习题2

习题二⒉１描述以下四个概念的区别：头指针变量，头指针，头结点，首结点（第一个结点）。

解：头指针变量和头指针是指向链表中第一个结点（头结点或首结点）的指针；在首结点之前附设一个结点称为头结点；首结点是指链表中存储线性表中第一个数据元素的结点。

若单链表中附设头结点，则不管线性表是否为空，头指针均不为空，否则表示空表的链表的头指针为空。

2.2简述线性表的两种存储结构有哪些主要优缺点及各自使用的场合。

解：顺序存储是按索引直接存储数据元素，方便灵活，效率高，但插入、删除操作将引起元素移动，降低了效率；而链式存储的元素存储采用动态分配，利用率高，但须增设表示结点之间有序关系的指针域，存取数据元素不如顺序存储方便，但结点的插入和删除十分简单。

顺序存储适用于线性表中元素数量基本稳定，且很少进行插入和删除，但要求以最快的速度存取线性表中的元素的情况；而链式存储适用于频繁进行元素动态插入或删除操作的场合。

2.3 在头结点为h的单链表中，把值为b的结点s插入到值为a的结点之前，若不存在a，就把结点s插入到表尾。

Void insert(Lnode *h,int a,int b){Lnode *p,*q,*s;s=(Lnode*)malloc(sizeof(Lnode));s->data=b;p=h->next;while(p->data!=a&&p->next!=NULL){q=p;p=p->next;}if (p->data==a){q->next=s;s->next=p;}else{p->next=s;s->next=NULL;}}2.4 设计一个算法将一个带头结点的单链表A分解成两个带头结点的单链表A和B，使A中含有原链表中序号为奇数的元素，而B中含有原链表中序号为偶数的元素，并且保持元素原有的相对顺序。

Lnode *cf(Lnode *ha){Lnode *p,*q,*s,*hb;int t;p=ha->next;q=ha;t=0;hb=(Lnode*)malloc(sizeof(Lnode));s=hb;while(p->next!=NULL){if (t==0){q=p;p=p->next;t=1;}else{q->next=p->next;p->next=s->next; s->next=p; s=p;p=p->next; t=0;}}s->next=NULL;return (hb);}2.5设线性表中的数据元素是按值非递减有序排列的，试以不同的存储结构，编写一算法，将x插入到线性表的适当位置上，以保持线性表的有序性。

项目一一、填空题。

1．--像素-----是组成位图图像的最小单位。

2. --图像分辨率----------通常是指图像中每平方英寸所包含的像素数。

3.要选择工具箱某个工具中隐藏的工具，可- -按住Shift键并重复按字母快捷键则可以循环选择隐藏的工具。

4．要打开图像文件，可按---Ctrl+O-----组合键，打开“打开”对话框进行操作。

5.----RGB------颜色模式是photoshop默认的颜色模式。

在该模式下，图像的颜色由----红--------、----绿--------和--------蓝---三原色混合而成。

二、选择题。

1.要新建图像文件，可按（B）组合键，打开“新建”对话框进行操作。

A．【ctrl+m】 B.【ctrl+N】C，【ctrl+S】 D.【ctrl+O】2.( A)是photoshop专用的文件格式，可保存图层、通道等信息。

A．PSD B.GIF C.TIFF D.JPG3.若用户希望将编辑的图像以别的名称或格式保存，可以按（B ）组合键。

A【ctrl+N】B【ctrl+shift+S】C【ctrl+S】D【ctrl+O】4.按（C）组合键，可以关闭图像文件。

A【ctrl+Q】B【ctrl+F4】C【ctrl+W】D【ctrl+C】5.按（ A ）组合键，可以退出photoshop CS5程序。

A．【Alt+F4】、【ctrl+Q】B【ctrl+W】/【ctrl+C】C.【ctrl+N】/【ctrl+S】D【Alt+F4】/【ctrl+O】项目二一、填空题。

1.按-----CTRL+R-----组合键可以显示或隐藏标尺；按---ctrl+h--------组合键可以显示或隐藏参考线。

2.无论当前使用何种工具，按住---ALT------组合键不松手都等同于选择了“缩放工具”此时在图像区域单击鼠标可放大视图，从而避免了切换工具的麻烦。

3.在photoshop CS5中，系统提供了标准屏幕模式-、-带菜单栏的全屏模式-和--全屏模式-3种屏幕显示模式，按------F-----键可以在3种屏幕模式间切换。

第2章 逻辑门电路2.1解题指导[例2-1] 试用74LS 系列逻辑门，驱动一只V D =1.5V ，I D =6mA 的发光二极管。

解：74LS 系列与之对应的是T4000系列。

与非门74LS00的I OL为4mA ，不能驱动I D =6mA 的发光二极管。

集电极开路与非门74LS01的I OL 为6mA ，故可选用74LS01来驱动发光二极管，其电路如图所示。

限流电阻R 为Ω=--=--=k V V V R OL D CC 5.065.05.156[例2-2] 试分析图2-2所示电路的逻辑功能。

解：由模拟开关的功能知：当A =1时，开关接通。

传输门导通时，其导通电阻小于1k Ω，1k Ω与200k Ω电阻分压，输出电平近似为0V 。

而A =0时，开关断开，呈高阻态。

109Ω以上的电阻与200k Ω电阻分压，输出电平近似为V DD 。

故电路实现了非逻辑功能。

[例2-3] 试写出由TTL 门构成的逻辑图如图2-3所示的输出F 。

&≥1F≥1A B图2-3 例2-3门电路A BF图2-4 例2-4门电路解：由TTL 门输入端悬空逻辑上认为是1可写出 [例2-4] 试分别写出由TTL 门和CMOS 门构成的如图2-4所示逻辑图的表达式或逻辑值。

解：由TTL 门组成上面逻辑门由于10k Ω大于开门电阻R ON ，所以，无论 A 、B 为何值由CMOS 门组成上面逻辑门由于CMOS 无开门电阻和关门电阻之说，所以，2.2 习题解答2-1 一个电路如图2-5所示，其三极管为硅管，β=20，试求：ν1小于何值时，三极管T 截止，ν1大于何值时，三极管T 饱和。

解：设v BE =0V 时，三极管T 截止。

T 截止时，I B =0。

此时 10)10(020--=-I v v I =2VT 临界饱和时，v CE =0.7V 。

此时mA I BS 0465.010207.010=⨯-= mA v I I I BS B 0465.010)10(7.027.0=----==v I=4.2Vv I v O BB 图2-5三极管电路A BF 图2-1例2-1 OC 门驱动发光二极管FA 图2-2 例2-2 模拟开关ΩV V 020011DD F ≈+=DD DD 44DD599F 210101021010V V V V ≈+≈⨯+=AB A F =++⋅=110≡F AB F =上述计算说明v I <2V 时，T 截止；v I >4.2V 时，T 饱和。

二关税措施一、单项选择题1、当进口最终产品的名义关税税率高于所用的进口原材料的名义关税税率时，有效关税保护率（）A、大于最终产品的名义关税税率B、等于最终产品的名义关税税率C、小于最终产品的名义关税税率D、小于零2、对一种商品所征收的混合税额等于（）A、从价税额与选择税额之和；B、从量税额与选择税额之和；C、差价税额与选择税额之和；D、从量税额与从价税额之和。

3、一般来说，对进口商品征收关税会导致（）A、进口国国内价格上涨，进口数量下降B、进口国国内价格上涨，进口数量增加C、进口国国内价格下跌，进口数量增加D、进口国国内价格下跌，进口数量下降4、关税的税收客体是（）A、进口商B、代理商C、出口商D、进出口货物5、关税升级措施主要是在采用（）。

