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （3）三角形式：设R y y x x ∈2121,,,，则22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++。

2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：若321321,,,,,b b b a a a 都是实数，则2332211232221232221)())((b a b a b a b b b a a a ++≥++++，当且仅当)3,2,1(,0==i b i 或存在实数k ，使得)3,2,1(==i kb a i i 时，等号成立。

3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）： 若,,,,,,,,,,321321n n b b b b a a a a 都是实数，则222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ ，当且仅当),,2,1(,0n i b i ==或存在实数k ，使得),,2,1(n i kb a i i ==时，等号成立。

【典型例题】2a b+≤求最值问题 【高清课堂：基本不等式394847 基础练习二】例1．设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是 A ．1 B ．2C ．3D ．4【解析】221111()()11()()()4a a ab ab ab a a b ab a a b a a b ab a a b ab++=-+++--=-+++-≥当且仅当1()()1a ab a a b ab ab ⎧-=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩即2a b ==时取等号.【答案】D 举一反三：【变式1】已知0x y >>, 且3xy =，求222x y x y+--的最小值及相应的,x y 值.【解析】∵0x y >>, ∴0x y ->, 又3xy =,∴2222()224()4x y x y xy x y x y x y x y +--+-==-+≥=---当且仅当034x y xy x y x y ⎧⎪>>⎪⎪=⎨⎪⎪-=-⎪⎩即31x y =⎧⎨=⎩时取等号∴ 当3,1x y ==时，222x y x y+--取最小值4.【变式2】求下列函数的最大（或最小）值.（1）1(0)1y x x x =+≥+； (2)xx y 522+=，(0)x > ；(3) 2(52)y x x =-，5(0)2x <<(4) 121-+=x x y ，1()2x >； (5)21002x x y -=，(010)x <<【解析】（1）∵0x ≥ ，∴11x +≥，∴111111y x x =++-≥=+ 当且仅当111x x +=+，即0x =时取等号 ∴0x =时，min 1y = (2) ∵0x >，∴22555322222y x x x x x =+=++≥=当且仅当x x 2522=即345=x 时，3min 10023=y .(3) ∵502x <<，∴520x -> ∴3231145252110250(52)4(52)(52)()44342727x x x y x x x x x +-+-=-=⨯--≤=⋅=当且仅当452x x =-即65=x 时，27250max =y . (4) ∵21>x ，∴210x -> ∴121-+=x x y 21]12112112[21+-+-+-=x x x221121121)12(233=+-⋅--≥x x x 当且仅当 12112-=-x x 即1x =时，min 2y =.(5) ∵010x <<，∴21000x ->∴222100100y x x ==≤+-=当且仅当22100x x =-即25=x 时，max 100y =【变式3】已知0,0,x y >>且191x y+=，求x y +的最小值. 【解析】方法一：0,0,x y >>且191x y+=∴199()()10102316y x x y x y x y x y+=++=++≥+⨯= （当且仅当9y x x y=即4,12x y ==时等号成立）. ∴+x y 的最小值是16. 方法二：由191x y +=，得9=-y x y ， ∵0,0>>x y ，∴9>y∴991(9)101016999y x y y y y y y y +=+=++=-++≥=--- 当且仅当99,9y y -=-即12y =时取等号，此时 4.x = ∴+x y 的最小值是16. 方法三：由191x y+=得9+=y x xy ，∴(1)(9)9--=x y∴10(1)(9)1010616.+=+-+-≥+=+=x y x y当且仅当19419112x y x y x y -=-⎧=⎧⎪⎨⎨+==⎩⎪⎩即时取等号， ∴+x y 的最小值是16.类型二：利用基本不等式证明不等式例2.已知01a <<，01b <<，01c <<，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -中至少有一个小于等于14. 证明：假设 ()()()1111,1,1444a b b c c a ->->-> 则有32> 〔＊〕11132222a b b c c a -+-+-+≤++=与〔＊〕矛盾 举一反三：【变式1】已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c都是正数∴0a b +≥> （当且仅当ab =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c=时，取等号） 0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【变式2】已知x 、y 都是正数，求证：2y xx y+≥。