A、进口税B、出口税C、过境税D、特惠税6、《洛美协定》规定欧共体对协定中其他缔约国所提供的进口关税是（）A、最惠国税B、差额税C、特惠税D、普惠税7、进口差价税的征收方法是（）A、按商品的出口价格与进口价格之间的差额向本国进口商征收B、按从价税额与从量税额之间的差额向外国出口商征收C、按国内价格与出口价格之间的差额向本国进口商征收D、按国内价格与进口价格之间的差额向本国进口商征收8、皮革名义关税税率是18%，而皮鞋最终产品增值部分为45%，有效保护税率为（）。

A、40%B、30%C、20%D、50%9、对于某种进出口商品同时订有从价税和从量税率，在征税时选择其税率较高的一种征税。

这种税称（）A、从价税B、从量税C、混合税D、选择税10、最惠国税率一般属于（）A、最优惠的税率B、特别关税C、进口附加税D、正常关税二、多项选择题1、税收按照差别待遇和特定的实施情况，可分为（）A、进口附加税B、差价税C、特惠税D、普通优惠税E、过境税2、荷兰对进口花卉就先征15%进口税，然后再根据每天进口价格与国内差额情况征收一定百分比的关税，这种额外征收的关税是（）A、倾销税B、国内税C、进口附加税D、差价税E、特惠税3、一国征收关税的税收主体是（）A、外国进口商B、外国出口商C、本国进口商D、本国出口商E、进出口货物4、关税与其他国内税收是不同的，关税具有以下特点：（）A、关税可起到调节进出口贸易的作用B、关税的税收主体是消费者C、关税的税收客体是进出口货物D、关税是一种间接税5、进口附加税通常是一种临时性措施，其目的主要有（）A、应付国际收支危机B、防止外国商品低价倾销C、增加进口国的财政收入D、对某国实行歧视或报复6、从价税的优点有（）A、征收简单B、税率明确，便于比较C、税收负担较为公平D、税率不变，价格上涨时，既可增加财政收入，又可起到保护关税的作用E、税率不变，价格下跌时，既可增加财政收入，又可起到保护关税的作用7、关税税率表主要包括的内容是（）A、税则号列B、货物分类目录C、税率D、货物属性E、征税税率8、普惠制的主要原则包括（）A、公平贸易原则B、普遍性原则C、非歧视性原则D、非互惠原则E、对等原则三、判断题1、名义关税掩盖了有效关税率和许多国家普遍存在的逐步升级的关税结构。

习 题 二2-1 何为等效变换？两电路等效需要满足什么条件？答：用一个较为简单的电路替代原电路，从而使分析的问题得以简化，这就是电路的等效变换。

两电路等效需要满足的条件是：电路对外的伏安特性不变。

2-2 设计一个电阻衰减器，如图2-62所示，衰减器的输入电压为10V ，而输出电压分别为10V 、5V 及1V ，电阻中流过的电流为2mA ，试求R 1、R 2及R 3的值。

10V5V1V图2-62解：R 1=(10-5)/2=2.5K Ω；R 2=(5-1)/2=2K Ω；R 3=1/2=0.5K Ω； 2-3 求图2-63电路中等效电阻Rab 。

b习题2-63解：Rab ＝4//(2+4//4)=2Ω2-4 求图2-64电路中等效电阻R ab 。

3Ω3Ωba解：R ab ＝(6//3+6//3)//4=2Ω 2-5 求图2-65电路中等效电阻R ab 。

ba图2-65解：R ab ＝3//3//3=1Ω2-6 求图2-66电路中①S 打开；②S 闭合时等效电阻R ab 。

36Ω24ΩbaS图2-66解：S 打开：R ab ＝0.5*（36+24）＝30Ω S 闭合：R ab ＝36/2+24/2＝30Ω2-7 图2-67中，试求：①R=0时的电流I ；②I=0时的电阻R ；③R ＝∞时的电流I 。

3Ω4Ω图2-67解：① I 总=6/((3*6)/(3+6))=3A ，∴I ＝（6/（3+6））* I 总＝2A; ② 3/6=4/R ，∴R=8Ω③ I 总=6/(4+3*6/(3+6))=1A ，I=－(3/(3+6))* I 总=－1/3A 2-8 电路如图2-68所示，已知30Ω电阻中电流为0.2A ，试求此电路的总电压U 和总电流I 。

60Ω图2-68解：I=(0.2+30*0.2/60)+ (0.2+30*0.2/60)*(10+60*30/(60+30))/15=0.9AU=0.9*10+(0.2+30*0.2/60)*(10+60*30/(60+30))=18V2-9 将图2-69所示电路中星形与三角形网络进行等效变换。

绪论部分一、选择题1、依据获得测量结果方法的不同，测量可分两大类，即（）A：多次测量和单次测量B：等精度测量和不等精度测量C：直接测量和间接测量D：以上三种分类都正确2、以下哪个不属于物理实验（）A:利用卷尺测量物体的长度B:利用弹簧秤称小铁块的重量C:伽里略的斜塔实验D:爱因斯坦发现光的粒子性3、对一物理量进行等精度多次测量（）A：误差的平方和为最小B：测量值（或误差）一定遵从正态分布C：测量值（或误差）一定遵从均匀分布D：其算术平均值是误差为零的值4、对一物理量进行多次等精度测量，其目的是（）A：消除系统误差B：消除随机误差C：减小系统误差D：减小随机误差5、以下说法正确的是（）A：多次测量可以减小随机误差B：多次测量可以消除随机误差C：多次测量可以减小系统误差D：多次测量可以消除系统误差6、对一物理量进行等精度多次测量，其算术平均值是（）A：真值B：最接近真值的值C：误差最大的值D：误差为零的值7、测量结果的标准表达式为X=X±U，其含义为（）Ａ：被测量必定等于（ｘ－U）或（ｘ＋U）Ｂ：被测量可能等于（ｘ－U）或（ｘ＋U）Ｃ：被测量必定在（ｘ－U）和（ｘ＋U）之间Ｄ：被测量以一定概率落在（ｘ－U）或（ｘ＋U）之间8、下列测量结果中，准确度最高的是（）A ：1L =102.3±0.2 ㎝B ：2L =103.52±0.05㎝C ：3L =1.246±0.005㎝D ：4L =0.0056±0.0002㎝9、对某测量对象进行多次测量，测量结果为)(x u x x c ±=，其中)()()(22x u x u x u B A c += ， （)(x u A 、)(x u B 分别为其A 类不确定度、B 类不确定度。

问被测量的真值落在)](),([x u x x u x c c +-范围内概率为 （ ）A ．68.3%B ．95%C ．57.7%D ．100%10、对某测量对象进行单次测量，测量结果为)(x u x x c ±=，其中)()(x u x u B c ==3A，)(x u B 为其B 类不确定度。

第2章 MCS-51单片机的硬件结构补充习题一、填空1.当扩展外部存储器或I/O口时，P2口用作并行I/O端口。

2.MCS－51单片机内部RAM区有 1 个工作寄存器区。

3.MCS－51单片机内部RAM区有 128 个位地址。

4.外部中断1(INT1)的中断入口地址为 0013H ；定时器1的中断入口地址为 001BH .p1335.89C51单片机片内RAM中位寻址区的地址范围是20H~ 2FH ，工作寄存器区的地址范围是00H~18H ，片内程序存储器中寻址区的地址范围是30H~7FH 。

p186.MCS-51有 4 个（8位）并行I\O口。

7.MCS-51的堆栈是软件填写堆栈指针临时在_ RAM区内开辟的区域.p218.MCS-51片内20H~2FH 范围内的数据存储器，既可以字节寻址又可以位寻址。

P199.程序状态标志字寄存器PSW中的PSW.7的含义是psw7位进位或错位标志；PSW.0的含义是奇偶标志位。

10.若不使用89C51片内的程序存储器，引脚EA 必须接地。

11.MCS-51中凡字节地址能被_8 整除的特殊功能寄存器均能寻址。

P1912.MCS-51有4组工作寄存器，它们的字节地址范围是00H~1FH 。

P1813.当MCS-51引脚ALE 信号有效时，表示从P0口稳定地送出了低8位地址.14.在单片机的RESET端出现__高电平信号__，便可以可靠复位，复位后的程序指针PC指向__0000H_地址。

15.MCS-51系列单片机有: _INT0_, _T0_, _INT1_, _T1_, _TI或RI_等5个中断请求源。

二、判断1.8位二进制数构成一个字节，一个字节所能表达的数的范围是0-255。

（√）2.8051中的工作寄存器就是内部RAM中的一部份。

（√）3.8051中特殊功能寄存器（SFR）就是内部RAM中的一部份。

（×）4.SP称之为堆栈指针，堆栈是单片机内部的一个特殊区域，与RAM无关。

单选题1 . 下面关于日期和时间输入的说法错误的是____A．要输入2002年06月15日，输入6/15/2002即可B．输入8:0表示8点00分00秒C．在单元格中插入当前系统时间，可以按Ctrl+Shift+；（分号）组合键D．输入6-15或6/15，回车后，单元格显示6月15日正确答案:A2 . 主板（）芯片将决定主板兼容性的好坏。

A.BIOSB.DRAMC.AC97N正确答案:A3 . EXCEL2003中，每个工作表单元格数目最多为____A．32767×256 B．32767×63 C．65536×256 D．65536×63正确答案:C4 . PowerPoint2003中，在幻灯片浏览视图下，按住CTRL并拖动某张幻灯片，可以完成（）操作。

A.移动幻灯片B.复制幻灯片C.删除幻灯片D.选定幻灯片正确答案:B5 . 一个工作簿中有两个工作表和一个图表，如果要将它们保存起来，将产生（）个文件。

A.1B.2C.3D.4正确答案:A6 . Internet网站域名地址中的GOV表示______。

A．政府部门 B．商业部门C．网络机构 D．非盈利组织正确答案:A7 . PowerPoint2003 的功能是（）。

A.适宜制作演示文稿B.适宜制作各种文档资料C.适宜进行电子表格计算和框图处理D.适宜进行数据库处理正确答案:A8 . 下列选项中，不是Word中的视图是（）A.普通视图B.大纲视图C.页面视图D.幻灯片视图正确答案:D9 . 如果要复制一段文本，可以用下面哪个操作( )。

A.先指定一段文字，在指定区域内按鼠标右键选“粘贴”命令，然后移动光标到想复制的位置，按鼠标右键选“复制”命令。

B.先指定一段文字，在指定区域内按鼠标右键选“复制”命令，然后移动光标到想复制的位置，按鼠标右键选“粘贴”命令。

C.指定一段文字，直接在指定区域内按鼠标右键选“复制”命令。

习题二一、填空题1. 对运算符进行重载时，不能改变结合性，不能改变操作数个数，不能改变优先级。

2. 当++被重载为后置成员函数时需要0 个参数。

3. 当++被重载为前置成员函数时需要 1 个参数。

4. 在C++中，运算符重载函数可以是成员函数，也可以是友元函数，还可以是普通函数。

5. 友元破坏了类的封装性特性。

6. 类的友元能够访问这个类的所有成员。

7. 类的静态数据成员的初始化是在类外进行的。

8. 类的静态成员函数没有this指针。

9. 类的静态成员函数访问该类的非静态成员可以通过参数传递对象来实现。

10. 不能被重载的类成员函数是构造和析构函数。

二、选择题1. 已知类A有一个带double型参数的构造函数，且将运算符“+”重载为该类友元函数，若如下语句：A x(2.5),y(3.6),z(0); z=x+y; 能够正常运行，运算符重载函数operator+ 应在类中声明为（ D ）。

A. friend A operator+ (double , double) ;B. friend A operator+ ( double , A &);C. friend A operator+ ( A &, double);D. friend A operator+ ( A & , A &);2. 下列关于运算符重载的描述中，正确的是（D ）。

A. 运算符重载可以改变操作数的个数B. 运算符重载可以改变优先级C. 运算符重载可以改变结合性D. 运算符重载不可以改变语法结构3. 友元运算符表达式obj1>obj2被C++编译器解释为（A ）。

A. operator>(obj1,obj2)B. >(obj1,obj2)C. obj2.operator>(obj1)D. obj1.operator>(obj2)4. 下列关于C++运算符函数的返回类型的描述中，错误的是（C ）。

ITIL认证考试(习题卷2)第1部分：单项选择题，共260题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。

1.[单选题]哪个流程负责监视 IT 服务，并检测何时性能降到了可接受的界限之下？A)服务资产和配置管理B)事态（Event）管理C)服务目录管理D)性能管理答案:B解析:2.[单选题]What is a recommendation of the 'focus on value' guiding principle?A)Make 'focus on value' a responsibility of the managementB)Focus on the value of new and significant projects firstC)Focus on value for the service provider firstD)Focus on value at every step of the improvement答案:D解析:3.[单选题]关于问题的哪种说法是正确的？A)问题与事件无关。

B)必须迅速解决问题，以恢复正常的业务活动。

C)问题分析应重点关注四个维度之一，以实现快速诊断。

D)问题优先排序涉及风险评估。

答案:B解析:略4.[单选题]下面哪两项是变更实施的考虑因素? 1. 管理变更的人员方面 2. 确保组织转型成功 3. 最大限度地提高服务变更的成功次数 4. 确保对变更进行适当评估A)1 和 2B)2 和 3C)3 和 4D)1 和 4答案:C解析:5.[单选题]问题的定义是什么？A)服务计划外中断或服务质量下降B)一个或多个事件的原因或潜在原因C)尚无完全解决办法的事件D)对配置项目答案:B解析:略4.“向日葵”式A)只有 1、2 和 4B)只有2、3 和4C)只有 1、3 和4D)只有 1、2 和3答案:A解析:7.[单选题]关于指标的哪种说法是正确的？A)流程指标可用于衡量端到端服务性能B)技术指标可用于衡量组件性能和可用性C)流程指标可用于衡量供应商网络的利用率D)技术指标可用于确定流程的整体运行状况答案:B解析:略8.[单选题]Which skill is an essential part of the 'service level management' practice?A)Problem analysisB)Technical knowledgeC)ListeningD)Diagnosis答案:C解析:9.[单选题]配置管理数据库与典型的资产登记簿有什么不同？A)配置管理数据库是电算化的系统，大多数资产登记簿不是。

生物化学测试一:填空题全酶由____酶蛋白____和___辅助因子___组成,在催化反应时，二者所起的作用不同，其中___酶蛋白___决定酶的专一性和高效率,____辅助因子_____起传递电子、原子或化学基团的作用。

蔗糖是由一分子___D-葡萄糖___和一分子___D—果糖_____组成，它们之间通过____α，β—1，2__糖苷键相连。

肌球蛋白本身具有____ATP_______酶的活性，所以当ATP释放能量时，就引起肌肉收缩。

乳糖是由一分子___D—葡萄糖_____和一分子__ D—半乳糖_______组成，它们之间通过_____β—1,4__ ____糖苷键相连。

生物素可看成由____尿素_____，_____噻吩____，_____戊酸侧链_____三部分组成，是___羧化酶_______的辅酶,在___CO2_______的固定中起重要是作用。

当蛋白质的非极性侧链避开水相时，疏水作用导致自由能___减少_______。

双链DNA中若____G—C对____________含量多，则Tm值高.Pauling等人提出的蛋白质α-螺旋模型,每圈螺旋包含___3.6____个氨基酸残基，高度为__0.54nm____.每个氨基酸残基沿轴上升____0。

15nm _____________，并沿轴旋转____100_____度。

测定蛋白质浓度的方法主要有___双缩脲法_____、__Folin—酚试剂法__、___紫外吸收法_____和__凯氏定氮法__。

酶是由___活细胞________产生的,具有催化能力的__生物催化剂______.硝酸纤维素膜可结合___单____链核酸.将RNA变性后转移到硝酸纤维素膜上再进行杂交,称__Northern_____印迹法。