【解析】∵x 、y 都是正数 ，∴0x y >，0yx>， ∴22x y x yy x y x+≥⋅=（当且仅当y x x y =即x y =时,等号成立）故2y xx y+≥. 类型三：基本不等式在实际问题中的应用【例4】(2015春 贵阳校级期末)某单位建造一间靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm ，房屋的总造价为y 元. (1)求y 用x 表示的函数关系式.(2)怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 【解析】(1)如图所示，设底面的长为xm,宽为ym ，则12y m x= 设房屋总造价为()f x 由题意可得：()()123120038002580016360058000f x x xx x x =⋅+⨯⨯⨯+⎛⎫=++> ⎪⎝⎭(2)()163600580028800580034600f x x x ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当x =4时取等号.答：当底面的长宽分别为4m ，3m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元.举一反三：【变式】(2015 南昌其中)新建一个娱乐场的费用时50万元，每年的固定费用(水、电费、员工工资等)4.5万元，年维修费用第一年1万元，以后逐年递增1万元，问该娱乐场使用多少年时，它的平均费用最少？【解析】设使用x 年时，平均费用最少，平均费用为y 万元，所以总维修费用为()12x x +万元，则：()150 4.5505025251522x x x x x y x x x +++==++≥+=当且仅当502xx =时，即x =10时等号成立.所以娱乐场使用10年时，它的平均费用最少.类型四：利用绝对值不等式求最值例5. 不等式|4||2|x x a --+≥对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ； 【解析】设|4||2|t x x =-++，则t a ≥对x R ∈恒成立min t a ⇔≥， ∵ |4||2||(4)(2)|6x x x x --+≤--+=， ∴|1||2|x x --+的最小值为6-， ∴实数a 的取值范围是6a ≤-. 举一反三：【变式1】求|4||2|x x --+的最值【解析】由||||||a b a b -≤±得：|4||2||(4)(2)|6x x x x --+≤--+=， ∴6|1||2|6x x -≤--+≤∴|1||2|x x --+的最小值为6-，最大值为6.【变式2】不等式|12||21|x x a -++<对x R ∈恒成立，则常数a 的取值范围是 ； 【解析】设()|12||21|f x x x =-++，则()f x a <对x R ∈恒成立max ()f x a ⇔<， ∵ |12||21||(12)(21)|2x x x x -++≤-++=， ∴|12||21|x x -++的最大值为2， ∴实数a 的取值范围是2a >. 类型五：利用柯西不等式求最值 例6. 设23529x y z ++=，求函数654312+++++=z y x y 的最大值．【解析】∵(21)(34)(56)291140x y z +++++=+= ∴根据柯西不等式340(111)[(21)(34)(56)]x y z ⨯=++⋅+++++2(111≥，故302654312≤+++++z y x . 当且仅当213456x y z +=+=+，即1522,928,637===z y x 时等号成立， 此时，302max =y 举一反三：【变式1】求函数x x y 21015-+-=的最大值． 【解析】函数的定义域为[1，5]，且y>0，36512552152222=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=）（）（）（x x xx y 当且仅当x x 21015-=-时，等号成立， 即2735=x 时函数取最大值，最大值为36.。

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(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

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高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

基本不等式完整版(非常全面)

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基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。

《基本不等式》 知识清单

《基本不等式》 知识清单

《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。

2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。

这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。

二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。

因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。

对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。

因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。

三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。

例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。

基本不等式知识点归纳总结

基本不等式知识点归纳总结

基本不等式知识点归纳1．基本不等式2b a ab +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a(2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号．[探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2ab b a b a =+⇒= ②仅当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2b a ab b a =⇒=+ 2．几个重要的不等式).0(2);,(222>≥+∈≥+ab ba ab R b a ab b a ),(2)2();,()2(2222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2b a +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (简记：和定积最大)．[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1+=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.25min =y[自测]1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( )A ．18B ．36C ．81D ．243解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.2．若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．43．已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2yxz 的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为184．函数xx y 1+=的值域为 ____________________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．。