影响血红蛋白与氧结合的因素有___氧分压____、_CO2分压__、__氢离子浓度___和___2,3—二磷酸甘油酸__等。

磷脂酰胆碱（卵磷脂)分子中___磷酰胆碱__为亲水端，_脂肪酸的碳氢链_____为疏水端。

习题 21．设p 、q 都是素数，且7p ＋q ，pq ＋11也都为素数，求()()22pqp q q p ＋＋的值．【答案】若p 、q 都是奇数，则7p ＋q 为偶数，它不是素数，故p 、q 中有一个为偶数．情形一 设p 为偶数，则p ＝2，此时由7p ＋q 为素数，知q 为奇素数，若q ≠3，则q ≡1或2(mod3) ． 若q ≡1 (mod3)，则 7p ＋q ＝14＋q ≡0(mod3)， 矛盾；若q ≡2(mod3)，则pq ＋11＝2q ＋11≡4＋11≡0(mod3)，亦矛盾，所以q ＝3，此时7p ＋q ＝17，pq ＋11＝17，都是素数，故 (p 2＋q p )( q 2＋p q )＝(22＋32)( 32＋23)＝221． 情形二 设q 为偶数，则q ＝2，同上讨论可知p ＝3，此时(p 2＋q p )( q 2＋p q )＝(32＋23)( 22＋32)＝221．综上可知，所求的值为221．2．设12345p p p p p ＜＜＜＜是5个素数，且12345p p p p p ，，，，成等差数列．求5p 的最小值． 【答案】设d 为公差，则p 1，p 1＋d ，p 1＋2d ，p 1＋3d ，p 1＋4d 都是素数． 若2d ，即d 为奇数，则p 1＋d ，p 1＋2d 中有一个为偶数，它不是素数．若3d ，则p 1＋d ，p 1＋2d ，p 1＋3d 中有一个为3的倍数(它们构成模3的一个完系)，矛盾． 若5d ，则p 1，p 1＋d ，…，p 1＋4d 中有一个为5的倍数只能是p 1＝5，这时公差d 是6的倍数． 而5，11，17，23，29是5个成等差的素数数列，所以，p 5最小为29．3．对每个正整数n ，用()S n 表示n 在十进制表示下各数码之和．证明：对任意正整数m ，存在正整数n ，使得()()3S n mS n ＝．【答案】注意到，对任意正整数k ，(1008)k S 个＝9，于是，设1008k 个＝3n ，则n ＝336k 个，故S (n )＝3k ＋6，这样，对任意正整数m ，取k ＝3m －2，就有S (n )＝mS (3n )．说明 由S (3n )≡3n (mod9)，故要求3｜S (n )，进而3｜n ，所以在先确定3n 时，要寻找一个9的倍数(例如1002k 个作为3n 就不能满足条件) ．另外，在S (2n )与S (n )之间没有上述性质，事实上，可证：S (2n )≤2S (n )；S (n )≤5S (2n )．4．求最大的正整数k ，使得存在正整数n ，满足2|31kn＋． 【答案】注意到，当n 为偶数时，设n ＝2m ，有3n ＝9m ≡1(mod8)， 当n ＝2m ＋1时，3n ＝9m ×3≡3(mod8)，所以，对任意正整数n ，有3n ＋1＝2或4(mod8)， 故k ≤2．又22｜31＋1，所以，所求k 的最大值为2．5．设n 为正整数．证明：存在十进制表示中只出现数码0和1的正整数m ，使得|n m ．【答案】考虑数列 1，11，111，…，111n+个，其中必有两个数对模n 同余（因为任何整数除以n 所得的余数只能为0，1，2，…，n －1，共n 种情况），它们的差（大的减小的）就是符合要求的m ．6．设n 为是一个正奇数．证明：存在一个十进制表示中每个数码都是奇数的正整数m ，使得|n m ． 【答案】如果(5，n )＝1，那么由上题的结论，知存在m ＝11i 个0j 个，使得n ｜m ，而n 为奇数，结合5n ，知(n ，10)＝1，故n ｜11i 个．命题获证．如果5｜n ，设5α｜n ，那么可写n ＝5α·n 1，其中5n 1．利用2.2节例5的结论，可知存在一个α位的正整数m 1，使得5α｜m 1，且m 1的每个数码都是奇数，这时，考虑数m 1， 11m m ，…，111n m m +1个，这里11i m m 个表示i 个m 1连写形成的十进制数（故上面所列的数都是5α的倍数），则存在1≤i ＜j ≤n 1＋1，使得 11j m m 个≡11i m m 个(mod n 1)，结合(n 1，10)＝1，可知n 1｜11j-i m m 个，于是记m ＝11j-i m m 个，则m 中的每个数码都是奇数，且5α｜m ，n 1｜m ，而 (5α，n 1)＝1， 故5α·n 1｜m ，即n ｜m ． 命题获证．7．证明：对每个正整数n ，数19817n⨯＋都是合数． 【答案】若n 为偶数，则 19×8n ＋17≡1×(－1)n ＋2≡0(mod3)；若n ≡1(mod4)，写n ＝4k ＋1，则19×8n ＋17＝19×642k ×8＋17≡6×(－1)2k ×8＋4≡0(mod13)；若n ≡3(mod4)，则 19×8n ＋17＝19×642k +1×8＋17≡(－1)×(－1)2k +1×3＋2≡0(mod5) ． 所以，对任意正整数n ，数19×8n ＋17是合数．8．Fibonaccia 数列{}n F 定义如下：121F F ＝＝，21n n n F F F ＋＋＝＋，n ＝1，2，…． （1）证明：该数列任意连续10项之和是11的倍数；（2）求最小的正整数k ，使得该数列中任意连续k 项之和是12的倍数． 【答案】考虑数列｛F n ｝中每一项除以11(或12)所得的余数． ⑴｛F n (mod11)｝：1，1，2，3，5，－3，2，－1，1，0，1，1，…，所以｛F n (mod11)｝是以10为周期的纯周期数列，因此｛F n ｝中任意连续10项之和≡1＋1＋2＋3＋5＋(－3) ＋2＋ (－1)＋1＋0＝11≡0(mod11)， 命题获证．⑵｛F n (mod12)｝：1，1，2，3，5，－4，1，－3，－2，－5，5，0，1，1，…是以12为周期的纯周期数列．直接验证，可求出满足条件的最小正整数k ＝36．说明 若k 是满足⑵的最小正整数，而n 是满足⑵的正整数，则k ｜n (这个结论请读者证明) ．因此，找到满足条件的n ＝36 (｛F n (mod12) ｝的每个周期内各数之和≡4(mod12))后，只需验证36的正因数不合要求，就能断言36是符合条件的最小正整数．9．设整数a 、b 满足：2221|a b ＋．证明：22441|a b ＋．【答案】先分别证明：⑴若a 2＋b 2≡0(mod3)，则a ≡b ≡0(mod3) ； ⑵若a 2＋b 2≡0(mod7)，则a ≡b ≡0(mod7) ．这只需注意到，对任意整数x ，都有x 2≡0或1(mod3)， 及 x 2≡0，1，2或4(mod7)， 即可证出．现在由21｜a 2＋b 2可推出21｜a ，21｜b ，故212｜a 2＋b 2，所以命题成立．10．正整数a 、b 、c 满足：222c a b ab ＝＋＋．证明：c 有一个大于5的素因子．【答案】我们分别证明： ⑴若2｜c ，则2｜a ，2｜b ； ⑵若3｜c ，则3｜a ，3｜b ； ⑶若5｜c ，则5｜a ，5｜b ． ⑴的证明是平凡的．⑵的证明只需注意到 c 2＝a 2＋ab ＋b 2＝(a －b ) 2＋3ab ，就容易证出． 对于⑶，由条件，知 4c 2＝4a 2＋4ab ＋4b 2＝3a 2＋(a ＋2b )2， 而对任意整数x ，知 x 2≡0，1，4(mod5)， 于是，由 3x 2＋y 2≡0 (mod5)， 可知 x 2≡y 2≡0 (mod5)， 即 x ≡y ≡0 (mod5)．因此，由5｜c ，知 3a 2＋(a ＋2b )2≡0 (mod5)， 故 a ≡a ＋2b ≡0(mod5)， 可得 a ≡b ≡0(mod5)， 所以⑶成立．回到原题，当c 是2、3或5的倍数时，c 2＝a 2＋ab ＋b 2两边可分别约去22、32或52后，等式的形式保持不变．所以c 有一个大于5的素因子．11．将整数1，2，…，9填入一个3×3的表格，每格一个数，使得每行、每列及每条对角线上各数之和都是9的倍数．（1）证明：该表格中正当中那个方格内的数是3的倍数；（2）给出一个正当中方格内所填数为6的满足条件的放置方法．【答案】⑴设表格中第i 行、第j 列的方格上所填的数为a ij ，1≤i ≤3，1≤j ≤3， 则 a 11＋a 22＋a 33≡a 13＋a 22＋a 31≡a 12＋a 22＋a 32≡a 21＋a 22＋a 23≡0(mod9)， 于是它们求和后，得(a 11＋a 12＋a 13＋a 21＋a 22＋a 23＋a 31＋a 32＋a 33)＋3a 22≡0(mod9)， 即 3a 22＋(1＋2＋…＋9)≡0(mod9)， 故 9｜3a 22， 即 3｜a 22，从而表格中正当中的格子内所填数为3的倍数． ⑵下表给出的例子是中间格为612．下面的算式给出了一种判别一个数是否为19的倍数的方法：每次去掉该数的最后一位数字，将其两倍与剩下的数相加，依此类推，直到数变为20以内的数为止，若最后一个数为19，则最初的那个数为19的倍数，否则原数不是19的倍数． ６ ７ ９ ４ ４ ８ ６ ８ ０ ２ ４ ６ ８ ４ ８ ７ ６ １ ２ １ ９ ４ ４ ９ ７ ６ １２ ４ ５ ０ ９　 １ ８ ４ ６ ８ １６ ６ ２ ４ １ ０例如上面判定了67944为19的倍数，而44976不是19的倍数．（1）试证明：上面的判别方法是正确的；（2）请给出判别一个数是否为29的倍数的类似方法． 【答案】一般地，设数10n n a a a -是一个十进制表示下的n ＋1位数，则若它是19的倍数，那么1011n n a a a -＋a 0＝10n n a a a -≡0(mod19)，故 2011n n a a a -＋2a 0≡0(mod19)， 即 11n n a a a -＋2a 0≡0(mod19)，这表明每次操作后的结果都是19的倍数． 另一方面，若 11n n a a a -＋2a 0≡0(mod19)， 则 1011n n a a a -＋20a 0≡0(mod19)， 这表明 1011n n a a a -＋a 0≡0(mod19)，即 10n n a a a -≡0(mod19)，所以，每次操作后的结果是19的倍数，则操作前该数也是19的倍数． 所以，题给的判别方法是正确的．对于29而言，类似的判别方法是：每次去掉最后一位，将它的3倍与剩下的数相加，以此类推，直到变为30以内的数为止．若最后的结果为29，则原数是29的倍数，否则原数不是29的倍数．13．能否将2010×2010的方格表的每个方格染成黑色或白色，使得关于表格的中心对称的方格颜色不同，且每行、每列中黑格数与白格数都各占一半？ 【答案】不能做到．事实上，若存在满足条件的染色方式，我们在黑格中都写上＋1，白格中都写上－1，并依表格的中心所在的两条方格线将表格分为4块，左上角那块中各数之和设为A ，右上角那块为B ，左下角那块为C ，右下角那块为D ．由条件，可知A ，B ，C ，D 都是10052个奇数之和，故A ，B ，C ，D 都为奇数，且A ＝－D ，B ＝－C (因为关于表格的中心对称的方格不同色)，而且A ＋B ＝A ＋C ＝0(这里用到每行、每列中黑、白格数各占一半)．所以，A －C ＝A ＋C ＝0，这要求A ＝C ＝0，但A 、C 都是奇数，矛盾．14．标号为1，2，…，100的火柴盒中有一些火柴，如果每次提问允许问其中任意15盒中所有火柴数之和的奇偶性．那么要确定1号盒中火柴数的奇偶性，至少需要提问几次？ 【答案】至少需要3次提问．先证“3次提问是足够的” ．例如： 第一次为：a 1，a 2，…，a 15；第二次为：a 1，a 2，…，a 8，a 16，a 17，…，a 22； 第三次为：a 1，a 9，a 10，…， a 22．其中a i 表示第i 盒中火柴的数目．这样，3个答案之和的奇偶性与a 1的奇偶性相同(其余每盒在3次提问中恰好出现2次) ．因此，经3次提问可确定a 1的奇偶性．再证“至少需要3次提问” ．如果提问只有两次，且两次中都出现a 1，那么在两次提问中必有a i 和a j ，使得a i 只在第1次提问中出现，而a j 只在第二次提问中出现，这样同时改变a 1、a i 、 a j 的奇偶性，每次答案是相同的，从而不能确定a 1的奇偶性．如果两次中都不出现a 1，在a 1都不出现时，改变a 1的奇偶性；在a 1只出现一次时，改变a 1与a i (这里a i 是与a 1同时出现的某个火柴盒)的奇偶性，那么两次答案仍是相同的，不能确定a 1的奇偶性． 综上可知，至少需要提问3次．15．求所有的正整数n ，使得可以在一个n ×n 的方格表的每个方格内写上＋1或－1，满足：每个标号为＋1的方格的相邻格中恰有一个标号是－1，而每个标号为－1的方格的相邻格中恰有一个标号是＋1． 【答案】用a ij 表示第i 行、第j 列上的方格内所填的数．如果存在符合要求的填法，那么我们不妨设a 11＝1(否则改变表格中所有数的符号再讨论)，此时a 21与a 22中恰好有一个为－1，不妨设a 21＝－1(否则将表格的第2行与第2列互换后再讨论)，则a 12＝1，进一步讨论，知a 22＝－1，a 13＝1，…，可知第1行中的数都是1，第2行中的数都是－1，进而，第3行中的数都是－1，第4行中的数都是1，依此递推，知当且仅当i ≡1(mod3)时，第i 行中的数都是1，而其余每行中的数都是－1．如果，n ≡0(mod3)，那么第n 行的数为－1，该行上的每个方格中相邻方格上的书都是－1，不合要求，直接验证可知其余情况都合要求． 所以，当且仅当3n ，n ＞1时，存在符合要求的填法．16．设12100a a a ，，…，是1，2，…，100的一个排列，令12i i b a a a ＝＋＋…＋，i ＝1，2，…，100，记i r 为i b 除以100所得的余数．证明：12100r r r ，，…，中至少有11个不同的数．【答案】若r 1，r 2，…，r 100中只有10个不同的数，则对i ＝1，2，…，99，r i +1－r i 只有102－9＝91(这里减去9是因为r i +1＝r i 时所得的值都是零)种不同取值．但是在模100的意义下，r i +1－r i 依次为a 2，a 3，…，a 100，共有99种不同的取值，矛盾．所以r 1，r 2，…，r 100中至少有11个不同的值．17．求所有满足下述条件的正整数a 的个数：存在非负数0122001x x x x ，，，…，，使得0xa ＝200112x x x a a a ＋＋＋．【答案】若a 是一个满足条件的数，则0x a ＞1，故a ＞1．此时，对 0x a ＝1x a ＋2x a ＋…＋2001x a 两边模a －1，知 1≡200111++个(mod a －1)，所以 a －1｜2000．另一方面，若a ＞1满足a －1｜2000，则我们在x 1，x 2，…，x 2001中取a 个数为0，a －1个为1，a －1个为2，…，a －1个为k －1，这里k ＝20001a -，并取x 0＝k ，就有0x a ＝1x a ＋2x a ＋…＋2001x a ． 所以，当且仅当a ＞1且a －1｜2000时，a 为满足条件的数，这样的a 共有20个．18．设m 、n 为正整数，m ＞1．证明：()21|mm n －的充要条件是()221|21mn－－． 【答案】若m (2m －1)｜n ，设n ＝m (2m －1)k ，则 2n－1＝(21)2m m k-－1＝()()212mmk-－1＝()21mk -A ，其中 A ＝()222mmk -＋()232mmk -＋…＋()12mk ＋1．注意到 2mk －1＝()2km －1≡1k －1≡0(mod2m －1)， 所以 ()21m -2｜2n －1．反过来，若()21m -2｜2n －1，我们先证m ｜n ．若否，设n ＝mq ＋r ，0＜r ＜m ，则由 2n ≡1(mod2m －1)，知 (2m )q ·2 r ≡1(mod2m －1)， 故 2 r ≡1(mod2m －1)， 但是 1≤2 r －1＜2m －1． 所以2m －12 r －1，矛盾．因此m ｜n ．现设n ＝mq ，则 2n －1＝(2m －1)×B ，其中 B ＝(2m )q -1＋(2m )q -2＋…＋2m ＋1， 由 (2m －1)2｜2n －1， 知 2m －1｜B ，又 B ＝1 q -1＋1 q -2＋…＋1＝q (mod 2m －1)， 所以 2m －1｜q ， 从而 m (2m －1)｜n ． 命题获证．19．设正整数a 、b 互素，p 为奇素数．证明：1p p a b a b p a b ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋，＝或＋． 【答案】记A ＝p pa b a b ++＝a p -1―a p -2b ＋…―ab p -2＋b p -1，结合p 为奇数及b ≡―a (mod a ＋b )，知A ≡111p p p p a a a ---+++个＝pa p -1(mod a ＋b )．而 (a ，b )＝1， 故 (a ，a ＋b )＝1，所以 (a ＋b ，p pa b a b++)＝(a ＋b ，A )＝(a ＋b ，pa p -1)＝(a ＋b ，p )＝1或p ．20．求最小的正整数a ，使得对任意整数x ，都有()13565|5139x x ax ＋＋．【答案】由条件，知65｜(18＋9a )(取x ＝1)，而(9，65)＝1，故65｜a ＋2， 即a ≥63．当a ＝63时，利用Fermat 小定理知：对任意整数x ，都有5x 13＋13x 5＋9ax ≡13x ＋9ax ≡(3＋(－1)×3)x ≡0(mod5 )； 5x 13＋13x 5＋9ax ≡5x ＋9ax ≡(5＋9×(－2))x ≡0(mod13 )． 所以 65｜5x 13＋13x 5＋9ax ． 综上可知，所求的最小正整数a ＝63．21．是否存在整数a 、b 、c ，使得方程20ax bx c ＋＋＝和()()()21110a x b x c ＋＋＋＋＋＝都有两个整数根？【答案】不存在这样的整数a 、b 、c ．事实上，若a 、b 、c 满足条件，我们不妨设a 为偶数(否则用－(a ＋1)、－(b ＋1)、－(c ＋1)代替a 、b 、c 讨论)，由条件，结合韦达定理知－b a 与ca都是整数，故b 、c 都是偶数，所以a ＋1、b ＋1、c ＋1都是奇数．此时，对任意整数x ，有(a ＋1)x 2＋(b ＋1)x ＋(c ＋1)≡x 2＋x ＋1＝x (x ＋1)＋1≡1(mod2)(最后一步用到x 与x ＋1中有一个偶数)．这表明方程(a ＋1)x 2＋(b ＋1)x ＋(c ＋1)＝0没有整数根，矛盾．22．求所有的正整数组（x ，y ，z ，w ），使得x ！＋y ！＋z ！＝w ！． 【答案】不妨设x ≤y ≤z ＜w ，则w ≥z ＋1，若z ≥3，则w ！≥(z ＋1)·(z ！)≥z ！＋y ！＋x ！， 矛盾，故 z ≤2．若z ＝1，则x ＝y ＝z ＝1，此时w ！＝3，不存在这样的w ，故z ＝2． 此时w ≥3，故 w ！≡0(mod3)，所以 x ！＋y ！≡1(mod3)， 而 x ≤y ≤2， 故只能是 x ＝y ＝2， 此时 w ＝3，故 (x ，y ，z ，w )＝(2，2，2，3)．23．求满足下述条件的整数数组（a ，b ）的组数：0≤a ，b ≤36，且()220mod37a b ＋＝．【答案】注意到，a 2＋b 2≡a 2－36b 2(mod37)，故由条件知 37｜a 2－36b 2， 即 37｜(a －6b )(a ＋6b )，所以 37｜a －6b 或37｜a ＋6b ．因此，对每个1≤b ≤36，可知恰有两个a (a ≡±6b (mod37)) 满足条件， 而b ＝0时，由a 2＋b 2≡0(mod37)知a ＝0． 所以，满足条件的(a ，b )共有2×36＋1＝73(组)．24．设m 、n 为正整数，且22|mn m n m ＋＋．证明：m 是一个完全平方数．【答案】有条件可设m 2＋n 2＋m ＝kmn ，k 为正整数，这样，关于n 的一元二次方程n 2－kmn ＋m 2＋m ＝0①有正整数解，故△＝(km ) 2－4(m 2＋m )＝m (k 2m －4m －4)是一个完全平方数．若m 为奇数，则(m ，k 2m －4m －4)＝(m ，－4)＝1，故由△为完全平方数知m 为完全平方数．若m 为偶数，则由①知n 为偶数 (否则①的左边为奇数，矛盾)，故4｜n 2，4｜kmn ，4｜m 2，从而由①知4｜m ．设m ＝4m 1，则△＝16 m 1(k 2m 1－m 1－1)，所以，m 1(k 2m 1－m 1－1)是一个完全平方数，这时(m 1，k 2m 1－m 1－1) ＝(m 1，－1)＝1． 故m 1是完全平方数，所以m ＝4m 1也是完全平方数，命题获证．25．证明：若正整数n 可以表示为三个正整数的平方和的形式，则2n 也可以表示为三个正整数的平方和的形式．【答案】设n ＝x 2＋y 2＋z 2，x ≥y ≥z 为正整数，则n 2＝(x 2＋y 2＋z 2) 2＝(x 2＋y 2) 2＋2(x 2＋y 2) z 2＋z 4 ＝(x 2＋y 2－z 2) 2＋4(x 2＋y 2) z 2＝(x 2＋y 2－z 2) 2＋(2xz ) 2＋(2yz ) 2．注意到，x 2＋y 2－z 2＞0，知n 2可表为3个正整数的平方和．26．求所有的正整数n ，使得n 的三次方根等于n 去掉最后三位数字后得到的正整数．【答案】设n ＝1000x ＋y ，这里x 为正整数，y 为整数，且0≤y ≤999．依题意知x 3＝1000x ＋y ．1000x ≤x 3＜1000x ＋1000＝1000(x ＋1)， 故 x 2≥1000，x 3＋1≤1000(x ＋1)， 得 x 2≥1000，x 2－x ＋1≤1000． 所以 32≤x ＜33， 故 x ＝32， 这样 y ＝768， 所以 n ＝32 768．27．证明：存在无穷多个整数n ，使得数n 、n ＋1、n ＋2都可以表示为两个整数（不必不同）的平方和．例如：22000＝＋，22101＝＋，22211＝＋，故n ＝0即为一个满足条件的整数． 【答案】只需寻找正整数l ，使得l 2－1＝x 2＋y 2有正整数解．令x ＝2m 2，y ＝2m ，及l ＝2m 2＋1，就有l 2－1＝x 2＋y 2．所以，对任意正整数m ，取 n ＝(2m 2＋1) 2－1＝4m 4＋4m 2， 则 n ＝(2m 2) 2＋(2m ) 2， n ＋1＝(2m 2＋1) 2＋02， n ＋2＝(2m 2＋1) 2＋12．28．求最小的正整数n ，使得在十进制表示下3n 的末三位数字是888． 【答案】由条件，知n 3≡888(mod1000)，故n 3≡888(mod8)，n 3≡888(mod125)， 由前者知n 为偶数，设n ＝2m ，则m3≡111(mod125)，因此m3≡111≡1(mod5) ．注意到当m＝0，1，2，3，4(mod5)时，对应地m3≡0，1，3，2，4(mod5)，所以，由m3≡1(mod5)知m≡1(mod5)，可设m＝5k＋1，这时m3＝(5k＋1) 3＝125k 3＋75k2＋15k＋1≡111(mod125)，故75k2＋15k≡110(mod125)，从而15k2＋3k≡22(mod25)，既有15k2＋3k＋3≡0(mod25)，故5k2＋k＋1≡0(mod25) ．这要求5k2＋k＋1≡0(mod25)，故5│k＋1．可设k＋1＝5l，得5k2＋k＋1＝5×(5l－1) 2＋5l，＝125l2－50l＋5(l＋1)≡0(mod25)，故5│l＋1．可设l＋1＝5r，因此n＝2m＝10k＋2＝10(5l－1)＋2＝50l－8＝50(5r－1)－8＝250r－58．结合n为正整数，可知n≥250－58＝192．又1922＝7077888符合要求，故满足条件的最小正整数为192．29．设正整数n＞1，证明：数21n－既不是完全平方数，也不是完全立方数．【答案】由于n≥2，故2n－1≡－1(mod4)，而完全平方数≡0或1(mod4)，故2n－1不是完全平方数．另一方面，若存在n＞1及正整数x，使得2n－1＝x3，则2n＝(x＋1)(x 2－x＋1)，由于x 2－x＋1＝x(x－1)＋1，其中x(x－1)为偶数(两个相邻整数中有一个为偶数)，故x 2－x＋1为奇数，这要求x 2－x＋1＝1，进而x＝1，导出n＝1，矛盾．故2n－1不是一个完全平方数．30．设a、b、c a、b、c都是完全平方数．【答案】先证：对任意正整数a a为完全平方数．qp，p、q为正整数，且(p，q)＝1，则a＝22qp，此时由a为正整数，知p2｜q2，但(p，q)＝1，故p＝1，即a＝q2．m，m为整数，则)2＝(m2即a＋b＋m 2－c，n ，n 为正有理数，则 ab ＝(n 2＝n 2－2c ，c ＝m 可知a ，b 也都是完全平方数．31．已知正整数c 是一个奇合数．证明：存在正整数a ，使得13ca ≤－，且()2218a c －＋是一个完全平方数．【答案】通过凑完全平方式来处理．由条件可设c ＝pq ，3≤p ≤q ，p 、q 都是奇数，现在需要寻找a ，使得(2a －1) 2＋8pq 是一个完全平方式，一个自然的取法是：2a －1＝2q －p ，则(2a －1)2＋8pq ＝(2q －p ) 2＋8pq ＝(2q ＋p ) 2，a ＝12(2q －p ＋1)＝q －12p -≤q －1＝c p －1≤3c－1，符合题中的要求．32．设整数a 、b 满足：对任意正整数n ，数2na b •＋都是完全平方数．证明：a ＝0．【答案】若a ≠0，注意到在a ＜0时，n 充分大后，数2n a ＋b ＜0，与2n a ＋b 为完全平方数矛盾，故a ＞0．现在设2n a ＋b ≡x 2n ，x n 为正整数，则对任意正整数n ，有x n ＜x n +1．由于 4x 2n －x 2n +2＝4(2n a ＋b )－(2n +2a ＋b )＝3b ， 故 3│b │＝│2x n －x n +2│·│2x n ＋x n +2│，而 2x n ＋x n +2随着n 的增大而增大，故只能是│2x n －x n +2│＝0， 即 │b │＝0，但这时2n a 与2n +1a 都要是完全平方数，这是不可能的，矛盾．所以a ＝0．33．求不能表示为42的正倍数与一个合数之和的最大正整数．【答案】对任意不能表示为42的正倍数与一个合数之和的正整数n ，考虑n 除以42所得的余数r ．若r ＝0或r 为合数，则n ≤42．下面考虑r ＝1或r 为素数的情形．若 r ≡1(mod5)，则 84＋r ≡0(mod5)， 此时 n ＜3×42＝126；若 r ≡2(mod5)，则 4×42＋r ≡0(mod5)， 此时 n ＜5×42＝210；若 r ≡3(mod5)，则 42＋r ≡0(mod5)， 此时 n ＜2×42＝84；若 r ≡4(mod5)，则 3×42＋r ≡0(mod5)， 此时 n ＜4×42＝168；若 r ≡0(mod5)，则 r ＝5，此时由于5，47，89，131，173都是素数，故n 最大为215． 综上可知，所求最大正整数为215．34．求一个正整数n ，使得数n ，n ＋1，…，n ＋20中每个数都与30030不互素． 【答案】由于30 030＝2×3×5×7×11×13，所以若取N ＝210k ，则N 与N ±r 都与30 030不互素，这里r 为2，3，…，10中的数．现在考虑数N ±1，我们取k ，使得210k ≡1(mod11)且210k ≡－1(mod13)，前者要求k ≡1(mod11)，设k ＝11m ＋1，后者要求 210(11m ＋1)≡－1(mod13)，解得 m ≡4(mod13)，所以，令k ＝45，则所得的21个数9440，9441，…，9460与30 030都不互素，因此取n ＝9440即可．35．是否存在连续13个正整数，其中每个数都是2、3、5、7、11中的某个数的倍数？连续14个呢？【答案】注意到，114，115，…，126这13个数都是合数，每个数都是2、3、5、7、11中某个数的倍数，因此存在13个符合要求的数．下证：没有连续14个正整数，使得其中每个数都是2、3、5、7、11中某个数的倍数．事实上，若存在这样的14个数，考虑其中的7个奇数，设它们为a ，a ＋2，…，a ＋12．由于若两个奇数都是3的倍数，则它们的差至少为6，故这7个奇数中至多有1个数为11的倍数．同样可证这7个奇数中至多有2个数是5的倍数；至多有1个数为7的倍数；至多有1个数为11的倍数．由假设，这7个数都是3、5、7、11中某个数的倍数，故这7个奇数中分别有3个为3的倍数，2个为5的倍数，1个为7的倍数，1个为11的倍数，并且不出现一个数同时是3、5、7、11中某两个数的倍数．但是，这时要求a 、a ＋6、a ＋12为3的倍数；a 、a ＋10或者a ＋2、a ＋12中有一组数为5的倍数．必有一个数同为3和5的倍数，矛盾．36．设p 为素数，a 、n 都是正整数，且23p p n a ＋＝．证明：n ＝1．【答案】当p ＝2时，a n ＝13，知a ＝13，n ＝1．当p ＞2时，由p 为素数，可知p 为奇数，此时2p ＋3 p ＝(2＋3)(2 p -1－2 p -2×3＋…－2×3 p -2＋3p -1) ，故 5｜a n ，即5｜a ．若n ＞1，则52｜a n ，这时，应有2 p -1－2p -2×3＋…－2×3 p -2＋3p -1≡0(mod5) ．利用3≡－2(mod5)，p 为奇数及上式，知2 p -1－2p -2×3＋…－2×3 p -2＋3p -1≡11112222p p p p p -----++个＝p ·2 p -1≡0(mod5)， 所以5｜p ，而p 为素数，故p ＝5，这导致a n ＝25＋35＝275＝52×11，n 只能为1，矛盾．因此n ＝1．37．圆周上排列着2000个点，在某个点上标上数1，按顺时针方向数两个点，在其上标数2，再数3个点标数3，依此继续，标出数1，2，…，2000．这样，有些点上没有标数，有些点上所标的数不止一个．问：被标上2000的那个点上所标的数中最小的是多少？【答案】等价于求最小的正整数n ，使得1＋2＋…＋n ≡1＋2＋…＋2000(mod2000) ． ①即(1)2n n +≡1000(mod2000)， 等价于 n (n ＋1)≡2000(mod4000)，这要求 2000｜n (n ＋1) ．注意到 (n ，n ＋1)＝1，而 2000＝24×53，所以24｜n ，53｜n ＋1；或者53｜n ，24｜n ＋1；或者n 与n ＋1中有一个为2000的倍数．分别求得n 最小为624，1375，1999，其中满足①的最小的数为624．所以，被标上2000的那个点上所标的数中最小的那个是624．38．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1，2，…，800，它们将圆周分为800个间隙．现在选定某个点，将其染上红色，然后进行下述操作：如果第k 号点染成了红色，那么依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色．问：依此规则，圆周上最多有多少个点被染成了红色？证明你的结论．【答案】等价于求在模800的意义下，数列a ，2a ，22a ，23a ，…中，出现的不同的数的个数的最大值，这里a 在1，2，…，800中取值．注意到，当2n 2m (mod800)时 ，2n a 2m a (mod800)不一定成立；反过来，当2n a 2m a (mod800)成立时，2n 2m (mod800) 一定成立．因此，数列a ，2a ，22a ，…在模800的意义下，不同元素个数的最大值在a ＝1时可以取到，因此，只需求1，2，22，…在模800的意义下不同元素的个数．由于800＝25×52，而n ≥5时有 2n ≡0(mod25)，另外｛2n (mod25)｝为2，4，8，16，7，14，3，6，12，－1，－2，－4，－8，－16，－7，－14，－3，－6，－12，1，…故｛2n (mod25)｝中恰好有20个不同元素．结合｛2n (mod25)｝为2，4，8，16，0，0，…，可得｛2n (mod800)｝中恰好有20＋4＝24(个)不同的数．所以，圆周上至多有24个点染成了红色．39．设m 为正整数，且()2mod4m ≡．证明：至多存在一对正整数（a ，b ），使得m ab ＝，且05441a b m ＜－＜＋＋【答案】如果能确定a ＋b 的值(视m 为常数)，那么利用韦达定理的逆定理，可知至多只有一组正整数(a ，b )满足条件．由条件，知(a ＋b ) 2＝(a －b ) 2＋4ab 满足1＋4m ≤(a ＋b ) 2＜5＋4+1m 4m ＝4+1m 2) 2，即 4+1m a ＋b 4+1m 2，所以 41411141121m m m a b m m m +++++⎡⎡++++⎪⎣⎣⎩或，若4为整数；或4+1，若4不是整数． 总之，a ＋b 只能取值于某两个连续正整数．而ab ＝m ≡2(mod4)，可知a 、b 一奇一偶，即a ＋b 为奇数．这样我们知道a ＋b 的值唯一确定，命题获证．40．设n 是一个大于10的正整数，且n 的每个数码都为1、3、7或9．证明：n 有一个大于10的素因子．【答案】用反证法，若n 的每个素因子都不大于10，利用条件，知n 为奇数，且n 不是5的倍数，故存在非负整数i 、j ，使得 n ＝3i ·7j ，考虑3i 与7 j 除以20所得的余数，对i ＝0，1，2，…， j ＝0，1，2，…，分别依次有 ｛3i (mod20)｝：1，3，9，7，1，3，…；｛7 j (mod20)｝：1，7，9，3，1，7，…．这两个都是以4为周期循环的数列，因此 3i ·7j ≡ab (mod20)，这里a 、b 都为1，3，7或9．分别计算，可知 3i ·7j ≡1，3，7或9 (mod20)，这表明，所有形如3i ·7j 的数的十位数字都为偶数，但n 的每一位数字都是1，3，7或9，矛盾． 所以，n 有一个大于10的素因子．41．求所有的素数对（p ，q ），使得|1p qpq p q ＋＋．【答案】由条件可知p ≠q ，利用对称性，不妨设p ＜q ．若p ＝2，则q q ＋5≡0(mod q )，知q ＝5．直接验证，可知(p ，q )＝(2，5)符合要求．若p ＞2，则p ，q 都为奇素数．由条件知p p ＋1≡0(mod q )，故p 2p ≡1(mod q )，利用Fermat 小定理，有p q -1≡1(mod q )，于是， p (2p ，q -1)≡1(mod q ) ． ①注意到，2｜(2p ，q －1)，而(2p ，q －1) ｜2p ，故只有下面的两种情形．情形一 (2p ，q －1) ＝2，则由①知p 2≡1(mod q )，导致q ｜p ＋1或q ｜p －1，这与p ≤q －2矛盾． 情形二 (2p ，q －1) ＝2p ，则由①知q ≡1(mod p )，于是0≡p p ＋q q ＋1＝2(mod p )，导致p ＝2，矛盾．综上可知，满足条件的(p ，q )＝(2，5)或(5，2) ．42．设()22010f n n n n ⋯＝1＋＋＋＋．证明：对任意整数m ，若2≤m ≤2010，则不存在正整数n ，使得()|m f n ．【答案】若存在2≤m ≤2010，使得对某个正整数n ，有m ｜f (n ) ．则由于f (1)＝2011为素数(这里2011为2011去验证)，故n ≠1，此时可写f (n )＝201111n n --． 对m 的素因子p ，由m ｜f (n )知n 2011≡1(mod p )，而由Fermat 小定理知n p -1≡1(mod p )，所以，有 (2011,1)p n -≡1(mod p )．结合 p －1＜2011，及2011为素数，可得(2011，p －1)＝1，于是n ≡1(mod p )，从而 0≡f (n )≡1＋12＋…＋12010＝2011(mod p )，要求 p ＝2011，这与m ≤2010矛盾．所以命题成立．43．是否存在整数x 、y ，使得2012201120102010442011x y y y －＝＋＋？【答案】不存在这样的整数x ，y ．若不然，则有x 2012＋1＝(4y 2010＋2011)( y ＋1) ． ①注意到，4y 2010＋2011≡3(mod4)，这表明①式右边有模4余3的素因子，故存在素数p ，使得p ≡3(mod4)， 且 x 2012＋1≡0(mod p ) ．由于2012为偶数，利用2.3节例2的结论知x 2012＋1的每一个奇素因子都≡1(mod4)，矛盾．。

1.C源程序的基本单位是（）。

A.子程序B.函数C.过程D.复合语句2（）可求得0到0.99的随机数。

P58A.srand()*100%100B.rand()%100/100.0C.rand()%100/100D.srand()%100/100.0 3整型常量没有（）形式。

P22A.十进制B.二进制C.十六进制D.八进制4若已定义：int i,j,k; double x; 则下列表达式中语法正确的是（）。

A.x%5B.j+2=kC.j+=(k=4)*jD.i=k+2j5若已定义：int n=10,i=4; 则赋值运算n%=i+1执行后，n的值是（）。

A.0B.2C.3D.16若已定义:float f; char s[20]; 下列正确的输入语句是（）。

A.scanf("%s%f", &s, f);B.scanf("%c%f", s, &f);C.scanf("%s%f", s, f);D.scanf("%s%f", s, &f); 字符数组用字符串。

7能正确表示a和b同时为正或同时为负的逻辑表达式是（）。

A. (a>0 && b>0)&&(a<0 && b<0)B.a*b>0C. (a>0 || b>0)&&(a<0 || b<0)D. (a+b>0) && (a+b<=0)8若已定义int k=5;float d=3.5; 则表达式d+k%3/2 的值为（）。

A.3.5B.5.5C.4D.4.59若已定义：int a=-1,b=-3,c=0,d=2; 则表达式a<b?c:(a>d?b:d)的值是（）。

A.-1B.-3C.0D.210以下程序段运行后m的值为（）。